2019-2020创新设计一轮复习 第九章 第2节

第2节圆的方程知识梳理1．圆的定义和圆的方程2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．诊断自测1．判断下列说法的正误．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√解析 (2)当a ＝0时，x 2＋y 2＝a 2表示点(0，0)；当a ＜0时，表示半径为|a |的圆．(3)当(4m )2＋(－2)2－4×5m ＞0，即m ＜14或m ＞1时才表示圆．2．若点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．a ＝±1答案 A解析 因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4，所以－1<a <1.3．(2021·北京西城区模拟)以A (3，－1)，B (－2，2)为直径的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－x －y －8＝0B ．x 2＋y 2－x －y －9＝0C ．x 2＋y 2＋x ＋y －8＝0D ．x 2＋y 2＋x ＋y －9＝0答案 A解析 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得圆心O (a ，b )为AB 的中点，根据中点坐标公式可得a ＝3－22＝12，b ＝－1＋22＝12，又r ＝|AB |2＝（3＋2）2＋（－1－2）22＝342，所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝172，化简整理得x 2＋y 2－x －y －8＝0. 4．(必修2P124A4改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1，3)，则圆C 的方程为________．答案 (x －2)2＋y 2＝10解析 设圆心坐标为C (a ，0)，∵点A (－1，1)和B (1，3)在圆C 上，∴|CA |＝|CB |，即（a ＋1）2＋1＝（a －1）2＋9，解得a ＝2，所以圆心为C (2，0)，半径|CA |＝（2＋1）2＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.5．(2021·衢州、湖州、丽水质检)已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则m 的值为________，动直线l 被圆x 2＋y 2－2y －8＝0截得的弦长最短为________．答案 －1 2 5 解析 依题意得m ＝1m ，解得m ＝±1.当m ＝1时，两直线重合，所以m ＝－1.依题意得圆心Q (0，1)，半径r ＝3.因为动直线l 恒过点P (0，－1)，所以当直线l 与直线PQ 垂直时，动直线l 被圆截得弦长最短，最短弦长为29－22＝2 5.6．(2021·北京东城区二模)已知直线l 过点(1，1)，过点P (－1，3)作直线m ⊥l ，垂足为M ，则点M 到点Q (2，4)距离的取值范围为________．答案 [2，32]解析 直线l 过定点设为A ，则有 A (1，1)，设M (x ，y )，因为直线m ⊥l ，则MP →⊥MA →，所以，MP →·MA→＝0， 即(－1－x ，3－y )·(1－x ，1－y )＝0，化简为x 2＋(y －2)2＝2，所以点M 的轨迹为以C (0，2)为圆心，2为半径的圆，∵|CQ |＝22＋22＝22，∴|CQ |－2≤|MQ |≤|CQ |＋2，即2≤|MQ |≤3 2.考点一 圆的方程【例1】 (1)(一题多解)过点A (4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为________．(2)已知圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为________．答案 (1)(x －3)2＋y 2＝2 (2)x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 解析 (1)法一 由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.①过B 点且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3，0)，半径r ＝（4－3）2＋（1－0）2＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，∵点A (4，1)，B (2，1)在圆上，故⎩⎨⎧（4－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，（2－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，又∵b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2， 故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎨⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36，④由①，②，④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.感悟升华 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．【训练1】 (1)(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________．(2)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x－y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．答案 (1)x 2＋y 2－2x ＝0 (2)(x －2)2＋y 2＝9解析 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎨⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，即圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.(2)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.考点二 与圆有关的最值问题【例2】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y x 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆． (1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以y x 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)． 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 感悟升华 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见： (1)形如m ＝y －b x －a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题． 【训练2】 (1)圆心在曲线y ＝2x (x ＞0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5(2)设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．(3)(2021·绍兴模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB→的最大值为________． 答案 (1)D (2)[－1，1] (3)12解析 (1)设圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a (a ＞0)，则半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ＋2a ＋15≥22a ×2a ＋15＝5，当且仅当2a ＝2a ，即a ＝1时取等号． 所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1，2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.(2)如图所示，过点O 作OP ⊥MN 交MN 于点P .在Rt △OMP 中，|OP |＝|OM |·sin 45°，又|OP |≤1，得|OM |≤1sin 45°＝ 2.∴|OM |＝1＋x 20≤2，∴x 20≤1.因此－1≤x 0≤1.(3)由题意，知P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·PB→＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·PB→＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.由圆的方程x 2＋(y －3)2＝1，易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A →·PB→的值最大，最大值为6×4－12＝12. 考点三 与圆有关的轨迹问题【例3】 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM→＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM →·MP→＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.感悟升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【训练3】 设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎨⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)．基础巩固题组一、选择题1．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23 答案 D解析 方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.2．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1答案 A解析 已知圆的圆心C (1，2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2，1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A.3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.4．已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43答案 B解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为 y －32＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，② 联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，233， 其到原点的距离为 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B. 5．已知直线l 过圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心，当原点到直线l 距离最大时，直线l 的方程为( )A ．y ＝2B ．x －2y －5＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x ＋2y －5＝0答案 D解析 圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为(1，2)，则当直线l 与过原点和圆心的直线垂直时，原点到直线l 的距离最大，此时直线l 的斜率为－1－02－0＝－12，则直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0，故选D.6．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则点(k ，b )所在的圆为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋5)2＝1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －5)2＝1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －5)2＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋5)2＝1 答案 A解析 由题意知直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0互相垂直，所以k ＝12.又圆上两点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，故直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心(2，0)，所以b ＝－4，结合选项可知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－4在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋5)2＝1上． 二、填空题7．圆x 2＋y 2－2y －3＝0的圆心坐标是__________，半径是__________． 答案 (0，1) 2解析 化圆的方程为标准方程为x 2＋(y －1)2＝4，由此知该圆的圆心坐标为(0，1)，半径为2.8．(2021·北京门头沟区综合练习)已知两点A (－1，0)，B (1，0)，若直线x －y ＋a＝0上存在点P (x ，y )满足AP →·BP→＝0，则实数a 满足的取值范围是________． 答案 [－2，2]解析 设P (x ，y )，则AP →·BP →＝0⇔x 2＋y 2＝1，d ＝|a |2≤1⇒a ∈[－2，2]． 9．若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254 解析 设圆心C 坐标为(2，b )(b <0)，则|b |＋1＝4＋b 2.解得b ＝－32，半径r ＝|b |＋1＝52，故圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254. 10．(2021·嘉兴期末)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大．三、解答题11．已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．解 l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直．三交点A ，B ，C 连线构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆．解方程组⎩⎨⎧x －2y ＝0，y ＋1＝0 得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1)． 解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.所以点B 的坐标是(1，－1)．线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1， 又|AB |＝（－2－1）2＋（－1＋1）2＝3.故所求圆的标准方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94. 12．已知点A (－3，0)，B (3，0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则（x ＋3）2＋y 2＝2（x －3）2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2 ＝|CQ |2－16，当|QM |最小时，|CQ |最小，此时CQ ⊥l 1，|CQ |＝|5＋3|2＝42， 则|QM |的最小值为32－16＝4.能力提升题组13．已知圆心(a ，b )(a ＜0，b ＜0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9B ．(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25C ．(x ＋6)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499 答案 A解析 由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由圆心在直线y ＝2x ＋1上，得b ＝2a ＋1 ①，由此圆在y 轴上截得的弦长为25，得b 2－a 2＝5 ②，由①②得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝73(舍去)．所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选A.14．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2答案 D解析 由题意知圆心C (2，1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2 b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立． ∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.15．已知直角坐标系中A (－2，0)，B (2，0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹方程是________；轨迹为________．答案 x 2＋y 2－12x ＋4＝0 一个圆解析 设点P 的坐标为(x ，y )，则由|P A |＝2|PB |得|P A |2＝2|PB |2，即(x ＋2)2＋y 2＝2[(x －2)2＋y 2]，化简得x 2＋y 2－12x ＋4＝0，方程化为标准方程为(x －6)2＋y 2＝32.其表示一个圆．16．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－6x ＋8y －11＝0，则x 2＋y 2的最大值为__________，|3x ＋4y －28|的最小值为__________．答案 11 5解析 由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝36，其表示的是一个圆心为(3，－4)，半径为6的圆，而x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点的距离，∴(x 2＋y 2)max ＝32＋（－4）2＋6＝11，由圆的标准方程(x －3)2＋(y ＋4)2＝36可设其圆上点的坐标为⎩⎨⎧x ＝6cos θ＋3，y ＝6sin θ－4(θ为参数)，∴|3x ＋4y －28|＝|18cos θ＋24sin θ－35|＝|30sin(θ＋φ)－35|⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝34， ∴当sin(θ＋φ)＝1时，|3x ＋4y －28|min ＝5.17．(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎨⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程；(3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA→＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)， 且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25， 即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25，解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)由TA→＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形， 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10.∴|TA |＝|PQ |≤10，即（t －2）2＋42≤10，解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的范围为[2－221，2＋221]．。

2019-2020年高考语文一轮复习《散文阅读（分析表现手法体会表达效果）》教案【考纲解读】《xx高考语文考试说明》要求了解小说、散文、诗歌、戏剧等文学体裁的基本及主要表现手法；主要考查知识点中要求能够“分析作品题材的基本特征和主要表现手法”。

在历年的高考试卷中“分析表达手法，体会表达效果”已是屡见不鲜了。

例如“17．第四段中通过主观感受来写壶口的黄河；运用了什么表现手法？这样写有什么好处?”文学作品的表现手法实际上指的是表达技巧，主要是指文章运用了哪些写作原则、规律和方法来塑造文学形象和表现作品内容。

一是指作者在表达方式运用上的技巧和问题只是运用方面的技巧，二是指修辞手法的运用和其他相关写作方面的技巧。

主要包括表达方式、修辞方法、表现手法、描写手段、行文布局（篇章结构）等。

从高考实际考查来看，一般不要求学生判断表达技巧是什么，而往往要求体会赏析其表达作用或效果。

【考点综合】“分析表现手法，体会表达效果”往往会在以下知识点上命题：1、针对行文的人称运用、人称变化及其作用命题；【例子1】《长城》第22题：这篇散文中，（1）作者主要用第二人称写长城，这样写的好处是什么？（2）第六段的结尾改用了第三人称“它”，原因是什么？【例子2】辽宁卷第20小题：文章对牡丹等花木的称呼大多用第三人称，而在第五自然段中却有两处用了第二人称，这样写有何作用?请赏析。

2、针对写作上具体的表达方式及其作用命题；【例子1】《报秋》第28 题，作者在叙写玉簪花的过程中，在第3自然段中插叙了自己种太阳花的经历，这有何作用？【例子2】安徽卷第17小题问：文中画线部分所描述的自然环境有什么特征？这样描写起什么作用？【例子3】江苏卷第15题：“一路上都是鲜红的收割机，突突突地吼个不停，所过之处，留下一地黄亮亮金灿灿的麦茬，散发着湿润的麦秸香。

”这句话描写关中麦收情景，请分析它的表达特色。

3、针对语句的修辞手法及其表达效果命题；【例子1】福建卷第13小题：文中“是我们心灵的堡垒下面刺目的降幡”，使用了什么修辞手法？请谈谈你对这句话的理解。

第8讲曲线与方程A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．动点P(x，y)满足5(x－1)2＋(y－2)2＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是()．A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线解析设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝(x－1)2＋(y－2)2，点P到直线l的距离d＝|3x＋4y－11|5.由已知得|PF|d＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选D.答案 D2．(2013·榆林模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为()．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．答案 D3．(2013·临川模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()．A.4x221－4y225＝1 B.4x221＋4y225＝1C.4x225－4y221＝1 D.4x225＋4y221＝1解析 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1. 答案 D4．(2013·烟台月考)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )． A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x ，4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·泰州月考)在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0(a >0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________． 解析 由正弦定理，得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ， ∴|AB |－|AC |＝12|BC |，且为双曲线右支． 答案 16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x >0且y ≠0)6. 如图，点F (a,0)(a >0)，点P 在y 轴上运动，M 在x 轴上运动，N 为动点，且PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0，则点N 的轨迹方程为________．解析 由题意，知PM ⊥PF 且P 为线段MN 的中点，连接FN ，延长FP 至点Q 使P 恰为QF 之中点；连接QM ，QN ，则四边形FNQM 为菱形，且点Q 恒在直线l ：x ＝－a 上，故点N 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，其方程为：y 2＝4ax . 答案 y 2＝4ax三、解答题(共25分)7．(12分)已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP→＝22PB →，求点P 的轨迹C 的方程．解 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP→＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )， 得x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y .因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.8．(13分)设椭圆方程为x 2＋y24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O为坐标原点，点P 满足OP→＝12(OA →＋OB →)，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，当直线l 绕点M 旋转时，求： (1)动点P 的轨迹方程； (2)|NP→|的最大值，最小值．解 (1)直线l 过定点M (0,1)，当其斜率存在时设为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A 、B 的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1.消去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0. 则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0. ∴x 1＋x 2＝－2k4＋k 2，x 1x 2＝－34＋k 2.P (x ，y )是AB 的中点，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(x 1＋x 2)＝－k 4＋k 2，y ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋1＋kx 2＋1)＝44＋k 2；消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0.当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.(2)由(1)知4x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14，∴－14≤x ≤14而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1－16x 24＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋162＋712，∴当x ＝－16时，|NP→|取得最大值216， 当x ＝14时，|NP →|取得最小值14.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2019·全国)正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝37.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )．A ．16B ．14C ．12D ．10解析 当E 、F 分别为AB 、BC 中点时，显然碰撞的结果为4，当E 、F 分别为AB 的三等分点时，可得结果为6(如图1所示)．可以猜想本题碰撞的结果应为2×7＝14(如图2所示)．故选B.答案 B2．(2013·沈阳二模)在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足：xAB →＋yAD →＋P A →＝0(x ，y ∈R )．则当点P 在以A 为圆心，33|BD →|为半径的圆上时，实数x ，y 应满足关系式为( )．A ．4x 2＋y 2＋2xy ＝1B ．4x 2＋y 2－2xy ＝1C ．x 2＋4y 2－2xy ＝1D ．x 2＋4y 2＋2xy ＝1解析 如图，以A 为原点建立平面直角坐标系，设AD ＝2.据题意，得AB ＝1，∠ABD ＝90°，BD ＝3.∴B 、D 的坐标分别为(1,0)、(1，3)，∴AB →＝(1,0)，AD →＝(1，3)．设点P 的坐标为(m ，n )，即AP→＝(m ，n )，则由xAB →＋yAD →＋P A →＝0，得：AP →＝xAB →＋yAD →，∴⎩⎨⎧m ＝x ＋y ，n ＝3y .据题意，m 2＋n 2＝1，∴x 2＋4y 2＋2xy ＝1. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图所示，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是________．解析 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A1D 1于H ，连接PH 、PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由|PH |2－|PM |2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.答案 y 2＝23x －194．(2013·南京模拟)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2 PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝－x 2，－y 2，即P 点坐标为－x 2，－y2.又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1. 答案 x 24a 2＋y 24b 2＝1 三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，且点F (0，－1)为其一个焦点． (1)求椭圆E 的方程；(2)设随圆E 与y 轴的两个交点为A 1，A 2，不在y 轴上的动点P 在直线y ＝b 2上运动，直线P A 1，P A 2分别与椭圆E 交于点M ，N ，证明：直线MN 通过一个定点，且△FMN 的周长为定值． 解 (1)根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋2b2＝1，b 2－a 2＝1，可解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，∴椭圆E 的方程为x 23＋y 24＝1.(2)由(1)知A 1(0,2)，A 2(0，－2)，P (x 0，4)为直线y ＝4上一点(x 0≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线P A 1方程为y ＝2x 0x ＋2，直线P A 2方程为y ＝6x 0x －2，点M (x 1，y 1)，A 1(0,2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 23＋y 24＝1，y ＝2x 0x ＋2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－6x 03＋x 20，y 1＝2x 20－63＋x 20.点N (x 2，y 2)，A 2(0，－2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 24＝1，y ＝6x 0x －2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝18x 027＋x 20，y 2＝－2x 20＋5427＋x 20.由于椭圆关于y 轴对称，当动点P 在直线y ＝4上运动时，直线MN 通过的定点必在y 轴上，当x 0＝1时，直线MN 的方程为y ＋1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，令x ＝0，得y ＝1可猜测定点的坐标为(0,1)，并记这个定点为B .则直线BM 的斜率k BM ＝y 1－1x 1＝2x 20－63＋x 20－1－6x 03＋x 20＝9－x 206x 0，直线BN 的斜率k BN ＝y 2－1x 2＝－2x 20＋5427＋x 20－118x 027＋x 20＝9－x 206x 0，∴k BM ＝k BN ，即M ，B ，N 三点共线，故直线MN 通过一个定点B (0，1)，又∵F (0，－1)，B (0,1)是椭圆E 的焦点，∴△FMN 周长为|FM |＋|MB |＋|BN |＋|NF |＝4b ＝8，为定值．6．(13分)(2013·玉林模拟)已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )．(1)求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意得a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0， 即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0.化简得x 23＋y 2＝1，∴Q 点的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(i)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1， 从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.(ii)当k ＝0时，|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1，解得－1<m <1. 综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，当k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1).。

第1节直线的方程最新考纲 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；(2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0；(3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是[0,π).2.直线的斜率(1)定义:当直线l的倾斜角α≠π2时,其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,即k＝tan__α；(2)斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1 x2－x1.3.直线方程的五种形式[微点提醒]1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:2.直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系:基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.()(2)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.()解析(1)当直线的倾斜角α1＝135°,α2＝45°时,α1＞α2,但其对应斜率k1＝－1,k2＝1,k1＜k2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时,其倾斜角为135°.(3)两直线的斜率相等,则其倾斜角一定相等.【参考答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2.(必修2P89B5改编)若过两点A(－m,6),B(1,3m)的直线的斜率为12,则直线的方程为________.解析由题意得3m－61＋m＝12,解得m＝－2,∴A(2,6),∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2),整理得12x－y－18＝0.【参考答案】12x－y－18＝03.(必修2P100A9改编)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.解析当纵、横截距均为0时,直线方程为3x－2y＝0；当纵、横截距均不为0时,设直线方程为xa＋ya＝1,则2a＋3a＝1,解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.【参考答案】3x－2y＝0或x＋y－5＝04.(2019·衡水调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为()A.30°B.45°C.120°D.150°解析由题得,直线y＝x＋1的斜率为1,设其倾斜角为α,则tan α＝1,又0°≤α＜180°,故α＝45°.【参考答案】B5.(2019·广东七校联考)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是()A.(－2,1)B.(－1,2)C.(－∞,0)D.(－∞,－2)∪(1,＋∞)解析由题意知2a－1－a3－1＋a<0,即a－12＋a<0,解得－2<a<1.【参考答案】A6.(2018·兰州模拟)已知直线l过点P(1,3),且与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6,则直线l的方程是()A.3x＋y－6＝0B.x＋3y－10＝0C.3x－y＝0D.x－3y＋8＝0解析设直线l的方程为xa＋yb＝1(a>0,b>0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝6.故直线l 的方程为x 2＋y6＝1, 即3x ＋y －6＝0. 【参考答案】A考点一 直线的倾斜角与斜率典例迁移【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 (2)(一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段有公共点,则直线l 斜率的取值范围为________. 解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α, 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3,所以12≤cos α≤32,因此k ＝2cos α∈[1,3].设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,3]. 又θ∈[0,π),所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3,即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2)法一 设P A 与PB 的倾斜角分别为α,β,直线P A 的斜率是k AP ＝1,直线PB 的斜率是k BP ＝－3,当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时,它的倾斜角由α增至90°,斜率的取值范围为[1,＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时,它的倾斜角由90°增至β,斜率的变化范围是(－∞,－3].故斜率的取值范围是(－∞,－3]∪[1,＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为 y ＝k (x －1),即kx －y －k ＝0.∵A ,B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上, ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0,即(k －1)(k ＋3)≥0,解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞,－3]∪[1,＋∞). 【参考答案】(1)B (2)(－∞,－3]∪[1,＋∞)【迁移探究1】 若将例1(2)中P (1,0)改为P (－1,0),其他条件不变,求直线l 斜率的取值范围.解 设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1),即kx －y ＋k ＝0.∵A ,B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上, ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0, 即(3k －1)(k －3)≤0,解得13≤k ≤ 3. 即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.【迁移探究2】 若将例1(2)中的B 点坐标改为B (2,－1),其他条件不变,求直线l 倾斜角的取值范围.解 由例1(2)知直线l 的方程kx －y －k ＝0, ∵A ,B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上, ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0, 即(k －1)(k ＋1)≤0,解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.规律方法 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y ＝tan x 在[0,π)上的单调性求解,这里特别要注意,正切函数在[0,π)上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交,求直线斜率范围时,应注意倾斜角为π2时,直线斜率不存在.【训练1】 若直线l :y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2 解析 直线y ＝kx －3恒过点(0,－3),可作两直线的图象,如图所示,从图中可以看出,直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.【参考答案】B考点二 直线方程的求法【例2】 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点P (4,1),且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1,－3),倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点B (3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 解 (1)设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a , 若a ＝0,即l 过点(0,0)和(4,1), 所以l 的方程为y ＝14x ,即x －4y ＝0. 若a ≠0,则设l 的方程为x a ＋ya ＝1, 因为l 过点(4,1),所以4a ＋1a ＝1, 所以a ＝5,所以l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知,直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α. 因为tan α＝3,所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－34. 又直线经过点A (－1,－3),因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1), 即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知,所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4),由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.规律方法 1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件. 2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式,应判断截距是否为零).【训练2】 (1)求过点A (1,3),斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程； (2)求经过点A (－5,2),且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 解 (1)设所求直线的斜率为k ,依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3),因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1),即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1,将(－5,2)代入所设方程,解得a ＝－12,所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时,设直线方程为y ＝kx ,则－5k＝2,解得k ＝－25,所以直线方程为y ＝－25x ,即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.考点三 直线方程的综合应用多维探究角度1 与不等式相结合的最值问题【例3－1】 设m ∈R ,过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ,y ),则|P A |·|PB |的最大值是________. 解析 由直线x ＋my ＝0求得定点A (0,0),直线mx －y －m ＋3＝0,即y －3＝m (x －1),所以得定点B (1,3).当m ＝0时,两条动直线垂直,当m ≠0时,因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m m ＝－1,所以两条动直线也垂直,因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点,所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10,所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时,等号成立),所以|P A |·|PB |的最大值是5. 【参考答案】5角度2 由直线方程求参数范围【例3－2】 已知直线l 1:ax －2y ＝2a －4,l 2:2x ＋a 2y ＝2a 2＋4,当0<a <2时,直线l 1,l 2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a ＝________.解析 由题意知直线l 1,l 2恒过定点P (2,2),直线l 1的纵截距为2－a ,直线l 2的横截距为a 2＋2,所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4,⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154,又0<a <2,所以当a ＝12时,面积最小. 【参考答案】12规律方法 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.(2)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.【训练3】 如图,在两条互相垂直的道路l 1,l 2的一角,有一个电线杆,电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米,到道路l 2的垂直距离为3米,现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道,使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小,则人行道的长度为________米.解析 如图建立平面直角坐标系,设人行道所在直线方程为y －4＝k (x －3)(k <0),所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k ，0,B (0,4－3k ),所以△ABO 的面积S ＝12(4－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫24－9k －16k ,因为k <0,所以－9k －16k ≥2（－9k ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k ＝24,当且仅当－9k ＝－16k ,即k ＝－43时取等号.此时,A (6,0),B (0,8),所以人行道的长度为62＋82＝10米. 【参考答案】10[思维升华]1.倾斜角和斜率的范围(1)倾斜角是一种特殊规定的角,其范围是[0,π),千万不要与其他角混淆,有些时候要依据图形而定.(2)斜率范围与倾斜角范围的转化,此时要结合y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的变化规律.2.在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零；若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况. [易错防范]1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.3.截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以为0,这是解题时容易忽略的一点.基础巩固题组 (建议用时:35分钟)一、选择题1.直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33,设倾斜角为α,则tan α＝－33,又α∈[0,π],所以α＝5π6. 【参考答案】D2.如图中的直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角,故k 1<0,直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3,所以0<k 3<k 2,因此k 1<k 3<k 2. 【参考答案】D3.(2019·安阳模拟)若平面内三点A (1,－a ),B (2,a 2),C (3,a 3)共线,则a ＝( ) A.1±2或0B.2－52或0C.2±52D.2＋52或0解析 由题意知k AB ＝k AC ,即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1,即a (a 2－2a －1)＝0,解得a ＝0或a ＝1±2.【参考答案】A4.(2019·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中,直线l 1:ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2:bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0,b >0时,－a <0,－b <0,结合选项知B 符合,其他均不符合. 【参考答案】B5.已知直线l 经过A (2,1),B (1,m 2)两点(m ∈R ),那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.[0,π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 解析 直线l 的斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2,因为m ∈R ,所以k ∈(－∞,1],所以直线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.【参考答案】B6.已知直线l 的斜率为3,在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数,则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 因为直线x －2y －4＝0的斜率为12,所以直线l 在y 轴上的截距为2,所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2. 【参考答案】A7.直线l 经过点A (1,2),在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3),则其斜率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1,＋∞) C.(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D.(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 设直线的斜率为k ,则直线方程为y －2＝k (x －1),令y ＝0,得直线l 在x 轴上的截距为1－2k ,则－3<1－2k <3,解得k >12或k <－1. 【参考答案】D8.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0,b ≠0),若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ,则直线ax －by ＋c＝0的倾斜角为( ) A.π4B.π3C.2π3D.3π4解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知,函数f (x )的图象关于x ＝π4对称,所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,所以a＝－b ,则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝ab ＝－1,又直线倾斜角的取值范围为[0,π),所以该直线的倾斜角为3π4. 【参考答案】D 二、填空题9.已知三角形的三个顶点A (－5,0),B (3,－3),C (0,2),则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12,∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5,即x ＋13y ＋5＝0.【参考答案】x ＋13y ＋5＝010.过点M (3,－4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. 解析 若直线过原点,则k ＝－43, 所以y ＝－43x ,即4x ＋3y ＝0.若直线不过原点,设直线方程为x a ＋ya ＝1, 即x ＋y ＝a ,则a ＝3＋(－4)＝－1, 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 【参考答案】4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝011.若经过两点A (4,2y ＋1),B (2,－3)的直线的倾斜角是直线4x －3y ＋2 019＝0的倾斜角的一半,则y 的值为________.解析 因为直线4x －3y ＋2 019＝0的斜率为43,所以由倾斜角的定义可知直线4x －3y ＋2 019＝0的倾斜角α满足tan α＝43,因为α∈[0,π),所以α2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2,所以2tan α21－tan 2 α2＝43,解得tan α2＝12,由已知及倾斜角与斜率的关系得2y ＋1＋34－2＝12,所以y ＝－32.【参考答案】－3212.设点A (－1,0),B (1,0),直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交,则b 的取值范围是________.解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距,如图,当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时,b 分别取得最小值和最大值.所以b 的取值范围是[－2,2].【参考答案】[－2,2]能力提升题组 (建议用时:15分钟)13.(2019·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角,且sin θ＋cos θ＝55,则l 的斜率为( ) A.－12 B.－12或－2 C.12或2D.－2解析 因为sin θ＋cos θ＝55,①所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15,所以2sin θcos θ＝－45,所以(sin θ－cos θ)2＝95,易知sin θ>0,cos θ<0,所以sin θ－cos θ＝355,② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，所以tan θ＝－2,即l 的斜率为－2.【参考答案】D14.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *),其前n 项和S n ＝910,则直线x n ＋1＋yn ＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.36B.45C.50D.55解析 由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1,所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1, 又知S n ＝910,所以1－1n ＋1＝910,所以n ＝9.所以直线方程为x 10＋y9＝1,且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9),所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45. 【参考答案】B15.已知直线l 过点P (2,－1),在x 轴和y 轴上的截距分别为a ,b ,且满足a ＝3b ,则直线l 的方程为________.解析 若a ＝3b ＝0,则直线过原点(0,0), 此时直线斜率k ＝－12,直线方程为x ＋2y ＝0. 若a ＝3b ≠0,设直线方程为x a ＋yb ＝1, 即x 3b ＋yb ＝1.由于点P (2,－1)在直线上,所以b ＝－13. 从而直线方程为－x －3y ＝1,即x ＋3y ＋1＝0. 综上所述,所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0. 【参考答案】x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0 16.已知直线l :kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明:直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限,求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ,交y 轴正半轴于B ,△AOB 的面积为S (O 为坐标原点),求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0, 令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值,直线总经过定点(－2,1).(2)解 由方程知,当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ,在y 轴上的截距为1＋2k ,要使直线不经过第四象限,则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时,直线为y ＝1,符合题意,故k 的取值范围是[0,＋∞). (3)解 由题意可知k ≠0,再由l 的方程, 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0,B (0,1＋2k ). 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4,“＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ,即k ＝12, ∴S min ＝4,此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

实验十二测量金属丝的电阻率实验原理实验操作注意事项1.由R＝ρlS得ρ＝RSl，因此只要测出金属丝的长度l、横截面积S和电阻R，即可求得ρ。

2.测量电阻的电路图1.测直径：用螺旋测微器在三个不同位置测量。

2.连电路：按原理图连接。

3.测长度：用毫米刻度尺测有效长度。

4.测电压、电流：改变变阻器的阻值，测多组U、I。

5.算电阻率：ρ＝RSl。

1.金属丝电阻小，用电流表外接法。

2.电流不宜过大，通电时间不宜太长，以免温度过高，导致电阻率测量结果偏大。

数据处理1.计算R x的两种方法。

方法一：用R x＝UI分别算出各次的数值，再取平均值。

方法二：作U－I图像，利用斜率求出R x，如图所示。

注意：采用图像法求电阻阻值的平均值，在描点时，要尽量使各点间的距离拉大一些，连线时要尽可能地通过较多的点，其余各点均匀分布在直线的两侧，个别明显偏离直线较远的点可以不予考虑。

2.计算电阻率：将记录的数据l、d及R x的值，代入电阻率计算式，得ρ＝πR x d24l。

考点一教材原型实验例1某同学欲测量一阻值大约为10 Ω、粗细均匀的金属线的电阻率。

实验室除游标卡尺，螺旋测微器、导线和开关外，还有以下器材可供选择：A.电源(电动势E＝6.0 V，内阻约1 Ω)B.电压表V(量程为0～6 V，内阻约8 kΩ)C.电流表A1(量程0～0.6 A，内阻约0.2 Ω)D.电流表A2(量程0～3 A，内阻约0.05 Ω)E.滑动变阻器R0(最大阻值5 Ω，额定电流2 A)(1)用游标卡尺测得该材料的长度如图1甲所示，读数为L＝________mm；用螺旋测微器测得该材料的直径如图乙所示，读数为D＝________mm。

图1(2)测量金属线的电阻时，为了便于调节及测量尽可能准确，实验中电流表应选________(填所选仪器前的字母符号)；选择合适的实验器材，在图丙方框内把实验原理图补充完整，把器材符号标在电路图上。

(3)设测得金属线的电阻为R，金属线的长度为L，金属线的直径为D，可得金属线的电阻率为ρ＝________(用R、L、D三个物理量表示)。

第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式知 识 梳 理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：sin αcos α＝tan__α． 2．三角函数的诱导公式1．特殊角的三角函数值α 0π6 π4 π3 π2 π 3π2 sin α 01222 32 1－1cos α132 22120 －1 0tan α 0 331 3不存在 0 不存在 2.式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．诊 断 自 测1．判断下列说法的正误．(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( )(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．( )(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)对于α∈R ，sin(π＋α)＝－sin α都成立．(4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.2．sin 600°的值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32 答案 B解析 sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C ．－43 D.43 答案 C解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin α＝1－cos 2α＝45，则tan α＝sin αcos α＝－43，故选C.4．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13 答案 B解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23.5．(必修4P22B3改编)已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．答案 3 解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.6．(2020·嘉兴期末)已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6是角α的终边上一点，则cos α＝________；角α的最小正值是________．答案 12 5π3解析 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6是角α的终边上一点，所以cos α＝sin 5π6＝12，sin α＝cos 5π6＝－32，所以α＝2k π＋5π3(k ∈Z )，所以当k ＝0时，角α取最小正值5π3.考点一 同角三角函数基本关系式的应用 【例1】 (1)(2021·浙江教育绿色评价联盟适考)已知α为第二象限角，且3sin α＋cos α＝0，则sin α＝( )A.1010B.31010C ．－1010D ．－31010(2)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 B.32 C ．－34 D.34(3)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 答案 (1)A (2)B (3)A解析 (1)由3sin α＝－cos α，两边平方得9sin 2α＝1－sin 2α，则sin α＝±1010，又α为第二角限角，所以sin α＞0，则sin α＝1010，故选A.(2)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.(3)tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.感悟升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 【训练1】 (1)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.22 D ．1 (2)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2(3)已知sin α＝13，0＜α＜π，则tan α＝__________， sin α2＋cos α2＝__________． 答案 (1)A (2)A (3)±24 233 解析 (1)由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得：2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即()2cos α＋12＝0，∴cos α＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.(2)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－13，1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103.(3)因为0＜α＜π，所以tan α＝sin αcos α＝±sin 2αcos 2α＝±sin 2α1－sin 2α＝±24，又0＜α2＜π2，所以sinα2＞0， cos α2＞0，所以sin α2＋cos α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝1＋2sin α2cos α2＝1＋sin α＝233.考点二 诱导公式的应用【例2】 (1)化简：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)；(2)设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6的值．解 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330° ＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. (2)∵f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝ 3. 感悟升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.【训练2】 (1)已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1，2，－2}B ．{－1，1}C ．{2，－2}D ．{1，－1，0，2，－2}(2)化简：tan （π－α）cos （2π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos （－α－π）sin （－π－α）＝______．答案 (1)C (2)－1解析 (1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2. (2)原式＝－tan α·cos α·（－cos α）cos （π＋α）·[－sin （π＋α）]＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合 应用【例3】 (1)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________． (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝( )A.223B.13 C ．－13 D ．－223(3)若1sin α＋1cos α＝3，则sin αcos α＝( )A ．－13 B.13 C ．－13或1 D.13或－1答案 (1)－33 (2)D (3)A解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.(2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α. 因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223. (3)由已知得sin α＋cos α＝3sin αcos α，∴1＋2sin αcos α＝3sin 2αcos 2 α，∴(sin αcos α－1)(3sin αcos α＋1)＝0，∵sin αcos α＝12sin 2α≤12，∴sin αcos α＝－13.感悟升华 (1)常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．(2)常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【训练3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________________________________________________________________________.(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－12(3)设a ∈R ，b ∈[0，2π]．若对任意实数x 都有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3＝sin(ax ＋b )，则满足条件的有序实数对(a ，b )的对数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 (1)12 (2)A (3)B解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. (2)由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋56π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π.因为当0≤x <π时，f (x )＝0.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π＝0＋12＝12.(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3＋2π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋5π3，(a ，b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋4π3，(a ，b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，4π3，注意到b ∈[0，2π]，只有这两组．故选B.基础巩固题组一、选择题1.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( ) A ．sin 2－cos 2 B ．sin 2＋cos 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．cos 2－sin 2 答案 A 解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 2．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝( ) A.13 B.223 C ．－13 D ．－223 答案 A解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ ＝13.3．(2021·湖州中学质检一)若cos(π－α)＝－12，则( )A ．sin(－α)＝32B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－32C ．cos(π＋α)＝12D ．cos(π＋α)＝－12答案 D解析 由cos(π－α)＝－12得cos α＝12，则sin α＝±32，sin(－α)＝－sin α＝±32，选项A 错误；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝12，选项B 错误；cos(π＋α)＝－cos α＝－12，选项C 错误，选项D 正确，故选D.4．已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α＝( )A ．－55 B.55 C.255 D ．－255 答案 A解析 ∵tan α＝12＞0，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＜0， ∴sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1＝1414＋1＝15， ∴sin α＝－55.5．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B ．－35 C.15 D.35 答案 B解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35.6．向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D ．－223 答案 A解析 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，∴13×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－13.7．已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12 B ．2 C ．－12 D ．－2 答案 B解析 原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α＋cos α）（sin α－cos α）＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3＋13－1＝2. 8．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 019)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3 答案 D解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β ＝－3.二、填空题 9．sin 750°＝________．答案 12解析 sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝12.10．(2021·上海长宁区质检)已知sin α＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________．答案 －45解析 由诱导公式知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－45，故填－45.11．化简：sin 2（α＋π）·cos （π＋α）·cos （－α－2π）tan （π＋α）·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin （－α－2π）＝________．答案 1解析 原式＝sin 2α·（－cos α）·cos αtan α·cos 3α·（－sin α）＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.12．已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________．答案 －74解析 因为α为钝角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝－74.13．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________． 答案 －43解析 由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43.14．若－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则(1)sin αcos α＝________；(2)sin α－cos α＝________．答案 (1)－1225 (2)－75解析 (1)将sin α＋cos α＝15两边同时平方可得，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125，即2sin αcos α＝－2425，∴sin αcos α＝－1225.(2)由(1)得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925.∵－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75.能力提升题组15．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为() A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5 D ．－1－ 5答案 B解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m 4.又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.16．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ＝( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3，∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.17．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________；cos 21°＋cos 22°＋…＋cos 290°＝________．答案 912 892解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.∴cos 21°＋cos 22°＋…＋cos 290°＝90－(sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°)＝892.18．(2020·绍兴一中适应性考试)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则cos α＝________，cos 2α＋cos α＝________．答案 13 －49解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13得cos α＝13，故由倍角公式得cos 2α＋cos α＝2cos 2α＋cos α－1＝－49.19．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝ ________．答案 0解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 20．已知：f (α)＝sin （－α）cos （π＋α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π－α）sin （2π＋α）tan （π＋α）. (1)化简f (α)的结果为________；(2)若角α的终边在第二象限且sin α＝35，则f (α)＝________．答案(1)－cos α(2)4 5解析(1)f(α)＝sin（－α）cos（π＋α）cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－αcos（π－α）sin（2π＋α）tan（π＋α）＝－sin α（－cos α）sin α－cos αsin αtan α＝－cos α.(2)由题意知cos α＝－1－sin2α＝－45，∴f(α)＝－cos α＝4 5.。

第2讲交通与通信发展带来的变化(时间：45分钟满分：100分)一、单项选择题(每小题3分，共48分)(2013·东北四校联考)地铁是城市轨道交通系统。

哈尔滨地铁始建于2008年，总体规划有5条线和2条支线，总里程143千米。

1号线一期工程预计于2013年年底通车。

读图完成1～2题。

1．关于哈尔滨地铁建成的影响，说法正确的是()。

A．改善了黑龙江省交通运输的紧张状况B．加重了哈尔滨市区内交通环境污染问题C．将减少哈尔滨现有的私家车数量，解决交通拥堵现象D．带动沿线地区的房地产价格上涨2．关于哈尔滨地铁线路的叙述正确的是()。

A．哈尔滨东南部地铁线路稀疏是因为地形复杂B．首选建设1号线主要是因为它经过城市中心地区，客流量大C．3号地铁环线不能缓解博物馆地区交通拥堵状况D．换乘站应与其他交通运输方式的站点相距较远，避免交通拥堵解析第1题，城市地铁的开通，利于城市市内交通，由于沿线交通便利，将会带动沿线地区的房产价格上涨；同时利于缓解市内交通拥堵现象，从而减轻市区内的交通环境污染，但不会完全解决城市拥堵，也不会减少城市现有的私家车数量。

第2题，从图中可看出，1号线路贯穿哈尔滨市中心区，该线路的修建能很好地缓解市中心区的交通压力，所以应优先修建。

地铁修建成本高昂，应修建在交通压力较大的区域，图中显示东南部地铁线路稀疏，说明客流量较少；3号地铁环线连接1、4、2、5号线，能有效缓解博物馆地区交通拥堵状况；换乘站应尽量与其他运输方式的站点接近，以利于乘客出行。

答案 1.D 2.B“广佛都市区”指由广州中心城区与佛山中心城区及其外围的次级城镇中心共同构成的核心区域。

读1957～2008年广佛都市区路网发展方向图(中心点为广州市人民政府)，完成3～4题。

3．由图可知该区()。

A．东南方向上路网发展最快B．东北方向上的路网密度最大C．1982～1995年，西南方向上路网发展最快D．1995～2008年，正东方向上路网发展最慢4．下列事实中，对该区路网的发展影响较小的是()。