2020天一大联考理科数学(三)

2020届天一大联考海南省高中毕业生班阶段性测试（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--<，{}10B x x =-≥，则A B =I （ ） A ．()1,3- B ．[)1,+∞C ．[)1,3D ．(]1,1-【答案】C【解析】求解一元二次不等式得到集合A ，由交集的定义即得解. 【详解】由题意可得：{}2230{|(3)(1)0}{|13}A x x x x x x x x =--<=-+<=-<< 由交集的定义，有A B =I [)1,3. 故选：C 【点睛】本题考查了集合的交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．复数122t t =-在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】利用复数的除法可求122t t =-，从而得到其在复平面内所对应的点，由此可得正确的选项. 【详解】由题意：()()()2121111i i i i i i i +==-+--+ ， 该复数对应的点()1,1- 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化． 3．函数2sin(2)2y x π=+是（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数 【答案】B【解析】试题分析：根据周期公式可得22T ππ==,又2sin(2)2cos 22y x x π=+=，所以该函数是偶函数．故选B ． 【考点】三角函数的周期性和奇偶性．4．函数()()2ln f x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求解f (x )的定义域排除B ,D ，再求导通过导函数研究f (x )的单调性，即得解. 【详解】由于()()2ln f x x x =-的定义域为：(,0)(1,)-∞⋃+∞，故排除B ，D ；()221'x f x x x-=-，与()21g x x =-同正负， 令1()0,()2g x x f x >>∴在(1,)+∞单调递增； 令1()0,()2g x x f x <<∴在(,0)-∞单调递减； 故选：A 【点睛】本题考查了已知函数解析式研究函数的图像和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合的能力，属于中档题.5．已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，实轴端点分别为12,A A ，点P 是双曲线C 上不同于12,A A 的任意一点，12PF F ∆与12PA A ∆的面积比为2:1，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．y x =±【答案】C【解析】由12121212:||:||A PF F PA S S F F A A ∆∆=得到2c a =，利用a,b,c 的关系即得解. 【详解】由于12121212:||:||2:22:1A PF F PA S S F F A A c a ∆∆=== 故：2c a =由题意双曲线的焦点在x 轴上，因此渐近线方程为：b y x a=±b a a a===故渐近线方程为：y = 故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 6．对任意()2k k Z παπ≠+∈，若2222sin tan sin tan λαμααα+=，则实数λμ-=（ ） A ．2 B ．0C ．1-D ．2-【答案】D【解析】利用同角三角函数关系转化2222sin tan sin tan λαμααα+=为2(1)cos 1λαμ+=-对任意()2k k Z παπ≠+∈成立，即得解.【详解】 由于()2k k Z παπ≠+∈，故22sin 1,cos 0αα≠≠，2222sin tan sin tan λαμααα+=Q222sin cos cos μαλαα∴+= 222cos sin 1cos λαμαα∴+==- 2(1)cos 1λαμ∴+=-对任意()2k k Z παπ≠+∈成立1,1λμ∴=-= 2λμ∴-=-故选：D 【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．20172018B ．20182019C ．12018D ．12019【答案】D【解析】根据程序框图的循环结构，依次计算，即得解. 【详解】初始值：1,2S i ==满足：1112019,1,1,1322i t S i i i ≤=-==⨯=+= 满足：12122019,1,1,14323i t S i i i≤=-==⨯⨯=+= 满足：131232019,1,1,154234i t S i i i≤=-==⨯⨯⨯=+= ……满足：1201812320182019,1,1...,1202020192342019i t S i i i ≤=-==⨯⨯⨯⨯=+= 输出：123201811 (234)20192019S =⨯⨯⨯⨯=故选：D【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题.8．()6311x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项等于（ ）A ．65B ．45C ．20D ．25-【答案】A【解析】分别将()31x -，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭用二项式定理展开，再研究对应项乘积得到的常数项即可. 【详解】由于()30011223333331()()()()x C x C x C x C x -=-+-+-+-6061524233342451566066666661111111()()()()()()x C x C x C x C x C x C x C x x x x x x x x ⎛⎫+=++++++ ⎪⎝⎭故()6311x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为：0033322424363611()()()()2031565C x C x C x C x x x-⋅+-⋅=+⋅=故选：A 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BC 的中点，则异面直线1A B 与DP 所成角的余弦值为（ ）A ．0B ．12C D ．6【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，利用向量求解异面直线1A B 与DP 所成角的余弦值. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则111(1,0,1),(1,1,0),(0,0,0),(,1,)22A B D P111(0,1,1),(,1,)22AB DP =-=u u u r u u u r设异面直线1A B 与DP 所成角为θ111132cos |cos ,|||6||||322A B DPA B DP A B DP θ⋅∴=<>===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u uu r u u u r 故选：C 【点睛】本题考查了向量法求解异面直线夹角，考查了学生综合分析，空间想象，数学运算的能力，属于基础题。

A．智能类专业共有630人
B．该学院共有3000人
C．非文化类专业共有1800人
D．动漫类专业共有800人
4．已知数列 是等比数列， 是方程 的两根，则 （ ）
A． B．2C． D．
5．已知函数 是定义在 上的偶函数， 为区间 上的任意两个不相等的实数，且满足 ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在 中， 为 的中点， 为 的两个三等分点， 交 于点 ，设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲线的右支于点 ，若 ( 为坐标原点)，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：
由题意可知，文化类共有 ，
而智能类共有 ，
所以智能类专业共有 人，A正确；
非ห้องสมุดไป่ตู้化类专业共有 人，C正确；
动漫类专业共有 人，故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查数据统计知识，考查数据分析，解决问题能力，命题陷阱：饼状图中信息较多，容易分析错误，从而会导致出错.
4．B
【分析】
根据韦达定理可得 均为正数，再通过等比数列的性质可得 .
15．已知抛物线 ，有如下性质：由抛物线焦点 发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为 ，过抛物线 的焦点 ，经反射后，反射光线与 轴的距离为 ，则抛物线 的方程为_________.

2020届全国天一大联考新高考押题模拟考试（三）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高二考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.已知集合(){|lg 2}A x y x ==-，2{|30}B x x x =-≤，则A B ⋂=（ ） A. {|02}x x << B. {|02}x x ≤<C. {|23}x x <<　D. {|23}x x <≤【答案】B 【解析】 【分析】由题意，求得集合{|2}A x x =<，{|03}B x x =≤≤，再根据集合的交集的运算，即可求解． 【详解】由题意，求得集合{|2}A x x =<，{|03}B x x =≤≤，所以，{|02}A B x x ⋂=≤< 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及集合的交集运算问题，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及集合交集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2.若复数z 的共轭复数满足()112i z i -=-+，则z =（ ）A.2B.32C.2D.12【答案】C【解析】 【分析】根据复数的乘法、除法运算求出z ，再由复数的模的求法即可求出z 【详解】由题意()112i z i -=-+， 所以()()()()1211231112i i i iz i i i -++-+-+===--+，所以2z z ===，故选：C【点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算，考查复数的模的求法以及复数与共轭复数的模相等，属于基础题.3.下列有关命题的说法错误的是（ ） A. 若“p q ∨”为假命题，则p 、q 均为假命题；B. 若α、β是两个不同平面，m α⊥，m β⊂，则αβ⊥；C. “1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π=”； D. 若命题p ：0x R ∃∈，200x ≥，则命题：p ⌝：x R ∀∈，20x <. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“或”命题的真假判断表即可判断A ；根据面面垂直的判定定理即可判断B ；由充分必要条件可判断C ；根据特称命题的否定可判断D. 【详解】对于A ，若“p q ∨”假命题，∴p 、q 均为假命题，故A 正确；对于B ，若α、β是两个不同平面，m α⊥，m β⊂， 由面面垂直的判定定理可知：αβ⊥，故B 正确；对于C ，“1sin 2x =”不能推出“6x π=”，例如56x π=，反之一定成立， 故“6x π=” 是“1sin 2x =”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，命题p ：0x R ∃∈，200x ≥，为特称命题，其否定一定为全称命题，即为x R ∀∈，20x <，故D 正确. 故选：C【点睛】本题主要考查常用逻辑用语中命题的真假判断，属于基础题. 4.已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望()E X =（ ） A.23B. 1C.32D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列概率的性质得到m 的值，再由均值公式得到结果. 【详解】由841127927m +++=，得29m =，所以()842101231279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 故选B【点睛】这个题目考查了离散型分布列的性质，以及均值的计算.5.已知向量a r 、b r 均为非零向量，()2a b a -⊥r r r ，a b =r r ，则a r 、b r的夹角为（ ）A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 分析】设a r 、b r的夹角为θ，由()2a b a -⊥r r r ，得出()20a a b ⋅-=r r r ，利用平面向量数量积的运算律与定义可计算出cos θ的值，结合θ的取值范围得出θ的值.【详解】设a r 、b r的夹角为θ，()2a b a -⊥r r r Q 且a b =r r ，()222222cos 0a a b a a b a a θ⋅-=-⋅=-=r r r r r r r r ，解得1cos 2θ=，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=.因此，a r 、b r 的夹角为3π，故选B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，在处理平面向量垂直时，要将其转化为两向量的数量积为零，利用平面向量数量积的定义和运算律来计算，考查运算求解能力，属于中等题. 6.若cos （8π-α）=16，则cos （34π+2α）的值为（ ） A.1718B. 1718-C. 1819D. 1819-【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式求出cos(2)4πα-的值，再利用诱导公式求出3cos(2)4πα+的值． 【详解】∵cos 8πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝16，∴cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝22cos 8πα⎛⎫- ⎪⎝⎭－1＝2×216⎛⎫⎪⎝⎭－1＝－1718，∴cos 324πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos 24ππα⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1718.故选A.【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题． 7.若直线mx+ny+2=0（m ＞0，n ＞0）截得圆()()22311x y +++=的弦长为2，则13+m n的 最小值为（ ） A. 4 B. 6C. 12D. 16【答案】B 【解析】圆心坐标为(3,1)--，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即320m n --+=，32m n +=，所以13113(3)()2m n m n m n +=++19(6)2n m m n =++1(62≥+6=，当且仅当9n m m n =时取等号，因此最小值为6，故选B ．8.设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r = A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点(1,2),(4,4)M N ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得(0,2),(3,4)FM FN ==u u u u v u u u v，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为2(2)3y x =+， 与抛物线方程联立22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：y y -+=2680，解得(1,2),(4,4)M N ，又(1,0)F ， 所以(0,2),(3,4)FM FN ==u u u u v u u u v，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=u u u u v u u u v，故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出(1,2),(4,4)M N ，之后借助于抛物线的方程求得(1,0)F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用韦达定理得到结果. 9.已知定义在R 上的偶函数()()()()()cos 0,,0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+∈>对任意x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A. 1B.C.12D.【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简()()()cos 2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+-⎪⎝⎭由函数为偶函数求出ϕ，再由()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，求出ω，将6π代入表达式即可求解.【详解】()()()cos 2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 为偶函数，0ϕπ<< 所以23ϕπ=，即()2cos f x x ω=， 又因为x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，可得：()002f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以2cos 02cos02πω+=，解得()22k k Z πωππ=+∈ 所以42k ω=+，0>ω且ω取最小值，所以2ω=综上可得()2cos2f x x =，∴2cos 163f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：A【点睛】本题考查了辅助角公式、诱导公式以及三角函数的奇偶性，属于中档题10.如图，在直二面角A BD C --中，ABD CBD ∆∆，均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 的中点E ，将ABE ∆沿BE 翻折到1A BE ∆，在ABE ∆的翻折过程中，下列不可能成立的是（ ）A. BC 与平面1A BE 内某直线平行B. CD ∥平面1A BEC. BC 与平面1A BE 内某直线垂直D. 1BC A B ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】连接CE ,当平面1A BE 与平面BCE 重合时,可判断A C 、;当平面1A BE 与平面BEF 重合时可判断B,根据假设法可判断D.【详解】根据题意, 连接CE当平面1A BE 与平面BCE 重合时,BC ⊂平面1A BE ,所以平面1A BE 内必存在与BC 平行和垂直的直线,故A C 、可能成立；在平面BCD 内过B 作CD 的平行线BF ,使得BF CD =,连接EF ,则当平面1A BE 与平面BEF 重合时,BF ⊂平面1A BE ,故平面1A BE 内存在与BF 平行的直线,即平面1A BE 内存在与CD 平行的直线,所以CD ∥平面1A BE ,故B 可能成立．若1BC A B ⊥,又11A B A E ⊥,则1A B 为直线1A E 和BC 的公垂线,所以1A B CE <, 设11A B = ,则经计算可得CE =, 与1A B CE <矛盾,故D 不可能成立． 故选:D【点睛】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面的平行和垂直判定,对空间几何体的分析能力要求较高,属于中档题.11.定义12n n p p p +++L 为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A.111B.112C.1011D.1112【答案】C 【解析】 【分析】由已知得()1221n n a a a n n S +++=+=L ，求出n S 后，利用当2n ≥时，1n n n a S S -=- 即可求得通项n a ，最后利用裂项法即可求和.【详解】由已知得12121n n a a n a =++++L ，∴()1221n n a a a n n S +++=+=L ，当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=-，验证知 当1n =时也成立，14n n a b n +∴==，11111n n b b n n +∴=-⋅+，12231011111111111110122334101111b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴L 故选：C【点睛】本题是数列中的新定义，考查了n S 与n a 的关系、裂项求和，属于中档题. 12.已知函数()2xm f x xe mx =-+（e为自然对数的底数）在(0,)+∞上有两个零点，则m 的范围是（ ） A. (0,)e B. (0,2)eC. (,)e +∞D. (2,)e +∞【答案】D 【解析】 【分析】利用参数分离法进行转化，12x xe m x =-，设()12xxe h x x =-（0x >且12x ≠）， 构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可． 【详解】解：由()02xm f x xe mx =-+=得1()22x m xe mx m x =-=-， 当12x =时，方程不成立，即12x ≠，则12xxe m x =-，设()12xxe h x x =-（0x >且12x ≠）， 则()222111'222'()1122xxx xe x xee x x h x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)(21)212x e x x x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵0x >且12x ≠，∴由'()0h x =得1x =，当1x >时，'()0h x >，函数为增函数， 当01x <<且12x≠时，'()0h x <，函数为减函数， 则当1x =时函数取得极小值，极小值为(1)2h e =， 当102x <<时，()0h x <，且单调递减，作出函数()h x 的图象如图： 要使12xxe m x =-有两个不同的根，则2m e >即可，即实数m 的取值范围是(2,)e +∞.方法2：由()02xm f x xe mx =-+=得1()22x m xe mx m x =-=-， 设()xg x xe =，1()()2h x m x =-，'()(1)x x x g x e xe x e =+=+，当0x >时，'()0g x >，则()g x 为增函数，设1()2h x m x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与()x g x xe =，相切时的切点为(,)aa ae ，切线斜率(1)a k a e =+， 则切线方程为(1)()aay ae a e x a -=+-， 当切线过1(,0)2时，1(1)()2a aae a e a -=+-， 即21122a a a a -=+--，即2210a a --=，得1a =或12a =-（舍），则切线斜率(11)2k e e =+=， 要使()g x 与()h x 在(0,)+∞上有两个不同的交点，则2m e >，即实数m的取值范围是(2,)e+∞.故选D．【点睛】本题主要考查函数极值的应用，利用数形结合以及参数分离法进行转化，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设,x y满足约束条件12314yx yx y≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则4z x y=+的最大值为______________．【答案】19 【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，结合图像得到最值. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域为如图所示的ABC V，其中()()()4,2,1,1,5,1A B C--，18,3,19A B Cz z z===，所以max19 Cz z==．故答案为19【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．14.若3(nx的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x 的系数为__________．【答案】15 【解析】 【分析】依题意，令1x =，求得5n =，写出二项展开式的通项3552153r rr r TC x--+=，进而可确定展开式中x 的系数．【详解】依题意，令1x =，解得232n =，所以5n =，则二项式53x ⎛- ⎝的展开式的通项为：(()53552155313rrr rr rrr T C C xx ---+⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭，令3512r -=，得4r =，所以x 的系数为45315C =． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，其中解答中利用各项系数的和，求解n 的值，再利用二项展开式的通项求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15.已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，PF x ⊥轴（其中F 为双曲线的右焦点），点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为______.. 【解析】 【分析】由题意可得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，分别求出点P 到该双曲线的两条渐近线的距离，根据点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，可得2c b =，即可求出a 与c 的关系，即可求出离心率. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线的方程为0bx ay ±=，由PF x ⊥轴（其中F 为双曲线的右焦点），22221c y a b ∴-=，2b y a∴=±， 不妨设 2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点P 到该双曲线的两条渐近线的距离分别为22bc b c +=22bc b c -=， Q 点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，2213bc b c bc b c-∴=+，即13c b c b -=+， 即2c b =，2a c ∴==，c e a ∴==故答案为：3【点睛】本题考查了双曲线的性质，考查了学生的计算能力，属于中档题.16.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC ⊥平面ABC ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，若三棱锥S ABC -的体积为3，则球O 的表面积为______. 【答案】20π 【解析】【分析】求出BC ，可得ABC ∆的外接圆半径，从而可求出该三棱锥的外接球半径，即可求出三棱锥的外接球表面积.【详解】2AB AC ==Q ，120BAC ∠=︒， 2222222cos12023BC ∴=+-⨯⨯=o ABC ∆∴的外接圆直径324sin120r ==o， 2r ∴=，Q SC ⊥平面ABC ，三棱锥S ABC -23，12333S ABC ABC V S SC -∴=⋅⋅=，可解得2SC = 三角形OSC 为等腰三角形，∴该三棱锥的外接球的半径2252SC R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴该三棱锥的外接球的表面积为2420S R ππ==故答案为：20π【点睛】本题主要考查立体几何的外接球问题，考查了棱锥的体积公式、球的表面积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；（1）证明：ABC V 为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3b =．【解析】 【分析】(1)根据已有等式2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=，利用正弦定理作角化边，可得22cos 2bc A a cb +=，最后再由余弦定理把所有角都化为边的等式得2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=；最后，根据等式可化简出b c =，故可证ABC V 为等腰三角形.(2)由 2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠可得ACD DAC ∠=∠， 然后，就可以根据角的相等关系，根据余弦定理或相似关系列出等式进行求解即可.【详解】（1）2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=Q ，由正弦定理得：22cos 2bc A a cb +=，由余弦定理得：2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=；化简得：222b c bc +=, 所以()20b c -=即b c =， 故ABC V 为等腰三角形． （2）如图，由已知得2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC Q ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，1AD CD ∴==，又cos cos ADB ADC ∠=-∠Q ，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-⋅⋅， 即2222221211221211c b +-+-=-⨯⨯⨯⨯， 得2229b c +=，由（1）可知b c =，得3b =．解法二：取BC 的中点E ，连接AE ．由（1）知,AB AC AE BC =∴⊥， 由已知得31,1,22EC DC ED ===， 2,ADB ACD ACD DAC Q ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，2221312AE AD DE ⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭， 222233322b AC AE EC ⎛⎫⎛⎫∴==+=+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解法三：由已知可得113CD a ==，由（1）知，,AB AC B C =∴∠=∠， 又2DAC ADB C C C C ∠=∠-∠=∠-∠=∠Q ，CAB CDA ∴V V ∽，即CB CA CA CD =，即31bb =， 3b ∴=【点睛】本题考查解三角形问题，（1）题的关键就是利用正弦定理和余弦定理作角化边的转化，(2)题的难点在于根据已有关系化简出相应的等式关系求解，难度属于一般题.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且222,AD AB BC ===90,BAD PAD ∠=︒V 为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；点E M 、分别为PD PC 、的中点．（1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）427． 【解析】 【分析】(1)求解线面平行，根据题意，连接相应的中位线，根据中位线的关系可得，四边形ENBC 是平行四边形. (2) 设AD 的中点为O ， 可证,,OA OC OP 两两垂直，以点O 为原点，OA 为x 轴，OP 为y 轴，OC 为z 轴建立坐标系，然后求出平面ABM 的法向量，最后利用向量的内积关系即可求解出直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值.【详解】（1）设PA 的中点为N ，连接,EN BN ，E Q 为PD 的中点，所以EN 为PAD △的中位线，则可得//EN AD ，且12EN AD =； 在梯形ABCD 中，//BC AD ，且12BC AD =， //,BC EN BC EN ∴=，所以四边形ENBC 是平行四边形，//CE BN ∴，又BN ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， //CE ∴平面PAB ．法二：设O 为AD 的中点，连接,CO OE ，E Q 为PD 的中点，所以OE 是ADP △的中位线，所以//OE AP ， 又OE ⊄平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，//OE ∴平面PAB ，又在梯形ABCD 中，//BC AD ，且12BC AD =， 所以四边形BAOC 是平行四边形，//BC BA ∴，又OC ⊄平面PAB ，AB Ì平面PAB ，//OC ∴平面PAB ，又OE OC O ⋂=Q ， 所以平面//OEC 平面PAB ， 又CE ⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB ．（2）设AD 的中点为O ，又,PA PD PO AD =∴⊥Q ． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，又由//CO BA ，90BAD ∠=︒，CO AD ∴⊥．即有,,OA OC OP 两两垂直，如图，以点O 为原点，OA 为x 轴，OP 为y 轴，OC 为z 轴建立坐标系．已知点()()()()111,0,0,1,0,1,,1,0,0,0,0,1,22A B M D AB AM ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v ， 设平面ABM 的法向量为：(),,m x y z =v．则有01022m AB z m AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，可得平面ABM的一个法向量为)2,0m =v，12DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u v ，可得：1120cos ,7m DM m DM m DM++⨯⋅===⋅u u u u v v u u uu v vu u u u v v ，所以直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值为7． 【点睛】本题的第一问是比较常规的证明线面平行的题目，难点在于根据中点连成相应的平行四边形，进而证明出线面平行；第二问是常规的求线面角的正弦值，难点在于建立坐标系，当建立了坐标系后，即可求出平面的法向量，进而求解所求角的正弦值.19.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率为2，且经过点1,2⎛-⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1) 2214x y += (2)见解析【解析】 【分析】（1）由题得a,b,c 的方程组求解即可（2）直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数，即1212y y 0x t x t+=--，整理)()1212t y y 2my y 0+-=.设直线l 的方程为x my 0+=，与椭圆C 联立，将韦达定理代入整理即可.【详解】(1)ca =，22131a4b +=，又222a b c -=， 解得2a 4=，2b 1=.所以，椭圆C 的方程为22x y 14+=(2)存在定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.设直线l的方程为x my 0+=，与椭圆C 联立，整理得，()224m y10+--=.设()22B x ,y ，11x xy y 12+=，定点()Q t,0.(依题意12t x ,t x )≠≠则由韦达定理可得，12y y +=1221y y 4m -=+. 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数.所以，1212y y 0x t x t+=--，即得()()1221y x t y x t 0-+-=.又11x my 0+=，22x my 0+=，所以，))1221y my t y my t 0-+-=，整理得，)()1212t y y 2my y 0+-=.从而可得，)21t 2m 04m--⋅=+，即()2m 40=，所以，当t =，即Q ,03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎫⎪⎪⎝⎭也符合题意. 综上所述，存在x轴上的定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.20.已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点，求k 的值； （3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．【答案】(1) 1y =- ；(2) k 的值为0或3 ；(3) {}1,2,3. 【解析】 【分析】（1）由()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）先利用导数判断函数的单调性，然后根据零点存在定理可判断()f x 在区间(0,1)、(3,4)上分别存在一个零点，从而可得结果；（3）当1x =时，不等式为(1)10g =>恒成立；当01x <<时，不等式可化为ln 1x x x m x +>-，可得1m x >，当1x >时，不等式可化为ln 1x x xm x +<-，可得2m x <，结合（2），综合三种情况，从而可得结果. 【详解】（1）1()1f x x'=-，所以切线斜率为()01f '=， 又(1)1f =-，切点为(1,1)-，所以切线方程为1y =-． （2）令1()1f x x'=-，得1x =， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以()f x 的极小值为(1)10f =-<，又22221111()ln 20e e e ef =--=>， 所以()f x 在区间(0,1)上存在一个零点1x ，此时0k =；因为(3)3ln321ln30f =--=-<，(4)4ln 4222ln 22(1ln 2)0f =--=-=->， 所以()f x 在区间(3,4)上存在一个零点2x ，此时3k =．综上，k 的值为0或3． （3）当1x =时，不等式为(1)10g =>．显然恒成立，此时m R ∈； 当01x <<时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +>-，令ln ()1x x x g x x +=-，则22ln 2()()(1)(1)x x f x g x x x --'==--，由（2）可知，函数()f x 在(0,1)上单调递减，且存在一个零点1x ， 此时111()ln 20f x x x =--=，即11ln 2x x =-所以当10x x <<时，()0f x >，即()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当11x x <<时，()0f x <，即()0g x '<，函数()g x 单调递减． 所以()g x 有极大值即最大值1111111111ln (2)()11x x x x x x g x x x x +-+===--，于是1m x >．当1x >时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +<-，由（2）可知，函数()f x 在(3,4)上单调递增，且存在一个零点2x ，同理可得2m x <． 综上可知12x m x <<．又因为12(0,1), (3,4)x x ∈∈，所以正整数m 的取值集合为{}1,2,3．【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.21.某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程$bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）． 回归方程①50.8169.7y x =+②$bx y ae =µ1021()iii y y =-∑ 30407 14607参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ，其回归直线µµµwv αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为µµµ121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑． ②刻画回归效果的相关指数µ22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑ ．③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑． 【答案】(1) $0.11235x y e = (2)见解析 【解析】 【分析】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+， 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，进而可得结果；（2）由表格中的数据， 30407>14607，可得101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，从而得2212R R < ，进而可得结果.【详解】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii i i x x u u bx x==--==≈-∑∑$， 6.050.108 5.5 5.456 5.46cu bx =-≈-⨯=≈$$ $ 5.46235c a e e =≈≈$∴模型②的回归方程为$0.11235x y e =（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好.2021年时，13x =，预测旅游人数为$0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人）【点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB =u u u r u u u r，求k 的值. 【答案】（1）24cos 30ρρθ-+=；（2）k =. 【解析】 【分析】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y ，且()4,0Q ，由M 为PQ 的中点，得x=2cos θ+，y= sin θ，整理得()2221x y -+=，化为极坐标即可；（2）把直线l ：y kx =化成极坐标方程为θα=，设()1,A ρα，()2,B ρα，因为3OA AB =u u u v u u u v ，得43OA OB =u u u v u u u v，即1243ρρ=， 联立2430,,cos ρρθθα⎧-+=⎨=⎩，得7cos 8α=，代入2221tan 1cos k αα==-即可. 【详解】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y .且点()4,0Q ，由点M 为PQ 的中点，所以2cos 42,22sin ,2x cos y sin θθθθ+⎧==+⎪⎪⎨⎪==⎪⎩整理得()2221x y -+=.即22430x y x +-+=， 化为极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=.（2）设直线l ：y kx =的极坐标方程为θα=.设()1,A ρα，()2,B ρα，因为3OA AB =u u u v u u u v ，所以43OA OB =u u u v u u u v，即1243ρρ=.联立2430,,cos ρρθθα⎧-+=⎨=⎩整理得24cos 30ραρ-⋅+=.则1212124,3,43,cos ρραρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩解得7cos 8α=.所以222115tan 1cos 49k αα==-=，则7k =±.【点睛】本题考查了相关点代入法求轨迹的方法，极坐标方程的应用，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集； （2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 【答案】（1）(,1)(1,)-∞-+∞U ；（2）1． 【解析】 【分析】(1) 当1a =时，求出分段函数()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，然后可以选择数形结合求解或选择解不等式组； (2)当02a <<时，化简分段函数得()()()()2,,11 12122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x -+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩可以得到函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，然后利用最值分析法，即可求出参数a 的最小值.【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，即()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，解法一：作函数()121f x x x =++-的图象，它与直线3y =的交点为()()1,3,1,3A B -，所以，()3f x >的解集的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．解法2：原不等式()3f x >等价于133x x <-⎧⎨->⎩ 或11223x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+>⎩ 或1233x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解得：1x <-或无解或1x >， 所以，()3f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．（2）1102,,20,202a a a a <<∴-+-<Q ．则()()()()2,,1112122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x -+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩所以函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 所以当12x =时，()f x 取得最小值，()min 1122a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．因为对x R ∀∈，()32f x a≥恒成立， 所以()min 3122a f x a=+≥． 又因为0a >， 所以2230a a +-≥，解得1a ≥ （3a ≤-不合题意）． 所以a 的最小值为1．【点睛】本题第一问考查通过利用绝对值不等式的关系转化成分段函数进行求解的题目，求解的过程既可用数形结合，也可以用不等式组求解，属于简单题；第二问考查含参绝对值不等式求解参数的最值问题，因为本题的参数不容易分离，所以，选择最值分析法进行讨论求解，难度属于中等.。

2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}222450,20A x x y x y B x x =+-++==>，则集合A B =U （ ）A ．[)1,+∞B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()0,1 【答案】A【解析】通过配方求出集合A ，解不等式求出集合B ，进而可得并集.【详解】对于集合A ：配方得()()22120,1,2x y x y -++=∴==-，从而{}1A =.对于集合):120,0B >Q20,10>>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B ∞=+U .故选：A.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题.2．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ）A ．24i +B ．22i -C ．D ．【答案】C【解析】先由已知求出z ，进而可得z i +，则复数的模可求.【详解】 由题意可知3223i z i i+==-，从而23,24,z i z i i z i =+∴+=+∴+==.【点睛】 本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：1z +易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.3．为了贯彻素质教育，培养各方面人才，使每位学生充分发挥各自的优势，实现卓越发展，某高校将其某- -学院划分为不同的特色专业，各专业人数比例相关数据统计.如图，每位学生限修一门专业.若形体专业共300人，则下列说法错误的是（ ）A ．智能类专业共有630人B ．该学院共有3000人C ．非文化类专业共有1800人D ．动漫类专业共有800人【答案】D【解析】根据形体专业所占比例和人数可求出总人数，分别求出文化类和智能类所占比例，根据比例和总人数可求出不同专业的人数，进而可得答案.【详解】该学院共有300300010%=人，B 正确； 由题意可知，文化类共有115%18%12%10%5%40%-----=，而智能类共有40%3%6%10%21%---=，所以智能类专业共有300021%630⨯=人，A 正确；非文化类专业共有300060%1800⨯=人，C 正确；动漫类专业共有15%3000450⨯=人，故D 错误.故选：D.【点睛】本题考查数据统计知识，考查数据分析，解决问题能力，命题陷阱：饼状图中信息较多，容易分析错误，从而会导致出错.4．已知数列{}n a 是等比数列，48,a a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ） A ．22± B ．2 C ．2±D ．2-【解析】根据韦达定理可得48,a a 均为正数，再通过等比数列的性质可得6a .【详解】方程2840x x -+=的两根分别为48,a a ，48480084a a a a +>⎧∴⎨>==⎩，∴4800a a >⎧⎨>⎩， 由等比数列性质可知24864a a a ==， 62a ∴=±又26460,2a a q a =>∴=.故选：B.【点睛】本题考查等比数列性质，考查运动知识解决问题的能力，是基础题.5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c << 【答案】D【解析】先根据函数(1)f x +是偶函数可得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，再由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，根据131,,42t t+的大小关系可得函数值的大小.【详解】Q 函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥， 从而1731731,4242t f t f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即b a c <<.故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力，本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若直线m α⊂，直线,,n l m l βαβ⊂⋂=⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要【答案】B【解析】通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可.【详解】当//n l 时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥；反之，若αβ⊥，因为,,m l m l ααβ⊂⋂=⊥，可推出m β⊥.又n β⊂，所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件､必要条件的判断，考察空间想象能力.7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．206+B ．216+C ．20D ．392【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体正方体''''ABCD A B C D -截去一个小三棱锥'D AD E -，如图，根据面积公式求出每个面的面积相加即可.【详解】由三视图可知该几何体正方体''''ABCD A B C D -截去一个小三棱锥'D AD E -，如图()()''''111123,1223,222222ABCE CED C AA D S S S ∆=⨯+⨯==⨯+⨯==⨯⨯= 在'AED ∆中，''22125,22AE ED AD =+==可计算'AD 3'122362AED S ∆∴=⨯=， 从而可得该几何体的表面积为332634206++⨯=+.故选：A.【点睛】本题考查切割体的三视图，考察空间想象能力以及运算求解能力，本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.8．随着交通事业的快速发展，中国高铁在我国各地已普遍建成，并投入使用，加强了各地的联系.已知某次列车沿途途经河南的安阳焦作､洛阳､郑州.开封五个城市，这五个城市有各自有名的景点：红旗渠､云台山､白马寺､二七塔､清明上河园某小朋友对河南比较陌生，他将五个景点与五个城市进行连线(一个城市对一个景点)，则他至少能连正确两对的方法数共有（ ）A ．4种B ．5种C ．31种D ．36种【答案】C【解析】分别算出该小朋友连正确两对，连正确3对，连正确4对(即5对)的方法数，相加即可.该小朋友连正确两对的方法数为25220C ⨯=种；连正确3对的方法数为35110C ⨯=种；连正确4对(即5对)的方法数为1种，至少连正确两对的方法数共有2010131++=种，故选：C.【点睛】本题考查排列组合中典型的不在其位问题，考察分析､解决问题的能力，本题问“至少”，不细心易只计算“连正确两对”的情况；另外学生会出现连正确4对与5对分开来算的情况.9．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的部分图像如图所示，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-；③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增. 其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【解析】通过图像可得函数的周期，过点,12A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2列方程可得解析式为()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.由图象知函数()f x 的最小正周期为23122T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则4ω=， 即()()sin 4f x A x =+ϕ， 又由12f A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由0ϕπ<<可知6π=ϕ，从而()sin 46f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又(0)2f =，可得sin26A π=， 所以4A =， 从而()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易判断①②正确， 而()0f π≠，所以③错误， 又由242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈， 得()f x 的增区间为,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 可知当1k =-时，25,312⎛⎫-π- ⎪π⎝⎭是()f x 的一个增区间，④正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查利用三角函数部分图象求解析式和三角函数的基本性质，考查运算求解能力，是基础题.10．已知实数,a b 满足,a b R +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（ ） A ．173 B ．174 C ．163 D ．194【答案】C【解析】由31a b +=得()()283a b a b +++=，变形()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭，展开，利用基本不等式即可求最值.【详解】因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=， ()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭()()()928111610102924333a b a b a b a b ⎡⎤++=++⨯≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()283a b a b +=+即51,88a b ==时取等号. 故选：C.【点睛】 本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.11．如图，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，,E F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则FM =u u u u r （ ）A ．171515a b -r r B ．171515a b +r r C ．241515a b -r r D ．241515a b -r r 【答案】A 【解析】连接,FA FD ，由,,E M A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，将,FE FAu u u r u u u r 用,AB AC u u u r u u u r 表示，则可得21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ，同理,,D M C 由三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用平面向量基本定理列方程组求解.【详解】连接,FA FD ，由,,E M A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，由题意知()()112212,333333FE CB AB AC FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC ==-=+=-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 所以21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ， 同理,,D M C 由三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以21323621333λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3545λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 从而171515FM a b =-u u u u r r r . 故选:A.【点睛】本题考查向量的线性运算以及三点共线的向量运算结论，旨在考查学生对基本知识与技能的掌握，是中档题.12．过双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左焦点()(),00F c c ->作圆2229a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若2OP OE OF =-u u u r u u u r u u u r (O 为坐标原点)，则双曲线的离心率为（ ）A ．13B 13C 10D 17 【答案】D【解析】设双曲线的右焦点为'F ，连接'PF ，知点E 为FP 的中点，由题可得22293FP c a =-22229233c a a a -=，整理可得离心率.【详解】设双曲线的右焦点为'F ，连接'PF .由2OP OE OF =-u u u r u u u r u u u r ，知点E 为FP 的中点，则OE 为'FPF ∆的中位线， 则'223P OE a F ==，又OE FP ⊥， 所以可得22293FP c a =-. 由双曲线的定义，得22229233c a a a --=， 整理可得22917c a =，则222179c e a ==， 所以173e =. 故选：D.【点睛】 本题考查双曲线的定义，离心率的求解，是中档题.二、双空题13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x =_________；乙组的中位数为________.【答案】2 22.5【解析】根据公式计算平均数，将乙组数据从小到大排序，可得中位数. 【详解】由题意，先计算甲组平均数10+12+11+23+21+20+35+30+41+47==2510x 甲，因为=x x 甲乙， 所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=. 故答案为：2；22.5. 【点睛】本题考查统计中的数字特征：平均数､中位数，考查学生的运算能力，是基础题.三、填空题14．某事业单位欲指派甲､乙､丙､丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到,A B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己的分配地的是_________. 【答案】乙､丁【解析】从甲还不知道自己该去哪里开始分析，可得乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地，再根据乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地可分析出结果. 【详解】四人知道的情况是：组织分配的名额､自已看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地；所以甲、丁一个在A 地，一个在B 地. 又给乙看了丙的分配地， 所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地， 故填乙､丁. 故答案为：乙､丁. 【点睛】本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力.15．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120︒，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与xC 的方程为_________.【答案】22y x =或 26y x = 【解析】过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，与抛物线联立，求得y ，进而根据条件列方程可得p 的值，则抛物线方程可求. 【详解】过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y ==y == 从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =. 故答案为：22y x =或26y x =. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力，是基础题. 16．已知函数[)21()sin ,0,2f x x x ax x =++∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】[)1,-+∞【解析】由题意可知'()cos f x x x a =++，设()cos h x x x a =++，可得'()1sin 0h x x =-≥，求出()h x 的单调性，分1a ≥-，1a <-讨论，求出()f x 的单调性和最值，进而可得答案. 【详解】由题意可知'()cos f x x x a =++， 设()cos h x x x a =++，则'()1sin 0h x x =-≥，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，(0)1h a =+，（1）当10a +≥，即1a ≥-时，()(0)0h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()(0)0f x f ≥=恒成立；（2）当10a +<，即1a <-，令2x a =-，则()(2)2cos 20h a a -=+->. 又(0)10h a =+<，所以()00,x ∃∈+∞，使得0()0h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()(0)0f x f <=，不合题意. 综上a 得取值范围为{}1a a ≥-. 故答案为：[)1,-+∞. 【点睛】本题考查三角函数与导函数的综合问题，考查灵活运用导数处理恒成立问题的能力，是中档题.四、解答题17．如图，ABC ∆为等边三角形，边长为3，D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（1）求sin ADB ∠的值； （2）求DE 的长. 【答案】（1）32114.（2）75【解析】（1）在ABD ∆中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值； （2）在CDE ∆中，应用正弦定理，求出DE . 【详解】（1）由题意可知60,3,2A AB AD =︒==，由余弦定理， 得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=从而7BD =，设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BD Aθ=，即37sin 3θ=， 得321sin θ=； （2）由题意知θ为锐角，所以27cos 1sin 14θθ=-=， 而()3157sin sin 30sin cos 2214E θθθ=+︒=+=， 在CDE ∆中，由正弦定理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin 3072sin 57CD DE E ⨯⋅︒===. 【点睛】本题考查解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正､余弦定理；（3）三角形有关公式，是基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，160,1,2,4ABC PA AB BC PE PC ∠=︒====（1）求证：AE ⊥平面PCD ； （2）求二面角B AE D --的余弦值. 【答案】（1）答案见解析.（2）213【解析】（1）由已知条件得90BAC ACD ∠=∠=︒，又PA CD ⊥，易证CD ⊥平面PAC ，从而证得AE ⊥平面PCD ；（2）由（1）可建立空间直角坐标系，应用平面的法向量形成的角求解二面角. 【详解】（1）在ABC ∆中，由余弦定理，可知2221=2cos 1421132AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，AC ∴从而可得222,90AB AC BC BAC +=∴∠=︒， 又ABCD 为平行四边形，90ACD ∴∠=︒，即CD AC ⊥，PA Q ⊥平面,ABCD CD ⊂平面,ABCD PA CD ∴⊥，PA AC A =Q I ，从而CD ⊥平面PAC ，又AE ⊂平面,PAC AE CD ∴⊥，在,1,Rt PAC PA AC ∆==2PC =，又1142PE PC ==， 从而可得2,PA PE PC AE PC =⋅∴⊥， 又PC CD C =I ，AE ∴⊥平面PCD ；（2）由（1）可知,,AB AC PA AB PA AC ⊥⊥⊥，所以分别以,,AB AC AP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,0,0,1,,A B P C D -设(),,E x y z ，由14PE PC =u u u r u u u r ，得()()1,,114x y z -=-30,44E ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭()()31,0,0,0,,,44AB AE AD ⎛⎫∴===- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，设平面ABE 的法向量为()111,,n x y z =r，则由n ABn AE⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u vv，得1110,334xy z=⎧⎪⎨+=⎪，令11z=则()13,0,3,1y n=-∴=-r，设平面AED的法向量为()222,,m x y z=u r，则由m AEm AD⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u vv，得222233430y zx y⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，令21z=，得2233yx⎧=-⎪⎨=-⎪⎩()3,3,1m∴=--u r，213cos,13213m nm nm n⋅∴===⨯u r ru r ru r r，由图可知，二面角B AE D--为钝二面角，所以所求余弦值为213-.【点睛】本题考查线面垂直及二面角的余弦值，考查空间想象能力，高考对立体几何的考查一般分两问，第一问证明，第二问求值，求二面角问题时，采用空间向量方法来解决，是中档题.19．已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左､右焦点分别是1,F2F，直线l过1F交C于,A B两点，2ABF∆的周长为42过2F且垂直于x2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线1l (斜率存在)交椭圆C 于,P Q 两点(,P Q 异于上顶点)，椭圆上顶点为,M PM QM ⊥，线段PQ 的垂直平分线2l 在x 轴上的截距为0x ，求0x 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=.（2）0x ≤≤且00x ≠【解析】（1）利用椭圆定义，以及椭圆的所过点可确定椭圆的标准方程；（2）设直线1l 方程，联立直线与椭圆方程，应用PM QM ⊥，可变两参数为一个参数，进而用关于k 的式子表示0x ，从而可得0x 的范围. 【详解】（1）由题意可知2ABF ∆的周长为224AB AF BF a a ++==∴= 又过2F 且垂直于x，∴椭圆过点c ⎛ ⎝⎭，代入椭圆方程得221122c b +=① 又222b c +=② 由①②得221b c ==，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）由题可知直线1l 的斜率0k ≠，设()1:1l y kx m m =+≠， 则由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222124220k x kmx m +++-=， 且()()()2224412220km km∆=-+->，化简得2212k m +>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12221224122212km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ()()()11220,1,,1,,1M MP x y MQ x y =-=-u u u r u u u u rQ ，()()1212110MP MQ x x y y ∴⋅=+--=u u u r u u u u r，即()()()()2212121110kx x k m x x m ++-++-=，也即()()()2222222411101212m km k k m m k k-+--+-=++，整理得()()1310m m -+=，解得13m =-或1m =(舍去)， PQ ∴所在的直线方程为13y kx =-，设线段PQ 的中点坐标为()'',x y ，则()()2'122'21,2312312x x k x y k k +-===++， ∴线段PQ 的中垂线2l 的方程为()()22112312312ky x k k k ⎛⎫ ⎪+=-- ⎪++⎝⎭， ∴直线2l 在x 轴上的截距()021131232k x k k k ==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，0k ≠，当0k >时，132kk⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭1011232k k <≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 当k 0<时，132k k⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭10132k k ≤<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0x ≤≤且00x ≠. 综上所述，0x的取值范围是01212x -≤≤且00x ≠. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及直线的垂直问题，考查运算求解能力；直线与椭圆的位置关系是高考的重点，主要解决方法联立方程处理根与系数关系，经常结合基本不等式研究变量的取值范围.20．已知函数()()1sin cos xf x axe x x x =+++（1）若1,2a x π=≥-，求()f x 的单调区间； （2）()sin cos ()f x x x g x x --=，若7,0,,()44x g x ππ⎡⎫⎛⎤∈-⋃-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦的导函数有零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为[)1,-+∞，减区间为,12π⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.（2）344,11,22e e ππ-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【解析】（1）1a =代入原式，求导，判断导数符号，确定单调区间；（2）利用参变量分离，通过构造新函数，研究新函数的取值，确定参数a 的范围. 【详解】（1）当1a =时，()()1sin cos xf x xe x x x =+++，()()()()'()1sin 1cos sin 1cos x x f x x e x x x x x e x =++++-=++，令()cos xh x e x =+，则当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，0,cos 0,cos 0x x e x e x >≥∴+>， 当2x π>时，1,cos 0,cos 0x xe x e x >≥∴+>， 2x π∴≥-时，cos 0x e x +>，若'()0f x ≥，则1x ≥-；若'()0f x <，则12x π-≥<-，∴当2x π≥-时，()f x 的增区间为[)1,-+∞，减区间为,12π⎡⎫--⎪⎢⎣⎭； （2）由题意，可知()sin ,,00,44xg x ae x x π7π⎡⎫⎛⎤=+∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦则'()cos 0xg x ae x =+=在,00,44π7π⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上有解， cos xxa e -∴=设cos ()x x m x e -=，则'sin cos ()xx x m x e +=若'()0m x ≥，则sin cos 0x x +≥04x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭解得344x ππ-≤≤且0x ≠若'()0m x <，则sin cos 0x x +<04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭解得3744x ππ<< ()m x ∴在,0,0,44π3π⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上为增函数，在37,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数而4,(0)142m e m ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭374437(),4242m m ππ--ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又7412π-->-41a π<<-或341a π--<<∴a 的取值范围为344,11,22e e ππ-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，以及恒成立条件下的求范围问题；考查运算能力和分析问题､解决问题的能力，是一道难度较大的题目.21．甲､乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率；（2）设第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p .【答案】（1）11831728.（2）1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭【解析】（1）搞清两种状况，①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，分别计算概率；（2）由第n 次与1n +次的关系，建立递推公式115612n n p p +=+，构造等比数列数列，求出通项公式即可. 【详解】由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有()()()()()()()()1,6,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,3,4,4()()()()()()()()4,5,4,6,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1()()()()()6,2,6,3,6,4,6,5,6,6共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （1）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6， 其概率为7711212⨯=， ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6， 其概率为55717511212121728⨯⨯⨯=， 甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=； （2）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类：①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ， ②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭， 1111262n n p p +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭ 1111111210,122262n n p p p +--=-=≠∴=-Q ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列 1111226n n p -⎛⎫∴-=⨯ ⎪⎝⎭， 1111262n n p -⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查递推数列在概率统计中的应用，一般考查递推公式求通项公式，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些，是一道难度较大的题目.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0απ≤≤)，曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设l 与C 交于,D E 两点(异于原点)，求OD OE +的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=.（2）【解析】（1）展开曲线C 的方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==，从而得曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值.【详解】（1）曲线C 可化为2240x x y -+=， 即224x y x +=，也即24cos ρρθ=，所以4cos ρθ=所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（2）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心， 从而2DOE π∠= 设()12,,,2D E ρθρθπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则124cos 4cos 2OD OE ρρθθπ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭4θπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为【点睛】 本题考查三种方程间的相互转化，是该类问题的考察对象，应用极坐标求最值问题也是常见方法，要求学生必须掌握，考查了转化与化归思想，是基础题.23．已知实数,a b 满足0,0a b >>且1a b +=.（1）证明：()()2222119a b a b --≥；（2≤【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析【解析】（1）应用,a b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行作差比较；另外可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明；（2）设t =1a b +=可得23t =+，利用基本不等式求得最大值，即可证明.【详解】（1）解法1： ()()2222911a b a b --- 222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++--()3224851a a a a =-+-()()22121a a a =--10,1,01b a a a =->∴<∴<<Q ()()221210a a a ∴--≤从而可得()()2222119a b a b --≥；解法2：220,0,0a b a b >>∴>Q ∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1a b +=Q 且0,0a b >>221111a b ⎛⎫⎛⎫∴-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b a b +-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 225a b b a=++59≥=当且仅当12a b ==时取等号，得证；（2）设t =，则()()211t a b =++++1a b +=Q22130,0,24a b t a b ab +⎛⎫∴=+>>∴≤= ⎪⎝⎭2336t ∴=+≤+=t ∴≤12a b ==时等号成立，得证. 【点睛】本题考查不等式的证明，考察转化与化归思想，不等式证明问题多与基本不等式有关，用基本不等式证明应思考等号成立的条件，是中档题.。

绝密★启用前2020届天一大联考海南省高中毕业生班阶段性测试（三）数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--<，{}10B x x =-≥，则A B =I （ ） A ．()1,3- B ．[)1,+∞C ．[)1,3D ．(]1,1-答案：C求解一元二次不等式得到集合A ，由交集的定义即得解. 解：由题意可得：{}2230{|(3)(1)0}{|13}A x x x x x x x x =--<=-+<=-<< 由交集的定义，有A B =I [)1,3. 故选：C 点评：本题考查了集合的交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．复数122t t =-在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B利用复数的除法可求122t t =-，从而得到其在复平面内所对应的点，由此可得正确的选项. 解：由题意：()()()2121111i i ii i i i +==-+--+ ， 该复数对应的点()1,1- 位于第二象限. 故选：B. 点评：在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化． 3．函数2sin(2)2y x π=+是（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数 答案：B试题分析：根据周期公式可得22T ππ==,又2sin(2)2cos 22y x x π=+=，所以该函数是偶函数．故选B ．【考点】三角函数的周期性和奇偶性．4．函数()()2ln f x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A先求解f (x )的定义域排除B ,D ，再求导通过导函数研究f (x )的单调性，即得解. 解：由于()()2ln f x x x =-的定义域为：(,0)(1,)-∞⋃+∞，故排除B ，D ；()221'x f x x x-=-，与()21g x x =-同正负， 令1()0,()2g x x f x >>∴在(1,)+∞单调递增；令1()0,()2g x x f x <<∴在(,0)-∞单调递减；故选：A 点评：本题考查了已知函数解析式研究函数的图像和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合的能力，属于中档题.5．已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，实轴端点分别为12,A A ，点P 是双曲线C 上不同于12,A A 的任意一点，12PF F ∆与12PA A ∆的面积比为2:1，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =± B ．2y x =±C ．y =D ．y x =±答案：C由12121212:||:||A PF F PA S S F F A A ∆∆=得到2c a =，利用a,b,c 的关系即得解. 解：由于12121212:||:||2:22:1A PF F PA S S F F A A c a ∆∆=== 故：2c a =由题意双曲线的焦点在x 轴上，因此渐近线方程为：by x a=±b a a a===故渐近线方程为：y = 故选：C 点评：本题考查了双曲线的几何性质，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 6．对任意()2k k Z παπ≠+∈，若2222sin tan sin tan λαμααα+=，则实数λμ-=（ ） A ．2 B ．0C ．1-D ．2-答案：D利用同角三角函数关系转化2222sin tan sin tan λαμααα+=为2(1)cos 1λαμ+=-对任意()2k k Z παπ≠+∈成立，即得解.解： 由于()2k k Z παπ≠+∈，故22sin 1,cos 0αα≠≠，2222sin tan sin tan λαμααα+=Q222sin cos cos μαλαα∴+= 222cos sin 1cos λαμαα∴+==-2(1)cos 1λαμ∴+=-对任意()2k k Z παπ≠+∈成立1,1λμ∴=-= 2λμ∴-=-故选：D 点评：本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．20172018B ．20182019C ．12018D ．12019答案：D根据程序框图的循环结构，依次计算，即得解. 解：初始值：1,2S i ==满足：1112019,1,1,1322i t S i i i ≤=-==⨯=+= 满足：12122019,1,1,14323i t S i i i ≤=-==⨯⨯=+=满足：131232019,1,1,154234i t S i i i ≤=-==⨯⨯⨯=+=……满足：1201812320182019,1,1...,1202020192342019i t S i i i ≤=-==⨯⨯⨯⨯=+=输出：123201811 (23420192019)S =⨯⨯⨯⨯=故选：D 点评：本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题.8．()6311x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项等于（ ） A ．65 B ．45 C ．20 D ．25-答案：A分别将()31x -，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭用二项式定理展开，再研究对应项乘积得到的常数项即可.解：由于()30011223333331()()()()x C x C x C x C x -=-+-+-+-6061524233342451566066666661111111()()()()()()x C x C x C x C x C x C x C x x x x x x x x ⎛⎫+=++++++ ⎪⎝⎭故()6311x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为：0033322424363611()()()()2031565C x C x C x C x x x-⋅+-⋅=+⋅=故选：A 点评：本题考查了二项式定理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BC 的中点，则异面直线1A B 与DP 所成角的余弦值为（ ）A ．0BC ．6D ．6答案：C建立空间直角坐标系，利用向量求解异面直线1A B 与DP 所成角的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系，则111(1,0,1),(1,1,0),(0,0,0),(,1,)22A B D P111 (0,1,1),(,1,)22A B DP=-=u u u r u u u r设异面直线1A B与DP所成角为θ111132cos|cos,|||6||||322A B DPA B DPA B DPθ⋅∴=<>===⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r故选：C点评：本题考查了向量法求解异面直线夹角，考查了学生综合分析，空间想象，数学运算的能力，属于基础题。

【解析】设 ， ，可得 ， ，再将点 、 代入抛物线的方程，可得出 的值，由此可得出 与 的面积的比值为 ，即可得出答案.
【详解】
设 ， ，则点 ， ，
代入抛物线的方程，得 ，
整理得 ，解得 （负值舍去），故 .
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线中三角形面积比值的计算，涉及了抛物线方程与几何性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
2020届河南省天一大联考高三阶段性测试（三）数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解出集合 、 ，然后利用交集的定义可计算出集合 .
【详解】
由 得 ，即 ， ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法以及正弦型函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三视图将几何体的实物图还原，可知该几何体为一个三棱锥，计算出该三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该三棱锥的体积.
【详解】
由三视图知，该几何体是正方体中的一个三棱锥 ，且正方体的棱长为 .
如图，底面三角形 的面积为 ，高（点 到平面 的距离）为 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
4．已知等差数列 的公差不为0， ，且 是 与 的等比中项，则 的前 项和为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，可知 ，由题意得出 ，求出 的值，可求出 和 的值，然后利用等差数列的求和公式可计算出数列 的前 项和.

天一大联考2020届高中毕业班阶段性测试（三）理科数学注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}0452≤+-=x x x A ，{}0,sin 3>-==x x y y B ，则=B AA.]4,1[B.]4,2[C.]1,4[--D.)4,1(- 2. 已知复数z 满足215--=i i z ，则z 在复平面内对应的点位于 A.第四象限 B.第三象限C.第二象限D.第一象限3. 执行如图所示的程序框图，则输出的=bA.5B.4C.3D.24. 已知等差数列{}n a 的公差不为0，27=a ，且4a 是2a 与5a 的等比中项，则{}n a 的前10项和为A.10B.0C.10-D.18-5. 已知43)3sin(-=-απ，则=-)232021cos(απ A.81 B.81- C.873 D.873- 6. 若方程0cos sin 32=-+a x x 有实根，则实数a 的取值范围为A.]12,1[B.),1[+∞-C.]1,(-∞D.]1237,1[- 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为A.18B.218C.36D.488. 已知数列{}n a 是递增的等比数列，4026=-a a ，1024=+a a ，则=1aA.35 B.25 C.35 D.259. 如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上，在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为A.499πB.4933πC.π332D.9π 10. 已知三棱锥BCD A -内接于球O ，4===BD BC AB ，︒=∠60CBD ，⊥AB 平面BCD ，则球O 的表面积为A.328πB.425π C.3112π D.π60 11. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，ABC ∆和BDE ∆都是等腰直角三角形，BDE ABC ∠=∠︒=90，且OB OA =，若点C 和点E 都在抛物线)0(22>=p px y 上，则ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为A.81B.223-C.42 D.12- 12. 设函数)(x f '是函数))((R x x f ∈的导函数，当0≠x 时，0)(3)(<+'xx f x f ，则函数31)()(x x f x g -=的零点个数为 A.3 B.2C.1D.0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量)4,3(-=a ，1||=b ，235=⋅b a ，则向量a 与b 的夹角=θ_______. 14. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的渐近线方程为x y 22±=，点)2,1(A 到右焦点F 的距离为22，则C 的方程为_______.15. 已知函数)2||,0)(sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 满足2)()0(==πf f ，且)(x f 在区间)2,4(ππ上单调递减，则ω的值为_______. 16. 设函数)(x f 123+-=x x ，x xe x g 2)(=，若),1(1+∞-∈∃x ，使得),1(2+∞-∈∀x ，不等式)()(4122x f m x emg >恒成立，则实数m 的取值范围是_______.三、解答题（共70分。

2020届河南省天一大联考高三阶段性测试（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2540A x x x =-+≤，{}3sin ,0B y y x x ==->，则A B =I （ ） A ．[]1,4 B ．[]2,4C ．[]4,1--D ．()1,4-【答案】B【解析】解出集合A 、B ，然后利用交集的定义可计算出集合A B I . 【详解】由2540x x -+≤得14x ≤≤，即[]1,4A =，{}[]3sin ,02,4B y y x x ==->=， 所以[]2,4A B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法以及正弦型函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.2．已知复数z 满足512iz i -=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【答案】B【解析】利用复数的除法将复数z 表示为一般形式，可得出复数z ，即可判断出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为512i z i -=-，所以()()()()1213122255i i i z i i i i ----===-+-+---+，3155z i ∴=--. 所以复数z 在复平面内对应的点为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限.故选：B. 【点睛】本题考查复数乘方以及除法的计算，同时也考查了共轭复数以及复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.3．执行如图所示的程序框图，则输出的b =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】列举出循环的每一步，可得出该程序的输出结果. 【详解】该程序的运行过程为：1a =，10b =，a b <，继续循环；8b =，2a =，a b <，继续循环；6b =，3a =，a b <，继续循环；4b =，4a =，a b =，继续循环；2b =，5a =，a b >，跳出循环，输出2b =.故选：D. 【点睛】本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 的公差不为0，72a =，且4a 是2a 与5a 的等比中项，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．10 B ．0C ．10-D ．18-【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可知0d ≠，由题意得出()()()2232522d d d -=--，求出d 的值，可求出1a 和10a 的值，然后利用等差数列的求和公式可计算出数列{}n a 的前10项和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由已知得()()()2232522d d d -=--，解得2d =.所以12610a d =-=-，10238a d =+=，所以{}n a 的前10项和()1010810102S -+⨯==-.故选：C. 【点睛】本题考查等差数列和的计算，涉及了等差数列求和公式以及等差数列中基本量的计算，考查运算求解能力，属于中等题. 5．已知3sin 34πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则2021cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．18 B ．18-C D ．【答案】A【解析】利用诱导公式得出20212cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用二倍角的余弦公式可计算出2021cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】 因为3sin 34πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，所以20212cos 2cos 673233ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222231cos 2cos 22sin 12133348ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=--=--=⨯--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.6．若方程23sin cos 0x x a +-=有实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,12B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】利用参变量分离法得出221373cos cos 33cos 612a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，令()21373cos 612x f x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得出实数a 的取值范围即为函数()y f x =的值域，利用二次函数的基本性质求解即可. 【详解】方程23sin cos 0x x a +-=即23cos cos 30x x a -+-=，则221373cos cos 33cos 612a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，设()21373cos 612x f x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭. []cos 1,1x ∈-Q ，()21373cos 612x x f ⎛⎫=--∴+ ⎪⎝⎭的值域为371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. Q 原方程有实根，∴实数a 的取值范围为371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：D. 【点睛】本题考查三角方程根的问题，利用换元法转化为二次方程在区间[]1,1-上有根是解题的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．18B ．182C ．36D ．48【答案】C【解析】由三视图将几何体的实物图还原，可知该几何体为一个三棱锥，计算出该三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该三棱锥的体积.【详解】由三视图知，该几何体是正方体中的一个三棱锥A BCD -，且正方体的棱长为6. 如图，底面三角形BCD 的面积为166182⨯⨯=，高（点A 到平面BCD 的距离）为6，所以该几何体的体积1186363A BCD V -=⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题的关键就是利用三视图将几何体的实物图还原，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.8．已知数列{}n a 是递增的等比数列，6240a a -=，4210a a +=，则1a =（ ） A ．5B 5 C ．53D ．52【答案】A【解析】设等比数列公比为0q >，由题意列出关于1a 和q 的方程组，解出即可. 【详解】设{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得624240410a a a a -==+，所以42141q q -=+，得214q -=，解得5q =因为{}n a 是递增的等比数列，所以5q =.因为2422210a a a q a +=+=，所以253a =，所以2153a a q ==. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是列出有关于首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．949πB ．3349πC ．233πD ．9π 【答案】B【解析】设圆的半径为r ，利用几何关系得出正三角形ABC 的高为7r ，然后利用锐角三角函数计算出AD ，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，取AB 边的中线CD ，则三个圆心都在线段CD 上， 设最上面的圆的圆心为O ，圆O 与BC 的切点为E ， 易知30OCE ∠=o ，所以2OC OE =.设圆的半径OE r =，2OC r ∴=，则7CD r =，所以22tan 303AB AD CD ===o.所以217233ABC S r ∆⨯==，而阴影部分的面积为23r π， 所以所求的概率2233349493r P ππ==.故选：B. 【点睛】本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.10．已知三棱锥A BCD -内接于球O ，4AB BC BD ===，60CBD ∠=︒，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为（ ） A ．283πB ．254πC ．1123πD ．60π【答案】C【解析】先得出BCD ∆为等边三角形，设其中心为G ，可得知12OG AB =，由正弦定理求出BG ，利用公式22R BG OG =+可计算出球O 的半径R ，然后利用球体的表面积公式可计算出球O 的表面积. 【详解】如图，因为4BC BD ==，60CBD ∠=o ，所以BCD ∆是等边三角形，设其中心为G ，则OG ⊥平面BCD ，因为AB ⊥平面BCD ，所以122OG AB ==. 由正弦定理得32sin 603BC BG ==o，则433BG =， 所以外接球O 的半径22283R BG OG =+=O 的表面积为211243R ππ=. 故选：C. 【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了多面体的外接球问题，解题的关键就是要利用几何关系计算出外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在直角坐标系xOy 中，ABC ∆和BDE ∆都是等腰直角三角形，90ABC BDE ∠=∠=o ，且OA OB =.若点C 和点E 都在抛物线()220y px p =>上，则ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为（ ）A ．18B ．322-C ．24D 21【答案】B【解析】设AB a =，BD b =，可得,2a C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2a E b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再将点C 、E 代入抛物线的方程，可得出ab的值，由此可得出ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为2ABC BDE S a S b ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可得出答案. 【详解】设AB a =，BD b =，则点,2a C a ⎛⎫⎪⎝⎭，,2a E b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线的方程，得222222a a p a b p b ⎧=⨯⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，整理得2220a ab b +-=，解得21a b =（负值舍去），故2322ABC BDE S a S b ∆∆⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线中三角形面积比值的计算，涉及了抛物线方程与几何性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，()()30f x f x x'+<，则函数()()31g x f x x=-的零点个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】构造函数()()31F x x f x =-，可得出()()3F x g x x =，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数()()3F x g x x=的零点个数.【详解】设()()31F x x f x =-，则()()()()()32333f x F x x f x x f x x f x x ⎡⎤'''=+=+⎢⎥⎣⎦. 当0x ≠时，()()30f x f x x'+<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在()0,∞+上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(),0-∞上单调递增. 所以()()max 010F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点， 故()()()331F x g x f x x x=-=也没有零点. 故选：D. 【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．已知向量()3,4a =-r ，1b =r ，2a b ⋅=r r ，则向量a r 与b r的夹角θ=______.【答案】6π 【解析】计算出a r的值，利用平面向量数量积的定义计算出cos θ的值，结合角θ的取值范围可求出θ的值. 【详解】因为()3,4a =-r ，所以5a =r ，因为1b =r ，2a b ⋅=r r ，所以2cos 512a b a bθ⋅===⨯r r r r .因为[]0,θπ∈，所以6πθ=. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，同时也考查了向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y =±，点()1,2A 到右焦点F的距离为C 的方程为______.【答案】2218y x -=【解析】设双曲线C 的半焦距为c，由AF =求出c 的值，由双曲线的渐近线方程得出ba=a 、b 的值，从而得出双曲线C 的方程. 【详解】设双曲线C 的半焦距为c ，因为点()1,2A到右焦点的距离为，所以=3c =或1c =-（舍去）.因为ba=3c e a ==，所以1a =，b =C 的方程为2218y x -=.故答案为：2218y x -=.【点睛】本题考查双曲线的标准方程的求解，同时也涉及了双曲线的几何性质，考查计算能力，属于中等题.15．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足()()0f f π==，且()f x 在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的值为______.【答案】2或52【解析】先由()0f ，结合ϕ的范围，求出4πϕ=，再由()fπ=，得出244k ππωππ+=+或3244k ππωππ+=+，可得出2k ω=或122k ω=+，其中k Z ∈，再由区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭的长度不超过半个周期得出ω的范围，可确定出ω的可能取值，再结合条件“函数()y f x =在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减”进行检验，可得出ω的值. 【详解】因为()0f =，所以sin ϕ=，因为2πϕ<，所以4πϕ=.由()fπ=，得sin 4πωπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以244k ππωππ+=+或3244k ππωππ+=+，所以2k ω=或122k ω=+，其中k Z ∈.因为244πππ-=，所以24T ππω=≥，得4ω≤， 故ω的可能取值为12、2、52和4， 当12ω=时，()12sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当42x ππ<<时，318242x πππ<+<， 此时，函数()y f x =在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，不合乎题意； 同理可知，满足()y f x =在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的只有2和52.故答案为：2或52. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的单调性求参数，在计算出参数的可能值之后，还应将参数的值代入进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．设函数()321x x f x -=+，()2xg x xe =，若()11,x ∃∈-+∞，使得()21,x ∀∈-+∞，不等式()()2214emg x m f x >恒成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】()1,+∞【解析】根据题意得出()()2min min 4emg x m f x ⎡⎤>⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求出函数()y f x =在区间()1,-+∞上的值域，利用导数求出函数()y g x =在区间()1,-+∞上的值域，可得出关于实数m 的不等式，解出即可. 【详解】()()2155211x x f x x -++==-+++Q ，当()1,x ∈-+∞时，有()2f x >-. 因为()2xg x xe =，所以()()222212xx x g x exe x e '=+=+，当112x -<<-时，()0g x '<，函数()y g x =在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，当12x >-时，()0g x '>，函数()y g x =在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()1122g x g e ⎛⎫∴≥-=- ⎪⎝⎭，所以当1x >-时，()1,2g x e ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.若0m >，则()214422emg x em m e ⎛⎫≥⋅-=- ⎪⎝⎭，()2212m f x m >-. 根据题意可知222m m ->-，解得1m >；若0m ≤，则()(]24,2emg x m ∈-∞-，()2212m f x m >-，不符合条件.综上所述，实数m 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查函数不等式恒成立与能成立的综合问题，解题的关键就是将问题转化为函数最值相关的不等式来求解，同时也涉及了利用导数求函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，410S =，()112n n n S a S n +--=≥. （1）求n S ；（2）数列{}n b 满足124n n n b S -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）32n S n =-；（2）24133n n T n n -=-+. 【解析】（1）由题意得出()112n n n n a S S a n +-=-=≥，可得出当2n ≥时，23n a a ==，再由410S =求出1a 的值，即可求出n S 的表达式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，然后利用分组求和法结合等差数列、等比数列的求和公式求出n T . 【详解】（1）由题意得2n ≥时，11n n n n a S S a +-=-=，所以23n a a ==. 又4123413310S a a a a a =+++=+⨯=，得11a =， 所以()1211332n n S a a a n n =+++=+-⨯=-L ； （2）由（1）知()12324n n b n -=-+，所以()()0111421473244413214nn n T n n n --=⨯+++⋅⋅⋅+-++++=+-+-L 24133n n n -=-+. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了分组求和法对数列进行求和，考查计算能力，属于中等题.三、解答题18．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()cos 2cos a B c b A =-，3a =，2c =.（1）求角A ； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）3A π=；（2）2+. 【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求出cos A 的值，结合角A 的取值范围，可得出角A 的值；（2）由正弦定理可计算出sin C 的值，利用两角和的正弦定理计算出()sin sin B A C =+的值，然后利用三角形的面积公式可计算出ABC ∆的面积.【详解】（1）由正弦定理可得sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=. 因为()C A B π=-+，所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，()0,C π∈Q ，则sin 0C >，故1cos 2A =. 因为()0,A π∈，所以3A π=；（2）根据正弦定理有sin sin a c A C =，所以csin 3sin A C a ==. 因为a c >，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以26cos 1sin C C =-=， 所以()323sin sin sin cos cos sin 6B AC A C A C +=+=+=. 所以ABC ∆的面积11323sin 32226ABC S ac B ∆+==⨯⨯⨯3232+=. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求三角形中的角，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.19．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=o ，1122AB AA ==，E 、F 分别是线段1AA 、11C D 的中点.（1）求证：BD CE ⊥；（2）求平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）453151. 【解析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，利用菱形对角线的性质得出BD AC ⊥，由直棱柱的性质得出1AA ⊥平面ABCD ，可得出1BD AA ⊥，由直线与平面垂直的判定定理可证明出BD ⊥平面ACE ，由此可证明出BD CE ⊥；（2）以O 为坐标原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -，然后利用空间向量法计算出平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）连接AC ，交BD 于点O .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD . 因为BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥. 因为1AA AC A =I ，所以BD ⊥平面ACE . 因为CE ⊂平面ACE ，所以BD CE ⊥；（2）由（1）知AC BD ⊥，以O 为坐标原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -.因为1122AB AA ==，所以14AA =，因为底面四边形ABCD 为菱形，且60BAD ∠=o ， 所以2AB AD BD ===，23AC =又因为E 、F 分别是线段1AA 、11C D 的中点， 所以()3,0,0C -，()3,0,2E，31,42F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()23,0,2CE =u u u r，31,42CF ⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r .设平面CEF 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则232031402nCE x z n CF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v . 令3x =，得()3,21,3n =--r.易知()0,0,1m =u r为平面ABCD 的一个法向量.设平面ABCD 与平面CEF 所成的锐二面角为θ，所以()()()()()2223,21,30,0,1453cos 1514533213m n m nθ--⋅⋅====⋅+-+-u r r u r r ， 所以平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值为453151. 【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量来计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[)30,40、[)40,50、[)50,60、[)60,70、[]70,80分组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求a 的值，并求该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；（2）现从年龄在[)50,60、[]70,80的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示参与座谈的居民的年龄在[]70,80的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()0,1,2,,20k P k =⋅⋅⋅，当k P 最大时，求k 的值.【答案】（1）0.02a =，平均年龄54.5；（2）分布列见解析，()34E X =；（3）8k =. 【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，求出a 的值，再将所有矩形底边中点值乘以矩形面积，再将所得的数相加即可得出该社区2019年国庆活动的居民的平均年龄；（2）先根据分层抽样得知，所抽取的8人中，年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人，可得出随机变量X 的可能取值为0、1、2，并利用古典概型的概率公式计算出随机变量X 分别取0、1、2时的概率，列出随机变量X 的分布列，并利用数学期望公式计算出随机变量X 的数学期望；（3）设年龄在[)30,50的人数为Y ，可知()~20,0.4Y B ，利用独立重复试验的概率公式得出()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk k k P P Y k k -===⋅⋅-=L ，分析出数列{}()020,k P k k N ≤≤∈的单调性，可求出k P 的最大值及对应的k 的值.【详解】（1）由频率分布直方图知()0.0050.0100.0300.035101a ++++⨯=，解得0.02a =， 所以该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄为()0.005350.035450.030550.020650.0107510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯54.5=；（2）年龄在[)50,60的人数为0.0301010030⨯⨯=，年龄在[]70,80的人数为0.010*******⨯⨯=.根据分层抽样，可知年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人.所以X 的可能取值为0，1，2，且()3062385014C C C P X ===，()21623811528C C C P X ===，()1262383228C C C P X ===，所以X 的分布列为所以()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=； （3）由题可知年龄在[)30,50内的频率为()0.0050.035100.4+⨯=. 设年龄在[)30,50的人数为Y ，所以()~20,0.4Y B .()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk kk P P Y k k -===⋅⋅-=L .设()()202021111200.410.40.410.4kkk k k k k k C C P t P -----⋅⋅-==⋅⋅-()()2211,2,,203k k k-==L ，由1t >得8.4k <，此时1k k P P -<；由1t <得8.4k >，此时1k k P P ->. 所以当8k =时，k P 最大. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的计算、同时也考查了超几何分布列与二项分布的应用，在解题时要弄清随机变量所服从的概率分布类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴长与焦距分别为方程2680x x -+=的两个实数根.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过点()4,0M -且与椭圆相交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点，当ABF ∆面积最大时，求直线l 的斜率.【答案】（1）22143x y +=；（2）14±. 【解析】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，解方程2680x x -+=，可求出a 、c 的值，进而求出b 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程为4x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆的标准方程联立，列出韦达定理，求出ABF ∆的面积关于m的表达式，换元)0t t =>，利用基本不等式求出ABF ∆面积的最大值，利用等号成立的条件求出m 的值，即可得出直线l 的斜率. 【详解】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由2680x x -+=可得12x =，24x =，所以24a =，22c =，即2a =，1c =.所以2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）设直线l 的方程为4x my =-，设()11,A x y 、()22,B x y ，与椭圆方程联立得224143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()223424360m y my +-+=.则()()2225764363414440m m m ∆=-⨯+=->，所以24m >. 由根与系数的关系知1222434m y y m +=+，1223634y y m =+，所以1232ABFS y y ∆=-=.①令)0t t =>，则①式可化为21818163163ABF t S t t t ∆==++4≤=. 当且仅当163t t =，即t =时，等号成立.此时3m =±，所以直线l的斜率为14±. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，在求最值时，一般利用基本不等式或函数单调性求解，考查运算求解能力，属于中等题. 22．已知a R ∈，函数()211xe a xf x x =--+.（1）若0a =，证明：当1x <时，()0f x ≤； （2）若0x =是()f x 的极小值点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【解析】（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式，得出()11xxx e f =--，构造函数()()()()111xg x x f x x e =-=--，利用导数求出函数()y g x =的最大值为()00g =，从而可证明出所证不等式成立；（2）分0a =、0a <和0a >三种情况讨论，分析函数()y f x =的导函数()y f x '=在0x =附近符号的变化，结合条件“0x =是()y f x =的极小值点”，可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）若0a =，()11xxx e f =--. 设函数()()()()111xg x x f x x e =-=--，则()xg x xe '=-.当0x <时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，所以，函数()y g x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减. 所以在(),1-∞上，()()00g x g ≤=.又因为当1x <时，10x ->，所以当1x <时，()()01g x f x x=≤-； （2）（i ）若0a =，由（1）可知当1x <时，()()00f x f ≤=，这与0x =是()y f x =的极小值点矛盾.（ii ）若0a <，对于方程210ax x -+=，因为140a ∆=->，且10a<， 故方程有两个实根1x 、2x ，且满足120x x <<. 当12x x x <<时，2110x ax x -≥-+>， 结合（1），可得()()2110011xxf e e f a x x x x=-≤-≤=-+-. 这与0x =是()y f x =的极小值点矛盾.（iii ）若0a >，设函数()()()()22111xax x f x ax h x x e =-+=-+-.由于当1x <时，210ax x -+>，故()y h x =与()y f x =符号相同.又()()000h f ==，所以0x =是()y f x =的极小值点等价于0x =是()y h x =的极小值点.()()21221x x a ax a x e a a h x x x e '-⎛⎫⎡⎤=+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭. 由()0h x '=得，0x =或12ax a-=. 如果120a a ->，则当0x <时，()0h x '>，当120ax a-<<且1x <时，()0h x '<，所以0x =不是()y h x =的极小值点. 如果120a a-=，则当1x <时，()0h x '≥，所以0x =不是()y h x =的极小值点. 如果120a a -<，则当120a x a-<<时，()0h x '<，当01x <<时，()0h x '>，所以0x =是()y h x =的极小值点，从而0x =是()y f x =的极小值点，此时12a >. 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中等题.。

2020届全国天一大联考新高考原创精准预测考试（三）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 1.已知集合A ＝{x |x 2－3x －4≤0}，B ＝{x |－2<x ≤2}，则A ∩B 等于( )A. {x |－1≤x ≤4}B. {x |－2≤x ≤4}C. {x |－2≤x ≤1}D. {x |－1≤x ≤2}2.设x ∈R ，则“x 2＋2x －3>0”是“x <－3”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x －7x ＋2b (b 为常数)，则f (－2)等于( )A.6B. －6C.4D.－4 4.若a ＝40.9，b ＝80.48，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则 ( )A. c >a >bB.b >a >cC.a >b >cD.a >c >b5. 函数f (x )＝ln(|x |－1)＋x 的大致图象为( )A B C D6. 函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 7. 设函数.32()(1)f x x a x ax =+-+若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．y x =C ．2y x =D ．y x =-8. 若函数f(x)＝2x 2－kx ＋5在区间［5，8］上是单调函数，则k 的取值范围是 ( )A ．(－∞，20］B ．（20，32）C ．(－∞，20]∪[ 32，＋∞)D ．[32，＋∞) 9.设满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A. -4B. -2C. 0D. 2 10.若正数满足，当取得最小值时，的值为（ ）A. B. 2 C. D. 511.已知函数f(x)＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为6，则数对(a ，b)为( ) A . (－2，5) B . (－19，4) C . (4，－19) D . (－2，5)或(4，－19)12. 已知函数，则方程=0实根的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答．．．．．．．．．．．题．.） 13.函数y ＝x ＋1＋12－x的定义域为_________________． 14.已知函数f(x)＝ln (1＋x 2－x)＋1，f(a)＝3，则f(－a)＝________． 15.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0.若f (a )＝12，则a ＝________.16.已知函数在上连续，对任意都有；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；若，则实数的取值范围是_____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的．．．．．．相应区域答题．．．．．．.） 17.（ 12分）在等差数列{a n }中，a 2＝4，前4项和为18.(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 设，求数列{b n }的前n 项和T n .18. （ 12分）已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋2，a ∈R.(1) 若不等式f (x )≤0的解集为[1，2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2) 若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1，2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．19. （ 12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20. （ 12分）已知函数f(x)＝x ln x ，g(x)＝－x 2＋ax －2.(1) 若曲线f(x)＝x ln x 在x ＝1处的切线与函数g(x)＝－x 2＋ax －2也相切，求实数a 的值； (2) 求函数f(x)在⎣⎡⎦⎤t ，t ＋14(t>0)上的最小值． 21. （ 12分） 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1) 求f(50)的值；(2) 试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？ 22. （ 10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求曲线C 的极坐标方程；(2) 若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ＝π6(ρ∈R)，θ＝2π3(ρ∈R)，设直线l 1，l 2与曲线C的交点为O ，M ，N ，求△OMN 的面积．高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.D2. B3. A4.D5. A6.B7.B8. C9.C 10. B 11.D 12.B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. [－1,2)∪(2，＋∞) 14. －115. 2或－1. 16.【详解】由可知函数关于直线对称；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；可知函数在区间上单调递减，由对称性可知函数在区间上单调递增，不妨设，则由可得，整理得，即，解得或，所以实数的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算17. （ 12分）【解答】 (1) 设等差数列{a n }的公差为d.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，4a 1＋4×32d ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1，所以a n ＝n ＋2 ……………5分 (2) 由(1)可得b n ＝n·2n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ①， 2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1 ②，①－②，得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2－2n ＋11－2－n ×2n ＋1＝(1－n)×2n ＋1－2，所以T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2. ……………12分18. （ 12分）【解答】 (1) 因为不等式f(x)≤0的解集为[1，2]，所以a ＝－3，所以f(x)＝x 2－3x ＋2.由f(x)≥1－x 2，得1－x 2≤x 2－3x ＋2， 解得x ≤12或x ≥1，所以不等式f(x)≥1－x 2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≤12或x ≥1.(2) 由题知函数g(x)＝2x 2＋ax ＋3在区间(1，2)上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，g （2）>0，1<－a4<2，a 2－24>0，解得－5<a<－26，所以实数a 的取值范围是(－5，－26)． 19. （ 12分）【解答】（1）设的中点为，连接，为的中点，所以为的中位线，则可得，且； 在梯形中，，且，，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．法二：设为的中点，连接，为的中点， 所以是的中位线，所以，又平面，平面，平面， 又在梯形中，，且，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，又，所以平面平面，又平面，平面．（2）设的中点为，又．因为平面平面，交线为，平面，平面，又由，，．即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系．已知点，设平面的法向量为：．则有，可得平面的一个法向量为，，可得：，所以直线与平面所成角的正弦值为．20. （ 12分）【解答】 (1) f′(x)＝ln x ＋x·1x ＝ln x ＋1，当x ＝1时，f′(1)＝1，f(1)＝0，所以f(x)在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝－x 2＋ax －2，得x 2＋(1－a)x ＋1＝0， 由题意可知，Δ＝(1－a)2－4＝0， 所以a ＝3或－1.(2) 由(1)知f′(x)＝ln x ＋1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增．①当0<t<t ＋14≤1e ，即0<t ≤1e －14时，f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫t ＋14＝⎝⎛⎭⎫t ＋14ln ⎝⎛⎭⎫t ＋14； ②当0<t<1e <t ＋14，即1e －14<t<1e 时，f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ； ③当1e ≤t<t ＋14，即t ≥1e时，f(x)min ＝f(t)＝t ln t.综上，f(x)min＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫t ＋14ln ⎝⎛⎭⎫t ＋14，0<t ≤1e －14，－1e ，1e －14<t<1e ，t ln t ，t ≥1e.21. （ 12分）【解答】 因为甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，所以f(50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5.(2) 由题知f(x)＝80＋42x ＋14(200－x)＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x ≤180，故f(x)＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ∈[25，65]，则f(t)＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f(x)max ＝282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．22. （ 10分）【解答】 (1) 由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2，得普通方程x 2＋(y －2)2＝4，所以极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.故曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2) 由直线l 1：θ＝π6(ρ∈R)与曲线C 的交点为O ，M ，得ρM ＝OM ＝4sin π6＝2.又直线l 2：θ＝2π3(ρ∈R)与曲线C 的交点为O ，N ，得ρN ＝ON ＝4sin 2π3＝2 3.因为∠MON＝π2， 所以S △OMN ＝12OM ·ON ＝12×2×23＝2 3.。