三角函数章节教学中学生数学思想培养

浅析高中三角函数中的基本数学思想摘要：基本数学思想在高中数学教学过程中占有重要地位，所以我们要将这种数学思想贯彻到整个高中数学教学过程中。

而三角函数作为高中数学的重要内容，在教学时也应该利用好基本数学思想，让学生掌握更多解决问题的方法，提高学生数学学习能力。

在本文中，我们就对这个问题进行详细的介绍。

关键词：三角函数；基本数学思想；应用方式中图分类号：g623.5在高中阶段，三角函数占有十分重要的地位，在教学过程中教师可以引导学生利用数形结合、分类讨论等基本数学思想，解决实际过程中出现的三角函数问题，从而有效的提高学生的数学学习能力，掌握这部分内容知识。

一、在高中三角函数中体现基本数学思想的重要意义基本数学思想是从数学知识中总结出来的，学生在数学学习过程中，除了要掌握基本数学知识外，还需要掌握基本数学思想，使数学思想深入学生心中，这样才能进一步提高学生的数学学习能力，拓展学生数学思维。

在学习三角函数这部分内容时，无论何种题型都是以考察三角变换为核心的，因此，在教学过程中教师要引导学生熟练掌握有关三角形的公式，了解三角函数中蕴含的数学思想，使学生能够更灵活的解决三角函数问题，增强学生分析问题、解决问题的能力。

二、高中三角函数中体现基本数学思想的方式1、数学结合思想的体现作为基本数学思想的主要部分，数形结合思想在解决数学问题时发挥着重要作用。

这种数学思想是借助数字的精确性，通过合理运用数字与图形之间的关系解决数学学习中的实际问题。

这种数学思想可以将抽象的数学问题变得更加直观。

在学习三角函数时，数学结合思想可以有效的将三角函数化简，比较适用于依据三角函数的图像求解定义域、单调性以及求解方程实根等问题。

比如说求|cosx|<sin|x|在[-π，π]上的解集这类题目时，教师就可以引导学生运用数形结合思想求解。

首先设y1=sin|x|，y2=|cosx|.并在同一个直角坐标系中画出y1，y2在[0，π]上的函数图像。

数学核心素养导向的三角函数单元教学研究篇一数学核心素养导向的三角函数单元教学研究一、引言随着教育改革的深入，数学核心素养的培养成为了高中数学教学的核心目标。

三角函数作为高中数学的重要内容，对于培养学生的数学核心素养具有重要意义。

本文将从数学核心素养的角度，对三角函数单元教学进行研究，以期为高中数学教学提供新的思路和方法。

二、数学核心素养与三角函数教学的关系数学核心素养的定义数学核心素养是指学生在数学学习过程中所形成的数学思维、数学能力、数学情感等方面的综合素养。

它包括数学基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验等方面。

三角函数在数学核心素养中的地位三角函数是高中数学的重要内容，它不仅涉及到基础数学知识，还涉及到数学思想、方法等方面的应用。

因此，三角函数教学对于培养学生的数学核心素养具有重要意义。

三、基于数学核心素养的三角函数单元教学设计教学目标设定基于数学核心素养的三角函数单元教学目标应该包括知识目标、能力目标和情感目标。

知识目标是指学生需要掌握的三角函数基础知识；能力目标是指学生需要具备的三角函数分析能力和解决问题的能力；情感目标是指学生需要培养的数学兴趣和情感态度。

教学内容设计基于数学核心素养的三角函数单元教学内容应该包括基础知识、基本技能、基本思想方法等方面的内容。

同时，教学内容应该具有层次性和递进性，能够引导学生逐步深入理解和掌握知识。

教学方法选择基于数学核心素养的三角函数单元教学方法应该包括案例分析、小组讨论、实验操作等。

这些方法可以激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度和学习效果。

同时，教师还可以采用多媒体技术等辅助手段，提高教学效果。

教学评价设计基于数学核心素养的三角函数单元教学评价应该包括形成性评价和终结性评价。

形成性评价可以通过课堂观察、作业完成情况等方式进行；终结性评价可以通过考试、测验等方式进行。

同时，教学评价应该注重学生的主体地位和全面发展，鼓励学生自我评价和互评。

四、基于数学核心素养的三角函数单元教学实践案例分析案例一：正弦函数的图像和性质本单元以正弦函数的图像和性质为主题，通过讲解正弦函数的定义、图像和性质等方面的知识，引导学生认识正弦函数的周期性、单调性、奇偶性等性质。

必修四《三角函数》一章中的数学思想方法教学策略的研究与实践一、建立角的概念过“三观“的思想1 运动观初中学习的角是指从一个端点出发的两条射线所形成的图形，这种概念的优点是形象，直观，容易理解，但它是从图形形状来定义的，因此角的范围是【0，360】，这种定义称静态定义，其弊病在于“狭隘”。

现在学习的角是指一条射线绕其端点旋转所形成的图形，这是一个动态的概念，角的概念也由此扩充。

在学习过程中我们更重视角的形成过程。

射线在绕其端点旋转时，首先遇到的旋转方向，为了区别旋转方向，规定逆时针方向旋转形成的角为正角，顺时针方向旋转形成的角为负角，一条射线没有旋转时的状态为零角。

2对应观从弧度制的定义中我们可以注意到，角的弧度值是一个比值（随着角的概念的推广，弧度的概念也随着推广），由此可知角的弧度值不具备单位的意义，因此，在书写角的弧度值时通常省略单位，从而真正实现实数与角的对应关系。

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.这样在直角坐标系下，角与实数间建立一种一一对应关系，一个实数就是一个角，一个角就是一个实数。

这如同实数与数轴上的点的对应关系。

1对于角的研究我们通常在直角坐标系下进行，其端点都在原点，始边都与X轴的非负半轴重合。

这样角又和直角坐标平面内以原点为端点射线形成了第二种对应：一个角在坐标平面中有唯一的一条终边和它对应。

3几何观角的概念的推广是将平面几何中的静态角推广到了动态角，在理解角的概念时，抓住始边的定，终边的动而止，止的瞬间角依然是一个静态的几何图形。

事实上，在几何学中，角的概念的推广以及弧度制的应用，扩大了角的研究范围，丰富了平面几何内容。

二、“单位圆”中体现的数学思想及应用“依性作图，依图识性。

”是数形结合思想的重要体现。

三角函数在本质上对单位圆圆周上一点的“动态描述”，在解决三角函数的有关问题中，应自觉运用单位圆中的三角函数线和三角函数的图像，以形助数，数形结合。

数学思想方法在三角函数中的应用四川 张继海数学思想方法属于方法范畴，但更多地带有思想、观点的属性，是数学知识在更高层次上的抽象和概括．中学教学与高考考查中，常用的数学思想有：化归与转化的思想，函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想等．本文主要说明的是，数学思想方法在三角函数中的应用．在三角函数一章中，主要用到的数学思想方法有：1．化归与转化的思想 把未知化归为已知，如用诱导公式把求任意角的三角函数值逐步化归为求锐角的三角函数值；把特殊化归为一般，如把正弦函数的图象逐步化归为函数y = A sin （ωx + φ），x ∈R （其中A ＞0，φ＞0）的简图，把已知三角函数值求特殊范围内的角逐步化归为求适合条件的所有角的集合等；等价化归，如进行三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式．2．函数与方程思想 在某些等式条件中，余弦定理，特别是已知三角函数值求角时，可将其看作是关于某个元的方程（组），借助解方程（组）的思想使问题得以解决．3．数形结合的思想 如将角的研究纳入直角坐标系下，利用三角函数线作正弦、余弦、正切函数的图象，利用图象求解某些三角等式或不等式问题．4．分类与整合的思想 如已知角α 的某一三角函数值，求α 的其余三角函数值或求角α 时，则应分情况讨论α 的范围或所在象限，用正弦定理解已知两边和一边的对角这类斜三角形问题时亦应分类讨论．例1 在△ABC 中，已知364=AB ，66cos =B ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．分析与解 设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE ∥AB ，且DE =36221=AB ．设BE = x ，在△BDE 中，利用余弦定理可得： BD 2 = BE 2 + ED 2－2 BE ·ED ·cos ∠BED ，∴ 5663622382=⋅⋅++x x ， 3x 2 + 4x －7 = 0，解得 x = 1，37-=x （舍去）， 故 BC = 2．从而 328cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即 3212=AC ．∵ 630sin =B ， ∴ 3063212sin 2⋅=A ， 1470sin =A ． 评注 本题内涵丰富，结构特别，有很多（至少5种）解法，同学们不妨一试．它不仅对方程的思想、数形结合的思想有较深入的考查，而且对等价转化的思想方法也有很高的要求．例2 已知锐角三角形ABC 中，53)sin(=+B A ，51)sin(=-B A ．（1）求证：tan A = 2tan B ；（2）设AB = 3，求AB 边上的高．分析与解 题目给出的条件是两角和与差的正弦值，用和、差角公式将其展开，得53sin cos cos sin =+B A B A ， ①B EC D A51sin cos cos sin =-B A B A ． ② 此时有sin A ，cos A ，sin B ，cos B 四个未知数，显然不能通过两个方程求出，因此将sin A cos B ，cos A sin B 看成两个未知数（二元一次方程组），将其整体解出，得52cos sin =B A ，51sin cos =B A ．由于两个等式相除可得正切与余切，tan A ·cot B = 2，即tan A = 2 tan B ．（这也可从转化待定式 ⇐ BBA A cos sin 2cos sin = ⇐ sin A cosB = 2cos A sin B 得到有效支撑）． 由第（1）问的结论，能得关于tan A 与tan B 的一个方程 tan A = 2 tan B ．③ 还需要再建立一个关于tan A 与tan B 的方程，这个方程可由已知条件53)sin(=+B A 及ππ<+<B A 2求得，先得出43)tan(-=+B A ，展开后，得43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ．④ 解由③、④组成的方程组，可求出 62tan +=A ，262tan +=B ．求CD 时，同样需要列方程：AB = AD + DB =623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB = 3，可解得AB 边上的高62+=CD ． 评注 本题是对三角恒等变形及求值问题的考查，重点放在方程思想和转化思想上，其解题过程是方程思想与转化思想的最佳体现．例3 已知函数y = tan （2x + ϕ）的图象过点)0,12(π，则ϕ 可以是（ ）．A ．6π-B ．6π C ．12π- D ．12π分析与解 ∵ y = tan （2x + ϕ）过点)0,12(π，∴ 0)6t a n (=+ϕπ，即 πϕπk =+6，6ππϕ-=k ，k ∈Z ．当 k = 0时，得 6πϕ-=，选A ．评注 将点代入后，化为已知三角函数值求角的问题，这时应通过坐标系写出满足条件的角的终边所在象限的所有角，再结合题目要求求出其解．例4 已知α，β，γ 是成公比为2的等比数列（α∈[ 0，2π ]），且sin α，sin β，sin γ 也成等比数列．求α，β，γ 的值．分析与解 ∵ α，β，γ 是成公比为2的等比数列， ∴ β = 2α，γ = 4α． （减少变量，消元） ∵ sin α，sin β，sin γ 成等比数列，∴ βγαβsin sin sin sin = ⇔ αααα2sin 4sin sin 2sin = ⇒ cos α = 2cos 2α－1， 即 2cos 2α－cos α－1 = 0，（化归为关于cos α 的二次方程）解得 cos α = 1，或 21cos =α．当 cos α = 1时，sin α = 0，与等比数列的首项不为零矛盾，故cos α = 1应舍去．当 21cos =α，α∈[ 0，2π ] 时，32πα= 或 34πα=．所以 32πα=，34πβ=，38πγ= 或 34πα=，38πβ=，316πγ=． 评注 本题通过将文字叙述向等式（符号）转化，使用方程思想（消元）化为关于cos α的一元二次方程，并时时注意字母取值范围，而简捷获解．例5 已知 6 sin 2α + sin α·cos α－2cos 2α = 0，],2[ππα∈，求)32sin(πα+的值．分析与解 首先从已知出发，需要将二次式转化为一次式（因式分解转化），（或减少函数名种类，转化为关于tan α 的一元二次方程），有（3sin α + 2cos α）（2sin α－cos α）= 0， 即 3sin α + 2cos α = 0 或 2sin α－cos α = 0．由已知条件可知cos α≠0，所以2πα≠，即),2(ππα∈，从而tan α＜0，∴ 32tan -=α．其次从待求式出发，有 3sin 2cos 3cos 2sin )32sin(παπαπα+=+=)sin (cos 23cos sin 22αααα-+=αααααααα222222sin cos sin cos 23sin cos cos sin +-⋅++ =αααα222tan 1tan 123tan 1tan +-⋅++=ααα22tan 22tan 3tan 23+-+． 于是将tan α 的值代入，不难计算出)32sin(πα+的值等于261235-，为所求．评注 本题对已知和待求式一再进行等价转化，目的是沟通它们的联系，寻到一个联结点tan α．事实上，若借助于计算器（机），亦可由32tan -=α直接求出角α≈－33.69︒，代入)32sin(πα+快速求得其值为－0.12845，与上述结果一致．例6 若513sin 3sin =αα，求cos α 的值． 分析与解 αααααs i n )2s i n (s i n 3s i n +==513sin sin 2cos cos 2sin =+ααααα， ∴513sin sin 2cos cos sin 22=+ααααα， 即 5132cos cos 22=+αα，518cos 42=α， 109cos 2=α．∴ 10103cos ±=α．评注 本题通过和角公式、倍角公式（或变形）对已知条件一再实施转化，使其和结论联系起来．例7 函数xxx f cos 2cos 1)(-=（ ）．A ．在]2,23(),23,[,],2(),2,0[πππππππ在上递增上递减B ．在]2,23(),,2[,]23,(),2,0[πππππππ在上递增上递减C ．在]23,(),2,0[,]2,23(],,2(πππππππ在上递增上递减D ．在]2,2(),2,0[,],23(),23,0[ππππππ在上递增上递减分析与解 将函数f （x ）简单化、明显化，有x x x x x x x f cos |sin |2cos sin 2cos )sin 21(1)(22==--=是分段函数， 即⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=.0sin ,tan 2,0sin ,tan 2)(x x x x x f（1）在一、二象限时sin x ＞0，x x f tan 2)(=单调递增；（2）在三、四象限时sin x ＜0，x x f tan 2)(-=单调递减． 于是，结合备选项，选A ．评注 本题综合考查三角函数式的化简及分段函数知识，同时较好地考查了三角函数的性质，整个解题过程十分深刻地蕴含了多种数学思想的应用．例8 函数y = A ·sin （ω x + ϕ）（ω＞0，| ϕ |＜2π，x ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）．A ．)48sin(4ππ+-=x yB ．)48sin(4ππ-=x yC ．)48sin(4ππ--=x yD ．)48sin(4ππ+=x y 分析与解 由图象可以看出，A = 4，262+=T ， ∴ T = 16， 于是 8162ππω==． 将点（－2，0）（或（6，0））代入函数)8sin(4ϕπ+=x y 中，得0)4sin(=+-ϕπ，∴ πϕπ=+-4（比照到正弦函数五点作图简法，此处对应于π），∴ )458sin(4ππ+=x y ．又 ∵ 2||πϕ<， ∴ 函数表达式为 )48sin(4πππ++=x y =)48sin(4ππ+-x ，选A ．评注 本题考查给定三角函数图象，求三角函数表达式，考查方程、数形结合和化归的数学思想．自我检测一、选择题1．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ）． D A ．sin （α + β）＞ sin α + sin β B ．sin （α + β）＞ cos α + cos β C ．cos （α + β）＜ sin α + sin β D ．cos （α + β）＜ cos α + cos β2．当20π<<x 时，函数xx x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）． CA ．2B ．32C ．4D ．34 解 将函数式等价化为xx x x x x x x x x x f tan 1tan 4cos sin 4sin cos cos sin 2sin 8cos 2)(22+=+=+=，所以，当20π<<x 时，有f （x ）≥ 4，选C 。

如何通过高中三角函数教学培养学生数学思想摘要：数学思想是学生在日常的数学习过程中逐渐形成的有效的思想方法。

在高中数学学习中，培养学生的数学思想能够有效地帮助学生提高数学学习效果。

三角函数是高中数学学习的重要部分，对其他章节知识的学习起着桥梁的作用，并且在其他章节的知识中也被广泛地使用着，因而，三角函数知识在培养学生学习能力和数学思想等方面有着重要的作用。

关键词：三角函数；数学思想；学习能力数学思想是学生在日常的数学习过程中逐渐形成的有效的思想方法。

在高中数学学习中，培养学生的数学思想能够有效地帮助学生提高数学学习效果。

因而，在新课程改革的要求中，培养学生的数学思想已经被列为数学教学的目标之一。

美国著名心理学家布鲁纳通过研究表明：掌握基本的数学思想方法能够使数学更容易理解和更便于记忆，领会基本数学思想方法是学生通向前进大道的光明之路。

在高中数学中，三角函数是数学学习的重要部分，对其他章节知识的学习起着桥梁的作用，并且在其他章节的知识中也被广泛地使用着，因而，三角函数知识在培养学生学习能力和数学思想等方面有着重要的作用。

基于此，本文笔者在仔细研究三角函数的相关知识的基础上，浅述三角函数知识在培养学生数学思想方面的作用，敬请同行斧正。

一、培养学生的函数与方程思想在解决三角函数问题上函数和方程思想是一个重要的数学思想，尤其在数学求最值，求值域以及求参数时，有着极为重要的作用。

教师在培养学生的函数和方程思想时，可以利用讲授求值域、求最值、求参数等相关的知识和方法，引导学生学习函数和方程的使用，通过指导学生进行解题练习，使学生在实际联系中感悟函数和方程思想的意义，从而使学生的函数与方程思想的导锻炼和培养。

例如，求的最值。

经过分析，学生可以发现这一题能够使用万能公式将原函数转变为的形式，设，然后再将其转换成关于t的一元二次方程。

根据一元二次方程存在实数根的条件解出y的取值范围。

具体过程如下。

解：设，原函数即 ,整理得（15y-1）t&sup2;+8t+5y-1=0当15y-1=0时，即。

《数学》第五章“三角函数”教材分析与教学建议在学习三角函数之前，学生已经学习了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数，对函数有了一定的认识。

三角函数是学生遇到的第一个周期性函数，是中等教育阶段最后一个基本初等函数。

学完本章以后，学生应对函数的一般内容，如函数符号、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等建立更完整的认识。

初中数学教学中已有锐角的三角函数的概念，但没有将其作为一种函数来教学，关注的只是三角函数值，主要利用锐角三角函数的定义解决直角三角形中有关边角的问题。

到了中职教育阶段，需要从函数的角度来认识三角函数，落实大纲中与三角函数部分相关的教学内容与要求。

本章首先对角的概念进行推广，并通过弧度制对角的度量建立角与实数之间的一一对应关系，为学生理解三角函数是以实数为自变量的函数奠定基础；为了角的概念推广的需要，把角放到平面直角坐标系中进行研究，不仅建立了角的大小与终边位置的关系，而且通过角的终边上的点的坐标来定义任意角的三角函数，并利用角的终边上点的坐标的正负直观性，判断三角函数值的符号，得到特殊角的三角函数值，建立同角三角函数的两个基本关系式以及诱导公式；借助三角函数图像以及诱导公式帮助学生从“形”与“数”两方面理解正弦函数、余弦函数的变化规律；最后利用计算器及诱导公式，能由已知三角函数值求出指定范围的角。

本章内容分为五个部分：角的概念推广，弧度制，任意角三角函数的概念及相关公式，正弦函数、余弦函数的图像与性质，已知三角函数值求角。

《中等职业学校数学教学大纲》建议本章设置18课时，其中新授部分16课时，复习部分2课时。

《大纲》对本章知识内容的学习要求包括：4项“了解”（角的概念推广、诱导公式、余弦函数的图像和性质、已知三角函数值求指定范围内的角）；4项“理解”（弧度制，任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数，同角三角函数基本关系式，正弦函数的图像和性质）；2项“掌握”（利用计算器求三角函数值及利用计算器求角度）。

三角函数的概念单元教学设计一、内容和内容解析1.内容三角函数的概念；三角函数的基本性质：三角函数值的符号、诱导公式一、同角三角函数的基本关系．本单元的知识结构：本单元建议用3课时：第一课时，三角函数的概念；第二课时，三角函数的基本性质；第三课时，概念和性质的简单应用．2.内容解析三角函数是一类最典型的周期函数，是解决实际问题的重要工具，是学习数学和物理、天文等其他学科的重要基础．传统上，人们习惯把三角函数看成是锐角三角函数的推广，利用象限角终边上点的坐标比定义三角函数．由于这一定义方法出自欧拉，因此更显出它的权威性．然而，锐角三角函数的研究对象是三角形，是三角形中边与角的定量关系（三角比）的反映；而任意角三角函数的现实背景是周期变化现象，是“周而复始”变化规律的数学刻画．如果以锐角三角函数为基础进行推广，那么三角函数概念发生发展过程的完整性将受到破坏．因此，整体上，任意角三角函数知识体系的建立，应与其他基本初等函数类似，强调以周期变化现象为背景，构建从抽象研究对象（即定义三角函数概念）到研究它的图象、性质再到实际应用的过程，与锐角三角函数的联系可以在给出任意角三角函数定义后再进行考察．一般地，概念的形成应按“事实—概念”的路径，即学生要经历“背景—研究对象—对应关系的本质—定义”的过程．本单元的学习中，学生在经历这个过程而形成三角函数概念的同时，“顺便”就可得到值域、函数值的符号、诱导公式一及同角三角函数的基本关系等性质．根据上述分析，确定本单元的教学重点是：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，诱导公式一，同角三角函数的基本关系．其中，正弦函数、余弦函数的定义是重中之重．二、目标和目标解析1.目标（1）了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系；（2）经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养；（3）掌握三角函数值的符号；（4）掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性；（5）理解同角三角函数的基本关系式：，体会三角函数的内在联系性，通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养．2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能像了解线性函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的现实背景那样，知道三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具，能体会到匀速圆周运动在“周而复始”变化现象中的代表性．（2）学生在经历“周期现象—圆周运动—单位圆上点的旋转运动”的抽象活动中，明确研究的问题（单位圆⊙O上的点P以A为起点作旋转运动，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况），使研究对象简单化、本质化；学生能分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系，获得对应关系并抽象出三角函数概念；能根据定义求给定角的三角函数值．（3）学生能根据定义得出三角函数在各象限取值的符号规律．（4）学生能根据定义，结合终边相同的角的表示，得出诱导公式一，并能据此描述三角函数周而复始的取值规律，求某些角（特殊角）的三角函数值．（5）学生能利用定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并提出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换．三、教学问题诊断分析三角函数概念的学习，其认知基础是函数的一般观念以及对幂函数、指数函数和对数函数的研究经验，另外还有圆的有关知识．这些认知准备对于分析“周而复始”变化现象中涉及的量及其关系、认识其中的对应关系并给出定义等都能起到思路引领作用．然而，前面学习的基本初等函数，涉及的量（常量与变量）较少，解析式都有明确的运算含义，而三角函数中，影响单位圆上点的坐标变化的因素较多，对应关系不以“代数运算”为媒介，是“α与x，y直接对应”，无须计算．虽然α，x，y都是实数，但实际上是“几何元素间的对应”．所以，三角函数中的对应关系，与学生的已有经验距离较大，由此产生第一个学习难点：理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解．为了破除学生在“对应关系”认识上的定势，帮助他们搞清三角函数的“三要素”，应该根据一般函数概念引导下的“下位学习”的特点，先让学生明确“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程，然后再下定义，这样不仅使三角函数定义的引入更自然，而且由三角函数对应关系的独特性，可以使学生再一次认识函数的本质．具体的，可让学生先完成“给定一个特殊角，求它的终边与单位圆交点坐标”的任务．例如“当时，找出相应点P的坐标”并让学生明确点P的坐标的唯一确定性，再借助信息技术，让学生观察任意给定一个角α∈R，它的终边与单位圆的交点坐标是否唯一，从而为理解三角函数的对应关系奠定基础．利用信息技术，可以很容易地建立单位圆上点的横坐标、纵坐标、角、弧之间的联系，并且可以在角的变化过程中进行观察，发现其中的规律性．所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质．对于定义“设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y= sinα；x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x= cosα”，可以通过如下几点帮助学生理解：第一，α是一个任意角，同时也是一个实数（弧度数），所以“设α是一个任意角”的意义实际上是“对于R中的任意一个数”；第二，“它的终边与单位圆交于点P(x，y)”，实际上给出了两个对应关系，即（1）实数α（弧度）对应于点P的纵坐标y，（2）实数α（弧度）对应于点P的横坐标x，其中y，x∈[－1，1]．因为对于R中的任意一个数α，它的终边唯一确定，所以交点P(x，y)也唯一确定，也就是纵坐标y和横坐标x都由α唯一确定，所以对应关系（1）（2）分别确定了一个函数，这是理解三角函数定义的关键．第三，引进符号sinα，cosα分别表示“α的终边与单位圆交点的纵坐标”、“α的终边与单位圆交点的横坐标”，于是：对于任意一个实数α，按对应关系（1），在集合B={z|－1≤z≤1}中都有唯一确定的数sinα与之对应；按对应关系（2），在集合B中都有唯一确定的数cosα与之对应．所以，sinα，cosα都是一个由α所唯一确定的实数．这里，对符号sinα，cosα和tanα的认识是第二个难点．可以通过类比引进符号logab 表示ax=b中的x，说明引进这些符号的意义．本单元的第三个学习难点是对三角函数内在联系性的认识．出现这个难点的主要原因在于三角函数联系方式的特殊性，学生在已有的基本初等函数学习中没有这种经验，以及学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何发现函数的性质”的认识不充分等而导致的发现和提出性质的能力不强．为此，教学中应在思想方法上加强引导。