天一大联考2020-2021高三文科数学期末试卷

使用 主要玩游戏的人数为 ，而调查的总人数为 ， ，故超过 的大学生使用 主要玩游戏，所以②错误；
使用 主要找人聊天的大学生人数为 ，因为 ，所以③正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.
5．A
【解析】
【分析】
根据等比数列通项公式以及条件列方程解得公比.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 的图象与直线 交于 ， 两点，且 ，求实数m的取值范围.
22．已知平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，且直线 与曲线 交于 、 两点.
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ，点 ，求 的值.
x
2
4
6
8
10
y
20.9
20.2
19
17.8
17.1
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)根据(1)中的结果分析，为了保证平均每个加盟店的月营业额不少于14.6万元，则A地开设加盟店的个数不能超过几个?
参考公式:线性回归方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
19．如图，在四棱锥 中， ， .
23．已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据并集的定义可求出集合 .
【详解】
依题意， .
故选：D.
【点睛】
本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】

2020-2021学年河南省天一大联考高三（下）阶段性数学试卷（文科）（四）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.复数的共轭复数对应的点在复平面内的A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如图所示的圆盘的三条直径把圆分成六部分，往圆盘内任投一飞镖大小忽略不计，则飞镖落到阴影部分内的概率为A.B.C.D.4.已知命题p：，使得；命题q：若x，，且，则，下列命题为真命题的是A. B. C. D.5.已知非零向量，的夹角为，且满足，，则A. B. C. D.6.已知，且，则A. B. C. D.7.若函数的图象过点，直线向右平移个单位长度后恰好经过上与点M最近的零点，则在A. B. C. D.8.一个多面体的正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，如图所示，E、F是所在边的中点，则该多面体的表面积为A.B.C.D.9.已知双曲线的右焦点为F，直线l过F点与一条渐近线垂直，原点到l的距离等于虚轴的长，则双曲线的离心率为A. B. C. D.10.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点c，使得为的导函数，则函数在上这样的c点的个数为A. 1B. 2C. 3D. 411.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积为A. B. C. D.12.已知抛物没C：的焦点为F，准线为l，M，N为抛物线上的两点与坐标原点不重合，于A，于B，已知MN的中点D的坐标为，与的面积比为2：1，则p的值为A. 4B. 3C. 1D. 1或14.执行如图所示的程序框图，输出的______ .15.若x，y满足约束条件，则的取值范围为______ .16.在平面四边形PACB中，已知，，，沿对角线AB折起得到四面体，当PA与平面ABC所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为______ .17.已知公差不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列.求数列的通项公式；设的前n项和为，令，设数列的前n项和为，证明：18.为提高空气质量，缓解交通压力，某市政府推行汽车尾号单双号限行.交通管理部门推出两个时间限行方案，方案A：早晨六点到夜晚八点半限号；方案B：早晨七点到夜晚九点限号.现利用手机问卷对600名有车族进行民意考察，考察其对A，B 方案的认可度，并按年龄段统计，岁为青年人，岁为中年人，人数分布表如下：年龄段人数180********现利用分层抽样从上述抽取的600人中再抽取30人，进行深入调查.若抽取的青年人与中年人中分别有12人和5人同意执行B方案；其余人同意执行A方案，完成下列列联表；并判断能否有的把握认为年龄层与是否同意执行方案A有关；同意执行A方案同意执行B方案总计青年12中年5总计30若从同意执行B方案的4个青年人和2个中年人中，随机抽取3人进行访谈，求抽取的3人中青、中年都有的概率.参考公式：，其中参考数据：19.如图，在直三棱柱中，，，，E为棱的中点，O为BE上一点，证明：；求C到平面的距离.20.已知椭圆C：的离心率为，椭圆的右焦点与右顶点及上顶点构成的三角形面积为求椭圆C的标准方程.已知直线与椭圆C交于A，B两点，若点Q的坐标为，向：是否存在k，使得？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.21.已知函数若函数在上存在单调递减区间，求a的取值范围；当时，证明：对任意，恒成立.22.在直角坐标系中，直线l的参数方程为其中t为参数，为常数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，射线的极坐标方程为，射线与曲线C交于O，M两点.写出当时l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；在的条件下，若射线与直线l交于点N，求的取值范围.23.已知函数在的条件下，对任意a，，若，求的最小值.答案和解析【答案】1. D2. A3. B4. B5. D6. D7. C8. B9. B10. A11. C12. C13.14. 2515.16.17. 解：公差d不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列．，，成等比数列，，10，成等差数列．，，，，解得：，证明：，数列的前n项和为……，18. 解：因为参与调查的600人中，青年人所占的概率为，中年人所占的概率为，所以抽取的30人中，青年人有人，中年人有人，补充完整的列联表如下，同意执行A方案同意执行B方案总计青年61218中年7512总计131730所以，从同意执行B方案的4个青年人和2个中年人中，随机抽取3人，共有种可能结果，抽取的3人中青中年都有，包含2种情况：①1个青年，2个中年，有种；②2个青年，1个中年，有种，记C为事件“抽取的3人中青中年都有“，则19. 证明：，，，，则，在直三棱柱中，平面平面，平面平面，，平面ABC，则平面，可得，为的中点，且，可得，而，，得，又，平面BEC，而平面BEC，可得；解：由，同可证得平面，又平面，到平面的距离等于A到平面的距离等于1，，，，，可得，则，设C到平面的距离为h，由，得，解得：到平面的距离为20. 解：设椭圆C 的半焦距为由题意可知，即，代人，得所以又，所以，，故椭圆C的标准方程为直线与椭圆方程联立方程组得消去y 得，设，，则，是方程的两根，，所以故不存在k，使得21. 解：，若函数在上存在单调递减区间，则存在使得任意，，即，所以所以a的取值范围证明：因为，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，所以，即，所以，即22. 解：当时l的参数方程为：，普通方程为，所以l的极坐标方程为；C的极坐标方程为，，所以曲线C的参数方程为：因为，所以，，，，所以的取值范围为23. 解：当时，原不等式可转化为，即，解得舍；当时，原不等式可转化为，即，解得，所以；当时，原不等式可转化为，即，，所以综上所述，不等式的解集为所以不等式的最小整数解由得a，，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为【解析】1. 解：，，故选：可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，二次函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．2. 解：复数的共轭复数对应的点在复平面内的第一象限，故选：利用复数的运算法则、共轭复数复数的定义、复数的几何性质即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数复数的定义、复数的几何性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：因为圆盘的三条直径把圆分成六部分，其中阴影部分与空白部分的面积相等，故飞镖落到阴影部分内的概率为故选：根据几何概型的公式，即求解阴影部分面积占圆盘面积的比例，求解即可，本题考查了几何概型的求解，解题的几何概型问题一般会转化为求解长度之比、面积之比、体积之比，属于基础题．4. 解：根据题意，对于命题p，，都有，则恒成立，而，故不存在x，使得成立，p是假命题，对于q，若x，，且，则，必有，q是真命题，则、、都是假命题，是真命题，故选：根据题意，分析命题p和q的真假，由复合命题真假的判断方法分析可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及全称命题、特称命题真假的判断，属于基础题．5. 解：因为，，所以，所以，所以，解得，，则故选：由已知结合向量垂直的条件可求，然后结合向量数量积的定义可求．本题主要考查了向量数量积的定义及性质的应用，属于基础题．6. 解：因为，可得，即，解得，或舍去，又因为，所以故选：利用二倍角公式化简已知等式可得，解方程可得的值，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式即可求解的值．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．7. 解：函数的图象过点，直线向右平移个单位长度后恰好经过上与点M最近的零点，，结合五点法作图可得，求得，令，求得，可得函数的增区间为，则在上的单调递增区间为，故选：由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出的解析式，进而求出它在上的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8. 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥体构成；如图所示：故，，所以，所以故选：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9. 解：双曲线的渐近线方程为：，右焦点坐标，则焦点到直线的距离为：，原点到l的距离等于虚轴的长，可得，可得，即，解得故选：利用已知条件推出c，b关系，然后转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．10. 解：函数，则，由题意可知，存在点，使得，即，所以，，作出函数和的图象，如图所示，由图象可知，函数和的图象只有一个交点，所以，只有一个解，即函数在上c点的个数为1个．故选：利用已知定义得到存在点，使得，转化为研究函数数和图象的交点个数，作出函数图象即可得到答案．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，属于中档题．11. 【分析】本题主要考查解三角形的应用，运用了角化边的思想，熟练掌握正弦定理、正弦面积公式、余弦定理和二倍角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．根据二倍角公式和正弦定理可得，再结合余弦定理可求得b的值，从而得，最后由，得解．【解答】解：，，由正弦定理知，，，即由余弦定理知，，解得，，，，的面积故选：12. 解：设MN交x轴于点R，l交x轴于点S，由与的面积比为2：1，则，由于M，N不是原点，则，又MN的中点D的坐标为，则直线MN的斜率存在，设MN方程为，，，联立，即，，，又，，代入得，故选：由题意可将与的面积表示出来，再用等量关系即可解出p的值．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线相交，属于基础题．13. 解：函数，则当时，根据，可得它的最大值当时，根据，综上，可得的最大值为，故答案为：由题意利用分段函数的单调性，求出它的最大值．本题主要考查分段函数的应用，函数的单调性和最值，属于中档题．第一次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，，，，满足退出循环的条件；故输出S值为25，故答案为：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15. 解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影所示：把目标函数变形为，则直线经过点A时z取得最小值，经过点B 时z取得最大值，由，解得，由，解得，所以，所以的取值范围是故答案为：画出不等式组表示的可行域，把目标函数变形为直线的斜截式，根据其在y轴上的截距即可求出取值范围．本题考查利用线性规划求函数的最值问题，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题．，作，垂足为E，所以，，因为，，所以，即，设P到平面ABC的距离为h，AP与平面ABC的夹角为，则，当h最大时，取得最大值，设O为外接球球心，O到平面ABC的距离d，，所以O在过外心且垂足于面ABC的直线上，外心为AC的中点，，解得，，故答案为：由题意先确定外接球的球心位置，然后结合球的性质求出满足题意的外接球半径，即可求解．本题主要考查了四面体的外接球的半径求解，解题的关键是确定外接球的球心及半径，属于中档题．17. 公差d不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列．可得，，利用通项公式可得：，，解得，d，即可得出由可得可得，利用裂项求和方法即可得出数列的前n项和为，进而证明结论．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18. 先补充完整列联表，再计算K的观测值，并与附表对照，即可得出结论；抽取的3人中青中年都有，包含2种情况：①1个青年，2个中年；②2个青年，1个中年，再结合组合数与古典概型，即可得解．本题考查了独立性检验、古典概型和组合数的应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．19. 由已知求解三角形证明，进一步得到，求解三角形证明，可得平面BEC，可得；证明E到平面的距离等于A到平面的距离等于1，求出三角形的面积，然后利用等体积法求C到平面的距离．本题考查直线与平面垂直的判定及性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求得到平面的距离，是中档题．20. 根据题意建立两个关于a，b，c的方程，进而解出a，b，c即可求椭圆C的标准方程；联立直线与椭圆C，结合韦达定理求出即可得答案．本题主要考查椭圆的方程与性质，直线与椭圆的位置关系．属于中档题．21. 对求导得，若函数在上存在单调递减区间，则存在使得任意，，即，即可解得a的取值范围．先分析的单调性，由，推出，得，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，不等式的证明，属于中档题．22. 根据参数方程和极坐标方程基本概念求解；首先用表示和，再用三角函数值域确定取值范围．本题考查了参数方程化极坐标方程，考查了极坐标方程化参数方程，属于中档题．23. 零点分段求解不等式，即可得m的值；由，，利用乘“1”法及基本不等式即可求得W的最小值．本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．。

2021届河南省天一大联考高三阶段性测试数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集*U N =，集合{}{}1,2,3,5,2,4,6A B ==，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{}2,4,6C ．{}4,6D ．{}1,3,5 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足()1i z i -=，则z 的虚部是（ ） A ．12-B ．12C ．12iD ．12i - 3.若2cos 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()cos 2πα-= （ ） A ．59 B ．59- C ．29 D ． 29- 4.“113x⎛⎫< ⎪⎝⎭”是“11x >”的（ ）A ．充分且不必要条件B ．既非充分也非必要条件 C. 充要条件 D ．必要且不充分条件 5.在区间[]0,1上任选两个数x 和y ，则21y x ≥- ）A ．16π-B ．6πC. 14π-D ．4π6. 将函数cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向右平移()0m m >个单位长度得到点P '，若P '位于函数cos 2y x =的图象上，则（ ）A ．3t m =的最小值为6πB ．3t m =的最小值为12π C. 1,2t m =-的最小值为6π D ．1,2t m =-的最小值为12π7.执行如图所示的程序框图，若输入4,3m t ==，则输出y = （ ）A ．184B ．183 C. 62 D ．61 8.函数()2af x x x =+（其中a R ∈）的图象不可能是（ ） A ． B ．C. D ．9.已知M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，F 是抛物线C 的焦点.若,MF p K =是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则MKF ∠=（ ）A ．60°B ．45° C. 30° D ．15°10.已知P 为矩形ABCD 所在平面内一点，4,3,5,25AB AD PA PC ====，则PB PD = （ ） A ．0 B ．-5或0 C. 5 D ．-511.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．3π C. 2π D ．π12.已知函数()2,01,0x e x f x x ax x ⎧≤=⎨++>⎩，()()1F x f x x =--，且函数()F x 有2个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ． [)1,+∞ C. ()0,+∞ D ．(),1-∞第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线30x y -+=平行，则此双曲线的离心率为 ．14.若实数,x y 满足1002x y x y --≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则221y x +的最小值是 ．15.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米 斛.（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率3π≈） 16.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,a b a c >>.ABC ∆的外接圆半径为1，3a =若边BC 上一点D 满足2BD DC =，且090BAD ∠=，则ABC ∆的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*21n n a S n N =+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[)[)[)[)[)[)0,100,100,200,200,300,300,400,400,500,500,600，[)[)[]600,700,700,800,800,900分成9组，制成了如图所示的频率直方图.（1）求直方图中m 的值并估计居民月均用电量的中位数；（2）现从第8组和第9组的居民中任选取2户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率. 19. 如图，在四棱锥A BCDE -中，CD ⊥平面,//,,,ABC BE CD AB BC CD AB BC M ==⊥为AD 上一点，EM ⊥平面ACD . （1）求证：//EM 平面ABC ；（2）若2CD =，求四棱锥A BCDE -的体积.20.已知圆22:1O x y +=过椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的短轴端点，,P Q 分别是圆O 与椭圆C 上任意两点，且线段PQ 长度的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,t 作圆O 的一条切线交椭圆C 于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21.已知函数()2ln 2af x x x =-的图象在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为0. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()12g x f x mx =+，在区间()1,+∞上没有零点，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）判断直线l 与圆C 的交点个数；（2）若圆C 与直线l 交于,A B 两点，求线段AB 的长度. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()22f x x x m m R =+--+∈. （1）若1m =，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若方程()f x x =有三个实根，求实数m 的取值范围.2021届河南省天一大联考高三阶段性测试数学（文）试题参考答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DBCBA 11、12：BD二、填空题14.43三、解答题17.解析：（1）当1n =时，1112121a S a =+=+，解得11a =-. 当2n ≥时，1121,21n n n n a S a S --=+=+，两式相减得12n n n a a a --=，化简得1n n a a -=-，所以数列{}n a 是首项为-1，公比为-1的等比数列，可得()1nn a =-.（2）由（1）得()()211nn b n =--， 下面提供三种求和方法供参考：（错位相减法）()()()()()123113151211nn T n =-+-+-++--，()()()()()()2311131231211nn n T n n +-=-+-++--+--，两式相减得()()()()()23121212121211nn n T n +=-+-+-++----()()()()()()211111122112111n n n n n -+⎡⎤-⨯--⎣⎦=-+⨯---=---，所以数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.（并项求和法）当n 为偶数时，12n n b b -+=，22n nT n =⨯=； 当n 为奇数时，1n +为偶数，()()11121n n n T T b n n n ++=-=+-+=-. 综上，数列{}n b 的前n 项和,,n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数为奇数.（裂项相消法）因为()()()()()1211111nnn n b n n n +=--=----，所以()()()()()()()1223101111121111nn n T n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---+---++----⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()110111n nn n +=---=-，所以数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.18.【解析】（1）()11000.00040.00080.00210.00250.00060.00040.00022100m -⨯++++++=⨯， ∴0.0015m =.设中位数是x 度，前5组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5++++=>， 而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=<，所以400500x <<，0.50.484001000.25x --=⨯，故408x =，即居民月均用电量的中位数为408度.（2）第8组的户数为0.00041001004⨯⨯=，分别设为1234,,,A A A A ，第9组的户数为0.00021001002⨯⨯=，分别设为12,B B ，则从中任选出2户的基本事件为()()1213,,A A A A ，，()()1411,,A A A B ，，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31,A B ， ()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种.其中两组中各有一户被选中的基本事件为()()()()11122122,,,,,,A B A B A B A B ，()()3132,,,A B A B ，()()4142,,,A B A B ，共8种.所以第8，9组各有一户被选中的概率815P =. 19.【解析】（1）取AC 的中点F ，连接BF ，因为AB BC =，所以BF AC ⊥， 因为CD ⊥平面ABC ，所以CD BF ⊥，又ACCD C =，所以BF ⊥平面ACD ，因为EM ⊥平面ACD ，所以//EM BF ，又EM ⊄平面,ABC BF ⊂平面ABC ，所以//EM 平面ABC .（2）连接MF ，因为//,BE CD BE ⊄平面,ACD CD ⊂平面ACD ，所以//BE 平面ACD ， 又平面BEMF ⋂平面ACD MF =，所以//BE MF ，由（1）知//EM BF ，所以四边形BEMF 为平行四边形，所以BE MF =.因为F 是AC 的中点，所以M 是AD 的中点， 所以112BE MF CD ===. 因为CD ⊥平面ABC ，所以CD AB ⊥， 又BC AB ⊥，所以AB ⊥平面BCDE . 所以四棱锥A BCDE -的体积()11112222332A BCDE BCDE V S AB -=⨯=⨯⨯+⨯⨯=. 20.【解析】（1）∵圆O 过椭圆C 的短轴端点，∴1b =，又∵线段PQ 长度的最大值为3， ∴13a +=，即2a =，∴椭圆C 的方程为2214y x +=.（2）由题意可设切线MN 的方程为y kx t =+，即0kx y t -+=1=，得221k t =- ①联立得方程组2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2224240k x ktx t +++-=. 其中()()()222222444161664480kt k t t k ∆=-+-=-++=>，设()()1122,,,M x y N x y ，则12224kt x x k -+=+，212244t x x k -=+，则21616t MN -+=②将①代入②得MN =112OMN S MN ∆=⨯⨯=1，等号成立当且仅当3t t =，即t =.综上可知：()max 1OMN S ∆=. 21.【解析】（1）()2ln 2a f x x x =-的定义域为()0,+∞，()22af x x x'=-， 因为1102f a ⎛⎫'=-=⎪⎝⎭，所以()()()()22121111,ln ,2222x x a f x x x f x x x x -+'==-=-=. 令()0f x '>，得12x >，令()0f x '<，得102x <<， 故函数()f x 的单调递增区间是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）()211ln 22g x x x mx =-+，由()214120222m x mx g x x x x +-'=-+==，得x =，设0x =，所以()g x 在(]00,x 上是减函数，在[)0,x +∞上为增函数.因为()g x 在区间()1,+∞上没有零点，所以()0g x >在()1,+∞上恒成立，由()0g x >，得1ln 22x m x x >-，令ln 2xy x x=-，则22222ln 22ln 4144x x x y x x ---'=-=， 当1x >时，0y '<，所以ln 2xy x x =-在()1,+∞上单调递减， 所以当1x =时，max1y =-，故112m ≥-，即[)2,m ∈-+∞.22.【解析】（1）消去参数得直线l10y +-=， 由2sin ρθ=得圆C 的直角坐标方程为2220x y y +-=. 因为圆心()0,1在直线l 上，所以直线l 与圆C 的交点个数为2.（2）由（1）知AB 为圆C 的直径，而圆C 的直径可求得为2，所以2AB =. 23.【解析】（1）∵1m =时，()221f x x x =+--+. ∴当2x ≤-时，()3f x =-，不可能非负，当22x -<<时，()21f x x =+，由()0f x ≥可解得12x ≥-，于是122x -≤<. 当2x ≥时，()50f x =>恒成立. ∴不等式()0f x ≥的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由方程()f x x =可变形为22m x x x =+--+.令()4,222,224,2x x h x x x x x x x x +<-⎧⎪=+--+=--≤≤⎨⎪->⎩，作出图象如图所示于是由题意可得22m -<<.。

天一大联考2020-2021学年高中毕业班阶段性测试(三)文科数学一､选择题1. 已知集合{}2540A x x x =-+<，{}13B x x =-<<，则A B =（ ）A. {}13x x <<B. {}14x x -<<C. {}11x x -<<D. {}34x x <<A解出集合A ，利用交集的定义可求得集合A B .由2540x x -+<得14x <<，所以{}14A x x =<<，所以{}13A B x x ⋂=<<.故选：A. 2. 已知53zi i =+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限D根据复数运算求出z ，将写出复数点的坐标，判断象限. 解：因为53zi i =+，所以313iz i i+==-， 所以z 在复平面内对应的点为()1,3-，z 在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．3. 某超市今年1月至10月各月的收入、支出（单位：万元）情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）A. 收入和支出最低的都是4月B. 利润（收入 支出）最高为40万元C. 前5个月的平均支出为50万元D. 收入频数最高的是70万元D根据折线图提供的数据判断各选项．解析对于A，由折线图知，收入和支出最低的都是4月，故A正确. 对于B，利润最高的是7月份，为40万元，故B正确.对于C，前5个月的支出(单位：万元)分别为50，70，40，30，60，平均数为50万元，故C正确.对于D，收入(单位：万元)为100，90，80，70，60，50的频数分别为1，3，2，2，1，1，因此收入频数最高的为90万元，D错误.故选：D．4. 三国时期的吴国数学家赵爽根据一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，他所绘制的勾股圆方图被后世称为“赵爽弦图”.如图所示的图形就是根据赵爽弦图绘制而成的，图中的四边形都是正方形，三角形都是相似的直角三角形，且两条直角边长之比均为2.现从整个图形内随机取一点，则该点取自小正方形（阴影部分）内的概率为（）A. 19B.125C.116D.136B本题首先可给各点加上标签，然后设HL x，计算出正方形HEFG的面积以及正方形IJKL的面积，再然后用同样的方法算出正方形ABCD的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出结果.如图，给各点加上标签：设HL x ，则2EL x ，5HE x ，正方形HEFG 的面积为25x ，正方形IJKL 的面积为2215422x x x x ，则正方形IJKL 的边长为x ， 同理可得5AE x =，25DEx ，5AD x =，则正方形ABCD 的面积为225x ， 故该点取自小正方形内的概率2212525x Px ，故选：B .5. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则其解析式可以是（ ）A. ()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. ()52sin 26πx x f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C. ()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()22sin 3x πx f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B由图象可得出函数()f x 的最小正周期，可得出ω的值，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 的解析式，可得出ϕ的表达式，由此可得出函数()f x 的解析式.由图知()f x 的最小正周期54126⎛⎫=-= ⎪⎝⎭T πππ，22T πω∴==，可得2ω=±， 若2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+，2sin 22sin 2663f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，sin 13πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，可得()232k k Z ππϕπ+=+∈，解得()26k k Z πϕπ=+∈，此时，()2sin 222sin 266f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若2ω=-，则()()2sin 2f x x ϕ=-+，2sin 22sin 2663f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，sin 13πϕ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，可得()232k k Z ππϕπ-+=+∈，解得()526k k Z πϕπ=+∈，此时，()552sin 222sin 266f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B. 方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.6. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足1314a a =，241a a =，则11a =（ ） A. 64 B. 128C. 256D. 512C设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，根据已知条件求得1a 、q 的值，由此可求得11a 的值.设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，由已知条件可得22131********a a a q a a a q ⎧==⎪⎨⎪==⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，101081111222564a a q ==⨯==.故选：C.7. 已知变量y 关于变量x 的回归方程为0.5ˆbx ye -=，其一组数据如下表所示：若9.1ˆye =，则x =（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8B【分析】先通过对0.5ˆbx ye -=两边同时取对数转化为线性关系，然后求出样本点中心，进而可求出b ，则可得 1.60.5ˆx ye -=，再令 1.60.59.1x e e -=可得x 的值. 解：由ˆy =e bx -0.5，得ln ˆy =bx -0.5，令z =ln y ，则ˆz =bx -0.5. 12344x +++==2.5，13464z +++==3.5，因为(x z ，)满足ˆz =bx -0.5， 所以3.5=b ×2.5-0.5，解得b =1.6，所以ˆz =1.6x -0.5，所以 1.60.5ˆx ye -=，令 1.60.59.1x e e -=，解得6x =.故选：B. 关键点点睛：对于非线性回归方程，需要通过变形转化为线性方程，然后才能通过公式求解. 8. 已知直线l ：340x y m -+=与圆C ：226430x y x y +-+-=有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A. ()3,37 B. []37,3-C. []3,4D. []4,4-B由直线与圆有公共点转化为圆心到直线的距离小于等于半径即可求解. 因为圆C 的标准方程为()()223216x y -++=， 所以()3,2C -，半径4r =，所以点C 到直线:340l x y m -+=175m+=，根据题意可知1745m+≤，解得373m -≤≤.故选：B9. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 42B. 42-C. 170-D. 682-C根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 因为1i =，0S =，第一次循环：()1022S =+-=-，123i =+=； 第二次循环：()32210S =-+-=-，325i =+=； 第三次循环：()510242S =-+-=-，527i =+=；第四次循环：()7422170S =-+-=-，7298i =+=>，终止循环， 所以输出S 的值为170-.故选：C.10. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（ ） A. 8 B. 4 C. 83 D. 3A设122F F c =，求出1AF ，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F . 设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则223b c a a =-， 所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形， 四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.故选：A. 关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.11. 若实数a ，b 满足22a a =-，()2log 13b b -=-，则a b +=（ ） A. 3 B.103C.72D. 4A由题可得a 和3b -是方程22x x +=的两个根，根据方程22x x +=有唯一实根可得3a b =-. 由条件可知22a a +=，312b b --=，即()3232bb -+-=，即a 和3b -是方程22x x +=的两个根，因为函数2x y x =+在R 上单调递增，因此方程22x x +=有唯一实根， 所以3a b =-，因此3a b +=.故选：A.本题考查与对数指数相关的方程，解题的关键是得出a 和3b -是方程22x x +=的两个根.12. 某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为23π，面积为3π的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）A. 64B.2716πC.98π D.32π C由已知可求出圆锥母线长，进而求出底面半径和圆锥的高，再由勾股定理即可求出球半径，得出球表面积.解析设圆锥的母线长为l ，则侧面积212233S l ππ=⨯=，所以1l =. 设圆锥的底面半径为r ，则223r l ππ=，所以13r =，所以圆锥的高3h ===因为h r >，所以球心在圆锥的高上.设外接球的半径为R ，由()222R h R r =-+，得222133R R ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得R ，所以球的表面积为2294488R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.本题考查圆锥外接球问题，解题的关键是正确建立球内勾股关系，求出球半径. 二､填空题13. 已知x 、y 满足约束条件2360330330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则32z x y=-的最大值为______.152作出不等式组2360330330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩所表示的可行域，平移直线32z x y =-，找到使得该直线在x 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.如图所示，作出不等式组2360330330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域，平移直线32z x y =-，解方程组330330x y x y +-=⎧⎨++=⎩，得3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即33,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线32z x y =-经过点A 时，直线32z x y =-在x 轴上的截距最大，此时，目标函数32z x y =-取得最大值，所以max 331532222z ⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭.故答案为：152. 思路点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属于简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14. 已知1,0A ，(),2B m ，()0,5C ，若254AB BC ⋅=，则m =______. 12由向量数量积的坐标表示计算．解：由条件得()1,2AB m =-，(),3BC m =-，所以()()2251,2,364AB BC m m m m ⋅=-⋅-=-++=，解得12m =. 故答案：12． 15. 已知曲线2x y e x =++在点()()0,0f 处的切线与曲线27y x kx =++也相切，则实数k =______.2-或6【分析】首先利用导数的几何意义得到切线方程为23y x =+，再根据直线23y x =+与抛物线27y x kx =++相切，即可得到()2Δ2160k =--=，从而得到答案.()2x f x e x =++，则()1x f x e '=+，()0012f e '=+=，又因为()03f =，所以切线方程为23y x =+， 因为直线23y x =+与抛物线27y x kx =++相切， 所以方程2723x kx x ++=+有两个相等的实数根，()2Δ2160k =--=，解得2k =-或6.故答案为：2-或616. 已知抛物线C ：22y px =（0p >），以()2,0P -为圆心，半径为5的圆与抛物线C 交于A ，B 两点，若17OA =（点O 为坐标原点），则p =______.8在AOP 中，利用余弦定理求得cos AOP ∠，进而得到cos AOx ∠，然后由17OA =，求得点A 的坐标，代入抛物线方程求解. 如图所示：在AOP 中，5AP =，2OP =，17OA =由余弦定理得22217cos 217OP OA AP AOP OP OA +-∠==-⋅， 所以17cos AOx ∠=，所以()1,4A ，代入方程()220y px p =>，解得8p =. 故答案为：8 三､解答题17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin 2A B a b ca b abc+-+=. （1）求sin C 和cos C ；（2）若a =，ABC 的面积为2，求c .（1）sin C =cos C =（2）c =（1）由正弦定理和余弦定理、结合同角三角函数的基本关系可得出关于sin C 、cos C 的方程组，结合()0,C π∈可求得sin C 和cos C 的值；（2）由三角形的面积公式可求得ab =，再由a =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.（1）由余弦定理，222sin sin 2A B a b c a b abc+-+=可化为sin sin cos A B C a b c +=， 再由正弦定理可得sin sin cos 2sin sin sin A B CA B C+==，又因为22sin cos 1C C +=，()0,C π∈，可得sin C =，cos C =；（2）因为1sin 22ABC S ab C ==△，所以ab =，因为a =，所以a =2b =.由余弦定理得2222cos 2042285c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，所以c =方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，15a =，10185S =，115a b =，3221a b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T . （1）32n a n =+，112n n b -=；（2）138162n n -+-. （1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由等差数列前n 项和公式求得d 后可得通项公式n a ，然后求得12,b b ，得公比q ，得通项公式n b ； （2）用错位相减法求和n T ．（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q . 因为15a =，1011045185S a d =+=，解得3d =. 所以()53132n a n n =+-=+.由115a b =得11b =，由3221a b =得212b =，所以{}n b 的公比12q =， 所以112n n b -=. （2）由（1）得()11322n n n a b n -=+⋅， 所以()211115181132222n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，所以()231111158113222222n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式相减得()2111111233333222222n n n T n -=++⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯()111223321212nn n -=+⨯-+⨯-3882n n +=-.所以138162n n n T -+=-. 方法点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查错位相减法求和．数列求和的常用方法：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．19. 某河蟹养殖场今年在临近收获前，随机抽取了100只河蟹逐个称重，重量（单位：g ）数据经过整理得到如下的频率分布直方图规定重量不低于190g 的为优等蟹，重量低于190g 的为普通蟹.（1）估计今年的河蟹为优等蟹的概率； （2）估计今年河蟹重量的中位数；（3）该养殖场今年一共收获了10000只河蟹，根据市场行情，优等蟹按数量卖，价格为20元一只，普通蟹按重量卖，价格为60元/kg ，估计该养殖场今年的销售额.（每组数据以该组区间的中点值为代表）（1）0.35；（2）185g ；（3）138850元.（1）根据频率分布直方图计算出重量不低于190g 的频率，即为所求；（2）设中位数为x ，根据中位数左边的矩形面积之和为0.5列等式可解出x 的值，即为所求； （3）分别计算出优等蟹和普通蟹的销售额，相加可得结果.（1）估计今年的河蟹为优等蟹的概率为()0.0250.010100.35P =+⨯=； （2）设中位数为x ，前三个矩形的面积之和为()0.0050.010.02100.35++⨯=， 前四个矩形的面积之和为()0.0050.010.020.03100.65+++⨯=，所以[)180,190x ∈，由题意得()()0.0050.0100.020100.0301800.5x ++⨯+⨯-=，解得185x =； （3）记今年优等蟹的数量为0.35100003500⨯=（只），普通蟹的总重量为()1550.051650.11750.21850.3100001147500g ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，即1147.5kg ， 所以估计该养殖场今年的销售额为3500201147.560138850⨯+⨯=元.20. 如图所示，四面体ABCD 的顶点都在圆柱的上、下底面圆周上，且AB 是下底面圆的直径，BC 是圆柱的母线.（1）求证：AD CD ⊥；（2）若AB BC =，异面直线AB 与CD 所成的角为30，且圆柱的侧面积为4π，求四面体ABCD 的体积.（1）证明见解析；（23. （1）过点D 作圆柱的母线DE ，连接AE 、BE ，推导出//CD BE ，BE ⊥平面ADE ，可出CD ⊥平面ADE ，进而可得出AD CD ⊥；（2）利用圆柱的侧面积求得2AB BC ==，由//CD BE 结合异面直线所成角的定义可得出30ABE ∠=，可计算得出1AE =，3BE =进而可计算得出ABE △的面积，由四边形BCDE为平行四边形可得出A BCD A BDE D ABE V V V ---==，利用锥体的体积公式计算可得出结果. （1）如图，过点D 作圆柱的母线DE ，连接AE 、BE ，因为母线DE 与底面ABE 垂直，BE ⊂平面ABE ，BE DE ∴⊥， 因为AB 是底面圆的直径，所以AE BE ⊥， 又AEDE E =，所以BE ⊥平面ADE ，因为//DE BC 且DE BC =，则四边形BCDE 为平行四边形， 所以，//CD BE ，所以CD ⊥平面ADE ， 又AD ⊂平面ADE ，所以AD CD ⊥；（2）圆柱侧面积为4πAB BC π⋅⋅=，所以2AB BC ==.因为异面直线AB 和CD 所成的角为30，且//BE CD ，所以30ABE ∠=︒， 所以1AE =，3BE =132ABE S AE BE =⋅=△， 由于四边形BCDE 为平行四边形，则BCDBDESS=，所以，1133233A BCD A BDE D ABE ABE V V V S DE ---===⋅==△. 方法点睛：求解几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．21. 已知函数()()2ln f x a x x a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调性； （2）若1a =，证明：()211xx e f x x>--. （1）答案见解析；（2）证明见解析.（1）求得函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22a x f x x-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调性； （2）将所证不等式变形为11ln x x x e+>，构造函数()1ln g x x x =+，利用导数求得()1g x ≥，求得()110x x e<>，由此可证得结论成立. （1）由题易知()f x 的定义域为()0,∞+，()222-'=-=a a x f x x x x. 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，因此()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x '>，得0x <<；令()0f x '<，得x >故()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减； （2）当1a =时，()2ln f x x x =-，不等式()211xx e f x x>--即11ln x x x e +>， 令()1ln g x x x =+，则()22111x g x x x x='-=-，令()0g x '=，得1x =.所以当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以()()11g x g ≥=. 又当0x >时，11xe <，所以11ln x x x e +>，故原不等式得证. 方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f xg x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3，左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 和点()0,1的直线与椭圆交于M ，N 两点，2F 到直线MN（1）求椭圆C 的方程；（2）若点()0,P t 满足63355PM PN t ⋅≤+，求PMN 的面积的最大值.（1）22132x y +=；（2）5. （1）写出直线MN 方程，由点到直线距离公式可求得1c =，再由离心率得a ，从而求得b 后得椭圆方程；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 方程代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，计算,PM PN ⋅由63355PM PN t ⋅≤+得t 的范围，再由弦长公式得弦长MN ，从而得出PMN 的面积，由t 的范围可得最大值． （1）设()1,0F c -，()2,0F c ，0c >. 直线MN 过点1F 和点()0,1，则其方程为11y x c=+， 因为2F 到直线MN=1c =.由3c e a ==得a =222312b a c =-=-=， 所以椭圆C 的方程为22132x y +=. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由（1）知直线MN 的方程为1y x =+，由221,321x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得25630x x +-=，所以1265x x +=-，1235x x =-，所以1264255y y +=-+=，12121236411555y y x x x x =+++=--+=-.所以()()1122,,PM PN x y t x y t ⋅=-⋅-()2121212x x y y t y y t =+-++2344555t t =---+24755t t =--根据条件2476335555t t t --≤+，解得24t -≤≤.又因为12x x -==所以PMN 的面积121112PMN S x x t =--=-△，当2t =-或4t =时，PMN 的面积最大，最大值为5. ：方法点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线与椭圆交点为1122(,),(,)M x y N x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，并把这个结果代入PM PN ⋅求得t 的范围，代入三角形面积公式得面积的表达式，从而可求得最大值．。

第一学期期末高三联考数学科（文科）试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

第一部分 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．设I 是全集，I={0，1，2，3，4}，集合A={0，l ，2，3}，集合B={4}，则=B C A C I I Y（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，1，2，3，4}D ．{0，1，4} 2．2)3(31i i +-= （ ）A ．i 4341+ B ．i 4341-- C ．i 2321+ D ．i 2321-- 3. 已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x，则1[()]4f f 的值是 （ ）A ．9B ．91C ．－9D ．－91 4．设,)cos 21,31(),43,(sin x b x a ==→-→-且→-→-b a //，则锐角x为 （ ） A ．6π B ．4π C ．3πD ．π1255．如图，该程序运行后输出的结果为 （ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．16 6．不等式组⎩⎨⎧≤≤-≥+--+210)1)(1(x y x y x 所表示的平面区域是 （ ） A ．一个三角形 B ．一个梯形 C ．直角三角形 D ．两个等腰直角三角形7．设下表是某班学生在一次数学考试中数学成绩的分布表分数段 [)0,90 [)90,100 [)100,110 [)110,120 [)120,130 [)130,150人 数7681266那么分数在[)100,110中的频率和分数不满110分的累积频率约分别是 （ ） A ．0.18, 0.47 B ．0.47, 0.18 C ．0.18, 1 D ．0.38, 18．已知等比数列}{n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得1S ＝8，2S ＝20，3S ＝36，4S ＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为 （ ） A ．1S B ．2S C ．3S D ．4S 9．已知　　则实数　时均有 当 且a x f x a x x f a a x,21)()1,1(,)(,102<-∈-=≠>的取值范围是 （ ）A ．[)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛，，221 0Y B ．(]4,11,41 Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ C ．(]2 11,21， Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D ．[)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛， 441,0Y 10．定义两种运算：,22b a b a -=⊕a ⊗b=2)(b a -，则函数f(x)＝2)2(2-⊗⊕x x 为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：（每小题5分，共20分，其中14小题为选做题，考生从给出的两题中选择其中一道作答，若两题全答的只计算前一题得分。

2020-2021学年河南省天一大联考高三下学期4月阶段性测试（六）文科数学试卷★祝考试顺利★ （含答案）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|x 2<4}，B ＝{x|31x x --≤0}，则(∁R B)∩A ＝ A.(－2，1] B.(－2，1) C.(1，2) D.[1，2) 2.设i 为虚数单位，z 为复数，若zz＋i 为实数m ，则m ＝ A.－1 B.0 C.1 D.23.执行如图所示的程序框图，若输入n ＝12，则输出的n 的值为A.32B.2C.52D.3 4.一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为(精确到0.001) A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.1475.已知实数x ，y 满足2y 1x x y 1⎧⎪≤-⎨+≥-⎪⎩，则x －y 的取值范围为A.[－1，3]B.[21]C.[－3223] 6.函数y ＝ln|x|·cos(2xπ)的部分图象为7.已知三棱锥D －ABC 的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D －ABC 的体积的最大值为 A.23 B.43 C.83 D.1638.已知AM ，BN 分别为圆O 1：(x ＋1)2＋y 2＝1与O 2：(x －2)2＋y 2＝4的直径，则AB MN ⋅的取值范围为A.[0，8]B.[0，9]C.[1，8]D.[1，9]9.过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H 。

若tan ∠AFH ＝2，则AF BF=A.54 B.43 C.32D.2 10.数列{a n }满足递推公式a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，且a 1＝a 2，a 2019·a 2020＝2020，则a 12＋a 22＋…＋a 22019＝A.1010B.2020C.3030D.404011.设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内部有两个球O 1和O 2，已知球O 1与正方体的三个面相切，球O 2与正方体的六个面均相切，且球O 1与球O 2也相切。

2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．124．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．1856．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．平面向量，若，则λ＝．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6解：∵A＝{x|0＜x＜5}，B＝Z，∴A∩B＝{1，2，3，4}，∴A∩B中元素的个数为：4．故选：B．2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：设z＝a+bi，则，因为z+2＝3﹣i，所以a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，所以3a﹣bi＝3﹣i，所以3a＝3，﹣b＝﹣1，所以a＝1，b＝1，所以z＝1+i，故|z|＝．故选：B．3．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．12解：在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，设袋中球的总数为n，∵袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，∴，解得n＝10．则袋中球的总个数为10．故选：C．4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为，因为，所以，所以△PAB是正三角形，面积为，所以．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．185解：i＝0，a＝1，b＝1；第一次执行循环体后，a＝3，b＝2，不满足退出循环的条件，i＝1；第二次执行循环体后，a＝7，b＝5，不满足退出循环的条件，i＝2；第三次执行循环体后，a＝15，b＝14，不满足退出循环的条件，i＝3；第四次执行循环体后，a＝31，b＝41，满足退出循环的条件；故输出a+b值为72，故选：C．6．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④解：因为，所以b＞a＞0，所以，故①正确；|b|＞|a|，故②错误；b3＞a3，故③错误；由指数函数f（x）＝为减函数，又b＞a，所以f（a）＞f（b），即，故④正确，故正确的是①④．故选：D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π解：∵点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，∴AB＝，点C是f（x）的一个最值点，则△ABC的高为2，∴三角形的面积S＝＝1，∴T＝2，∴＝2，∴ω＝π，故选：D．8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，所以f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣（﹣x）2＝e x+e﹣x﹣x2＝f（x），所以函数为偶函数，又f′（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，故f″（x）＝e x+e﹣x﹣2≥0，所以f′（x）在R上单调递增，又f'（0）＝0，所以f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价于|2m|＞|m﹣2|，解得或m＜﹣2．故选：A．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．解：△ABC中，因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，又A+B+C＝π，所以B＝．有余弦定理，可得b2＝a2+c2﹣2ac cos60°＝（a+c）2﹣3ac，即72＝132﹣3ac，所以ac＝40．所以△ABC的面积S＝ac sin B＝10．故选：C．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．解：由AB＝AC＝2，得cos∠BAC＝＝，则sin∠BAC＝，设OABC的外接圆半径为r，则2r＝＝＝8，所以r＝4，则球心O到平面ABC的距离等于＝3，则△ABC的面积S＝2×＝7，故三棱锥O﹣ABC的体积为＝7．故选：A．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），则f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为2的周期函数，又由f（x）为奇函数，则＝f（﹣log2257）＝f（8﹣log2257）＝﹣f（log2257﹣8），而8＝log2256＜log2257＜log2512＝9，则0＜log2257﹣8＝log2＜1，且当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝﹣f（log2）＝﹣（）＝﹣，故选：D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．解：∵直线3x+y﹣6＝0与直线x﹣3y+8＝0垂直，且交点为（1，3），∴以AB为直径的圆过点（1，3），又圆C与x轴相切，∴圆C的面积最小时，其直径恰好为点（1，3）到x轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C面积的最小值为．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量，若，则λ＝．解：∵向量，∴﹣＝（3，﹣1），λ+＝（2λ﹣1，2λ+3）．∵，∴3（2λ﹣1）﹣1×（2λ+3）＝0，解得λ＝，故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），联立，解得B（1，2），令z＝x﹣y，化为y＝x﹣z，作出直线x﹣y＝0，把直线平移，由图可知，当直线经过A时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最小，z有最大值1，当直线经过B时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最大，z有最小值﹣1，∴x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．解：f（x）的零点个数等价于曲线y＝|e x﹣a|与直线y＝1的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知a＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．解：由题意知，A（﹣a，0），B（a，0），F（﹣c，0），把x＝﹣c代入双曲线方程中，有，∴y＝±，∴P（﹣c，），Q（﹣c，﹣），∵AP⊥BQ，∴＝（﹣c+a，）•（﹣c﹣a，﹣）＝c2﹣a2﹣＝0，化简得，a2＝b2，即a＝b，∴双曲线的离心率e＝＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．解：（Ⅰ）由题意，可得，整理，得S n＝2a n﹣2，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，可得S n﹣1＝2a n﹣1﹣2．两式相减，可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，化简整理，得a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得b n＝log4a n+1＝log42n+1＝，则，∴T n＝++…+＝4×（﹣）+4×（﹣）+…+4×（﹣）＝＝＝．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．解：（Ⅰ）由题意（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）×10＝1，解得a＝0.020．（Ⅱ）这些应聘者笔试成绩的平均数为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15＝74.5．（Ⅲ）根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x，根据频率分布直方图可知x∈[60，70），且（70﹣x）×0.02+0.3+0.2+0.15＝0.75，解得x＝65．故估计应该把录取的分数线定为65分．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得BD2＝AD2+AB2﹣2AB×AD cos∠BAD＝16，所以AD2+BD2＝AB2，因此AD⊥BD．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD．又因为AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1，DD1⊂平面ADD1，所以BD⊥平面ADD1，因为BD⊂平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD1．（Ⅱ）解：如图，在平面BCC1内作C1F⊥BE，垂足为F．由（Ⅰ）知BD⊥平面ADD1，因为平面ADD1∥平面BCC1，所以BD⊥平面BCC1，所以BD⊥C1F，又因为BD∩BE＝B，所以C1F⊥平面BDE．所以线段C1F的长就是点C1到平面BDE的距离．因为CC1＝DD1＝BD＝4，BC＝3，所以．在平面BCC1内，可知△BCE∽△C1FE，所以，得，所以点C1到平面BDE的距离为．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．解：（Ⅰ）设椭圆，根据条件可知，且，解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C1的标准方程为，曲线C2是以为焦点，为准线的抛物线，故C2的标准方程为y2＝9x；（Ⅱ）联立，解得x＝1，y＝±3，不妨取P（1，3），若直线l的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；故可设直线l：y＝k（x﹣1）+3，由题意可知k≠0，联立，解得，联立，解得，因为，所以P是QR的中点，所以，即，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x+2，其与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为．（1分）所以．又因为f（1）＝0，f（e）＝0，因此y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线方程分别为y＝﹣x+1和．令y＝1，可得M和N的坐标分别为（0，1）和，故．（Ⅱ）因为在（0，+∞）上单调递增，而，所以必然存在x0∈（1，2），满足f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0））时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．即f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，当x＝x0时，f（x）取得最小值f（x0）＝x0lnx0+1﹣x0﹣lnx0．由f′（x0）＝0，可得，所以．当x0∈（1，2）时，，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．解：（Ⅰ）设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知，则．（Ⅱ）令，得，所以A（1，0），令，得，所以B（﹣2，0），所以圆A的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝9，即x2+y2﹣2x＝8，所以圆A的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|＝；当x≥1时，不等式f（x）≤5化为3x≤5，解得；当时，不等式f（x）≤5化为x+2≤5，解得；当时，不等式化为﹣3x≤5，解得．综上所述，不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|≥|x+1+1﹣x|＝2，当且仅当﹣1≤x≤1时，等号成立，即f（x）的最小值为2．因为存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，所以2m﹣1＞2．解得，所以m的取值范围是．。