5-4 定积分的几何应用

0
0
2 2 2 2 cos t 0
2

※4、平行截面面积已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
A( x ) 表示过点 o
x 且垂直于x 轴
a
x x dx
b
x
的截面面积， A( x ) 为x 的已知连续函数
解 两曲线的交点
x y2 y x2
(0,0) (1,1)
选 x 为积分变量 x [0,1] 面积元素 dA ( x x 2 )dx
2 3 x 1 2 A 0 ( x x )dx x . 3 0 3 3
1 2
3
1
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
dV A( x )dx ,
立体体积 V

b
a
A( x )dx.
R 的圆柱体的底圆中心， 例 5 一平面经过半径为 ，计算这平面截圆柱体所得立体 并与底面交成角 的体积. 解 取坐标系如图 R
底圆方程为
o
2

x y R
2 2
x
y
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形 1 2 截面面积 A( x ) ( R x 2 ) tan , 2 1 R 2 2 3 2 立体体积 V (R x ) tan dx R tan . 2 R 3
b
o
a
x
x x
b x
如何用元素法分析？
dA＝f x dx
2、平面图形的面积
y
y f2 ( x)
y f1 ( x )
第一步：取其中任 一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出 相应于这小区间的 部分量 A 的近似 值，记作 dA ；
o
a
x
x x
x b
如何用元素法分析？
于是所求面积 A A1 A2
A 2 ( x 6 x x )dx 0 ( x x 6 x )dx
3 2 2 3
0
3
253 . 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
问题：积分变量只能选 x 吗？
观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：
y
d
y
d
x 1 ( y )
2
a
0
4ab sin2 tdt ab.
0
2
3、旋转体的体积(volume of body)
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆 柱
（1）
3、旋转体的体积(volume of body)
（2）
圆 锥
（3）
圆 台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、 直线 x a 、 x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在 3) 以所求量
区间[a , b] 上作定积分，得U
U 的积分表达式. 为所求量
a f ( x )dx ，即
b
这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积，体积。 经济应用。其他应用。
2、平面图形的面积
y
y f ( x)
第一步：取其中任 一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出 相应于这小区间的 部分量 A 的近似 值，记作 dA ；
1
图形绕 y 轴旋转构成旋转体的体积.
解 V arccosy 2 dy 0
2 t 2 d cos t
0
y 1
x arccos y

设t arccosy

0
t cos t
2



2
0
2 2 t cos tdt

0


2
x
2 2 2 td sin t 2t sin t 0 2 2 sin tdt
dA＝？
2、平面图形的面积
y
y f2 ( x)
y f1 ( x )
第一步：取其中任 一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出 相应于这小区间的 部分量 A 的近似 值，记作 dA ；
o
a
x
x x
x b
如何用元素法分析？dA＝
f 2 x f1 x dx
x ( y)
c
x 2 ( y)
o
c
x
o
x
考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？
观察下列图形，选择合适的积分变量：
y
d
y y y
y
d
x 1 ( y )
x ( y)
y y y
c
x 2 ( y)
o
c
x
d
o
d c
x
A ( y )dy
c
A [ 2 ( y ) 1 ( y )]dy
构成旋转体的体积.
解 y a x ,
2 3 2 3 2 3
2 3
2 3
2 3
y
y a x 旋转体的体积
2 2 3 2 3
a 2 3
3
x [ a , a ]
3
a
o
a x
V a x a
2 3
32 3 dx a . 105
y f ( x)
x b 所围成。
b
o a
b x
A a f ( x )dx
面积表示为定积分的步骤如下
n 个长度为 x i 的小区间，相 （1）把区间[a , b] 分成
曲边梯形的面积为Ai ，则 A
n
i 个小窄 n 个小窄曲边梯形，第 应的曲边梯形被分为
Ai .
i 1
n
y x3 6x
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x3 6x 2 y x
(0,0), ( 2,4), ( 3,9).
y x2
选 x 为积分变量 x [2, 3]
(1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx ( 2) x [0,3], dA2 ( x 2 x 3 6 x )dx
第 5章
定积分及其应用
5.4 定积分的应用
一、 定积分的几何应用
1、问题的提出 2、平面图形的面积 3、旋转体的体积
※4、平行截面面积已知的
立体的体积
1、定积分的元素法
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及y 轴所围成的 曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V y dy
d 2 c
d
x ( y)
c
o
x
例 3
x 0, y 0, y cos x 0 x 求由 2 所围成的
a
b
O 及点P ( h, r ) 的直线、直线 例 1 连接坐标原点 x h 及x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋 h 的圆锥体，计算 转构成一个底半径为r 、高为
圆锥体的体积．
解 直线 OP方程为
y
P
r y x h
r
o
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ] ，
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为
r dV x dx h
圆锥体的体积
2
y
P
r
o
h
x
V
h
0
r r x hr 2 x dx 2 . 3 h 3 0 h
2
2
3 h
x 轴旋转 例 2 求星形线 x y a ( a 0) 绕
2 4
2 y dA y 4 dy 2
x y 例 4 求椭圆 2 2 1的面积. a b x a cos t 解 椭圆的参数方程 y b sin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
2
2
A 40 ydx 4 b sin td ( a cos t )
取积分变量为x ，
y
y f ( x)
x [a , b ] 在[a , b]上任取小区 间[ x , x dx ] ，
o
x x dx
x
x 轴旋转而成的薄 取以dx 为底的窄边梯形绕 片的体积为体积元素， dV [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为
V [ f ( x )]2 dx
[ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积， 则 A A，并取A f ( x )dx ，
于是 A f ( x )dx
y
y f ( x)
dA
面 积 元 素
A lim f ( x )dx
f ( x )dx.
a b
o a
x x dxb x
a , b 有关的量； （1）U 是与一个变量x 的变化区间
x 1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如 [a , b ] ； 为积分变量，并确定它的变化区间