高中数学选修1课件：3.1.1变化率与导数

r(V2 ) r(V1) f (x2 ) f (x1)
V2 V1
x2 x1
设某个变量 f 随 x 的变化而变化，
从 x 经过 △x ， 量 f 的改变量为
f f (x x) f (x)
量 f 的平均变化率为
f f (x x) f (x)
x
x
令 x 0，则得到f 在x 的（瞬时）变化率：
t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1)
血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 函数f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示
曲线在该点处的切线的斜率. （数形结合，以直代曲）
以简单对象刻画复杂的对象
t
0.2
药物浓度的 瞬时变化率
(3) 物体在t =2时的瞬时速度.
v s 2g 1 gt
t
2
(1) 将 t=0.1代入上式，得
O s(2)
v 2.05g 20.09(m / s) (2) 将 t=0.01代入上式，得
s(2+t) s
v 2.005g 19.65(m / s)
( 3) 当t 0,2 t 2
平均速度 v 的极限为:
x0
x
T
P
f (x 0 )
o
x0
x 即 kPT tan f (x 0 )
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 )在几何上表示 曲线y f (x)在点M (x0, f (x0 ))处的切线的斜率。
曲线y f (x)在点M (x0 , f (x0 ))处
的切线方程为 y y0 f (x0 )(x x0 )
0.01 -13.149
-0.001 -13.0951
0.001 -13.1049
-0.0001 -13.009951 0.0001 -13.10049
-0.00001 -13.099951 0.00001 -13.100049
高台跳水 h(t) 4.9t 2 6.5t 10
v h h(t t) h(t)
t1
t2
t
(2)请描述，比较曲线分别在t0 , t1 , t2
附近增（减）以及增（减）快慢的情况。
在 t3 , t4 附近呢？
附近：瞬时 增（减): 变化率（正或负） 即：瞬时变化率（导数） =切线的斜率 增（减）快慢：即：导数 的绝多值的大小
切线的倾斜程度 =切线斜率的绝对值的 （陡峭程度） 大小 画切线（数形结合，以直代曲）
s＝s(t)(ｓ表示位移，t
时刻的速度．
表示时间)，求物体在
t0
如 图 设 该 物 体 在 时 刻 t0 的 位 置 是 ｓ (t0) ＝ OA0 ， 在 时 刻 t0
+t 的位置是s(t0+t) ＝OA1，则从 t0 到 t0 +t 这段时间内， 物体的 位移是
s OA1 OA0 s(t0 t ) s(t0 )
律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是
物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度v
的极限．即
v s lim s(t t ) s(t )
t t0
t
高台跳水 h(t) 4.9t 2 6.5t 10
Δt
Δt
-0.1
-v12.61
0.1
-13.59
-0.01 -13.051
t3, t4
附近单调 递减
上升
t3, t4
递增
如图，切线 l2 的倾斜程度大于切线 l1 的
倾斜程度， l3
l4
这说明曲线在 t2 附近比在 t1附近 下降
得迅速．
t3
t4
上升
2．如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t) （单位：mg/ml）随时间t（单位：min） 变化的函数图像，根据图像，估计
△x之比当 △x→0的极限存在，则称函数 y = f(x)在点 x0 处
可导 ，并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数，
记为 f (x0 ) 。
即
f
(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
y 也可记作 x xo
若这个极限 不存在，则称
在点x0 处不可
v 的极限．即
v s lim s(t t ) s(t )
t t0
t
例 物体作自由落体运动，
运动方程为： s 1 gt 2，其中位移 2
单位是m ，时间单位是s ， g=9.8m/s2．
求 ： (1) 物 体 在 时 间 区 间 [2，2.1]上的平均速度；
(2) 物体在时间区间[2，2.01] 上的平均速度；
引导：
1 这一现象中，哪些量在改变？ 2 变量的变化情况？ 3 引入气球平均膨胀率的概念
V (r) 4 r3 r(V ) 3 3V
3
4
当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了
r(1)－r(0)= 0.62 当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了
r(２)－r(１)= 0.１６
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况， 我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得 出函数的平均变化率
v lim v lim s 2g 19.6(m / s)
t0
t0 t
s
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s).
当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度 v就越接近
t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
瞬时速度
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物
体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规
h/ 1 3.3 同理，h/ (0.5) 1.6
运动员在 t 1s 时的瞬时速度为 h/ (1) 3.3m/ s ，
t 0.5s
h / (0.5) 1.6m / s
这说明运动员在t 1s附近，正以大约3.3m/ s
t 0.5s
的速率 下落 。
1.6m / s
上升
１．你能借助函数 f (x)的图象说说平均变化率
在时间段( t0+t)－ t0 = t 内，物体的平均速度为:
v s(t0 t) s(t0 ) s
t0 t t0
t
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规 律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是 物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度 ．
记为 f (x0 ) 或 y xxo ，即
f (x0 )
lim
x0
f x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
导数的概念
设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的附近有定义，当自变量 x
在 x0 处取得增量 △x ( 点 x0 +△x 仍在该定义内）时， 相
应地函数 y 取得增量 △y = f (x0 +△x)- f (x0 )，若△y与
3.1.1 《变化率与导数》
教学目标
• 了解导数概念的实际背景，体会导数的思 想及其内涵
• 教学重点： • 导数概念的实际背景，导数的思想及其内
涵
变化率问题
问题1 气球膨胀率
V (r) 4 r3
3
r(V ) 3 3V
4
问题2 高台跳水运动中，运动员相对
于水面的高度是
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
导数的步骤:
（1）求函数的增量: f f (x0 x) f (x0 ) ；
（2）求平均变化率: f f (x0 x) f (x0 ) ；
x
x
（3）取极限，得导数:
f
(
x0
)
lim
x0
f x
．
V (t0 ) S(t0 ), K切 f (x0 )
例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同
以简单对象刻画复杂的对象
(2) 曲线在 t0 时，切线平行于x轴，曲线在
t0 附近比较平坦，几乎没有升降．
h / (t1 ), h / (t2 ) 0
曲线在
t1 ,
t3 ,
t2
t4
处切线 l1 ,
l3 ,
l2
l4
的斜率 小于0 大于
h/ (t3 ), h/ (t4 ) 0
在 t1 , t2 附近，曲线下降 ，函数在 t1 , t2
0.3
0.4
0.6
0.8
0 0.5 1.4
抽象概括：
导函数 f / (x) 的概念：
f / (x0 ) 是确定的数 f / (x) 是
f
/ x0
lim
x0
f
x0
x
x
f (x0 )
f / x lim f x x f (x)
x0
x
x 的函数
小结：
１.函数 f (x) 在 x x0 处的导数 f / x0
t
t
v(2) lim h(2 t) h(2)
t 0
t
lim(4.9t 13.1) 13.1 t 0
导数的概念
一般地，函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变
化率是
lim f (x0 x) f (x0 ) lim fLeabharlann x0xx0 x
我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数，
y
A B C
圆的切线定义并不适 l1 用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将 l2 割线趋于的确定位置的