2018_2019学年高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率作业1北师大版选修1_1

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3.1。

2 瞬时变化率—导数学习目标：1。

理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。

当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。

宝宝宝宝嘻嘻嘻 3.1 变化的快慢与变化率[ 基础达标 ]1. 将半径为 R 的球加热，若球的半径增添 R ，则球的表面积增添S 等于()A ． 8πR RB ． 8πR R ＋ 4π ( R ) 2C ． 4πR R ＋ 4π ( R ) 2D ． 4π( R ) 2分析：选 B. S ＝ 4π ( R ＋ R ) 2－ 4πR 2＝ 8π R R ＋ 4π ( R ) 2.2. 某质点的运动规律为 s ＝ t 2＋ 3，则在时间段 (3 ， 3＋ t ) 中的均匀速度等于 ()A ． 6＋ tB ． 6＋ 9t ＋tC ． 3＋ tD ． 9＋ tA. v ＝ s s （3＋ t ）－ s （ 3）分析：选 t ＝t＝ [ （ 3＋ t ） 2＋3] －（ 32＋3） ＝ 6＋ t .t23. 已知点 (2 ，8) 是曲线 y ＝ 2 x 上一点，则 P 处的刹时变化率为 ( )PA ． 2B ． 4C ． 6x ) 2－2×22＝ 8 D ． 8 x ) 2，分析：选 D. y ＝ 2(2 ＋ x ＋ 2(8 x ＋ 2（ x ） 2 x ，y ＝ x＝8＋ 2xx 无穷趋近于 0 时， y 8. 当x 无穷趋近于常数234. 已知物体的运动方程为 s ＝ t ＋t ( t 是时间， s 是位移 ) ，则物体在时辰 t ＝ 2 时的速度为( )19 17A. 4B. 415 13 C. 4D. 42323D. s （ 2＋ t ） ＋ 2＋ t －（ 2＋2）分析：选 t＝t＝ 4＋ t3t ），－2（2＋当t 无穷趋近于 0 时，s无穷趋近于13，∴选 D.t 45. 物体运动时位移 s 与时间 t 的函数关系是 s ＝－ 4t 2＋ 16t ，此物体在某一时辰的速度为零，则相应的时辰为 ()A ． t ＝1B ． t ＝2C ． t ＝3D ． t ＝4分析：选 B. s ＝－ 4( t ＋ t ) 2＋ 16( t ＋ t ) － ( － 4t 2 ＋ 16t ) ＝ 16 t － 8t · t －4( t ) 2.又由于在某时辰的刹时速度为零，当 t 趋于 0 时， s＝16－ 8t －4 t 无穷趋近于 0. t 即 16－ 8t ＝ 0，解得 t ＝ 2.16. 某日正午 12 时整，甲车自 A 处以 40 km/h 的速度向正东方向行驶，乙车自A 处以 60 km/h 的速度向正西方向行驶，至当天 12时30 分，两车之间的距离对时间的均匀变化率为 ________．s 0.5 ×60＋0.5 ×40 ＝100 km/h.分析： t ＝0.5答案： 100 km/h7. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离 s 与时间 t 之间的函数关系为s ＝ 81t 2，则 t ＝ 2 时，木块的刹时速度为 ________．1 21 2分析： s ＝8（ t ＋t ） － 8t ＝ 1t ＋ 1 t.tt4 8 当 t ＝2，且t 趋于 0 时，1s趋于 .t21答案： 2 8. 已知曲线 y ＝x 2＋1 在点 M 处的刹时变化率为－ 4，则点 M 的坐标为 ________．分析： y ＝ ( x ＋ x ) 2＋ 1－ ( x 2＋ 1) ＝ 2x x ＋ ( x ) 2， y 2x x ＋（ x ） 2 x ＝ x ＝ 2x ＋ x ，x 无穷趋近于 y2x ＝－ 4，因此 x ＝－ 2，可得 y ＝ 5. 当 0 时， x 无穷趋近于 答案： ( －2， 5) 9. 求函数 y ＝ x 2 在 x ＝ 1，2， 3 邻近的均匀变化率，取x 都为1，哪点邻近的均匀变化3率最大．解：在 x ＝ 1 邻近的均匀变化率为f （ 1＋ x ）－ f （1）k 1＝xx ） 2－ 1（ 1＋ x ；＝＝ 2＋xf （2＋ x ）－ f （ 2）在 x ＝2 邻近的均匀变化率为k 2＝xx ） 2－ 4（ 2＋ x ；＝＝ 4＋x在 x ＝3 邻近的均匀变化率为k 3＝ f （3＋ x ）－ f （ 3）xx ） 2－ 9（ 3＋ x .＝＝ 6＋x171319令 x ＝ 3，可得 k 1＝ 3， k 2＝ 3 ， k 3＝ 3 ，故函数 f ( x ) 在 x ＝3 邻近的均匀变化率最大． 10. 假如一个质点从定点 A 开始运动，对于时间 t 的位移函数为 y ＝ f ( t ) ＝ t 3＋ 3. 求该质 点在 t ＝ 4 时的刹时速度．y （ 4＋ t ） 3＋ 3－（ 43＋ 3）解： t ＝ t48 t ＋ 12（ t ） 2＋（ t ） 3＝t＝ 48＋12 t ＋ ( t ) 2， 当t 无穷趋近于零时，y无穷趋近于48.t2即质点在 t ＝ 4 时的刹时速度是48.1. 函数 f ( x ) ＝ x 2 在 x 0 到 x 0＋[ 能力提高 ]x 之间的均匀变化率为 k 1，在 x 0－ x 到 x 0 之间的均匀变化率为 k ，则 k ， k的大小关系是 ()212A ． k 1＜ k 2B ． k 1＞k 2C ． k ＝ k2D ．没法确立1分析：选 D. 由于 k 1＝ f （ x 0＋ x ）－ f （ x 0）x ，x＝ 2x 0＋f （ x 0）－ f （ x 0－ x ）x ，k 2＝x＝2x 0－k ，k又x 可正可负且不为零，因此的大小关系不确立．122. 若函数 f ( x ) ＝－ x 2＋ x 在[2 ，2＋ x ]( x ＞ 0) 上的均匀变化率不大于－1，则x 的范围是 ________．分析：由于函数 f ( x ) 在 [2 ， 2＋ x ] 上的均匀变化率为：f （ ＋ x ）－ f （ ）y ＝2x 2x－（ 2＋ x ） 2＋（ 2＋ x ）－（－ 4＋ 2）＝x－ 4 x ＋ x －（ x ） 2x ， ＝x＝－ 3－因此由－ 3－ x ≤－ 1，得 x ≥－ 2.又由于 x ＞ 0，即 x 的取值范围是 (0 ，＋∞ ) ．答案： (0 ，＋∞)3t 2 ＋2（ t ≥3），3.若一物体的运动方程以下 ( s 单位：m ，t 单位： s)：s ＝29＋ 3（ t －3） 2（0≤ t ＜ 3） . 求：(1) 物体在 t ∈ [3 ， 5] 内的均匀速度；(2) 物体的初速度 v 0；(3) 物体在 t ＝ 1 时的刹时速度．22s 48解： (1) t ∈ [3 ，5] 时， t ＝ 5－ 3＝ 2， s ＝3×5 ＋2－(3 ×3 ＋2) ＝ 48，∴ t ＝ 2 ＝24(m/s) ．(2) 求物体的初速度 v 0 即求物体在 t ＝0 时的刹时速度．∵物体在 t ＝ 0 邻近的均匀速度为 － s s （ 0＋ t ）－ s （ 0）v ＝ ＝ t＝t29＋ 3[ （ 0＋ t ）－ 3] 2－ 29－ 3（ 0－ 3）2 t － 18，t＝ 3∴物体在 t ＝ 0 时的刹时速度为 v 0＝ lims＝ lim (3t －18) ＝－ 18(m/s) ．t → 0tt →0－ s 29＋ 3（ 1＋ t － 3）2－ 29－ 3（ 1－ 3）2(3) ∵物体在 t ＝ 1 时的均匀速度为 v ＝ t ＝t＝3 t － 12，∴物体在 t ＝ 1 时的刹时速度为 v ＝ lims＝ lim (3t － 12) ＝－ 12(m/s) ．t →0tt →04．质点 M 按规律 s ＝s ( t ) ＝ at 2＋1 做直线运动 ( 位移 s 的单位： m ，时间 t 的单位：s) ．问 能否存在常数 a ，使质点 M 在 t ＝ 2 s 时的刹时速度为 8 m/s ？若存在，求出 a 的值；若不存 在，说明原因． 2 2解：假定存在常数 a ，则 s ＝ s (2 ＋ t ) － st(2) ＝a (2 ＋ t ) ＋1－ a ×2－1＝ 4a ＋4a2 2s 4 ＋ （ t ） 2a t a ＋a ( t ) ＋ 1－ 4a － 1 ＝4a t ＋a ( t ) ，因此 t ＝ t＝ 4a ＋ a t . 当t 趋 于 0 时， 4a ＋a t 趋于 4a ，由题易知 4a ＝ 8，解得 a ＝ 2. 因此存在常数 a ＝2，使质点M 在 t3＝2 s 时的刹时速度为8 m/s.4。

§1 变化的快慢与变化率[对应学生用书P34]某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：问题1：试比较时间x 从0 min 到20 min 和从20 min 到30 min 体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从20 min 到30 min 变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率．问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速70 km/h 的路段超速行驶．王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60 km ，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”问题1：限速70 km/h 是指的平均速度不超过70 km/h 吗？提示：不是，是指瞬时速度．问题2：瞬时速度与平均速度有何区别？提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢．问题3：王先生在该路段平均速度为60 km/h ，是否可能超速行驶？ 提示：有可能．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx＝fx 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx.而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．1.Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx为平均变化率，其中Δx 可正、可负，不能为零．2．瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值．[对应学生用书P35][例1] 求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．[精解详析] Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝(x 0＋Δx )3－x 3＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3，∴函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为： Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2.当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋(12)2＝194.[一点通]求平均变化率的步骤是：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0； (3)求平均变化率Δy Δx＝fx 1－f x 0x 1－x 0.1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＞0 B ．Δx ＜0 C ．Δx ≠0 D ．Δx ＝0答案：C2．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A ．0.41 B ．3 C ．4D ．4.1 解析：Δs Δt ＝3＋2.12－＋222.1－2＝4.1.答案：D3．求函数y ＝f (x )＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率． 解：∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2) ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5) ＝－8Δx －2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝－8－2Δx . 即平均变化率为－8－2Δx .[例2] 以初速度00t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度． [思路点拨] 本题可先求物体在t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度，然后求当Δt 趋于0时的瞬时速度．[精解详析] ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.[一点通]求函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率，可以先求函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 处的平均变化率，再求当Δx 趋于0时平均变化率的值，即为函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．1米/秒B ．－1米/秒C ．2米/秒D ．－2米/秒解析：由Δs Δt ＝[1－＋Δt －－Δt＝－Δt Δt＝－1，得物体在3秒末的瞬时速度是－1米/秒．答案：B5．求函数f (x )＝x 2－3在x ＝1处的瞬时变化率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[(1＋Δx )2－3]－(12－3)＝(Δx )2＋2Δx －2＋2＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 2＋2Δx Δx ＝Δx ＋2. 当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于2.所以函数y ＝x 2－3在x ＝1时的瞬时变化率为2.1．平均变化率刻画的是函数值在区间[x 0，x 0＋Δx ]上变化的快慢． 2．瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢．3．Δx 趋于0时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬时变化率．[对应课时跟踪训练十一1．在曲线y ＝x 2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx＝( )A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝(Δx )2＋2Δx ， ∴ΔyΔx＝Δx ＋2. 答案：C2．某质点的运动规律为s ＝t 2＋3，则在时间段(3,3＋Δt )内的平均速度等于( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt解析：v －＝Δs Δt ＝s ＋Δt －sΔt＝＋Δt2＋3]－2＋Δt＝6＋Δt .答案：A3．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋18Δt ，当Δt 趋于0时，12＋18Δt 趋于12，因此t ＝2时，木块在水平方向瞬时速度为12.答案：C4．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像相对应的一项是( )A ．①②③④B ．②①③④C ．②①④③D ．②④①③解析：以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选C.答案：C5．函数f (x )＝ln x ＋1从e 到e 2的平均变化率为________． 解析：Δy ＝f (e 2)－f (e)＝(ln e 2＋1)－(ln e ＋1)＝1， Δx ＝e 2－e ， ∴Δy Δx ＝1e 2－e. 答案：1e 2－e6．质点的运动方程是s (t )＝1t2，则质点在t ＝2时的速度为________．解析：Δs Δt ＝s ＋Δt －sΔt＝1＋Δt 2－14Δt＝－4＋Δt ＋Δt2，当Δt 趋于0时，Δs Δt ＝－14.答案：－147．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)的函数关系为h (t )＝－5t 2＋6t ＋10.(1)求该运动员从时间t ＝1到时间t ＝3的平均速度； (2)求该运动员在时间t ＝1处的瞬时速度．解：(1)由h (t )＝－5t 2＋6t ＋10，得该运动员从时间t ＝1到时间t ＝3的平均速度： Δh Δt＝h －h 3－1＝－14.故该运动员从时间t ＝1到时间t ＝3的平均速度为－14 m/s ； (2)∵Δh Δt ＝h ＋Δt －hΔt＝[－＋Δt 2＋＋Δt ＋10]－－5×12＋6×1＋Δt＝－Δt2－ΔtΔt＝－5·Δt －4，∴当Δt 趋于0时，ΔhΔt趋于－4，即该运动员在时间t ＝1处的瞬时速度为－4 m/s. 8．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ， ①29＋t －2， t ＜ ②求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物休的初速度v 0即求物体在t ＝0的瞬时速度． .∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f ＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f ＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －12.∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－12，即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。

第三章 变化率与导数(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )＝13，则f ′(x )等于( )A ．－33B ．0 C.33D. 3解析：选B.因为f (x )＝13，所以f ′(x )＝(13)′＝0.2．已知某质点的运动规律为s ＝t 2＋3(s 的单位：m ，t 的单位：s)，则该质点在t ＝3 s 到t ＝(3＋Δt )s 这段时间内的平均速度为( )A ．(6＋Δt )m/sB ．(6＋Δt ＋9Δt)m/sC ．(3＋Δt )m/sD ．(9Δt ＋Δt )m/s解析：选A.平均速度为Δs Δt ＝（3＋Δt ）2＋3－（32＋3）Δt＝(6＋Δt )m/s.3．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f （1）－f （1－x ）2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选D.k ＝f ′(1)＝lim x →0 f （1－x ）－f （1）－x＝2lim x →0 f （1）－f （1－x ）2x＝－2. 4．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1) B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1解析：选A.利用排除法，分别对四个选项求导数f ′(x )，再求f ′(1)．5．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：选B.设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0，因为y ′＝12x －3x ，所以k ＝12x 0－3x 0＝－12，所以x 0＝2.6．已知y ＝2x 3＋3x ＋cos x ，则y ′等于( )A ．6x 2＋x －23－sin xB ．6x 2＋x －23＋sin xC ．6x 2＋13x －23＋sin xD ．6x 2＋13x －23－sin x解析：选D.y ′＝(2x 3)′＋(x 13)′＋(cos x )′＝6x 2＋13x －23－sin x .7．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称函数f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称函数f (x )在D 上为凸函数，以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x解析：选D.对A ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＜0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2， 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对B ，f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数； 对C ，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x ＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对D ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝e x ＋e x ＋x e x ＝e x(2＋x )＞0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数，选D.8．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(－∞，4)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，10)解析：选D.在曲线C ：y ＝2x 2上取一点D (x 0，2x 20)(x 0＞0)，因为y ＝2x 2，所以y ′＝4x ，所以y ＝2x 2在D 点处切线的斜率为4x 0，令2x 20＋2x 0＝4x 0，解得x 0＝1，此时D (1，2)，所以k AD ＝2－（－2）1－0＝4，所以直线AD 的方程为y ＝4x －2，要实现不被曲线C 挡住，则实数a ＜4×3－2＝10，即实数a 的取值范围是(－∞，10)．9．设a ＞0，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则P 到曲线y ＝f (x )对称轴距离的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1aB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12a C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －12a 解析：选B.因为过P (x 0，f (x 0))的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且a ＞0，P 在对称轴的右侧，所以P 到曲线y ＝f (x )对称轴x ＝－b2a 的距离d ＝x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝x 0＋b2a .又因为f ′(x 0)＝2ax 0＋b ∈[0，1]，所以x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b 2a，1－b 2a .所以d ＝x 0＋b 2a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12a .10．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝2x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c解析：选B.g ′(x )＝2，h ′(x )＝1x，φ′(x )＝3x 2(x ≠0)．解方程g (x )＝g ′(x )，即2x ＝2，得x ＝1，即a ＝1；解方程h (x )＝h ′(x )，即ln x ＝1x，在同一坐标系中画出函数y＝ln x ，y ＝1x的图像(图略)，可得1＜x ＜e ，即1＜b ＜e ；解方程φ(x )＝φ′(x )，即x3＝3x 2(x ≠0)，得x ＝3，即c ＝3.所以c ＞b ＞a .二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________．解析：f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4，f ′(－1)＝3＋2a －4＝0，所以a ＝12.答案：1212．设f (x )＝e x＋x ，若f ′(x 0)＝2，则在点(x 0，y 0)处的切线方程为________．解析：f ′(x )＝e x ＋1，f ′(x 0)＝2，所以e x 0＋1＝2，所以x 0＝0，y 0＝e 0＋0＝1，所以切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝013．已知函数f (x )＝sin x －x cos x ，若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞λx 成立，则实数λ的取值范围是________．解析：f ′(x )＝(sin x －x cos x )′＝(sin x )′－(x cos x )′＝cos x －(cos x －x sin x )＝x sin x ＞λx ，因为x ∈(0，π)，所以sin x ＞λ，因为sin x ∈(0，1]，所以λ＜1.答案：(－∞，1)14．抛物线y ＝x 2上到直线x ＋2y ＋4＝0距离最短的点的坐标为________．解析：y ′＝2x ，设P (x 0，x 20)处的切线平行直线x ＋2y ＋4＝0，则点P 到直线x ＋2y ＋4＝0的距离最短，由抛物线y ＝x 2在点P (x 0，x 20)处的切线斜率为2x 0，则2x 0＝－12，解得x 0＝－14，y 0＝116，故所求点的坐标为(－14，116)．答案：(－14，116)15．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为________． 解析：由y ＝x n (1－x )得y ′＝nx n －1(1－x )＋x n(－1)，所以f ′(2)＝－n ·2n －1－2n.又因为切点为(2，－2n)． 所以切线方程为：y ＋2n ＝－(n ·2n －1＋2n )(x －2)．令x ＝0，得a n ＝(n ＋1)·2n.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的通项公式为a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式求得其和为2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹，若最外一圈波纹半径R 以4 m/s 的波速增加，求在3 s 末被扰动的水面面积的增长率．解：设被扰动水面面积为S ，时间为t (t ≥0)，所以S ＝πR 2＝π(4t )2＝16πt 2，所以S ′＝(16πt 2)′＝32πt ，所以当t ＝3时，水面面积的增长率为96π. 17．(本小题满分10分)求下列函数的导数． (1)f (x )＝ln(8x )；(2)y ＝x 3sin x 2cos x2；(3)y ＝x 5＋x ＋sin xx 2.解：(1)f (x )＝3ln 2＋ln x ， f ′(x )＝(3ln 2)′＋(ln x )′＝1x.(2)y ＝x 3sin x 2cos x 2＝12x 3sin x ，y ′＝12(x 3sin x )′＝12(3x 2sin x ＋x 3cos x )＝32x 2sin x ＋12x 3cos x . (3)y ＝x 5＋x ＋sin x x2＝x 3＋x －32＋x －2sin x ， 所以y ′＝(x 3)′＋(x －32)′＋(x －2sin x )′＝3x 2－32x －52－2x －3sin x ＋x －2cos x .18．(本小题满分10分)已知曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4. (1)求曲线C 在点(1，－4)处的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，请说明理由．解：(1)y ′＝12x 3－6x 2－18x ，所以当x ＝1时，y ′＝－12，所以在点(1，－4)处的切线的斜率为－12.所以所求的切线方程为y ＋4＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋8.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，y ＝－12x ＋8，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，即(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝23，x 3＝1.所以除切点外，曲线和切线还有交点(－2，32)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x . (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥1时，求证：当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，其中e 为自然对数的底数．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x，因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2.所以切线方程是y ＝－2.(2)证明：函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x，即f ′(x )＝2ax 2－（a ＋2）x ＋1x ＝（2x －1）（ax －1）x，当a ≥1时，在x ∈[1，e]上，2x －1＞0，ax －1≥0， 可得f ′(x )≥0.20．(本小题满分13分)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0.曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，证明：当x 1≠x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)．解：(1)由f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，f ′(0)＝b .又由曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0. 故b ＝0，c ＝1.(2)证明：f (x )＝13x 3－a 2x 2＋1，f ′(x )＝x 2－ax ，由于点(t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －t )，而点(0，2)在切线上，所以2－f (t )＝f ′(t )(－t )，化简得23t 3－a 2t 2＋1＝0，即t 满足的方程为23t 3－a 2t 2＋1＝0.下面用反证法证明：假设f ′(x 1)＝f ′(x 2)，由于曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，则下列等式成立：⎩⎪⎨⎪⎧23x 31－a 2x 21＋1＝0，①23x 32－a2x 22＋1＝0，②x 21－ax 1＝x 22－ax 2.③由③，得x 1＋x 2＝a .由①－②，得x 21＋x 1x 2＋x 22＝34a 2.④又x 21＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝a 2－x 1(a －x 1)＝x 21－ax 1＋a 2＝(x 1－a 2)2＋34a 2≥34a 2，故由④得x 1＝a 2，此时x 2＝a2与x 1≠x 2矛盾，所以f ′(x 1)≠f ′(x 2)．。

§1变化的快慢与变化率1.f(x)=3x在x从1变到3时的平均变化率等于()A.12B.24C.2D.-12解析:Δy=f(3)-f(1)=33-3=24,∴=12.故选A.答案:A2.已知函数y=,当x由2变为1.5时,函数的增量为()A.1B.2C.D.解析:Δy=.答案:C3.某物体的运动规律是s=s(t),则该物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是()A.B.C.D.解析:由平均速度的定义可知,物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比,所以,故选A.答案:A4.如图,函数f(x)在A,B两点间的平均变化率是()A.1B.-1C.2D.-2解析:所求平均变化率等于=-1.答案:B5.已知函数f(x)=2x2+3的图像上一点(1,5)与邻近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则等于()A.4+2ΔxB.4+(2Δx)2C.4xD.4解析:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2+3-(2×12+3)=4Δx+2(Δx)2,∴=4+2Δx,故选A.答案:A6.导学号01844030函数y=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为()A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.不确定解析:由定义可知k1=2x0+Δx,k2=2x0-Δx,因为Δx可正、可负但不可为0,所以k1与k2大小不确定.故选D.答案:D7.质点运动规律为s=gt2,则在时间区间(3,3+Δt)内的平均速度等于(g=10 m/s2).?解析:Δs=g×(3+Δt)2-g×32=×10×[6Δt+(Δt)2]=30Δt+5(Δt)2,=30+5Δt.答案:30+5Δt8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如下图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,则三者的大小关系为.?解析:由平均速度的定义结合图像知.答案:9.已知函数f(x)=x2+x,分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率.解自变量x从1变到3时,函数f(x)的平均变化率为=5,自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为=4.10.导学号01844031一小球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位:m,时间单位:s).求小球在5到6 s间的平均速度和5到5.1 s间的平均速度,并与匀加速直线运动速度公式求得的t=5 s时的瞬时速度进行比较.解=36-25=11(m/s),=10.1(m/s).由于小球做匀加速直线运动,且初速度为0,故s=at2=t2,∴a=2(m/s2),5 s时的速度v=at=2×5=10(m/s).∴5到5.1 s间的平均速度更接近5 s时的瞬时速度.。

第三章DISANZHANG变化率与导数§1变化的快慢与变化率课后篇巩固提升1.f(x)=3x在x从1变到3时的平均变化率等于( )A.12B.24C.2D.-12-f(1)=33-3=24,∴ΔyΔx =243-1=12.故选A.2.已知函数y=2x,当x由2变为1.5时,函数的增量为( )A.1B.2C.13D.32Δy=21.5−22=13.3.某物体的运动规律符合s=s(t),则该物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是( )A.v=ΔsΔt =s(t+Δt)-s(t)ΔtB.v=s(Δt)ΔtC.v=s(t)tD.v=s(t+Δt)-s(Δt)Δt,物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比,所以v=ΔsΔt =s(t+Δt)-s(t)Δt,故选A.4.如图,函数f(x)在A,B两点间的平均变化率是( )A.1B.-1C.2D.-2解析所求平均变化率等于ΔyΔx =1-33-1=-1.5.已知函数f(x)=2x2+3的图像上一点(1,5)与邻近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则ΔyΔx等于( )A.4+2ΔxB.4+(2Δx)2C.4xD.4-f(1)=2(1+Δx)2+3-(2×12+3)=4Δx+2(Δx)2,∴ΔyΔx =4Δx+2(Δx)2Δx=4+2Δx,故选A.6.函数y=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为( )A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.不确定k1=2x0+Δx,k2=2x0-Δx,因为Δx可正、可负但不可为0,所以k1与k2大小不确定.故选D.7.质点A做直线运动,已知其位移与时间的关系是s(t)=3t2,则在t0=2时的瞬时速度为.解析因为ΔsΔt =s(2+Δt)-s(2)Δt=12+3Δt,所以质点A在t0=2时的瞬时速度为12.8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如下图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为.v3>v2>v19.已知函数f(x)=x2+x,分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率.x从1变到3时,函数f(x)的平均变化率为f(3)-f(1)3-1=32+3-(12+1)2=5,自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为f(2)-f(1)2-1=22+2-(12+1)1=4.10.一小球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s=t2(位移单位:m,时间单位:s).求小球在5 s到6 s间的平均速度和在5 s到5.1 s间的平均速度,并与匀加速直线运动速度公式求得的t=5 s时的瞬时速度进行比较.v1=s(6)-s(5)6-5=36-25=11(m/s),v2=s(5.1)-s(5)5.1-5=5.12-520.1=10.1(m/s).由于小球做匀加速直线运动,且初速度为0,故s=12at2=t2,∴a=2(m/s2),5s时的速度v=at=2×5=10(m/s).∴5s到5.1s间的平均速度更接近5s时的瞬时速度.。

3.1 变化的快慢与变化率学习目标 1.理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.知识点一 函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题：思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 梳理 平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )图像上的两点，则平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率.知识点二 瞬时变化率思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？答案 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答案 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.梳理 要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt＝st 0＋Δt －s t 0Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度.类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大. 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图像上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝ .(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为 ；函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 .答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f－1＋Δx －f －1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx －5－－6Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为f 1－f －11－－1＝2－12＝12. 由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 f 2－f 02－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1，0)与Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值.解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率Δy Δx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图像上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12P P k ＝Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A.v 甲>v 乙B.v 甲<v 乙C.v 甲＝v 乙D.大小关系不确定(2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x 图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，则当Δx ＝0.5时割线的斜率为 . 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙.(2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5，故－2＋Δy ＝ 2.51－2.5＝－53，故k PQ ＝－53＋22.5－2＝23.类型二 求函数的瞬时变化率例3 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度.解 因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，所以Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0. 反思与感悟 (1)求瞬时速度的步骤 ①求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；②求平均速度v ＝ΔsΔt；③当Δt 趋于0时，平均速度ΔsΔt 趋于瞬时速度.(2)求当Δx 无限趋近于0时ΔyΔx的值 ①在表达式中，可把Δx 作为一个数来参加运算；②求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可.跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值. 解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率. ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率 Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt＝a 2＋Δt2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于4a ，∴4a ＝8，得a ＝2.1.已知函数f (x )，当自变量由x 0变化到x 1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( ) A.在x 0处的变化率B.在区间[x 0，x 1]上的平均变化率C.在x 1处的变化率D.以上结论都不对 答案 B 解析Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0，由平均变化率的定义可知，故选B.2.一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( ) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2答案 B 解析s 2.1－s 22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2.3.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )A.t ＝1B.t ＝2C.t ＝3D.t ＝4答案 B解析 设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 . 答案28π3解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.5.设函数f (x )＝3x 2＋2在x 0＝1，2，3附近Δx 取12时的平均变化率分别为k 1，k 2，k 3，比较k 1，k 2，k 3的大小.解 函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0＋3Δx . 当x 0＝1，Δx ＝12时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x 0＝2，Δx ＝12时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x 0＝3，Δx ＝12时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1<k 2<k 3.1.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢.2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.40分钟课时作业一、选择题1.已知函数y ＝f (x )＝sin x ，当x 从π6变到π2时，函数值的改变量Δy 等于( )A.－12B.12C.π3D.32答案 B解析 Δy ＝f (π2)－f (π6)＝sin π2－sin π6＝12.2.一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A.－3 B.3 C.6 D.－6 答案 D解析 由平均速度与瞬时速度的关系可知，当Δt 趋于0时，－3Δt －6趋于－6，故该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B解析 依题意可知Δy ＝y B －y A ＝1－3＝－2， Δx ＝x B －x A ＝3－1＝2，所以函数y ＝f (x )在x A 到x B 之间的平均变化率为 Δy Δx ＝－22＝－1. 4.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A.甲B.乙C.相同D.不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小. 所以乙厂的治污效果较好.5.函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A.k 1<k 2 B.k 1>k 2 C.k 1＝k 2 D.无法确定 答案 D 解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx ，而Δx可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定.6.如果函数y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则( ) A.a ＝－3 B.a ＝3C.a ＝2D.a 的值不能确定答案 B 解析Δy Δx＝f2－f 12－1＝a ＝3.7.一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1时的瞬时速度为3，则a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.7答案 A 解析 Δs Δt＝s1＋Δt －s 1Δt＝21＋Δt2＋a1＋Δt ＋1－2＋a ＋1Δt＝a ＋4＋2Δt ，当Δt 趋于0时，a ＋4＋2Δt 趋于a ＋4， 由题意知a ＋4＝3，得a ＝－1. 二、填空题8.汽车行驶的路程s 与时间t 之间的函数图像如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为 .答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图像知，k OA <k AB <k BC .9.函数f (x )＝1x2＋2在x ＝1处的瞬时变化率为 .答案 －2 解析 ∵Δy ＝11＋Δx2＋2－(112＋2)＝11＋Δx2－1＝－2Δx －Δx 21＋Δx2，∴Δy Δx ＝－2－Δx 1＋Δx2， 当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于－2.10.已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝ . 答案 3－Δx解析 ∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－－1＋Δx2＋－1＋Δx －－2Δx＝3－Δx .11.函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝ . 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f t －f －2t －－2＝t 2－t －－22－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去).所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5. 三、解答题12.若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围.解 ∵函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝－2＋Δx2＋2＋Δx －－4＋2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞).13.若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥3 ①29＋3t －320≤t <3 ②求：(1)物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度.解 (1)∵物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3，5]内的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24 (m/s). (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度. ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率. ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。

3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示] Δx ≠0，Δy ∈P .2．函数y ＝f (x )在x(1)定义式：lim Δx →0Δy Δx ＝x 0＋x －f x 0Δx实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 记作f ′(x 0)x 0＋－f x 0Δx.基础自测( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )【导学号：97792121】A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 D [Δ＝Δs Δt ＝3＋2.12－＋222.1－2＝4.1.][合 作 探 究·攻 重 难](2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图3­1­1，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为__________．图3­1­1__________． 2(1＋Δx )2－1－(2×12－1) ，v 3＝k BC . ＝3π－3π＝3π.∴Δv Δr ＝283π. [答案] (1)C (2)v 1<v 2<v 3 (3)283πfx 0＋－f x 0Δx.的值可正，可负，但Δx ≠0，Δ1．(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3 [(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx2＋2]－x 20＋Δx＝6x 0·Δx ＋Δx2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－[－(－1)2＋(－1)] ＝－(Δx )2＋3Δx ， ∴Δy Δx＝－Δx 2＋3ΔxΔx＝－Δx ＋3.]若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋t －，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] (1)先求Δs ，再根据v ＝ΔsΔt 求解．(2)先求Δs Δt ，再求lim Δx →0ΔsΔt .[解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)，2＋－sΔt＝lim Δx →0＋Δt 2－2×22Δt ＝lim Δx →0 (2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝s －s 3－1＝2×32＋3－2＋2＝8(cm/s)．求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？ 提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．(1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为__________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值ΔyΔt ；②求t 1＝4时的导数． [思路探究] (1)求Δy →求Δy Δx →求lim Δx →0ΔyΔx (2)①Δy ＝f －f→ΔyΔt②求Δy →求Δy Δt →求lim Δt →0ΔyΔt [解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12.[答案] 12(2)①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，ΔyΔt＝48.120 1.②lim Δx →0 Δy Δt ＝lim Δx →0[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48，故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48.简称：一差、二比、三极限．取极限时，一定要把ΔyΔx 变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形3．求函数y ＝x －x在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1当Δx →0时，ΔyΔx →2，∴ 2.达 标·固 双 基](1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则B ．4x D ．4＋2(Δx )2[Δx＝Δx＝＋Δx 2－2Δx＝4＋2Δx .]2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt －4 C ．4 D ．－2Δt 2－4ΔtB [v ＝4－＋Δt2－－2×12Δt＝－4Δt －Δt2Δt＝－2Δt －4.]3．一质点按规律s (t )＝2t 2运动，则在t ＝2时的瞬时速度为__________.【导学号：97792123】8[s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴limΔt→0s＋Δt－sΔt＝limΔt→0Δt2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.]4．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.2[f′(1)＝limΔt→0f＋Δx－fΔx＝limΔt→0a＋Δx＋4－a＋Δx＝a，又∵f′(1)＝2，∴a＝2.]5．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．[解] Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔt→0ΔyΔx＝limΔt→0(2Δx＋16)＝16.。