南京市金陵中学高一数学同步辅导教材[整理]

南京市金陵中学高一数学同步辅导教材一、本讲教学进度1．5（P23-24）二、本讲内容1．一元二次不等式>和<的解法.2．可化为一元一次不等式组的分式不等式.3．二次函数在给定范围内的最值.三、重点、难点选讲1．一元二次不等式>和<的解法.⑴因一元二次方程的两个根是，故有一元二次不等式>，(<)的解集为<，或>.一元二次不等式<，(<)的解集为<<.⑵引用上述结论时，必须注意不等式右边为零，两个括号中的系数为1的条件.例1解不等式：⑴≤；⑵>；⑶≤.解：⑴原不等式即≤，整理得≥，≥.∴不等式的解集为≤，或≥.⑵∵≥,∴由，得不是原不等式的解.当，得>，即<，<<.∴原不等式的解集为<<，且.⑶∵>,∴原不等式与≤同解，∴原不等式的解集为≤≤.评析第⑵题中，因≥，故只需考虑是否满足不等式，就可以在原不等式中将除去.例2解关于的不等式：>（,R）.解：原不等式可化为<..⑴>时，>，∴不等式的解集是<<.⑵当时，，∴不等式的解集是.⑶当<<时，<，∴不等式的解集是.⑷当<<时，>，∴不等式的解集是⑸当时，，∴不等式的解集是.⑹当<时，<，∴不等式的解集是.2．可化为一元一次不等式组的分式不等式⑴不等式>与二次不等式>同解；不等式<与二次不等式<同解.⑵不等式≥的解集是不等式>的解集与集合的并集；不等式≤的解集是不等式<的解集与集合的并集.例3解不等式：⑴≥；⑵≥.解：(1)原不等式等价于≤.∴不等式的解集是=(2)原不等式等价于.∴不等式的解集是评析：对带有等号的不等式求解，可以在相应的不含等号的不等式的解集中，增加使分子等于零的值，就得到所求解集.例4：求不等式的解集.①等价.解：不等式与不等式组,②由①，,∴由②，，∴.∴原不等式的解集是评析：（1）解时，因不能确定的符号，所以不能把不等式两边同乘以而去分母，只能采用移项、通分的方法求解.（2）本题也可以分两种情况考虑，①若>0，则-1<恒成立，由2，.②若<0，则2恒成立.∵->0，∴将-1<两边同乘以-.得<-1，由①、②可得原不等式的解集是<,或≥.例5 已知集合，，且,.求实数a,b的值.解：由已知，得,.由A，从数轴可得集合B又和2是的实数根.3. 二次函数在给定范围内的最值由图像可以看出，二次函数当相应的抛物线开口向上时，在抛物线顶点处二次函数取得最小值，但无最大值；当抛物线开口向下时，在抛物线顶点处二次函数取得最大值，但无最小值.如果将二次函数的自变量限制在某个范围内，则相应的图象仅是抛物线的一部分，这时函数可能既有最大值，又有最小值例6已知函数,(1) 当时，求的最大值、最小值；(2) 当时，求的最大值、最小值；(3) 当时，求的最大值、最小值；解：函数即,抛物线的对称轴为直线. (1)当时，由图象知，当时，当时，(2)当时，由图象知,当时，当时，(3)当时，由图象知,当时，当时，评析(1)此类问题通常根据题设条件画出函数的图象,并由图象求解.(2)一般情况下,需要说明当x取什么值时, 函数取大或最小值. 例7已知函数求:(1) 当时，函数的最值;(2) 当时，函数的最值;解：函数即抛物线和对称轴为直线(1) 当时，由图象知,当时，函数无最大值.(2) 当时，由图象知,当时，函数无最大值.评析（1）最大值、最小值统称最值.（2）根据题设条件画图象时，要注意表示x范围的不等式中是否包含等号.当含等号时，相应的端点在图象上应画实圈；不含等号时，相应的端点不在图象上，应画空圈.例8 求函数的最小值。

高一数学同步辅导教材（第12讲）一、本讲教学进度2.7 对数 2.8 对数函数二、本讲教学内容1．对数及对数运算性质2．对数函数 3．对数换底公式三、重点、难点选讲 1．对数及对数运算性质 （1）对数概念由对数的定义，N b N a a blog =⇔=. 但是应注意其中的字母必须满足条件：.0,1,0>≠>N a a（2）对数恒等式由对数定义，当1,0≠>a a 时，若N a b=，则N b a log =，因此有N aNa =log .等式aa N a =log 叫做对数恒等式.（3）对数的运算性质;log log )(log N M MN a a a += N M NMa a alog log log -=； M n M a na log log =.必须注意上述运算性质的条件是0>a ，且.0,0,1>>≠N M a 应避免发生下列错误：;log log )(log N M MN a a a ⋅= NM N M a a alog log log =； N M N M a a a log log )(log ±=±； M n M a na log )(log =.(3)如果把运算分等级，“加”、“减”为一级运算，“乘”、“除”为二级运算，“乘方”、“开方”为三级运算，则通过取对数，可以把运算降低一个等级，即把二级运算转化为一级运算，把三级运算转化为二级运算.例1 计算下列各式的值：（1）128log 8； （2）81log 27（3）81log 33； （4）)32(log )32(+-解 （1）设,128log 8x = 则1288=x. 737322,2)2(==x x ，,37,73==∴x x 即 ,37128log 8= （2）设,81log 27x = 则 8127=x. .32,3)3(4343==x x34,43==∴x x ， 即 .3481log 27=（3）设x =81log 33，则 ,81)3(3=x 4343133,3)3(==x x12,43==∴x x, 即.1281log 33=（4）设x =+-)32(log )32(，则 32)32(+=-x. ()()13232,321)32(--=--=-xx . ,1-=∴x 即 1)32(log )32(-=+-.例2 求下列各式中x 的值：（1）()1)123(log 2122=-+-x x x ； （2）0)](log [log log 345=x . 解 （1）由已知，得123)12(212-+=-x x x . 2,0,022-==∴=+x x x x 或. 当012,02<-=x x ； 当 712,22=--=x x . 2-=∴x . （2）∵1的对数等于0， ∴1)(log log 34=x . ∵底的对数等于1， ∴4log 3=x . ∴,34x = 81=x .例3 计算：（1）;3272log3272log22-++ （2）2lg 72.0lg 22lg 23lg +++；（3）5lg 9lg 4lg -+. （4771.03lg ,3010.02lg ==） 解 （1）原式=)]3272)(3272[(log 2-+=42log42log4log )32()72(log2422222====-.（2）原式=2112lg 12lg 144lg 12lg )272.0100lg()43lg(2lg 72.0lg 100lg 4lg 3lg 2===⨯⨯⨯=+++. （3）)2lg 1(3lg 22lg 2210lg 3lg 2lg 5lg 9lg 4lg 22--+=-+=-+=.8572.014711.023010.0313lg 22lg 3=-⨯+⨯=-+例4 已知 6321243==y x ，求 yx 23+的值.解 对 6321243==y x取以12为底的对数，得 64log 33log 21212==y x ,3log 312=∴x.4log 212=y .1)43(log 4log 3log 23121212=⨯=+=+yx例5 已知关于x 的函数a x a x x f lg 84lg )(2+-=有最大值4，求实数a 及)(x f 取得大值时x 的值.解 a a a x a x f lg 8lg 4)log 2(lg )(2+--= 有最大值4，0lg <∴a 且 ,4lg 8lg 4=+-a a01lg lg 22=--a a .21lg ,1lg -==∴a a 或21lg ,0lg -=∴<a a ， 10101021==-a . 当)(x f 取最大值时，.4lg 2-==a x例6 已知x 、y 、z ()()+∞∈,11,0 ，且.0lg lg lg =++z y x求 yx xz zy zyxlg 1lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1+++⋅⋅的值.解 设yx xz z y zy xu lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1+++⋅⋅= 则 z y x y x z x z y u lg )lg 1lg 1(lg )lg 1lg 1(lg )lg 1lg 1(lg +++++= z yx y x z x z y lg lg lg lg lg lg lg lg lg +++++=.3lg lg lg lg lg lg -=-+-+-=zzy y x x .10001103lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1==⋅⋅=∴-+++yx xz zy zyxu 评析 由于直接计算u 值有困难，且难以运用已知条件，所以采用取对数的方法，先求出u lg 的值再计算u 的值，当指数部分的式子比较复杂时，常用这种方法进行化简或计算.2．对数函数对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且是指数函数xa y =的反函数.由指数函数的性质，对数函数x y a log =的定义域是),0(+∞，值域是),(+∞-∞.对数函数的图像x y 2log =，x y lg =，x y 21log =的图像来记忆.由图12—1 可见，函数x y a log =和x y a1log =对称，实际上，x x y a alog log 1-==.当1>a 大，它的图像在第一象限部分越“靠近x 轴，近y 轴”.因此当10<<a 象限部分越“靠近x 轴”，在第一条象限部分越“靠近例7、 求函数)45(log )(221x x x f -+=分析 解 由对数函数的定义域，,0452>-+x x 即.0542<--x x ,0)5)(1(<-+x x .51<<-x ∴y=f(x)的定义域是{x|-1<x<5}.设t=245x x -+=9)2(2+--x ,则9)2(2+--=x t 在区间（-1，2]上是增函数，在区间[2，5）上是减函数. 又函数t y 21log =在区间(0,∞+)上是减函数，∴当,2121≤<<-x x 210t t <<,;log log 22211211y t t y =>=当,0,522121>><<≤t t x x 22211211log log y t t y =<=.由此得，函数y=f(x)的单调递减区间是(-1,2],单调递增区间是[2,5).评析 求复合函数的单调区间时，不仅要注意函数的定义域，还要注意每一个函数在区间上的增减性.例8 已知),1,0(1)(≠>-=a a xx a f x求函数y=f(x)的单调区间. 分析 首先应由)(xa f 的表达式求出f(x)的解析式.解 令t a x=, 则,log t x a = .1,0≠>t t 且,log 1log )(t t t f a a -= ∴).1,0(log 1log )(≠>-=x x xx x f a a 且 设,021x x <<则221121log 1log log 1log )()(x x x x x f x f a a a a +--=-212121log log log log )log (log x x x x x x a a a a a a ⋅-+-=.log log )log log 1)(log (log 212121x x x x x x a a a a a a ⋅⋅+-=（1）当a>1,若,1021<<<x x 则,0log log 21<<x x a a∵,0log log ,0log log 2121>⋅<-x x x x a a a a.0)()(21<-∴x f x f若,121x x <<则.log log 021x x a a <<∵,0log log ,0log log 2121>⋅<-x x x x a a a a.0)()(21<-∴x f x f （2）当,10<<a若,1021<<<x x 则,0log log 21>>x x a a∵,0log log ,0log log 2121>⋅>-x x x x a a a a .0)()(21>-∴x f x f若,121x x <<则,0log log 12<<x x a a∵,0log log ,0log log 2121>⋅>-x x x x a a a a.0)()(21>-∴x f x f由上可知，当a>1时，f(x)在区间(0,1)及(+∞,1)上分别都是增函数. 当0<a<1时，f(x)在区间(0,1)及(+∞,1)上分别都是减函数.例7、 已知0<a<b<1,比较a b a b bab a 11log ,log ,log ,log 的大小.解 ∵,10<<<b a .111>>∴ba ∵x y x yb a log log ==和都是区间(0,+∞)上的减函数，x y x y a611log log ==和都是区间(0,+∞)上的增函数，01log log ,01log log ,01log log ,01log log 1111=<=<=>=>∴bbaab a a a a b b .∵log 1log log b a b b a a ==< log 1log log 111b a abb=-=< log log log 11b b a a ab<<<∴评析 由对数函数的性质及,log ,log x y x y b a ==,log 1x y a=x y b1log =图像的大致位置如图12-2作直线x=a 和x=b 可以得到b a ,log 的大小关系为：.log log log log 11a b b a b a ab<<<3．对数换底公式（1）设x N g b =lg ，则N b x=.两边取以a 为底的对数，得,log log N b a x a =.log log N b x a a =)0,1,0,1,0.(log log log >≠>≠>==∴N b b a a bNx N a a b .该式子叫对数换底公式，运用该公式可以把b 为底的对数转换成关于以a 为底的对数的式子.（2）运用对数运算性质的前提是几个对数的底数必须相同，因此在对数运算中凡遇到不同底数的对数，通常先要用对数换底公式化为同底数的对数.（2）运用换底公式还可以得到几个常用的式子：;log log N Na pa p = ;log 1log ab b a =;log log 1N N a a-= N pqNa qa p log log =.例10 求值：（1）；32log 9log 2716⋅ (2)).8log 4(log )3log 9(log 812748+⋅+ 解 （1）32log 9log 2716⋅ =653lg 32lg 52lg 43lg 227lg 32lg 16lg 9lg =⋅=⋅.().721193log 13log 1217672log 12173log 67)2log 432log 32()3log 213log 32(2log 2log )3log 3(log )8log 4(log )3log 9)(log 2(2232332233232228127484323=⋅⋅⋅=⋅=+⋅+⋅=+⋅+=+⋅+例11求证：.237log 137log 237log 3752>++证 37log 137log 237log 3752++.237log 1369log 1400log )752(log 7log 5log 22log 323737372337373737==>=⋅⋅=++=练 习一、选择题1、已知),0)(4(log )3(log 31212>+=y yy x则x 的值是（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、32、3log 21122-的值等于 （ ）A 、32 B 、32 C 、332D 、2 3、已知βα、是方程05lg 3lg lg )5lg 3(lg lg 2=⋅+++x x 的两个实根，则βα+等于（ ） A 、3lg 5lg -- B 、3lg 5lg +C 、151D 、1584、设,3,21log ,)21(2133===c b a 则a,b,c 的大小关系为 （ ）A 、b<a<cB 、b<c<aC 、a<b<cD 、a<c<b5、函数x y 21log 2+=的反函数是 （ ）A 、)(22R x y x∈-= B 、)()21(2R x y x∈=-C 、)(22R x y x∈=- D 、)(2)21(R x y x ∈-=6、函数)134(log 231+-=x x y 的值域是（ ）A 、[-3，∞+]B 、RC 、（2,-∞-]D 、（9,∞-]二、填空题7、已知,2219.1lg ,4771.03lg ,3010.02lg -===x 则x=______________________.8、已知,632236z y x==则x 、y 、z 之间的关系是_________________________.9、=-++)347347(log 2_____________________________. 10、函数)](log [log log 313131x y =的定义域是_______________________________.三、解答题11、已知集合A={a,ab,)(log 2ab },B={0,|a|,b},且A=B,求实数a,b 的值.12、已知zya a a y a x log 11log 11,--==(a>0,且1≠a )，求证：xa a z log 11-=.13、已知0)](log [log log )](log [log log )](log [log log 551533132212===z y x ，比较实数x,y,z 之间的大小关系.14 、已知,03log 5log 221221<-+x x 求函数)4(log )8(log )(212x x x f ⋅=的值域.答 案 与 提 示[答案]一、1、B 2、C 3、D 4、A 5、C 6、C二、7、0.06 8、x=y=z=0,或z y x 21361=1+ 9、210、{393131|<<x x }三、11、a=-1,b=-1 12、z<x<y 13、 z<x<y 14、{43541|<≤-y y }[提示]一、3、51,31,5lg lg ,3lg lg ==-=-=βαβα. 6、29log ,99)2(1343122-=≤≥+-=+-y x x x二、7、-1.2219=-2+0.7781=-2+(0.3010+0.4771) 06.0lg 3lg 2lg 1001lg=++= 8、设,026>=t x则.lg 6lg 23lg 32lg 6t z y x ===若t=1,x=y=z=0； 若zt y t x t t 2lg 6lg .,3lg 3lg ,6lg 2lg ,1===≠. 由zy x t 213161,0lg ,6lg 3lg 2lg =+≠=+得 9、 )12271227(log )347347(log 22-++=-++ =2)]32()32[(log 2=-++ 或原式=216log 4849214log )347347(log 2222==-+=-++10、由313131********)31(31,1log 31,1)(log log 0,0)](log [log log ≤<<≤≤<≥x x x x三、11、由,0)(log ,0,.0,0),(log 22=∈∴=≠>ab A B A a ab ab }.|,|,0{},0,1,{,1b a B a A ab === ,11,1,1,1||,1=====∴∈ba b b a B 若或 与集合中元素的互异性矛盾，,1||=∴a 且.11,1-==-=ab a 12、由,log 1log 1,log 11log ,log 11yz z y ay a a a a za =--==-xa a a a a a a a y a a a a a a a z xz y y y x y x a x yy y z log 11log 11,log 11log .1log log log 111log 1,log 11log ,.log 1log log 11log --=-=∴-=--=--==-=-=由13、由)](log [log log )](log [log log )](log [log log 551533132212zy x ==.32.,25.5,3,2,0623610521053y x x z x z z y x =<=<∴=<===== 得 y x z y x <<∴<∴,14、由已知，得.3log 21,03log 5log 22222<<-<--x x x 6log 5log )2)(log 3(log )(22222+-=--=x x x x x f=)435,41[41)25(log 22-∈--x。

南京市高一年级精准提升专用讲义1、若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上单调递减，且0)4(=-f ，则使得0)]()([<-+x f x f x 的x 的取值范围是 .考点归纳：利用函数单调性和奇偶性求范围类型补充：变式一：已知奇函数()f x 在（-1，1）上是减函数，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围．变式二．设奇函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的增函数，若不等式2(6)(2)0f ax f x ++-<对于任意[]2,4x ∈都成立，求实数a 的取值范围．方法总结：2、已知函数221)(x x f -=，x x x g 2)(2-=，若)()(,)()(,)()()(x g x f x g x f x f x g x F <≥⎩⎨⎧=，则)(x F 的最大值为 .考点归纳：数形结合类型补充：绝对值函数，分段函数变式一：已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x ，x ＜1，x ＋4x，x ≥1，(e 是自然对数的底数)．若函数y ＝f(x)的最小值是4，则实数a 的取值范围为________________．变式二：已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2－|x －2|， 0≤x ＜4，2x －2－3， 4≤x ≤6，若存在x 1，x 2，当0≤x 1＜4≤x 2≤6时，f(x 1)＝f(x 2)，则x 1f(x 2)的取值范围是________________．变式三：已知函数f(x)＝|log 12x|，若m ＜n ，有f(m)＝f(n)，则m ＋3n 的取值范围是________________变式三：若不等式|x －2a|≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______________方法总结：一：基本初等函数图像的绘制二：图像的变换（对称，平移，翻折） 三：简单极限思想3、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(4)2(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 .考点归纳：比较大小类型补充：利用性质求参量范围变式．已知函数2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，其定义域为[]1,2a a -，则()f x 的值域19、（本小题满分10分） 已知函数m x f x ++=152)(为奇函数，m 为常数.（1）求实数m 的值；（2）判断并用定义证明)(x f 的单调性； （3）若关于x 的不等式0)())((<+ma f x f f 有解，求实数a 的取值范围.考点归纳：比较大小类型补充：方法总结：20、（本小题满分12分）已知函数b ax x x g +-=2)(，其图像的对称轴为直线2=x ，且)(x g 的最小值为1-，设xx g x f )()(=. （1）求实数b a ,的值；（2）若不等式03)3(≥⋅-x x t f 在]2,2[-∈x 上恒成立，求实数t 的取值范围；（3）若关于x 的方程03222)22(=--+-k k f x x 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.考点归纳：比较大小类型补充：方法总结：。

高一数学同步辅导教材（第15讲）一、本讲速度3．1数列3．2等差数列二、本讲主要内容1．数列的概念，数列的通项公式，由递推公式给出数列。

2．等差数列的概念和通项公式，等差中项的概念。

三、学习指导1．要正确理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并会根据递推公式写出数列的前若干项。

数列是按一定顺序排列起来的一列数。

它可以看作是一个序号集合到另一个数集的映（或它的有限子集｛１，射;从映射函数的观点来看，数列是一个定义域为正整数集Ｎ＋２，……，n｝）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值。

用函数观点看待数列，有助于加深对数列概念和性质的理解。

数列的数是按一定顺序排列的。

如果组成两个数列的数相同而顺序不同，那么它们是不同的数列，如课本上堆放钢管的实例，自上而下的每层钢管数组成数列：４，５，６，７，８，９，１０。

与自下而上的每层钢管数组成的数列：１０，９，８，７，６，５，４。

是两个不同的数列。

要把数列概念与数集概念区分开来。

数列中的数不但有顺序，而且并没有规定必须不同，即同一个数在数列中是可以重复出现的，常数数列甚至都是由同一个数排成的数列，如，１，１，１，……。

而数集中的数是无序的，并且是互异的。

数列的通项公式就是相应函数的解析式。

如果已知一个数列的通项公式，那么只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的各项。

根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是一个难点。

克服这个难点的关键是根据各项的特点，它与序号的关系，找出各项共同的构成规律得出通项公式。

并不是每个数列都是有通项公式的，如π精确到１，０.１，０.０１，０.００１，……的不足近似值构成的数列就没有通项公式。

一个数列的通项公式可以有不同的形式，如数列－１，１，－１，１，……的通项公式=(-1)n，也可以写成可以写成an)1 (n=2k-1,k∈N+=an)-1 (n=2k,k∈N+它们形式不同，但实质是一样的．与表示函数有列表法、图象法一样，数列也可以列表表示或用图象表示。