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第8讲矩阵的直积及其应用内容：1.矩阵直积的定义与性质2.矩阵直积在解矩阵方程中的应用矩阵直积（Kronecker 积）在矩阵论及系统控制等工程 研究领域有十分重要的应用.运用矩阵直积运算，能够将线 性矩阵方程转化为线性代数方程组.§ 1矩阵直积的定义与性质 1.1矩阵直积定义1.1 设A=（a j ）・c mn , Bwc pq ，称如下的分块积，张量积），记为A ® B . A ®B 是一个m"个块的分块矩阵， 简写为 A 二 B =(a ij B) C mp nq .显然A _ B 与Bi A 为同阶矩阵，但一般 A ： B = B ： A ，即矩例1.1 设 A t ;], —Jxy T 二X ： y T ，称xy T 为向量x 与y 的外积.#1 -1 0 0、*1 0-1 0B =,A =2 0 1T 」 7<0 1 0T 」右 x = (X 1,X 2,…，X n )T , y = (%”2,…，y n )T • C n , 则a n Ba 12B … a 1n B矩阵B =a 21B I-a 22B … a 2n B al a m1Ba m2B …amnB为A 与B 的直积（Krionecker阵的直积不满足交换律对单位矩阵， 有 E m ： E n 二 E n ： E mmn ・定义1.21.2 矩阵直积的性质定理1.1 矩阵的直积具有如下基本性质:(1)k(A ：B) =(kA) ：B = A ：(kB)；(2)(A：B)：C=A：(B：C)；(3) A ：工(B C) = A：." B A：.“ C , (B C )：." A = B ：.“ A C ：.“ A ；(4)(A ：B)^A T：B T；(5)(A ：B)H= A H：B H；(6)若A C m n B C p q,C • C n s,D C q t,则(A ：B)(C ：D) =(AC) ：(BD),若 B 二E g , C 二E n，贝y (A ：E g)(E n ：D) = A _ D ；(7)若A , B均可逆，则A _ B可逆，且(A： B)"1"'：B J；(8)若A和B都是对角矩阵、上(下)三角矩阵、实对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵，则A二B也分别是这种类型的矩阵.l定义 1.3二元复系数多项式为 f (x, y)二為cx y j，若矩阵,j=0A C m m,BC n n，则mn阶矩阵f(A,B) l八 C j A i : B j，其中A^ E m , i,j £B— E n .定理1.2l设 f (x, y) = V C ij X i y j,i,j=0lf(A,B)八• C j A，：B j, A m m 的i, j=0特征值为‘1,‘2,…,'m , B nn的特征值为」1匕，…,J，则f (代B)的全体特征值为fU j)，(i =1,2/ ,m, j =1,2/ ,n).证明由Schur定理知存在酉矩阵P,Q使得% *、佔*、P H AP = '-2+=A , QH AQ =+=B1 ,I '-m丿其中A , B i为上三角矩阵，由定理 1.1知，P：Q为酉矩阵，A ： B i j为上三角矩阵，贝Ul(P . Q)」f(A, B)(P _ Q)=為q(p H _ Q H)(A i - B j)(P ： Q)i,j=0l l二 ' C j(P H A i P^ (Q H B j Q)二 ' C j A；：B?二f(A,BJi,j =0 i,j=0也是上三角矩阵.且f （代B）与f（A；,B i）有相同的特征值.则f（A,,B；）的对角元即为f （A,B）的全部特征值.因为勺 1 B1j* ' 个k出* \A1@ =爲B j+，，-k B1 =< 几j 2 i A j< 人kh因此，f(A；,B i)的对角元为f('「j)，(i =12…，m, j =1,2,…，n).推论1.1 设A m渐的特征值为几入2,…，g , B n濒的特征值为•1匕,…C，则(1 ) A：B 的特征值为v l j , (i =1,2,…，m, j =1,2,…，n)；(2 ) A：E n E m：B的mn个特征值为「和，i=1,2，…，m , j =12 ,n ；(3)det(A ： B) =(det A))n (det(B))m；(4)tr(A ： B) =(trA)(trB).定理1.3 设 A C m n,B C p q，贝》rank(A ： B) =rank(A) rank(B).证明记rank(A)=「A , rank(B)=「B，有相应阶数的可逆矩阵PQS,T 使得PAQ=£A :L A I'SB T J] :1=B I , 1 0 0 1 0 0贝U A： B =(P J A I Q J^(S^B I T」)=(P「S」)(A I：B I)(Q‘：T‘)，由S」,Q「T 1可逆，则rank(A ： B)=rank(A ： BJ = r A r B二rank (A) rank(B).§ 2矩阵直积在解矩阵方程中的应用2.1 矩阵的拉直定义2/ 设 A =®)乏C m妙，码=(%®,…&)丁, (i =1,2,…,n)，令vec(A)=以;，称vec(A)为矩阵A的列拉直.矩阵A也可以按行拉芒n丿直为行向量，记作rvec(A)，有rvec( A) = (vec(A T ))T, vec(A T) = (rvec(A))T.定理 2.1 设A c m n,B• c n P,C • C p q，贝yvec(ABC) =(C T _ A)vec(B).证明记B^bb, ,b p),C=(cpC2, ,C q),则广AB GAB C2vec(ABC) = (ABc「AB C2，…，ABc q)=lABC q而AB G = 5人6 c2i Ab2飞pi Ab p = (5 A,c2i A, ,c pi A)vec(B)，c11A c21A …c p1A'_pz. c|2 A C22A c p2 A T故vec(ABC) = ：::: vec(B) = (C T竖A)vec(B).fjqAGqA C pq A 』 推论 2.1 设 A E C m >m ,B E C n >n ,X E C 吶，贝U(1) vec(AX) =(En ： A)vec(X); (2) vec(XB) =(B] E m )vec(X);(3)vec(AX XB)=(E n ： A 〜丁 ： E m )vec(X).2.2线性矩阵方程在系统控制等工程领域，经常遇到矩阵方程( Lyapunov 型方程)AX XB 二F 的求解问题，其中A C m m ，C nn ，F • C m n 为已知常数矩阵，x c mn 为未知矩阵.利用矩阵的直积和拉 直，可以给出线性矩阵方程的可解性及解法一般的线性矩阵方程可表示为A .XB 1 • A 2XB 2• A p XB p 二C ，其中A ・C mm ,B 「C nn (i =12 ,P ),C C mn 为已知常数矩阵，X C mn 未知矩阵.定理2.2 线性矩阵方程 MBr A 2XB 2A p XB p 二c 有解的充分必要条件是 rank(A) = rank(A ：b)，其中 A -、B 「： A ，b = vec(C)，imA C mm ,B 「C nn (i =1,2' ,p),^ C m n 为已知常数矩阵，X- C mn 未知 矩阵.pp证明 7 AXB j =C 有解，=vecL A XB j )=vec(C)有解i =1i =1pp='、vec (AXBj =vec(C)有解，=' (Bj ： AJvec(X) =vec(C)有解i =1i dau rank (A) = rank (A b)定理2.3 设A mm 的特征值为■1/2/ ,'m ，B n n 的特征值为 人廿…,叫，则矩阵方程 AX • XB 二F 有唯一解的充要条件是i」j =0 , (i =1,2,…,m, j =1,2,…,n)，其中 A C m m, B C n n, F • C m n 为已知常数矩阵，X c mn为未矩阵.证明AX X^F 有唯一解，二vec(AX • XB)二vec(F)有唯一解二(E「A • Bj E m)vec(X)二vec(F)有唯一解= E^ A B^ Em的特征值不为零二i W =0 (i =1,2, ,m, j =1,2/ ,n)推论2.1 设A^xm的特征值为九」2,…丄m，B n述的特征值为•1,廿…，叫，则矩阵方程AX XB =0有非零解的充分必要条件是存在i 与j，使入+u j =0，(1 兰i 兰m,1 兰j 兰n).推论2.2 设A^C叹，则矩阵方程AX+XA—F有唯一解的充分必要条件是'S时必有• X /■ (A)，其中-(A)为A的谱，—为的共轭复数•定理2.4 设A mm的特征值为■1,'2/' ,-m , B n n的特征值为l，…,^n ,则矩阵方程V A'XB^ F有唯一解的充分必要条件是i m1 • Jj •…(C。
