第二章 第八节 函数与方程及应用

人教 A 版高中数学（文）目录表必修 1 第一章会合与函数观点1．1 会合1．2 函数及其表示1．3 函数的基天性质阅读与思虑广告中数据的靠谱性阅读与思虑怎样获得敏感性问题的诚实反响2．2 用样本预计整体阅读与思虑生产过程中的质量控制图2．3 变量间的有关关系阅读与思虑有关关系的强与弱第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思虑天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修 4 第一章三角函数1．1 随意角和弧度制1．2 随意角的三角函数必修21．3 三角函数的引诱公式第一章空间几何体1．4 三角函数的图象与性质1．1 空间几何体的构造1．2 空间几何体的三视图和直观图1．5 函数 y=Asin（ωx+ψ）1．3 空间几何体的表面积与体积1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量第二章点、直线、平面之间的地点关2．1 平面向量的实质背景及基本概牵挂2．1 空间点、直线、平面之间的位2．2 平面向量的线性运算置关系2．3 平面向量的基本定理及坐标表2．2 直线、平面平行的判断及其性示质2．4 平面向量的数目积2．3 直线、平面垂直的判断及其性2．5 平面向量应用举例质第三章直线与方程第三章三角恒等变换3．1 直线的倾斜角与斜率3．1 两角和与差的正弦、余弦和正3．2 直线的方程切公式3．3 直线的交点坐标与距离公式3．2 简单的三角恒等变换必修 3 第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法事例阅读与思虑割圆术必修 5 第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列第二章统计2．1 随机抽样阅读与思虑一个有名的事例 1 人教 A 版高中数学（文）目录表2.1 数列的观点与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前 n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前 n 项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面地区3.3.2 简单的线性规划问题3.4 基本不等式第一章统计事例1．1 回归剖析的基本思想及其初步应用1．2 独立性查验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩大与复数的引入3．1 数系的扩大和复数的观点3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4．1 流程图4．2 构造图选修 1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充足条件与必需条件1.3 简单的逻辑联络词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算3.3 导数在研究函数中的应用3.4 生活中的优化问题举例选修4-1 第一讲相像三角形的判断及有关性质第二讲直线与圆的地点关系第三讲圆锥曲线性质的商讨选修 4-4 第一讲坐标系第二讲参数方程选修 1-22。

高等数学教材二目录第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念及基本性质1.3 极限的运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 一元函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 基本函数的导数2.3 高阶导数与隐函数求导2.4 微分的概念及其应用2.5 泰勒公式与应用第三章：函数的应用3.1 函数的单调性与极值3.2 函数的最值与最值问题3.3 简单的应用问题3.4 分类讨论与探究第四章：不定积分4.1 不定积分的概念与基本性质 4.2 基本积分公式与换元法4.3 牛顿-莱布尼茨公式与应用 4.4 微分方程的基本概念4.5 可降次的微分方程第五章：定积分与定义5.1 定积分的概念与性质5.2 积分中值定理与应用5.3 积分的换元法与分部积分 5.4 可积函数与不可积函数5.5 微元法与应用第六章：定积分的应用6.1 曲线下的面积与弧长6.2 旋转体的体积与侧面积6.3 质量、质心与转动惯量6.4 弹性势能与物体受力6.5 场景模拟与实际问题第七章：多元函数的偏导数与全微分 7.1 二元函数与偏导数7.2 偏导数的连续性与可导性7.3 二元函数的全微分与近似计算 7.4 复合函数的求导法则7.5 总微分与偏导数的几何意义第八章：多元函数的积分8.1 二重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算方法8.3 三重积分与坐标变换8.4 曲线与曲面的面积8.5 曲线积分与曲面积分第九章：无穷级数9.1 数列及其极限9.2 级数的概念与性质9.3 正项级数的审敛法与上下界9.4 绝对收敛与条件收敛9.5 幂级数与函数展开第十章：常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶线性微分方程10.3 高阶线性常微分方程10.4 非齐次线性微分方程10.5 高阶线性方程的振动与抽样总结：通过本教材的学习，读者将对高等数学的核心概念及其应用有深入的了解。

每个章节都涵盖了特定的数学内容，从函数与极限开始深入探讨到常微分方程的应用。

课时作业18 导数与函数的零点问题1．设a为实数，函数f（x）＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值;(2)是否存在实数a，使得方程f(x）＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在,请说明理由．解：(1)f′（x)＝－3x2＋3，令f′（x)＝0，得x＝－1或x＝1.∵当x∈(－∞,－1)时，f′(x）〈0；当x∈（－1,1）时,f′（x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′（x)〈0,∴f(x）在(－∞,－1），(1，＋∞）上单调递减，在（－1，1)上单调递增．∴f(x)的极小值为f（－1）＝a－2,极大值为f（1)＝a＋2。

（2）方程f（x）＝0恰好有两个实数根,等价于直线y＝a 与函数y＝x3－3x的图象有两个交点．∵y＝x3－3x，∴y′＝3x2－3。

令y′〉0，解得x>1或x〈－1;令y′<0，解得－1<x<1。

∴y＝x3－3x在（－1，1)上为减函数，在(1，＋∞）和(－∞，－1）上为增函数．∴当x＝－1时，y极大值＝2;当x＝1时,y极小值＝－2.∴y＝x3－3x的大致图象如图所示．y＝a表示平行于x轴的一条直线,由图象知，当a＝2或a ＝－2时，y＝a与y＝x3－3x有两个交点．故当a＝2或a＝－2时,方程f（x)＝0恰好有两个实数根．2．已知函数f(x)＝ln x＋错误!,g(x)＝错误!，a∈R。

（1）求函数f(x)的极小值;(2）求证:当－1≤a≤1时，f（x)>g(x)．解：（1)f′（x)＝错误!－错误!＝错误!(x〉0），当a－1≤0，即a≤1时，f′（x)〉0，函数f（x)在（0，＋∞）上单调递增,无极小值；当a－1>0，即a>1时，则当0〈x<a－1时，f′（x)<0，函数f(x)在(0,a－1)上单调递减，当x>a－1时，f′（x)>0，函数f（x)在（a－1，＋∞）上单调递增，故f（x）极小值＝f（a－1)＝1＋ln（a－1)．综上所述,当a≤1时，f(x）无极小值;当a>1时，f（x)极小值＝1＋ln（a－1)．(2）证明:令F（x）＝f（x)－g(x）＝ln x＋错误!－错误!＝错误!（x>0），当－1≤a≤1时，要证f（x）>g(x)，即证F（x)〉0,即证x ln x－a sin x＋1〉0。

目录第一章学好数学必备的几个能力和思想第一节数学的建模思想第二节函数与方程的思想第三节数形结合思想第四节特殊否定的思想第五节特殊到一般、有限到无限的归纳思想第六节正难则反、抽象到具体的转化思想第七节分类讨论与整合求解的思想第八节联想与类比的探讨思想第九节运算能力第十节构造与凑配的能力第十一节归类总结能力第二章函数（函数是中学数学的基础和重点内容，尽管很少以独立的模块知识出现在解答题中，但是在高难度的题中，无处不渗透着函数的思想。

缺少了函数思想，其它模块就是无血之肉，无源之水。

因而，我们不但将其作为一个专题模块，而且要细讲、深研究。

）第一节函数的三要素------定义域第二节函数的三要素------对应法则第三节函数的三要素------值域第四节基本初等函数第五节函数的性质------函数的单调性第六节函数的性质------函数的奇、偶性第七节函数的性质------函数对称性第八节函数的性质------函数的周期性第九节函数图象及图象变换第十节常见特殊函数及其应用第十一节函数的零点及函数方程（既是高频高点，又是高考难点。

）第二章三角函数与平面向量（这些是高考的重点内容，尽管难度不大，易错点还是不少的，同时，这里面有很多技巧，有四两拨千斤的效果。

）第一节三角函数的概念及三角变换第二节三角函数的图象及性质第三节解三角形第四节平面向量第三章不等式与线性规划第一节基本不等式的解法第二节均值不等式的应用第三节不等式的证明及应用第四节线性规划第五节线性规划的应用第四章数列第一节数列的认识第二节等差、等比数列的通项公式、前n项和及性质第三节数列通项公式的求法第四节数列求和第五节数列的综合问题第五章立体几何第一节点、直线、平面之间的位置关系第二节空间几何体和三视图第三节空间角第四节空间直角坐标系在立体几何中的应用第五节空间距离问题第六节存在性的问题第六章概率与统计第一节古典概型、几何概型及条件概率第二节排列与组合第三节统计与概率分布第七章导数第一节导数的概念与运算第二节导数的几何意义的应用第三节导数在函数的单调性及极值方面的应用第四节导数在函数交点及函数零点方面的应用第五节导数在参数的最值及范围方面的应用第六节导数在函数不等式的证明方面的应用第八章解析几何第一节直线与圆的方程第二节椭圆第三节双曲线第四节抛物线第五节解析几何综合问题--------圆锥曲线的切线问题第六节解析几何综合问题-------参数的最值和范围问题第七节解析几何综合问题-------- 面积的最值和范围问题第八节解析几何综合问题--------定点、定值问题第九节解析几何综合问题-------- 存在性的问题第十节解析几何综合问题--------向量在解析几何中的应用第一章学好数学必备的几个能力和思想第一节数学的建模思想随着素质教育的进一步推进，现行中学数学教学大纲明确指出：“提高数学教学质量，不仅要求学生学好数学基础知识，更进一步要培养学生的逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力，以逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力，使学生能学以致用，避免出现高分低能现象。

第8讲 函数与方程、函数的模型及其应用基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·赣中南五校联考)函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(－2，－1)D.(－1，0)解析 由于f (－1)＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0，∴f (－1)·f (0)<0.则f (x )在(－1，0)内有零点. 答案 D2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B.－2，0C.12D.0解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上函数f (x )的零点只有0.答案 D3.(2017·杭州调研)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)解析 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，所以0<a <3. 答案 C4.(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为( ) A.5B.8C.9D.10解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5. 答案 A5.(2017·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14B.18C.－78D.－38解析 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案 C 二、填空题6.(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.解析 ∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1， ∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2) ＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2. 由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 答案 －2 17.(2017·湖州调研)设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系为y ＝c e kx，其中c ，k 为常量.已知某天的海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1 000 m 高空的大气压为0.90×105Pa ，则c ＝________，k ＝________，600 m 高空的大气压强约为________Pa(保留3位有效数字).解析 将x ＝0时，y ＝1.01×105Pa 和x ＝1 000时，y ＝0.90×105Pa 分别代入y ＝c e kx，得⎩⎪⎨⎪⎧1.01×105＝c e 0，0.90×105＝c e 1 000k ，所以c ＝1.01×105，所以e1 000k＝0.90×1051.01×105＝0.901.01，所以k ＝11 000×ln 0.901.01，用计算器算得k ≈－1.153×10－4，所以y ＝1.01×105×e－1.153×10－4x，将x ＝600代入上述函数式，得y ≈9.42×104Pa ，即在600 m 高空的大气压强约为9.42×104Pa.答案 1.01×105－1.153×10－49.42×1048.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________.解析 函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.答案 －12三、解答题9.已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围. 解 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题. 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根.(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （0）<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.10.(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( ) A.[0，1)B.(－∞，1)C.(－∞，1]∪(2，＋∞)D.(－∞，0]∪(1，＋∞)解析 函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图象(图略). 观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点. 答案 D12.(2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图3记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟D.4.25分钟解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟. 答案 B13.(2017·绍兴调研)已知f (x )＝1x ＋2－m |x |，若f (x )有两个零点，则实数m 的值为________；若f (x )有三个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 函数f (x )的零点，即为方程1x ＋2－m |x |＝0即1m＝|x |(x ＋2)的实数根，令g (x )＝|x |(x ＋2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x >0，－x 2－2x ，x <0，其图象如图所示，当m ＝1时，g (x )图象与y ＝1m 有2个交点；当0<1m<1，即m >1时，有3个交点.答案 1 (1，＋∞)14.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0).(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围. 解 (1)如图所示.(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数. 由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )＝m 有两个不相等的正根. 15.已知函数f (x )＝1|x ＋2|＋kx ＋b ，其中k ，b 为实数且k ≠0. (1)当k >0时，根据定义证明f (x )在(－∞，－2)单调递增； (2)求集合M k ＝{b |函数f (x )有三个不同的零点}. (1)证明 当x ∈(－∞，－2)时，f (x )＝－1x ＋2＋kx ＋b . 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，设x 2>x 1.f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋2＋kx 1＋b －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋2＋kx 2＋b ＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（x 1＋2）（x 2＋2）＋k . 由所设得x 1－x 2<0，1（x 1＋2）（x 2＋2）>0，又k >0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在(－∞，－2)单调递增.(2)解 函数f (x )有三个不同零点，即方程1|x ＋2|＋kx ＋b ＝0有三个不同的实根. 方程化为：⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b ＋1）＝0，与⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b －1）＝0. 记u (x )＝kx 2＋(b ＋2k )x ＋(2b ＋1)，v (x )＝kx 2＋(b ＋2k )x ＋(2b －1). ①当k >0时，u (x )，v (x )开口均向上.由v (－2)＝－1<0知v (x )在(－∞，－2)有唯一零点.为满足f (x )有三个零点，u (x )在(－2，＋∞)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧u （－2）>0，（b ＋2k ）2－4k （2b ＋1）>0，－b ＋2k 2k >－2，∴b <2k －2k .②当k <0时，u (x )，v (x )开口均向下.由u (－2)＝1>0知u (x )在(－2，＋∞)有唯一零点.为满足f (x )有三个零点，v (x )在(－∞，－2)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧v （－2）<0，（b ＋2k ）2－4k （2b －1）>0，－b ＋2k 2k <－2.∴b <2k －2－k .综合①②可得M k＝{b|b<2k－2|k|}.。

课时提升作业(十一)一、选择题1.(2013·九江模拟)设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x) ( )(A)在区间(e-1,1),(1,e)内均有零点(B)在区间(e-1,1),(1,e)内均无零点(C)在区间(e-1,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点(D)在区间(e-1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点2.(2013·安庆模拟)如图是函数f(x)的图像,它与x轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间之中,存在不能用二分法求出的零点,该零点所在的区间是( )(A)[-2.1,-1] (B)[4.1,5](C)[1.9,2.3] (D)[5,6.1]3.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,则x1,x2的大小关系是( ) (A)x1<x2 (B)x1>x2 (C)x1=x2 (D)不能确定4.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.(2013·合肥模拟)已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)46.设x1,x2是方程ln|x-2|=m(m为实常数)的两根,则x1+x2的值为( )(A)4 (B)2 (C)-4 (D)与m有关7.(2013·吉安模拟)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围是( )(A)(-,-2] (B)[-1,0] (C)(-∞,-2] (D)(-,+∞)8.若函数y=()|1-x|+m的图像与x轴有公共点,则m的取值范围是( )(A)m≤-1 (B)m≥1 (C)-1≤m<0 (D)0<m≤19.(2013·温州模拟)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是( )(A)(-∞,-1)∪(-,0) (B){-1,-}(C)(-1,-) (D)(-∞,-1)∪[-,0)10.(能力挑战题)若函数y=4sin(2x+)(x∈[0,])的图像与直线y=m有三个交点且它们的横坐标分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+2x2+x3的值是( )(A) (B) (C) (D)二、填空题11.若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.12.已知函数f(x)=3x+x-5的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N+,则a+b= .13.若函数f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1有且仅有一个零点,则实数m的取值集合是.14.(能力挑战题)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)与y=g(x)的图像在区间[-5,5]内的交点个数为.三、解答题15.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.(1)判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,求实数a的范围.答案解析1.【解析】选 D.f'(x)=-,当x∈(0,3)时,f'(x)<0,即f(x)在(0,3)上是减函数,又f(e-1)=e-1+1>0,f(1)=>0,f(e)=e-1<0,≨f(e-1)·f(1)>0,f(1)·f(e)<0,故选D.2.【解析】选C.由图像可以看出函数在[-2.1,-1],[1.9,2.3],[4.1,5],[5,6.1]上各有一个零点,对比四个选项,C中的零点不能用二分法求.3.【解析】选A.在同一坐标系中作函数y=-x,y=2x,y=lnx的图像如图所示,由图像知x1<x2.4.【思路点拨】本题可转化为求函数y=|x-2|和y=lnx图像的交点个数.【解析】选C.在同一直角坐标系中,作出函数y=|x-2|与y=lnx的图像如图,从图中可知,两函数共有2个交点,≨函数f(x)的零点的个数为2.5.【解析】选C.令f(x)=0,则sgn(lnx)-lnx=0,即sgn(lnx)=lnx,≨lnx=1或lnx=0或lnx=-1,≨x=e或x=1或x=.6.【解析】选A.函数y=ln|x-2|的图像关于直线x=2对称,从而x1+x2=4.7.【解析】选 A.由题意知函数M(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点,则有≨-<m≤-2.8.【解析】选C.由已知得函数y=()|1-x|+m有零点,即方程()|1-x|+m=0有解,此时m=-()|1-x|.≧|1-x|≥0,≨0<()|1-x|≤1,≨m∈[-1,0).9.【解析】选A.由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,≨f(x)=函数f(x)的图像如图所示,由图像知,当c<-1或-<c<0时,函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.10.【解析】选C.函数y=4sin(2x+)的图像的对称轴在[0,π]有2条,分别为x=和x=,由对称性可得x1+x2=2×=,x2+x3=2×=,故x1+2x2+x3=x1+x2+x2+x3=+=.11.【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y=a x与函数y=x+a交点的个数,两函数的图像如图所示,可知a>1时两函数图像有两个交点,0<a<1时两函数图像有唯一交点,故a>1.答案:(1,+≦)12.【解析】由已知x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N+,≨a,b的可能取值为a=1,b=2,或a=2,b=3,….又f(1)=3+1-5=-1<0,f(2)=32+2-5=6>0,≨f(1)f(2)<0,故a=1,b=2符合要求.又≧f(x)为增函数,当x取大于或等于2的整数时,所对应的函数值都大于0,≨a=1,b=2.≨a+b=1+2=3.答案:313.【解析】当m=1时,f(x)=4x-1=0,得x=,符合要求.当m≠1时,依题意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0.即m2+3m=0,解得m=-3或m=0,≨m的取值集合是{-3,0,1}.答案:{-3,0,1}【误区警示】本题求解过程中易忽视m=1而失误.根据原式将f(x)误认为是二次函数.14.【思路点拨】根据周期性画函数f(x)的图像,根据对称性画函数g(x)的图像,注意定义域.【解析】函数y=f(x)以2为周期,y=g(x)是偶函数,画出图像可知两函数在区间[-5,5]内有8个交点.答案:815.【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”是真命题.依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,≧Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实数根,从而f(x)=1必有实数根.(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,只需即解得<a<.【变式备选】已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点. 【解析】≧f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0,当Δ=0时,即m2-4=0,≨m=2或m=-2.又m=-2时,t=1,m=2时,t=-1(不合题意,舍去),≨2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点,≨这种情况不符合题意.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0.。