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高中数学第2章变化率与导数3计算导数课件

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北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念与导数的几何意义习题课 课件

北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念与导数的几何意义习题课 课件

2013-8-20
练习 1.求下列函数的导函数 1 3 ⑴y x ⑵y x ⑶ y x2 2 x 3 3
解:⑴ y
y x
x x 1
x
x x x x
x x x y y lim lim x 0 x x 0
2013-8-20
D
3.已知 f ( x0 ) 0 , f ( x 0 )
1 ,则 lim △ x 0 2
19 2 8 f ( x 3△ x ) ___ . 3 △x 2
0
2013-8-20
1.过点 ( 1, 0) 作抛物线 y x 2 x 1的切线， 则其中一条切线为 ） （ (A) 2 x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0 解析：设 ( x1 , y1 ) 为作抛物线 y x 2 x 1上一点，则在该点处切 线的斜率为 y 2 x1 1 ,于是过点 ( x1 , y1 ) 的抛物线的切线的方程为
C
.
9 x 4 y 12 0 或 y 0
2013-8-20
1 3 3 9 练习 3.⑴如图已知曲线 y x 上的一点 P ( , ) , 3 2 8 求点 P 处的切线方程. 9 2 解:∵ y x ,∴ y | 3 . x 4 2 9 即点 P 处的切线的斜率等于 . 4 ∴在点 P 处的切线方程 9 9 3 是 y (x ) , 8 4 2 即 9 x 4 y 12 0 .
2013-8-20
练习 1.求下列函数的导函数 1 3 2 y x ⑴y x ⑵ ⑶ y x 2x 3 3
解:⑶ △ y ( x △x)2 2( x △x ) 3 ( x 2 2 x 3)
高三理科数学第一轮复习§2.10：变化率与导数、导数的计算

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第二章：函Leabharlann 、导数及其应用 §2.10：变化率与导数、导数的计算
第二章：函数、导数及其应用 §2.10：变化率与导数、导数的计算
解析
第二章：函数、导数及其应用 §2.10：变化率与导数、导数的计算
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第二章：函数、导数及其应用 §2.10：变化率与导数、导数的计算
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第二章：函数、导数及其应用 §2.10：变化率与导数、导数的计算
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第二章：函数、导数及其应用 §2.10：变化率与导数、导数的计算
解析
导数的概念及其几何意义课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册

导数的概念及其几何意义课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册

第二章
§2
导数的概念及
其几何意义
学习目标
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念及实际背景．
2.理解导数的几何意义．
核心素养：数学运算、数学抽象
新知学习
新知引入
前面我们研究了两类变化率问题：一类平均变化率，另一类是瞬时变化率.在解决瞬时变化率问题时，都
采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，问题的答案也是一样的表示形式.下面我们进
关键点二：|f ′x0|越大⇔在 x0 处瞬时变化越快；|f ′x0|越小⇔在
x0 处瞬时变化越慢.
即时巩固
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f ′(x0)． ( √ )
(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处瞬时变化率较大．
断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.
随堂小测
1+∆ − 1
2∆
∆→0
1.已知函数y＝f (x)是可导函数，且f ′(1)＝2，则 lim
1
A．2
B．2
C．1
＝( C )
D．－1
2.已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( B )
＜0，故B符合．
(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成
预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单
位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
A
B
C
D
解析：从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不
人教版高中数学选修2-2全套课件

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(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
高中数学第二章变化率与导数2.2导数的概念及其几何意义课件北师大选修2_2

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=
������(������0
+
������)-������(������0) ������
,曲线割线的斜率就是函数的平均
(2)切线的斜率.
当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的最终位置为
直线AD,这条直线AD叫作此曲线在点A的切线.则当Δx→0时,割线
AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率,即 切线AD的斜率.
1.导数的概念
定义:设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变到
f(x1),函数值y关于x的平均变化率为
������ ������
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0),
当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那
么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变
化率为函数y=f(x)在x0点的导数.
计算公式:f'(x)= lim
������ 1 →������ 0
f(xx11)--fx(0x0)=������������x������→������0
§2.2 导数的概念及其几何意义
学习目标
思维脉络
1.通过实例分析,体会由平 均变化率过渡到瞬时变化
率的过程,了解导数概念建 立的背景. 2.理解瞬时变化率的含义, 并知道瞬时变化率就是导
数. 3.会求函数 f(x)在某一点 x0 处的导数. 4.理解导数的几何意义,并 能利用几何意义解决相关
问题. 5.会求与导数相关的切线 问题.
高中数学 第二章 变化率与导数 2.4.1 导数的加法与减法法则课件42高二选修22数学课件

高中数学 第二章 变化率与导数 2.4.1 导数的加法与减法法则课件42高二选修22数学课件

x 2 2 x f ( x) g ( x) 2 x 2 x ln 2.
第八页，共十七页。
( 2 )函数 y x ln x 是 f ( x ) x 与
函数 g ( x ) ln x 的差 ,由导数公式表 ,
分别得出
f ( x ) 1 , g ( x ) 1 .
2x
x
利用函数差的求导法则
方程。点P处的切线方程为L：y -14/3=5(x-2)。即：15x-3y-16=0。导数的加法与减法法则是什么。几个常见的函数的导
数是什么
No
Image
12/8/2021
第十七页，共十七页。
(2)y=x4-x2-x+3.
y' 4x3 2x 1
第十三页，共十七页。
练习移3动. ，已设知p点处p的在切曲线线的(q倾ūxiàyn斜) 角x为3α，x则α32的取上
值范范围为
02或 34
解因为k=f(x)=3x2 1≥ -1即tanα≥-1 所以(suǒyǐ)α角的取值范围0 为2或 34
第十四页，共十七页。
练习4:
已知曲线(qūxiàny) 13x3+x上一点P(2,134),
求:(1)点P处的切线L的斜率和方程;
(2).切线L和坐标轴所围成的三角形面积。
解 :(1)由 导 数 公 式 得 :f(x) 1 3x31 1 33x21x21.
故 点 P 的 切 线 斜 率 是 :f(x0)2215.
可得 :
x ln x
f ( x ) g ( x )
1
1.
2x x
提示 : (tíshì)
对于(duìyú)常见的几
个函数的导数,
可以熟记,以便
高考数学一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数导数的计算课件 理

高考数学一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数导数的计算课件 理


解
．
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变化率与导数、导数的计算
考点一：导数的运算
题组练透
求下列函数的.导数
(1)y x2 sinx;
(2)y lnx பைடு நூலகம்; x
cosx (3)y ex ;
(4)y xsin(2x)cos2(x);
2
2
(5)y ln(2x5).
类题通法
函数求导的遵循原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等 变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减 少运算量，提高运算速度，减少差错. (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式， 但在求导前利用代数或三角恒等式等变形 将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免 使用商的求导法则，减少运算量． (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复 合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然 后求导．
考点二：导数的几何意义
角度一：求切线方程
1.(201.云 5 南一)检 函数f(x) l nx2x x
的图象在(1点 ,2)处的切线方程 ( 为)
A2.x y40
B2. x y0
C.x y30
D.x y10
角度二：求切点坐标
2.(201.江 4 西高 )若考曲y线 xlnx上 点P处的切线平行 2x与 y直 10线 ,则 点P的坐标 __是 _____.____
角度三：求参数的值
3.已知f (x) ln x, g(x) 1 x2 mx 7
2
2
(m 0),直线l与函数f (x), g(x)的图象都相切，
且与f (x)图象的切点为(1, f (1)),则m的值为
A. 1
高中数学 第二章 变化率与导数 2.4.1 导数的加法与减法法则课件32高二选修22数学课件

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（1）设 f (x) x2与 g(x) 2x，则
导数(dǎo shù)
公式
由函数(hánshù)和的求导法则
可得：
12/8/2021
第八页，共十六页。
（2）由函数(hánshù)差的求导法则 可得：
12/8/2021
第九页，共十六页。
动手做一做
1. 求下列函数(hánshù)的导数：
y 2 2 33 x
2.4.1 导数(dǎo shù)的加减法法则
12/8/2021
第一页，共十六页。
复习(fùxí)回顾
＊ 计算导数(dǎo shù)的步骤：
求导“三步曲”： 求 y
＊ 导函数(hánshù)定义：
求 y x
求 lim y x0 x
f (x是) x的函数，称之为 f ( x的) 导函数，也简称导
数。
12/8/2021
第四页，共十六页。
求 f(x)xx2的导函数。
∴ x (x 2 ) 1 2 x (x x 2 )
所以(suǒyǐ)
同理
12/8/2021
第五页，共十六页。
概括(gàikuò)
两个函数(hánshù)和（差）的导数，等于这两个函数(hánshù)导
数的和（差），即
12/8/2021
12/8/2021
第二页，共十六页。
＊ 常用导数(dǎo shù)公式：
（1） C0(C为 常 数 ) （2） (xn)nxn1(nR) （3） (sinx)cosx （4） (cosx)sinx （5） （6）
12/8/2021
第三页，共十六页。
？？
问题：
我们前面学习了求单个函数的导数的方法， 如果(rúguǒ)给出两个函数并已知它们的导数，如何求 它们的和、差、积、商的导数呢？
高中数学导数的概念 PPT课件 图文

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导数的定义:
从函数lyim=f(xf )(在x0x=x0x处) 的f瞬( x时0 )变化lim率是f: ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y f ( x)在x x0
处的导数 , 记作 f ( x0 )或y xx0 ,即 :
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
数值的改变量与自变的量改变量之比,即:
y f (x2) f (x1) .
x
x2 x1
我们用它来刻画函数在值区间[x1, x2]上变化的快慢.
对于一般函y数 f (x),在自变量 x从x0变到x1的
过程中,若设x x1 x0,则函数的平均变化:率是
y f (x1) f (x0) f (x0 x) f (x0).
x) x
f
(x0 )
例题讲解
例 1一条水管中流 y(单 过位 :m 的 3)时 水间 x(量 单位 :s) 的函y数 f(x)3x.求函y数 f(x)在x2处的导数 f(2)并 , 解释它的. 实际意义
解:当x从2变到2x时,函数值3从2变
到3(2x),函数值 y关于x的平均变化率 : 为
例2一名食品加工厂的上工班人后开始连续, 工作 生产的食品数 y(单 量位:kg)是其工作时x(间 单位:h) 的函数 y f (x).假设函y数 f (x)在x1和x3处 的导数分别: f为(1) 4和f (3) 3.5,试解释它们 的实际意. 义
如 其 解 4kg:果 生 的 f (保 产 1食) 持 速 品.4(表 这 度 即示 一 工该 生 作工 产 效,人 速 )那 率 为上 4度 么kg班 他/h后 .每 也1工 h时 就的作 可 是时以 说 ,候, 生一 其 产 f(3生 生 )3产 产 .5表 速 速 ,那 示 3.度 度 5么 k该 g为 /他 h工 .也每 人 就时 上 是可 ,如 班 说 33h.以 5的 果 k后g的 生 时 保 工食 产 ,候 持 作 .品 这
第2篇 第10节 导数的概念与计算课件 理 新人教A版 课件

第2篇 第10节 导数的概念与计算课件 理 新人教A版 课件

1 f′(x)＝____x _____
质疑探究 1：如果 f(x)＝ln |x|，则 f′(x)＝1x？ 提示：正确，分 x>0，x<0 去绝对值，求导数可得．
4．导数的运算法则和复合函数的导数
(1)导数的运算法则 ①[f(x)± g(x)]′＝___f_′(_x_)_±__g_′(_x_)_____； ②[f(x)·g(x)]′＝_f_′(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′(_x_) ______；
解析：设过点(1,0)的直线与 y＝x3 相切于点(x0，x30)， 所以切线方程为 y－x30＝3x02(x－x0)， 即 y＝3x20x－2x30， 又(1,0)在切线上， 则 x0＝0 或 x0＝32， 当 x0＝0 时，由 y＝0 与 y＝ax2＋145x－9 相切可得 a＝－2654， 当 x0＝32时，
导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 ___Δ_lix_m→_0__f_x_0＋__Δ_Δ_xx_－__f_x_0_____.
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝
②几何意义
函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝ f(x)上点(x0，f(x0))处的 切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数 s(t) 对 时 间 t 的 导 数 ) ． 相 应 地 ， 切 线 方 程 为 ___y_－__f(_x_0_)＝__f_′(_x_0_)(_x_－__x_0)__________．
即f′(x＋T)＝f′(x)， 所以导函数为周期函数． 因为y＝f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 两边求导得f′(－x)(－x)′＝－f′(x)， 即－f′(－x)＝－f′(x)， 所以f′(－x)＝f′(x)， 即导函数为偶函数，故选B. 答案：B
高中数学 第二章 变化率与导数 2.4 导数的四则运算法则课件

高中数学 第二章 变化率与导数 2.4 导数的四则运算法则课件

解 :y(2x33x25x4) 6x26x5
第十三页，共十八页。
2用 . 两种y 方 (2 法 2x 求 3)( 32x) 的导数
解：法一：y ( 2 x 2 3 ) ( 3 x 2 ) ( 2 x 2 3 )3 x ( 2 )
4 x ( 3 x 2 ) ( 2 x 2 3 ) 3 1x 828x9
证明想(zhèngmíng)：y令f(x)g(x).
y f ( x x ) g ( x x ) f ( x ) g ( x )
f ( x x ) f ( x ) g ( x x ) g ( x )
y f( x x ) f( x ) g ( x x ) g ( x )
解y ： ' 1(x2 (3 x)2 (3 x)2 3)2x
x2 6x 3 (x2 3)2
当 x3 时 ,f(3 )3 (2 3 26 3 ) 3 2 31 6
第十六页，共十八页。
例4:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切线
的方程. (qiēxiàn)
解： f (x) (x3 3x 8) 3x2 3， k f (2) 3 22 3 15， 又切线过点(2,6)， 切线方程为: y 6 15(x 2)， 即：15x y 24 0．
导数(dǎo shù)的四则运算法则
第一页，共十八页。
一、复习(fùxí)回顾
1、基本(jīběn)求导公 (1)C0(C为常)数
式(:2)(x)' x1(为常数）
(3 )a ( x )' a x ln a 0 ( 且 ,a 1)
(4 )l(oax g )' x1l( n a a0 ,且 a 1)
法则 2: (fǎzé)
[C(fx)]C f(x).C (为常 ) 数

高中数学选修2《导数在研究函数中的应用》课件


或
x>1
时,
f (x)>0,
-
1 3
x
1
时,
∴ 函数在 (-∞,
f (x)<0.
- 13) 或 (1,
+∞) 上是增函数,
在
(
-
1 3
,
1)上是减函数.
4. 证明函数 f(x)=2x3-6x2+7 在 (0, 2) 内是减函数.
证明: f (x)=6x2-12x,
解不等式 6x2-12x<0 得 0<x<2,
函数是增函数.
例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x;
(2) f(x)=x2-2x-3;
(3) f(x)=sinx-x, x(0, p);
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1.
y
解: (3) f (x) = cosx-1,
解不等式 cosx-1>0 得
果 f(x)<0, 那么函数 y=f(x)在
这个区域内单调递减.
例1. 已知导函数 f (x) 的下列信息:
当 1<x<4 时, f (x)>0;
当 x>4, 或 x<1 时, f (x)<0;
当 x=4, 或 x=1 时, f (x)=0.
试画出函数 f(x) 图象的大致形状.
解: 在区间 (1, 4) 内, f (x)>0,
解不等式 6x2+6x-24>0 得
x
-
1 2
-
17 2
,
或
x
-
1 2
+

北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念与导数的几何意义习题课 课件


C
.
9 x 4 y 12 0 或 y 0
1 3 3 9 练习 3.⑴如图已知曲线 y x 上的一点 P ( , ) , 3 2 8 求点 P 处的切线方程. 9 2 解:∵ y x ,∴ y | 3 . x 4 2 9 即点 P 处的切线的斜率等于 . 4 ∴在点 P 处的切线方程 9 9 3 是 y (x ) , 8 4 2 即 9 x 4 y 12 0 .
1.导数是函数的瞬时变化率,它是从众多实际问题中 抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，可 以从它的几何意义和物理意义来认识这一概念的实质.
2.求导数值的三个步骤: ⑴求函数值的增量: y f ( x0 x) f ( x0 ) ; f ( x 0 x ) f ( x0 ) y ⑵求平均变化率: 并化简; x x △y ⑶直觉 lim 得导数 f ( x0 ) . △ x 0 △ x 这也是我们自己推导一些导函数的解析式的过程.
y y1 (2 x1 1)(x x1 ) ，又 y1 x1 x1 1，
2
y x1 x1 1 (2x1 1)(x x1 ) （ ）
2
又点（， 1 0）在切线上， x1 x1 1 2x1 1 (1 x1 ) （ ）（ ） 解之得 x1 0, x1 2 ，于是 y1 1或y1 3 则：过（0，1）的切线方程为 y 1 x ，即 x y 1 0 过（-2，-3）的切线方程为 y 3 3( x 2) ，即 3x y 12 0 讲评：本题考查利用导数的几何意义求抛物线的切线方程，注意 点（-1，0）不在抛物线上.

1 2 x
.
练习 1.求下列函数的导函数 1 3 ⑴y x ⑵y x ⑶ y x2 2 x 3 3

高考数学一轮复习 211变化率与导数、导数的计算课件 新人教A版

答案 C
4．曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． 解析 y′＝3lnx＋1＋3＝3lnx＋4，所以曲线在点(1,1)处的 切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
答案 y＝4x－3
5．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________. 解析 由题意，得f′(x)＝2x＋3f′(2)． ∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.
(g(x)≠0)．
5．(理)复合函数的导数
设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数 f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝ f′[v(x)]v′(x) ，即y′x＝ y′u·u′x .
疑点清源 1．利用导数定义求导数时，要注意到x与Δx的区别，这里的 x是常量，Δx是变量． 2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防 止与乘法公式混淆． 3．求曲线的切线时，要分清点P处的切线与过P点的切线的 区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
(2)几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上 点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率． 相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
2．函数f(x)的导函数 fx＋Δx－fx
称函数f′(x)＝
lim
Δx→0
Δx
函数有时也记作y′.
＝axlna，其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 D
2．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为( ) A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0)解析令f′(x)＝2x－2－

高中数学导数的概念课件


优化问题求解
总结词
导数在数学优化中常用于求解最值问题，通过求导可以 找到函数的极值点。
详细描述
在数学优化中，最值问题是最常见的一类问题，导数可 以用来求解这类问题。通过对函数求导，可以找到函数 的极值点，从而确定函数的最值。例如，一个企业要制 定一个营销策略，目标是最大化利润，利润函数为P(x) ，对其求导得到利润函数的导数P'(x)，通过求解P'(x)=0 ，可以找到使利润最大的最优策略。
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数可以用于数值分析中，如求 解微分方程、积分方程等，通过 求导数可以得到数值解的近似值
。
图像处理
导数可以用于图像处理中，如边 缘检测、图像滤波等，通过求图 像函数的导数可以得到图像的边
缘信息。
信号处理
导数可以用于信号处理中，如滤 波器设计、信号降噪等，通过求 信号函数的导数可以得到信号的
高中数学导数的概念课件
汇报人：
202X-01-05
CATALOGUE
目 录
• 导数的定义 • 导数的性质 • 导数的应用 • 导数的计算 • 导数在实际问题中的应用案例
01
CATALOGUE
导数的定义
导数的起源
01
导数起源于微积分，最初由牛顿 和莱布尼茨等数学家提出，用于 描述函数在某一点的变化率。
导数与函数极值
总结词
导数等于0的点可能是极值点
详细描述
函数在极值点的一阶导数等于0，但一阶导数为0的点不一定是极值点，需要进一 步判断二阶导数的正负。
导数与函数最值
总结词
导数可以帮助寻找函数最值
详细描述
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极值点，再结合一阶或二阶导数的符号变化，判断是极大值还是极小值 ，从而确定函数的最值。

北师大版数学高二课件 2.2 导数的概念及其几何意义


解析答案
易错易混 因对“在某点处”“过某点”分不清致误 例5 已知曲线y＝f(x)＝x3上一点Q(1,1)，求过点Q的切线方程.
防范措施
解析答案
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12345
1.下列说法中正确的是( D ) A.和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线 B.和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线 C.曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点 D.曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点 解析 y＝sin x，x∈R 在点(π2，1)处的切线与 y＝sin x 有无数个公共点.
解析 设切线的倾斜角为α，
则 tan α＝ lim
Δx→0
fx0＋Δx－f1 Δx
＝ lim
Δx→0
131＋Δx3－1＋Δx2＋5－31－1＋5＝ lim
Δx
Δx→0
13Δx3－Δx Δx
＝Δlxi→m0[13(Δx)2－1]＝－1. ∵α∈[0，π)，
∴α＝34π. ∴切线的倾斜角为34π.
解析答案
(2)曲线y＝1 和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积 x
3
是__4__.
解析
联立y＝1x， y＝x2，
解得xy＝＝11，，故交点坐标为(1,1).
曲线 y＝1x在点(1,1)处切线方程为 l1：x＋y－2＝0，
曲线y＝x2在点(1,1)处切线方程为l2：2x－y－1＝0. 从而得 S＝12×2－12×1＝34.
解析答案
课堂小结
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，
即 k＝ lim
Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的

高中数学 同步教学 第2章 3 计算导数


利用分类讨论思想处理两曲线的公切线问题 [例 4] 求曲线 C1：y＝x2 与曲线 C2：y＝x3 的公切线的斜率．
B．sinπ4
C．0
D．－cosπ4
解析：f(x)＝cosπ4＝ 22，故 f′(x)＝0.
答案：C
4．给出下列结论：①若 y＝x13，则 y′＝－x34；
②若 y＝3 x，则 y′＝133 x；③若 y＝x12，则 y′＝－2x－3；
④若 y＝f(x)＝3x，则 f′(1)＝3；⑤若 y＝cos x，则 y′＝sin x；
⑥若 y＝sin x，则 y′＝cos x.
其中正确的个数是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：由求导公式可知，①③④⑥正确． 答案：B
5．若函数 f(x)＝xn 在 x＝2 处的导数值为 12，则 n＝____3____. 解析：f′(2)＝n·2n－1＝12，所以 n＝3.
探究一 利用导函数定义求导数
1 D.3x x
解析：
f(x)＝x13，∴f′(x)＝13x13－1＝13x－23＝ 3
1 3 x2
.
答案：B
2．f(x)＝0 的导数是( ) A．0 C．不存在
B．1 D．不确定
解析：常数函数的导数为 0，故选 A. 答案：A
3．若 f(x)＝cosπ4，则 f′(x)＝( )
A．－sinπ4
三、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
函数
导函数
y＝c(c 是常数)
y′＝0
y＝xα(α 是实数)
y′＝αxα－1
y＝ax(a>0，a≠1)
y′＝axln a 特别地(ex)′＝ex
y＝logax(a>0，a≠1) y′＝xln1 a特别地(ln x)′＝1x
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数学D 选修2-2
第二章 变化率与导数
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
2．基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)＝c，则f′(x)＝_____0___； (2)若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝_____α_x_α－_；1 (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝_____co_s__x； (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝___－__s_in__x；
4．求函数y＝
1 的导数． x
解析：
方法一：∵Δy＝
x＋1 Δx－
1＝ x
x－ x＋Δx xx＋Δx
＝
－Δx xx＋Δx· x＋
x＋Δx，
∴y′＝Δlxi→m 0 ΔΔxy＝Δlxi→m 0
－1 xx＋Δx· x＋ x＋Δx
1 (5)若f(x)＝tan x，则f′(x)＝____c_o_s2__x；
(6)若f(x)＝cot x，则f′(x)＝___－__s_in1_2_x；
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第二章 变化率与导数
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(7)若f(x)＝ax，则f′(x)＝___a_x_ln__a_(a>0)； 特别地，若f(x)＝ex，则f′(x)＝_____e_x__；
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第二章 变化率与导数
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§3 计算导数
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第二章 变化率与导数
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我们知道，圆的面积S是半径r的函数，S＝πr2；圆的周长l 也是圆半径r的函数，l＝2πr.类似地，球的体积是半径R的函 数，V＝43πR3；球的表面积也是半径R的函数，S表＝4πR2.
a，要注意ln
a所
处的位置，可从下面两个方面加深理解与记忆：
①对公式(logax)′，可用换底公式得到：(logax)′＝
ln (ln
ax)′＝ln1a(ln
x)′＝ln1a·1x＝xln1 a，这样就明确了公式中ln
a
的来历，从而易记．
②区分公式的结构特征，既要区分“(ln x)′与(logax)′” 和“(ex)′与(ax)′”又要区分“(logax)′与(ax)′”，找出差异 和联系，记忆公式．
x，要注意不完全是sin x、cos x交替，后者还有“一”．同样
对公式(tan
x)′＝
1 cos2x
和(cot
x)′＝－
1 sin2x
，也有类似地正、
余交替，但又有区别．
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(2)对公式(logax)′＝
1 xln
a
和(ax)′＝axln
你能运用导数的知识说出“圆的面积与周长的关系”及 “球的体积与表面积的关系”的实质吗？
[提示] 圆的面积的导数是圆的周长，球的体积的导数是 球的表面积．
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1．导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数， fx＋Δx－fx
答案： B
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3．若f(x)＝3x，则f′(0)＝__________. 解析： f′(x)＝3x·ln 3，∴f′(0)＝ln 3. 答案： ln 3
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(1)“函数在一点处的导数”，就是当自变量的改变量趋近于 零时，该点的函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限， 它是一个数值，不是变量．
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(2)“导函数”：如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点
都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)
内每一个确定的值x，都对应着一个导数值f′(x)，这样就在开
区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这一新函数称
为y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′，即
f′(x)＝y′＝Δlxi→m 0
ΔΔyx＝Δlxi→m 0
fx＋Δx－fx Δx .
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(3)导函数简称导数，所以求导数要弄清是求导函数还是求 在一点处的导数，它们一个是函数一个是常数，是一般与个别 的关系．
(4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0 时的函数值．
所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导数， 再计算这点的导数值．
1 (8)若f(x)＝logax，则f′(x)＝____x_l_n_a_(a>0，且a≠1)，
1 特别地，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝_____x___.
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(1)对公式(sin x)′＝cos x和(co3xln 3；②[f(x0)]′＝f′(x0)； ③[f(x0)]′＝0；④(ln 2)′＝12.
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
解析： ①式为指数函数求导公式，正确；f(x0)是常数，
故[f(x0)]′＝0，故③式正确；②式错误；ln 2是常数，故(ln
2)′＝0，④式错误．
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1．若f(x)＝cosπ4，则f′(x)为( )
A．－sinπ4
B．sinπ4
C．0 解析： 答案：
D．－cosπ4
f′(x)＝cos
π4′＝0.
C
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导数值记为f′(x)：f′(x)＝ Δ_lx_i→m__0_______Δ_x______，则f′(x) 是关于x的函数，称_f_′(_x_)___为__f(_x_)____的导函数，通常也简称 为导数．
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“函数y＝f(x)在点x0处的导数”、“ 导函数”、“导数”三者之间的区别与联系