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x1
24 2
3,
计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0所在的区
间为( )
(A)(2，4)
(B)(3，4)
(C)(2，3)
(D)(2.5，3)
【解析】选C.由零点存在性定理知x0∈(2,3).
3.在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( )
A(1， 0)B(0，1)
4
【拓展提升】确定函数f(x)在给定区间上是否有零点的方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再看 求得的根是否落在给定区间上. (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间 ［a,b］上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则 函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间 上是否有交点来判断.
第八节 函数与方程
1.函数零点 (1)定义：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使_f_(_x_)_=_0_的实数x叫做 函数y=f(x)(x∈D)的零点. (2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x) 的图象与_x_轴__有交点⇔函数y=f(x)有_零__点__. (3)零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图 象是_连__续__不__断__的一条曲线，并且有_f_(_a_)_·__f_(_b_)_＜__0_，那么函 数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a,b),使得 _f_(_x_0_)_=_0_.
(2)设 fxx3则(1x)0x是2， 函数f(x)的零点，在同一坐标系
2
下画出函数y=x3与y ( 1 )的x2图象如图所示.
2
∵ f11(1)11＜ 0,
2
f28(1)07ห้องสมุดไป่ตู้ 0,
2
∴f(1)f(2)＜0,∴x0∈(1,2).
答案: (1，2)
【互动探究】把本例题(2)改为“方程log3x+x=3的解为x0,若
(2)用二分法求函数零点近似值的步骤. 第一步：确定区间［a,b］,验证_f_(_a_)_·__f_(_b_)_＜__0_,给定精确度ε. 第二步：求区间(a,b)的中点c. 第三步:计算f(c), ①若f(c)=0,则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)＜0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); ③若f(c)·f(b)＜0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). 第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a-b|＜ε,则得到零点 近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步.
4
C(1，1)D(1，3)
42
24
【解析】选C.显然f(x)=ex+4x-3的图象连续不断，又
f(1 )e 1 ＞ 0 ， f(1 ∴)由4 零e点 2 存＜ 0 在.性定理知，f(x)在
2
4
( 1 ， 内1 ) 存在零点.
42
4.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2，那么函数g(x)=bx2-ax
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+ c(a>0)的 图象
与x轴的 交点
_(_x_1_,_0_)_,_(_x_2,_0_)_
零点
x1,x2
(x1,0) x1
无交点 无
3.二分法 (1)二分法的定义. 对于在区间［a，b］上连续不断且_f_(_a_)_·__f_(_b_)_＜__0_的函数 y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_一__分__为__二__， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( ) (2)函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)， 则f(a)·f(b)＜0.( ) (3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac＜0时没有零点.( ) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似 值.( )
(0，1)内的零点个数是( )
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
(2)(2013·湛江模拟)设函数y=x3与 y ( 1 )x2 的图象的交点为
2
(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是______.
【思路点拨】(1)根据零点存在性定理证明有零点，根据函数 的单调性判断零点的个数. (2)画出两个函数的图象寻找零点所在区间. 【规范解答】(1)选B.因为f′(x)=2xln 2+3x2＞0,x∈(0,1), 所以函数f(x)=2x+x3-2在(0，1)上单调递增，且f(0)=1+02= -1＜0，f(1)=2+1-2=1＞0，所以有1个零点.
x0∈(n，n+1)，n∈N，试判断其解所在的区间”.
【解析】构造函数，转化为求函数的零点所在的区间.令f(x)=
log3x+x-3,则f(2)=log32+2-3lo=g 3
2 3
0 ,f(3)=log33+3-3=1>0,
又因为函数f(x)在(0，+∞)上是连续且单调递增的，所以方程
log3x+x=3的解所在的区间为(2，3).
(b≠0)的零点是( )
(A)0，2 (C)0， 1
2
(B)0，1
2
(D)2， 1
2
【解析】选C.由题意知2a+b=0，即b=-2a，令g(x)=bx2-
ax=0得x a 1，
b2
x=0或
故选C.
考向 1 函数零点的求解与判断
【典例1】(1)(2012·天津高考)函数f(x)=2x+x3-2在区间
1.如图所示的函数图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交 点横坐标的是( )
【解析】选A.二分法适用于函数图象在［a，b］上连续不断且 f(a)·f(b)＜0的函数，观察图象知选A.
2.用二分法求函数y=f(x)在区间(2，4)上的近似零点，验证
f(2)·f(4)＜0，给定精确度ε=0.01，取区间(2，4)的中点
【解析】(1)错误.函数的零点是函数的图象与x轴交点的横 坐标. (2)错误.函数f(x)=x2-x，在(-1，2)上有两个零点，但 f(-1)·f(2)＞0. (3)正确.当b2-4ac＜0时，二次函数图象与x轴无交点，从而 二次函数没有零点. (4)错误.当函数零点左右两侧函数值同号时，无法使用二分法 求零点的近似值. 答案: (1)× (2)× (3)√ (4)×
