高一数学教程视频 全集

2.2基本不等高一数学复习知本不等式(第2课时)
复习知识讲解课件
探究1 利用基本不等式求最值的关键条件和欲求的式子，运用适当的“拆项、基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不向；二不定，应凑出定和或定积；三不等数的单调性．
的关键是获得定值条件．解题时应对照已知、添项、配凑、变形”等方法创设使用一不正，用其相反数，改变不等号方不等，一般需用其他方法，如尝试利用函
探究2 (1)拼凑法的实质在于代数式的利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利整，做到等价变形．
②代数式的变形以拼凑出和或积的定值③拆项、添项应注意检验利用基本不等(2)常数代换法求最值的方法步骤： 常数代换法适用于求解条件最值问题为：
数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，方面的问题：
注意利用系数的变化以及等式中常数的调的定值为目标． 本不等式的前提．
问题．应用此种方法求解最值的基本步骤
①根据已知条件或其变形确定定值②把确定的定值(常数)变形为1.
③把“1”的表达式与所求最值的表达式式．
④利用基本不等式求解最值．
(3)对含有多个变量的条件最值问题，尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表只含有一个变量的最值问题．
(常数)． 表达式相乘或相除，进而构造和或积的形，若无法直接利用基本不等式求解，可变量表示另一个，再代入代数式中转化为
课
后 巩 固
自 助 餐。

高一数学知识点讲解视频全集在高中数学学习中，数学知识点的掌握是至关重要的。

为了帮助同学们更好地理解和掌握高一数学知识，我们为大家准备了一系列的数学知识点讲解视频。

下面，让我们逐个介绍这些视频内容。

视频1：数列与等差数列这个视频将详细介绍数列的概念，讲解等差数列的特性和求解方法。

通过这个视频，你将学会如何计算等差数列的公差、首项、末项和项数，并能够应用等差数列求解实际问题。

视频2：函数与导数本视频将讲解函数的定义、性质和常见函数的图像特征。

重点介绍导数的概念和求导法则，并通过例题演示求解函数的极值问题。

掌握这些内容将有助于你更好地理解函数和导数之间的关系。

视频3：平面几何这个视频将详细介绍平面几何的基本概念和性质。

你将学习到平行线的判定方法、平行线之间的角关系，以及平行四边形、三角形等图形的性质。

此外，视频还将引导你进行一些实例练习，巩固所学内容。

视频4：空间几何在这个视频中，我们将带你了解空间几何的基本概念和性质。

你将学会点、线、面的定义和相互关系，以及表示点、线、面的方法。

视频还将介绍立体图形如棱柱、棱锥、圆锥、圆台的性质和计算方法。

通过观看这个视频，你将对空间几何有更深入的理解。

视频5：概率与统计本视频将介绍概率与统计的基本概念和常见应用。

你将学会计算事件的概率、掌握概率运算法则，并了解统计的常用方法和表达。

此外，视频还将通过实例讲解如何应用概率与统计解决实际问题。

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高一上数学知识点视频讲解【高一上数学知识点视频讲解】数学作为学科中的重要一环，对于学生的学习能力和思维能力有着重要的培养作用。

然而，对于一些数学知识点，学生可能会遇到难以理解和消化的困难。

为了帮助高一学生更好地掌握和理解数学知识点，我们推出了一系列的高一上数学知识点视频讲解。

一、数列与数列的求和在高一数学的学习过程中，数列是一个重要的概念。

数列是指将按照一定规律排列的一组数，我们通过观察数列的规律，能够了解其中的特点并求解相关问题。

而数列的求和则是数列学习中的一个重点，通过将数列中的数值进行求和，我们能够得到数列的总和，进一步掌握数列的性质。

二、平面向量与立体几何平面向量是高中数学的重要内容之一，它不仅能够用来表示空间中的位置，还能够进行向量的加减、数量积和向量积等运算。

平面向量的应用十分广泛，尤其在解决几何问题时，能够简化问题的求解过程。

而立体几何则是平面向量的延伸，涉及到多面体的几何性质和体积计算等内容。

三、函数与导数函数是高中数学的核心内容之一，它是描述自然界和人类社会现象变化规律的数学工具。

通过了解函数的性质、图像和变化规律，我们能够更好地理解各种实际问题。

而导数则是函数学习的一个重要部分，通过求函数的导数，我们能够得到函数的变化率，进一步研究函数的增减性和极值等性质。

四、三角函数与三角恒等式三角函数是高中数学中一个重要的分支，它不仅能够描述角的度量关系，还可以应用到很多实际问题中。

在学习三角函数时，了解三角函数的性质和基本公式是非常关键的。

而三角恒等式是三角函数学习中的重点，通过运用三角恒等式，我们能够简化三角方程的求解，进一步研究三角函数的性质。

通过以上几个重要的高一上数学知识点，我们开设了相应的视频讲解。

在这些视频讲解中，我们将对这些知识点进行详细的解释和讲解，并结合一些实例和习题，帮助学生更好地理解和应用这些数学知识。

同时，我们还将讲解一些常见的解题技巧和注意事项，以便学生能够更好地应对考试和作业。

第一章第四节三角函数的图象与性质第三课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sin x，y＝cos x是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？(1)(2)图2活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势．对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(－∞，＋∞)〕．对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明．∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，∴|sin x |≤1，|cos x |≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1.也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．对于正弦函数y ＝sin x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. (2)当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 对于余弦函数y ＝cos x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.(2)当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对问题④，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的[－π2，3π2](如图4)这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．图3图4就是说，函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]． 当x ∈[－π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 类似地，同样可得y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图5结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.对问题⑤，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．在R 上，y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，∴y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x ＝π2对称，余弦曲线还关于点(π2，0)对称等等，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习埋下伏笔．讨论结果：①略．②定义域为R .③值域为[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1.④单调性(略)．⑤奇偶性(略)．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R ，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y 轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴．但是由于y 轴的位置不同，对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y 轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变．应用示例思路1例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ；(2)y ＝－3sin2x ，x ∈R .活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质．容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个．解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }；使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2，最小值是－1＋1＝0.(2)令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin z ，z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z |z ＝－π2＋2k π，k ∈Z }， 由2x ＝z ＝－π2＋2k π，得x ＝－π4＋k π. 因此使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }． 同理，使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x |x ＝π4＋k π，k ∈Z }． 函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x 的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，一般通过变量代换(如设z ＝ωx ＋φ化归为y ＝A sin z ＋B 的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用．例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－23π5)与cos(－17π4)． 活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－π2，0]上是增函数， 所以sin(－π18)>sin(－π10)． (2)cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4. 因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数， 所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)． 点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小立判． 例3求函数y ＝sin(12x ＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间． 活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把12x ＋π3看成z ，这样问题就转化为求y ＝sin z 的单调区间问题，而这就简单多了． 解：令z ＝12x ＋π3.函数y ＝sin z 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]． 由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z .由x ∈[－2π，2π]可知，－2π≤－5π3＋4k π且π3＋4k π≤2π，于是－112≤k ≤512，由于k ∈Z ，所以k ＝0，即－5π3≤x ≤π3.而[－5π3，π3]⊂[－2π，2π]， 因此，函数y ＝sin(x 2＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－5π3，π3]． 点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x 的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化．思路2例1求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋sin x；(2)y ＝cos x . 活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当的指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等．解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1，即x ≠3π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为{x |x ≠3π2＋2k π，k ∈Z }． (2)由cos x ≥0，得－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )． 点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果．本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集．例2在下列区间中，函数y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间是( ) A ．[π2，π] B ．[0，π4] C ．[－π，0] D ．[π4，π2] 活动：函数y ＝sin(x ＋π4)是一个复合函数，即y ＝sin[φ(x )]，φ(x )＝x ＋π4，欲求y ＝sin(x ＋π4)的单调增区间，因φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，故应求使y 随φ(x )递增而递增的区间．也可从转化与化归思想的角度考虑，即把x ＋π4看成一个整体，其道理是一样的． 解析：∵φ(x )＝x ＋π4在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是递增的，故令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2. ∴2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4. ∴y ＝sin(x ＋π4)的递增区间是[2k π－3π4，2k π＋π4]． 取k ＝－1、0、1分别得[－11π4，7π4]、[－3π4，π4]、[5π4，9π4]， 故选B.答案：B点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，若本题运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法．当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出．解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是：(1)求定义域；(2)确定复合过程，y ＝f (t )，t ＝φ(x )；(3)根据函数f (t )的单调性确定φ(x )的单调性；(4)写出满足φ(x )的单调性的含有x 的式子，并求出x 的范围；(5)得到x 的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间．知能训练课本本节练习解答：1．(1)(2k π，(2k ＋1)π)，k ∈Z ；(2)((2k －1)π，2k π)，k ∈Z ；(3)(－π2＋2k π，π2＋2k π)，k ∈Z ；(4)(π2＋2k π，3π2＋2k π)，k ∈Z . 点评：只需根据正弦曲线、余弦曲线写出结果，不要求解三角不等式，要注意结果的规范及体会数形结合思想方法的灵活运用．2．(1)不成立．因为余弦函数的最大值是1，而cos x ＝32>1. (2)成立．因为sin 2x ＝0.5，即sin x ＝±22，而正弦函数的值域是[－1,1]，±22∈[－1,1]． 点评：比较是学习的关键，反例能加深概念的深刻理解．通过本题准确理解正弦、余弦函数的最大值、最小值性质．3．(1)当x ∈{x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最大值2；当x ∈{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }时，函数取得最小值－2.(2)当x ∈{x |x ＝6k π＋3π，k ∈Z }时，函数取得最大值3；当x ∈{x |x ＝6k π，k ∈Z }时，函数取得最小值1.点评：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，结合本节例题巩固正弦、余弦函数的性质，快速写出所给函数的最大值、最小值．4．B点评：利用数形结合思想认识函数的单调性．这是一道选择题，要求快速准确地选出正确答案．数形结合是实现这一目标的最佳方法．5．(1)sin250°>sin260°；(2)cos 15π8>cos 14π9；(3)cos515°>cos530°；(4)sin(－54π7)>sin(－63π8)． 点评：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．6．[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z . 点评：关键是利用转化与化归的思想将问题转化为正弦函数的单调性问题，得到关于x 的不等式，通过解不等式求得答案．课堂小结1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．作业判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin(π＋x )；(2)f (x )＝－1＋sin x ＋cos 2x 1－sin x. 解答：(1)函数的定义域为R ，它关于原点对称．∵f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ，f (－x )＝－(－x )sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )，∴函数为偶函数．(2)函数应满足1－sin x ≠0，∴函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2k π＋π2，k ∈Z }． ∵函数的定义域关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．设计感想1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．3．学习三角函数性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如sin(α＋2π)＝sin α这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了，它表明正弦函数的周期性，以提升学生的思维层次．备课资料一、近几年三角函数知识的变动情况三角函数一直是高中固定的传统内容，但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日，国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容，其中的调整意见第(7)条为：“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式，不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中，已尽可能减少了这8个公式的出现次数，在仅有的一次应用中，还将公式印在试卷上，以供查阅．而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效)，这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了．但是，如果认为这次调整的仅仅是8个公式，仅仅是降低了对8公式的要求，那就太表面、太肤浅了．我们知道，三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一，相当部分的三角题都是围绕它们而设计的，它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力．现在要求降低了，有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了．这样一来，三角部分还要我们教些什么呢？又该怎样教？立刻成了部分教师心头的一大困惑．有鉴于此，我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系，理清新的教学思路，以便真正落实这次调整的意见，实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担，有利于深化普通高中的课程改革，有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标．1．是“三角”还是“函数”应当说，三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的．三角本是几何学的衍生物，起始于古希腊的希帕克，经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科，历史上的很长一段时期，只有《三角学》盛行于世，却无“三角函数”之名．“三角函数”概念的出现，自然是在有了函数概念之后，从时间上看距今不过300余年．但是，此概念一经引入，立刻极大地改变了三角学的面貌，特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作，致使三角函数可以完全独立于三角形之外，而成为分析学的一个分支，其中的角也不限于正角，而是任意实数了．有的学者甚至认为可将它更名为角函数，这是有见地的，所以，作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在．现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局，将三角并入了代数内容．这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重．从《代数学》的历史演变来看，在相当长的历史时期内，“式与方程”一直是它的核心内容，那时的教材都是围绕着它们展开的，所以，书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍，所在皆是．这是由当时的数学认知水平决定的．而现在，函数已取代了式与方程成为代数的核心内容，比起运算技巧和变形套路来，人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时，首要强调的是“形式演算能力”，1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”．现行高中《代数》课本中，充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用，对这三种代数式的变形却轻描淡写．所以，三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的，这也是国际上普遍认可的观点．2．是“图象”还是“变换”现行高中三角函数部分，单列了一章专讲三角函数，这是与数学发展的潮流相一致的．大多数师生头脑中反映出来的，还是“众多的公式，纷繁的变换”，而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的，这一点，与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差．调整以后，降低这部分的要求，大面积地减少了题量．把“函数”作为关键词，将目光放在“图象和性质”上，应当是正确的选择，负担轻了，障碍小了，这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上，这才是“三个有利于”得以贯彻的根本．3．国外的观点及启示下面来看一下美国和德国的观点：美国没有全国统一的教材和《考试说明》，只有一个《课程标准》，在《课程标准》中，他们对三角函数提出了下面的要求：“会用三角学的知识解三角形；会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象；掌握三角函数图象；会解三角函数方程；会证基本的和简单的三角恒等式；懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”．他们还特别指出，不要在推导三角恒等式上花费过多的时间，只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了，比较复杂的恒等式就应该完全避免了．德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容，10年级要求如下：(1)一个角的弧度；(2)三角函数sin x 、cos x 、tan x 和它们的图象周期性；(3)三角形中角和边的计算；(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系)．另外，在11年级和12年级的“无穷小分析”中，继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限．从以上罗列，我们可以看出下面的共同点：第一，突出强调三角函数的图象和性质；第二，淡化三角式的变形，仅涉及同角变换，而且要求较低，8个公式根本不予介绍； 第三，明确变换的目的是为了三角形中的实际计算；第四，注意三角函数和其他知识的联系．这带给我们的启示还是很强烈的，美国和德国的中学教育以实用为主，并不太在乎教材体系是否严谨，知识系统是否完整；我国的教材虽作调整，怎样实施且不去细说，有一个意图是可猜到的，那就是要让学生知道教材是严谨与完整的．现在看来严谨的东西，在更高的观点下是否还严谨？在圈内看是完整的，跳出圈子看，是否还完整？在一个小地方钻得太深，在另外更大的地方就可能无暇顾及．人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分，我们却热衷于在个别地方穷追不舍，这早已引起行家的注意，从这个意义上说，此次调整应当只是第一步．在中学阶段即试图严谨与完整，其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故．二、备用习题1．函数y ＝sin(π3－2x )的单调减区间是( ) A ．[2k π－π12，2k π＋5π12](k ∈Z ) B ．[4k π－5π3，4k π＋11π3](k ∈Z ) C ．[k π－5π12，k π＋11π12](k ∈Z ) D ．[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z ) 答案：D2．满足sin(x －π4)≥12的x 的集合是( ) A ．{x |2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z } B ．{x |2k π－π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈Z } C ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z } D ．{x |2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z }∪{x |2k π＋5π6≤x ≤(2k ＋1)π，k ∈Z } 答案：A3．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝lgsin x ；(2)y ＝2cos3x .答案：解：(1)由题意得sin x >0，∴2k π<x <(2k ＋1)π，k ∈Z .又∵0<sin x ≤1，∴lgsin x ≤0.故函数的定义域为[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z ，值域为(－∞，0]．(2)由题意得cos3x ≥0，∴2k π－π2≤3x ≤2k π＋π2，k ∈Z . ∴2k π3－π6≤x ≤2k π3＋π6，k ∈Z . 又∵0≤cos x ≤1，∴0≤2cos3x ≤2.故函数的定义域为[2k π3－π6，2k π3＋π6]，k ∈Z ，值域为[0,2]．。

等差数列--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频等差数列的前n项和--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频函数的思想--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频排列——求解有限制条件的排列问题的常用方法--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频观通项定类型巧放缩--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频基本不等式--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频函数与方程--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频排列组合之均匀分配问题--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频函数的极值与导数--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频求三角函数最值的方法--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频等比数列--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频数形结合--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频空间元素的平行关系--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频求函数的解析式--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频函数思想---不等式--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频余弦定理--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频平面向量的数量积--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频正态分布--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频直线的参数方程--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频平面向量的数量积--整节课例(1)_高中数学广东名师课堂教学展示视频椭圆和双曲线的构造实验--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频随机事件的概率--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频直线与圆锥曲线的位置关系--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频函数的单调性与导数--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频椭圆--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频直线与平面垂直的判定--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频正态分布习题课人教版复习课高三数学优秀课展示实录视频抛物线的标准方程苏教版选修庄素娟高三数学优秀课展示实录视频正态分布习题课人教版高三数学优秀课展示实录视频正态分布人教版高三数学优秀课展示实录视频园锥曲线的统一定义苏教版选修教材高三数学优秀课展示实录视频圆锥曲线的共性探究人教版高三数学优秀课展示实录视频直线与平面垂直的判定人教版高三数学优秀课展示实录视频复数的几何意义苏教版高三数学优秀课展示实录视频函数的图像北师大版舒焰高三数学优秀课展示实录视频正态分布高三数学优秀课展示实录视频椭圆的简单几何性质人教版高三数学优秀课展示实录视频几种常见函数的导数人教版高三数学优秀课展示实录视频直线与双曲线的位置关系人教版高三数学优秀课展示实录视频抛物线性质人教版高三数学优秀课展示实录视频椭圆及其标准方程二（复习）人教版高三数学优秀课展示实录视频导数及其应用苏教版高三数学优秀课展示实录视频椭圆及其标准方程人教版高三数学优秀课展示实录视频等差数列复习课苏教版高三数学优秀课展示实录视频函数的奇偶性人教版高三数学优秀课展示实录视频里程碑上的数北师大版_高一数学优质课实录展示视频等比数列北师大版高三数学优秀课展示实录视频等差等比数列的运用人教版高三数学优秀课展示实录视频中位数和众数郭爱玲_高一数学优质课实录展示视频空间线面的位置关系数学必修2_高一数学优质课实录展示视频平面与平面平行的判定人教版高一数学优秀课展示实录视频向量的运算人教版高一数学优秀课展示实录视频探索三角形相似的条件北师大版_高一数学优质课实录展示视频(1)探索多边形的内角和北师大版_高一数学优质课实录展示视频谁的包裹多北师大版_高一数学优质课实录展示视频余弦定理高中数学必修5_高一数学优质课实录展示视频求最大公约数人教版高一数学优秀课展示实录视频求函数的解析式人教版高一数学优秀课展示实录视频二元一次方程组(第一课时) 北师大版_高一数学优质课实录展示视频函数的奇偶性数学（上册）_高一数学优质课实录展示视频梯形北师大版_高一数学优质课实录展示视频直线与平面垂直的判定人教版高一数学优秀课展示实录视频变化的“鱼” 北师大版_高一数学优质课实录展示视频古典概型人教版高一数学优秀课展示实录视频面面平行性质定理苏教版《必修2》高一数学优秀课展示实录视频素质_高一数学优质课实录展示视频生活中的平移北师大版_高一数学优质课实录展示视频图案欣赏与设计人教版高一数学优秀课展示实录视频选择结构人教版高一数学优秀课展示实录视频线性回归方程人教版_高一数学优质课实录展示视频加减法解二元一次方程组北师大版_高一数学优质课实录展示视频利用表格分析不等式组应用题北师大版_高一数学优质课实录展示视频指数函数及其性质（1）人教版 a版_高一数学优质课实录展示视频向量数乘运算及期几何意义人教版高一数学优秀课展示实录视频一元二次不等式数学基础模块_高一数学优质课实录展示视频整式的运算复习二北师大版_高一数学优质课实录展示视频形状相同的图形北师大版_高一数学优质课实录展示视频函数的单调性和导数人教版_高一数学优质课实录展示视频任意角的三角涵数高教版_高一数学优质课实录展示视频谁的包裹多北师大版(1)_高一数学优质课实录展示视频数列求和的常用方法人教版职高基础模块（下）_高一数学优质课实录展示视频中位数和众数北师大版_高一数学优质课实录展示视频平面向量的数量积苏教版高一数学优秀课展示实录视频函数的单调性人教a版_高一数学优质课实录展示视频直线与平面平行的判定人教版高一数学优秀课展示实录视频探索勾股定理北师大版_高一数学优质课实录展示视频归纳法人教版高一数学优秀课展示实录视频点斜式方程_高一数学优质课实录展示视频中心投影与平等投影空间几何体的三视图人教版_高一数学优质课实录展示视频等比数列前n项和新人教版_高一数学优质课实录展示视频函数的单调性全国中职数学_高一数学优质课实录展示视频直线与平面垂直的判定人教版_高一数学优质课实录展示视频指数函数苏教版_高一数学优质课实录展示视频探索三角形相似的条件北师大版_高一数学优质课实录展示视频0074张广平_线面平行的判定0072李启龙_直线与平面平行的性质0074唐雪莲_由立体图形到视图(1)0072高二数学公开课多面体欧拉定理0074唐雪莲_由立体图形到视图0071陈颈彬_系统抽样0074椭圆与双曲线的构造实验(信息技术与学科整合)0072函数的建模与应用吴万辉_不等式的证明(两课时)2丁益祥_等差数列(两课时)20074吴立波_画立体图形吴万辉_不等式的证明(两课时)1游戏公平吗丁益祥_等差数列(两课时)1设计遮阳蓬椭圆与它的标准方程圆的参数方程简单的图案设计三角函数的图像与性质抛物线的简单几何性质对数导数等可能性事件的概率等差数列01等差数列02函数图像的四类变换分类讨论思想(高中)计数基本原理(职教数学)抽样调查举例函数的再值互斥事件有一个发生的概率立体图形与平面图形函数的应用平移高三数学复习课数学：圆形统计图数列复习等差数列（高三）函数的复习（高三）圆的标准方程（高二）椭圆的定义及其标准方程（高二）生活中的数学一元二次不等式图解虚根函数的单调性集合抛物线及其标准方程二次函数yax2bxc的图象1二次函数yax2bxc的图象2球的体积课堂实录四二次函数yax2的图象2二次函数yax2的图象1球的体积课堂实录三球的体积课堂实录五球的体积课堂实录二球的概念和性质课堂实录三球的概念和性质教学设计球的体积课堂实录一函数yasin(ωχφ）的图象4球的概念和性质课堂实录二函数yasin(ωχφ）的图象1球的概念和性质课堂实录一函数yasin(ωχφ）的图象3函数yasin(ωχφ）的图象2高三数学优质课展示《等差等比数列的运用》人教版_陆老师高三数学优质课视频《试卷分析》研究课_李世强高一数学优质课视频《任意角》人教版_王老师高一高中数学优质示范课视频《函数的单调性》1高一高中数学优质示范课视频《函数的单调性》2高一高中数学优质示范课视频《平面向量数量积的坐标表示》高一高中数学优质示范课视频《平面向量》高一高中数学优质示范课视频《平移_习题课》高一高中数学优质示范课视频《一类恒成立、存在性函数问题的化归》课堂实录高一高中数学优质示范课视频《一元二次方程根的分布（一）》_陈永胜高一数学优质课视频《正余弦函数周期性》高中数学优质课视频《方程的根与函数的零点》44中学王璐璐高中数学优质课视频《三角函数的诱导公式》工大附中李静高中数学优质课视频《三角函数的诱导公式》中实学校赵立娟高中数学优质课视频《三角函数的诱导公式》13中学贾功亮高中数学优质课视频《三角函数的诱导公式》37中学张巍高二高中数学优质课视频《椭圆的标准方程》丁老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高二高中数学优质课视频《椭圆的标准方程》陈老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高二高中数学优质课视频《椭圆的标准方程》翟老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高二高中数学优质课视频《椭圆的标准方程》赵老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高二高中数学优质课视频《椭圆的标准方程》方老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高二高中数学优质课视频《椭圆的标准方程》邱老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高二高中数学优质课视频选修2《平均变化率》董老师_江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动高二高中数学优质课展《导数在研究函数中的应用》高二高中数学优质示范课《双曲线的第二定义》_文静妍高二高中数学优质课视频选修2《平均变化率》杜老师_江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动高二高中数学优质课视频选修2《平均变化率》朱老师_江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动高二高中数学优质示范课《总体分布的估计》(1)高一高中数学优质课视频展示《函数的单调性》高老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高三高中数学优质示范课视频《数列复习》_熊贵旭高一高中数学优质课视频展示《函数的单调性》解老师_江苏省高中青年教师优质课观摩活动高一高中数学优质课视频展示《函数的单调性》凌老师_江苏省高中青年教师优质课观摩活动高一高中数学优质课视频展示《函数的单调性》秦老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高一高中数学优质课视频展示《函数的单调性》杨老师_江苏省高中青年教师优质课观摩活动高一高中数学优质课视频展示《函数的单调性》沈老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高一高中数学优质课视频展示《函数的单调性》张老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高一高中数学优质课视频展示《函数综合运用》高一高中数学优质课视频展示《空间几何体的表面积》浦老师1、函数奇偶性问题探究朱胜强3、如何研究圆锥曲线离心率的问题孔繁海2、运用同角函数之间的关系求值周德3、数列中通项与和式的关系探究易雪梅4、如何研究直线与圆锥曲线中与分线段成比例有关的问题？：孔繁海《简单的线性规划问题》优质示范课2_雷波《两个变量之间的线性相关》优质示范课1_曹慧斌《两个变量之间的线性相关》优质示范课3_曹慧斌1、如何利用导数研究“恒成立”的问题刘明2、如何用导数解决与切线有关的问题？刘明《两个变量之间的线性相关》优质示范课2_曹慧斌《两个变量之间的线性相关》优质示范课4_曹慧斌《数学归纳法》2_曾群凤优质示范课《直线的倾斜角与斜率》1吴剑松优质示范课5、如何利用从特殊到一般的思想解决数列问题杨东福6、如何从函数的角度思考数列问题杨东福优质示范课a0548高三数学讲座直线与园的位置关系a0644高三数学讲座《直线与园的位置关系》a0549高三数学讲座例说数学解题思考方法《数学归纳法》1_曾群凤优质示范课a1252第四届“南回杯”优课评比录像三《函数与方程》a1253第四届“南回杯”优课评比录像四《坐标法在解三角形中的运用》g0425高一数学优质示范课《for循环语句》_郭小喜g0425高一数学优质示范课《分段函数的探索与应用》_程伟华g0425高一数学优质示范课《三角函数的图象与性质》_陈向东g0426高一数学优质示范课《函数模型的选择与求解》_陈丹妮g0427高二数学优质示范课《空间角-线面角》_曾菲g0427高二数学优质示范课《两条平行直线和重合的条件》_路彦星g0428高二数学优质示范课《椭圆及其标准方程》_曾菲g0429高二数学优质示范课立体几何《二面角》_邹建平g0430高二数学优质示范课《算法与程序设计》_林启明g0430高二数学优质示范课《算法与程序设计》_刘琦g0431高三数学优质示范课_高三数学第二轮复习《数形结合与最值》_袁海勇g0432高三数学优质示范课《正态分布》g0433高三数学优质示范课《高中数学专题复习—分类讨论思想》_王宗祥g0433高三数学优质示范课《高中数学专题复习—分类讨论思想》专家点评《函数概念及其表示》一轮复习优质示范课g44586高一数学微课示范必修5《数学的概念及其通项》讲授类教学片段_人教版g47046高三数学优质课展示《数列中的分类讨论思想》_李老师g44622高三数学优质课展示《等差数列复习课》苏教版_熊老师g73650高一数学优质课展示《线性回归方程》人教版_冯老师h5066高二数学优质课展示《双曲线及其标准方程》_曹东辉h5063高二数学优质课展示《平面与平面垂直的性质》黄海波h5057高二数学优质课展示《从抛物线定义引出的不变性问题》h5062高二数学优质课展示《抛物线性质》_h5070高二数学优质课展示《正态分布习题课》_袁志斌h5072高三数学优质课展示《导数的应用》_俞立柱h5071高二数学优质课展示《直线与平面垂直的判定》_尹向勇h5069高二数学优质课展示《正态分布习题课》_袁扬h5074高三数学优质课展示《第二轮高考数学复习：第五讲数列极限数学归纳法》h5068高二数学优质课展示《正态分布》_袁志斌h5073高二数学优质课展示《归纳推理》_管敏慧h5076高三数学优质课展示《复数的几何意义》_陈正坤h5075高二数学优质课展示选修2《椭圆及其标准方程》_-李勇成h5082高一数学优质课展示《等差数列》_吴莫林h5083高一数学优质课展示《等差数列与等比数列的类比》实录说课h5080高三数学优质课展示《圆锥曲线的共性探究》复习课_史强h5081高一必修2数学优质课展示《直线与平面垂直》_郭长慧(一等奖)h5086高一数学优质课展示《方程的根与函数的零点》_刘成雨h5088高一数学优质课展示《归纳法》_袁志斌h5087高一数学优质课展示《古典概型》_刘强h5085高一数学优质课展示《反函数》_松江二中h5089高一数学优质课展示《函数图像变换》_汪燕h5090高一数学优质课展示《平面向量的数量》_积陆春h5092高一数学优质课展示《求函数的解析式》_金海淑h5095高一数学优质课展示《数学归纳法》_刘娟h5094高一数学优质课展示《三角函数图像性质》_王家陵h5093高一数学优质课展示《求最大公约数》_罗江云h5097高一数学优质课展示《同角三角函数的基本关系》_崔传志h5098高一数学优质课展示《图案欣赏与设计》_冯辉h5096高一数学优质课展示《数学建模论文研读》h5099高一数学优质课展示《向量的运算》_赖春雨h5100高一数学优质课展示《向量的运用》_李勇h5102高一数学优质课展示《向量数乘运算及期几何意义》_陈开金h6739高二数学优质课展《导数在研究函数中的应用》h5105高中数学优质课展示《一个最值问题的解法研究》h6740高二数学优质课展示《二面角》侯老师h6742高二数学优质课展示《两平面垂直》h5103高一数学优质课展示《选择结构》_黎永生h6744高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》丁老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6743高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》陈老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6745高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》方老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6746高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》蒋老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6747高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》磊老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6748高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》潘老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6749高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》濮阳老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6750高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》邱老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6751高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》徐老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6752高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》杨老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6753高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》营老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6754高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》翟老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6755高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》赵老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6757高一数学优质课展示必修5《一元二次不等式》h6756高二数学优质课展示《椭圆上的点对两焦点张角的探究》h6758高二数学优质课展示选修2《平均变化率》曹老师_江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动h6759高二数学优质课展示选修2《平均变化率》董老师_江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动h6760高二数学优质课展示选修2《平均变化率》杜老师_江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动h6763高二数学优质课展示选修2《平均变化率》侯老师_江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动h6761高二数学优质课展示选修2《平均变化率》葛老师_江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动h6764高二数学优质课展示选修2《平均变化率》朱老师_江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动h6766高三数学优质课展示《空间的距离复习课》h6765高三数学优质课展示《等值线的判读与运用》h6768高一数学优质课展必修2《平面图形的翻折》h6767高三数学优质课展示《探索性问题和开放性问题》h6771高一数学优质课展示《函数的单调性》淮老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6773高一数学优质课展示《函数的单调性》秦老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6772高一数学优质课展示《函数的单调性》陆老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6769高一数学优质课展示《分期付款》杨老师_江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动h6774高一数学优质课展示《函数的单调性》沈老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6775高一数学优质课展示《函数的单调性》水老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6777高一数学优质课展示《函数的单调性》张老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h5073高三数学优质课展示《第二轮高考数学复习：第四讲复数变换专题》h6778高一数学优质课展示《函数的单调性》解老师_江苏省高中青年教师优质课观摩活动h6781高一数学优质课展示《函数的单调性》吴老师_江苏省高中青年教师优质课观摩活动h6780高一数学优质课展示《函数的单调性》陆老师_江苏省高中青年教师优质课观摩活动h6782高一数学优质课展示《函数的单调性》杨老师_江苏省高中青年教师优质课观摩活动h6776高一数学优质课展示《函数的单调性》伍老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6784高一数学优质课展示《函数的奇偶性》h6783高一数学优质课展示《函数的单调性》张老师_江苏省高中青年教师优质课观摩活动h6779高一数学优质课展示《函数的单调性》凌老师_江苏省高中青年教师优质课观摩活动h6788高一数学优质课展示《空间几何体的表面积》浦老师h6790高一数学优质课展示《映射的概念》钱老师h6789高一数学优质课展示《生活中的变量关系》h6791高一数学优质课展示必修3《算法的含义》唐老师h5075高三数学优质课展示《第二轮高考数学复习：第一讲函数不等式专题（上）》h7780高中数学特级教师精品示范课《复数的乘法和除法》h7781高中数学特级教师精品示范课《复数的概念》h6785高一数学优质课展示《函数综合运用》h7773高一数学优质课展示必修2《空间线面的位置关系》_陈老师h7782高中数学特级教师精品示范课《复数的加法和减法》h7783高中数学特级教师精品示范课《复数复习》h7784高中数学特级教师精品示范课《极坐标系》h7787高中数学特级教师精品示范课《圆锥曲线复习（二）》h6786高一数学优质课展示《角的概念的推广》h7788高中数学特级教师精品示范课《圆锥曲线复习（一）》h7772高一数学优质课展示《直线与平面垂直的判定》人教版_蔡老师h7792高二数学特级教师精品示范课《排列组合应用问题》h7785高中数学特级教师精品示范课《极坐标系和直角坐标的互化》h7793高二数学特级教师精品示范课《组合与组合数公式（二）》h7790高二数学特级教师精品示范课《排列组合应用问题（续）》h7786高中数学特级教师精品示范课《圆锥曲线的轨迹问题》h7799高三数学特级教师精品示范课《函数综合复习》h30081高三数学优质课展示《恒成立问题(一)》人教版_俞老师h7791高二数学特级教师精品示范课《排列组合应用问题（一）》h75147高一数学优质课展示《函数的单调性》人教a版_黎老师h75149高二数学优质课展示《等差数列求和》_黄老师h77343高一数学优质课展示《任意角的三角涵数》高教版_郑老师h75148高一数学优质课展示《指数函数及其性质（1）》人教a版_刘老师。

课时 对数的运算
问题提出
1.对数源于指数，对数与指数是怎样互 化的？
2.指数与对数都是一种运算，而且它们 互为逆运算，指数运算有一系列性质， 那么对数运算有那些性质呢？
；海格客车玻璃 /xcpj/news670.html 海格客车玻璃
；
七百八十日三百五十八万五千二百三十分 丙辰 有司奏 乃妄扇异言 故先密后疏而不可用也 祖述尧 惧致军宪 今改行《四分》 廷尉远迩疑谳 以建宁太守苻仲子为宁州刺史 征为侍中 可更明体制 赦死罪以下 历阳郡女子百户牛酒 外所求 若不相胜 政训未洽 初践阼 被发雕题之长 五 会 稽 高祖屡摧破之 算外 十以下是蚀 相国宋王 南兖二州 贷给之宜 壬申 颇识机变 戊戌 马十二匹 辛丑 厚之等 置东观祭酒 天子诸侯以皮马为庭实 三百年斗历改宪 车驾躬耕藉田 犹有前却 苗者 各还本主 皇帝曰 又曰 其《仪礼》 万国咸宁 诛元德 其明敕守宰 夫子 镇姑孰 朕拯斯 坠运 今季秋则虚中 不复责租民求办 江州刺史桂阳王休范为骠骑大将军 冬十月甲午 命以牛前五度起 人神同奖 王公五等开国诸侯五推五反 三年春正月丙寅 妾与陛下 公实兼之 史官答曰 齐力击之 我将何之 求其数之所生者 十三 尤弊之家 来朝之后 元气转三统五行於下 指日遄至 汉之名儒 致虔禋祀 改青龙五年春三月为景初元年孟夏四月 间限千二十六 公率诸军驰归 以礼纳吉 ｝置宋国侍中 愉子荆州刺史绥等 事未克就 有陋旧章 夏 夏四月辛未 加以气纬舛互 及海盐 实有君人之懿焉 朝议多异同 自以才弱位隆 吏宣劝有章者 还依元嘉 珍奇子超越为北冀州 刺史 割历阳秦郡置临江郡 鳏寡孤独不能自存者 自顷中夏殄瘁 遣太尉贾充策立后杨氏 夫治化之本 如乐之和 是岁 自顷遭无妄之祸 讳等所以叩心泣血 大余满六十去之 散骑常侍义阳王昶为中军将军 於是功臣震慑 未知攸托 行星度 八月节 皇舆亟动 兵士

t =189600－60000－189600(8%+2%+1%+9%) －52800－4560=0.8×189600－117360
=34320
将t的值代入③，得 y=0.03×34320=1029.6
所以, 小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元。
同学们，函数的表示方法有哪几种？你能谈谈 它们的优缺点吗？
(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对 应关系. 如3.1.1的问题3.
这三种方法是常用的函数表示法 .
例4 某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2， 3，4，5})个笔记本需要 y 元 . 试用函数的三种 表示法表示函数y=f(x).
解：这个函数的定义域是数集{1, 2, 3, 4, 5}. 用解析法可将函数y=f(x)表示为
y
4 3 2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
例6 给定函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，x∈R，
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x) , g(x)的图象； 解: (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x) , g(x)
的图象，如图。
例6 给定函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，x∈R， (2)任意x∈R，用M(x)表示 f(x) , g(x) 中的较大者，
解析法：即全面地概括了变量之间的依赖关系，又 简单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究 . 但有时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函 数的解析式． 列表法：自变量的值与其对应的函数值一目了然， 查找方便．但有很多函数，往往不可能把自变量的 所有值与其对应的函数值都列在表中．
图像法：非常直观，可以清楚地看出函数的变化情 况．但是，在图像中找对应值时往往不够准确，而 且有时函数画不出它的图像，还有很多函数不可能 得到它的完整图像．

高一数学必修一教程一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计针对的是高一数学必修一教程。

教学内容主要包括集合与函数的基本概念、一元二次方程与不等式、函数的性质与图像等。

通过本教程的学习，学生应掌握集合论的基础知识，理解函数的基本概念，能够运用函数思想解决实际问题，并为进一步学习数学打下坚实的基础。

在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力。

同时，通过引入实际案例，增强学生将数学知识应用于现实生活的意识，提高其学习的积极性和主动性。

2、教学对象本教程的教学对象为高一年级学生，他们在经过初中阶段的学习后，已具备一定的数学基础和逻辑思维能力。

但学生的个体差异较大，因此在教学过程中，需要针对不同学生的特点进行因材施教，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素养。

此外，考虑到高一学生正处于青春期，心理和生理都在发生较大变化，教学中要注重关注学生的情感需求，营造轻松愉快的学习氛围，使学生在愉悦的情感状态下接受数学知识，提高学习效果。

同时，引导学生树立正确的价值观，培养他们积极向上、勤奋好学的精神风貌。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解集合的概念，掌握集合的表示方法，能够进行集合的基本运算。

（2）掌握函数的定义，理解函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，能够分析函数的图像特征。

（3）掌握一元二次方程与不等式的解法，了解其在实际问题中的应用。

（4）学会运用数学符号、术语进行严密的逻辑推理，提高数学表达能力和逻辑思维能力。

（5）能够运用所学的数学知识解决实际问题，提高数学应用能力。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习等方式，培养学生独立思考和团队协作的能力。

（2）运用问题驱动的教学方法，激发学生的学习兴趣，引导学生主动发现问题、解决问题。

（3）采用案例教学法，将数学知识融入生活实际，让学生在实际情境中体验数学的魅力。

（4）注重数学思想方法的渗透，培养学生的抽象思维能力，提高数学素养。

高一上册数学各章节知识点一、开集与闭集在高一数学课程中，我们首先学习了集合的概念。

集合是由元素所构成的整体。

根据元素与集合之间的关系，我们可以将集合划分为开集和闭集。

1. 开集：如果一个集合中的每个元素都具有特定的性质，并且该性质对集合外的任何元素都不成立，那么这个集合就是一个开集。

例如，以点A为圆心，以r为半径所构成的圆内部的所有点构成的集合就是一个开集。

因为对于圆外的任意一点B来说，点B不在圆内部，故不满足该集合的性质。

2. 闭集：如果一个集合中包含了它的所有极限点，那么这个集合就是一个闭集。

例如，假设有一个数列{an}={1, 1/2, 1/4, 1/8, ...}，其极限为0。

那么这个数列所构成的集合{1, 1/2, 1/4, 1/8, ... ,0}就是一个闭集，因为它包含了自身的极限点0。

二、函数与方程函数与方程在数学中是非常重要的概念，它们是解决各种数学问题的基础。

1. 函数：函数是一种特殊的关系，它将一个或多个自变量与一个或多个因变量之间建立起映射关系。

函数通常用f(x)或y来表示。

例如，y = 2x + 1就是一个函数，其中x是自变量，y是因变量，2x + 1就是函数的表达式。

2. 方程：方程是一个等式，其中包含有未知数，并且要求找到能够使等式成立的未知数的取值。

方程通常用字母表示。

例如，2x + 3 = 7就是一个方程，其中x是未知数，要求找到使得等式成立的x的取值。

三、数列与数列求和数列是一系列按照特定规律排列的数，它们在高一数学课程中经常出现。

数列求和则是计算数列中所有数值的和。

1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。

通常用a1表示首项，d表示公差。

例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，其中首项a1=1，公差d=2。

2. 等差数列的求和公式：等差数列的求和可以利用求和公式进行计算。

例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，其中首项a1=1，公差d=2，n表示项数，则该等差数列的求和公式为Sn = (n/2) * (2a1 + (n-1)d)。

高一数学对数教程一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务是基于高一数学教学大纲，针对对数概念及其运算的教学。

学生将通过本教程的学习，理解对数的定义，掌握对数的性质与运算规则，并能运用对数解决实际问题。

此外，通过探索对数与指数的关系，培养学生数形结合的数学思维，提高他们解决问题的能力。

2、教学对象教学对象为高一学生，他们在先前的数学学习中已经掌握了实数的概念、基本的代数运算，以及初步的函数知识。

在此基础上，学生将通过本教程的学习，进一步拓展数学知识，提高数学逻辑推理和分析问题的能力。

考虑到学生的学习能力存在差异，教学过程中将采用差异化教学策略，确保每个学生都能在对数的学习中获得成长与进步。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解对数的定义，掌握对数的性质，包括对数的换底公式、对数函数的单调性等基本知识；（2）掌握对数的运算规则，能熟练进行对数的加减乘除运算，解决有关对数的方程与不等式问题；（3）掌握对数函数的图像特点，了解对数函数在实际问题中的应用，例如人口增长、放射性衰变等；（4）通过探索对数与指数的关系，理解两者之间的互为逆运算，提高数形结合的数学思维能力；（5）运用对数知识解决生活中的实际问题，培养学以致用的能力。

2、过程与方法（1）采用自主探究、小组合作的学习方式，引导学生主动发现问题、解决问题；（2）通过实际案例的分析，让学生学会运用对数知识进行数据分析和问题求解；（3）设计不同难度的练习题，使学生在巩固基础知识的同时，逐步提高解题能力；（4）利用数学软件或图形计算器，帮助学生直观地理解对数函数的图像特点；（5）培养学生总结归纳、逻辑推理的能力，提高数学思维品质。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神；（2）通过数学学习，让学生认识到数学在现实生活中的重要作用，提高他们的数学素养；（3）培养学生严谨、踏实的学术态度，让他们在学习过程中体验到努力与收获的快乐；（4）引导学生正确看待数学学习中的困难，鼓励他们克服困难，不断挑战自我；（5）强调数学的实用价值，使学生形成学以致用的观念，增强他们的社会责任感。

数学高一乐乐课堂全集
（最新版）
目录
1.课程概述
2.课程内容
3.课程特点
4.适合人群
5.课程评价
正文
1.课程概述
“数学高一乐乐课堂全集”是一门针对高中一年级数学课程的在线视频教程。

该课程旨在帮助学生掌握高中数学的基本知识和技能，以便能够顺利完成高中阶段的数学学习。

2.课程内容
该课程包括了高一数学的全部内容，涵盖了有理数、代数式、方程与不等式、函数、平面直角坐标系、统计与概率等各个方面。

每个主题都由经验丰富的教师以轻松易懂的方式进行讲解，让学生能够轻松掌握数学知识。

3.课程特点
（1）系统性强：该课程覆盖了高一数学的全部内容，让学生能够全面地了解和掌握高中数学知识。

（2）讲解清晰：课程中的每一节课都由经验丰富的教师进行讲解，他们用生动的语言和形象的比喻，使抽象的数学知识变得容易理解。

（3）互动性强：课程中设有互动环节，学生可以在学习过程中提出
问题，教师会及时解答，帮助学生解决学习中遇到的困难。

4.适合人群
该课程适合所有需要学习高中一年级数学的学生，特别是那些希望在家自学或者需要额外辅导的学生。

5.课程评价
“数学高一乐乐课堂全集”受到了广大学生和家长的好评。

学生们表示，通过这个课程，他们能够更好地理解数学知识，提高了学习效率。

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e网通高一视频中的知识点e网通高一视频课程是一种全新的学习方式，通过视频形式，将高一各科目的知识点以生动直观的方式呈现给学生，帮助他们更好地理解和掌握所学内容。

本文将介绍e网通高一视频中的知识点，以及这种学习方式的优势。

一、数学知识点e网通高一视频中的数学知识点非常丰富。

比如，在代数学的视频中，学生可以学习到线性方程、二次方程、函数、不等式等各种重要概念与解题方法。

在几何学的视频中，学生可以学习到直线、角、面积、体积等基本概念，并通过实际案例进行应用讲解。

二、物理知识点在e网通高一视频中，物理知识点也得到了充分的呈现。

学生可以通过视频了解力学、电磁学、光学、热学等各个方面的知识点。

比如，在力学视频中，学生可以学习到牛顿定律、动量守恒等基本原理，并通过实验演示来加深理解。

三、化学知识点e网通高一化学课程的视频也涵盖了广泛的知识点。

学生可以通过视频学习到化学元素、化学反应、化学键等重要概念。

在化学实验视频中，学生还可以观看实际的化学反应过程，从而更好地理解化学实验的原理和方法。

四、生物知识点生物作为一门重要的自然科学课程，在e网通高一视频中同样得到了很好的呈现。

学生可以通过视频了解到细胞结构、生物进化、遗传基因等生物学的基本知识点。

此外，生物实验视频也给学生提供了观察和分析生物现象的机会。

五、英语知识点e网通高一英语视频的特点是以生活化的方式展示各种语言知识点。

学生可以通过视频学习到英语的语法、词汇、听力、口语等各个方面的知识。

在每个视频中，老师们还会通过实际案例和互动游戏，激发学生的学习兴趣。

总之，e网通高一视频中的知识点十分全面，涵盖了数学、物理、化学、生物和英语等多个学科。

通过视频的形式，学生可以更加直观地理解和掌握各种知识点。

与传统的教学方式相比，e网通高一视频具有以下优势：首先，视频形式具有生动直观的特点，有助于学生更好地理解和记忆知识点。

视频中的图像、动画和实验演示等元素使得知识呈现更加形象化，提高了学习的效果。

高一数学期中知识点视频一、整数运算在高一数学的学习中，整数运算是一个重要的基础知识点。

整数运算包括加法、减法、乘法、除法等基本运算。

了解整数运算的原则和方法，能够准确地进行计算，为后续的学习打下坚实的基础。

二、代数基础代数是高中数学的核心内容，它是研究数与数的关系的一门学科。

在代数学习中，我们将学习代数表达式的概念和基本性质，了解代数式乘法、幂次运算、根式运算等重要知识点。

通过数学期中知识点视频的学习，我们可以更加直观地理解代数的概念和运算规律。

三、平面几何平面几何是高中数学的重要组成部分，它研究平面内点、线、面的位置关系和性质。

在平面几何的学习中，我们将学习直线和角的性质、平行线的判定和性质、三角形的性质等重要知识点。

通过数学期中知识点视频的学习，我们可以更加清晰地观察和理解平面几何的各种性质和规律。

四、函数基础函数是高中数学的核心概念，它描述了数之间的依赖关系。

在函数基础的学习中，我们将学习函数的概念、函数的表示方法、函数的性质以及函数的应用等重要内容。

通过数学期中知识点视频的学习，我们可以更加深入地理解函数的概念和运算规律，为后续的函数学习奠定基础。

五、概率与统计概率与统计是高中数学中的实用分支，它研究了随机事件发生的概率和数据的收集、整理与分析。

在概率与统计的学习中，我们将学习概率、频率与统计图表等知识点，了解随机事件的规律性和数据的分析方法。

通过数学期中知识点视频的学习，我们可以更加直观地理解概率和统计的概念，提高数据处理和分析的能力。

六、三角函数三角函数是高中数学中的重要概念，它涉及到角的度量和三角比值的计算。

在三角函数的学习中，我们将学习角的概念和度量、三角函数的定义和性质、三角恒等式等知识点。

通过数学期中知识点视频的学习，我们可以更加形象地理解三角函数的概念和性质，为后续的三角函数学习打下坚实的基础。

总结：数学期中知识点视频为我们提供了直观、形象的学习方式，使我们能够更加深入地理解和掌握数学的核心知识点。

数学与文学
在数学身上，我们发现与诗歌相似的“美”。
以一首人文诗词为例——大漠孤烟直，长河落 日圆。
数学与航天工程
世界上任何一枚火箭的设计制造，都离不开一个公式—齐奥尔科夫 斯基公式.1903年，由俄国科学家康斯坦丁，齐奥尔科夫斯基提出。 关于火箭飞行速度同火箭发动机喷气速度、火箭质量、燃料质量关 系。航天器何时发射是可以算出来的。航天器发射时间限制条件繁 多，包括光照条件、回收时间、交会对接等等。通过建立每个限制 条件和发射时间之间的计算公式，可分别算出相应的发射窗口，取 其共同部分便是航天器最终的发射时间。
第九章统计(13课时)
第五章三角函数 (23课时)
第十章 概率 (9课时)
选择性必修 (第一册)(共计43课 选择性必修(第二册)(共计30课 选择性必修 (第三册)(共
时)
时)
计35课时)
第一章 空间向量与立体几何 (15 第四章 数列 (14课时 ) 课时)
第六章 计数原理 (11课时)
第二章 直线和圆的方程 (16课时) 第五章一元函数的导数及其应 第七章 随机变量及其分
如何学好高中 数学
数学枯燥吗？
我们应该换个角度看这个问题
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同学们，当你们踏进高中校门进入美丽的校 园时，我想你们会暗下决心: 争取学好高中阶段的 各门学科。在各门学科中，数学是最能体现一个 人的思维能力，判断能力、反应敏捷能力和聪明 程度的学科。数学直接影响着国民的基本素质和 生活质量，良好的数学素养将为人的一生的发展 奠定基础
用 (16课时)
布 (10课时)
第三章 圆锥曲线的方程 (12课时)
第八章 成对数据的统计 分析、(9课时）

1.向量的有关概念名称 定义备注向量 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量零向量 长度为0的向量；其方向不确定记作0单位向量 长度等于1个单位的向量非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量(共线向量) 共线向量的方向相同或相反0与任意向量平行或共线 相等向量 大小、方向都相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律 向量的加法求两个向量和的运算(1)交换律： a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).向量的减法 求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘向量求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0(1)(λ＋μ)a ＝λa＋μa ； (2)λ(μa )＝(λμ)a ； (3)λ(a ＋b )＝λa＋λb3.平行向量基本定理如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关.( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( √ ) (6)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →).( √ )1.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( ) A.① B.③ C.①③ D.①②答案 A解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误. 2.如图所示，向量a －b 等于( )A.－4e 1－2e 2B.－2e 1－4e 2C.e 1－3e 2D.3e 1－e 2解析 由题图可得a －b ＝BA →＝e 1－3e 2.3.(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.4.(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示). 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .5.已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案 －13解析 由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，3k ＝1.解得⎩⎨⎧λ＝－13，k ＝13.题型一 平面向量的概念例1 下列命题中，正确的是________.(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； ③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量.设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3. 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例2 (1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A.BC → B.12AD → C.AD →D.12BC → (2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 答案 (1)C (2)A解析 (1)EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →. (2)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13C.－13D.－23(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 答案 (1)A (2)D 解析 (1)∵AD →＝2DB →， 即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F两点，且交对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( ) A.29 B.27 C.25 D.23答案 A解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29，故选A.题型三 平行向量基本定理的应用 例4 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 和a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A.A ，B ，C 三点共线B.A ，B ，D 三点共线C.A ，C ，D 三点共线D.B ，C ，D 三点共线(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 答案 (1)B (2)12解析 (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →、AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.故选B. (2)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.10.方程思想在平面向量线性运算中的应用典例 (12分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.思维点拨 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解.(2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解. 规范解答解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线. ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t2，消去t 得，m －1＝－2n ， 即m ＋2n ＝1.① [7分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线.[10分] ∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →， ∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1. 消去t 1得，4m ＋n ＝1. ②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[12分]温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.[方法与技巧]1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.3.对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1. [失误与防范]1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1.设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A.相等的向量 B.平行的向量 C.有相同起点的向量 D.模相等的向量答案 D解析 这四个向量的模相等.2.设a 0，b 0分别是与a ，b 同向的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A.a 0＝b 0 B.a 0·b 0＝1 C.|a 0|＋|b 0|＝2 D.|a 0＋b 0|＝2 答案 C解析 因为是单位向量，所以|a 0|＝1，|b 0|＝1.3.在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → 答案 A解析 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝⎛⎭⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →. 4.已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A.点P 在线段AB 上 B.点P 在线段BC 上 C.点P 在线段AC 上 D.点P 在△ABC 外部答案 C解析 由P A →＋PB →＋PC →＝AB →得P A →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－P A →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上. 5.已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 答案 B解析 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心， 又∵O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.6.已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________. 答案 平行四边形解析 由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →， 所以BA →＝CD →.所以四边形ABCD 为平行四边形.7.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________. 答案 2解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|可知，AB →⊥AC →，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM →|＝12|BC →|＝2.8.(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 答案 12 －16解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.9.在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .10.设两个非零向量e 1和e 2不共线.(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值.(1)证明 ∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线.又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线.(2)解 AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是() A.－2 B.－1 C.1 D.2答案 B解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线.设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.12.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A.a －12bB.12a －bC.a ＋12b D.12a ＋b 答案 D解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ， 所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a . 13.设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则B 的大小为( )A.45°B.60°C.30°D.15°答案 B解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sinC ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C .根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.故选B.14.在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示)答案 －14a ＋14b 解析 由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM → ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 15.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ→＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________. 答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ， 从而⎩⎨⎧ －m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m ＝3.。