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变化率的“视觉化”， %越大，曲线y = f(x)在区间［X 1, X 2］上越“陡峭”，反之亦然 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数 则fx2― fx1X 2 — X 1知识点二瞬时速度与瞬时变化率 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s = s(t)描述，设 A 为时间改变量，在t o + A t 这段时间内，物体的位移 (即位置)改变量是A s = s(t o ^ At) — s(t 0)，那么位移改变量 A s 与时间改变量A t 的比就是这段时间内物体的平均速度s s t o + A t — s t oV ，即 V = A t = A t1.1.1 变化率问题1.1.2导数的概念［学习目标］1•理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念 .2.掌握函数平均变化率的求法 3掌握导数的概念，会用导 数的定义求简单函数在某点处的导数 . 知识梳理自主学习知识点一函数的平均变化率 1•平均变化率的概念 设函数y = f(x), X 1, X 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f X2 — f X1我们把这个式子称 X 2 — X 1 为函数y = f(x)从X 1到X 2的平均变化率，习惯上用 A x 表示X 2 — X 1，即A x = X 2— X 1，可把A x 看作是相对于X 1的一个 “增量”，可用 X 1+ A x 代替X 2；类似地，A y = f(X 2)— f(X 1).于是，平均变化率可以表示为A y A2•求平均变化率 求函数y = f(x)在［*, x 2］上平均变化率的步骤如下: (1)求自变量的增量 A x = X 2— X 1 ； ⑵求函数值的增量 A y = f(x 2)- f(x 1); ⑶求平均变化率A x X 2 — X 1 A y f X 2 — f X 1 f X 1 + A x — f X 1 A x 思考 (1)如何正确理解 A x , A y? (2)平均变化率的几何意义是什么？ 答案(1) A 是一个整体符号，而不是 △与X 相乘，其值可取正值、负值，但 时0 ；A y 也是一个整体符号，若 A x=X 1 — x 2，贝U A y = f(X 1)— f(X 2)，而不是 A y = f(X 2)— f(X 1), A y 可为正数、负数，亦可取零(2)如图所示: y = f(x)在区间［X 1, X 2］上的平均变化率 “数量化”，曲线陡峭程度是平均 y = f(x)图象上有两点 A(X 1, f(X 1)) , B(X 2, f(X 2)),物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t o 的速度，即t o 时刻的瞬时速度，用 v 表示，物体在t o 时刻的瞬时速度 v 就是运动物体在t o 到t o +A t 这段时间内的平均变化率 s+弓+_在A t T 0时的极限，即v = limA ss t o + A t — s t o 一 一△t = ym o 石 •瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率 .思考(1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？ 答案⑴其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 o 时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢 •⑵①区别：平均变化率刻画函数值在区间［X 1, X 2］上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 x o 点处变化的快慢；②联系：当A X 趋于o 时，平均变化率A y 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x o 处的瞬时变化率，它是一个固定值 • 知识点三导数的概念函数y = f(x)在x = x o 处的导数一般地，函数y = f(x)在x = xo 处的瞬时变化率是 |im o 多=妁。
变化率与导数导数的计算一、变化率与导数的关系在数学中，变化率是指一个量相对于另一个量的变化程度，常用来衡量两个变量之间的关系。
而导数则是描述函数在其中一点上的变化率的概念。
在一个数学函数中，比如说y=f(x)，x和y分别代表自变量和因变量。
那么，当x发生微小变化Δx时，对应的y值也会发生一定的变化Δy。
这时，我们可以计算出y随着x的变化而变化的速率，也就是变化率。
变化率可以通过求平均变化率和瞬时变化率来进行计算。
平均变化率指的是通过两个点之间的变化率来计算，可以用Δy/Δx来表示。
而瞬时变化率则是在其中一点上的变化率，通过取Δx趋近于0时的极限来计算，也就是导数。
二、导数的定义与计算导数是用来衡量函数在其中一点上的变化率的数值，用dy/dx来表示。
导数的定义是：f'(x) = lim(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。
导数可以用各种方法进行计算，其中最常用的方法包括求导法则和导数的性质。
1.求导法则（1）常数法则：如果c是一个常数，那么d(c)/dx = 0。
（2）幂法则：如果f(x) = x^n，那么d(f(x))/dx = nx^(n-1)。
（3）和差法则：如果f(x)=u(x) ± v(x)，那么d(f(x))/dx =d(u(x))/dx ± d(v(x))/dx。
（4）乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d(f(x))/dx =u(x)d(v(x))/dx + v(x)d(u(x))/dx。
（5）除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，那么d(f(x))/dx =(v(x)d(u(x))/dx - u(x)d(v(x))/dx)/v(x)^2（6）复合函数法则：如果f(x) = g(u(x))，那么d(f(x))/dx =g'(u(x))d(u(x))/dx。
2.导数的性质（1）导数的和差性：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
计算导数教学过程：一、复习1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的流程图。
（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 本节课我们将学习常见函数的导数。
首先我们来求下面几个函数的导数。
（1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3问题1：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题2：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？二、新授1、基本初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数)⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '=⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=-⑺'=由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ 1()x xααα-'= （α为常数） ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且 ⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
例1、求下列函数导数。
（1）5-=x y （2）x y 4= （3）x x x y =（4）x y 3log = （5）y=sin(2π+x) (6) y=sin 3π （7）y=cos(2π－x) （8）y=(1)f '例2：已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。
高中数学-变化率与导数、导数的计算
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.f′(x)是函数f(x)=x3+2x+1的导函数,则f′(-1)的值为( )
A.0
B.3
C.4
D.-
【解析】选B.因为f(x)=x3+2x+1,
所以f′(x)=x2+2.
所以f′(-1)=3.
2.已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f′= ( )
A.-
B.-
C.-
D.-
【解析】选C.因为f′(x)=-cos x+(-sin x),
所以f(π)+f′=-+·(-1)=-.
3.(·吉林模拟)已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率
为( )
A.e
B.-e
C.
D.-
【解析】选C.y=ln x的定义域为(0,+∞),且y′=,设切点为(x0,ln x0),则y′=,切线方程为
y-ln x0=(x-x0),因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为.
【变式备选】曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A.1
B.2
C.e
D.
【解析】选A.由题意知y′=e x,故所求切线斜率k=e x=e0=1.
4.(·沈阳模拟)若曲线y=x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x-y=0,则实数a= ( )
A.1
B.-1
C.2
D.-1
【解析】选C.导数的几何意义即为切线的斜率,由y′=3x2+a得在x=0处的切线斜率为a,所以a=2.
【变式备选】直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值
为( )
A.2
B.ln 2+1
C.ln 2-1
D.ln 2
【解析】选C.y=ln x的导数为y′=,由=,解得x=2,所以切点为(2,ln 2).将其代入直线方程y=x+b,可得b=ln 2-1.
5.已知f(x)=2e x sin x,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )
A.y=0
B.y=2x
C.y=x
D.y=-2x
【解析】选B.因为f(x)=2e x sin x,所以f(0)=0,f′(x)=2e x·(sin x+cos x),所以f′(0)=2,所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.
6.设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等
于( )
A.-1
B.
C.-2
D.2
【解析】选A.因为y′=,所以y′=-1,
由条件知=-1,所以a=-1.
7.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于 ( )
A.2
B.-1
C.1
D.-2
【解析】选C.依题意知,y′=3x2+a,
则由此解得
所以2a+b=1.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为________________.
【解析】设切点为(x0,y0),y′=4x,则4x0=4⇒x0=1,所以y0=2,所以切线方程为:y-2=4(x-1)⇒4x-y-2=0.
答案:4x-y-2=0
9.(·长沙模拟)若函数f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则f′(1)=________.
【解析】因为f′(x)=-2f′(-1)x+3,
所以f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,
解得f′(-1)=-2,所以f′(1)=1+4+3=8.
答案:8
10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,且当x>1时,f(x)=xe2-x,则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程是________.
【解析】因为f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,
所以y=f(x)的图象关于点(1,1)对称.
当x<1时,取点(x,y),该点关于(1,1)的对称点是(2-x,2-y),
代入f(x)=xe2-x可得:
2-y=(2-x)e2-(2-x),
所以y=2-(2-x)e x=xe x,
y′=(x+1)e x,y′|x=0=1,
所以切线方程为y=x,即x-y=0.
答案:x-y=0
1.(5分)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是 ( )
A.y=2x-1
B.y=x
C.y=3x-2
D.y=-2x+3
【解析】选C.令x=1得f(1)=1,令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,所以f′(x)=4x-1,所以f′(1)=3.
所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.
【巧思妙解】选C.令x=1得f(1)=1,由f(2-x)=2x2-7x+6,两边求导可得f′(2-x)·(2-x)′=4x-7,令x=1可得-f′(1)=-3,即f′(1)=3.
所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.
2.(5分)(·上饶模拟)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2距离的最小值为
( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选B.对于曲线y=x2-ln x上任意一点P,当过该点的切线斜率与直线y=x-2的斜率相同时,点P到直线的距离最小.
因为定义域为(0,+∞),所以y′=2x-=1,解得x=1,则在P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的
距离为d==.
【变式备选】曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是________.
【解析】如图,所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y=2x两平行线间的距离,
也即切点到直线y=2x的距离.由y=ln(2x),
则y′==2,得x=,y=ln =0,
即与直线y=2x平行的曲线y=ln(2x)的切线的切点坐标是,y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值,即=.
答案:
3.(5分)(·沧州模拟)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值为________.
【解析】易知点O(0,0)在曲线f(x)=x3-3x2+2x上,
(1)当O(0,0)是切点时,切线方程为y=2x,则联立y=2x和y=x2+a得x2-2x+a=0,
由Δ=4-4a=0,解得a=1.
(2)当O(0,0)不是切点时,设切点为P(x0,y0),则y0=-3+2x0,且k=f′(x0)=3-6x0+2.①
又k==-3x0+2,②
由①,②联立,得x0=(x0=0舍),
所以k=-,
所以所求切线l的方程为y=-x.
由得x2+x+a=0.
依题意,Δ′=-4a=0,所以a=.
综上,a=1或a=.
答案: 1或
【易错警示】(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)=x3-3x2+2x相切”.这里有两种可能:一是点O 是切点;二是点O不是切点,但曲线经过点O,解析中易忽视后面情况.
(2)本题还易出现以下错误:一是当点O(0,0)不是切点,无法与导数的几何意义沟通起来;二是盲目设直线l 的方程,导致解题复杂化,求解受阻.
4.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.
【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.
因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,
所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.
所以切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.
(2)设切点坐标为(x0,y0),
则直线l的斜率k为f′(x0)=3+1,
y0=+x0-16,
所以直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16.
又因为直线l过原点(0,0),
所以0=(3+1)(-x0)++x0-16,整理得,
=-8,所以x0=-2,
所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,得切点坐标为(-2,-26),k=3×(-2)2+1=13.
所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
5.(13分)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.
(2)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)相切,求l的直线方程.
【解析】(1)f′(x)=1-,因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,
所以f′(1)=1-=0,解得a=e.
(2)当a=1时,f(x)=x-1+,f′(x)=1-. 设切点为(x0,y0),
因为f(x0)=x0-1+=kx0-1,①
f′(x0)=1-=k,②
①+②得x0=kx0-1+k,即(k-1)(x0+1)=0.
若k=1,则②式无解,所以x0=-1,k=1-e.
所以l的直线方程为y=(1-e)x-1.。
