第二章 第八节 函数与方程及应用

课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·乌鲁木齐模拟)函数f (x )＝e x ＋2x －3的零点所在的一个区间是( ) A ．(－12，0) B ．(0，12) C ．(12，1) D ．(1，32)解析：因为f (1)＝e －1＞0，所以零点在区间(12，1)上．答案：C2．函数f (x )＝2x 6－x 4－1的零点个数是( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0 解析：函数f (x )＝2x 6－x 4－1的零点个数，就是方程2x 6－x 4－1＝0的实根的个数，变形为2x 6＝x 4＋1，显然x ＝0不是方程的根；当x ≠0时，等价于2x 2＝1＋1x 4，令g (x )＝2x 2，h (x )＝1＋1x 4，作出函数g (x )和h (x )的图象如图所示，数形结合知函数g (x )和h (x )的图象有2个交点，即函数f (x )有2个零点．答案：B3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ， 令g (x )＝x 2－3x －x ＋3＝0， 得x 1＝3，x 2＝1.当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x . 令g (x )＝－x 2－3x －x ＋3＝0， 得x 3＝－2－7， x 4＝－2＋7＞0(舍)，∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合是{－2－7，1,3}，故选D. 答案：D4．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a ＞b ，c ＞d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( ) A ．a ＞c ＞b ＞d B ．a ＞b ＞c ＞d C ．c ＞d ＞a ＞bD ．c ＞a ＞b ＞d解析：f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a ＞b ，c ＞d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c ＞a ＞b ＞d ，故选D. 答案：D5．(2018·德州模拟)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．18解析：由F (x )＝0得f (x )＝|lg x |分别作f (x )与y ＝|lg x |的图象，如图，所以有10个零点，故选B. 答案：B6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．[－1,0)解析：当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1，0)，故选D. 答案：D7．(2018·长沙市模拟)对于满足0＜b ≤3a 的任意实数a ，b ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 总有两个不同的零点，则a ＋b －ca 的取值范围是( )A ．(1，74]B ．(1,2]C ．[1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：依题意对方程ax 2＋bx ＋c ＝0，有Δ＝b 2－4ac ＞0，于是c ＜b 24a ，从而a ＋b －c a ＞a ＋b －b 24aa ＝1＋b a －14(b a )2，对满足0＜b ≤3a 的任意实数a ，b 恒成立．令t ＝ba ，因为0＜b ≤3a ，所以0＜t ≤3.因此－14t 2＋t ＋1∈(1,2]，故a ＋b －c a ＞2.选D. 答案：D8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x ＜2， 3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,3) B ．(0,3) C ．(0,2)D ．(0,1)解析：画出函数f (x )的图象如图所示，观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0＜a ＜1，故选D. 答案：D9．(2018·汕头模拟)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有三个零点，则a 的取值范围为( ) A ．[3,5] B ．[4,6] C ．(3,5)D ．(4,6)解析：∵f (x )－f (－x )＝0，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f (x )的图象如图所示：∵g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点， ∴y ＝f (x )和y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上有三个交点， 作出函数y ＝log a x 的图象，如图，∴⎩⎨⎧log a 3＜1 log a 5＞1 a ＞1，解得3＜a ＜5.故选C.答案：C10．(2018·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78D ．－38解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.答案：C11．已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当－1≤x ＜0时，则方程f (x )－12＝0在(0,6)内的所有根之和为( )A ．8B ．10C ．12D ．16解析：∵奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )＝－f (－x )，即f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，∴f (x )是周期函数，其周期T ＝4.又当x ∈[－1,0)时，故f (x )在(0,6)上的函数图象如图所示．由图可知方程f (x )－12＝0在(0,6)内的根共有4个，其和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋10＝12，故选C.答案：C12．已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：易知函数f (x )＝e |x |＋|x |为偶函数，故只需求函数f (x )在(0，＋∞)上的图象与直线y ＝k 有唯一交点时k 的取值范围．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝e x ＋x ，此时f ′(x )＝e x ＋1＞0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，从而当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x ＞f (0)＝1，所以要使函数f (x )在(0，＋∞)上的图象与直线y ＝k 有唯一交点，只需k ＞1，故所求实数k 的取值范围是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)13．已知函数若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ∈(0,1]． 答案：(0,1]14．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．解析：当x ＞0时，令ln x －x 2＋2x ＝0， 得ln x ＝x 2－2x ，作y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 图象，显然有两个交点． 当x ≤0时，令4x ＋1＝0， ∴x ＝－14.综上共有3个零点． 答案：315．已知函数f (x )＝|x －a |－2x ＋a ，a ∈R ，若方程f (x )＝1有且只有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝|x －a |＋a ，h (x )＝2x ＋1，作出函数h (x )＝2x ＋1的图象，易知直线y ＝x 与函数h (x )＝2x ＋1的图象的两交点坐标为(－1，－1)和(2,2)，又函数g (x )＝|x －a |＋a 的图象是由函数y ＝|x |的图象的顶点在直线y ＝x 上移动得到的，且当函数h (x )＝2x ＋1的图象和g (x )＝|x －a |＋a 的图象相切时，切点为(2，1＋2)，(－2，1－2)，切线方程为y ＝－x ＋22＋1或y ＝－x －22＋1，又两切线与y ＝x 的交点分别为(1＋222，1＋222)，(1－222，1－222)，故a ＝1±222，结合图象可知a 的取值范围是(－∞，1－222)∪(1＋222，2)． 答案：(－∞，1－222)∪(1＋222，2)B 组——能力提升练1．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，设函数f (x )＝sgn (1－x )＋12·f 1(x )＋sgn (x －1)＋12·f 2(x )，其中f 1(x )＝x 2＋1，f 2(x )＝－2x ＋4.若关于x 的方程[f (x )]2－3f (x )＋m ＝0恒好有6个根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，94) B ．(－∞，94] C ．[2，94]D ．(2，94)解析：①若x ＞1，则f (x )＝－1＋12·f 1(x )＋1＋12·f 2(x )＝－2x ＋4.②若x ＝1，则f (x )＝0＋12·f 1(x )＋0＋12·f 2(x )＝x 2－2x ＋52＝2.③若x ＜1，则f (x )＝1＋12·f 1(x )＋－1＋12·f 2(x )＝x 2＋1. 综上，f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ＜1，2，x ＝1，－2x ＋4，x ＞1，作出其图象如图所示．若要使方程[f (x )]2－3f (x )＋m ＝0恒好有6个根，令t ＝f (x )，则关于t 的方程t 2－3t ＋m ＝0需有两个不相等的实数根，故Δ＝9－4m ＞0，得m ＜94.数形结合知1＜f (x )＜2，所以函数g (t )＝t 2－3t ＋m 在(1,2)上有两个不同的零点，又函数g (t )图象的对称轴为t ＝32∈(1,2)，所以需⎩⎨⎧ g (1)＞0， g (2)＞0，即⎩⎨⎧1－3＋m ＞0， 22－3×2＋m ＞0，得2＜m ＜94，故选D.答案：D2．(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若x 1＜f (x 1)＜x 2，则关于x 方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实数根的个数不可能为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：由题意，得f ′(x )＝－x 2＋2ax ＋b .因为x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程－x 2＋2ax ＋b ＝0的两个实数根，所以由[f (x )]2－2af (x )－b ＝0，可得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由题意，知函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增，又x 1＜f (x 1)＜x 2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实根个数不可能为5，故选D.答案：D3．(2018·合肥市质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜0 |12x 2－2x ＋1|，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b＝0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( ) A ．[6,11] B ．[3,11] C ．(6,11)D ．(3,11)解析：首先作出函数f (x )的图象(如图)，对于方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，进一步由根的分布得出约束条件⎩⎨⎧b ＞01－a ＋b ＜04－2a ＋b ＞0，画出可行域(图略)，计算出目标函数z ＝3a ＋b 的取值范围为(3,11)．答案：D4．(2018·洛阳统考)已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( ) A.1e ＜x 1x 2＜1 B ．1＜x 1x 2＜e C ．1＜x 1x 2＜10D ．e ＜x 1x 2＜10解析：在同一直角坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象(图略)，结合图象不难看出，在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)∈(－1,0)，于是有e －1＜x 1x 2＜e 0，即1e ＜x 1x 2＜1，故选A. 答案：A5．设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )＜0＜f (b )B ．f (b )＜0＜g (a )C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜0解析：∵f (x )＝e x ＋x －2， ∴f ′(x )＝e x ＋1＞0， 则f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝e 0－2＜0，f (1)＝e －1＞0， 又f (a )＝0，∴0＜a ＜1. ∵g (x )＝ln x ＋x 2－3， ∴g ′(x )＝1x ＋2x .当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0， 得g (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又g (1)＝ln 1－2＝－2＜0， g (2)＝ln 2＋1＞0，且g (b )＝0， ∴1＜b ＜2，即a ＜b ，∴{ f (b )＞f (a )＝0， g (a )＜g (b )＝0.故选A. 答案：A6．对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β∈{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2,3]解析：函数f (x )＝e x －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3的图象过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a 2－a ＋3≤0，解得a ≥2或a ≤－6(舍去)，易知g (0)≥0，即a ≤3，此时2≤a ≤3，满足题意． 答案：D7．设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＜33，则这样的零点有( ) A ．61个 B ．63个 C ．65个D ．67个解析：依题意，由f (x 0)＝sin πx 0＝0得，πx 0＝k π，k ∈Z ，即x 0＝k ，k ∈Z.当k 是奇数时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝sin π⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝－1，|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝|k |－1＜33，|k |＜34，满足这样条件的奇数k 共有34个；当k 是偶数时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝sin π⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝1，|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝|k |＋1＜33，|k |＜32，满足这样条件的偶数k 共有31个．综上所述，满足题意的零点共有34＋31＝65(个)，选C. 答案：C8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x <1 1x ＋1－1，－1<x <0，设函数g (x )＝f (x )－4mx －m ，其中m ≠0.若函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥14或m ＝－1 B ．m ≥14 C ．m ≥15或m ＝－1D ．m ≥15解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， 0≤x ＜1， 1x ＋1－1， －1＜x ＜0.作函数y ＝f (x )的图象，如图所示．函数g (x )零点的个数⇔函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝4mx ＋m 交点的个数． 当直线y ＝4mx ＋m 过点(1,1)时，m ＝15； 当直线y ＝4mx ＋m 与曲线y ＝1x ＋1－1(－1＜x ＜0)相切时，可求得m ＝－1. 根据图象可知，当m ≥15或m ＝－1时，函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点．答案：C9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象，如图，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．故选C.答案：C10．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1＋e e 2D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋e e 2解析：依题意，关于x 的方程ax －1＝ln x x 有两个不等的正根．记g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln xx 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在区间(0，e)上单调递增；当x >e时，g ′(x )<0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，且g (e)＝1e ，当0<x <1时，g (x )<0.设直线y ＝a 1x －1与函数g (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1－ln x 0x 20a 1x 0－1＝ln x 0x 0，由此解得x 0＝1，a 1＝1.在坐标平面内画出直线y ＝ax －1(该直线过点(0，－1)、斜率为a )与函数g (x )的大致图象，结合图象可知，要使直线y ＝ax －1与函数g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是(0,1)，选B. 答案：B11．已知f ′(x )为函数f (x )的导函数，且f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，g (x )＝f (x )－12x 2＋x ，若方程g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a －x －x ＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪{1}B ．(－∞，－1]C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：∵f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，∴f (0)＝f ′(1)e －1，f ′(x )＝x －f (0)＋f ′(1)e x －1，∴f ′(1)＝1－f ′(1)e －1＋f ′(1)e 1－1，∴f ′(1)＝e ，∴f (0)＝f ′(1)e －1＝1，∴f (x )＝12x 2－x ＋e x ，∴g (x )＝f (x )－12x 2＋x ＝12x 2－x ＋e x －12x 2＋x ＝e x，∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a －x －x ＝0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a －x ＝x ＝g (ln x )，∴x 2a －x ＝ln x ，∴x 2a ＝x ＋ln x ．当a >0时，只有y ＝x 2a (x >0)和y ＝x ＋ln x 的图象相切时，满足题意，作出图象如图所示，由图象可知，a ＝1，当a <0时，显然满足题意，∴a ＝1或a <0，故选A. 答案：A12．已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数．当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧54sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x (0≤x ≤1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋1(x >1)，若关于x 的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ∈R)有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫54B ．[0,1]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫54C ．(0,1]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫54D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，54∪{0} 解析：作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧54sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x (0≤x ≤1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋1(x >1)的大致图象如图所示，又函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数，且关于x 的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ∈R)有且仅有6个不同的实数根，等价于f (x )＝65和f (x )＝a (a ∈R)有且仅有6个不同的实数根．由图可知方程f (x )＝65有4个不同的实数根，所以必须且只需方程f (x )＝a (a∈R)有且仅有2个不同的实数根，由图可知0<a ≤1或a ＝54.故选C.答案：C13．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．解析：若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则方程2a ＝|x －a |－1只有一解，即方程|x －a |＝2a ＋1只有一解，故2a ＋1＝0，所以a ＝－12. 答案：－1214．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．解析：问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10. 答案：1015．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x ＋1|，x ＜1x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________．解析：由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0得，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－1，作出y ＝f (x )，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－1的图象，由图象可知共有2个交点，故函数的零点个数为2.答案：216．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥2)2(1≤x ＜2)，若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，当直线y ＝ax ＋1过点B (2,2)时，a ＝12，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1与f (x )＝2x －1(x ≥2)的图象相切时，a ＝－1＋52，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1过点A (1,2)时，a ＝1，满足方程恰有一个解．故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1。