2019-2020学年高中毕业班天一大联考测试(一)数学(文科)

绝密★启用前天一大联考2020年春期高二线上联考数学(文)考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.21ii -+＝A.－2＋2iB.－1＋iC.－1－iD.2＋2i2.某公司的财务报销流程图如图所示，则2019年初，采购人员为公司购进了一批办公用品，现准备报销此次所购的办公用品的经费，根据右面的流程图，则需要签字的次数为A.5B.4C.3D.23.已知变量x与y线性相关，其散点图中的点从左下到右上分布。

若y关于x的线性回归方程为y＝bx＋a，则b的取值范围是A.(0，1)B.(－1，0)C.(－∞，0)D.(0，＋∞)4.已知数列{a n}是等差数列，且a6＝6，a10＝8，则公差d＝A.1 2B.23C.1D.25.对于任意的x1，x2∈D，且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)在D上是增函数。

因为sin6π<sin3π，所以J(x)＝sinx在[0，2π]上单调递增，以上“三段论”式的推理A.推理形式是错误的B.大前提是错误的C.结论是错误的D.是正确的6.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位。

现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有60kg的果子收成，则此圭田中的收成约为A.25kgB.50kgC.1500kgD.2000kg7.根据右侧的程序框图，输出的S的值为A.1007B.1009C.0D.－18.在复平面内，虚数z对应的点为A，其共轭复数z对应的点为B，若点A与B分别在y2＝4x与y＝－x上，且都不与原点O重合，则OA OB⋅u u u r u u u r＝A.－16B.0C.16D.329.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，这些数叫做三角形数。

2019届河南省天一大联考高三上学期段测一数学（文）试卷【含答案及解析】姓名____________ 班级_______________ 分数____________、选择题1. 已知集合.::门上卩, B = {»| n = 2*'1T t e［，则丨「( )A • {1,2,3}B • {1,2}C • {1}D • {3}2. 已知复数- 二=一-，则复数的模为（）A . 4 B. 5 C . 6 D . 73. 半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为（）A . 44 _______B . 54 ________C . 88 _______D . 1084. 设抛物线「一円的焦点为.，准线.与轴的交点为：，过抛物线:上一点.；•：作准线的垂线，垂足为:.若仝肿的面积为2,则点*的坐标为（）A . （1,2 ）或（1 , -2 ）B . （1,4 ）或（1, -4 ）C•（1,2 ） D •（1,4 ）5.函数 /（.V ）= A sinfflJ.T 亠〔吹£ A 0” 珂 > 0, 0 << 的图象如图所示，贝V（6.以「匸；；为圆心，且与两条直线1I 与'1 i' 同时相切的圆的标准方程为 （ ）A•「：；■ _「- / ' 「: --------------B. i-C • ________________________________________________D.7. 满足不等式 ??r -4^J -12 <0 的实数 - 使关于 -的一兀一次方程 .V 1- -4.v4；；r =0 有实数根的概率是 ( )1 厂-1A.B.-CD.358. 如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体A • | 「BC •'亠 一 D/(^)=2sm(^ y)/(x) = 2siD (2^+-)积为（）9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的（）江=■- ，^ i ，则输出I -的等于已知直线.与函数. r .-, 的图象交于，「两点，若点氏;*；是线段二的中点，则实数•的值为（]11. 已知函数 t ‘：■：＞_■- 一: 兀门」—y、3 2CO!i ------ . —I .若是使不等式. .[•恒成立的■的最小值，则12. 切, 函数-在点处的切线与函数；,•; ；,—「的图象也相则满足条件的切点的个数有( )A . 0 个________B . 1 个C . 2 个_______________ D. 3 个二、填空题13・已知| .-；；/ 的夹角为__________ .I I I I，且 -I -则向量4+ ,v-2 <0.14. 若x ，X满足约束条件x—2y+ 2 < 0,，贝【J二=3工+ »*的最大值为xp+?羊o.15. 在「匸.中，边g 的垂直平分线交边.■:于•；：，若一一，,-■■■二-V ，贝V •,的面积为____________ .16. 6月23日15时前后，江苏盐城阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型教授队从：，.「，：, J四个不同的方向前往灾区•已知下面四种说法都是正确的•(1)甲轻型教授队所在方向不是：方向，也不是.；：方向(2)乙轻型教授队所在方向不是'方向，也不是一：’方向(3)丙轻型教授队所在方向不是：方向，也不是一;，方向(4)丁轻型教授队所在方向不是*方向，也不是'1方向此外还可确定：如果丙所在方向不是.:!方向，那么甲所在方向就不是方向.有下列判断：①甲所在方向是方向；②乙所在方向是方向；③丙所在方向是.■:方向；④丁所在方向是 C 方向.其中判断正确的序号是 _______________ .三、解答题17. 已知各项都为正数的等比数列(I)求数列-;的通项公式;g｝满足划十4偽二迅,且—■:(H)设轧=1、丰匚，且为数列；；的前:项和，求数列的的前■-项和18. 某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数为5组:―m ，，，得到如图所示的频率分布直方图：（I）写出•的值；（H）求在抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数；（川）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，求至少抽19. 如图，已知等边m中，「，戸分别为，：：边的中点，…为边上一点，且一」匕-，将*p沿芦折到到1名女生的概率.（I）求证：平面八匸辭丄平面；（H）设■：. ■- ,求三棱锥；-的体积.20. 已知椭圆「一--一的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的h2三个顶点，且长轴长为 4.(I)求椭圆〒的方程；(D)若是椭圆，*的左顶点，经过左焦点.'的直线与椭圆.厂交于：，二两点，求与门门耳Q的面积之差的绝对值的最大值.(.为坐标原点)21. 设函数，：：.：「•岂.(I)当| , 时，求曲线=.■- ；；.- 7.在点：］..m：:处的切线方程；(H)当，：时，若对任意，不等式；恒成立.求实数:的取值范围.22. 如图所示，「叮为.；〔的切线，切点为」，割线苛T过圆心•二，且(I)求证：* •飞：_ I ；(H)若^ 一，求；：•「的长.23. 已知圆！的极坐标方程为，直线的参数方程为,x =5 -t-rcosof,_ (占为参数).若直线/与圆C?相交于不同的两点尸，QL j'=rsm«r(I)写出圆的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；(n)若弦长i ，求直线.的斜率.24. 设/ ■| :八J1-.(I)求•'的解集…；(n)当.「■ ■时，求证| .参考答案及解析第1题【答案】【解析】试題分析：= J 故川^={L2}・第2题【答案】E I【解析】试题分析：厂一2汁(1十卅)(-0 = 43讣卜5 .第3题【答案】C【解析】J 4 6忧題分析；球的体积为!丝=花』长方怵的高为低丸壬4"；故表面积为3 3 就2(6 ^ + 4 2 + 6 2) = 88 .第4题【答案】【解析】试题分析：依题訂卜L0),设鬥彳J ，则QU ,面积为寸〒1心芥"2 ,故选A.第5题【答案】b【解析】试题井析：由團可tn 4-2 - /(0) = 2siflp = l 1^=y ； /[ y |=2siii[y^+y j = 2,^ = 2 ；选D.第6题【答案】【解析】第7题【答案】A【解析】试题分析：由m~ -4j?i-12^0解得-2百？《 £ 6 A = 16-4^2」故槪率为g .第8题【答案】试题分析：圆心到这两荼直线的距离相等一元二戻方程/-牡和沪=0有实数根，解得＜7空1詡-V$ -【解析】1“试題分析：相当于f 圆锥和一个长方体」故体积为|r-242-2 l = 4 + y第9题【答案】【解析】 试題分析：M = 12.V = ]，循环.P = 1() = 2^V = 15^V = 2 ,循环』P^4.Q^XM^19,N = 6 ,擔环，P = = ,退出循环，输出.第10题【答案】【解析】试题分析；SftS'J/(-) = ln(^)-ln(l ，经计算得乍卜I ，故函数2 2 2 2 丿/ /⑴关干点住丄］对称，故心:・V2 2J2第11题【答案】【解析】试題分析:[0,^1 2X €[0^],2.Y -F e[^ 、故最大值为 0 、"屁吐沁,casj.7-^3 3 6 6 662第12题【答案】【解析】1JT 1 -cot^x 1—- ^-sm2v + —2 26)试题分析：依题gffigi/(x)=hx 在点』(沧几胡 处的粧毎方程为i -lnx^-fx-xj ;化-1 ■i 尹”斜率吋,”宀］r 叱,切线族为，化简得严；寸.第13题【答案】,画出的團象，由團可知，有两个交点.y = Injr, y =一111——■+ =——111 咼 +In v 3 ———41, In© =1+~6试題分析；依題竜有;L第14题【答案】10【解析】f、4、1Q试题井析：画出可行域如下團所示，由图可知目标團数在A；V T职得最大值为=•【解析】2 6第15题【答案】20^3或24 J?【解析】试题井析；在APCD中」由余弦走理有pLE — CD—lXD gs?,解得CD=3,CD = 5 、当3CO = 5 时，,4C=1Z5 = - 12-S —= 24^ ,当CD = 3 “- 10 6 —= 20^12 2 2 2第16题【答案】③【解析】试题井析：由⑴知/甲选且或占；由＜2）知』乙选U或D；由＜3）知j丙选「或D F由（4）知,丁选匚或£ ;宙于：如杲丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是詞方向，故丙所在方向是D 方冋.第17题【答案】(I)弘二空；Cir> T.r = —M +1【解析】 试题分析：（C 利用基本元的思想，将已知条件化为吟勺、列方程组求得q=g = 5 ,故巧=5" 12「A 為J'占儿利用裂项求相缺得匚=（I >设等比埶列的公比为孚，由题意知汨0 ,•严+如"「錄得竹—故―宁 尹1中梓=碼旷.（II 》由I I ） •得加=】闻角=斤，所以比=呛；“2[(!-丄》讥丄一丄HL 十(丄一丄)]=2(1-—) = —2 2? 片冲*1 ;? + 1 wM第18题【答案】<11）化简也=旅陈a,=冲丿故凡二朮“十°故對列｛卡 的前幵项和为冨兰⑴0 05 ； Cir） 14 ; Cm）—10【解析】试题分析：（"利用频率分布直方副卡方形面积等于1"列式计算得,cm女生的频率为0 35 , ifflXfl.35 20=7人』男生频率也是0巧、抽KO 35 20 =7人，共14人鼻（in）上刚BH20坎的男空有？人'女生有2人,用列举法列举出可能性一共有10种，其中符合题意要求的有7种，故概率対~ •试题解析=⑴"VP叫严+。

2020年天一大联考高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0≤x≤7}，B={x|x2−8x+7≥0}，则A∩B=()A. [0,1]B. {7}C. [0,1]∪{7}D. [1,7]2.设复数z=(5+i)(1−i)(为虚数单位)，则的虚部是()A. 4iB. −4iC. −4D. 43.如果a<0,b>0，那么下列不等式中正确的是()A. 1a <1bB. √−a<√bC. a2<b2D. |a|>|b|4.供电部门对某社区1000位居民2016年11月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为0，10)，10，20)，20，30)，30，40)，40，50]五组，整理得到如右的频率分布直方图，则下列说法错误的是()．A. 11月份人均用电量人数最多的一组有400人。

B. 11月份人均用电量不低于20度的有300人C. 11月份人均用电量为25度D. 在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在30，40)一组的概率为5.将函数f(x)=sin(2x+φ)，|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后的图象关于原点对称，则函数f(x)在[0,π2]上的最小值为()A. √32B. 12C. −12D. −√326.已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7−a8=5，则S11为()A. 110B. 55C. 50D. 不能确定7.已知sin(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=()A. 58B. −78C. −58D. 788.设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，B(0,2b)，若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为()A. √2B. 2C. √5D. 39.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A. 10B. 17C. 24D. 2610.过抛物线x2=4y的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则1|AB|+1|CD|=()A. 2B. 4C. 12D. 1411.已知函数f(x)=3sin(πx)x2−3x+3，给出三个命题：①f(x)的最小值为−4，②f(x)是轴对称图形，③f(x)≤4π|x|.其中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 312.如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=2√3，侧面积为8√3，则它的体积为()A. 4B. 8C. 12πD. 16π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知|a⃗|=2，且(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，则a⃗⋅b⃗ 的值是______ ．14.下面几种推理过程①某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人②根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质③平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分④在数列{a n}中，a1=1,a n+1=2a n2+a n,n∈Ν∗，计算a2,a3,由此归纳出{a n}的通项公式其中是演绎推理的的序号为_________．15.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上，则该圆柱的侧面积为__________．16.在△ABC中，若BC=6,AB=4,cosB=13，那么AC=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．18.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)证明：C1F//平面ABE；(2)设P是BE的中点，求三棱锥P−B1C1F的体积．19. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得如下数据：(Ⅰ)求回归直线方程y =bt +a ；(Ⅱ)当单价t 为10元时，预测该产品的销量． 附：回归方程y ̂=b ̂t +a ̂中，b ̂=∑(n i−l ti−t −)(yi−y −)∑(n i−l ti−t −)2=∑t n i−l iyi−nt −y −∑t n i−li 2−nt −2，a ̂=y −−b ̂t −．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为，点P 是椭圆E 上的一个动点，△PF 1F 2的周长为6，且存在点P 使得，△PF 1F 为正三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆E 上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若AC 的斜率为√3，求四边形ABCD 的面积．21. 已知函数f(x)=ln(ax)x+1，曲线y =f(x)在x =1处的切线与直线x −2y =0平行．(1)求a 的值；(2)若f(x)≤b −2x+1恒成立，求实数b 的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =−3+4cosθ,y =4+4sinθ(θ为参数)，直线l 1：kx −y +k =0.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2的方程为cosθ−2sinθ=4ρ．(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 2的直角坐标方程；(2)l 1与曲线C 交于不同的两点M ，N ，MN 的中点为P ，l 1与l 2的交点为Q ，l 2恒过点A ，求|AP|·|AQ|的值．23. 设函数f(x)=|x|．(1)设f(x −1)+f(x +2)<4的解集为A ，求集合A ；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1−a a ⋅1−bb⋅1−cc≥8．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，以及一元二次不等式的解法，属基础题．求出集合B，根据交集定义进行求解．解：集合A={x|0≤x≤7}，B={x|x2−8x+7≥0}={x|x≤1或x≥7}，∴A∩B={x|0≤x≤1或x=7}=[0,1]∪{7}．故选C．2.答案：C解析：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．解：z=(5+i)(1−i)=6−4i，∴虚部是−4，故选C．3.答案：A解析：∵a<0∴1a <0∵b>0∴1b>0故1a<1b.若a=−2,b=2，则√−a=√b，故B不正确，同理a2=b2，故C也不正确；|a|=|b|，故D也不正确．4.答案：C解析：本题考查频率分布直方图，逐一判断求解即可．解：根据频率分布直方图知，11月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A正确；11月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确；11月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误；在这1000位居民中任选1位协助收费，用电量在[30,40)一组的频率为0.1，估计所求的概率为110，∴D正确．故选C．5.答案：D解析：本题考查了三角函数的图象变换、三角函数的奇偶性及三角函数的值域的应用．由条件利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求出g(x)的解析式，再根据题意求x∈[0,π2]时的最小值即可．解：∵函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数解析式为：y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+π3+φ)为奇函数，∴π3+φ=kπ，即φ=kπ−π3，k∈Z，∵|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=sin(2x−π3)，又x∈[0,π2]，∴2x∈[0,π]，2x−π3∈[−π3,2π3]，∴−√32≤sin(2x+π6)≤1，∴函数f(x)在[0,π2]上的最小值−√32．故选D．6.答案：B 解析：利用等差数列的通项公式与性质及其求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解：2a7−a8=2(a1+6d)−(a1+7d)=a1+5d=a6=5，∴S11=11×a1+a112=11a6=55．故选B．7.答案：B解析：解：由sin(π3−α)=14，可得：cos(α+π6)=cos[π2−(π3−α)]=sin(π3−α)=14．那么：cos(π3+2α)=cos2(π6+α)=2cos2(α+π6)−1=2×116−1=−78．故选：B．利用诱导公式和二倍角公式即可计算．本题考查了诱导公式和二倍角公式的灵活运用！属于基础题．8.答案：B解析：解：F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)，B(0,2b)，若直线FB与C的一条渐近线垂直，可得：得：2b−c ⋅−ba=3，可得2b2=3ac，即2c2−2a2=3ac，可得2e2−3e−2=0，e>1，解得e=2．故选：B．求出双曲线的焦点坐标，利用直线FB与C的一条渐近线乘积，列出方程，然后求解离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9.答案：D解析：解：第一次，S=2，i=3，⇒S=5，i=5，⇒S=10，i =7，⇒S =17， i =9，⇒S =26， i =11>10，程序终止， 输出S =26， 故选：D根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．本题主要考查程序框图的计算，根据查询进行模拟计算是解决本题的关键．10.答案：D解析：本题主要考查了抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系，设出直线方程，联立直线与抛物线方程，消去x ，根据根与系数的关系，得到|AB|和|CD|的值，进而求得1|AB |+1|CD |．解：根据题意，抛物线的焦点为(0,1)，设直线AB 的方程为y =kx +1(k ≠0)，直线CD 的方程为y =−1k x +1，由{y =kx +1x 2=4y ，得y 2−(2+4k 2)y +1=0， 由根与系数的关系得y A +y B =2+4k 2， 所以|AB|=y A +y B +2=4+4k 2， 同理|CD|=y C +y D +2=4+4k 2，所以1|AB|+1|CD|=14k 2+4+k 24k 2+4=14， 故选D ．11.答案：D解析：解：①若f(x)的最小值为−4等价为3sin(πx)x 2−3x+3≥−4恒成立，且能取等号， 即4x 2−12x +12+3sin(πx)≥0恒成立，设g(x)=4x 2−12x +12+3sin(πx)，则g(x)=4(x −32)2+3+3sin(πx)≥3+3sin(πx)≥0， 当x =32时，g(x)=3+3sin 32π=3−3=0，即0能取到，故①正确， ②∵x =32是y =3sin(πx)和y =x 2−3x +3共同的对称轴， ∴x =32是f(x)的对称轴，即f(x)是轴对称图形，故②正确， ③∵y =x 2−3x +3=(x −32)2+34≥34，∴f(x)≤|f(x)|≤|3sinπx34|=4|sinπx|，只要证明|sinπx|≤π|x|，即可， 设|sint|≤|t|，(t ≥0) 当t ≥1时不等式恒成立， 当0≤t <1时，即证明sint ≤t ，设ℎ(t)=sint −t ，ℎ′(t)=cost −1≤0，即ℎ′(t)在0≤t <1上是减函数， 则ℎ(t)=sint −t ≤ℎ(0)=sin0−0=0， 即sint ≤t 成立，综上，4|sinπx|≤4π|x|成立，故③正确， 故三个命题都是真命题， 故选：D ．根据条件分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及最小值，对称性以及不等式的证明，涉及的知识点较多，综合性较强，考查学生的运算和推理能力．12.答案：A解析：解：作PO ⊥平面ABCD ，取BC 中点E ，连结OE ，PE ， ∵正四棱锥P −ABCD 中，AB =2√3，侧面积为8√3， ∴O 是四边形ABCD 的中点，E 是BC 的中点，PE ⊥BC ， 4×12BC ×PE =8√3，解得PE =2，∴PO=√PE2−OE2=√4−3=1，∴正四棱锥P−ABCD的体积V=13×S正方形ABCD×PO=13×2√3×2√3×1=4．故选：A．作PO⊥平面ABCD，取BC中点E，连结OE，PE，求出PE=2，从而PO=1，由此能求出正四棱锥P−ABCD的体积．本题考查正四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13.答案：−4解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．由(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，可得(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，即可得出．解：∵|a⃗|=2，且(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，∴(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，∴a⃗⋅b⃗ =−a⃗2=−22=−4．故答案为：−4．14.答案：③解析：本题考查简单的演绎推理，推理分为合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)与演绎推理(一般→特殊)，合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．解：①选项，某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班都超过60人，属于归纳推理;②选项，由三角形的性质，推测空间四面体性质，属于类比推理；③选项，具有明显的大前提，小前提，结论，属于典型的演绎推理的三段论形式;④选项，在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n2+a n，n∈N∗，由此归纳出{a n}的通项公式，属于归纳推理；综上，可知，只有③选项为演绎推理．故答案为③．15.答案：4√3π解析：本题主要考查了圆柱的侧面积和球的相关知识，属于基础题．由它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上，可求出圆柱底面圆的半径r =√22−12=√3，进而求得侧面积．解：∵圆柱的高为2，且它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上， ∴可得圆柱底面半径r =√22−12=√3， ∴圆柱的侧面积．故答案为4√3π．16.答案：6解析：解：∵BC =6,AB =4,cosB =13，∴AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =√62+42−2×6×4×13=6．故答案为：6．直接利用余弦定理即可求值得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)∵T n −2b n +3=0，∴当n =1时，b 1=3，当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n =2b n−1，(n ≥2) ∴数列{b n }为等比数列，∴b n =3⋅2n−1. (Ⅱ)c n ={n −1, n 为奇数3⋅2n−1 , n 为偶数.令a n =n −1，故P 2n+1=(a 1+a 3+⋯+a 2n+1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(0+2n)⋅(n+1)2+6(1−4n )1−4，=22n+1+n 2+n −2．解析：(Ⅰ)当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得数列{b n }为等比数列，即可求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)确定数列{c n }的通项，利用分组求和的方法求数列{c n }的前2n +1项和P 2n+1．本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b n }为等比数列是解题的关键．18.答案：(1)证明：取AC 的中点M ，连接C 1M ，FM ，在△ABC 中，FM//AB ，而FM ⊄面ABE ，∴FM//平面ABE ， 在矩形ACC 1A 1中，E ，M 都是中点， ∴C 1M//AE ，而C 1M ⊄平面ABE ，∴C 1M//平面ABE ， ∵C 1M ∩FM =M ， ∴平面FC 1M ⊄平面ABE ， ∵C 1F ⊂平面FC 1M ， ∴C 1F//平面ABE ，(2)取B 1C 1的中点H ，连接EH ， 则EH//AB ，且EH =12AB =√3FM ， ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴EH ⊥平面BB 1C 1C ， ∵P 是BE 的中点，∴V P−B 1C 1F =12V E−B 1C 1F =12×13⋅S △B 1C 1F ⋅EH =12×13×2×√3=√33．解析：(1)根据线面平行的判定定理即可证明：C 1F//平面ABE ； (2)根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥P −B 1C 1F 的体积．本题主要考查线面平行的判定以及空间几何体的体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．19.答案：解：(Ⅰ)t −=16(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5，y −=16(90+84+83+80+75+68)=80，b ̂=∑t i 6i=1y i −6t −y−∑t i 26i=1−6t−2=−20，a ̂=y −−b ̂x −=250，∴回归方程为y =−20t +250；(Ⅱ)在y =−20t +250中，取t =10，可得y =50．∴当单价t 为10元时，预测该产品的销量为50件．解析：(Ⅰ)由已知表格中的数据求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求； (Ⅱ)在(Ⅰ)中求得的回归方程中，取t =10求得y 值得答案． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．20.答案：解：(1)设c 为椭圆的半焦距，依题意，有：{2a +2c =6a =2c ，解得{a =2c =1，∴b 2=a 2−c 2=3． 故椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1．(2)解：由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33． 则AC ：y =√3(x +1)，BD ：y =−√33(x +1)．联立{x 24+y 23=1y =√3(x +1)，得5x 2+8x =0，∴x =0或x =−85， ∴|AC|=√1+(√3)2|0−(−85)|=165．联立{x 24+y 23=1y =−√33(x +1)，得13x 2+8x −32=0，∴x =−4±12√313， ∴|BD|=√33)−4+12√313−−4−12√313|=4813．∴S ABCD =12|AC|×|BD|=12×165×4813=38465，故四边形ABCD 面积为38465．解析：(1)由题意列关于a ，c 的方程组，求得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； (2)由已知向量等式可得AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33.分别写出AC 、BD 所在直线方程，联立直线方程与椭圆方程，可得|AC|、|BD|的值，代入四边形面积公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=1x(x+1)−lnax (x+1)2=1+1x−lnax (x+1)2，由f′(1)=2−lna 4=12，解得a =1．(2)∵a =1，∴f(x)=lnx x+1，∴由题得：b ≥2+lnx x+1(x >0)恒成立，设g(x)=2+lnx x+1，则g′(x)=1x−lnx−1(x+1)2，再设ℎ(x)=1x−lnx−1(x+1)2，则ℎ′(x)=−x+1x 2<0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上递减， 又ℎ(1)=0，∴当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(0,1)上为增函数； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1,+∞)上为减函数； ∴g(x)max =g(1)=1，∴只需b ≥g(x)max =1，即b ≥1， ∴b 的最小值b min =1．解析：(1)求出原函数的导函数，得到函数在x =1处的导数，由导数值等于12，求得实数a 的值； (2)由题得：b ≥2+lnx x+1(x >0)恒成立，构造g(x)=2+lnx x+1，求出g(x)max =1，即可求实数b 的最小值．本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，考查函数的最值，正确分离参数是关键，是中档题．22.答案：解：(1)曲线C ：{x =−3+4cosθ,y =4+4sinθ(θ为参数)，∴(x +3)2+(y −4)2=16.直线l 2：cosθ−2sinθ=4ρ，即ρcosθ−2ρsinθ=4， ∴x −2y =4，即x −2y −4=0. (2)∵直线l 1：kx −y +k =0， 即y =k(x +1)，∴直线l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数).代入曲线C ：(x +3)2+(y −4)2=16，得t 2+4t(cosα−2sinα)+4=0. 设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=4(2sinα−cosα)，t 1t 2=4.设点Q 对应的参数为t 3.将l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)代入直线l 2：x −2y −4=0， 得t 3=5cosα−2sinα.∴|AP|·|AQ|=|t 1+t 22||t 3|=2|2sinα−cosα||5cosα−2sinα|=10．解析：(1)消去θ可得(x +3)2+(y −4)2=16.直线l 2即ρcosθ−2ρsinθ=4，可得x −2y =4； (2)直线l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数).代入曲线C 得t 2+4t(cosα−2sinα)+4=0.设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，根据几何意义及根与系数的关系求解．23.答案：解：(1)f(x)=|x|，则f(x −1)+f(x +2)=|x −1|+|x +2| ={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2． 因为f(x −1)+f(x +2)<4，可得{2x +1<4x >1或−2≤x ≤1或{−2x −1<4x <−2，所以−52<x <32，所以不等式的解集A ={x|−52<x <32}； (2)由(1)知m =1，则a +b +c =1， 又a ，b ，c 均为正实数，1−a a ·1−b b ·1−cc =b +c a ·a +c b ·a +bc≥2√bca·2√acb·2√ab c=8，当且仅当a =b =a =13时等号成立． 所以1−a a⋅1−b b⋅1−c c≥8．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(1)根据f(x)=|x|，可得f(x −1)+f(x +2)={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2，然后由f(x −1)+f(x +2)<4，分别解不等式即可；(2)根据(1)可得a+b+c=m=1，然后利用基本不等式可知1−aa ·1−bb·1−cc≥2√bca·2√acb·2√abc=8，从而证明1−aa ·1−bb·1−cc≥8，注意等号成立的条件．。

2019-2020学年河南省天⼀⼤联考⾼⼀上学期第⼀次阶段性测试数学试题（解析版）2019-2020学年河南省天⼀⼤联考⾼⼀上学期第⼀次阶段性测试数学试题⼀、单选题1．已知集合{1,0,1,2,3,4},{|3}A B x x =-=<，则A B ?=（） A ．{1,0,1,2}- B ．{1,0,1}- C ．{0,1,2} D ．{|3}x x <【答案】A【解析】根据集合的交运算，结合已知，进⾏求解. 【详解】由集合的交运算，可得{}1,0,1,2A B ?=-.故选：A. 【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.2．已知22,0,()log ,0x x f x a x x ?≤=?+>?，若()(2)1f f -=-，则实数a 的值为（）A ．2-B ．2C ．0D ．1【答案】D【解析】由已知条件，利⽤分段函数性质，先求出1(2)4f -=，再算出14f ??，即可求出a . 【详解】由题意得：已知函数22,0,()log ,0,x x f x a x x ?≤=?+>?所以1(2)4f -=，则()1(2)214f f f a ??-==-=-得1a =，故选：D.本题考查分段函数的概念，还涉及函数的性质和函数值的求法，同时考查运算能⼒. 3．函数1()lg f x x=+ ） A ．(],2-∞- B ．(]0,2C ．()(]0,11,2UD ．(]1,2-【答案】C【解析】由函数解析式可知，根据对数真数⼤于0，分母不为0和⼆次根式的被开⽅数⼤于等于0，即可求出定义域. 【详解】由题意可得0lg 020x x x >??≠??-≥?，化简得02x <≤且1x ≠，即()(]0,11,2x ∈?.故选：C. 【点睛】本题考查求具体函数的定义域的⽅法，注意函数的定义域是函数各个部分的定义域的交集.4．若()y f x =的定义域为R ，值域为[1,2]，则(1)1y f x =-+的值域为（） A ．[2,3] B ．[0,1] C ．[1,2] D ．[1,1]-【答案】A【解析】根据函数的平移规则，结合原函数的值域求解. 【详解】因为(1)1y f x =-+是将原函数()f x ，向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，但是左右平移不改变值域，故(1)1y f x =-+的值域为[]2,3. 故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的上下平移和左右平移对函数值域的影响. 5．函数21()log 1xf x e x=--的零点所在的区间是（）C ．1,12?? ???D ．(1,2)【答案】C【解析】将选项中区间左右端点代⼊函数解析式，若发现两端函数值异号，则零点就在该区间. 【详解】因为1202f ??=<，⽽()110f e =-> 则()1102f f ??<，根据零点存在性定理可知函数零点所在区间为：1,12?? ???. 故选：C. 【点睛】本题考查函数零点所在区间的确定，判断依据是零点存在性定理.6．设0.2【答案】B【解析】将,,a b c 与1和0进⾏⽐较，从⽽得出结果. 【详解】0.20331a =>=，0.30.3log 0.4log 0.31?b =<=且0b >， 44log 0.2log 10c =<=，故a b c >>，故选：B. 【点睛】本题考查指数式和对数式⼤⼩的⽐较，⼀般地，先与1和0进⾏⽐较，即可区分. 7．设m R ∈，幂函数1()(22)m f x m x +=+，且(1)(2)f a f a +>-，则a 的取值范围C ．(1,2]-D ．[2,)+∞【答案】B【解析】由()f x 是幂函数，求得参数的值，再求解不等式即可. 【详解】因为1()(22)m f x m x +=+是幂函数，故221m +=，解得12m =-，则()f x x =，其在[)0,+∞为单调增函数，则不等式(1)(2)f a f a +>-等价于102012a a a a+≥??-≥??+>-?，解得1,22a ??∈ .故选：B. 【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，以及利⽤函数单调性求解不等式. 8．函数|1|1()10x f x -=的图象⼤致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的定义域，以及单调性，结合选项进⾏选择. 【详解】因为|1|1()10x f x -=定义域为R ，故排除C 、D 选项；故选：A. 【点睛】本题考查由函数的解析式，选择函数的图像.⼀般地，要从定义域、值域、单调性、特殊点出发进⾏选择.9．已知函数(22()log 2f x x x a =-+的最⼩值为3，则a =（） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】判断函数的单调性，找到最⼩值点对应的⾃变量，代值计算即可. 【详解】若220x x a -+>在R 上恒成⽴，则根据复合函数的单调性可知，()f x 区间(),1-∞单调递减，则()1,+∞单调递增，故()()()21log 13min f x f a ==-=，解得9a =，此时满⾜2290x x -+>在R 上恒成⽴，若220x x a -+>在R 上不恒成⽴，则该函数没有最值. 综上所述：9a =. 故选：D. 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性的判断，遵循同增异减的原则.10．常见的三阶魔⽅约有194.310?种不同的状态，将这个数记为A ，⼆阶魔⽅有85603?种不同的状态，将这个数记为B ，则下列各数与AB最接近的是（）（参考数据：43 4.3log 10 2.1,0.63560-≈≈?） A ．280.63-? B ．280.610? C ．280.63? D ．320.63?【答案】C【解析】根据题意，结合参考数据，应⽤对数运算法则，对数据进⾏估算.由题可知：A B =1984.3105603?两边取对数可得 1933384.310log log log 5603A B =+4198333333log log log 3log 10log 35A B -≈++- 333log log 419 2.185A B -≈-+?-35log 27.93A B ?≈故27.93A B ≈? 解得：27.90.63A B ≈?，故与之最接近的为280.63?. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，涉及数据的估算；要结合参考数据进⾏处理，是解决本题的重要思路. 11．已知函数2()x x x xe e xf x e e--++=+的最⼤值为M ，最⼩值为m ，则M m +=（） A ．1 B ．2C ．211e e++ D ．221ee++ 【答案】B【解析】对()f x 分离参数，构造⼀个奇函数，再进⾏求解. 【详解】因为2()x x x xe e xf x e e--++=+=1+2x x x e e -+ 不妨令()2x xxh x e e -=+，显然()h x 为奇函数，故()()max 0min h x h x +=，则()()()()max 22max min min f x f x h x h x +=++=.【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数最值之间的关系，本题的难点在于分离常数，构造奇函数. 12．设函数222,2,()54, 2.x a x f x x ax a x ?-<=?-+?…若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2??+∞B ．1,2(2,)2+∞?C ．1,2[4,)2+∞?D ．1,2(4,)2+∞?【答案】C【解析】分段考虑函数的零点，结合⼀元⼆次⽅程根的分布，对参数进⾏讨论. 【详解】为⽅便说明，不妨令()22?(2)?h x a x =-<，()()22542g x x ax ax =-+≥因为()h x 是单调函数，故其在定义域上的零点个数可以是0或1；对()g x ，因为290a =≥n ，故其可以在定义域有1个零点，或2个零点；故当()f x 有两个零点，只有下⾯两种可能：①当()40,4a -∈时，即()0,4a ∈时，()h x 在其定义域内有1个零点，此时只要保证()g x 在其定义域1个零点即可，等价于⽅程22540x ax a -+=有1个根在区间[)2,+∞，只需()20g <，即：241040a a -+<，解得1,22a ??∈或()20g =且522a <，解得12a =，故1,22a ??∈②当()40,4a -?，即(][),04,a ∈-∞?+∞时，()h x 在其定义域内没有零点，此时只要保证()g x 在其定义域2个零点即可等价于⽅程22540x ax a -+=有2个根在区间[)2,+∞，只需()52220ag ?>?≥?，解得[)4,a ∈+∞综上所述：[)1,24,2a ??∈?+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，涉及⼆次⽅程根的分布，其难点是对参数进⾏分类讨论.⼆、填空题13．已知函数2(0,1)x y a a a =+>≠且的图象恒过点M ，则M 的坐标为________. 【答案】(0,3)【解析】根据函数平移，结合指数函数恒过定点()0,1即可求得. 【详解】⼜函数2x y a =+是由x y a =向上平移2个单位得到，故2x y a =+恒过定点()0,3. 故答案为：()0,3. 【点睛】本题考查指数型函数恒过定点的问题，其⼀般思路为，根据函数图像变换进⾏求解. 14．已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的值为___________. 【答案】3【解析】由集合A 的元素，以及2A ∈，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数m 的值. 【详解】由题可得，若2m =，则2320m m -+=，不满⾜集合元素的互异性，舍去；若2322m m -+=，解得3m =或0m =，其中0m =不满⾜集合元素的互异性，舍去，故答案为：3. 【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.15．已知函数()log (0,1)a f x x b a a =+>≠的定义域、值域都是[1,2]，则a b +=__________．【答案】52或3. 【解析】分析：分类讨论a 的取值范围，得到函数的单调性，代⼊数据即可求解. 详解：当01a <<时，易知函数()f x 为减函数，由题意有()()122log 21a fb f b ===+=，解得：1,22a b ==，符合题意，此时52a b +=；当1a >时，易知函数()f x 为增函数，由题意有()()112log 22a fb f b ===+=，解得2,1a b ==，符合题意，此时3a b +=.综上可得：+a b 的值为52或3. 故答案为：52或3. 点睛：在对数式中，真数必须是⼤于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因⽽，在研究对数函数的单调性时，要按01进⾏分类讨论．16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，2log (1),01,()31,1,x x f x x x +⽅程1()2f x =的所有实根之和为________. 21【解析】画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进⾏求解. 【详解】根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：由图容易知，因为31y x =--在区间[)1,+∞上，关于3x =对称，且31y x =---+在区间(],1-∞上，关于3x =-对称，故其与直线12y =的所有交点的横坐标之和为0. 故1()2f x =所有根之和，即为当()0,1x ∈时的根，此时()21log 12x +=，解得21x =.21. 【点睛】本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应⽤，属函数综合题.三、解答题17．计算（1）142110.2542216----÷- ? ?（2）()()3334839322log 2log log 8log 3log 3log 2log 29-+-++ 【答案】（1）4-（2）34【解析】（1）根据指数运算法则，直接计算即可得出结果；（2）根据对数运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】解：（1）原式14421242444-?- =?--=--22=-4（2）原式232233log 2log 3log 328log log 2322329??=-++ ?323111533log 9log 3log 212232624=-?+??+=-?= ? ?????.本题主要考查指数运算以及对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.18．已知集合{}2{|32},|log 3,{|13}A x x B x x C x m x m =-<<=<=-<<+. （1）求R A C B ?；（2）若()C A B ?U ，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{|30}x x -<…（2）(,4]-∞【解析】（1）求解对数不等式，再求补集和交集即可；（2）先求并集，对集合C 是否为空集进⾏讨论，分别求解. 【详解】（1）∵函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，∴由2log 3x <得08x <<，∴{|08}B x x =<<.∴{|08}R B x x x =或剠e. ∴(){|30}R A B x x ?=-<…e. （2）{|38}A B x x ?=-<<.若C =?，则13m m -+…，解得1m -…. 若C ≠?，则13,13,38,m m m m -<+??--??+≤?…，解得14m -<….∴实数m 的取值范围为(,4]-∞. 【点睛】本题考查集合的运算，以及集合之间的包含关系，涉及对数不等式的求解.19．已知函数21()2x x f x a-=+的图象经过点11,3??-- .（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的定义域和值域；（3）判断函数()f x 的奇偶性并证明.【答案】（1）1；（2）定义域为R ，值域为(1,1)-；（3）()f x 是奇函数，证明见详解.（2）利⽤分母不为零求定义域，采⽤不等式法求函数值域；（3）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断()f x 与()f x -之间的关系. 【详解】（1）由题意知11112112(1)1232f a a -----===-++，解得1a =.（2）因为212()12121x x xf x -==-++. ∵20x >，∴211x +>，∴()f x 的定义域为R . ∵2(0,)x ∈+∞，∴2(0,2)21x∈+，∴()f x 的值域为(1,1)-. （3）函数()f x 是奇函数.证明如下：∵()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且2112()()2112x x x xf x f x -----===-++，∴()f x 是奇函数，即证. 【点睛】本题考查函数解析式，定义域和值域的求解，以及函数奇偶性的证明，涉及指数运算，属函数综合基础题.20．某投资公司计划在甲、⼄两个互联⽹创新项⽬上共投资1200万元，每个项⽬⾄少要投资300万元.根据市场分析预测：甲项⽬的收益P 与投⼊a满⾜30P =，⼄项⽬的收益Q 与投⼊a 满⾜1505Q a =+.设甲项⽬的投⼊为x . （1）求两个项⽬的总收益关于x 的函数()F x .（2）如何安排甲、⼄两个项⽬的投资，才能使总收益最⼤？最⼤总收益为多少？（注：收益与投⼊的单位都为“万元”）【答案】（1）1()260,3009005F x x x =-+≤≤；（2）甲项⽬投资500万元，【解析】(1)由题意得，分别代⼊甲和⼄的收益函数即可得出两个项⽬的总收益关于x 的函数()F x ； (2)利⽤换元法，令t x =，则103,30t ??∈??，得出关于t 的⼆次函数，根据已知区间内的⼆次函数即可求出最⼤值以及对于的x 值，即可得出答案. 【详解】（1）由题知，甲项⽬投资x 万元，⼄项⽬投资1200x -万元. 所以11()4530(1200)504526055F x x x x x =-+-+=-++ 依题意得3001200300x x ≥??-≥?解得300900x ≤≤.故1()45260,3009005F x x x x =-++≤≤ （2）令t x =221145260(105)36055y t t t =-++=--+当105t =，即500x =，y 的最⼤值为360.所以当甲项⽬投资500万元，⼄项⽬投资700万元时，总收益最⼤，最⼤总收益为360万元. 【点睛】本题考查函数模型的应⽤以及⼆次函数的性质，利⽤换元法及⼆次函数求最值. 21．已知函数2()22f x x kx =-+.（1）若函数(1)f x -是偶函数.求k 的值，并在坐标系中画出()y f x =的⼤致图象；（2）若当[]1,2x ∈-时，()4f x ≥-恒成⽴，求k 的取值范围.【答案】（1）4k =-，图像见解析；（2）8,43?-【解析】（1）根据(1)f x -是偶函数，得出()f x 的对称轴，结合⼆次函数对称轴，求出k ，便可以得出()f x 解析式，即可画出⼆次函数图像；（2）由条件，得出min ()4f x ≥-，分类讨论对称轴和所给区间⽐较，结合单调性，分别求出每种情况的最⼩值，分析加以排除，即可得出k 的取值范围. 【详解】（1）由题得，函数(1)f x -是偶函数，可得函数()f x 的图象关于1x =-对称，即14k=-，得4k =- 则2()242y f x x x ==++的⼤致图象如图所⽰.（2）因为当[]1,2x ∈-时，()4f x ≥-恒成⽴，所以min ()4f x ≥-. 由题可知()f x 的对称轴为4k x =. 当14k≤-，即4k ≤-时，()f x 在[]1,2-上单调递增，此时min ()(1)224f x f k =-=++≥-，得8k ≥-，所以84k -≤≤-；当24k≥，即8k ≥时，()f x 在[]1,2-上单调递减，此时min ()(2)8224f x f k ==-+≥-，得7k ≤，不符合条件；当124k -<<，即48k -<<时，()f x 在(1,)4k -上单调递减，在,24k ??上单调递增，此时22min()()24484k k k f x f ==-+≥-，得4343k -≤≤443k -<≤综上所述，k 的取值范围是8,43?-?.【点睛】值，同时还考查⼆次函数图像的画法和分类讨论思想，以及数形结合思想.22．设a R ∈,函数 ()1,11ln ,1ax x f x x a x x +?=-??-≥?,且()()3f f e -=()1求()f x 的最⼤值()2若⽅程()()0f x f x --=在区间[)(),1k k k Z +∈上存在实根,求出所有可能的k值【答案】（1）3；（2）3,0,2-【解析】（1）由(3)()f f e -=求得a ，分段考查函数值的取值范围可得最⼤值．（2）由()31,113ln ,1x x f x x x x +?=-??-≥?，分类讨论，分11x -<<，1x ≥和1x ≤-三类讨论其零点，其中1x ≤-可由1x ≥得出，主要是()()0f x f x --=的解都是成对出现的．【详解】（1）由()()3f f e -=得31131a a -+=---,解得3a =当1x <时,()3143311x f x x x +==+<-- 当1x ≥时,()3ln f x x =-单调递减,()()13f x f ≤= 所以()f x 的最⼤值为3（2）由（1）知()31,113ln ,1x x f x x x x +?=-??-≥?当11x -<<时,11x -<-< 由()()0f x f x --=得3131011x x x x +-+-=---,解得0x =,因为[)00,1∈,故可取0k = 当1x >时,1x -<-，由()()0f x f x --=得313ln 01x x x -+--=--,整理得4ln 01x x -=+设()()4ln 11g x x x x =-≥+,易知()g x 在[)1,+∞上单调递减⼜因为()()42ln 20,31ln 303g g =->=-<,所以()g x 在[)2,3上存在唯- -点,当⾮零实数0x 满⾜()()000f x f x --=时,0x -也满⾜()()000f x f x --=, 即原⽅程的⾮零实根总是成对出现,所以在[)3,2--上也仅有⼀个实根,故可取3k =-. 综上所述,k 的值可以为3,0,2-．【点睛】本题考查对数型复合函数的最值，考查函数的零点问题．通过零点存在定理可确定函数零点所在区间．对分段函数⼀般需要分类讨论．。

天一大联考 2019—2020学年髙中毕业班阶段性测试（一）数学（文科）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本诫卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={}，B={}，则3|≥x x 0<67|2+-x x x =B A C R )(A.{} B.{}3<<1|x x 6<<1|x x C.{} D.{}31|≤≤x x 61|≤≤x x 2.已知，且复数满足，则的虚部为 i z i z 43,10521+=-=z 2111z z z +=z A. B. C. D. i 252i 252-252252-3. 某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为 7:10，为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人,则抽取 的老年职工的人数为A.14B.20C.21D.704.设等差数列{}的前项和为，若，则n a n n S 40,25732==S a a a =7a A. 13 B.15 C.20 D.225.已知向量满足，则与的夹角为b a ,b b a b a ⊥-==)(,1||,2||a b A. B. C. D. 6π3π2π32π6.马拉松是一项历史悠久的长跑运动,全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练,跑步时的步輻（一步的距离）—般略低于自身的身髙，若某运动员跑完一次全程马拉松用了 2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为A.60B. 120C. 180D.2407.某几何体的三视图如阁所示，则该几何体的侧面积为A. B. C. D. 214π211π38π37π附:台体的体积，其中分别为台体上、下底面的面积, 为台体h S SS S V )''(31++='SS h 的高.8.已知直角三角形的两直角边长分别为3和4.现向该三角形内随机撤一粒黄豆，则豆子落在其内切圆内的概率为A. B. C. D.4π6π3π5π9.已知双曲线E:，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 1322=-y x 经过点（2,0)，的周长为，则线段PQ 的长为PQF ∆58A.2 B. C.4 D.525410.已知函数，若，则的取值范围是)()(x x e e x x f --=)1(<)12(+-x f x f x A. B. C.D. )3,31(-31,(--∞),3(+∞),3()31,(+∞--∞ 11. 已知点P 在曲线上，点Q 在直线上，则的最小值为x x y ln 22-=23-=x y ||PQ A. B. 1 C. D. 1313101041512.已知椭圆C: 的左、右顶点分别为A ，B,点M 为椭圆C 上异于)0>b 0,>(12222a b y ax =+A,B 的一点.直线AW 和直线BM 的斜率之积为，则椭圆C 的离心率为 41-A. B. C. D. 412123415二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南天一大联考 2019-2020高中毕业班阶段性测试文科数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 A = {0376|2≤--x x x }，B=Z ，则=B A A.[-1,0] B. {1,0,1-} C. {1,0} D. {2,1,0}2.已知复数z 满足13-=i z ，则=zzA. i 21B. i 21- C. i D. i -3.执行如图所示的程序框图，则输出的b = A.5 B.4 C. 3 D.24.已知等差数列{n a }的公差不为0，27=a ,且4a 是2a 与5a 的等比中项，则{n a }的前 10项和为A.10B.0C.-10D.-18 5.已知43)3sin(-=-απ,则=-)232021cos(απA. 81B. 81- C . 873 D. 873-6.若方程0cos sin 32=-+αx x 有实根，则实数a 的取值范围为 A. [1,12] B. [-1,+∞) C. ( -∞,1] D. [-1，1237] 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 18B. 218C. 36D. 488.已知数列{n a }是递增的等比数列，10,402426=+=-a a a a ,则= A. 35 B. 25 C. 35 D. 259.如图所示，是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为A. 499πB. 4933πC. π332D. 9π10.已知三棱锥A - BCD 内接于球0，AB=BC = BD=4，ACBD= 60°,AB⊥平面BCD,则球0的表面积为A. 328πB. 425πC. 3112πD. π60 11.设)(2632)(23R m x mx x x f ∈++-=的导函数为)('x f ，若对任意R x ∈,总有)3(')1('x f x f +=-，则)(x f 在[-1，4]上的最小值为 A. 314 B.2 C. 320- D. 326-12. 已知双曲线C: )0>,0>(12222b a by a x =-的左、右焦点分别为21,F F ，过2F 作一条渐近线的垂线,垂足为)31,0(,b B A -.若向量F 1与F 2共线，则双曲线C 的离心率为 A. 5 B.253+ C. 252+ D. 251+ 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量235,1||),4,3(=⋅=-=b a b a ，则向量a 与b 的夹角=θ . 14.已知函数)2|<)(|2cos()(πφϕ+=x x f 的图象的一条对称轴为直线6π=x ，将)(x f 的图象向左平移12π个单位长度得到函数)(x g 的图象，则=)4(πg .15.过椭圆的三个顶点作圆，另一个顶点恰好为圆心，则该椭圆的离心率为 . 16.设函数x xe x g x xx f 2)(,123)(=+-=，若),1(1+∞-∈x ，使得),1(2+∞-∈∀x ，不等式)f(m >)(4222x x emg 恒成立,则实数m 的取值范围是 . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(10 分）设数列{n a }的前n 项和为n S ,)2(,31142≥=-=-+n S a S a n n . (I)求n S ;(II)数列{n S }满足142-+=n n n S b ，求数列{n b }的前n 项和n T . 18.(12 分）已知ABC ∆ 的内角 A ，B ，C 的对边分别为2,3,cos )2(cos ,,,==-=c a A b c B a c b a .(I)求角A ； (II)求ABC ∆的面积. 19.(12分)某校髙三有600名学生，某次模拟考试的数学成绩(均为整数,且都在[90，150 ]内）经过统计，按照[90，100),[100,110),-,[140,150]分组后得到如下的频率分布直方图.(I)求本次模拟考试数学成绩不小于120分的学生人数；(II)估计这600名学生数学成绩的中位数（四舍五入保留整数）； (Ⅲ)用分层抽样的方法从[90，120)分数段的学生中抽取一个容量为8的样本，再从这8人中任选2 人，求在分数段[100，110)、[110,120)内各有1人的概率. 20.(12 分）如图所示，三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2，D 为棱BC 的中点，1AC BC ⊥.(I)求的大小；(II)若平面⊥ABC 平面11B BCC ，求点C 到平面1ABC 的距离.21.(12 分）已知抛物线)0>(2:2p py x P =，焦点为F ，点P 在抛物线P 上，且P 到F 的距离比P 到直线2-=y 的距离小1. (I)求抛物线P 的方程;(II)点N 为直线5:-=y l 上任意一点，过点N 作抛物线尸的切线，切点分别为A ，B.问:直线是否过定点？若过定点，求定点的坐标;否则，请说明理由. 22.(12分）已知函数xx x f 2ln )(+=. (I) 求)(x f 的极值； (II)已知函数xx a x x f x g 223)()(2--+=，其中a 为常数且0≠a ,若函数)(x g 在区间[1，2]上为单调函数，求实数a 的取值范围.。

绝密★启用前河南天一大联考2019-2020学年高三阶段性测试文科数学试题数学(文科)一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的1.已知集合{}{}23,760A x x B x x x =≥=-+<，则()R C A B ＝A, {}13x x << B. {}16x x <≤ C. {}13x x ≤≤ D. {}16x x ≤≤ 2已知1510z i =-，234z i =+，且复数:满足: 1211z z z =+，则z 的虚部为 A. 225 B. 225- C. 225i D. 225i - 3.某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7:10.为了了解职工的身体状况，現采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为A. 14 B,20 C.21 D.704.设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 2a 3＝2a 7，S 5＝40，则a 7＝A.13B.15C.20D.225.若1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，已知a ＝1223e e +，则a =A.B.C.4D.6.马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约42千米，跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅(一步的距离)一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5小时，则他平均每分钟的步数可能为A. 60B.120C.180D.2407.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.143π B. 113π C. 83π D. 73π附:台体的体积V ＝'1()3S S h +，其中S ，'S 分别为台体上、下底面的面积，为台体的高8.已知直角三角形的两直角边长分别为3和4，现向该三角形内随机撒一粒黄豆，则豆子落在其内切圆内的概率为 A. 4π B. 6π C. 3π D. 5π 9.已知双曲线E: 2213x y -=，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点(2，0)，△POF 的周长为PQ 的长为A.2C.4D. 10.已知函数()()x x f x x e e -=-，若f (2x -1)＜f (x +2)，则x 的取值范围是 A.1(,3)3- B. 1(,)3-∞- C. (3,)+∞ D. 1(,)(3,)3-∞-+∞11.已知点P 在曲线22ln y x x =-上，点Q 在直线32y x =-上，则PQ 的最小值为A. 13B. 1C. 10D. 14 12.已知椭圆C: 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分別为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为A. 14B. 12C.D. 4二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数2sin22cosy x x=+的最小正周期为___________.14.设变量x，y满足约束条件70102x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数32z x y=+的最大值为_____.15.已知四棱锥的四个侧面均是边长为2的等边三角形，则该四棱锥的高为_______.16.已知平面四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝6，且内角B与D互补，则cosA＝______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题:共60分17.(12分)某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，随机抽取了120名考生的成绩(单位:分)，并按[95，105)，[105，115)，[115，125)，[125，135)，[135，145]分成5组，制成频率分布直方图，如图所示(I)若规定成绩在120分以上的为优秀，估计样本中成鎖优秀的考生人数;(Ⅱ)求该中学这次知识竞赛成绩的平均数与方差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)18.(12分)已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 都是递增数列，且满足a 3＝b 3＝5，a 1a 5＝9，b 1+b 5＝2a 7(I)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设21n n c b -=，求数列n c 的前n 项和S n19.(12分)如图所示，在三棱锥P-ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为的等边三角形，PA ＝PB ，点O ，M 分别是AB ，BC的中点 (I)证明:AC ∥平面POM;(Ⅱ)求点B 到平面POM 的距离，20.(12分)已知动圆M 过点P(2，0)且与直线x +2＝0相切(I)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)斜率为k (0k ≠)的直线l 经过点P(2，0)且与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，求AB NP的值21.(12分)已知函数21()cos (0)2f x ax x a =-≠在[0,]4π上的最大值対2816- (I)求a 的值(II)求f (x )在区间(0,)2π上的零点个数(二)选考题:共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系x o y 中，直线的参数方程为12(1x m m y m=+⎧⎨=-+⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立概坐标系、曲线C 的极坐标方程为23632cos ρθ=-，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点(I)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)求MN23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 设函数()12f x x x =++-(I)求不等式f (x )≥4的解集;(II)设a ，b ，c R *∈，函数()f x 的最小值为m ，且111234m a b c ++=，求证: 2343a b c ++≥。

2019-2020学年高二第一学期（上）段考数学试卷（文科）一、选择题1．已知集合，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|0≤x＜3} 2．下列说法正确的是（）A．命题“若x＞y+1，则x＞y”的逆否命题为“若x≤y，则x＞y+1”B．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1C．若x2﹣2019x＝0则x＝2019D．若a＞b，则3．已知，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．函数f（x）＝x﹣cos x在处的切线方程为（）A．2x﹣4y﹣π＝0 B．2x﹣πy＝0 C．4x﹣πy﹣1＝0 D．4x﹣2y﹣π＝0 5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（）A．234 升B．468 升C．639 升D．903 升6．函数f（x）＝﹣10x3ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知，则＝（）A．B．C．D．8．已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）＝﹣ln（1﹣x），设函数f（x）＝，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2）D．（﹣2，1）9．已知x，y满足约束条件则目标函数z＝2x﹣2y的最大值为．（）A．128 B．64 C．D．10．要想得到函数的图象，只需将函数y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度11．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，E是BC的中点，则＝（）A．24 B．﹣7 C．﹣10 D．﹣1212．已知函数，若方程f（x）﹣2m＝0恰有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（2，4）D．（3，4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（），向量，的夹角是，且＝﹣1，则||＝．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝6，，则sin A ＝．15．已知8a+2b＝1（a＞0，b＞0），则ab的最大值为．16．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝4，2a n＝﹣a n﹣1+9（n≥2）．若对任意的n∈N*，λ（S n﹣3n）≥4恒成立，则实数λ的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知p：指数函数f（x）＝（2a﹣1）x在R上单调递减，q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1＝0的两个实根均大于0．若“p或q”为真命题，“p且q为假命题，求实数a的取值范围．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A＝cos B tan A+sin B．（Ⅰ）若a+c＝8，△ABC的面积为6，求sin B；（Ⅱ）若b2＝3a2，求B．19．已知正项等比数列{a n}，a4＝9a2，a3﹣a2＝6（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．20．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝﹣3，2S n S n﹣1+3S n﹣1＝3S n﹣1（n≥2）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求使成立的n的最大值．21．已知函数f（x）＝cos4x﹣sin2x+3（Ⅰ）设正实数T满足f（T）＝f（0），求T的最小值；（Ⅱ）当时，求f（x）的值域22．已知函数f（x）＝lnx+．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）已知函数g（x）＝f（x）+，其中a为常数且a≠0，若函数g（x）在区间[1，2]上为单调函数，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|0≤x＜3} 解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{y|y≥1}，∴∁R B＝{y|y＜1}，A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：A．2．下列说法正确的是（）A．命题“若x＞y+1，则x＞y”的逆否命题为“若x≤y，则x＞y+1”B．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1C．若x2﹣2019x＝0则x＝2019D．若a＞b，则解：命题“若x＞y+1，则x＞y”的逆否命题为“若x≤y，则x≤y+1”，所以A不正确；若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1，所以B正确；若x2﹣2019x＝0则x＝2019或x＝0，所以C不正确；若a＞b，则，反例a＞0，b＜0，满足条件，但是推不出结果，所以D不正确；故选：B．3．已知，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a解：∵1＝20＜20.1＜2，0.50.5＜1，，∴c＞a＞b．故选：B．4．函数f（x）＝x﹣cos x在处的切线方程为（）A．2x﹣4y﹣π＝0 B．2x﹣πy＝0 C．4x﹣πy﹣1＝0 D．4x﹣2y﹣π＝0 解：由题意知，f'（x）＝1+sin x，则切线的斜率k＝f'（）＝2，切点坐标（，）∴切线的方程为y﹣＝2（x﹣），即 4x﹣2y﹣π＝0，故选：D．5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（）A．234 升B．468 升C．639 升D．903 升解：根据题意，第一天派出64人，需要分发大米64×3＝192升，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，则第二天派出64+7＝71人，需要分发大米71×3＝213升，第三天派出71+7＝78人，需要分发大米78×3＝234升，则前3天共分发大米192+213+234＝639升；故选：C．6．函数f（x）＝﹣10x3ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．解：因为f（﹣x）＝10x3ln|x|＝﹣f（x），所以函数为奇函数，故排除A、D；当x→+0时，f（x）→0，故排除B，故选：C．7．已知，则＝（）A．B．C．D．解：∵，∴sin（）﹣＝0，∴﹣，∴sin x＝cos x，∴tan x＝，∴＝＝＝．故选：B．8．已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）＝﹣ln（1﹣x），设函数f（x）＝，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2）D．（﹣2，1）解：∵函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）＝﹣ln（1﹣x），∴当x＞0时，g（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣[﹣ln（1+x）]＝ln（1+x）．∵函数f（x）＝，∴当x≤0时，f（x）＝x3为单调递增函数，值域（﹣∞，0]．当x＞0时，f（x）＝lnx为单调递增函数，值域（0，+∞）．∴函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增．∵f（2﹣x2）＞f（x），∴2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，∴（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1．∴x∈（﹣2，1）．故选：D．9．已知x，y满足约束条件则目标函数z＝2x﹣2y的最大值为．（）A．128 B．64 C．D．解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得B（4，﹣1）．化目标函数z＝2x﹣2y可知x﹣2y取得最大值时，z取得最大值，由图可知，当直线x﹣2y＝u过点B时，直线在y轴上的截距最小，即u最大．∴z max＝24﹣2×（﹣1）＝64．故选：B．10．要想得到函数的图象，只需将函数y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度解：y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，＝cos（﹣2x﹣）＝cos（﹣2x）＝cos（2x﹣）＝cos2（x﹣），故只需将函数y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选：A．11．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，E是BC的中点，则＝（）A．24 B．﹣7 C．﹣10 D．﹣12解：建立如图所示的坐标系，A（0，0），B（4，0），C（2，2），E（3，），D（﹣2，2），F（，），则＝（3，）•（﹣，）＝﹣14+2＝﹣12．故选：D．12．已知函数，若方程f（x）﹣2m＝0恰有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（2，4）D．（3，4）解：画出f（x）的图象，如图所示，当x＞0，f（x）＝x+≥4，设g（x）＝2m，则f（x）﹣2m＝0恰有三个不同的实数根，即f（x）和g（x）＝2m图象有三个交点，由图可知2m＞4，即m＞2．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（），向量，的夹角是，且＝﹣1，则||＝．解：∵，∴，∴．故答案为：．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝6，，则sin A＝．解：∵a＝5，c＝6，，∴由余弦定理可得b＝＝＝，∴sin B＝＝，∴由正弦定理，可得sin A＝＝＝．故答案为：．15．已知8a+2b＝1（a＞0，b＞0），则ab的最大值为．解：因为8a+2b＝1，a＞0，b＞0，则ab＝×＝．当且仅当8a＝2b即a＝，b＝时取等号，此时ab取最大值．故答案为：．16．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝4，2a n＝﹣a n﹣1+9（n≥2）．若对任意的n∈N*，λ（S n﹣3n）≥4恒成立，则实数λ的最小值为8 ．解：数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝4，2a n＝﹣a n﹣1+9（n≥2）．则：，所以数列{a n﹣3}是以a1﹣3＝1为首项，﹣为公比的等比数列．所以，整理得，所以，所以＞0，故对于任意的正偶数n，，恒成立．等价于，对于任意的正偶数n恒成立．由于，所以，所以，只需满足λ≥8．故答案为：8．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知p：指数函数f（x）＝（2a﹣1）x在R上单调递减，q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1＝0的两个实根均大于0．若“p或q”为真命题，“p且q为假命题，求实数a的取值范围．解：∵p：指数函数f（x）＝（2a﹣1）x在R上单调递减，∴＜a＜1，∵q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1＝0的两个实根均大于0．∴，解得a＞2，∵“p或q”为真命题，“p且q为假命题，∴p真q假，或p假q真，当p真q假时，，解得＜a＜1，当p假q真时，，解得a＞2．∴实数a的取值范围是（，1）∪（2，+∞）．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A＝cos B tan A+sin B．（Ⅰ）若a+c＝8，△ABC的面积为6，求sin B；（Ⅱ）若b2＝3a2，求B．解：（Ⅰ）∵tan A＝cos B tan A+sin B，∴sin A＝sin A cos B+sin B cos A＝sin（A+B）＝sin C，∴由正弦定理可得a＝c，又∵a+c＝8，∴a＝c＝4，∵△ABC的面积为6＝ac sin B＝4×4×sin B，∴解得：sin B＝．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得a＝c，又b2＝3a2，∴由余弦定理可得cos B＝＝＝﹣，∵B∈（0，π），∴B＝．19．已知正项等比数列{a n}，a4＝9a2，a3﹣a2＝6（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（I）设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a4＝9a2，a3﹣a2＝6．∴q2＝9，a1（q2﹣q）＝6，解得q＝3，a1＝1，∴a n＝3n﹣1．（II）b n＝na n＝n•3n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n＝1+2×3+3×32+4×33+……+n•3n﹣1．∴3T n＝3+2×32+3×33+……+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n．∴﹣2T n＝1+3+32+33……+3n﹣1﹣n•3n＝﹣n•3n＝，化为：T n＝．20．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝﹣3，2S n S n﹣1+3S n﹣1＝3S n﹣1（n≥2）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求使成立的n的最大值．解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，因为a1＝﹣3，2S n S n﹣1+3S n﹣1＝3S n﹣1（n≥2），所以两边同除以S n S n﹣1，整理得：所以：，所以数列{}是以为首项，﹣为公差的等差数列．所以．则：a n＝S n﹣S n﹣1＝（首项不符合通项），所以．（Ⅱ）由于，所以易知n≥2时，，整理得4n2﹣8n+3≤48，解得2，故最大值为4．21．已知函数f（x）＝cos4x﹣sin2x+3（Ⅰ）设正实数T满足f（T）＝f（0），求T的最小值；（Ⅱ）当时，求f（x）的值域解：（Ⅰ）f（0）＝1﹣0+3＝4，则f（T）＝cos4T﹣sin2T+3＝2cos22T+cos2T+＝4，即有（cos2T﹣1）（4cos2T+5）＝0，因为﹣1≤cos2T≤1，所以cos2T＝1，则2T＝2kπ，所以T＝kπ（k∈Z），又因为T为正实数，所以T最小值为π；（Ⅱ）f（x）＝2cos22x+cos2x+＝2（cos2x+）2+，因为，所以2x∈（﹣，），则cos2x∈（﹣，1]，则f（x）最小值在cos2x＝﹣处取到，则最小值为，最大值在cos2x＝1处取到，则最大值为4，所以f（x）的值域为[，4]．22．已知函数f（x）＝lnx+．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）已知函数g（x）＝f（x）+，其中a为常数且a≠0，若函数g（x）在区间[1，2]上为单调函数，求实数a的取值范围．解：（I），∵＝，x＞0，当f′（x）＜0可得，x∈（0，2），此时f（x）单调递减，当f′（x）＞0可得，x∈（2，+∞），此时f（x）单调递增，故函数的极小值f（2）＝1+ln2，没有极大值，（II）∵g（x）＝f（x）+＝lnx+在区间[1，2]上为单调函数，∴g′（x）＝≥0或g′（x）＝≤0在区间[1，2]上恒成立，即≥或即≤在区间[1，2]上恒成立，∴≥（）max或≤（）min，令h（x）＝，x∈[1，2]，则h（x）在[1，2]上单调递增，故h（x）max＝h（2）＝，h（x）min＝h（1）＝3，∴或，解可得a＜0或或a≥1．故a的范围为{a|a＜0或或a≥1}．。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{0,1,2,3}A =，1{|2,}k B n n k A -==∈，则A B =（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{1}D ．{3} 【答案】B考点：集合交集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2.已知复数142iz i i+=-+，则复数z 的模为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B 【解析】试题分析：()214()43,5z i i i i z =-++-=-=. 考点：复数概念及运算．3.的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为 （ ）A ．44B ．54C ．88D ．108 【答案】C 【解析】试题分析：球的体积为344364833r πππ=⋅=，长方体的高为48642÷÷=，故表面积为()264426288⋅+⋅+⋅=.考点：球与长方体．4.设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为R ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .若QRF ∆的面积为2，则点P 的坐标为（ ） A ．（1,2）或（1，-2） B ．（1,4）或（1，-4） C ．（1,2） D ．（1,4） 【答案】A考点：直线与圆锥曲线位置关系．5.函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πϖϕϖϕ=+>><<的图象如图所示，则（ ）A ．()2sin 3f x x =B ．()2sin(+3f x x π=）C ．()2sin(3+6f x x π=） D ．()2sin(2+6f x x π=） 【答案】D 【解析】试题分析：由图可知2A =.()02sin 1,6f πϕϕ===，2sin 2,2666f πππωω⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选D.考点：三角函数图象与性质．6.以(,1)a 为圆心，且与两条直线240x y -+=与260x y --=同时相切的圆的标准方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y -+-= B ．22(1)(1)5x y +++= C ．22(1)5x y -+= D ．22(1)5x y +-= 【答案】A考点：直线与圆的位置关系．7.满足不等式24120m m --≤的实数m 使关于x 的一元二次方程2240x x m -+=有实数根的概 率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14D ．15【答案】A 【解析】试题分析：由24120m m --≤解得26m -≤≤，一元二次方程2240x x m -+=有实数根，21640,22m m ∆=-≥-≤≤，故概率为12.考点：几何概型．8.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．263π+B ．83π+C ．243π+ D ．43π+【答案】C 【解析】试题分析：相当于一个圆锥和一个长方体，故体积为122221433ππ⋅+⋅⋅=+. 考点：三视图．9.执行如图所示的程序框图，如果输入的2P =，1Q =，则输出M 的等于（ ）A ．19B ． 24C ．30D ．37 【答案】B考点：算法与程序框图．10.已知直线l 与函数())ln(1)f x x =--的图象交于P ，Q 两点，若点1(,)2R m 是线段PQ的中点，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C 【解析】试题分析：注意到111()ln(1)222f =--=，经计算得11122f x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，故12m =.考点：函数图象与性质． 11.已知函数21()cos(2)sin cos 232f x x x x π=++-，[0,]3x π∈.若m 是使不等式()f x a ≤恒成立的a 的最小值，则2cos 6m π=（ ）A ．．12- C D ．12【答案】D 【解析】 试题分析：11cos 21111()cos 22cos 22cos 2sin 22222226x f x x x x x x x π⎫-⎛⎫=+-=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，25[0,],2[0,],2[,]33666x x x πππππ∈∈+∈，故最大值为0，0,a a -≥≥，21cos 62π=.考点：三角函数恒等变形．【思路点晴】对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本使用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选择公式是解决问题的关键．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的水平，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．12.函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 与函数lg()xx e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】C考点：函数导数与切线．【思路点晴】两个函数的切线相同，我们就能够这样来操作，先在第一个函数中求得其切线方程，如本题中的00ln 1x y x x =+-，得到斜率为01x ，利用这个斜率，能够求得第二个函数的切点，从而求得其切线方程为0000111ln x y x x x x =-+，这两个切线方程应该是相等的，故它们的截距相等，根据两个截距相等，能够得到关于切点横坐标的一个方程，我们根据图象就能够知道这个切点的横坐标能够有两个.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知||10a =，530a b =-(-)()15a b a b +=-，则向量a 与b 的夹角为_________. 【答案】56π考点：向量运算．14.若x ，y 满足约束条件20,220,20,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为__________.【答案】103【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点24,33⎛⎫⎪⎝⎭取得最大值为103.考点：线性规划．15.在ABC ∆中，边AB 的垂直平分线交边AC 于D ，若3C π=，8BC =，7BD =，则ABC∆的面积为______.【答案】考点：解三角形．【思路点晴】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．要学会熟练使用几何性质，如本题中，线段垂直平分线上的点，到两段的距离相等.利用余弦定理求边长，要注意有两个解的情况.16.6月23日15时前后，江苏盐城阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型教授队从A ，B ，C ，D 四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是准确的.（1）甲轻型教授队所在方向不是C 方向，也不是D 方向； （2）乙轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是B 方向； （3）丙轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是B 方向； （4）丁轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是D 方向.此外还可确定：如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向.有下列判断： ①甲所在方向是B 方向；②乙所在方向是D 方向；③丙所在方向是D 方向；④丁所在方向是C 方向.其中判断准确的序号是__________. 【答案】③考点：合情推理与演绎推理．【思路点晴】类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在实行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则会犯机械类比的错误．演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理实行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是准确的，其结论一定是准确，一定要注意推理过程的准确性与完备性.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足12354a a a +=，且123a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设5log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的1{}nS 的前n 项和n T . 【答案】（I ）5n n a =；（II ）21n nn T =+. 【解析】试题分析：（I）利用基本元的思想，将已知条件化为1,a q，列方程组求得15a q==，故5nna=；（II）化考点：数列的基本概念，裂项求和法．18.（本小题满分12分）某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）实行问卷调查，并实行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25]，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）求在抽取的40名学生中月上网次数很多于15次的学生人数；（Ⅲ）在抽取的40名学生中，从月上网次数很多于20次的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率.【答案】（I）0.05；（II）14；（III）7 10.（Ⅲ）记“在抽取的40名学生中，从月上网次数很多于20次的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件A，……………………………………………………………………………………………………（8分）在抽取的女生中，月上网次数很多于20次的学生频率为0.02×5=0.1，人数为0.1×20=2人，在抽取的男生中，月上网次数很多于20次的学生频率为0.03×5=0.15，人数为0.15×20=3人，…………………………………………………………………………………………………………………（10分）记这2名女生为1A ，2A ，这3名男生为1B ，2B ，3B ，则在抽取的40名学生中，从月上网次数很多于20次的学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B ，而事件A 包含的结果有7种，它们是12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，所以7()10P A =.……………………………………………………………………………………………（12分）考点：频率分布直方图，古典概型． 19.（本小题满分12分）如图，已知等边ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，M 为EF 的中点，N 为BC 边上一点， 且14CN BC =，将AEF ∆沿EF 折到'A EF ∆的位置，使平面'A EF ⊥平面EFCB . （Ⅰ）求证：平面'A MN ⊥平面'A BF ； （Ⅱ）设BFMN G =，求三棱锥'A BGN -的体积.【答案】（I ）证明见解析；（II ）98.考点：立体几何证明面面垂直与求体积．20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为 4.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若A 是椭圆E 的左顶点，经过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，求OAD ∆与OAC ∆的面积之差的绝对值的最大值.（O 为坐标原点）【答案】（I ）22143x y +=；（II . 【解析】试题分析：（I ）依题意24a =，2a =.根据等边三角形，求得1c =，222413b a c =-=-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；（II ）设OAD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S .当直线l 斜率不存有时，直线方程为1x =-，OAD ∆，OAC ∆面积相等，12||0S S -=.当直线l 斜率存有时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠联立直线的方程和椭圆的方程，写出根与系数关系，由此求得1226||||34k S S k-=+. 试题解析： （Ⅰ）由题意得12c a =，又24a =，则2a =，所以1c =. 又222413b a c =-=-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=.……………………………………………（4分）解法二：设直线l 的方程为'1x k y =-，与椭圆方程22143x y +=联立得：22(3'4)6'90k y k y +--=.…………………………………………………………………………………………………………………（6分） ∴1226'3'4k y y k +=+，………………………………………………………………………………………（8分） ∴121212216|'|||2||||||||23'4k S S y y y y k -=⨯⨯-=+=+， 当'0k =时，12||0S S -=.当'0k ≠时，126||43|'||'|||'|S S k k k -==≤=+'k =时等号成立）.所以12||S S -的最大值为.……………………………………………………………………………（12分） 考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维水平、分析与解决问题的综合水平、运算求解水平、方程思想与分类讨论的思想.长轴长是2a ，焦点和短轴端点构成等边三角形，这个已知条件我们需要用到等边三角形的几何性质来做，也就是角度为6π，并且2ac =，第一问就能够求出来了.第二问要先讨论斜率是否存有. 21.（本小题满分12分）设函数22()(2)ln f x x ax x bx =-+，,a b R ∈.（Ⅰ）当1a =，0b =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当2b =时，若对任意[1,)x ∈+∞，不等式22()3f x x a >+恒成立.求实数a 的取值范围.【答案】（I ）10x y +-=；（II ）(,1)-∞.方法二：令22()(24)ln +p x x ax x x a =--，[1,)x ∈+∞，则22()(24)ln +0p x x ax x x a =-->在[1,)+∞上恒成立，所以(1)10p a =->， 所以1a <.又'()(44)ln +(24)+24()(ln 1)(1)p x x a x x a x x a x x =--=-+≥， 显然当1a <时，'()0p x >，则函数()p x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)10p x p a ==->，所以1a <.-∞.综上可知a的取值范围为(,1)考点：函数导数与不等式．【方法点晴】本题考查导致与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维水平、等价转化水平、运算求解水平、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲=.如图所示，PQ为O的切线，切点为Q，割线PEF过圆心O，且QM QN=；（Ⅰ）求证：PF QN PQ NF==，求PF的长.（Ⅱ）若QP QF【答案】（I）证明见解析；（II）3.所以PNF PMQ ∆∆，………………………………………………………………………………………（4分） 所以PF NF NFPQ MQ NQ==，即PF QN PQ NF =.…………………………………………………………（5分）（Ⅱ）因为QP QF ==，所以PFQ QPF ∠=∠.……………………………………………………（6分）又180PFQ QPF PQE EQF ∠+∠+∠+∠=，90EQF ∠=，………………………………………（7分）所以30PFQ QPF ∠=∠=，120PQF ∠=，……………………………………………………………（8分）由余弦定理，得3PF ==.………………………………………（10分）考点：几何证明选讲．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-，直线l 的参数方程为5cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.若直线l 与圆C 相交于不同的两点P ，Q .（Ⅰ）写出圆C 的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径； （Ⅱ）若弦长||4PQ =，求直线l 的斜率.【答案】（I ）22(2)(1)5x y -++=；（II ）0k =或34k =.配方，得22(2)(1)5x y -++=，所以圆心为(2,1)-，半径为……………………………………（5分）（Ⅱ）由直线l 的参数方程知直线过定点(5,0)M ，则由题意，知直线l 的斜率一定存有，所以不妨设直线l 的方程为(5)y k x =-.………………………（7分）因为||4PQ =，所以254-=，解得0k =或34k =.………………………………………（10分）考点：坐标系与参数方程．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()|||10|f x x x =++.（Ⅰ）求()15f x x ≤+的解集M ；（Ⅱ）当,a b M ∈时，求证5|||25|a b ab +≤+.【答案】（I ）55x -≤≤；（II ）证明见解析.考点：不等式选讲．。