2019年高考数学一轮复习课时作业加练一课(三)三角函数的性质文

课时规范练 A 组 基础对点练1．将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( ) A ．f (x )＝－2sin x B ．f (x )＝2sin x C ．f (x )＝22sin 2x D ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 解析：将y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ＝－2sin x cos x 的图象，所以f (x )＝－2sin x ，故选A. 答案：A2．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π6B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π12解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的函数解析式为y ＝cos ⎣⎡⎦⎤π6－2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.因为函数在图象的对称轴处取得最值，经检验x ＝π6符合，故选A. 答案：A3．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos(2x ＋π2)B ．y ＝sin(2x ＋π2)C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：采用验证法．由y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A. 答案：A4．若先将函数y ＝sin(4x ＋π6)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π6个单位长度，则所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：由题意知变换后的图象对应的函数解析式为y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x ，易知其一条对称轴的方程为x ＝π2，故选D.答案：D5．三角函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＋cos 2x 的振幅和最小正周期分别是( ) A.3，π2B.3，πC.2，π2D.2，π解析：f (x )＝sin π6cos 2x －cos π6sin 2x ＋cos 2x ＝32cos 2x －32sin 2x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos 2x －12sin 2x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故选B. 答案：B6．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，所以将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.故选D. 答案：D7．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象关于直线x ＝π6对称，则ω的最小值是( ) A ．6 B.23 C.94D.32解析：将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π2个单位长度，可得到函数f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ2的图象．因为所得图象关于直线x ＝π6对称，所以ω·π6－ωπ2＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω＝－32－3k ，k ∈Z.因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值32，故选D.答案：D8．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3D.5π6解析：将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎫x －π6的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6.因为所得的函数图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈N)，即m ＝k π＋π6(k ∈N)，所以m 的最小值为π6，故选B.答案：B9．(2018·云南师大附中调研)若函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω>0，x ∈R ，又f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，且|x 1－x 2|的最小值为3π2，则ω的值为( )A.13B.23C.43D ．2解析：由题意知f (x )＝2sin(ωx －π3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，因为f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，所以|x 1－x 2|的最小值为T 4＝3π2，所以T ＝6π，所以ω＝13，故选A.答案：A10．已知函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2的部分图象如图所示，f (x 0)＝－f (0)，则正确的选项是( )A ．φ＝π6，x 0＝1B ．φ＝π6，x 0＝43C ．φ＝π3，x 0＝1D ．φ＝π3，x 0＝23解析：因为f (0)＝cos φ＝32⎝⎛⎭⎫0<φ<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，将x 0＝1代入可得cos 7π6＝－32，满足题设条件，故选A.答案：A11．(2018·湖南常德一中调研)已知f (x )＝2sin(2x ＋π6)，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的图象的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：由题意知g (x )＝2sin[2(x －π6)＋π6]＝2sin(2x －π6)，令2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π3＋k 2π，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π3，即函数g (x )的图象的一条对称轴的方程为x ＝π3，故选C. 答案：C12．函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x ·cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. 答案：113．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．解析：函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．答案：2π314．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝__________.解析：由图象得周期T ＝23×⎝⎛⎭⎫13π4－π4＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin(x ＋φ)．∵x ＝π4是函数增区间上的零点，∴π4＋φ＝2k π(k ∈Z)，∴φ＝－π4＋2k π(k∈Z)．∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋2k π， ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋2k π＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－ 2. 答案：－ 215．已知函数y ＝g (x )的图象由f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ的值为__________．解析：函数f (x )＝sin 2x 的图象在y 轴右侧的第一条对称轴为x ＝π4，直线x ＝π8关于x ＝π4对称的直线为x ＝3π8.由图象可知，图象向右平移之后，横坐标为3π8的点平移到横坐标为17π24的点，所以φ＝17π24－3π8＝π3.答案：π3B 组 能力提升练1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的最小正周期是π，若将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P (0,1)，则函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)( )A ．在区间[－π6，π3]上单调递减B ．在区间[－π6，π3]上单调递增C ．在区间[－π3，π6]上单调递减D ．在区间[－π3，π6]上单调递增解析：依题意得ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)，平移后得到函数y ＝sin(2x ＋φ＋2π3)的图象，且过点P (0,1)，所以sin(φ＋2π3)＝1，因为－π<φ<0，所以φ＝－π6，所以f (x )＝sin(2x －π6)，易知函数f (x )在[－π6，π3]上单调递增，故选B.答案：B2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的最小值为( ) A.3π4 B.3π8 C.π4D.π8解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图象，则由π4＋φ＝k π＋π2，得φ＝k π＋π4(k ∈Z)，所以φ的最小值为π4，故选C.答案：C3．(2018·武汉武昌区调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)－1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A ．3 B.32 C.43D.23解析：将f (x )的图象向右平移2π3个单位长度后得到图象的函数解析式为y ＝2sin[ω(x －2π3)＋π6]－1＝2sin(ωx －2ωπ3＋π6)－1，所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z ，因为ω>0，k ∈Z ，所以ω的最小值为3，故选A. 答案：A4．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度解析：由题图知A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π3，2代入得cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1，∵－π<φ<0，∴－π3<2π3＋φ<2π3，∴2π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到g (x )的图象． 答案：B5．已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R.若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．(0，18]B ．(0，14]∪[58，1)C ．(0，58]D ．(0，18]∪[14，58]解析：f (x )＝12(1－cos ωx )＋12sin ωx －12＝12sin ωx －12cos ωx ＝22sin(ωx －π4)，当ω＝12时，f (x )＝22sin(12x －π4)，x ∈(π，2π)时，f (x )∈(12，22]，无零点，排除A ，B ；当ω＝316时，f (x )＝22sin(316x －π4)，x ∈(π，2π)时，0∈f (x )，有零点，排除C ，故选D. 答案：D6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π3，0 C.⎝⎛⎭⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎫5π3，0解析：由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3恒成立，所以f (x ) max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z)，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3. 答案：A7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在(π18，5π36)上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以π2＝kT 2＋T4(k ∈Z ，T为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z)．又f (x )在(π18，5π36)上单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在(π18，5π36)上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在(π18，5π36)上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9. 答案：B8．(2018·郑州模拟)函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，为奇函数 C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称解析：由题意得，g (x )＝－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin 2x .A.最大值为1正确，而g ⎝⎛⎭⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；B.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g (x )单调递减，显然g (x )是奇函数，故B 正确；C.当x ∈⎝⎛⎭⎫－3π8，π8时，2x ∈⎝⎛⎭⎫－3π4，π4，此时不满足g (x )单调递增，也不满足g (x )是偶函数，故C 错误；D.周期T ＝2π2＝π，g ⎝⎛⎭⎫3π8＝－22，故图象不关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称．故选B. 答案：B9．(2018·河北衡水中学调研)已知点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，则函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a2－1的最小正周期和最小值分别为( )A ．2π，－32B ．π，－32C ．π，－52D ．2π，－52解析：因为点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，所以a 2＋b 2＝1，可设a ＝cos φ，b ＝sin φ，代入原函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a 2－1，得f (x )＝cos φcos 2x ＋sin φsin x cos x －12cos φ－1＝12cosφ(2cos 2x －1)＋12sin φsin 2x －1＝12cos φcos 2x ＋12sin φsin 2x －1＝12cos(2x －φ)－1，故函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，函数f (x )的最小值f (x )min ＝－12－1＝－32，故选B.答案：B10．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称解析：∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误． 答案：B11．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝__________.解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.答案：14312．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ⎝⎛⎭⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的最大值是__________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32， 需要π≤3m ＋π3≤7π6，解得2π9≤m ≤5π18，即m 的最大值是5π18.答案：5π1813．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin(ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2， 即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π214．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.解析：由图象可知，T ＝2⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2， ∴ω＝2，∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z.又|φ|＜π2，∴φ＝π4.又f (0)＝1，∴A tan π4＝1，逆境给人宝贵的磨炼机会。

加练一课(二)函数图像的应用时间/ 30分钟分值/ 80分一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.[2017·天津耀华中学上学期期中]函数f(x)=x2+ln|x|的零点的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.将函数f(x)的图像向右平移1个单位长度,所得图像与曲线y=e x关于y轴对称,则f(x)=()A. e x+1B. e x-1C. e-x+1D. e-x-13.[2017·郑州一模]已知函数f(x)=-cos x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()A. 1B. 2C. 3D. 44.当x∈[1,2]时,函数y=x2与y=a x(a>0且a≠1)的图像有交点,则a的取值范围是()A. ∪(1,2]B. ∪(1,]C. ∪(1,2]D. ∪(1,]图J2-15.图J2-1是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分,图像过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是()A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④6.已知函数y=f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠2},且y=f(x+2)是偶函数,当x<2时,f(x)=|2x-1|,那么当x>2时,函数f(x)的递减区间是()A. (3,5)B. (3,+∞)C. (2,4)D. (2,+∞)7.[2017·临沂上学期期中]函数y=的图像大致为()A B C D图J2-28.[2017·河南天一大联考]已知直线l与函数f(x)=ln(x)-ln(1-x)的图像交于P,Q两点,若点R是线段PQ的中点,则实数m的值为()A. 2B. 1C. D.9.函数f(x)=若方程f(x)=-x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围为()A. (-∞,0)B. [0,1)C. (-∞,1)D. [0,+∞)10.[2017·南昌三模]方程sin 2πx-=0(x∈[-2,3])的所有根之和为()A. B. 1 C. 2 D. 4二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)11.[2017·枣庄一模]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,如果函数g(x)=f(x)-m(m∈R)恰有4个零点,则m的取值范围是.12.[2017·惠州一调]设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,图J2-3表示该函数在区间(-2,1]上的图像,则f(2015)+f(2016)= .图J2-3图J2-413.已知如下六个函数:y=x,y=x2,y=ln x,y=2x,y=sin x,y=cos x.从中选出两个函数记为f(x)和g(x),若F(x)=f(x)+g(x)的图像如图J2-4所示,则F(x)= .14.[2017·河南百校联盟质检]已知函数f(x)=|log2x|,g(x)=若方程f(x)-g(x)=1在[a,+∞)上有三个实根,则正实数a的取值范围为.15.[2017·襄阳四中月考]已知定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+4)=f(x)+f(2),且当x ∈[0,2]时,函数y=f(x)单调递减.给出以下四个命题:①f(2)=0;②直线x=-4为函数y=f(x)图像的一条对称轴;③y=f(x)在[8,10]上单调递增;④若方程f(x)=m在[-6,-2]上的两根为x1,x2,则x1+x2=-8.以上命题中所有真命题的序号为.16.[2017·衡水中学三调]已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-bf(x)+1=0有8个不同根,则实数b的取值范围是.加练一课(二)函数图像的应用1. B[解析] 作出函数y=ln|x|和y=-x2的图像(图略),可知,两图像有2个交点,所以函数f(x)有2个零点.故选B.2.D[解析] 与曲线y=e x关于y轴对称的曲线为y=e-x,函数y=e-x的图像向左平移1个单位长度即可得到函数f(x)的图像,即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.故选D.3.C[解析] 作出g(x)=的图像与h(x)=cos x的图像如图所示,可以看到它们在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3,故选C.4. B[解析] 当a>1时,如图①所示,使得两个函数图像有交点,需满足×22≥a2,即1<a≤.①②当0<a<1时,如图②所示,需满足×12≤a1,即≤a<1.综上可知,a∈∪(1,].5. B[解析] 因为图像与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,所以①中结论正确;图像对称轴方程为x=-1,即-=-1,2a-b=0,所以②中结论错误;结合图像知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,所以③中结论错误;由图像对称轴为直线x=-1知,b=2a,又函数图像开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,所以④中结论正确.故选B.6. C[解析] 由当x<2 时,f(x)=|2x-1|,得递减区间为(-∞,0),递增区间为(0,2).因为y=f(x+2)是偶函数,所以其图像关于y轴对称,所以y=f(x)的图像关于直线x=2对称,又因为y=f(x)在x<2时的递增区间为(0,2),所以,当x>2时,y=f(x)的递减区间为(2,4).故选C.7.D[解析] 设函数f(x)==,所以f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以其图像关于原点对称,故排除选项A.因为当x从右趋向于0时,f(x)趋向于+∞,当x趋向于+∞时,f(x)趋向于0,故排除选项B,C,故选D.8. C[解析] 注意到f=ln-ln=,计算知f+f=1,所以函数f(x)的图像关于点对称,所以m=.故选C.9. C[解析] 函数f(x)=的图像如图所示,作出直线l:y=a-x,观察可得,若函数y=f(x)的图像与直线l:y=-x+a的图像有两个交点,即方程f(x)=-x+a有且只有两个不相等的实数根,则有a<1,故选C.10.C[解析] 令f(x)=sin 2πx,g(x)=,x∈[-2,3],则方程sin 2πx-=0,x∈[-2,3]的所有根之和转化为函数f(x)的图像与g(x)的图像的交点的横坐标之和.因为f=sin=1,f=sin=1,g==>f,g==<f,所以在时,两函数图像有两个交点,如图所示.因为函数f(x)和g(x)的图像都关于点成中心对称,所以在x∈[-2,3]时,共有四个交点,设这四个交点的横坐标依次为x1,x2,x3,x4,根据中心对称可得x1+x4=2×=1,x3+x2=2×=1,所以x1+x2+x3+x4=2,即方程的所有根之和为2.故选C.11.-1<m<0[解析] 作出偶函数f(x)的图像及直线y=m,如图所示,若函数g(x)恰有4个零点,则-1<m<0.12. 2[解析] 由于f(x)是定义在R上的周期为3的函数,所以f(2015)+f(2016)=f(672×3-1)+f(672×3+0)=f(-1)+f(0),由图可知f(-1)=2,f(0)=0,所以f(2015)+f(2016)=2.13. 2x+sin x [解析] 由图像可知,F(x)图像过定点(0,1),当x>0时,F(x)>1,为增函数;当x<0时,F(x)≤0和F(x)>0交替出现.y=2x的图像经过点(0,1),且当x<0时,0<y<1,当x>0时,y>1,验证知F(x)=2x+sin x的图像满足条件.14.[解析] 分别作出函数y=f(x),y=g(x)+1的图像,由-log2x=1,得x=,因此,正实数a的取值范围为.15.①②④[解析] 因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),得f(-2)=f(2),在f(x+4)=f(x)+f(2)中,令x=-2,得f(2)=f(-2)+f(2),所以f(-2)=f(2)=0,所以f(x+4)=f(x),于是函数f(x)是以4为周期的周期函数,又当x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,结合函数f(x)的性质作出函数f(x)的简图(示意图),由图可知,②直线x=-4为函数y=f(x)图像的一条对称轴;③y=f(x)在[8,10]上单调递减;④若方程f(x)=m在[-6,-2]上的两根为x1,x2,则x1+x2=-8.所以,真命题的序号为①②④.16.[解析] 作出函数f(x)的简图,如图所示,由图可知,当f(x)在(0,4]上任取一个值时,都有4个不同的x与f(x)的值对应,因为[f(x)]2-bf(x)+1=0有8个不同的根,所以令t=f(x),则方程t2-bt+1=0在(0,4]上有2个不同的实数根,所以解得2<b≤.。

（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时分层作业二十3.3 三角函数的图象与性质理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时分层作业二十3.3 三角函数的图象与性质理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时分层作业二十三角函数的图象与性质一、选择题（每小题5分，共25分)1.（2018·海淀区模拟）已知函数f(x)=sin（ωx+）的最小正周期为π，则ω=（）A.1 B。

±1C。

2 D.±2【解析】选D.因为T=,所以|ω|==2,故ω=±2.【误区警示】解答本题易出现选C的错误答案,导致出现这种错误的原因是忽略了周期公式T=中的ω应加绝对值。

2.(2017·全国卷Ⅲ）设函数f(x)=cos ,则下列结论错误的是( )A。

f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f（x+π)的一个零点为x=D.f(x）在内单调递减【解析】选D.当x∈时，x+∈，函数在该区间内不单调.3。

函数y=-2cos2+1是( )A.最小正周期为π的奇函数B。

最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D。

最小正周期为的非奇非偶函数【解析】选A.y=-2cos2+1=—+1=sin 2x.4。

（2016·浙江高考)函数y=sin x2的图象是（）【解题指南】根据函数的奇偶性和最值判断.【解析】选D。

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课时分层作业二十三角函数的图象与性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·海淀区模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)的最小正周期为π,则ω= ( )A.1B.±1C.2D.±2【解析】选D.因为T=,所以|ω|==2,故ω=±2.【误区警示】解答本题易出现选C的错误答案,导致出现这种错误的原因是忽略了周期公式T=中的ω应加绝对值.2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在内单调递减【解析】选D.当x∈时,x+∈,函数在该区间内不单调.3.函数y=-2cos2+1是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的非奇非偶函数【解析】选A.y=-2cos2+1=-+1=sin2x.4.(2016·浙江高考)函数y=sinx2的图象是( )【解题指南】根据函数的奇偶性和最值判断.【解析】选D.因为y=sinx2为偶函数,所以它的图象关于y轴对称,排除A,C选项;当x2=,即x=±时,y max=1,排除B选项.5.(2018·大连模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若函数f(x)在区间上为单调递减函数,则实数ω的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选B.因为π<x<,所以ωπ-<ωx-<-,由正弦函数的单调性可得即也即所以≤ω≤.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·广州模拟)若函数f(x)=cos(ωx+)(ω∈N*)的一个对称中心是,则ω的最小值为________.【解析】因为f=0,所以cos=0,即+=+kπ,故ω=2+6k(k∈Z),又因为ω∈N*,故ω的最小值为2.答案:27.函数y=的定义域为________.【解析】由题意得cos x≥,故2kπ-≤x≤+2kπ(k∈Z).答案:,k∈Z8.函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为________.【解析】设t=sin x-cos x,则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,sin xcos x=,且-≤t≤.所以y=-+t+=-(t-1)2+1.当t=1时,y max=1;当t=-时,y min=--.所以函数的值域为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2017·北京高考)已知函数f(x)=cos(2x-)-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【解析】(1)f(x)=cos-2sin xcos x=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin,所以T==π.(2)令t=2x+,因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,因为y=sin t在上递增,在上递减,且sin<sin ,所以f(x)≥sin=-,得证.10.已知f(x)=sin.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程.(2)求f(x)的单调递增区间.(3)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=sin,令2x+=kπ+,k∈Z,则x=+,k∈Z.所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=+,k∈Z.(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(3)当x∈时,≤2x+≤,所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤1,所以当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.1.(5分)已知函数f=sin(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为( )A. B.2C. D.【解析】选D.因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤·,即ω2≤,即ω2=,所以ω=.2.(5分)(2018·广州模拟)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(x∈R),又f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,则正数ω的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.函数f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin.由f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,所以函数f(x)的最小正周期T=,所以ω==4.3.(5分)(2018·深圳模拟)若函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上是单调递减函数,且函数值从1减少到-1,则f=________.【解析】由题意知=-=,故T=π,所以ω==2,又f=1,所以sin=1.因为|φ|<,所以φ=,即f(x)=sin.故f=sin=cos=.答案:4.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值.(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.【解析】由f(x)的最小正周期为π,则T==π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x).所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),展开整理得sin 2xcos φ=0,由已知上式对∀x∈R都成立,所以cos φ=0.因为0<φ<,所以φ=.(2)因为f=,所以sin=,即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z),故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),又因为0<φ<,所以φ=,即f(x)=sin,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故f(x)的递增区间为.5.(13分)已知函数f(x)=asin+a+b.(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间.(2)若x∈[0,π],函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值. 【解析】f(x)=asin+a+b.(1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1,由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z.(2)因为0≤x≤π,所以≤x+≤,所以-≤sin≤1,依题意知a≠0.①当a>0时,所以a=3-3,b=5.②当a<0时,所以a=3-3,b=8.综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.【变式备选】(2018·咸阳模拟)已知函数f(x)=2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值集合.(2)求函数的单调区间.(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.【解析】(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值为2;故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(3)由2x-=+kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z.即函数f(x)的图象的对称轴为x=+kπ,k∈Z.由2x-=kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,即对称中心为,k∈Z.关闭Word文档返回原板块。

2019年高考数学总复习课时作业加练一课（3）三角函数的性质理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学总复习课时作业加练一课（3）三角函数的性质理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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加练一课(三) 三角函数的性质一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.［2017·资阳一诊］函数y=sin2x—的图像的一条对称轴方程为()A。

x=B.x=—C.x=D。

x=-2.函数y=的定义域为()A。

B.（k∈Z)C.（k∈Z)D。

R3.下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是(）A。

y=cos B。

y=sinC。

y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x4.[2017·襄阳四校联考］将函数f（x)=2sin2x-+1的图像上各点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,所得图像的一个对称中心可能是()A。

B。

C。

D.5.[2018·衡水中学二调]已知函数f（x)=a sin x+cos x(a为常数,x∈R）的图像关于直线x=对称,则函数g（x)=sin x+a cos x的图像（)A。

关于直线x=对称B.关于点对称C。

关于点对称D。

关于直线x=对称6。

设函数f（x）=sin2x++cos2x+,则（）A.f(x）在上单调递增,其图像关于直线x=对称B。

f(x)在上单调递增，其图像关于直线x=对称C.f（x）在上单调递减，其图像关于直线x=对称D。

课时分层作业二十三角函数的图象与性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·海淀区模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)的最小正周期为π,则ω= ( )A.1B.±1C.2D.±2【解析】选D.因为T=,所以|ω|==2,故ω=±2.【误区警示】解答本题易出现选C的错误答案,导致出现这种错误的原因是忽略了周期公式T=中的ω应加绝对值.2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos ,则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在内单调递减【解析】选D.当x∈时,x+∈,函数在该区间内不单调.3.函数y=-2cos2+1是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的非奇非偶函数【解析】选A.y=-2cos2+1=-+1=sin 2x.4.(2016·浙江高考)函数y=sin x2的图象是( )【解题指南】根据函数的奇偶性和最值判断.【解析】选D.因为y=sin x2为偶函数,所以它的图象关于y轴对称,排除A,C选项;当x2=,即x=±时,y max=1,排除B选项.5.(2018·大连模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若函数f(x)在区间上为单调递减函数,则实数ω的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选B.因为π<x<,所以ωπ-<ωx-<-,由正弦函数的单调性可得即也即所以≤ω≤.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·广州模拟)若函数f(x)=cos(ωx+)(ω∈N*)的一个对称中心是,则ω的最小值为________.【解析】因为f=0,所以cos=0,即+=+kπ,故ω=2+6k(k∈Z),又因为ω∈N*,故ω的最小值为2.答案:27.函数y=的定义域为________.【解析】由题意得cos x≥,故2kπ-≤x≤+2kπ(k∈Z).答案:,k∈Z8.函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为________.【解析】设t=sin x-cos x,则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,sin xcos x=,且-≤t≤. 所以y=-+t+=-(t-1)2+1.当t=1时,y max=1;当t=-时,y min=--.所以函数的值域为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2017·北京高考)已知函数f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【解析】(1)f(x)=cos-2sin xcos x=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin,所以T==π.(2)令t=2x+,因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,因为y=sin t在上递增,在上递减,且sin<sin ,所以f(x)≥sin=-,得证.10.已知f(x)=sin.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程.(2)求f(x)的单调递增区间.(3)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值. 【解析】(1)f(x)=sin,令2x+=kπ+,k∈Z,则x=+,k∈Z.所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=+,k∈Z.(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(3)当x∈时,≤2x+≤,所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤1,所以当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.1.(5分)已知函数f=sin(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为( )A. B.2 C. D.【解析】选D.因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤·,即ω2≤,即ω2=,所以ω=.2.(5分)(2018·广州模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(x∈R),又f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,则正数ω的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.函数f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin.由f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,所以函数f(x)的最小正周期T=,所以ω==4.3.(5分)(2018·深圳模拟)若函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上是单调递减函数,且函数值从1减少到-1,则f=________.【解析】由题意知=-=,故T=π,所以ω==2,又f=1,所以sin=1.因为|φ|<,所以φ=,即f(x)=sin.故f=sin=cos=.答案:4.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值.(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.【解析】由f(x)的最小正周期为π,则T==π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x).所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),展开整理得sin 2xcos φ=0,由已知上式对∀x∈R都成立,所以cos φ=0.因为0<φ<,所以φ=.(2)因为f=,所以sin=,即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z),故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),又因为0<φ<,所以φ=,即f(x)=sin,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故f(x)的递增区间为.5.(13分)已知函数f(x)=asin+a+b.(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间.(2)若x∈[0,π],函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值. 【解析】f(x)=asin+a+b.(1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1,由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z.(2)因为0≤x≤π,所以≤x+≤,所以-≤sin≤1,依题意知a≠0.①当a>0时,所以a=3-3,b=5.②当a<0时,所以a=3-3,b=8.综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.【变式备选】(2018·咸阳模拟)已知函数f(x)=2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值集合.(2)求函数的单调区间.(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.【解析】(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值为2;故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(3)由2x-=+kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z.即函数f(x)的图象的对称轴为x=+kπ,k∈Z.由2x-=kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,即对称中心为,k∈Z.关闭Word文档返回原板块11。

课时跟踪检测 (二十一) 简单的三角恒等变换一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x ＝( )A ．1825B ．725C ．－725D ．－1625解析：选C ∵sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，∴sin 2x ＝－725．2．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝( )A ． 3B ．－ 3C ．33D ．－33解析：选A sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝3．3．简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( )A ．1B ． 3C ． 2D ．2解析：选C 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25° cos 20°－sin 20°＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝2，故选C ．4．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________．解析：由诱导公式得tan(3π－x )＝－tan x ＝2， 故2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3．答案：－35．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13，则sin A ＝______．解析：∵sin(C －A )＝1，∴C －A ＝90°，即C ＝90°＋A ， ∵sin B ＝13，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin(90°＋2A )＝cos 2A ＝13，即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝33． 答案：33二保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·东北四市联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝( )A ．1B ．－1C ．12D ．0解析：选D ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－32sin α＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫12－32cos α， ∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0．2．已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于( )A ．－2B ．－1C ．－211D ．211解析：选A 由题意，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan ＝tan 2α－tan α－β1＋tan 2αtan α－β＝－2．3．2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A ．12B ．32C ． 3D ． 2解析：选C 原式＝2cos 30°－20° －sin 20°sin 70°＝2 cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20° －sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝3．4．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B cos C ，且tan B ·tanC ＝1－2，则角A 的值为( )A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4解析：选A 由题意知，sin A ＝－2cos B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，在等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4．5．若tan α＝3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( )A ．－210B ．210C ．5210D ．7210解析：选 A ∵sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 2α＋22cos 2α＝22×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－210．6．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16．①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13．②①＋②得cos αcos β＝14．②－①得sin αsin β＝112．所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13．答案：137．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________．解析：由已知得tan α＋tan β＝－3a ，tan αtan β＝3a ＋1， ∴tan(α＋β)＝1．又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan α＋tan β＝－3a ＜0，tan αtanβ＝3a ＋1＞0，∴tan α＜0，tan β＜0，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π4．答案：－3π48．3tan 12°－34cos 212°－2 sin 12°＝________． 解析：原式＝3· sin 12°cos 12°－32 2cos 212°－1 sin 12°＝23⎝⎛⎭⎪⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin －48°2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43． 答案：－4 39．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1．∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2<α＋β<3π2， ∴α＋β＝5π4．10．已知函f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2．(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A＝2．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017，得sin α＝1517，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6 ＝2cos β＝85，得cos β＝45，又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝817×45－1517×35＝－1385． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( ) A ．－18B ．－116C ．116D ．18解析：选A cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9 ＝cos 20°·cos 40°·cos 100° ＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18．2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33．∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36． (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6．∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是．。

4-3三角函数的图象与性质A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )． A ．最小正周期为2 π的奇函数 B ．最小正周期为2 π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x .∴f (x )是最小正周期为π的奇函数． 答案 C2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12解析 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x ＝π12.本题也可用代入验证法来解． 答案 D3．(2012·南昌质检)函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )． A ．2π B.3π2 C ．π D.π2解析 依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.故最小正周期为2π.答案 A4．(★)下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析 (筛选法)∵函数的周期为π.∴排除C 、D ，∵函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，∴排除B. 答案 A【点评】 本题采用了筛选法，体现了筛选法的方便、快捷、准确性，在解选择题时应注意应用.5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )．A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数． 答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．若函数f (x )＝cos ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．解析 f (x )＝cos ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx＝cos ωx sin ωx ＝12sin 2ωx ， ∴T ＝2π2ω＝π.∴ω＝1. 答案 17．(★)(2011·开封质检)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________．解析 (回顾检验法)据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 π6【点评】 本题根据条件直接求出θ的值，应将θ再代入已知函数式检验一下. 8．(★)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2x 2＋x2x 2＋cos x 的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f (x )＝1＋x ＋sin x2x 2＋cos x，f (x )－1为奇函数，则m －1＝－(M －1)，所以M ＋m ＝2.答案 2【点评】 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解.三、解答题(共23分) 9．(11分)设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知： 定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }．(2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3，∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3，∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．10．(12分)(2011·中山模拟)已知f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .(1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝13，求f (α)的值； (2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． 解 (1)由题设知，f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin 2α＝13＝2sin α·cos α＞0，α∈[0，π]，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＋cos α＞0.由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43， 得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝23 3. (2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，又0≤x ≤π，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(★)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )． A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 C【点评】 本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问题，再用数形结合来解决，但换元后注意新元的范围.2．(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )．A.23B.32 C ．2 D ．3解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 B二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·绍兴模拟)关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析 函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T 2＝π2知①错．利用诱导公式得f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝ 4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，知②正确．由于曲线f (x )与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－π6代入得f (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝4sin 0＝0， 因此点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是f (x )图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f (x )的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x ＝－π6时y ＝0，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－π6不是图象的对称轴，因此命题④不正确． 答案 ②③4．函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以2sin π4ω＝3，且0＜π4ω＜π2，因此ω＝43. 答案 43三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·南通调研)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，则－54＜k ＜－14，k ∈Z ， ∴k ＝－1，则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 6．(12分)已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0得g (x )＞1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

2017高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.2.2 三角函数的性质及应用对点训练 理1.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析 由图象可知ω4＋φ＝π2＋2m π，5ω4＋φ＝3π2＋2m π，m ∈Z ，所以ω＝π，φ＝π4＋2m π，m ∈Z ，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4＋2m π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4的单调递减区间为2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，即2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x .∴f (x )max ＝1.3．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32sin2x －12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)解法一：因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34.所以，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 解法二：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π3，故当2x －π6＝－π2，x ＝－π6时，f (x )取得最小值为－12，当2x －π6＝π3，x ＝π4时，f (x )取最大值为34. 4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6. (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158. 5．已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6. 因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .。

第19节 三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性.知 识 梳 理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)， ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0). (2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )[常用结论与微点提醒] 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2 解析 由题意T ＝2π2＝π. 答案 C3.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.答案 A4.(2018·长春检测)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________. 解析 由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )，又φ∈[0，2π]，所以φ＝3π2. 答案 3π25.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 解析 因为y ＝tan x 的单调递增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )，所以由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ).答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________.(2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________. 解析 (1)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数有意义，则⎩⎨⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎨⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π （k ∈Z ），－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π （k ∈Z ）， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z规律方法 1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域.(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. 2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π6B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－π12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ）(2)(一题多解)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________.解析 (1)由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.(2)法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). 所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法三 sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π(k ∈Z )， 解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z ).所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z考点二 三角函数的值域(最值)【例2】 (1)函数y ＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)∵y ＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，∴函数y ＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为[－3，3].(2)f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34， 令cos x ＝t 且t ∈[0，1]，则y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋1，则当t ＝32时，f (x )取最大值1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤2， ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.答案 (1)[－3，3] (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π的值域是( ) A.[－3，1]B.[－2，1]C.(－3，1]D.(－2，1](2)(2016·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7解析 (1)由y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π上，－1≤sin x <12，所以函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π6，136π的值域是(－2，1].(2)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 (1)D (2)B考点三 三角函数的性质(多维探究) 命题角度1 三角函数的奇偶性与周期性【例3－1】 (1)(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2B.2π3C.πD.2π(2)(2018·武汉调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y轴对称，则θ＝( ) A.－π6B.π6C.－π3D.π3解析 (1)∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z )，∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝ －π6.答案 (1)C (2)A规律方法 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.命题角度2 三角函数的单调性【例3－2】 (1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.(2)(一题多解)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由已知可得函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).(2)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)32规律方法 1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.命题角度3 三角函数的对称轴或对称中心【例3－3】 (1)(2018·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( ) A.2B.4C.6D.8(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A.11B.9C.7D.5解析 (1)因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.(2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω，所以ω＝2k ＋1(k ∈N *). 又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12.结合选项经验证，当ω＝11时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上不单调；当ω＝9时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，选项B 满足条件. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练3】 (2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误.答案 D基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A.是奇函数B.在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π解析 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误. ∵当x ＝π6时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心. 答案 C2.若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A.1B.2C.4D.8解析 由题意知ω6π＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2. 答案 B3.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④D.①③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2.答案 A4.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 答案 B5.(2018·佛山模拟)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π解析 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z .不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2<2x －π6<2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3<x <k π＋56π(k ∈Z ). 取k ＝0，得函数f (x )的一个单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，56π.答案 B二、填空题6.(2018·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.解析 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 答案 5π67.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________.解析 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ).答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 8.(2018·青岛质检)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ，其中x ∈R ，给出下面四个结论：①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数；②函数f (x )的图象的一条对称轴是x ＝2π3；③函数f (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，则正确结论的序号为________.解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x ·sin π3－cos 2x ＝－32sin 2x －12cos 2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π，但它不是奇函数，故①错误；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝1，故②正确；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，故③正确；由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，故④正确.答案 ②③④ 三、解答题9.(2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3； 当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.10.(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0，π2上的单调性.解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2.于是，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，故函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z ，又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 答案 A12.(2018·绵阳诊断)若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________.解析 f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4. 答案 (－∞，－4]13.(2018·福州调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值. 解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ). (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.①当a >0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。