天一大联考2020-2021学年高三上学期高中毕业班阶段性测试(三) 文科数学

高考全真模拟卷（三）数学（文科）注意事项1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚.3、请将选择题答案填在答题表中，非选择题用黑色签字笔答题.4、解答题分必考题和选考题两部分，第17题~第21题为必考题，第22题~23题为选考题，考生任选一道选考题作答.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}22|2450A x x y x y =+-++=，{}|20B x x x =+->，则集合A B =（ ）A ．[]0,1B ．[)1+∞，C ．(]0-∞，D ．()0,12．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ） A ．24i +B ．22i -C ．25D ．223．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知数列{}n a 是等比数列，4a ，8a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ）A ．4B ．2±C ．2D ．2-5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，1x ，2x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，14a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1c f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0t >，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<6．已知m ，n ，l 是不同的直线，α，β是不同的平面，直线m α⊂，直线n β⊂，l αβ=，m l ⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．392B ．216+C ．20D ．206+8．如图，已知圆的半径为1，直线l 被圆截得的弦长为2，向圆内随机投一颗沙子，则其落入阴影部分的概率是（ ）A ．1142π- B ．1132π- C ．113π- D ．114π-9．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．43x π=是()f x 的一条对称轴B ．5,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 C ．()f x 的图象向左平移3π个单位后，所得函数为奇函数 D ．()f x 在[],ππ-上为增函数10．已知实数a ，b 满足,R a b +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（ ） A ．173B ．174C ．163D ．19411．如图，在ABC △中，D 为AB 的中点，E ，F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设AB a =，AC b =，则FM =（ ）A ．171515a b - B ．171515a b + C ．241515a b - D ．241515a b + 12.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，满足9A B x x =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动——掰玉米，现将这20名学生平均分成甲、乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重（单位：千克），得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x = ；乙组的中位数为 .14．某事业单位欲指派甲、乙、丙、丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到A ，B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己分配地的是 .15．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120°，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与x 轴的距离为3，则抛物线C 的方程为 . 16．已知函数()21sin 2f x x x ax =++，[)0,x ∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17．如图，ABC △为等边三角形，边长为3,D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（Ⅰ）求sin ADB ∠的值； （Ⅱ）求DE 的长.18．如图，多面体ABCDE 中，CD ⊥平面ABC ，AE CD ∥，F 为BE 的中点，2AB BC CA AE ====，1CD =.（Ⅰ）求证：DF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求点F 到平面ABD 的距离.19．已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点3P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，且椭圆的3（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线():0l y kx m k =+≠过椭圆左焦点1F ，与椭圆交于A ，B 两点，求2ABF △面积的最大值. 20．甲、乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（Ⅰ）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率； （Ⅱ）若第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p . 21．已知函数()()212xa f x xe x =-+. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x ≥时，不等式()222xaf x e ≥--恒成立，求a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设l 与C 交于D ，E 两点（异于原点），求OD OE +的最大值. 23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数a ，b 满足0a >，0b >且1a b +=. （Ⅰ）证明：()()2222119a b a b --≥；≤答案全透析高考全真模拟卷（三）答案速查思路点拨 对于集合A ：配方得()()22120x y -++=，1x ∴=，2y =-，从而{}1A =.对于集合B ：)120>，0x ≥，20>，10>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B =+∞.奇思妙解 对于集合B ；取特殊值2x =，成立，从而AB 中一定有2，故选B.2．C 考查目标 本题考查复数的运算及共轭复数，考查运算能力.思路点拨 由题意可知3223iz i i+==-，从而23z i =+，∴24z i i +=+，∴z i +== C.命题陷阱 z i +易被看成绝对值，从而导致错选.另外，易疏忽共轭复数的运算.3．A 考查目标 本题考查通过折线图计算平均数，考查数据处理能力.思路点拨 由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=，故选A.4．C 考查目标 本题考查等比数列性质，考查运用知识解决问题的能力. 思路点拨 ∵方程2840x x -+=的两根分别为4a ，8a ，∴484880,40,a a a a +=>⎧⎨=>⎩∴480,0.a a >⎧⎨>⎩由等比数列性质可知24864a a a ==， ∴62a =±.又2640a a q =>，∴62a =，故选C.命题陷阱 考虑不周全，未在原数列中研究4a ，6a ，8a 之间的关系，易选错. 5．D 考查目标 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力.思路点拨 ∵函数()1f x +是偶函数，∴函数()1f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称.由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而173142t t +>>>，∴17342f t f f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选D. 追本溯源 本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．B 考查目标 本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件、必要条件的判断，考查空间想象能力.思路点拨 当n l ∥时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥；反之，若αβ⊥，因为m α⊂，l αβ=，m l ⊥，可推出m β⊥.又n β⊂，所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件，故选B.7．D 考查目标 本题考查切割体的三视图，考查空间想象能力以及运算求解能力.思路点拨 由三视图可知该几何体为正方体ABCD A B C D ''''-截去一个小三棱锥D AD E '-，如图.()112232ABCE S =⨯+⨯=，()112232CED C S ''=⨯+⨯=，12222AA D S ''=⨯⨯=△.在AED '△中，AE ED '===AD '=，可计算AD '，∴12AED S '=⨯=△从而可得该几何体的表面积为3323420+++⨯=+ D.追本溯源 本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.8．A 考查目标 本题考查几何概型，考查运算能力和数形结合思想. 思路点拨 由题意知222OA OB AB +=，∴2AOB π∠=，阴影部分面积为142π-，∴所求事件概率为1114242πππ-=-，故选A.9．D 考查目标 本题考查三角函数的图象，由部分图象求解析式，从而研究三角函数的相关性质，考查运算能力和数形结合思想.思路点拨 由题意得72233T πππ=-=，所以4T π=，从而212T πω==.,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,03π⎛⎫⎪⎝⎭关于43x π=对称，故43x π=是()f x 的一条对称轴，A 正确.从而2sin 3A A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2πϕ<得6πϕ=-，所以()1sin 26f x A x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.又()302f =-，代入上式得3sin 62A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而3A =，所以()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.将53x π=-代入得0y =，故B 正确.将函数()f x 的图象向左平移3π个单位后，得到函数图象的解析式为13sin2y x =，为奇函数，故C 正确，易验证D 错误，故选D. 规律总结 三角函数由部分图象求解析式，需关注零点、顶点、图象与y 轴交点，通过周期性求出ω，通过代入对称轴求出ϕ，然后通过与y 轴交点可求出A .10．C 考查目标 本题考查基本不等式，考查转化与化归思想.思路点拨 因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，所以()()()192824a b a b a b a b +=+++⎡⎤⎣⎦++()()()(9191281116101024324333a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+++⨯=++⨯≥⨯+= ⎪⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦，当且仅当()283a b a b +=+即58a =，18b =时取等号，故选C.规律总结 应用不等式性质中的基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.11．A 考查目标 本题考查向量的线性运算，考查转化能力.思路点拨 连接FA ，FD .由E ，M ，A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-，由题意知()1133FE CB AB AC ==-，()22123333FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC =+=-=--=--，所以21233FM AB AC λλ--=+.同理由D ，M ，C 三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+，所以2132,36213,33λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3,54,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而171515FM a b =-，故选A. 追本溯源 本题主要考查向量的线性运算以及三点共线的向量运算结论，旨在考查学生对基本知识与技能的掌握.12．C 考查目标 本题考查抛物线的几何性质（焦半径），考查运算求解能力.思路点拨 思路1：由题意知，直线l 的斜率存在且大于0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()22222204k p k x k p p x -++=，∴22A B p x x p k +=+，24A B p x x =.又9A B x x =， ∴32A p x =，6B p x =，∴2523A B p x x p p k+==+，∴23k =，k =60°.思路2：设直线l 的倾斜解为θ，则1cos p AF θ=-，1cos pBF θ=+，由抛物线定义可得2A p x AF =-，2B p x BF =-，∵9A B x x =，∴922A p p x AF BF ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴91cos 21cos 2p p p p θθ⎛⎫-=- ⎪-+⎝⎭，消去p 得1cos 2θ=，∴60θ=︒，故选C.规律总结 抛物线性质中，常考查一些常见结论的应用，解决此类问题，要思考常见结论，另外，可用代入选项的方法进行检验.13．2， 考查目标 本题考查统计中数字特征：平均数、中位数，考查学生的运算能力.思路点拨 由题意，先计算甲组平均数101211232120353041472510x +++++++++==甲.因为=x x 甲乙，所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=. 命题陷阱 学生在计算中位数时，易忘记对数据排序，导致错误. 14．乙、丁 考查目标 本题考查逻辑推理能力.思路点拨 四人知道的情况是：组织分配的名额、自己看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙、丙必定一个在A 地，一个在B 地；又给乙看了丙的分配地，所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地，故填乙、丁.追本溯源 本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力.15．22y x =或26y x = 考查目标 本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力.思路点拨 过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y == ，从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =.奇思妙解由题意知1,2p p ⎛+⎝或2p p ⎛- ⎝代入抛物线方程得3212p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或3212p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可得1p =或3p =，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =.16．[)1,-+∞ 考查目标 本题考查三角函数与导数的综合问题，考查灵活应用导数处理恒成立问题的能力.思路点拨 由题意可知()cos f x x x a '=++，设()cos h x x x a =++，则()1sin 0h x x '=-≥， 所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，()01h a =+.（Ⅰ）当10a +≥，即1a ≥-时，()()00h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()00f x f ≥=恒成立；（Ⅱ）当10a +<，即1a <-时，令2x a =-，则()()22cos 20h a a -=+->.又()010h a =+<，所以()00,x ∃∈+∞，使得()00h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()()00f x f <=不合题意.综上，a 的取值范围为{}|1a a ≥-.规律总结 近年来，考查恒成立问题处理的常见方法有两种：（1）导数零点分类法；（2）参变量分离法，均需利用导数求最值.17．考查目标 本题考查正弦定理与余弦定理，考查运算求解能力.思路点拨 在ABD △中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值，从而在CDE △中，应用正弦定理，求出DE .参考答案 （Ⅰ）由题意可知60A =︒，3AB =，2AD =，由余弦定理，得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，从而BD =设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AB BD A θ=，即3sin 2θ=，得sin 14θ=.（Ⅱ）由题意知θ为锐角，所以cos 14θ==，而()1sin sin 30cos 2214E θθθ=+︒=+=. 在CDE △中，由正弦原理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin 30sin CD DE E ⨯⋅︒===. 规律总结 解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正、余弦定理；（3）三角形有关公式. 18．考查目标 本题考查常见的线面平行，以及点到平面的距离，考查逻辑思维能力和数形结合思想. 思路点拨 （Ⅰ）取AB 中点，借助中位线，实现平行，构造四边形.证明：四边形为平行四边形，从而说明线线平行，证明线面平行.（Ⅱ）应用F ABD D ABF V V --=等体积转化，从而求点到面的距离. 参考答案 （Ⅰ）取AB 中点G ，连接FG ，GC ，由题意知F 为BE 中点， ∴FG 为ABE △的中位线， ∴12FG AE ∥，而12CD AE ∥，∴FGCD 为平行四边形， ∴DF GC ∥，而GC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . （Ⅱ）∵ABC △为等边三角形，G 为AB 中点，∴GC AB ⊥. 又∵AE ⊥平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，∴GC AE ⊥. 又AEAB A =，∴GC ⊥平面ABE .由（Ⅰ）可得，DF ⊥平面ABE .由2AB AE ==，EA AB ⊥，可得12222ABE S =⨯⨯=△，∴1ABF S =△. 在Rt BCD △中，2BC =，1CD =，∴BD =AD =2AB =，易得2ABD S =△，而DF CG ==F ABD D ABF V V --=，得1133ABD ABF S d S DF ⋅=⋅△△，即2d =，∴点F 到平面ABD的距离是2. 规律总结 线面平行的证明：（1）构建线线平行；（2）借助面面平行.构建平行的方法：中位线、平行四边形.点到平面的距离常用等体积转化法.19．考查目标 本题考查椭圆的几何性质，以及直线与椭圆相交的问题，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力.思路点拨 （Ⅰ）通过已知条件建立a ，b ，c 之间的关系，求椭圆的方程.（Ⅱ）将2ABF △分割成两个同底的三角形，2ABF S △即可转化为1y 与2y 表示的式子，把直线与椭圆方程联立，构建二次方程，把2ABF △面积化为参数k 的表达式，应用二次函数可求得最值.参考答案（Ⅰ）由题意得22222131,4,a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2,1,a b =⎧⎨=⎩ ∴椭圆的标准方程为2214x y +=. （Ⅱ）由22,440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214240k y my m k +-+-=，∵l过()1F，∴0m +=，即m =，∴()222140k y k +--=，∴12214y y k +=+，212214k y y k =-+，∴2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=△==， 令214k t +=，则1t >且()()()2422222214116162314t t k k t t t t k -+-++-==+，令1p t=，则01p <<，且2222231231321t t p p t t t+-=-⋅++=-++. ∵()0,1p ∈，∴当13p =时，()2max 43213p p -++=，∴2ABF △2=. 规律总结 椭圆问题在高考中，以考查运算为主，运算量较大，在运算过程中，掌握运算技巧. 20．考查目标 本题考查递推数列在概率统计中的应用，考查学生逻辑思维能力.思路点拨 （Ⅰ）搞清两种状况，分别计算概率.（Ⅱ）由第n 次与第1n +次的关系，建立递推公式，构造特殊数列，求n p .参考答案 由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有：()1,6，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,3，()4,4，()4,5，()4,6，()5,2，()5,3，()5,4，()5,5，()5,6，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，()6,6，共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （Ⅰ）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一、第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，其概率为7711212⨯=. ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三、四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，其概率为：55717511212121728⨯⨯⨯=，∴甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=. （Ⅱ）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类：①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ；②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫--⎪⎝⎭，从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭， ∴1111262n n p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∵111110222p -=-=≠，∴1112162n n p p +-=-， ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列， ∴1111226n n p -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，∴1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭. 规律总结 递推数列在概率统计中的应用，一般考查基本递推求通项，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些.21．考查目标 本题考查利用导致求解函数的单调区间，以及处理恒成立条件下的求范围问题；考查掌握综合知识的能力与技巧.思路点拨 （Ⅰ）1a =代入，求导，分解因式，从而求出单调区间.（Ⅱ）构造函数，求导，再求导.通过二阶导数值，指导一阶导数值，分类讨论最值符号，确定一阶导数的零点，近而指导原函数的取值，求参数的范围.参考答案 （Ⅰ）1a =时()()2112x f x xe x =-+， ()()()()()1111x x f x x e x x e '=+-+=+-，若()0f x '≥，则1x ≤-或0x ≥，若()0f x '<，则10x -<<，所以()f x 的增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-.（Ⅱ）由题意得()2202x af x e -++≥恒成立，即()()222202x a x e x x --++≥恒成立. 设()()()22222x a h x x e x x =--++， 则()()()11xh x x e a x '=--+，令()()()11xg x x e a x =--+，则()xg x xe a '=-.令()xF x xe a =-，则()()1xF x x e '=+.∵0x ≥，∴()0F x '>，()F x 为[)0,+∞上的增函数， ①当0a ≤时，()()00F x F a ≥=-≥， 从而()g x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()01g x g a ≥=--，当10a --≥，即1a ≤-时，()()00g x g ≥≥，从而()h x 在[)0,+∞上为增函数，∴()()00h x h ≥=恒成立.若10a --<，即10a -<≤时，由()g x 在[)0,+∞上为增函数，且()010g a =--<，()120g a =->， ∴在()0,+∞上，存在0x 使得()00g x =， 从而()h x 在(]00,x 上为减函数， 此时()()00h x h <=，不满足题意.②0a >时，由()F x 在[)0,+∞上为增函数， 且()00F a =-<，()()10a a F a ae a a e =-=->， ∴在()0,a 上，存在1x ，使得()10g x =， 从而()g x 在()10,x 上为减函数，此时()()010g x g a <=--<，∴()h x 在()10,x 上也为减函数，此时()()00h x h <=，不满足题意，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞-.规律总结 高考对于导数问题的要求是会应用导数，解决函数的单调性问题，含有参数的问题，主要考查抓住参数分类讨论的关键，提高运算求解能力.22．考查目标 本题考查三种方程间的转化以及极坐标方程的应用，考查转化与化归思想.思路点拨 （Ⅰ）展开曲线C 的方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，从而得曲线C 的极坐标方程.（Ⅱ）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值. 参考答案 （Ⅰ）曲线C 可化为2240x x y -+=， 即224x y x +=，也即24cos ρρθ=，所以4cos ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅱ）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心，从而2DOE π∠=.设()1,D ρθ，2,2E πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则124cos 4cos 24OD OE ππρρθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=++=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为.规律总结 三种方程间的相互转化是该类问题的考查对象，应用极坐标方程求最值问题也是常见方法，应要求学生必须掌握.考查目标 本题考查不等式的证明，考查转化与化归思想.思路点拨 应用a ，b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行做差比较.另外，可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明. 参考答案 （Ⅰ）方法1：()()2222911a b a b ---222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++--()3224851a a a a =-+- ()()22121a a a =--.∵10b a =->，∴1a <，∴01a <<， ∴()()221210a a a --≤， 从而可得()()2222119a b a b --≥. 方法2：∵0a >，0b >，∴220a b >，∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵1a b +=且0a >，0b >，∴221111a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b ab+-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225a b b a=++5≥ 9=.当且仅当12a b ==时取等号，得证.（Ⅱ）设t =()()211t a b =++++，∵1a b +=，∴23t =+0a >，0b >，∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴2336t =++=，∴t ≤12a b ==时等号成立，得证. 规律总结 不等式证明问题多与基本不等式有关，应用基本不等式证明应思考等号成立的条件.。

天一大联考2020年高中毕业班阶段性测试（三）语文一、现代文阅读（一）论述类文本阅读（本题共3小题）阅读下面的文字，完成1～3题。

中国文化轴心时代的春秋战国，儒墨同显，一致百虑，对立互补，相反相成。

墨子先学儒，后觉察儒学缺点，自创墨学。

非儒反儒，补充改造儒学，提出兼爱等人文学的重要原理。

墨子肯定孔学有“当而不可易”的真理成分。

墨家是先秦唯一堪与儒家分庭抗礼的学派。

孟子推崇墨子兼爱的人格精神魅力。

《孟子·尽心上》说：“墨子兼爱，摩顶放踵利天下，为之。

”这种损己利人、大公无私的精神，突显了墨子追求真善美理想的高贵品格。

孟子对墨子精神的赞扬，影响深远。

儒墨之学，各有所长，舍短取长，有助于把握全面真理和治国良方。

从公元前5世纪墨子推出《兼爱》等重要论文，到公元前3世纪后期墨家《墨经》六篇，历时近三百年的学理积淀，墨家学人从十多个角度，阐发“兼爱”学说的深层意蕴。

墨家“兼爱”论题的论证，强调全人类的共同本性和爱的整体性、普遍性、彻底性、穷尽性、交互性、平等性与不可分割性，强调兼爱是人类善良的理想愿望和奋斗目标。

过去、现在和未来一切人，都包含在“兼爱”的范围。

秦汉学界，儒墨对举，孔墨并提；汉后至清，墨学衰竭。

作为墨子“兼爱”理想深刻理论基础的全人类共同人性论，不符合宗法等级制的要求。

“兼爱”理想，在一个相当长的历史时期内，是无法实现的超越性善良愿望和理论假设。

儒家“爱有差等”，适应宗法等级制要求，随血缘亲疏远近，施爱厚薄不同，其人性论的理论基础和灵魂，是“亲亲尊尊”的“血统论”，是“中世纪”漫长宗法等级制社会的主流统治思想。

墨子坚决反对儒家“亲亲尊尊”的“血统论”，主张“可学而能”的共同人性论，是科学的认知理论，认为知识由后天学习得来。

《尚贤下》说：“王公大人骨肉之亲、无故富贵、面目美好者，此非可学能者也。

”只凭血统高贵，治理国家，不通过学习，获得智能，“此譬犹喑者而使为行人，聋者而使为乐师”，就像叫哑巴当外交官，聋人当乐队指挥，必然越治越乱。

河南省天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）高三毕业班阶段性测试（三）语文安阳一中郸城一高扶沟高中鹤壁高中淮阳中学济源一中开封高中灵宝一高洛阳一高林州一中内黄一中南阳一中南阳五中平顶山一中濮阳一高商丘一高太康一高温县一中新乡一中夏邑高中信阳高中（学校名称按其拼音首字母顺序排列）本试题卷分第I卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I卷阅读题必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成l -3题。

技术与人的关系，是一个不断演变的历史过程。

在手工劳动中，原始技术同劳动者不可分离。

手工劳动的技术，是最原始的技术，表现为劳动者的技能，即手控制手工工具的能力，亦称手工技能。

这种原始技术本质上是人的体能。

人的体能有两种功能：一是改变物体状态的能力，即体力。

二是控制物体的能力，在手工劳动中就表现为控制手工工具的能力。

这就是最早的技术——体技或手技。

所有的技术都是人对自己的超越。

人的双手的动作不准确、不精确，而手工技术追求的就是一准二精。

这种准确性和精确性的提高，不是通过工具，而是通过劳动者的苦练得来的。

“熟能生巧”，这“巧”是手之巧，靠的是熟练。

手工技能是由双手的动作的准和精表现出来的，它在一定程度上超越了人的生理局限，提高了人的生理功能，是“生理性技术”。

手工技能很难用语言文字来表达，它本身也不是知识，也不需要知识作为前提务件。

它只可意会，不可言传。

别人要学习这种技能，主要靠动作的模仿和用，心去领悟。

这种技术的传授必须面对面进行。

这种手工技能是劳动者的身体所具有的，存在于劳动者体内，离开了劳动者的双手，这种技能就不再存在。

这种技能与其说是“社会的”，不如说是个人的，它不可能在空间上大规模传播，也不可能在时间上世代相传。

由于人具有高度的个性，所以手工技能也具有一定的个性。

为什么古代的许多手工技术品、手工艺术品，使现代人都觉得望尘莫及？这是因为令人的双手没有练到那种程度。

天一大联考2020届高中毕业班阶段性测试（三）语文试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、现代文阅读（一）论述类文本阅读（本题共3小题）阅读下面的文字，完成1～3题。

中国文化轴心时代的春秋战国，儒墨同显，一致百虑，对立互补，相反相成。

墨子先学儒，后觉察儒学缺点，自创墨学。

非儒反儒，补充改造儒学，提出兼爱等人文学的重要原理。

墨子肯定孔学有“当而不可易”的真理成分。

墨家是先秦唯一堪与儒家分庭抗礼的学派。

孟子推崇墨子兼爱的人格精神魅力。

《孟子·尽心上》说：“墨子兼爱，摩顶放踵利天下，为之。

”这种损己利人、大公无私的精神，突显了墨子追求真善美理想的高贵品格。

孟子对墨子精神的赞扬，影响深远。

儒墨之学，各有所长，舍短取长，有助于把握全面真理和治国良方。

从公元前5世纪墨子推出《兼爱》等重要论文，到公元前3世纪后期墨家《墨经》六篇，历时近三百年的学理积淀，墨家学人从十多个角度，阐发“兼爱”学说的深层意蕴。

墨家“兼爱”论题的论证，强调全人类的共同本性和爱的整体性、普遍性、彻底性、穷尽性、交互性、平等性与不可分割性，强调兼爱是人类善良的理想愿望和奋斗目标。

2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−5x<0}，B=Z，则A∩B中元素的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 62.若z+2z−=3−i，则|z|=()A. 1B. √2C. √3D. 23.在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为15，则袋中球的总个数为()A. 5B. 8C. 10D. 124.如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔.塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为()A. √32B. √22C. √33D. √345.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A. 15B. 29C. 72D. 1856.已知1a >1b>0，则下列不等式：①ba>1；②|a|>|b|；③a3>b3；④(12)a>(12)b.其中正确的是()A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)，点A，B是曲线y=f(x)相邻的两个对称中心，点C是f(x)的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω=()A. 1B. π2C. 2D. π8.已知函数f(x)=e x+e−x−x2，则不等式f(2m)>f(m−2)的解集为()A. (−∞,−2)∪(23,+∞) B. (−∞,−23)∪(2,+∞)C. (−2,23) D. (−23,2)9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b=7，a+c=13，则△ABC的面积为()A. 20√3B. 40√3C. 10√3D. 50√310.已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB=AC=2√14,BC=2√7，则三棱锥O−ABC的体积为()A. 7√7B. 14√2C. 7√14D. 14√711.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x+1)，当0<x<1时，f(x)=2−x，则f(log21257)= ()A. −8B. −1256C. 256257D. −25625712.已知点A在直线3x+y−6=0上运动，点B在直线x−3y+8=0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为()A. π4B. 3π2C. 9π4D. 5π2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.平面向量a⃗=(2,2),b⃗ =(−1,3)，若(a⃗−b⃗ )⊥(λa⃗+b⃗ )，则λ=______ ．14.若实数x，y满足约束条件{x−2y+3≥02x−y−3≤0x+y−3≥0，则x−y的取值范围是______ ．15.若函数f(x)=|e x−a|−1有两个零点，则实数a的取值范围是______ ．16.设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S na n 和2a n的等差中项为1．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=log4a n+1，求数列{1b n b n+1}的前n项和T n．18.某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40,100]内，按照[40,50)，[50,60)，…，[90,100]分组，得到如图频率分布直方图：(Ⅰ)求图中a的值；(Ⅱ)求全体应聘者笔试成绩的平均数；(每组数据以区间中点值为代表)(Ⅲ)该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．19. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为平行四边形，AD =3，AB =5，cos∠BAD =35,BD =DD 1，E 是CC 1的中点． (Ⅰ)求证：平面DBE ⊥平面ADD 1；(Ⅱ)求点C 1到平面BDE 的距离．20. 已知椭圆C 1的离心率为√63，一个焦点坐标为(0,2√2)，曲线C 2上任一点到点(94,0)和到直线x =−94的距离相等．(Ⅰ)求椭圆C 1和曲线C 2的标准方程；(Ⅱ)点P 为C 1和C 2的一个交点，过P 作直线l 交C 2于点Q ，交C 1于点R ，且Q ，R ，P 互不重合，若PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =RP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 与x 轴的交点坐标．21. 已知函数f(x)=xlnx +1−x −lnx ．(Ⅰ)设函数y =f(x)在x =1和x =e 处的切线交直线y =1于M ，N 两点，求|MN|；(Ⅱ)设f(x 0)为函数y =f(x)的最小值，求证：−12<f(x 0)<0．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =−3−45ty =3+35t(t 为参数)，直线l 2的参数方程为{x =−3−√1010s y =3+3√1010s(s 为参数)．(Ⅰ)设l 1与l 2的夹角为α，求tanα；(Ⅱ)设l 1与x 轴的交点为A ，l 2与x 轴的交点为B ，以A 为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A 的极坐标方程．23. 已知函数f(x)=|x −1|+|ax +1|．(Ⅰ)当a =2时，解不等式f(x)≤5；(Ⅱ)当a =1时，若存在实数x ，使得2m −1>f(x)成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|0<x<5}，B=Z，∴A∩B={1,2，3，4}，∴A∩B中元素的个数为：4．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算求出A∩B，从而可得出A∩B中元素的个数．本题考查了描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：设z=a+bi，则z−=a−bi，因为z+2z−=3−i，所以a+bi+2(a−bi)=3−i，所以3a−bi=3−i，所以3a=3，−b=−1，所以a=1，b=1，所以z=1+i，故|z|=√1+1=√2．故选：B．利用利用复数相等，求出z，再利用复数模的计算公式，求解即可．本题考查了复数的模、复数相等的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，设袋中球的总数为n，∵袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为15，∴2n =15，解得n=10．则袋中球的总个数为10．故选：C．设袋中球的总数为n，由袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为15，利用古典概型概率计算公式能求出n．本题考查袋中球的总个数的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：塔顶是正四棱锥P−ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为S1=a2，因为AO=√22a,∠PAO=45°，所以PA=√2×√22a=a，所以△PAB 是正三角形，面积为S 2=√34a 2，所以S 2S 1=√34a 2a 2=√34． 故选：D ．利用正四棱锥的几何结构特征，设底面边长为a ，则底面是正三角形，求出底面面积，再利用侧棱与底面所成的角为45°，求出PA ，得到△PAB 是正三角形，求出其面积，然后计算比值即可．本题考查了正四棱锥的应用，涉及了正四棱锥几何结构的应用、三角形面积公式的应用，解题的关键是掌握正四棱锥的性质，属于中档题． 5.【答案】C【解析】解：i =0，a =1，b =1；第一次执行循环体后，a =3，b =2，不满足退出循环的条件，i =1； 第二次执行循环体后，a =7，b =5，不满足退出循环的条件，i =2； 第三次执行循环体后，a =15，b =14，不满足退出循环的条件，i =3； 第四次执行循环体后，a =31，b =41，满足退出循环的条件； 故输出a +b 值为72， 故选：C ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a +b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，得出正确的结论，是基础题． 6.【答案】D【解析】解：因为1a >1b >0，所以b >a >0， 所以ba >1，故①正确； |b|>|a|，故②错误；b 3>a 3，故③错误；由指数函数f(x)=(12)x 为减函数，又b >a ，所以f(a)>f(b)，即(12)a >(12)b ，故④正确， 故正确的是①④． 故选：D ．由不等式的基本性质逐一判断即可．本题主要靠考查不等式的基本性质，属于基础题． 7.【答案】D【解析】解：∵点A ，B 是曲线y =f(x)相邻的两个对称中心， ∴AB = T2，点C 是f(x)的一个最值点，则△ABC 的高为2， ∴三角形的面积S =12×T2×2=1， ∴T =2，∴2πω=2，∴ω=π，故选：D．根据三角函数的性质，求出三角形的底和高，结合三角形的面积是进行计算即可．本题主要考查三角形面积的计算，三角函数的图象和性质是解决本题的关键，是基础题．8.【答案】A【解析】解：因为函数f(x)=e x+e−x−x2，所以f(−x)=e−x+e x−(−x)2=e x+e−x−x2=f(x)，所以函数为偶函数，又f′(x)=e x−e−x−2x，故f″(x)=e x+e−x−2≥0，所以f′(x)在R上单调递增，又f′(0)=0，所以f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增，则不等式f(2m)>f(m−2)等价于|2m|>|m−2|，解得m>23或m<−2．故选：A．利用函数奇偶性的定义判断函数f(x)为偶函数，再利用导数判断出函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，从而将所求解的不等式进行等价转化，求解即可得到答案．本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了函数奇偶性的判断、利用导数研究函数的性质，解题的关键是利用函数的单调性和奇偶性去掉“f”，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：△ABC中，因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C，又A+B+C=π，所以B=π3．有余弦定理，可得b2=a2+c2−2accos60°=(a+c)2−3ac，即72=132−3ac，所以ac=40．所以△ABC的面积S=12acsinB=10√3．故选：C．由条件求得B的值，利用余弦定理求得ac的值，再利用三角形的面积公式，求出△ABC的面积．本题主要考查三角恒等变换，余弦定理，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由AB=AC=2√14,BC=2√7，得cos∠BAC=2×2√14×2√14=34，则sin∠BAC=√74，设OABC的外接圆半径为r，则2r=BCsin∠BAC=√7√74=8，所以r=4，则球心O到平面ABC的距离等于√52−42=3，则△ABC的面积S=12×2√14×2√14×√74=7√7，故三棱锥O −ABC 的体积为13×3×7√7=7√7．故选：A ．根据条件先求出△ABC 的面积以及球心O 到平面ABC 的距离，利用三棱锥的体积公式进行计算即可． 本题主要考查三棱锥体积的计算，利用与球的关系，求出底面积和高是解决本题的关键，是中档题． 11.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)满足f(x +3)=f(x +1)，则f(x +2)=f(x)，即f(x)是周期为2的周期函数，又由f(x)为奇函数，则f(log 21257)=f(−log 2257)=f(8−log 2257)=−f(log 2257−8)， 而8=log 2256<log 2257<log 2512=9，则0<log 2257−8=log 2257256<1， 且当0<x <1时，f(x)=2−x ， 则f(log 21257)=−f(log 2257256)=−(2log 2256257)=−256257，故选：D ．根据题意，分析可得f(x +2)=f(x)，即f(x)是周期为2的周期函数，结合函数的奇偶性，可得f(log 21257)=f(log 2257−8)，又由对数的运算性质和函数的解析式计算可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期，属于基础题． 12.【答案】C【解析】解：∵直线3x +y −6=0与直线x −3y +8=0垂直，且交点为(1,3)，∴以AB 为直径的圆过点(1,3)，又圆C 与x 轴相切，∴圆C 的面积最小时，其直径恰好为点(1,3)到x 轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C 面积的最小值为π×(32)2=94π．故选：C ．由题意画出图形，可知所求的圆恰好过两直线的交点，再由题意得到圆的半径的最小值，则答案可求．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想，是中档题．13.【答案】32【解析】解：∵向量a ⃗ =(2,2),b ⃗ =(−1,3)， ∴a ⃗ −b ⃗ =(3,−1)，λa ⃗ +b ⃗ =( 2λ−1,2λ+3)．∵(a ⃗ −b ⃗ )⊥(λa ⃗ +b ⃗ )，∴3(2λ−1)−1×(2λ+3)=0， 解得λ=32， 故答案为：32．由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求得λ的值． 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，属于基础题． 14.【答案】[−1,1]【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{2x −y −3=0x +y −3=0，解得A(2,1)，联立{x −2y +3=0x +y −3=0，解得B(1,2)，令z =x −y ，化为y =x −z ，作出直线x −y =0，把直线平移，由图可知，当直线经过A 时，直线y =x −z 在y 轴上的截距最小，z 有最大值1， 当直线经过B 时，直线y =x −z 在y 轴上的截距最大，z 有最小值−1， ∴x −y 的取值范围是[−1,1]． 故答案为：[−1,1]．由约束条件作出可行域，令z =x −y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题． 15.【答案】(1,+∞)【解析】解：f(x)的零点个数等价于曲线y =|e x −a|与直线y =1的交点个数， 作出函数图象如图所示，由题意可知a >1． 故答案为：(1,+∞)．根据f(x)的零点个数等价于曲线y =|e x −a|与直线y =1的交点个数，作出函数图象即可求出a 的取值范围．本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的思想和转化的能力，属于中档题． 16.【答案】√2【解析】解：由题意知，A(−a,0)，B (a,0)，F(−c,0)， 把x =−c 代入双曲线方程中，有c 2a−y 2b =1，∴y =±b 2a，∴P(−c,b 2a )，Q(−c,−b 2a )， ∵AP ⊥BQ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c +a,b 2a)⋅(−c −a,−b 2a)=c 2−a 2−(b 2a)2=0， 化简得，a 2=b 2，即a =b ，∴双曲线的离心率e =√a 2+b 2a 2=√1+(b a)2=√2． 故答案为：√2．把x =−c 代入双曲线方程可得P ，Q 两点的坐标，由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可推出a =b ，再由e =√1+(ba)2，得解． 本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 17.【答案】解：(Ⅰ)由题意，可得S na n +2a n =2， 整理，得S n =2a n −2，当n =1时，a 1=S 1=2a 1−2，解得a 1=2， 当n ≥2时，由S n =2a n −2， 可得S n−1=2a n−1−2．两式相减，可得a n =2a n −2a n−1， 化简整理，得a n =2a n−1，∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n =2×2n−1=2n ，n ∈N ∗，(Ⅱ)由(Ⅰ)，可得b n =log 4a n+1=log 42n+1=n+12，则1bn b n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)，∴T n =1b 1b 2+1b 2b 3+⋯+1b n b n+1=4×(12−13)+4×(13−14)+⋯+4×(1n +1−1n +2)=4×(12−13+13−14+⋯+1n +1−1n +2)=4×(12−1n +2)=2nn+2．【解析】(Ⅰ)先根据等差中项的性质写出S n =2a n −2，然后根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2代入进行计算即可发现数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可计算出数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)根据第(Ⅰ)题计算出b n 的表达式，进一步计算出数列{1bn b n+1}的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和T n ．本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n 项和．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意(0.005+0.010+a +0.030+a +0.015)×10=1， 解得a =0.020．(Ⅱ)这些应聘者笔试成绩的平均数为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15=74.5． (Ⅲ)根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x ，根据频率分布直方图可知x ∈[60,70)， 且(70−x)×0.02+0.3+0.2+0.15=0.75， 解得x =65．故估计应该把录取的分数线定为65分．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图列方程能求出a ．(Ⅱ)由频率分布直方图能求出这些应聘者笔试成绩的平均数．(Ⅲ)根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x ，根据频率分布直方图可知x ∈[60,70)，列出方程能估计录取的分数线．本题考查与频率分布直方图有关的计算，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】(Ⅰ)证明：由题意可得BD 2=AD 2+AB 2−2AB ×ADcos∠BAD =16， 所以AD 2+BD 2=AB 2，因此AD ⊥BD. (2分)在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，所以DD 1⊥BD. (3分) 又因为AD ∩DD 1=D ，AD ⊂平面ADD 1，DD 1⊂平面ADD 1，所以BD ⊥平面ADD 1，(4分) 因为BD ⊂平面DBE ，所以平面DBE ⊥平面ADD 1. (5分) (Ⅱ)解：如图，在平面BCC 1内作C 1F ⊥BE ，垂足为F. (6分) 由(Ⅰ)知BD ⊥平面ADD 1，因为平面ADD 1//平面BCC 1， 所以BD ⊥平面BCC 1，所以BD ⊥C 1F ，(7分) 又因为BD ∩BE =B ，所以C 1F ⊥平面BDE ．所以线段C 1F 的长就是点C 1到平面BDE 的距离． (8分)因为CC 1=DD 1=BD =4，BC =3，所以CE =C 1E =2,BE =√13. (9分) 在平面BCC 1内，可知△BCE∽△C 1FE ，(10分) 所以C 1FC1E=BCBE =√13C 1F =6√1313， 所以点C 1到平面BDE 的距离为6√1313. (12分)【解析】(Ⅰ)证明AD ⊥BD ，DD 1⊥BD ，推出BD ⊥平面ADD 1，然后证明平面DBE ⊥平面ADD 1．(Ⅱ)在平面BCC 1内作C 1F ⊥BE ，垂足为F.说明线段C 1F 的长就是点C 1到平面BDE 的距离．通过△BCE∽△C 1FE ，转化求解点C 1到平面BDE 的距离即可．本题考查空间的垂直关系以及距离的计算，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆C 1：x 2b 2+y2a 2=1(a >b >0)， 根据条件可知√a 2−b 2=2√2，且√a 2−b 2a=√63， 解得a 2=12，b 2=4， 所以椭圆C 1的标准方程为x 24+y 212=1，曲线C 2是以(94,0)为焦点，x =−94为准线的抛物线， 故C 2的标准方程为y 2=9x ；(Ⅱ)联立{3x 2+y 2=12y 2=9x，解得x =1，y =±3，不妨取P(1,3)，若直线l 的斜率不存在，Q 和R 重合，不符合条件； 故可设直线l ：y =k(x −1)+3，由题意可知k ≠0， 联立{y =kx +3−k y 2=9x ，解得y Q =9−3kk ，联立{y =kx +3−k 3x 2+y 2=12，解得y R =9−3k 2−6k3+k 2，因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =RP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以P 是QR 的中点， 所以y Q +y R2=3，即9−3k k+9−3k 2−6k 3+k 2=6，解得k =1，所以直线l 的方程为y =x +2，其与x 轴的交点坐标为(−2,0)．【解析】(Ⅰ)设椭圆的标准方程，利用焦点坐标和离心率得到关于a 和b 的关系式，求解即可得到a 2=12，b 2=4，从而得到椭圆的方程；利用抛物线的焦点以及准线即可求出抛物线的方程；(Ⅱ)联立椭圆和抛物线的方程，求出其中一个交点P(1,3)，设直线l 的方程，分别联立直线l 与抛物线和椭圆的方程，得到Q 和R 的纵坐标，然后利用PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =RP⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出直线方程，令y =0，即可得到答案． 本题考查了圆锥曲线的综合应用，涉及了椭圆标准方程的求解、抛物线标准方程的求解、直线与椭圆以及抛物线的位置关系，综合性强，涉及知识点多，对学生分析问题和解决问题的能力以及运算能力都有较高的要求，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的导函数为f′(x)=1+lnx−1−1x =lnx−1x.(1分)所以f′(1)=−1,f′(e)=1−1e.又因为f(1)=0，f(e)=0，因此y=f(x)在x=1和x=e处的切线方程分别为y=−x+1和y=e−1e(x−e).(4分)令y=1，可得M和N的坐标分别为(0,1)和(e2e−1,1)，故|MN|=e2e−1.(6分)(Ⅱ)因为f′(x)=lnx−1x 在(0,+∞)上单调递增，而f′(1)=−1<0,f′(2)=ln2−12>0，所以必然存在x0∈(1,2)，满足f′(x0)=0，(8分)且当x∈(0,x0))时，f′(x)<0，当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0.(9分)即f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，当x=x0时，f(x)取得最小值f(x0)=x0lnx0+1−x0−lnx0.(10分)由f′(x0)=0，可得lnx0=1x0，所以f(x0)=2−(x0+1x).(11分)当x0∈(1,2)时，x0+1x0∈(2,52)，所以−12<f(x0)<0.(12分)【解析】(Ⅰ)求出导函数，得到切线的斜率，求出切线方程，然后求MN的距离即可．(Ⅱ)判断函数的单调性，求出函数的最小值，利用导函数的最大值结合基本不等式，即可证明−12<f(x0)<0成立．本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数性质，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(Ⅰ)设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知tanβ=−34,tanγ=−3，则tanα=tan(β−γ)=tanβ−tanγ1+tanβtanγ=913．(Ⅱ)令3+35t=0，得−3−45t=1，所以A(1,0)，令3+3√1010s=0，得−3−√1010s=−2，所以B(−2,0)，所以圆A的直角坐标方程为(x−1)2+y2=9，即x2+y2−2x=8，所以圆A的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ=8．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用已知条件求出圆的方程．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，圆的方程的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=|x −1|+|2x +1|={3x,x ≥1x +2,−12<x <1−3x,x ≤−12； 当x ≥1时，不等式f(x)≤5化为3x ≤5，解得1≤x ≤53；当−12<x <1时，不等式f(x)≤5化为x +2≤5，解得−12<x <1； 当x ≤−12时，不等式化为−3x ≤5，解得−53≤x ≤−12． 综上所述，不等式f(x)≤5的解集为{x|−53≤x ≤53}．(Ⅱ)当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +1|≥|x +1+1−x|=2， 当且仅当−1≤x ≤1时，等号成立，即f(x)的最小值为2． 因为存在实数x ，使得2m −1>f(x)成立，所以2m −1>2． 解得m >32，所以m 的取值范围是(32,+∞)．【解析】(Ⅰ)a =2时利用分类讨论法求出不等式f(x)≤5的解集．(Ⅱ)利用绝对值不等式求出a =1时f(x)的最小值，再不等式2m −1>f(x)成立时m 的取值范围．本考查绝对值不等式的解法和性质的运用：求最值，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

河南省天一大联考2020届高三数学上学期阶段性测试试题（三）文 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 A = {0376|2≤--x x x }，B=Z ，则=B A IA.[-1,0]B. {1,0,1-}C. {1,0}D. {2,1,0} 2.已知复数z 满足13-=i z ，则=z z A. i 21 B. i 21- C. i D. i - 3.执行如图所示的程序框图，则输出的b =A.5B.4C. 3D.24.已知等差数列{n a }的公差不为0，27=a ,且4a 是2a 与5a 的等比中项，则{n a }的前 10项和为A.10B.0C.-10D.-185.已知43)3sin(-=-απ,则=-)232021cos(απ A. 81 B. 81- C. 873 D . 873- 6.若方程0cos sin 32=-+αx x 有实根，则实数a 的取值范围为A. [1,12]B. [-1,+∞)C. ( -∞,1]D. [-1，1237] 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 18B. 218C. 36D. 48 8.已知数列{n a }是递增的等比数列，10,402426=+=-a a a a ,则=A. 35B. 25C. 35D. 25 9.如图所示，是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为A. 499πB. 4933πC. π332D. 9π10.已知三棱锥A - BCD 内接于球0，AB=BC = BD=4，ACBD= 60°,AB⊥平面BCD,则球0的表面积为A. 328πB. 425πC.3112π D. π60 11.设)(2632)(23R m x mx x x f ∈++-=的导函数为)('x f ，若对任意R x ∈,总有)3(')1('x f x f +=-，则)(x f 在[-1，4]上的最小值为A. 314B.2C. 320-D. 326- 12. 已知双曲线C: )0>,0>(12222b a by a x =-的左、右焦点分别为21,F F ，过2F 作一条渐近线的垂线,垂足为)31,0(,b B A -.若向量A F 1与B F 2共线，则双曲线C 的离心率为A. 5B. 253+C. 252+ D. 251+ 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量235,1||),4,3(=⋅=-=b a b a ，则向量a 与b 的夹角=θ . 14.已知函数)2|<)(|2cos()(πφϕ+=x x f 的图象的一条对称轴为直线6π=x ，将)(x f 的图象向左平移12π个单位长度得到函数)(x g 的图象，则=)4(πg . 15.过椭圆的三个顶点作圆，另一个顶点恰好为圆心，则该椭圆的离心率为 . 16.设函数x xe x g x x x f 2)(,123)(=+-=，若),1(1+∞-∈x ，使得),1(2+∞-∈∀x ，不等式)f(m >)(4222x x emg 恒成立,则实数m 的取值范围是 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10 分）设数列{n a }的前n 项和为n S ,)2(,31142≥=-=-+n S a S a n n .(I)求n S ;(II)数列{n S }满足142-+=n n n S b ，求数列{n b }的前n 项和n T .18.(12 分）已知ABC ∆ 的内角 A ，B ，C 的对边分别为2,3,cos )2(cos ,,,==-=c a A b c B a c b a . (I)求角A ；(II)求ABC ∆的面积.19.(12分)某校髙三有600名学生，某次模拟考试的数学成绩(均为整数,且都在[90，150 ]内）经过统计，按照[90， 100),[100,110),-,[140,150]分组后得到如下的频率分布直方图.(I)求本次模拟考试数学成绩不小于120分的学生人数；(II)估计这600名学生数学成绩的中位数（四舍五入保留整数）；(Ⅲ)用分层抽样的方法从[90，120)分数段的学生中抽取一个容量为8的样本，再从这8人中任选2 人，求在分数段[100，110)、[110,120)内各有1人的概率.20.(12 分）如图所示，三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2，D 为棱BC 的中点，1AC BC ⊥.(I)求的大小；(II)若平面⊥ABC 平面11B BCC ，求点C 到平面1ABC 的距离.21.(12 分）已知抛物线)0>(2:2p py x P =，焦点为F ，点P 在抛物线P 上，且P 到F 的距离比P 到直线2-=y 的距离小1.(I)求抛物线P 的方程;(II)点N 为直线5:-=y l 上任意一点，过点N 作抛物线尸的切线，切点分别为A ，B.问:直线是否过定点？若过定点，求定点的坐标;否则，请说明理由.22.(12分）已知函数x x x f 2ln )(+=. (I) 求)(x f 的极值；(II)已知函数xx a x x f x g 223)()(2--+=，其中a 为常数且0≠a ,若函数)(x g 在区间[1，2]上为单调函数，求实数a 的取值范围.。

天一大联考高中毕业班阶段性测试（三）数学试题一、单选题1．设集合，，则下列结论正确的是A．B．C．D．【答案】B【解析】利用一元二次不等式的解法求得集合,即可得出集合与集合的关系，从而可得出结论.【详解】，，，故选B.【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．2．复数的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果. 【详解】，的共轭复数为，对应坐标是在第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．函数的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】利用，排除选项；利用排除选项，从而可得结果.【详解】，，排除选项；，排除选项，故选A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．若非零向量,a b rr 满足3a b =r ，且()()2a b a b -⊥+r r r r ，则a r 与b r 的夹角的余弦值为( ) A ．6 B ．33C ．6-D ．3【答案】D【解析】根据()()2a b a b -⊥+r r r r 可得()()20a b a b -⋅+=r r r r ,代入3a =r 化简求解夹角余弦值即可. 【详解】设a r 与b r的夹角为θ,()()2a b a b -⊥+r r r r Q ,()()2a b a b ∴-⋅+r r r r 222cos 0ab a b θ=-+=r r r r.3a b =r r Q ,222223cos 3b a b a b bθ-∴=-=-=-r r r r r r , 故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用数量积的公式与模长求解夹角的问题.属于中档题. 5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值. 【详解】 第一次循环，； 第二次循环，；第三次循环，，退出循环，输出，故选B. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．已知等差数列的前项和为，，为整数，且最大，则公差A ．-2B ．-3C ．-4D ．-5【答案】B【解析】利用排除法，令，分别判断出前项和的最大值，即可得结果. 【详解】时，，或最大，故不合题意；时，，最大，故合题意；时，，最大，故不合题意；时，， 或最大，故不合题意，故选B. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前项和公式，以及排除法的应用，属于基础题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.7．已知直线y=2b 与双曲线22x a -22y b=1（a ＞0，b ＞0）的斜率为正的渐近线交于点A ，曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，若21tan AF F 15∠=，则双曲线的离心率为（ ） A ．4或1611B ．1611C ．2D ．4【答案】D【解析】由题意表示出点A 的坐标，又21tan 15AF F ∠=求出结果 【详解】 由渐近线方程y bx a=与直线2y b =求出点A 的坐标为()2,2a b ,过A 点作AB x ⊥轴于点B ，则22,2AB b BF c a ==-由已知可得212tan 152bAF F c a∠==-22264a 60110116064016411ac c e e e e ∴-+=∴-+=∴==或当1611e =时，1611c a =则20c a -<故舍去，综上4e = 故选D 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率问题，在求解过程中一定依据题目已知条件，将其转化为关于离心率的方程，继而求出结果，本题属于中档题 8．如图放置的边长为1的正方形沿轴顺时针滚动一周，设顶点的运动轨迹与轴所围区域为，若在平面区域内任意取一点，则所取的点恰好落在区域内部的概率为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】顶点的运动轨迹，分三部分：前一部分的图象为四分之一圆周，后一部分的图象为四分之一圆周，且半径都是1,中间部分的轨迹为以为半径的四分之一圆周，分别求出与轴围成的面积，求和后利用几何概型概率公式求解即可. 【详解】正方形沿轴顺时针滚动一周，顶点的运动轨迹，分三部分：前一部分的图象为四分之一圆周，后一部分的图象为四分之一圆周，且半径都是1,此时两部分扇形所占面积为,中间部分的轨迹为以为四分之一圆周，与围成的面积为,顶点的运动轨迹与轴所围区域的面积为，平面区域的面积为，所以在平面区域内任意取一点，则所取的点恰好落在区域内部的概率为故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.9．一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点在正视图上的对应点为，点，，在俯视图上的对应点为，，，过直线作一平面与直线平行，则该平面截几何体所得截面多边形的周长为A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体是如图所示的四棱锥，设中点为，连接，由线面平行的判定定理可得为所求截面，利用三视图所给数据求出三角形各边长即可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥，其中平面，底面是直角梯形，，高，设中点为，连接，则是平行四边形，所以平面，平面，所以平面是所求截面，由勾股定理可得，的周长为，故选A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10．已知函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象的相邻最高点间的距离为π，设()f x 的图象向左平移4π个单位后得到()g x 的图象，则函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A ．2,2⎡⎤⎣⎦B ．2,2⎡⎤-⎣⎦C ．[]2,2-D ．2,2⎡⎤-⎣⎦【答案】D【解析】由图象的相邻最高点间的距离为π，可求得函数周期，从而确定2ω=，利用三角函数的平移法则可得()g x 的解析式，求得52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的单调性可得结果. 【详解】Q 函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象的相邻最高点间的距离为π，2T ππω∴==，得2ω=，()224f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移4π可得，()2222444g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，50,,2,2444x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，22,142sin x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()2,2g x ⎡⎤∈-⎣⎦，即()g x 的值域为2,2⎡⎤-⎣⎦，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质、以及三角函数图象的平移法则，属于中档题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度. 11．已知函数的图象的对称中心为，且的图象在点处的切线过点，则A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】由函数的图象的对称中心为，可得，求得的值后，利用解方程即可得结果.【详解】 函数的图象的对称中心为，所以， ，即，得，，又的图象在点处的切线过点， ，即，解得，故选A.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及函数的对称性的应用，属于难题. 函数的对称的性质：（1）若，则的图象关于对称；（2）若，则的图象关于对称.12．已知抛物线2:4C y x =，斜率为k 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，与圆22:(5)9E x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，则弦长||AB =A ．2B ．4C ．37D ．6【答案】C【解析】首先利用点差法求出02ky =，结合圆心和切点的连线与切线垂直可得03x =，通过切点在圆上求出切点坐标，进而可求出直线方程，联立直线与抛物线将韦达定理与弦长公式相结合可得弦长. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ， 则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，相减得()()()1212124y y y y x x +-=-，利用点差法可得02ky =，因为直线与圆相切，所以001 5y x k=--，所以03x =，将0x代入圆的方程可得0y =， 不失一般性可取M点坐标为(，则5k =， 故直线l的方程为)3y x =-，即55y x =-，联立24y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩242410x x -+=，所以126x x +=，1214x x =，由弦长公式得AB == C. 【点睛】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，直线与抛物线的相交时弦长问题，属于中档题．二、填空题13．已知随机变量2(1,)X N σ:，若(01)0.3P X <<=，则(2)P X >=__________． 【答案】0.2【解析】随机变量()21,X N σ~，得到曲线关于1x =称，根据曲线的对称性得到200.501P X P X P X >=<=-<<（）（）（） ，根据概率的性质得到结果． 【详解】随机变量()21,X N σ~，∴曲线关于1x =对称，∴200.5010.2P X P X P X >=<=-<<=（）（）（），故答案为0.2. 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题14．已知x ，y 满足约束条件220,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =-的最大值为__________．【答案】2【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求解即可. 【详解】画出220,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩表示的可行域，如图，由220,20,x y x y --=⎧⎪⎨⎪+-=⎩可得20x y =⎧⎪⎨⎪=⎩， 将z x y =-变形为y x z =-， 平移直线y x z =-，由图可知当直y x z =-经过点()2,0时， 直线在y 轴上的截距z -最小，z 最大， 最大值为202z =-=，故答案为2. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2n n S a λ=-，其中λ为常数，若13n n a b n =-，则数列{}n b 中的项的最小值为__________．【答案】1412-【解析】由12a =求得2,λ=再利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出()12132nnn n a b n ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭，根据11n n n n b b b b +-≤⎧⎨≤⎩求得1415n ≤≤从而可得结果. 【详解】12,2n n a S a λ==-Q ,1112S a a λ∴==-, 222,2,22n n S a λλ=-==-,①2n ≥时，1122n n S a --=-，②②-①化为()122n n a a n -=≥， 所以{}n a 是公比为2的等比数列，()11222,132nn nn n a b n -⎛⎫∴=⨯==-⨯ ⎪⎝⎭，由11n n n n b b b b +-≤⎧⎨≤⎩，可得()()()()111113122211131422n n n n n n n n +-⎧⎛⎫⎛⎫-⨯≤-⨯⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-⨯≤-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 解得()()()21312141513214n nn n n ⎧-≤-⎪⇒≤≤⎨-≤-⎪⎩， 即{}n b 中的项的最小值为14151412b b ==-，故答案为1412-. 【点睛】本题主要考查递推关系求通项公式，以及等比数列的定义，数列的最小项，属于难题. 已知数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.16．已知六棱锥P ABCDEF -，底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面的射影为其中心.将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，则当正六边形ABCDEF 的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为__________．【解析】设六边形的边长为()0x x >，，进而可将体积表示为关于自变量x 的函数，利用导数判断函数的单调性得其最大值即可. 【详解】如图所示，设六边形的边长为()0x x >，故3OG =， 又∵展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，∴352PG x =-，故22335255322PO x x x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴六棱锥的体积2451131562553533222V x x x x =⨯⨯⨯-=- 令()()455530f x x xx =->，∴()()3432053543f x x x xx -='=，当43x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当43x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，故当43x =()f x 取得最大值，即体积最大， 815815. 【点睛】本题考查六棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差不为零，EF CE AC AB=，且211113a a a =⋅. （1）求使不等式0n a ≥成立的最大自然数n ；（2）求数列11{}n n a a +的前n 项和. 【答案】（1）13；（2）62550nn-.【解析】（1）由125a =，且211113a a a =⋅，列方程求出{}n a 的公差为d ，从而求出{}n a 的通项公式，然后列不等式求解即可；（2）由()()111227225n n a a n n +=-+-+ 1112227225n n ⎛⎫=-- ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项相消法可求得数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d .由题意，可得()()21111012a d a a d +=+，于是()12250d a d +=.又125a =，0d ≠，所以2d =-. 故227n a n =-+.由2270n -+≥，可得13.5n ≤，所以满足题意的最大自然数n 为13.（2）因为()()111227225n n a a n n +=-+-+ 1112227225n n ⎛⎫=-- ⎪-+-+⎝⎭. 故前n 项和为12231111n n a a a a a a ++++L 1111111225232321227225n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L111225225n ⎛⎫=-- ⎪-+⎝⎭1150504n =-+- 62550n n =-. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质及裂项法求前n 项和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a C c AB b+=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，BC =3BD =. （1）求角B 的大小； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）3B π=；（2【解析】（1）根据cos cos 2cos a C c AB b+=，利用正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，由两角和的正弦公式结合诱导公式可得sin 2sin cos B B B =，从而得1cos 2B =，进而可得结果；（2）设AB x =，3(0,0)AC z x z =>>，在ABD ∆中，在CBD ∆中，在ABC ∆中，结合cos cos BDA BDC ∠=-∠，利用余弦定理列方程组求得x =面积公式可得结果. 【详解】 （1）根据cos cos 2cos a C c AB b+=可得cos cos 2cos a C c A b B +=，∴sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，∴()sin 2sin cos A C B B +=，∴()sin 2sin cos B B B π-=， 即sin 2sin cos B B B =，∴1cos 2B =. 又∵0B π<<，∴3B π=.（2）设AB x =，3(0,0)AC z x z =>>.在ABD ∆中，由余弦定理可得()2292cos 232z x BDA z+-∠=⨯⨯.在CBD ∆中，由余弦定理可得2912cos 23z BDC z+-∠=⨯⨯. 由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠， 即()2229291223223z x z cz+-+-=-⨯⨯⨯⨯， 整理可得22360z x +-=.①在ABC ∆中，由余弦定理可知2212239x x z +-=. 代入①式整理可得243330x x +-=.所以3523x =-. 据此可知ABC ∆的面积()1352323sin 2S B =-⨯ ()39535233322=-=-. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积的应用，属于中档题. 本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，2EA ED AB ===，EF AC P 且12EF AC =.（Ⅰ）求证：AD BE ⊥；（Ⅱ）若平面AED ⊥平面ABCD ，求平面BCF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ5. 【解析】（Ⅰ）取AD 的中点M ，连接EM ，BM ，易得EM AD ⊥，接着通过证明BM AD ⊥来得到AD ⊥平面EMB ，进而可得结论；（Ⅱ）通过面面垂直可得EM ⊥平面ABCD ，进而可建立如图所示的坐标系，求出平面BCF 的法向量，结合平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =v，进而可求得最后结果.【详解】（Ⅰ）取AD 的中点M ，连接EM ，BM .∵EA ED =，∴EM AD ⊥. ∵底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，∴AB AD BD ==，∴BM AD ⊥，∵EM BM M ⋂=，∴AD ⊥平面EMB .∵BE ⊂平面EMB ，∴AD BE ⊥.（Ⅱ）∵EM AD ⊥，平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ⋂平面ABCD AD =，∴EM ⊥平面ABCD .∴可以M 为原点，MA ，MB ，ME 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0M ，()1,0,0A ，()3,0C -，(3E ，()3,0B .∴(3ME =u u u v ，()2,0,0BC =-u u u v，()3,0AC =-u u u v ，∴13322EF AC u u u v u u u v ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴3332MF ME EF ⎛=+=- ⎝u u u v u u u v u u u v ，即3332F ⎛- ⎝，∴33,32BF ⎛=- ⎝u u u v .设平面BCF 的一个法向量为(),,n x y z =v ，则3330,220,n BF x y z n BC x ⎧⋅=--+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩u u u v v u u u v v 令1z =，则()0,2,1n =v .易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =v.设平面BCF 与平面ABCD 所成的锐二面角为θ，∴5cos 51m n m n v vv vθ⋅===⋅⨯. ∴平面BCF 与平面ABCD 5【点睛】本题主要考查线线垂直的判定，核心内容为“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，空间向量在求二面角中的应用，即二面角的大小与平面的法向量所成角之间相等或互补，主要通过题意或图形确定最后结果，属于中档题.20．为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取100名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：（Ⅰ）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（Ⅱ）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为X，试求X的分布列与数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）根据题意即可将列联表完成，通过计算2K的值即可得最后结论；（Ⅱ）“学习成绩优秀”的有4人，“学习成绩一般”的有2人，X的所有可能取值为1，2，3，计算出其概率得到分布列，计算出期望.【详解】（Ⅰ）填表如下：由上表得()221001020403040605050K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 16.66710.828≈>.故有99.9%的把握认为学生的学习成绩与是否使用手机有关. （Ⅱ）由题意得，所抽取的6位不使用手机的学生中， “学习成绩优秀”的有406460⨯=人，“学习成绩一般”的有206260⨯=人. X 的所有可能取值为1，2，3.()124236411205C C P X C ====，()2142361232205C C P X C ====，()304236413205C C P X C ====. 所以X 的分布列为：故数学期望为1311232555EX =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，离散型随机变量的分布列及其期望，考查了学生的计算能力，属于中档题.21．已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为y x =截圆222:O x y a +=与椭圆E 所得的弦长之比为2，圆O 、椭圆E 与y 轴正半轴的交点分别为P ，A .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点00(,)B x y （00y ≠且01y ≠±）为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线AB ，AC 分别交x 轴于点M ，N ，证明：tan tan OPM ONP ∠=∠. 【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析. 【解析】（1）根据焦距为y x =截圆222:O x y a +=与椭圆E 所得的弦长之比为2，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（2）由（1）可知，点A 的坐标为()0,1，点P 的坐标为()0,2，由直线AB的方程与直线AC 的方程令0y =，分别求得00,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，00,01x N y ⎛⎫⎪+⎝⎭，可证明24||OM ON OP ⋅==，即OM OP OPON=，从而可得结论.【详解】（1）根据题意可知c =223a b -=.因为直线y x =截椭圆E，2=，化简得224a b =. 所以21b =，24a =.故椭圆E 的标准方程为2214x y +=.（2）由（1）可知，点A 的坐标为()0,1，点P 的坐标为()0,2. 直线AB 的方程为0011y y x x -=+，令0y =，得00,01x M y ⎛⎫⎪-⎝⎭. 因为点B 关于x 轴的对称点为C ，所以()00,C x y -. 所以直线AC 的方程为011y y x x +=-+. 令0y =，得00,01x N y ⎛⎫⎪+⎝⎭.因为20002000111x x x OM ON y y y ⋅=⋅=-+-， 而点()00,B x y 在椭圆2214x y +=上，所以220014x y +=.即20241x y --，所以24||OM ON OP ⋅==，即OM OP OPON=，所以tan tan OPM ONP ∠=∠.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于难题. 本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+= ()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 22．已知函数()ln f x x x =，()1g x x =-. （Ⅰ）求函数()()()f x G xg x =的单调区间； （Ⅱ）设441()()()4H x f x ag x =-的极小值为()a ϕ，当0a >时，求证：114141()()04a a e e a ϕ---≤≤. 【答案】（Ⅰ）()G x 的单调递增区间为(0,1)和(1,)+∞，无单调递减区间；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）对()G x 求导可得()()21ln 1x xG x x ---'=，设()1ln h x x x =--，对()h x 求导，判断()h x 的符号，进而可得()G x 的单调性；（Ⅱ）对()H x 进行求导，可得()H x 的极小值()4114a a a e ϕ-=-，对()a ϕ求导，易证()104a ϕϕ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，在将114104aa e --≥等价转化为()1ln 4104a a +-≥，令()()1ln 414r a a a =+-，对其求导求其最值即可.【详解】（Ⅰ）因为()ln 1x x G x x =-（0x >且1x ≠），所以()()21ln 1x x G x x ---'=. 设()1ln h x x x =--，则()11h x x'=-. 当1x >时，()110h x x=->'，()h x 是增函数，()()10h x h >=，所以()()21ln 01x xG x x --=>-'.故()G x 在()1,∞上为增函数； 当01x <<时，()110h x x=-<'，()h x 是减函数，()()10h x h >=，所以()()21ln 01x xG x x --=>-'，所以()G x 在()0,1上为增函数.故()G x 的单调递增区间为()0,1和()1,+∞，无单调递减区间. （Ⅱ）由已知可得()()44ln 1H x x x a x =--，则()()34ln 14H x xx a =+-'.令()0H x '=，得1ln 4x a =-，14a x e -=.当140,a x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0H x '<，()H x 为减函数；当14,a x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0H x '>，()H x 为增函数，所以()H x 的极小值()()414114a a a H e a e ϕ--==-.由()4110a a e ϕ-'=-=，得14a =. 当10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0a ϕ'>，()a ϕ为增函数； 当1,4a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0a ϕ'<，()a ϕ为减函数. 所以()104a ϕϕ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.而()1141414a a a ee ϕ--⎛⎫-- ⎪⎝⎭11414141144a a a a e e e ---⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 11414aa e -=-.下证：0a >时，114104aa e --≥.()111144104ln 44aa a e a e a ---≥⇔≥⇔ ()111ln 41044a a a ≥-⇔+-≥. 令()()1ln 414r a a a =+-，则()22114144a r a a a a -='=-. 当10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0r a '<，()r a 为减函数； 当1,4a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0r a '>，()r a 为增函数. 所以()104r a r ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，即()1ln 4104a a +-≥. 所以114104aa e --≥，即()11414104a a a ee ϕ--⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭.所以()1141414a a a e e ϕ--⎛⎫≥- ⎪⎝⎭. 综上所述，要证的不等式成立. 【点睛】本题主要考查了导数与单调性的关系，导数在证明不等式中的应用，解题的关键在于构造函数，属于难题.。

2021届天一大联考高三语文上学期第三次阶段性测试卷一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1～3题。

先秦诸子对色彩的解读，体现出他们的哲思和对宇宙人生的把握。

孔子推崇的是“青、赤、黄、白、黑”五种正色；墨子用“墨”作为姓氏和命名墨家学派，用黑色彰显哲学理念。

老子言“知其白，守其黑，为天下式”，以黑、白两色表现自己的处事原则和阴阳观念。

作为道家代表人物的庄子，更是集中地在作品中用色彩来诠释自己的哲学理念。

《庄子》一书中颜色词数量众多、种类丰富，主要颜色词为“苍、青、白、黄、赤、玄、素、黑、骊、紫、朱、缁、绀、丹、辱”15种。

对《庄子》中的颜色词进行统计，其中26篇中提及色彩，内篇中出现8次，外篇中出现30次，杂篇中出现23次，共计61次。

白色是庄子偏爱的颜色。

首先，从思想体系看，《老子》第十二章言“五色令人目盲；五音令人耳聋；五味令人口爽”，庄子承袭老子对五色的观点，在《天下》篇云“五色乱目，使目不明”，认为五色会扰乱人的视觉，使眼睛看不清楚，失去自然本性。

庄子规避繁缛交织的色彩，旨趣趋向自然、本真的“白色”。

其次，“殷人尚白”的社会风尚，是庄子偏爱白色的民俗原因。

殷人以白色为贵，在殷墟甲骨卜辞中，关于白色动植物的记载，远超过其他颜色。

庄子出生在般商旧族所在地的宋国蒙城，身受殷商文化的熏陶，行文中不自觉地体现出“殷人尚白”的社会习尚。

最后，崇尚自然的精神追求，是庄子偏爱白色的价值选择。

白色在庄子看来不仅是澄明清虚的自然之光，更是虛静空灵的自然心境和纯真朴素的自然本性。

白色所寓意的空明纯净的心境，是人走出现实的限制，参透生命的局限，自由遨游于天地而达到超脱的精神境界。

推崇自然是庄子哲学的核心，白色最能代言庄子的自然之道，但是庄子并不是仅以白色为贵。

在庄子看来，生命本身所呈现出来的颜色，是大自然的话语方式，都有着各自的美丽与存在的价值。

在庄子勾勒的世界中，有眉须雪白的渔父、穿着黑色礼服的祭祀官、冬夏青青的松柏、青翠欲滴的新生之草、洁白的丹顶鹤、乌黑的乌鸦、毛色不纯且有一只赤蹄的骏马、九重深渊的黑龙……庄子反对将色彩礼制化、工具化。

天一大联考2020年高中毕业班阶段性测试（三）语文一、现代文阅读（一）论述类文本阅读（本题共3小题）阅读下面的文字，完成1～3题。

中国文化轴心时代的春秋战国，儒墨同显，一致百虑，对立互补，相反相成。

墨子先学儒，后觉察儒学缺点，自创墨学。

非儒反儒，补充改造儒学，提出兼爱等人文学的重要原理。

墨子肯定孔学有“当而不可易”的真理成分。

墨家是先秦唯一堪与儒家分庭抗礼的学派。

孟子推崇墨子兼爱的人格精神魅力。

《孟子·尽心上》说：“墨子兼爱，摩顶放踵利天下，为之。

”这种损己利人、大公无私的精神，突显了墨子追求真善美理想的高贵品格。

孟子对墨子精神的赞扬，影响深远。

儒墨之学，各有所长，舍短取长，有助于把握全面真理和治国良方。

从公元前5世纪墨子推出《兼爱》等重要论文，到公元前3世纪后期墨家《墨经》六篇，历时近三百年的学理积淀，墨家学人从十多个角度，阐发“兼爱”学说的深层意蕴。

墨家“兼爱”论题的论证，强调全人类的共同本性和爱的整体性、普遍性、彻底性、穷尽性、交互性、平等性与不可分割性，强调兼爱是人类善良的理想愿望和奋斗目标。

过去、现在和未来一切人，都包含在“兼爱”的范围。

秦汉学界，儒墨对举，孔墨并提；汉后至清，墨学衰竭。

作为墨子“兼爱”理想深刻理论基础的全人类共同人性论，不符合宗法等级制的要求。

“兼爱”理想，在一个相当长的历史时期内，是无法实现的超越性善良愿望和理论假设。

儒家“爱有差等”，适应宗法等级制要求，随血缘亲疏远近，施爱厚薄不同，其人性论的理论基础和灵魂，是“亲亲尊尊”的“血统论”，是“中世纪”漫长宗法等级制社会的主流统治思想。

墨子坚决反对儒家“亲亲尊尊”的“血统论”，主张“可学而能”的共同人性论，是科学的认知理论，认为知识由后天学习得来。

《尚贤下》说：“王公大人骨肉之亲、无故富贵、面目美好者，此非可学能者也。

”只凭血统高贵，治理国家，不通过学习，获得智能，“此譬犹喑者而使为行人，聋者而使为乐师”，就像叫哑巴当外交官，聋人当乐队指挥，必然越治越乱。

f
( x1 ) − f ( x2 )
x2 − x1
0 ，a
=
f
1 4
，b
=
f
3 2
，c
=
f
t
+
1 t
，t
0 ，则 a ，b ，c 的大小关系为（
）
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D．b a c
6．已知 m ，n ，l 是不同的直线， ， 是不同的平面，直线 m ，直线 n ， = l ，m ⊥ l ，
（Ⅰ）求 sin ADB 的值； （Ⅱ）求 DE 的长. 18．如图，多面体 ABCDE 中，CD ⊥ 平面 ABC ，AE∥CD ，F 为 BE 的中点，AB = BC = CA = AE = 2 ， CD = 1.
（Ⅰ）求证： DF∥ 平面 ABC ； （Ⅱ）求点 F 到平面 ABD 的距离.
19．已知椭圆
满足 xA = 9xB ，则直线 l 的倾斜角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取 20 名学生参加秋收
劳动——掰玉米，现将这 20 名学生平均分成甲、乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行
x2 a2
+
y2 b2
=
A． 2 + 4i
B． 2 − 2i
C． 2 5

高考全真模拟卷（三）数学（文科）注意事项1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚.3、请将选择题答案填在答题表中，非选择题用黑色签字笔答题.4、解答题分必考题和选考题两部分，第17题~第21题为必考题，第22题~23题为选考题，考生任选一道选考题作答.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}22|2450A x x y x y =+-++=，{}|20B x x =>，则集合A B =（ ）A ．[]0,1B ．[)1+∞，C ．(]0-∞，D ．()0,12．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ）A ．24i +B ．22i -C ．D ．3．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（ ）A ．80.5B ．80.6C ．80.7D ．80.84．已知数列{}n a 是等比数列，4a ，8a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ） A ．4B ．2±C ．2D ．2-5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，1x ，2x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，14a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1c f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0t >，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<6．已知m ，n ，l 是不同的直线，α，β是不同的平面，直线m α⊂，直线n β⊂，l αβ=，m l ⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．392B ．21C ．20D ．208．如图，已知圆的半径为1，直线l ，向圆内随机投一颗沙子，则其落入阴影部分的概率是（ ）A ．1142π- B ．1132π- C ．113π- D ．114π-9．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A ．43x π=是()f x 的一条对称轴 B ．5,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 C ．()f x 的图象向左平移3π个单位后，所得函数为奇函数 D ．()f x 在[],ππ-上为增函数10．已知实数a ，b 满足,R a b +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（ ） A ．173B ．174C ．163D ．19411．如图，在ABC △中，D 为AB 的中点，E ，F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设AB a =，AC b =，则FM =（ ）A ．171515a b - B ．171515a b + C ．241515a b - D ．241515a b + 12.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，满足9A B x x =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动——掰玉米，现将这20名学生平均分成甲、乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重（单位：千克），得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x = ；乙组的中位数为 .14．某事业单位欲指派甲、乙、丙、丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到A ，B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己分配地的是 .15．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120°，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与x 轴，则抛物线C 的方程为 . 16．已知函数()21sin 2f x x x ax =++，[)0,x ∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．如图，ABC △为等边三角形，边长为3,D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（Ⅰ）求sin ADB ∠的值； （Ⅱ）求DE 的长.18．如图，多面体ABCDE 中，CD ⊥平面ABC ，AE CD ∥，F 为BE 的中点，2AB BC CA AE ====，1CD =.（Ⅰ）求证：DF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求点F 到平面ABD 的距离.19．已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，且椭圆的离心（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线():0l y kx m k =+≠过椭圆左焦点1F ，与椭圆交于A ，B 两点，求2ABF △面积的最大值. 20．甲、乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（Ⅰ）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率； （Ⅱ）若第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p . 21．已知函数()()212xa f x xe x =-+. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当0x ≥时，不等式()222xaf x e ≥--恒成立，求a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设l 与C 交于D ，E 两点（异于原点），求OD OE +的最大值. 23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数a ，b 满足0a >，0b >且1a b +=. （Ⅰ）证明：()()2222119a b a b --≥；≤答案全透析高考全真模拟卷（三）答案速查思路点拨对于集合A：配方得()()22120x y-++=，1x∴=，2y=-，从而{}1A=.对于集合B：)120>，0x≥，20>，10>，解得1x>，()1,B∴=+∞，从而[)1,A B=+∞.奇思妙解对于集合B；取特殊值2x=，成立，从而A B中一定有2，故选B.2．C 考查目标本题考查复数的运算及共轭复数，考查运算能力.思路点拨由题意可知3223iz ii+==-，从而23z i=+，∴24z i i+=+，∴z i+== C.命题陷阱z i+易被看成绝对值，从而导致错选.另外，易疏忽共轭复数的运算.3．A 考查目标本题考查通过折线图计算平均数，考查数据处理能力.思路点拨由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=，故选A. 4．C 考查目标本题考查等比数列性质，考查运用知识解决问题的能力.思路点拨∵方程2840x x-+=的两根分别为4a，8a，∴484880,40,a aa a+=>⎧⎨=>⎩∴480,0.aa>⎧⎨>⎩由等比数列性质可知24864a a a==，∴62a=±.又264a a q=>，∴62a=，故选C.命题陷阱考虑不周全，未在原数列中研究4a，6a，8a之间的关系，易选错.5．D 考查目标本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力.思路点拨∵函数()1f x+是偶函数，∴函数()1f x+的图象关于直线0x=对称，从而函数()f x的图象关于直线1x=对称.由()()1221f x f xx x-<-得()f x在()1,+∞上为增函数，1744a f f⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t>得12t t +≥，从而173142t t +>>>，∴17342f t f f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选D. 追本溯源 本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．B 考查目标 本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件、必要条件的判断，考查空间想象能力.思路点拨 当n l ∥时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥；反之，若αβ⊥，因为m α⊂，l αβ=，m l ⊥，可推出m β⊥.又n β⊂，所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件，故选B.7．D 考查目标 本题考查切割体的三视图，考查空间想象能力以及运算求解能力.思路点拨 由三视图可知该几何体为正方体ABCD A B C D ''''-截去一个小三棱锥D AD E '-，如图.()112232ABCE S =⨯+⨯=，()112232CED C S ''=⨯+⨯=，12222AA D S ''=⨯⨯=△.在AED '△中，AE ED '===AD '=可计算AD '∴12AED S '=⨯=△从而可得该几何体的表面积为3323420++⨯= D.追本溯源 本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.8．A 考查目标 本题考查几何概型，考查运算能力和数形结合思想. 思路点拨 由题意知222OA OB AB +=，∴2AOB π∠=，阴影部分面积为142π-，∴所求事件概率为1114242πππ-=-，故选A. 9．D 考查目标 本题考查三角函数的图象，由部分图象求解析式，从而研究三角函数的相关性质，考查运算能力和数形结合思想. 思路点拨 由题意得72233T πππ=-=，所以4T π=，从而212T πω==.,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭关于43x π=对称，故43x π=是()f x 的一条对称轴，A 正确.从而2sin 3A A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2πϕ<得6πϕ=-，所以()1sin 26f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又()302f =-，代入上式得3sin 62A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而3A =，所以()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.将53x π=-代入得0y =，故B 正确.将函数()f x 的图象向左平移3π个单位后，得到函数图象的解析式为13sin2y x =，为奇函数，故C 正确，易验证D 错误，故选D. 规律总结 三角函数由部分图象求解析式，需关注零点、顶点、图象与y 轴交点，通过周期性求出ω，通过代入对称轴求出ϕ，然后通过与y 轴交点可求出A .10．C 考查目标 本题考查基本不等式，考查转化与化归思想.思路点拨 因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，所以()()()192824a b a b a b a b +=+++⎡⎤⎣⎦++()()()(9191281116101024324333a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+++⨯=++⨯≥⨯+= ⎪⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦，当且仅当()283a b a b +=+即58a =，18b =时取等号，故选C.规律总结 应用不等式性质中的基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.11．A 考查目标 本题考查向量的线性运算，考查转化能力.思路点拨 连接FA ，FD .由E ，M ，A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-，由题意知()1133FE CB AB AC ==-，()22123333FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC =+=-=--=--，所以21233FM AB AC λλ--=+.同理由D ，M ，C 三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+，所以2132,36213,33λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3,54,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而171515FM a b =-，故选A. 追本溯源 本题主要考查向量的线性运算以及三点共线的向量运算结论，旨在考查学生对基本知识与技能的掌握.12．C 考查目标 本题考查抛物线的几何性质（焦半径），考查运算求解能力.思路点拨 思路1：由题意知，直线l 的斜率存在且大于0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()22222204k p k x k p p x -++=，∴22A B p x x p k+=+，24A B p x x =.又9A B x x =， ∴32A p x =，6B p x =，∴2523A B p x x p p k+==+，∴23k =，k =60°. 思路2：设直线l 的倾斜解为θ，则1cos p AF θ=-，1cos p BF θ=+，由抛物线定义可得2A px AF =-，2B p x BF =-，∵9A B x x =，∴922A p p x AF BF ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴91cos 21cos 2p p p p θθ⎛⎫-=- ⎪-+⎝⎭，消去p 得1cos 2θ=，∴60θ=︒，故选C. 规律总结 抛物线性质中，常考查一些常见结论的应用，解决此类问题，要思考常见结论，另外，可用代入选项的方法进行检验.13．2，22.5 考查目标 本题考查统计中数字特征：平均数、中位数，考查学生的运算能力. 思路点拨 由题意，先计算甲组平均数101211232120353041472510x +++++++++==甲.因为=x x 甲乙，所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=. 命题陷阱 学生在计算中位数时，易忘记对数据排序，导致错误. 14．乙、丁 考查目标 本题考查逻辑推理能力.思路点拨 四人知道的情况是：组织分配的名额、自己看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙、丙必定一个在A 地，一个在B 地；又给乙看了丙的分配地，所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地，故填乙、丁.追本溯源 本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力. 15．22y x =或26y x = 考查目标 本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力.思路点拨 过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y == ，从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =. 奇思妙解由题意知1,2p p ⎛+⎝或2p p ⎛- ⎝代入抛物线方程得3212p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或3212p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可得1p =或3p =，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =.16．[)1,-+∞ 考查目标 本题考查三角函数与导数的综合问题，考查灵活应用导数处理恒成立问题的能力. 思路点拨 由题意可知()cos f x x x a '=++，设()cos h x x x a =++，则()1sin 0h x x '=-≥， 所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，()01h a =+.（Ⅰ）当10a +≥，即1a ≥-时，()()00h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()00f x f ≥=恒成立；（Ⅱ）当10a +<，即1a <-时，令2x a =-，则()()22cos 20h a a -=+->.又()010h a =+<， 所以()00,x ∃∈+∞，使得()00h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()()00f x f <=不合题意.综上，a 的取值范围为{}|1a a ≥-.规律总结 近年来，考查恒成立问题处理的常见方法有两种：（1）导数零点分类法；（2）参变量分离法，均需利用导数求最值.17．考查目标 本题考查正弦定理与余弦定理，考查运算求解能力.思路点拨 在ABD △中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值，从而在CDE △中，应用正弦定理，求出DE .参考答案 （Ⅰ）由题意可知60A =︒，3AB =，2AD =，由余弦定理，得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，从而BD =设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD △中，由正弦定理， 得sin sin AB BD A θ=，即3sin θ=，得sin 14θ=. （Ⅱ）由题意知θ为锐角，所以cos θ==， 而()1sin sin 30cos 2E θθθ=+︒=+=. 在CDE △中，由正弦原理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin 30sin 5CD DE E ⨯⋅︒===. 规律总结 解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正、余弦定理；（3）三角形有关公式. 18．考查目标 本题考查常见的线面平行，以及点到平面的距离，考查逻辑思维能力和数形结合思想.思路点拨 （Ⅰ）取AB 中点，借助中位线，实现平行，构造四边形.证明：四边形为平行四边形，从而说明线线平行，证明线面平行.（Ⅱ）应用F ABD D ABF V V --=等体积转化，从而求点到面的距离. 参考答案 （Ⅰ）取AB 中点G ，连接FG ，GC ，由题意知F 为BE 中点， ∴FG 为ABE △的中位线， ∴12FG AE ∥，而12CD AE ∥，∴FGCD 为平行四边形， ∴DF GC ∥，而GC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . （Ⅱ）∵ABC △为等边三角形，G 为AB 中点，∴GC AB ⊥. 又∵AE ⊥平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，∴GC AE ⊥. 又AEAB A =，∴GC ⊥平面ABE .由（Ⅰ）可得，DF ⊥平面ABE .由2AB AE ==，EA AB ⊥，可得12222ABE S =⨯⨯=△，∴1ABF S =△. 在Rt BCD △中，2BC =，1CD =，∴BD =AD =2AB =，易得2ABD S =△，而DF CG ==，由F ABD D ABF V V --=，得1133ABD ABF S d S DF ⋅=⋅△△，即d = ∴点F 到平面ABD的距离是2. 规律总结 线面平行的证明：（1）构建线线平行；（2）借助面面平行.构建平行的方法：中位线、平行四边形.点到平面的距离常用等体积转化法.19．考查目标 本题考查椭圆的几何性质，以及直线与椭圆相交的问题，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力.思路点拨 （Ⅰ）通过已知条件建立a ，b ，c 之间的关系，求椭圆的方程.（Ⅱ）将2ABF △分割成两个同底的三角形，2ABF S △即可转化为1y 与2y 表示的式子，把直线与椭圆方程联立，构建二次方程，把2ABF △面积化为参数k 的表达式，应用二次函数可求得最值.参考答案（Ⅰ）由题意得22222131,42,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2,1,a b =⎧⎨=⎩ ∴椭圆的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）由22,440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214240k y my m k +-+-=， ∵l过()1F，∴0m +=，即m =，∴()222140k y k +--=，∴12214y y k +=+，212214k y y k=-+，∴2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=△==， 令214k t +=，则1t >且()()()2422222214116162314t t k k t t t tk -+-++-==+， 令1p t=，则01p <<，且2222231231321t t p p t t t+-=-⋅++=-++. ∵()0,1p ∈，∴当13p =时，()2max 43213p p -++=，∴2ABF △2=. 规律总结 椭圆问题在高考中，以考查运算为主，运算量较大，在运算过程中，掌握运算技巧. 20．考查目标 本题考查递推数列在概率统计中的应用，考查学生逻辑思维能力.思路点拨 （Ⅰ）搞清两种状况，分别计算概率.（Ⅱ）由第n 次与第1n +次的关系，建立递推公式，构造特殊数列，求n p .参考答案 由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有：()1,6，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,3，()4,4，()4,5，()4,6，()5,2，()5,3，()5,4，()5,5，()5,6，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，()6,6，共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （Ⅰ）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一、第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，其概率为7711212⨯=. ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三、四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，其概率为：55717511212121728⨯⨯⨯=，∴甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=. （Ⅱ）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类：①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ； ②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫--⎪⎝⎭，从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭， ∴1111262n n p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∵111110222p -=-=≠，∴1112162n n p p +-=-， ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列， ∴1111226n n p -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，∴1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭. 规律总结 递推数列在概率统计中的应用，一般考查基本递推求通项，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些.21．考查目标 本题考查利用导致求解函数的单调区间，以及处理恒成立条件下的求范围问题；考查掌握综合知识的能力与技巧.思路点拨 （Ⅰ）1a =代入，求导，分解因式，从而求出单调区间.（Ⅱ）构造函数，求导，再求导.通过二阶导数值，指导一阶导数值，分类讨论最值符号，确定一阶导数的零点，近而指导原函数的取值，求参数的范围.参考答案 （Ⅰ）1a =时()()2112xf x xe x =-+， ()()()()()1111x x f x x e x x e '=+-+=+-，若()0f x '≥，则1x ≤-或0x ≥，若()0f x '<，则10x -<<，所以()f x 的增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-.（Ⅱ）由题意得()2202xaf x e -++≥恒成立，即()()222202xa x e x x --++≥恒成立. 设()()()22222xa h x x e x x =--++， 则()()()11xh x x e a x '=--+，令()()()11xg x x e a x =--+， 则()xg x xe a '=-.令()xF x xe a =-，则()()1xF x x e '=+.∵0x ≥，∴()0F x '>，()F x 为[)0,+∞上的增函数， ①当0a ≤时，()()00F x F a ≥=-≥， 从而()g x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()01g x g a ≥=--，当10a --≥，即1a ≤-时，()()00g x g ≥≥，从而()h x 在[)0,+∞上为增函数，∴()()00h x h ≥=恒成立.若10a --<，即10a -<≤时，由()g x 在[)0,+∞上为增函数，且()010g a =--<，()120g a =->， ∴在()0,+∞上，存在0x 使得()00g x =， 从而()h x 在(]00,x 上为减函数， 此时()()00h x h <=，不满足题意.②0a >时，由()F x 在[)0,+∞上为增函数， 且()00F a =-<，()()10a a F a ae a a e =-=->， ∴在()0,a 上，存在1x ，使得()10g x =， 从而()g x 在()10,x 上为减函数， 此时()()010g x g a <=--<，∴()h x 在()10,x 上也为减函数，此时()()00h x h <=，不满足题意，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞-. 规律总结 高考对于导数问题的要求是会应用导数，解决函数的单调性问题，含有参数的问题，主要考查抓住参数分类讨论的关键，提高运算求解能力.22．考查目标 本题考查三种方程间的转化以及极坐标方程的应用，考查转化与化归思想.思路点拨 （Ⅰ）展开曲线C 的方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，从而得曲线C 的极坐标方程.（Ⅱ）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值. 参考答案 （Ⅰ）曲线C 可化为2240x x y -+=，即224x y x +=，也即24cos ρρθ=，所以4cos ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅱ）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心，从而2DOE π∠=.设()1,D ρθ，2,2E πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则124cos 4cos 24OD OE ππρρθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=++=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为规律总结 三种方程间的相互转化是该类问题的考查对象，应用极坐标方程求最值问题也是常见方法，应要求学生必须掌握.考查目标 本题考查不等式的证明，考查转化与化归思想.思路点拨 应用a ，b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行做差比较.另外，可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明. 参考答案 （Ⅰ）方法1：()()2222911a b a b --- 222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++-- ()3224851a a a a =-+-()()22121a a a =--.∵10b a =->，∴1a <，∴01a <<， ∴()()221210a a a --≤， 从而可得()()2222119a b a b --≥. 方法2：∵0a >，0b >，∴220a b >， ∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵1a b +=且0a >，0b >， ∴221111a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b ab+-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225a b b a =++5≥ 9=.当且仅当12a b ==时取等号，得证.（Ⅱ）设t =()()211t a b =++++，∵1a b +=，∴23t =+0a >，0b >，∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴2336t =++=，∴t ≤12a b ==时等号成立，得证. 规律总结 不等式证明问题多与基本不等式有关，应用基本不等式证明应思考等号成立的条件.。

绝密★启用前天一大联考2020－2021学年高中毕业班阶段性测试(三)文科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡.上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|－1<x<3}，则A∩B＝A.{x|1<x<3}B.{x|－1<x<4}C.{x|－1<x<1}D.{x|3<x<4}2.已知zi＝3＋i5，则z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某超市今年1月至10月各月的收入、支出(单位：万元)情况的统计如图所示，下列说法中错误的是A.收入和支出最低的都是4月B.利润(收入－支出)最高为40万元C.前5个月的平均支出为50万元D.收入频数最高的是70万元4.三国时期的吴国数学家赵爽根据一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，他所绘制的勾股圆方图被后世称为“赵爽弦图”。

如图所示的图形就是根据赵爽弦图绘制而成的，图中的四边形都是正方形，三角形都是相似的直角三角形，且两条直角边长之比均为2。

现从整个图形内随机取一点，则该点取自小正方形(阴影部分)内的概率为A.19 B.125 C.116 D.1365.已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图，则其解析式可以是A.f(x)＝2sin(2x －6π) B.f(x)＝2sin(－2x ＋56π)C.f(x)＝2sin(x －3π) D.f(x)＝2sin(－x ＋23π)6.已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 3＝14，a 2a 4＝1，则a 11＝ A.64 B.128 C.256 D.5127.已知变量y 关于变量x 的回归方程为bx 0.5y e -=，其一组数据如下表所示：若9.1y e =，则x ＝A.5B.6C.7D.88.已知直线l ：3x －4y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0有公共点，则实数m 的取值范围为A.(3，37)B.[－37，3]C.[3，4]D.[－4，4]9.执行如图所示的程序框图，输出S的值为A.42B.－42C.－170D.－68210.已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，A在C的左支上，AF1⊥x轴，A，B关于原点对称，四边形AF1BF2的面积为48，则| F1F2|＝A.8 B－4 3311.若实数a，b满足2a＝2－a，log2(b－1)＝3－b，则a＋b＝A.3B.103C.72D.412.某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为23π，面积为3π的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为A.264πB.2716πC.98πD.32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。