高一数学-南京市金陵中学高一数学同步辅导教材[整理] 精品

高一数学同步辅导教材（第11讲）一、本讲进度3.5 等比数列的前n 项和3.6 研究性课题：分期付款中的有关计算二、本讲主要内容1、等比数列前n 项和的公式及其应用；2、分期付款中的有关计算问题。

三、学习指导1、要掌握等比数列的前n 项和的公式及其推导方法。

由等比数列定义知道，a n q =a n +1，即等比数列中每一项乘以公比q 以后就是它后面相邻的一项，因此，当q ≠1时，S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 与qS n =a 1q +a 2q +…+a n q 中有n －1项是相同的，彼此相减就可以消去这些相同的项，这是推导等比数列的前n 项的和的基本思路。

这种方法也称错位相减法，它是数列求和的基本方法之一。

等比数列的前n 项和的公式为：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n要全面理解这个公式，它是由公比q =1和q ≠1两种情形构成的，在应用时注意公式的公比条件。

如果{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，那么数列{}n n b a ±的前n 项和等于等差数列{}n a 的前n 项和加上或减去等比数列{}n b 的前n 项和；数列{}n n b a 的前n 项和，可以用推导等比数列前n 项和的公式方法一样的错位相减法化成等比数列的前n 项和。

课本第142页第6题、第7题都是这类称为混合数列的求和问题。

第7题的结论：ba b a b b ab aa n n nn n n--=++++++--11221Λ (其中n ∈N +,a ,b 是不等于零的常数，且a ≠b )也称为裴蜀定理。

2、分期付款中的有关计算这是课本安排的一个研究性课题，是等比数列的前n 项和的公式在购物付款方式上的一个实际应用。

难度并不太高，比较贴近生活，要认真阅读课本内容，弄清分期付款的下列意义：(1)在分期付款中，每月的利息均是按复利计算的； (2)分期付款中规定每期所付的款额相同；(3)分期付款时，商品售价和每期所付款款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断地增值； (4)各期所付款额连同最后一次付款时所生的利息和=商品售价及从购买到最后一次付款的利息之和。

南京市金陵中学高一数学同步辅导教材一、本讲教学进度1．5（P23-24）二、本讲内容1．一元二次不等式>和<的解法.2．可化为一元一次不等式组的分式不等式.3．二次函数在给定范围内的最值.三、重点、难点选讲1．一元二次不等式>和<的解法.⑴因一元二次方程的两个根是，故有一元二次不等式>，(<)的解集为<，或>.一元二次不等式<，(<)的解集为<<.⑵引用上述结论时，必须注意不等式右边为零，两个括号中的系数为1的条件.例1解不等式：⑴≤；⑵>；⑶≤.解：⑴原不等式即≤，整理得≥，≥.∴不等式的解集为≤，或≥.⑵∵≥,∴由，得不是原不等式的解.当，得>，即<，<<.∴原不等式的解集为<<，且.⑶∵>,∴原不等式与≤同解，∴原不等式的解集为≤≤.评析第⑵题中，因≥，故只需考虑是否满足不等式，就可以在原不等式中将除去.例2解关于的不等式：>（,R）.解：原不等式可化为<..⑴>时，>，∴不等式的解集是<<.⑵当时，，∴不等式的解集是.⑶当<<时，<，∴不等式的解集是.⑷当<<时，>，∴不等式的解集是⑸当时，，∴不等式的解集是.⑹当<时，<，∴不等式的解集是.2．可化为一元一次不等式组的分式不等式⑴不等式>与二次不等式>同解；不等式<与二次不等式<同解.⑵不等式≥的解集是不等式>的解集与集合的并集；不等式≤的解集是不等式<的解集与集合的并集.例3解不等式：⑴≥；⑵≥.解：(1)原不等式等价于≤.∴不等式的解集是=(2)原不等式等价于.∴不等式的解集是评析：对带有等号的不等式求解，可以在相应的不含等号的不等式的解集中，增加使分子等于零的值，就得到所求解集.例4：求不等式的解集.①等价.解：不等式与不等式组,②由①，,∴由②，，∴.∴原不等式的解集是评析：（1）解时，因不能确定的符号，所以不能把不等式两边同乘以而去分母，只能采用移项、通分的方法求解.（2）本题也可以分两种情况考虑，①若>0，则-1<恒成立，由2，.②若<0，则2恒成立.∵->0，∴将-1<两边同乘以-.得<-1，由①、②可得原不等式的解集是<,或≥.例5 已知集合，，且,.求实数a,b的值.解：由已知，得,.由A，从数轴可得集合B又和2是的实数根.3. 二次函数在给定范围内的最值由图像可以看出，二次函数当相应的抛物线开口向上时，在抛物线顶点处二次函数取得最小值，但无最大值；当抛物线开口向下时，在抛物线顶点处二次函数取得最大值，但无最小值.如果将二次函数的自变量限制在某个范围内，则相应的图象仅是抛物线的一部分，这时函数可能既有最大值，又有最小值例6已知函数,(1) 当时，求的最大值、最小值；(2) 当时，求的最大值、最小值；(3) 当时，求的最大值、最小值；解：函数即,抛物线的对称轴为直线. (1)当时，由图象知，当时，当时，(2)当时，由图象知,当时，当时，(3)当时，由图象知,当时，当时，评析(1)此类问题通常根据题设条件画出函数的图象,并由图象求解.(2)一般情况下,需要说明当x取什么值时, 函数取大或最小值. 例7已知函数求:(1) 当时，函数的最值;(2) 当时，函数的最值;解：函数即抛物线和对称轴为直线(1) 当时，由图象知,当时，函数无最大值.(2) 当时，由图象知,当时，函数无最大值.评析（1）最大值、最小值统称最值.（2）根据题设条件画图象时，要注意表示x范围的不等式中是否包含等号.当含等号时，相应的端点在图象上应画实圈；不含等号时，相应的端点不在图象上，应画空圈.例8 求函数的最小值。

高一数学同步辅导教材（第12讲）一、本讲教学进度2.7 对数 2.8 对数函数二、本讲教学内容1．对数及对数运算性质2．对数函数 3．对数换底公式三、重点、难点选讲 1．对数及对数运算性质 （1）对数概念由对数的定义，N b N a a blog =⇔=. 但是应注意其中的字母必须满足条件：.0,1,0>≠>N a a（2）对数恒等式由对数定义，当1,0≠>a a 时，若N a b=，则N b a log =，因此有N aNa =log .等式aa N a =log 叫做对数恒等式.（3）对数的运算性质;log log )(log N M MN a a a += N M NMa a alog log log -=； M n M a na log log =.必须注意上述运算性质的条件是0>a ，且.0,0,1>>≠N M a 应避免发生下列错误：;log log )(log N M MN a a a ⋅= NM N M a a alog log log =； N M N M a a a log log )(log ±=±； M n M a na log )(log =.(3)如果把运算分等级，“加”、“减”为一级运算，“乘”、“除”为二级运算，“乘方”、“开方”为三级运算，则通过取对数，可以把运算降低一个等级，即把二级运算转化为一级运算，把三级运算转化为二级运算.例1 计算下列各式的值：（1）128log 8； （2）81log 27（3）81log 33； （4）)32(log )32(+-解 （1）设,128log 8x = 则1288=x. 737322,2)2(==x x ，,37,73==∴x x 即 ,37128log 8= （2）设,81log 27x = 则 8127=x. .32,3)3(4343==x x34,43==∴x x ， 即 .3481log 27=（3）设x =81log 33，则 ,81)3(3=x 4343133,3)3(==x x12,43==∴x x, 即.1281log 33=（4）设x =+-)32(log )32(，则 32)32(+=-x. ()()13232,321)32(--=--=-xx . ,1-=∴x 即 1)32(log )32(-=+-.例2 求下列各式中x 的值：（1）()1)123(log 2122=-+-x x x ； （2）0)](log [log log 345=x . 解 （1）由已知，得123)12(212-+=-x x x . 2,0,022-==∴=+x x x x 或. 当012,02<-=x x ； 当 712,22=--=x x . 2-=∴x . （2）∵1的对数等于0， ∴1)(log log 34=x . ∵底的对数等于1， ∴4log 3=x . ∴,34x = 81=x .例3 计算：（1）;3272log3272log22-++ （2）2lg 72.0lg 22lg 23lg +++；（3）5lg 9lg 4lg -+. （4771.03lg ,3010.02lg ==） 解 （1）原式=)]3272)(3272[(log 2-+=42log42log4log )32()72(log2422222====-.（2）原式=2112lg 12lg 144lg 12lg )272.0100lg()43lg(2lg 72.0lg 100lg 4lg 3lg 2===⨯⨯⨯=+++. （3）)2lg 1(3lg 22lg 2210lg 3lg 2lg 5lg 9lg 4lg 22--+=-+=-+=.8572.014711.023010.0313lg 22lg 3=-⨯+⨯=-+例4 已知 6321243==y x ，求 yx 23+的值.解 对 6321243==y x取以12为底的对数，得 64log 33log 21212==y x ,3log 312=∴x.4log 212=y .1)43(log 4log 3log 23121212=⨯=+=+yx例5 已知关于x 的函数a x a x x f lg 84lg )(2+-=有最大值4，求实数a 及)(x f 取得大值时x 的值.解 a a a x a x f lg 8lg 4)log 2(lg )(2+--= 有最大值4，0lg <∴a 且 ,4lg 8lg 4=+-a a01lg lg 22=--a a .21lg ,1lg -==∴a a 或21lg ,0lg -=∴<a a ， 10101021==-a . 当)(x f 取最大值时，.4lg 2-==a x例6 已知x 、y 、z ()()+∞∈,11,0 ，且.0lg lg lg =++z y x求 yx xz zy zyxlg 1lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1+++⋅⋅的值.解 设yx xz z y zy xu lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1+++⋅⋅= 则 z y x y x z x z y u lg )lg 1lg 1(lg )lg 1lg 1(lg )lg 1lg 1(lg +++++= z yx y x z x z y lg lg lg lg lg lg lg lg lg +++++=.3lg lg lg lg lg lg -=-+-+-=zzy y x x .10001103lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1==⋅⋅=∴-+++yx xz zy zyxu 评析 由于直接计算u 值有困难，且难以运用已知条件，所以采用取对数的方法，先求出u lg 的值再计算u 的值，当指数部分的式子比较复杂时，常用这种方法进行化简或计算.2．对数函数对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且是指数函数xa y =的反函数.由指数函数的性质，对数函数x y a log =的定义域是),0(+∞，值域是),(+∞-∞.对数函数的图像x y 2log =，x y lg =，x y 21log =的图像来记忆.由图12—1 可见，函数x y a log =和x y a1log =对称，实际上，x x y a alog log 1-==.当1>a 大，它的图像在第一象限部分越“靠近x 轴，近y 轴”.因此当10<<a 象限部分越“靠近x 轴”，在第一条象限部分越“靠近例7、 求函数)45(log )(221x x x f -+=分析 解 由对数函数的定义域，,0452>-+x x 即.0542<--x x ,0)5)(1(<-+x x .51<<-x ∴y=f(x)的定义域是{x|-1<x<5}.设t=245x x -+=9)2(2+--x ,则9)2(2+--=x t 在区间（-1，2]上是增函数，在区间[2，5）上是减函数. 又函数t y 21log =在区间(0,∞+)上是减函数，∴当,2121≤<<-x x 210t t <<,;log log 22211211y t t y =>=当,0,522121>><<≤t t x x 22211211log log y t t y =<=.由此得，函数y=f(x)的单调递减区间是(-1,2],单调递增区间是[2,5).评析 求复合函数的单调区间时，不仅要注意函数的定义域，还要注意每一个函数在区间上的增减性.例8 已知),1,0(1)(≠>-=a a xx a f x求函数y=f(x)的单调区间. 分析 首先应由)(xa f 的表达式求出f(x)的解析式.解 令t a x=, 则,log t x a = .1,0≠>t t 且,log 1log )(t t t f a a -= ∴).1,0(log 1log )(≠>-=x x xx x f a a 且 设,021x x <<则221121log 1log log 1log )()(x x x x x f x f a a a a +--=-212121log log log log )log (log x x x x x x a a a a a a ⋅-+-=.log log )log log 1)(log (log 212121x x x x x x a a a a a a ⋅⋅+-=（1）当a>1,若,1021<<<x x 则,0log log 21<<x x a a∵,0log log ,0log log 2121>⋅<-x x x x a a a a.0)()(21<-∴x f x f若,121x x <<则.log log 021x x a a <<∵,0log log ,0log log 2121>⋅<-x x x x a a a a.0)()(21<-∴x f x f （2）当,10<<a若,1021<<<x x 则,0log log 21>>x x a a∵,0log log ,0log log 2121>⋅>-x x x x a a a a .0)()(21>-∴x f x f若,121x x <<则,0log log 12<<x x a a∵,0log log ,0log log 2121>⋅>-x x x x a a a a.0)()(21>-∴x f x f由上可知，当a>1时，f(x)在区间(0,1)及(+∞,1)上分别都是增函数. 当0<a<1时，f(x)在区间(0,1)及(+∞,1)上分别都是减函数.例7、 已知0<a<b<1,比较a b a b bab a 11log ,log ,log ,log 的大小.解 ∵,10<<<b a .111>>∴ba ∵x y x yb a log log ==和都是区间(0,+∞)上的减函数，x y x y a611log log ==和都是区间(0,+∞)上的增函数，01log log ,01log log ,01log log ,01log log 1111=<=<=>=>∴bbaab a a a a b b .∵log 1log log b a b b a a ==< log 1log log 111b a abb=-=< log log log 11b b a a ab<<<∴评析 由对数函数的性质及,log ,log x y x y b a ==,log 1x y a=x y b1log =图像的大致位置如图12-2作直线x=a 和x=b 可以得到b a ,log 的大小关系为：.log log log log 11a b b a b a ab<<<3．对数换底公式（1）设x N g b =lg ，则N b x=.两边取以a 为底的对数，得,log log N b a x a =.log log N b x a a =)0,1,0,1,0.(log log log >≠>≠>==∴N b b a a bNx N a a b .该式子叫对数换底公式，运用该公式可以把b 为底的对数转换成关于以a 为底的对数的式子.（2）运用对数运算性质的前提是几个对数的底数必须相同，因此在对数运算中凡遇到不同底数的对数，通常先要用对数换底公式化为同底数的对数.（2）运用换底公式还可以得到几个常用的式子：;log log N Na pa p = ;log 1log ab b a =;log log 1N N a a-= N pqNa qa p log log =.例10 求值：（1）；32log 9log 2716⋅ (2)).8log 4(log )3log 9(log 812748+⋅+ 解 （1）32log 9log 2716⋅ =653lg 32lg 52lg 43lg 227lg 32lg 16lg 9lg =⋅=⋅.().721193log 13log 1217672log 12173log 67)2log 432log 32()3log 213log 32(2log 2log )3log 3(log )8log 4(log )3log 9)(log 2(2232332233232228127484323=⋅⋅⋅=⋅=+⋅+⋅=+⋅+=+⋅+例11求证：.237log 137log 237log 3752>++证 37log 137log 237log 3752++.237log 1369log 1400log )752(log 7log 5log 22log 323737372337373737==>=⋅⋅=++=练 习一、选择题1、已知),0)(4(log )3(log 31212>+=y yy x则x 的值是（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、32、3log 21122-的值等于 （ ）A 、32 B 、32 C 、332D 、2 3、已知βα、是方程05lg 3lg lg )5lg 3(lg lg 2=⋅+++x x 的两个实根，则βα+等于（ ） A 、3lg 5lg -- B 、3lg 5lg +C 、151D 、1584、设,3,21log ,)21(2133===c b a 则a,b,c 的大小关系为 （ ）A 、b<a<cB 、b<c<aC 、a<b<cD 、a<c<b5、函数x y 21log 2+=的反函数是 （ ）A 、)(22R x y x∈-= B 、)()21(2R x y x∈=-C 、)(22R x y x∈=- D 、)(2)21(R x y x ∈-=6、函数)134(log 231+-=x x y 的值域是（ ）A 、[-3，∞+]B 、RC 、（2,-∞-]D 、（9,∞-]二、填空题7、已知,2219.1lg ,4771.03lg ,3010.02lg -===x 则x=______________________.8、已知,632236z y x==则x 、y 、z 之间的关系是_________________________.9、=-++)347347(log 2_____________________________. 10、函数)](log [log log 313131x y =的定义域是_______________________________.三、解答题11、已知集合A={a,ab,)(log 2ab },B={0,|a|,b},且A=B,求实数a,b 的值.12、已知zya a a y a x log 11log 11,--==(a>0,且1≠a )，求证：xa a z log 11-=.13、已知0)](log [log log )](log [log log )](log [log log 551533132212===z y x ，比较实数x,y,z 之间的大小关系.14 、已知,03log 5log 221221<-+x x 求函数)4(log )8(log )(212x x x f ⋅=的值域.答 案 与 提 示[答案]一、1、B 2、C 3、D 4、A 5、C 6、C二、7、0.06 8、x=y=z=0,或z y x 21361=1+ 9、210、{393131|<<x x }三、11、a=-1,b=-1 12、z<x<y 13、 z<x<y 14、{43541|<≤-y y }[提示]一、3、51,31,5lg lg ,3lg lg ==-=-=βαβα. 6、29log ,99)2(1343122-=≤≥+-=+-y x x x二、7、-1.2219=-2+0.7781=-2+(0.3010+0.4771) 06.0lg 3lg 2lg 1001lg=++= 8、设,026>=t x则.lg 6lg 23lg 32lg 6t z y x ===若t=1,x=y=z=0； 若zt y t x t t 2lg 6lg .,3lg 3lg ,6lg 2lg ,1===≠. 由zy x t 213161,0lg ,6lg 3lg 2lg =+≠=+得 9、 )12271227(log )347347(log 22-++=-++ =2)]32()32[(log 2=-++ 或原式=216log 4849214log )347347(log 2222==-+=-++10、由313131********)31(31,1log 31,1)(log log 0,0)](log [log log ≤<<≤≤<≥x x x x三、11、由,0)(log ,0,.0,0),(log 22=∈∴=≠>ab A B A a ab ab }.|,|,0{},0,1,{,1b a B a A ab === ,11,1,1,1||,1=====∴∈ba b b a B 若或 与集合中元素的互异性矛盾，,1||=∴a 且.11,1-==-=ab a 12、由,log 1log 1,log 11log ,log 11yz z y ay a a a a za =--==-xa a a a a a a a y a a a a a a a z xz y y y x y x a x yy y z log 11log 11,log 11log .1log log log 111log 1,log 11log ,.log 1log log 11log --=-=∴-=--=--==-=-=由13、由)](log [log log )](log [log log )](log [log log 551533132212zy x ==.32.,25.5,3,2,0623610521053y x x z x z z y x =<=<∴=<===== 得 y x z y x <<∴<∴,14、由已知，得.3log 21,03log 5log 22222<<-<--x x x 6log 5log )2)(log 3(log )(22222+-=--=x x x x x f=)435,41[41)25(log 22-∈--x。