2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第二章 第八节 函数与方程及应用 含解析

课时作业组——基础对点练．曲线＝－在点()处切线的斜率等于( )．．．．解析：＝－＝＝，′＝(＋)＝(＋)，∴＝′＝＝，故选.答案：．(·济南模拟)已知函数()的导函数′()，且满足()＝′()＋，则′()＝( )．－．－．．解析：∵()＝′()＋，∴′()＝[′()]′＋( )′＝′()＋，∴′()＝′()＋，即′()＝－.答案：．函数()＝的图像在点(，())处的切线的倾斜角为( )解析：因为′()＝＋，所以′()＝，即曲线＝()在点(，())处的切线的斜率为.所以在点(，())处的切线的倾斜角为，故选.答案：．曲线＝在＝处的切线方程是＋－＝，则＝( )．．．解析：由题知，′＝，′＝＝，又切点为()，故切线方程为－＋＝，∴＝，故选.答案：．已知函数()＝－，且′()＝()，则的值是( )．－．－解析：因为′()＝＋＝－，所以＝－，所以＝－)＝＝，故选.答案：．已知()＝－＋＋，则()在点(－)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )．．解析：∵()＝－＋＋，∴′()＝－＋，∴′(－)＝，故切线方程为－＝(＋)，即－＋＝，令＝，得＝，令＝，得＝－，∴所求面积＝××＝.答案：．(·巴蜀中学模拟)已知曲线＝在点(, )处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为( )．＋＋＝．＋＋＝或＋－＝．－－＝．－＋＝或－－＝解析：′＝＝－，′＝＝－＝－，因此＝－，设直线方程为＝－＋，即＋－＝，由题意得＝，解得＝或＝－，所以直线的方程为＋－＝或＋＋＝.故选.答案：．已知函数()在上满足(－)＝－＋，则曲线＝()在(，())处的切线方程是( )．＝－．＝．＝－＋．＝－解析：法一：令＝得()＝，令－＝，可得＝－，代入(－)＝－＋得()＝(－)－(－)＋，化简整理得()＝－，即()＝－，∴′()＝－，∴′()＝.∴所求切线方程为－＝(－)，即＝－.法二：令＝得()＝，由(－)＝－＋，两边求导可得′(－)·(－)′＝－，令＝可得－′()＝－，即′()＝.∴所求切线方程为－＝(－)，即＝－.答案：.(·潍坊模拟)如图，＝()是可导函数，直线：＝＋是曲线＝()在＝处的切线，()＝()，′()是()的导函数，则′()＝( )．．－．．解析：由题意知直线：＝＋是曲线＝()在＝处的切线，由图可得()＝.又点()在直线上，∴＋＝，∴＝－，∴′()＝＝－.∵()＝()，∴′()＝()＋′()，则′()＝()＋′()＝＋×＝，故选.答案：．若曲线＝()＝＋(为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数的取值范围是( )．[－，＋∞)．(－，＋∞)．(，＋∞)．[，＋∞)解析：′()＝＋＝(＞)，根据题意有′()≥(＞)恒成立，所以＋≥(＞)恒成立，即≥－(＞)恒成立，所以≥，故实数的取值范围为[，＋∞)．故选.。

课时作业 A 组——基础对点练1、(2018·乌鲁木齐模拟)函数f (x )＝e x ＋2x －3的零点所在的一个区间是( ) A 、(－12,0) B 、(0,12) C 、(12,1) D 、(1,32)解析：因为f (12)＝－2＜0,f (1)＝e －1＞0,所以零点在区间(12,1)上、答案：C2、函数f (x )＝2x 6－x 4－1的零点个数是( ) A 、4 B 、2 C 、1D 、0 解析：函数f (x )＝2x 6－x 4－1的零点个数,就是方程2x 6－x 4－1＝0的实根的个数,变形为2x 6＝x 4＋1,显然x ＝0不是方程的根；当x ≠0时,等价于2x 2＝1＋1x 4,令g (x )＝2x 2,h (x )＝1＋1x 4,作出函数g (x )和h (x )的图像如图所示,数形结合知函数g (x )和h (x )的图像有2个交点,即函数f (x )有2个零点、答案：B3、已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A 、{1,3} B 、{－3,－1,1,3} C 、{2－7,1,3}D 、{－2－7,1,3}解析：当x ≥0时,f (x )＝x 2－3x , 令g (x )＝x 2－3x －x ＋3＝0, 得x 1＝3,x 2＝1.当x ＜0时,－x ＞0,∴f (－x )＝(－x )2－3(－x ), ∴－f (x )＝x 2＋3x ,∴f (x )＝－x 2－3x . 令g (x )＝－x 2－3x －x ＋3＝0,x 4＝－2＋7＞0(舍),∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合是{－2－7,1,3},故选D. 答案：D4、已知a ,b ,c ,d 都是常数,a ＞b ,c ＞d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ,d ,则下列不等式正确的是( ) A 、a ＞c ＞b ＞d B 、a ＞b ＞c ＞d C 、c ＞d ＞a ＞bD 、c ＞a ＞b ＞d解析：f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017,又f (a )＝f (b )＝2 017,c ,d 为函数f (x )的零点,且a ＞b ,c ＞d ,所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图像,如图所示,由图可知c ＞a ＞b ＞d ,故选D.答案：D5、(2018·德州模拟)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数,且当x ∈[－1,1]时,f (x )＝2|x |－1,则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( ) A 、9 B 、10 C 、11D 、18解析：由F (x )＝0得f (x )＝|lg x |分别作f (x )与y ＝|lg x |的图像,如图,所以有10个零点,故选B. 答案：B6、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R),若函数f (x )在R 上有两个零点,则a 的取值范围是( )A 、(－∞,－1)B 、(－∞,0)C 、(－1,0)D 、[－1,0)解析：当x ＞0时,f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13,所以只需要当x ≤0时, e x ＋a ＝0有一个根即可,即e x＝－a .当x ≤0时,e x∈(0,1],所以－a ∈(0,1],即a ∈[－1,0),故选D. 答案：D7、(2018·长沙市模拟)对于满足0＜b ≤3a 的任意实数a ,b ,函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 总有两个不同的零点,则a ＋b －ca 的取值范围是( )A 、(1,74]B 、(1,2]C 、[1,＋∞)D 、(2,＋∞)解析：依题意对方程ax 2＋bx ＋c ＝0,有Δ＝b 2－4ac ＞0,于是c ＜b 24a ,从而a ＋b －c a ＞a ＋b －b 24a a ＝1＋b a －14(b a )2,对满足0＜b ≤3a 的任意实数a ,b 恒成立、令t ＝b a ,因为0＜b ≤3a ,所以0＜t ≤3.因此－14t 2＋t ＋1∈(1,2],故a ＋b －ca ＞2.选D. 答案：D8、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根,则实数a 的取值范围为( ) A 、(1,3) B 、(0,3) C 、(0, 2)D 、(0,1)解析：画出函数f (x )的图像如图所示,观察图像可知,若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根,则函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝a 有3个不同的交点,此时需满足0＜a ＜1,故选D. 答案：D9、(2018·汕头模拟)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,且对任意的实数x ,恒有f (x )－f (－x )＝0,当x ∈[－1,0]时,f (x )＝x 2,若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0,＋∞)上有三个零点,则a 的取值范围为( ) A 、[3,5]B 、[4,6]C 、(3,5)D 、(4,6)解析：∵f (x )－f (－x )＝0,∴f (x )＝f (－x ),∴f (x )是偶函数,根据函数的周期性和奇偶性作出函数f (x )的图像如图所示：∵g (x )＝f (x )－log a x 在(0,＋∞)上有三个零点, ∴y ＝f (x )和y ＝log a x 的图像在(0,＋∞)上有三个交点, 作出函数y ＝log a x 的图像,如图,∴⎩⎨⎧log a 3＜log a 5＞a ＞1,解得3＜a ＜5.故选C.答案：C10、(2018·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数,若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点,则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C 、－78D 、－38解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0,则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ),因为f (x )是R 上的单调函数,所以2x 2＋1＝x －λ只有一个根,即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个根,则Δ＝1－8(1＋λ)＝0,解得λ＝－78.故选C. 答案：C11、已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称,当－1≤x ＜0时,则方程f (x )－12＝0在(0,6)内的所有根之和为( )A 、8B 、10C 、12D 、16解析：∵奇函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称,∴f (x )＝f (2－x )＝－f (－x ),即f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4),∴f (x )是周期函数,其周期T ＝4.又当x ∈[－1,0)时,f (x )＝－log 12(－x ),故f (x )在(0,6)上的函数图像如图所示、由图可知方程f (x )－12＝0在(0,6)内的根共有4个,其和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋10＝12,故选C.答案：C12、已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是 、解析：易知函数f (x )＝e |x |＋|x |为偶函数,故只需求函数f (x )在(0,＋∞)上的图像与直线y ＝k 有唯一交点时k 的取值范围、当x ∈(0,＋∞)时,f (x )＝e x ＋x ,此时f ′(x )＝e x ＋1＞0,所以函数f (x )在(0,＋∞)上单调递增,从而当x ＞0时,f (x )＝e x ＋x ＞f (0)＝1,所以要使函数f (x )在(0,＋∞)上的图像与直线y ＝k 有唯一交点,只需k ＞1,故所求实数k 的取值范围是(1,＋∞)、 答案：(1,＋∞)13、已知函数若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根,则实数k 的取值范围是 、解析：作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图像,如图所示：由图可知k ∈(0,1]、 答案：(0,1]14、函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是 、解析：当x ＞0时,令ln x －x 2＋2x ＝0, 得ln x ＝x 2－2x ,作y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 图像, 显然有两个交点、当x ≤0时,令4x ＋1＝0, ∴x ＝－14.综上共有3个零点、 答案：315、已知函数f (x )＝|x －a |－2x ＋a ,a ∈R,若方程f (x )＝1有且只有三个不同的实数根,则实数a 的取值范围是 、解析：令g (x )＝|x －a |＋a ,h (x )＝2x ＋1,作出函数h (x )＝2x ＋1的图像,易知直线y ＝x 与函数h (x )＝2x ＋1的图像的两交点坐标为(－1,－1)和(2,2),又函数g (x )＝|x －a |＋a 的图像是由函数y ＝|x |的图像的顶点在直线y ＝x 上移动得到的,且当函数h (x )＝2x ＋1的图像和g (x )＝|x －a |＋a 的图像相切时,切点为(2,1＋2),(－2,1－2),切线方程为y ＝－x ＋22＋1或y ＝－x －22＋1,又两切线与y ＝x 的交点分别为(1＋222,1＋222),(1－222,1－222),故a ＝1±222,结合图像可知a 的取值范围是(－∞,1－222)∪(1＋222,2)、 答案：(－∞,1－222)∪(1＋222,2) B 组——能力提升练1、已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，设函数f (x )＝sgn (1－x )＋12·f 1(x )＋sgn (x －1)＋12·f 2(x ),其中f 1(x )＝x 2＋1,f 2(x )＝－2x ＋4.若关于x 的方程[f (x )]2－3f (x )＋m ＝0恒好有6个根,则实数m 的取值范围是( ) A 、(－∞,94) B 、(－∞,94] C 、[2,94]D 、(2,94)解析：①若x ＞1,则f (x )＝－1＋12·f 1(x )＋1＋12·f 2(x )＝－2x ＋4.②若x ＝1,则f (x )＝0＋12·f 1(x )＋0＋12·f 2(x )＝x 2－2x ＋52＝2.③若x ＜1,则f (x )＝1＋12·f 1(x )＋－1＋12·f 2(x )＝x 2＋1.综上,f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ＜1，2，x ＝1，2x ＋4，x ＞1，作出其图像如图所示、若要使方程[f (x )]2－3f (x )＋m ＝0恒好有6个根,令t ＝f (x ),则关于t 的方程t 2－3t ＋m ＝0需有两个不相等的实数根,故Δ＝9－4m ＞0,得m ＜94.数形结合知1＜f (x )＜2,所以函数g (t )＝t 2－3t ＋m 在(1,2)上有两个不同的零点,又函数g (t )图像的对称轴为t ＝32∈(1,2),所以需⎩⎨⎧g (1)＞0，g (2)＞0，即⎩⎨⎧1－3＋m ＞0，22－3×2＋m ＞0，得2＜m ＜94,故选D. 答案：D2、(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1,x 2,若x 1＜f (x 1)＜x 2,则关于x 方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实数根的个数不可能为( )A 、2B 、3C 、4D 、5解析：由题意,得f ′(x )＝－x 2＋2ax ＋b .因为x 1,x 2是函数f (x )的两个极值点,所以x 1,x 2是方程－x 2＋2ax ＋b ＝0的两个实数根,所以由[f (x )]2－2af (x )－b ＝0,可得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由题意,知函数f (x )在(－∞,x 1),(x 2,＋∞)上单调递减,在(x 1,x 2)上单调递增,又x 1＜f (x 1)＜x 2,依题意作出简图,如图所示,结合图形可知,方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实根个数不可能为5,故选D.答案：D3、(2018·合肥市质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜|12x 2－2x ＋1|，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有6个不同的实数解,则3a ＋b 的取值范围是( ) A 、[6,11] B 、[3,11] C 、(6,11)D 、(3,11)解析：首先作出函数f (x )的图像(如图),对于方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0,可令f (x )＝t ,那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和,结合图像可知,要使总共有6个根,需要一个方程有4个根,另一个方程有2个根,从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根,分别位于区间(0,1)与(1,2)内,进一步由根的分布得出约束条件⎩⎨⎧b ＞1－a ＋b ＜4－2a ＋b ＞0,画出可行域(图略),计算出目标函数z ＝3a ＋b 的取值范围为(3,11)、答案：D4、(2018·洛阳统考)已知x 1,x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点,则( ) A.1e ＜x 1x 2＜1 B 、1＜x 1x 2＜e C 、1＜x 1x 2＜10D 、e ＜x 1x 2＜10解析：在同一直角坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图像(图略),结合图像不难看出,在x 1,x 2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,＋∞)、不妨设x 1∈(0,1),x 2∈(1,＋∞),则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1),e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0,e －1),e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)∈(－1,0),于是有e －1＜x 1x 2＜e 0,即1e ＜x 1x 2＜1,故选A. 答案：A5、设函数f (x )＝e x ＋x －2,g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ,b 满足f (a )＝0,g (b )＝0,则( ) A 、g (a )＜0＜f (b ) B 、f (b )＜0＜g (a ) C 、0＜g (a )＜f (b ) D 、f (b )＜g (a )＜0解析：∵f (x )＝e x ＋x －2, ∴f ′(x )＝e x ＋1＞0, 则f (x )在R 上为增函数, 且f (0)＝e 0－2＜0,f (1)＝e －1＞0, 又f (a )＝0,∴0＜a ＜1. ∵g (x )＝ln x ＋x 2－3, ∴g ′(x )＝1x ＋2x .当x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )＞0, 得g (x )在(0,＋∞)上为增函数, 又g (1)＝ln 1－2＝－2＜0, g (2)＝ln 2＋1＞0,且g (b )＝0, ∴1＜b ＜2,即a ＜b , ∴⎩⎨⎧f (b )＞f (a )＝0，g (a )＜g (b )＝0.故选A. 答案：A6、对于函数f (x )和g (x ),设α∈{x |f (x )＝0},β∈{x |g (x )＝0},若存在α,β,使得|α－β|≤1,则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”、若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”,则实数a 的取值范围是( ) A 、[2,4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D 、[2,3]解析：函数f (x )＝e x －1＋x －2的零点为x ＝1,设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ,若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”,则|1－b |≤1,∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3的图像过点(－1,4),∴要使其零点在区间[0,2]上,则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0,即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a 2－a ＋3≤0,解得a ≥2或a ≤－6(舍去),易知g (0)≥0,即a ≤3,此时2≤a ≤3,满足题意、 答案：D7、设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点,且满足|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＜33,则这样的零点有( ) A 、61个 B 、63个 C 、65个D 、67个解析：依题意,由f (x 0)＝sin πx 0＝0得,πx 0＝k π,k ∈Z,即x 0＝k ,k ∈Z.当k 是奇数时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝sin π⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝－1,|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝|k |－1＜33,|k |＜34,满足这样条件的奇数k 共有34个；当k 是偶数时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝sin π⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝1,|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝|k |＋1＜33,|k |＜32,满足这样条件的偶数k共有31个、综上所述,满足题意的零点共有34＋31＝65(个),选C. 答案：C8、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x 1x ＋1－1，－1<x <0,设函数g (x )＝f (x )－4mx －m ,其中m ≠0.若函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点,则实数m 的取值范围是( ) A 、m ≥14或m ＝－1 B 、m ≥14 C 、m ≥15或m ＝－1D 、m ≥15解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， 0≤x ＜1，1x ＋1－1， －1＜x ＜0.作函数y ＝f (x )的图像,如图所示、函数g (x )零点的个数⇔函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝4mx ＋m 交点的个数、 当直线y ＝4mx ＋m 过点(1,1)时,m ＝15；当直线y ＝4mx ＋m 与曲线y ＝1x ＋1－1(－1＜x ＜0)相切时,可求得m ＝－1.根据图像可知,当m ≥15或m ＝－1时,函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点、 答案：C9、已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且x >0时,f (x )＝ln x －x ＋1,则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2D 、3解析：当x >0时,f (x )＝ln x －x ＋1,f ′(x )＝1x －1＝1－x x ,所以x ∈(0,1)时,f ′(x )>0,此时f (x )单调递增；x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )<0,此时f (x )单调递减、因此,当x >0时,f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图像,如图,观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图像有两个交点,所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点、故选C.答案：C10、已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点,则实数a 的取值范围是( ) A 、(－∞,1)B 、(0,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋e e 2D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋e e 2解析：依题意,关于x 的方程ax －1＝ln x x 有两个不等的正根、记g (x )＝ln xx ,则g ′(x )＝1－ln x x 2,当0<x <e 时,g ′(x )>0,g (x )在区间(0,e)上单调递增；当x >e 时,g ′(x )<0,g (x )在区间(e,＋∞)上单调递减,且g (e)＝1e ,当0<x <1时,g (x )<0.设直线y ＝a 1x －1与函数g (x )的图像相切于点(x 0,y 0),则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1－lnx 0x 20a 1x 0－1＝ln x 0x 0,由此解得x 0＝1,a 1＝1.在坐标平面内画出直线y ＝ax －1(该直线过点(0,－1)、斜率为a )与函数g (x )的大致图像,结合图像可知,要使直线y ＝ax －1与函数g (x )的图像有两个不同的交点,则a 的取值范围是(0,1),选B. 答案：B11、已知f ′(x )为函数f (x )的导函数,且f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1,g (x )＝f (x )－12x 2＋x ,若方程g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a －x －x ＝0在(0,＋∞)上有且仅有一个根,则实数a 的取值范围是( ) A 、(－∞,0)∪{1} B 、(－∞,－1] C 、(0,1] D 、[1,＋∞)解析：∵f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1,∴f (0)＝f ′(1)e －1,f ′(x )＝x －f (0)＋f ′(1)e x －1,＝1,∴f (x )＝12∴f ′(1)＝1－f ′(1)e －1＋f ′(1)e 1－1,∴f ′(1)＝e,∴f (0)＝f ′(1)e －1x 2－x ＋e x ,∴g (x )＝f (x )－12x 2＋x ＝12x 2－x ＋e x －12x 2＋x ＝e x , ∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a －x －x ＝0, ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a －x ＝x ＝g (ln x ),∴x 2a －x ＝ln x ,∴x 2a ＝x ＋ln x 、当a >0时,只有y ＝x 2a (x >0)和y ＝x ＋ln x 的图像相切时,满足题意,作出图像如图所示,由图像可知,a ＝1,当a <0时,显然满足题意,∴a ＝1或a <0,故选A. 答案：A12、已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数、当x ≥0时,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧54sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x (0≤x ≤1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋1(x >1),若关于x的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ∈R)有且仅有6个不同的实数根,则实数a 的取值范围是( )A 、(0,1)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫54B 、[0,1]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫54C 、(0,1]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫54D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，54∪{0} 解析：作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧54sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x (0≤x ≤1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋1(x >1)的大致图像如图所示,又函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数,且关于x 的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ∈R)有且仅有6个不同的实数根,等价于f (x )＝65和f (x )＝a (a ∈R)有且仅有6个不同的实数根、由图可知方程f (x )＝65有4个不同的实数根,所以必须且只需方程f (x )＝a (a ∈R)有且仅有2个不同的实数根,由图可知0<a ≤1或a ＝54.故选C.答案：C13、在平面直角坐标系xOy 中,若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点,则a 的值为 、解析：若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点,则方程2a ＝|x －a |－1只有一解,即方程|x －a |＝2a ＋1只有一解,故2a ＋1＝0,所以a ＝－12. 答案：－1214、函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为 、解析：问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和,因为两个函数图像均关于x ＝1对称,所以x ＝1两侧的交点对称,那么两对应交点的横坐标的和为2,分别画出两个函数的图像(图略),易知x ＝1两侧分别有5个交点,所以所求和为5×2＝10. 答案：1015、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x ＋1|，x ＜x 2－4x ＋2，x ≥1,则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为 、解析：由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0得,f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－1,作出y ＝f (x ),y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－1的图像,由图像可知共有2个交点,故函数的零点个数为2.答案：216、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥2)2(1≤x ＜2),若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解,则实数a 的取值范围是 、解析：如图,当直线y ＝ax ＋1过点B (2,2)时,a ＝12,满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1与f (x )＝2x －1(x ≥2)的图像相切时,a ＝－1＋52,满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1过点A (1,2)时,a ＝1,满足方程恰有一个解、故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1。

课时作业A组——基础对点练1．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：使函数f(x)有意义需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．答案：D2．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝x2，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x解析：在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同．答案：C3．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图像可以是()解析：A项，定义域为[－2,0]，D项，值域不是[0,2]，C项，当x＝0时有两个y 值与之对应，故选B.答案：B4．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则则f [g (1)]的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由映射g 的对应法则，可知g (1)＝4，由映射f 的对应法则，知f (4)＝1，故f [g (1)]＝1. 答案：A5．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A. 答案：A6．设函数f (x )＝{ 3x －b ，x <1，x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34D.12解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×56－b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b .当52－b <1，即b >32时，3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍)．当52－b ≥1，即b ≤32时，解得b ＝12.故选D.答案：D7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A．－3 B．－1C．1 D．3解析：由题意知f(1)＝21＝2.∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＋2＝0.①当a＞0时，f(a)＝2a,2a＋2＝0无解；②当a≤0时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＋2＝0，∴a＝－3.答案：A8．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝|x| D．f(x)＝－x解析：对于A，f(x)＝x＋1，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)＝2x＋2，A不满足；对于B，f(x)＝x－|x|，f(2x)＝2x－|2x|＝2f(x)，B满足；对于C，f(x)＝|x|，f(2x)＝2|x|＝2f(x)，C满足；对于D，f(x)＝－x，f(2x)＝－2x＝2f(x)，D满足．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，则()A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)解析：因为f(x)＝2x＋1，所以f(x－1)＝2x－1.因为函数f(x)的定义域为[1,3]，所以1≤x－1≤3，即2≤x≤4，故f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)．答案：B10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( ) A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析：取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B. 答案：B11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x －1，x >0，f (2－x )，x ≤0，则f (0)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．3解析：f (0)＝f (2－0)＝f (2)＝log 22－1＝0. 答案：B12．已知实数a <0，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2a ，x <1，－x ，x ≥1，若f (1－a )≥f (1＋a )，则实数a的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，－1] C ．[－1,0)D ．(－∞，0)解析：当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )＝a －1，f (1＋a )＝(1＋a )2＋2a ＝a 2＋4a ＋1， 由f (1－a )≥f (1＋a )得a 2＋3a ＋2≤0，解得－2≤a ≤－1，所以a ∈[－2，－1]．故选B. 答案：B13．若函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则函数g (x )的表达式为 ． 解析：令x ＋2＝t ，则x ＝t －2.因为f (x )＝2x ＋3，所以g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，所以g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.故函数g (x )的表达式为g (x )＝2x －1.答案：g (x )＝2x －114．(2018·唐山一中测试)已知函数f (x )＝ax 5－bx ＋|x |－1，若f (－2)＝2，则f (2)＝ .解析：因为f (－2)＝2，所以－32a ＋2b ＋2－1＝2，即32a －2b ＝－1，则f (2)＝32a －2b ＋2－1＝0. 答案：015．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是 ．解析：由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.答案：10916．(2018·广州市测试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1－log 2x ，x ＞0，若|f (a )|≥2，则实数a的取值范围是 ．解析：当a ≤0时，1－a ≥1,21－a ≥2，所以|f (a )|≥2成立；当a ＞0时，由|f (a )|≥2可得|1－log 2a |≥2，所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2，解得0＜a ≤12或a ≥8.综上，实数a 的取值范围是(－∞，12]∪[8，＋∞)． 答案：(－∞，12]∪[8，＋∞)B 组——能力提升练1．(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝{ 2e x －1，x ＜x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))＜2的解集为( ) A ．(1－ln 2，＋∞) B ．(－∞，1－ln 2) C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x ＜1时，f (x )＝2e x －1＜2，所以f (f (x ))＜2等价于f (x )＜1，即2e x －1＜1，解得x ＜1－ln 2，所以f (f (x ))＜2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B. 答案：B2．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.答案：B3．(2018·天津模拟)设函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( )A.21＋xB.21＋x 2C.1－x 21＋x 2D.1－x 1＋x解析：令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，故选A. 答案：A4．(2018·郑州质检)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都 有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 017D ．2 018解析：令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2；令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.故选D. 答案：D5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧f (x －4)，xe x ，－2≤x ≤2f (－x )，x <－2，则f (－2 017)＝( )A ．1B ．e C.1eD ．e 2解析：由已知可得，当x >2时，f (x )＝f (x －4)，故其周期为4，f (－2 017)＝f (2 017)＝f (2 016＋1)＝f (1)＝e. 答案：B6．函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10，故选C. 答案：C7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)，x ＜2，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥2，则f (－1＋log 35)的值为( )A.115 B.53 C ．15D.23解析：∵－1＋log 35＜2，∴f (－1＋log 35)＝f (－1＋log 35＋2)＝f (1＋log 35)＝f (log 315)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 315＝115，故选A. 答案：A8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，1x ，x <0，若f (f (a ))＝－12，则实数a ＝( )A ．4B ．－2C ．4或－12 D ．4或－2答案：C9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ln (1＋x )＋x 2，x ≥－x ln (1－x )＋x 2，x <0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[－1,1]解析：若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D. 答案：D10．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( ) A ．－32 B ．－34 C ．－32或－34D.32或－34解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B. 答案：B11．给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫作离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .现给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题： ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12； ②f (3.4)＝－0.4； ③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14； ④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④D ．③④解析：①∵－1－12＜－12≤－1＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋1＝12，∴①正确．②∵3－12＜3.4≤3＋12，∴{3,4}＝3， ∴f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4， ∴②错误．③∵0－12＜－14≤0＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14－0＝14.∵0－12＜14≤0＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫14＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－0＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14， ∴③正确．④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，∴④错误．故选B.答案：B12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≤0，－(x －1)2， x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是 ．解析：由题意得⎩⎨⎧x ≤0，x2＋1≥－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，即－4≤x ≤2，即不等式的解集为[－4,2]．答案：[－4,2]13．已知函数f (x )的定义域为实数集R ，任意x ∈R ，f (x －90)＝⎩⎨⎧ lg x ，x >0，－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为 ．解析：令t ＝x －90，得x ＝t ＋90，则f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg (t ＋90)，t >－90，－(t ＋90)，t ≤－90，f (10)＝lg 100＝2，f (－100)＝－(－100＋90)＝10，所以f (10)－f (－100)＝－8. 答案：－814．(2018·郑州质检)若函数f (x )满足：任意a ，b ∈R ，都有3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )，且f (1)＝1，f (4)＝7，则f (2 017)＝ .解析：由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3. 取f (x )＝kx ＋m ，易验证f (x )＝kx ＋m 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3. 由f (1)＝1，f (4)＝7得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋m ＝4k ＋m ＝7，由此解得k ＝2，m ＝－1，故f (x )＝2x －1，f (2 017)＝2×2 017－1＝4 033.答案：4 033。

课时作业A组——基础对点练1．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( )A．[－3, 1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：使函数f(x)有意义需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．答案：D2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )xA．f(x)＝x，g(x)＝()2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2x2C．f(x)＝，g(x)＝|x|x－11－xD．f(x)＝0，g(x)＝＋解析：在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同．答案：C3．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图像可以是( )解析：A项，定义域为[－2,0]，D项，值域不是[0,2]，C项，当x＝0时有两个y值与之对应，故选B.答案：B4．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则x1234f(x)3421映射g的对应法则x1234g (x )4312则f [g (1)]的值为( )A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：由映射g 的对应法则，可知g (1)＝4，由映射f 的对应法则，知f (4)＝1，故f [g (1)]＝1.答案：A5．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( )A ．x ＋1 B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.答案：A6．设函数f (x )＝Error!若f ＝4，则b ＝( )(f(56))A ．1 B.78C. D.3412解析：f ＝f＝f .当－b <1，即b >时，3×－b ＝4，解得b ＝(舍)(f(56))(3×56－b)(52－b)5232(52－b)78．当－b ≥1，即b ≤时，2－b ＝4，解得b ＝.故选D.52325212答案：D7．已知函数f (x )＝Error!若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3 B ．－1C ．1D ．3解析：由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＋2＝0.①当a ＞0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3.答案：A8．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝x ＋1 B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝－x解析：对于A ，f (x )＝x ＋1，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )＝2x ＋2，A 不满足；对于B ，f (x )＝x －|x |，f (2x )＝2x －|2x |＝2f (x )，B 满足；对于C ，f (x )＝|x |，f (2x )＝2|x |＝2f (x )，C 满足；对于D ，f (x )＝－x ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，D 满足．故选A.答案：A9．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( )A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2)B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2)D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．答案：B10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝B ．y ＝[x10][x ＋310]C ．y ＝D ．y ＝[x ＋410][x ＋510]解析：取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B.答案：B11．已知函数f (x )＝Error!则f (0)＝( )A ．－1 B ．0C ．1D ．3解析：f (0)＝f (2－0)＝f (2)＝log 22－1＝0.答案：B12．已知实数a <0，函数f (x )＝Error!若f (1－a )≥f (1＋a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，－1]C ．[－1,0)D ．(－∞，0)解析：当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )＝a －1，f (1＋a )＝(1＋a )2＋2a ＝a 2＋4a ＋1，由f (1－a )≥f (1＋a )得a 2＋3a ＋2≤0，解得－2≤a ≤－1，所以a ∈[－2，－1]．故选B.答案：B13．若函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则函数g (x )的表达式为________．解析：令x ＋2＝t ，则x ＝t －2.因为f (x )＝2x ＋3，所以g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，所以g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.故函数g (x )的表达式为g (x )＝2x －1.答案：g (x )＝2x －114．(2018·唐山一中测试)已知函数f (x )＝ax 5－bx ＋|x |－1，若f (－2)＝2，则f (2)＝________.解析：因为f (－2)＝2，所以－32a ＋2b ＋2－1＝2，即32a －2b ＝－1，则f (2)＝32a －2b ＋2－1＝0.答案：015．已知函数f (x )＝Error!则f的值是__________．(f(14))解析：由题意可得f ＝log 2＝－2，(14)14∴f ＝f (－2)＝3－2＋1＝.(f(14))109答案：10916．(2018·广州市测试)已知函数f (x )＝Error!，若|f (a )|≥2，则实数a 的取值范围是__________．解析：当a ≤0时，1－a ≥1,21－a ≥2，所以|f (a )|≥2成立；当a ＞0时，由|f (a )|≥2可得|1－log 2a |≥2，所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2，解得0＜a ≤或a ≥8.综上，实数a 的12取值范围是(－∞，]∪[8，＋∞)．12答案：(－∞，]∪[8，＋∞)12B 组——能力提升练1．(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝Error!，则f (f (x ))＜2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞) B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x ＜1时，f (x )＝2e x －1＜2，所以f (f (x ))＜2等价于f (x )＜1，即2e x －1＜1，解得x ＜1－ln 2，所以f (f (x ))＜2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.答案：B2．具有性质：f ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：(1x )①f (x )＝x －；②f (x )＝x ＋；③f (x )＝Error!其中满足“倒负”变换的函数是( )1x 1x A ．①② B ．①③C ．②③D ．①解析：对于①，f (x )＝x －，f ＝－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ＝＋x ＝f (x )，不满足；1x (1x )1x (1x )1x 对于③，f ＝Error!(1x )即f ＝Error!故f ＝－f (x )，满足．(1x )(1x )综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.答案：B3．(2018·天津模拟)设函数f (x )满足f ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( )(1－x1＋x )A. B.21＋x 21＋x 2C.D.1－x 21＋x 21－x 1＋x解析：令＝t ，则x ＝，代入f ＝1＋x ，得f (t )＝1＋＝，故选A.1－x1＋x 1－t1＋t (1－x 1＋x )1－t 1＋t 21＋t 答案：A4．(2018·郑州质检)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( )A ．0B ．1C ．2 017D ．2 018解析：令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2；令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.故选D.答案：D5．已知函数f (x )＝Error!，则f (－2 017)＝( )A ．1 B ．eC.D ．e 21e 解析：由已知可得，当x >2时，f (x )＝f (x －4)，故其周期为4，f (－2 017)＝f (2017)＝f (2016＋1)＝f (1)＝e.答案：B6．函数f (x )＝Error!则不等式f (x )>2的解集为( )A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(，＋∞)10D ．(，＋∞)10解析：令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >，故选C.10答案：C7．已知函数f (x )＝Error!则f (－1＋log 35)的值为( )A. B.11553C ．15D.23解析：∵－1＋log 35＜2，∴f (－1＋log 35)＝f (－1＋log 35＋2)＝f (1＋log 35)＝f (log 315)＝log 315＝，故选A.(13)115答案：A8．设函数f (x )＝Error!若f (f (a ))＝－，则实数a ＝( )12A ．4B ．－2C ．4或－D ．4或－212答案：C9．已知函数f (x )＝Error!，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]解析：若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D.答案：D10．已知实数a ≠0，函数f (x )＝Error!若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－B ．－3234C ．－或－D.或－32343234解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－，不合题意；当a <0时，321－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－，所以a 的值34为－，故选B.34答案：B11．给出定义：若m －＜x ≤m ＋(其中m 为整数)，则m 叫作离实数x 最近的整数，记作1212{x }，即{x }＝m .现给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：①f＝；(－12)12②f (3.4)＝－0.4；③f＝f ；(－14)(14)④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是.[－12，12]其中真命题的序号是( )A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④解析：①∵－1－＜－≤－1＋，121212∴＝－1，{－12}∴f＝＝＝，∴①正确．(－12)|－12－{－12}||－12＋1|12②∵3－＜3.4≤3＋，∴{3,4}＝3，1212∴f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4，∴②错误．③∵0－＜－≤0＋，∴＝0，121412{－14}∴f＝＝.∵0－＜≤0＋，∴＝0，∴f ＝＝，(－14)|－14－0|14121412{14}(14)|14－0|14∴f ＝f ，∴③正确．(－14)(14)④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是，∴④错误．故选B.[0，12]答案：B12．已知函数f (x )＝Error!则不等式f (x )≥－1的解集是________．解析：由题意得Error!或Error!解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，即－4≤x ≤2，即不等式的解集为[－4,2]．答案：[－4,2]13．已知函数f (x )的定义域为实数集R ，任意x ∈R ，f (x －90)＝Error!则f (10)－f (－100)的值为__________．解析：令t ＝x －90，得x ＝t ＋90，则f (t )＝Error!f (10)＝lg 100＝2，f (－100)＝－(－100＋90)＝10，所以f (10)－f (－100)＝－8.答案：－814．(2018·郑州质检)若函数f (x )满足：任意a ，b ∈R ，都有3f ＝f (a )＋2f (b )，且f (1)(a ＋2b 3)＝1，f (4)＝7，则f (2 017)＝__________.解析：由已知得f＝.(a ＋2b 3)f (a )＋2f (b )3取f (x )＝kx ＋m ，易验证f (x )＝kx ＋m 满足f＝.(a ＋2b 3)f (a )＋2f (b )3由f (1)＝1，f (4)＝7得Error!，由此解得k ＝2，m ＝－1，故f (x )＝2x －1，f (2 017)＝2×2017－1＝4 033.答案：4 033。

课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·广州市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x ，x ＜0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图像是( )解析：g (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤01x ，x ＞0，∴g (x )的图像是选项D 中的图像．答案：D2.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图像为( )解析：直线l 在AD 圆弧段时，面积y 的变化率逐渐增大，l 在DC 段时，y 随x 的变化率不变；l 在CB 段时，y 随x 的变化率逐渐变小，故选D. 答案：D3．(2018·惠州市调研)函数f (x )＝(x －1x)cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图像可能为( )解析：函数f (x )＝(x －1x )cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当 x ＝π时，f (x )＝(π－1π)cos π＝1π－π＜0，排除选项C ，故选D.答案：D4．(2018·长沙市一模)函数y ＝ln|x |－x 2的图像大致为( )解析：令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln |x |－x 2为偶函数，其图像关于y 轴对称，排除B ，D ；当x ＞0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈(0，22)时，y ′＝1x －2x ＞0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.选A. 答案：A5.(2018·武昌调研)已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝2－x 22xB ．f (x )＝cos xx 2C ．f (x )＝－cos 2xxD ．f (x )＝cos xx解析：A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x →0＋时，f (x )<0，与题图不符，故不成立．选D. 答案：D6．函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解析：与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的图像对应的函数为y ＝e －x ，将函数y ＝e －x 的图像向左平移1个单位长度即得y ＝f (x )的图像，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1，故选D. 答案：D7．函数f (x )＝2ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图像的交点个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．0解析：在同一直角坐标系中画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图像，如图所示．∵f (2)＝2ln 2＞g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图像的交点个数为2.故选B. 答案：B8．如图，函数f (x )的图像为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图像，如图所示：其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图像的交点为D (1,1)，结合图像可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}，故选C. 答案：C9．已知函数f (x )＝|2x －m |的图像与函数g (x )的图像关于y 轴对称，若函数f (x )与函数g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是( ) A ．[12，2]B ．[2,4]C ．(－∞，12]∪[4，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：易知当m ≤0时不符合题意，当m ＞0时，g (x )＝|2－x －m |，即g (x )＝|(12)x －m |.当f (x )与g (x )在区间[1,2]上同时单调递增时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝|(12)x －m |的图像如图1或图2所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log 2m ≤1，－log 2m ≤1，解得12≤m ≤2；当f (x )在[1,2]上单调递减时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝|(12)x －m |的图像如图3所示，由图像知此时g (x )在[1,2]上不可能单调递减．综上所述，12≤m ≤2，即实数m 的取值范围为[12，2]．答案：A 10．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图像不经过第一象限，则m 的取值范围是________．解析：由y ＝2－x ＋1＋m ，得y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ；函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图像如所示，则要使其图像不经过第一象限，则m ≤－2. 答案：(－∞，－2]11.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19，x ＞0 的图像如图所示，则a ＋b ＋c ＝________. 解析：由图像可求得直线的方程为y ＝2x ＋2.又函数y ＝log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19的图像过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133. 答案：13312．(2018·枣庄一中模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是________． 解析：f (x )的图像如图所示，g (x )＝0即f (x )＝m ， y ＝m 与y ＝f (x )有四个交点， 故m 的取值范围为(－1,0)． 答案：(－1,0)13．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ 1x，x ＜0，⎝⎛⎭⎫13x，x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为__________．解析：函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x <0，⎝⎛⎭⎫13x，x ≥0和函数g (x )＝±13的图像如图所示．当x <0时，是区间(－∞，－3]，当x ≥0时，是区间[1，＋∞)，故不等式－13≤f (x )≤13的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)B 组——能力提升练1．函数y ＝x ＋2x ＋1的图像与函数y ＝2sin πx ＋1(－4≤x ≤2)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2D ．－1解析：依题意，注意到函数y ＝1x 与函数y ＝－2sin πx (－3≤x ≤3)均是奇函数，因此其图像均关于原点成中心对称，结合图像不难得知，它们的图像共有2对关于原点对称的交点，这2对交点的横坐标之和为0；将函数y ＝1x 与函数y ＝－2sin πx (－3≤x ≤3)的图像同时向左平移1个单位长度、再同时向上平移1个单位长度，所得两条新曲线(这两条新曲线方程分别为y ＝1＋1x ＋1＝x ＋2x ＋1、y ＝－2sin π(x ＋1)＋1＝2sin πx ＋1)仍有2对关于点(－1,1)对称的交点，这2对交点的横坐标之和为－4(其中每对交点的横坐标之和为－2)，即函数y ＝x ＋2x ＋1的图像与函数y ＝2sin πx ＋1(－4≤x ≤2)的图像所有交点的横坐标之和等于－4，因此选B. 答案：B2．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0，d ＞0D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜0解析：∵函数f (x )的图像在y 轴上的截距为正值，∴d ＞0.∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＜0的解集为(x 1，x 2)，∴a ＞0，又x 1，x 2均为正数，∴c 3a ＞0，－2b3a ＞0，可得c ＞0，b ＜0. 答案：A3．设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )，则下列关系中一定成立的是( )A ．3c ＞3aB ．3c ＞3bC ．3c ＋3a ＞2D ．3c ＋3a ＜2解析：画出f (x )＝|3x －1|的图像，如图所示，要使c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )成立，则有c ＜0，且a ＞0. 由y ＝3x 的图像可得0＜3c ＜1＜3a . ∴f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1，∵f (c )＞f (a )， ∴1－3c ＞3a －1，即3a ＋3c ＜2. 答案：D4．已知函数f (x )＝－2x 2＋1，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >02x ，x ≤0，则函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数为( ) A ． 2 B ． 3 C ．4D ．5解析：函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数，即|f (x )|－g (x )＝0的根的个数，可得|f (x )|＝g (x )，画出函数|f (x )|，g (x )的图像如图所示，观察函数的图像，则它们的交点为4个，即函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点个数为4，选C.答案：C5．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：不等式4a x －1＜3x －4等价于a x －1＜34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12，故选B.答案：B6．若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图像如图所示，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．[1,2)解析：根据题图可知，函数图像过原点，即f (0)＝0，所以m ≠0.当x ＞0时，f (x )＞0，所以2－m ＞0，即m ＜2.函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的，所以f ′(x )≥0在[－1,1]上恒成立， 则f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x (x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2≥0，∵m －2＜0，(x 2＋m )2＞0，∴只需x 2－m ≤0在[－1,1]上恒成立即可，∴m ≥(x 2)max ， ∴m ≥1.综上所述：1≤m ＜2，故选D. 答案：D7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1， x ≤0，x 12， x ＞0.若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是________． 解析：在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )的图像和直线y ＝1，它们相交于(－1,1)和(1,1)两点，由f (x 0)＞1，得x 0＜－1或x 0＞1. 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1， x ＝0，关于x 的方程y ＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________. 解析：函数f (x )的图像如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图像有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，∴x 1＋x 2＋x 3＝0. 答案：09．设f (x )是定义在R 上的偶函数，F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17，G (x )＝－17x ＋33x ＋2，若F (x )的图像与G (x )的图像的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝________.解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴g (x )＝x 3f (x )是定义在R 上的奇函数，其图像关于原点中心对称，∴函数F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17＝g (x ＋2)－17的图像关于点(－2，－17)中心对称．又函数G (x )＝－17x ＋33x ＋2＝1x ＋2－17的图像也关于点(－2，－17)中心对称，∴F (x )和G (x )的图像的交点也关于点(－2，－17)中心对称，∴x 1＋x 2＋…＋x m ＝m2×(－2)×2＝－2m ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m2×(－17)×2＝－17m ，∴∑i ＝1m (x i ＋y i )＝(x 1＋x 2＋…＋x m )＋(y 1＋y 2＋…＋y m )＝－19m . 答案：－19m10．(2018·西安质检)已知函数f (x )＝1|x |－1，下列关于函数f (x )的研究：①y ＝f (x )的值域为R.②y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③y＝f(x)的图像关于y轴对称．④y＝f(x)的图像与直线y ＝ax(a≠0)至少有一个交点．其中，结论正确的序号是________．解析：函数f(x)＝1|x|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x－1，x≥01－x－1，x＜0，其图像如图所示，由图像可知f(x)的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f(x)的图像关于y轴对称，故③正确；由于在每个象限都有图像，所以与过原点的直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④。

课时作业组——基础对点练.函数()的导函数′()的图像是如图所示的一条直线，与轴的交点坐标为()，则()与()的大小关系为( )．()<()．()>()．()＝()．无法确定解析：由题意知()的图像是以＝为对称轴，且开口向下的抛物线，所以()＝()>()．选.答案：．若函数()＝－在区间(，＋∞)单调递增，则的取值范围是( )．(－∞，－]．(－∞，－]．[，＋∞)．[，＋∞) 解析：依题意得′()＝－≥在(，＋∞)上恒成立，即≥在(，＋∞)上恒成立，∵>，∴<<，∴≥，故选.答案：．已知函数()＝－－(其中为自然对数的底数)，则＝()的图像大致为( )解析：依题意得′()＝－.当＜时，′()＜，()是减函数，()＞( )＝－；当＞时，′()＞，()是增函数，因此对照各选项知选.答案：．函数()＝)的大致图像是( )解析：当＝－时，(－)＝＝－＜，排除；当＝－时，(－)＝＝－＜，排除；又′()＝－)＝，当∈(，)时，′()＞，()是增函数，当∈(，)时，′()＜，()是减函数，所以错误．故选.答案：．若函数()＝－＋＋在∈[]上是增函数，则实数的取值范围为( )．(，)．(，]．(－∞，]．(－∞，) 解析：因为()＝－＋＋，所以′()＝－＋，又()在∈[]上是增函数，所以′()≥在∈[]上恒成立，即－＋≥≤＋在∈[]上恒成立，因为∈[]，所以≤(＋)，又＋≥＝，当且仅当＝，即＝时取“＝”，所以≤，即≤.答案：．已知定义在(，＋∞)上的函数()的导函数为′()，且′()( )＞()，则( )．()＞()＞()．()＜()＜()．()＞()＞()．()＜()＜()解析：设()＝)，＞且≠，因为′()( )＞()，所以′()＝－((·(),( ()＝(－((( ()＞，所以()在()，(，＋∞)上单调递增，所以()＜()＜()，故)＜)＜)，即＜＜，所以()＜()＜()．选.答案：．(·成都模拟)()是定义域为的函数，对任意实数都有()＝(－)成立．若当≠时，不等式(－)·′()＜成立，若＝()，＝，＝()，则，，的大小关系是( )．＞＞．＞＞．＞＞．＞＞解析：因为对任意实数都有()＝(－)成立，所以函数()的图像关于直线＝对称，又因为当≠时，不等式(－)·′()＜成立，所以函数()在(，＋∞)上单调递减，所以＞()＝＞()，即＞＞.答案：．(·九江模拟)已知函数()＝＋－，若()在区间上是增函数，则实数的取值范围为．解析：由题意知′()＝＋－≥在上恒成立，即≥－＋在上恒成立，∵＝，∴≥，即≥.答案：．设′()是奇函数()(∈)的导函数，(－)＝，当＞时，′()－()＞，则使得()＞成立的的取值范围是．解析：令()＝，则′()＝，∴当＞时，′()＞，即()在(，＋∞)上单调递增，∵()为奇函数，(－)＝，∴()＝，∴()＝＝，结合奇函数()的图像知，()＞的解集为(－)∪(，＋∞)，故填(－)∪(，＋∞)．答案：(－)∪(，＋∞)。

课时作业组——基础对点练．(·岳阳模拟)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )．＝(－)．＝．＝－．＝＋解析：、为单调函数，不存在极值，不是奇函数，故选.答案：．设函数()在上可导，其导函数为′()，且函数()在＝－处取得极小值，则函数＝′()的图像可能是( )解析：∵()在＝－处取得极小值，∴在＝－附近的左侧′()<，当<－时，′()>.在＝－附近的右侧′()>，当－<<时，′()<，故选.答案：．已知()＝)，其中为自然对数的底数，则( )．()＞()＞()．()＞()＞()．()＞()＞()．()＞()＞()解析：()＝)，′()＝)，令′()＝，解得＝，当∈(，)时，′()＞，函数()单调递增，当∈(，＋∞)时，′()＜，函数()单调递减，故()在＝处取得最大值()，()－()＝)－)＝－)＝－)＜，∴()＜()，则()＞()＞()，故选.答案：．函数()＝－的最小值为( )．．．不存在解析：′()＝－＝，且＞.令′()＞，得＞；令′()＜，得＜＜.∴()在＝处取得极小值也是最小值，且()＝－＝.答案：．(·山西八校联考)已知＝－是函数()＝(＋＋)的一个极值点，四位同学分别给出下列结论，则一定不成立的结论是( )．＝．＝．≠．＝解析：令()＝＋＋，则′()＝＋，′()＝[()＋′()]，因为＝－是函数()＝()的一个极值点，所以有(－)＋′(－)＝，得＝.设()＝()＋′()＝＋(＋)＋＋，若＝，则＝≠，()＝(＋)，′()在＝－两侧不变号，与＝－是函数()＝(＋＋)的一个极值点矛盾，故＝一定不成立，选择.答案：．已知为自然对数的底数，设函数()＝(－)(－)(＝)，则( )．当＝时，()在＝处取到极小值．当＝时，()在＝处取到极大值．当＝时，()在＝处取到极小值．当＝时，()在＝处取到极大值解析：当＝时，()＝(－)(－)，是函数()的零点．当＜＜时，()＝(－)(－)＜，当＞时，()＝(－)(－)＞不会是极值点．当＝时，()＝(－)(－)，零点还是，但是当＜＜，＞时，()＞，由极值的概念，知选.答案：．若＜＜＜，则( )．－＞－．－＜－．＞．＜解析：令()＝，则′()＝＝.当＜＜时，′()＜，即()在()上单调递减，∵＜＜＜，∴()＜()，即＜，∴＞，故选.答案：．设函数()＝(\\((－(＋，≤,( )＋＋，>))(是自然对数的底数)，若()是函数()的最小值，则的取值范围是( )．[]．[－]．[]．[] 解析：当>时，对函数()＝)＋＋的单调性进行研究，求导后发现()在(，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，即函数()在>时的最小值为()；当≤时，()＝(－)＋是对称轴方程为＝的二次函数，欲使()是函数的最小值，则(\\(≥((≤(())⇒(\\(≥,－≤≤))⇒≤≤，故选.答案：。

课时作业A 组——基础对点练1．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t .直线MN 的方程为：y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.①因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.②设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2). 设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12. 由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1.2．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得 (1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0， 即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1， 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，。

课时作业 A 组——基础对点练1．直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的倾斜角的大小是( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的斜率为－33，令其倾斜角为θ，则tan θ＝－33，解得θ＝150°，故选D. 答案：D2．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －CB，∵AB <0，BC <0，∴－A B >0，－CB >0.∴直线过第一、二、三象限，不过第四象限，故选D.答案：D3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4]B ．[3π4，π)C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)解析：由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是[3π4，π)．答案：B4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( ) A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．答案：D5．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1，故选C. 答案：C6．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎝⎛⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线l 的方程，可得斜率k ＝－1cos θ.因为cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， 所以k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4， 综上知，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4. 答案：C7．(2018·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．4x ＋3y ＋6＝0C ．3x ＋y ＋6＝0D ．3x －4y ＋10＝0解析：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.答案：A8．直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0过定点( ) A ．(1，－3) B ．(4,3) C ．(3,1)D ．(2,3)解析：2mx ＋x ＋my ＋y －7m －4＝0，即(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝7，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.则直线过定点(3,1)，故选C. 答案：C9．(2018·张家口模拟)直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0≤α≤π4B.π2<α<π C.π4≤α<π2D.π2<α≤3π4解析：直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α<π2.答案：C10．已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( ) A ．0 B ．2 C. 2D ．1解析：直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，此直线在x 轴，y轴上的截距和为a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D. 答案：D11．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0, 则点N 的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2,3) C ．(2,1)D ．(－2,1)解析：∵点N 在直线x －y ＋1＝0上， ∴可设点N 坐标为(x 0，x 0＋1)．根据经过两点的直线的斜率公式，得k MN ＝(x 0＋1)＋1x 0＝x 0＋2x 0.∵直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，直线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，∴k MN ×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，即x 0＋2x 0＝2，解得x 0＝2.因此点N 的坐标是(2,3)，故选B. 答案：B12．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)13．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________. 解析：令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－214．(2018·武汉市模拟)若直线2x ＋y ＋m ＝0过圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心，则m 的值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，圆心为(1，－2)，则直线2x ＋y ＋m ＝0过圆心(1，－2)，故2－2＋m ＝0，m ＝0. 答案：015．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，求b 的取值范围． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．B 组——能力提升练1．已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( ) A.π3 B.π6 C.π4D.3π4解析：令x ＝π4，则f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ＝ab ＝－1，其倾斜角为3π4.故选D.答案：D2．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0. 答案：A3．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，而这两点连线所在直线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2，故选A.答案：A4．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1－22，12) C ．(1－22，13] D ．[13，12)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a >0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点(－ba ，0)，结合图形(图略)知12×a ＋b a ＋1×(1＋b a )＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a >0，∴b 21－2b >0，解得b <12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故选B.答案：B5．已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当π2<α≤π时，tan α≤0，即k ≤0，而当k >1时，即tan α>1，则π4<α<π2，所以p 是q的必要不充分条件，故选B.答案：B6．若经过点(1,0)的直线l 的倾斜角是直线x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －4＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x ＋4y －3＝0D ．4x ＋3y －4＝0解析：设直线x －2y －2＝0的倾斜角为α，则其斜率tan α＝12，直线l 的斜率tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43.又因为l 经过点(1,0)，所以其方程为4x －3y －4＝0，故选A.答案：A7．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：由题知，反射光线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径为1，且反射光线与该圆相切， ∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.答案：D8．已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( ) A.103 B ．－103C.1013D ．－1013解析：依题意，tan θ＝－3(θ∈[0，π))，所以23sin 2θ－cos 2θ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)3sin 2θ－cos 2θ＝2(tan 2θ＋1)3tan 2θ－1＝1013，故选C.答案：C9．(2018·天津模拟)已知m ，n 为正整数，且直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，则2m ＋n 的最小值为( ) A ．7B ．9C ．11D ．16解析：∵直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，∴2n ＝m (n －1)，∴m ＋2n ＝mn ，两边同除以mn 可得2m ＋1n ＝1，∵m ，n 为正整数，∴2m ＋n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫2m ＋1n ＝5＋2n m ＋2mn ≥5＋22n m ·2m n ＝9.当且仅当2n m ＝2mn时取等号． 故选B. 答案：B10．直线x cos θ－y －1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围为________．解析：直线的斜率为k ＝cos θ∈[－1,1]，即tan α∈[－1,1]，所以α∈[0，π4]∪[34π，π)．答案：[0，π4]∪[34π，π)11．过点A (1,2)且与直线x －2y ＋3＝0垂直的直线方程为________．解析：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，所以由垂直关系可得要求直线的斜率为－2，所以所求方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0. 答案：2x ＋y －4＝012．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：动直线x ＋my ＝0(m ≠0)过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)．由题意易得直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0垂直，即P A ⊥PB .所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝12＋322＝5，即|P A |·|PB |的最大值为5.答案：513．已知直线x ＝π4是函数f (x )＝a sin x －b cos x (ab ≠0)图像的一条对称轴，求直线ax ＋by ＋c＝0的倾斜角． 解析：f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)，其中tan φ＝b a ，将x ＝π4代入，得sin(π4－φ)＝±1，即π4－φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝－k π－π4，k ∈Z.所以tan φ＝tan ⎝⎛⎭⎫－k π－π4＝－1＝ba ，所以直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率为－ab ＝1，故倾斜角为π4.。

课时作业A 组——基础对点练1．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t .直线MN 的方程为：y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.①因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.②设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2). 设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12. 由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1.2．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得 (1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 3.如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝4，|AD |＝2，O 为AB 的中点，P ，Q分别是AD 和CD 上的点，且满足①|AP ||AD |＝|DQ ||DC |，②直线AQ 与BP 的交点在椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上． (1)求椭圆E 的方程；(2)设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN 垂直于y 轴，垂足为N ，求梯形ORMN 面积的最大值．解析：(1)设AQ 与BP 的交点为G (x ，y )，P (－2，y 1)，Q (x 1,2)，由题可知，y 12＝x 1＋24，y x ＋2＝2x 1＋2，y 2－x ＝y 14， 从而有4y 2－x＝x ＋2y ，整理得x 24＋y 2＝1，即为椭圆E 的方程． (2)由(1)知R (2,0)，设M (x 0，y 0)，则y 0＝124－x 20， 从而梯形ORMN 的面积S ＝12(2＋x 0)y 0＝14(4－x 20)(2＋x 0)2，令t ＝2＋x 0，则2<t <4，S ＝144t 3－t 4， 令u ＝4t 3－t 4，则u ′＝12t 2－4t 3＝4t 2(3－t )，当t ∈(2,3)时，u ′>0，u ＝4t 3－t 4单调递增，当t ∈(3,4)时，u ′<0，u ＝4t 3－t 4单调递减，所以当t ＝3时，u 取得最大值，则S 也取得最大值，最大值为334. 4．(2018·贵阳监测)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝63，a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1， 故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1. (2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1， 得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12，∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2， |AB |＝1＋k 2 12k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2， ∴⎩⎨⎧ Δ＝12k 2－12>0，63＋k 2≤12|AB |，解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.B 组——能力提升练1．(2018·武汉市模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线x ＝4与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |. (1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，D 两点，与圆x 2＋(y －1)2＝1相交于B ，C 两点(A ，B 两点相邻)，过A ，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M ，求△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值．解析：(1)由已知得F (0，p 2)，P (4,0)，Q (4，8p )，|QF |＝8p ＋p 2，|PQ |＝8p， 因为|QF |＝54|PQ |，所以8p ＋p 2＝54·8p， 解得p ＝2或p ＝－2(舍去)，所以抛物线的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由y ＝x 24，得y ′＝x 2. 所以直线MA ：y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214. 同理可求得直线MD ：y ＝x 22x －x 224. 联立方程，得⎩⎨⎧ y ＝x 1x 2－x 214，y ＝x 2x 2－x 224，解得M (2k ，－1)．所以点M 到l 的距离d ＝2k 2＋21＋k 2＝21＋k 2.所以S △ABM ·S △CDM ＝14|AB |·|CD |·d 2 ＝14(|AF |－1)(|DF |－1)d 2＝14y 1y 2d 2 ＝14·x 21x 2216d 2＝1＋k 2≥1， 当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，△ABM 与△CDM 面积之积的最小值为1.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433. (1)求直线FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解析：(1)由已知，有c 2a 2＝13， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有(kc k 2＋1)2＋(c 2)2＝(b 2)2， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为(c ，233c )． 由|FM |＝ (c ＋c )2＋(233c －0)2＝433， 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝ 6－2x 23(x ＋1)2>2， 解得－32<x <－1，或－1<x <0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x， 即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈(－32，－1)时，有y ＝t (x ＋1)<0， 因此m >0，于是m ＝ 2x 2－23，得m ∈(23，233)． ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0.因此m <0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈(－∞，－233)． 综上，直线OP 的斜率的取值范围是(－∞，－233)∪(23，233)． 3．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >1)，设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上．(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)延长MC 交曲线E 于另一点N ，曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ，试判断以点B 为圆心，线段BC 的长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论． 解析：(1)设M (x ，y )，x >0，由题意可知，A (1－r,0)，记AM 的中点为D ，则D (0，y 2)，因为C (1,0)，DC →＝(1，－y 2)，DM →＝(x ，y 2)． 在⊙C 中，易知CD ⊥DM ，所以DC →·DM →＝0，所以x －y 24＝0，即y 2＝4x (x >0)， 所以点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x (x >0)．(2)⊙B 与直线MN 相切．证明如下：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线BN 的方程为y ＝k (x －y 224)＋y 2. 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.r －1＝x 1，则点A (－x 1,0)，所以直线AM 的方程为y ＝2y 1x ＋y 12. 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －y 224)＋y 2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4y 2－ky 22＝0， 由Δ＝0，可得k ＝2y 2， 所以直线BN 的方程为y ＝2y 2x ＋y 22. 联立，得⎩⎨⎧ y ＝2y 1x ＋y 12，y ＝2y 2x ＋y 22，解得x B ＝－1，y B ＝y 21－42y 1＝y 21＋y 1y 22y 1＝y 1(y 1＋y 2)2y 1＝4my 12y 1＝2m ， 所以点B (－1,2m )，|BC |＝4＋4m 2，点B 到直线MN 的距离d ＝|2＋2m 2|m 2＋1＝4m 2＋4＝|BC |， 所以⊙B 与直线MN 相切．。

课时作业组——基础对点练．下列函数为奇函数的是 ( )．＝．＝．＝－－．＝解析：因为函数＝的定义域为[，＋∞)，不关于原点对称，所以函数＝为非奇非偶函数，排除；因为＝为偶函数，所以排除；因为＝为偶函数，所以排除；因为＝()＝－－，(－)＝－－＝－(－－)＝－()，所以函数＝－－为奇函数，故选.答案：．下列函数中为偶函数的是( )．＝．＝．＝－．＝解析：选项，记()＝，定义域为，(－)＝(－)(－)＝－＝－()，故()为奇函数；选项，记()＝，定义域为，(－)＝(－)(－)＝＝()，故()为偶函数；选项，函数＝的定义域为(，＋∞)，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；选项，记()＝－，定义域为，(－)＝－(－)＝＝，故()为非奇非偶函数，选.答案：．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )．＝．＝＋．＝＋．＝＋解析：选项中的函数是偶函数；选项中的函数是奇函数；选项中的函数是偶函数；只有选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数．答案：．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )．＝＋．＝．＝．＝解析：项中的函数是非奇非偶函数；项中的函数是偶函数但不存在零点；项中的函数是奇函数；项中的函数既是偶函数又存在零点．答案：．函数＝的图像( )．关于原点对称．关于直线＝－对称．关于轴对称．关于直线＝对称解析：由＞得－＜＜，即函数定义域为(－)，又(－)＝＝－＝－()，∴函数＝为奇函数，故选.答案：．设()＝＋ (∈)，则下列说法错误的是( )．()在上单调递增．()是奇函数．()是周期函数．()的值域为解析：因为(－)＝－＋(－)＝－(＋)＝－()，所以()为奇函数，故正确；因为′()＝＋≥，所以函数()在上单调递增，故正确；因为()在上单调递增，所以()的值域为，故正确；()不是周期函数，故选.答案：．定义运算＝，＝，则()＝为( )．偶函数．奇函数．非奇非偶函数．常函数解析：由定义得()＝.∵－≥，且－≠，即∈[－)∪(]．∴()＝＝－(∈[－)∪(])，∴(－)＝，∴(－)＝－()，∴()为奇函数．答案：．()是上的奇函数，当≥时，()＝＋(＋)，则当＜时，()＝( )．＋(－)．－－(－)．－＋(－)．－(－)解析：当＜时，－＞，(－)＝(－)＋(－)，∵()是上的奇函数，∴当＜时，()＝－(－)＝－[(－)＋(－)]＝－(－)．答案：．为实数，[]表示不超过的最大整数，则函数()＝－[]在上为( )．偶函数．奇函数．周期函数．增函数解析：函数()＝－[]在上的图像如下图：选.答案：。

课时作业 A 组——基础对点练1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C. 答案：C2．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除选项C ；因为指数函数y ＝e －x ，即y ＝⎝⎛⎭⎫1e x，在定义域内单调递减，故排除选项A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，因此排除选项D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数．故选B. 答案：B3．(2018·长春市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ＜－1，2x －1，x ≥－1，则函数f (x )的值域为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－12，＋∞)D ．R解析：当x ＜－1时，f (x )＝x 2－2∈(－1，＋∞)；当x ≥－1时，f (x )＝2x －1∈[－12，＋∞)，综上可知，函数f (x )的值域为(－1，＋∞)．故选B. 答案：B4．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数解析：∵f (－x )＝－x －sin(－x )＝－(x －sin x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又f ′(x )＝1－cos x ≥0， ∴f (x )单调递增，选B. 答案：B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x ＞0时，f (x )＞1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，故选D. 答案：D6．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0＜a ＜1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a ＞0，即a ＜2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A. 答案：A7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0，(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎣⎡⎭⎫13，1C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，23 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧0<a <13a ≥1，∴13≤a <1.答案：B8．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)解析：A 项，y ＝x ＋1为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增；B 项，y ＝(x －1)2在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；C 项，y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x为R 上的减函数；D 项，y ＝log 0.5(x ＋1)为(－1，＋∞)上的减函数．故选A. 答案：A9．已知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 5 2，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (c )<f (b )<f (a ) B ．f (c )<f (a )<f (b ) C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )解析：依题意，注意到21.2>20.8＝⎝⎛⎭⎫12－0.8>20＝1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，选C. 答案：C10．(2018·长沙市统考)已知函数f (x )＝x 12，则( )A ．存在x 0∈R ，f (x 0)<0B ．任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0C ．存在x 1，x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．任意x 1∈[0，＋∞)，存在x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)>f (x 2)解析：幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C错误，D 选项中当x 1＝0时，结论不成立，选B. 答案：B11．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝x 2 C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1)解析：由f (x )为准偶函数的定义可知，若f (x )的图像关于x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )为准偶函数，A ，C 中两函数的图像无对称轴，B 中函数图像的对称轴只有x ＝0，而D 中f (x )＝cos(x ＋1)的图像关于x ＝k π－1(k ∈Z)对称． 答案：D12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．解析：当x ≥1时，log 12x ≤0，当x ＜1时，0＜2x ＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)13．函数f (x )＝x ＋2x －1的值域为________． 解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞， 又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝⎛⎭⎫12＝12， ∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 14．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析：由f (x )＝⎩⎨⎧－2x －a ，x ＜－a22x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6.答案：－615．已知函数f (x )＝x ＋ax (x ≠0，a ∈R)，若函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．解析：设x 1<x 2≤－2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2.因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以要使Δy ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2<0恒成立，只需使x 1x 2－a >0恒成立，即a <x 1x 2恒成立．因为x 1<x 2≤－2，所以x 1x 2>4，所以a ≤4，故函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增时，实数a 的取值范围是(－∞，4]． 答案：(－∞，4]B 组——能力提升练1．(2018·合肥市质检)已知函数f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0解析：注意到f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x ＋1，可令t ＝x －1，g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ，则y ＝f (x )＝g (t )＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t )max ＋2，m ＝g (t )min ＋2.又g (t )为奇函数，则g (t )max ＋g (t )min ＝0，所以M ＋m ＝4，故选A. 答案：A2．(2018·西安一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图像是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.故选D. 答案：D3．(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －1)＜f (x )对任意的x ＞1恒成立，则k 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：依题意得，当x ＝2时，k (2－1)＜f (2)，即k ＜2＋2ln 2＜2＋2＝4，因此满足题意的最大整数k 的可能取值为3.当k ＝3时，记g (x )＝f (x )－k (x －1)，即g (x )＝x ln x －2x ＋3(x ＞1)，则g ′(x )＝ln x －1，当1＜x ＜e 时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(1，e)上单调递减；当x ＞e 时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递增．因此，g (x )的最小值是g (e)＝3－e ＞0，于是有g (x )＞0恒成立．所以满足题意的最大整数k 的值是3，选B. 答案：B4．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫1，32 C ．[1,2)D.⎣⎡⎭⎫32，2解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，即k ≥1.令f ′(x )＝4x 2－12x ＝0，解得x＝12⎝⎛⎭⎫x ＝－12舍.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，得－12＜k ＜32.综上得1≤k ＜32. 答案：B5．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2D ． (0,2]解析：由已知条件得f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)⇒f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)，又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，选C.答案：C6．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x 2减小，ln(1－x 2)减小，即f (x )在(0,1)上是减函数，故选B. 答案：B7．已知函数f (x )＝lg(a x －b x )＋x 中，常数a ，b 满足a ＞1＞b ＞0，且a ＝b ＋1，那么f (x )＞1的解集为( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,10)D ．(10，＋∞)解析：由a x －b x ＞0，即⎝⎛⎭⎫a b x ＞1，解得x ＞0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为a ＞1＞b ＞0，所以y ＝a x 单调递增，y ＝－b x 单调递增，所以t ＝a x －b x 单调递增．又y ＝lg t 单调递增，所以f (x )＝lg(a x －b x )＋x 为增函数．而f (1)＝lg(a －b )＋1＝lg 1＋1＝1，所以x ＞1时f (x )＞1，故f (x )＞1的解集为(1，＋∞)．故选B. 答案：B8．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f (f (x )－3x )＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．12解析：由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x ＋K ，令x ＝K 得f (K )＝3K ＋K ＝4，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x ＋13x ＋2≥23x ·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B. 答案：B9．(2013·高考安徽卷)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分性：当a <0时，f (x )＝|(ax －1)·x |＝－ax 2＋x 为图像开口向上的二次函数，且图像的对称轴为直线x ＝12a ⎝⎛⎭⎫12a <0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x ，为增函数．必要性：f (0)＝0，当a ≠0时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0，若f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1a <0，即a <0.f (x )＝x 时，f (x )为增函数，此时a ＝0.综上，a ≤0为f (x )在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件． 答案：C10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <11＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得⎩⎨⎧a >13－a ≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，选A. 答案：A11．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( ) A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数D ．是增函数解析：∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，图像开口向上， 对称轴x ＝a ，∴a ＜1， g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax－2a .若a ≤0，则g (x )＝x ＋ax－2a 在(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递增；若0＜a ＜1，则g (x )＝x ＋ax －2a 在(a ，＋∞)上单调递增，则在(1，＋∞)上单调递增．综上可得，g (x )＝x ＋ax －2a 在(1，＋∞)上单调递增．故选D.答案：D12．(2018·武汉市模拟)若存在正实数a ，b ，使得任意x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出以下三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin(x 2)，其中是“限增函数”的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．③解析：对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 即(x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a 2－a ＋b ，x ≤－a 2－a ＋b 2a 对一切x ∈R 恒成立，显然不存在这样的正实数a ，b .对于②，f (x )＝|x |，即|x ＋a |≤|x |＋b ，|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |，而|x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |，则|x |≥a －b 22b ，显然，当a ≤b 2时式子恒成立，∴f (x )＝|x |是“限增函数”．对于③，f (x )＝sin(x 2)，－1≤f (x )＝sin(x 2)≤1，故f (x ＋a )－f (x )≤2，当b ≥2时，对于任意的正实数a ，b 都成立，故选B. 答案：B13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4x ，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的值域为__________． 解析：当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋4x ＝x ＋4x －2，由基本不等式可得x ＋4x≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立)， 所以f (x )＝x ＋4x－2≥4－2＝2，即函数f (x )的取值范围为[2，＋∞)；当x ≤0时，f (x )＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，因为当x ＝－1时，f (x )取得最大值1， 所以函数f (x )的取值范围为(－∞，1]．综上，函数f (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (f (－2))＝__________，f (x )的最小值是__________．解析：因为f (－2)＝4，f (4)＝－12，所以f (f (－2))＝－12；x ≤1时，f (x )min ＝0，x ＞1时，f (x )min＝26－6，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6. 答案：－1226－615．(2018·长沙市模拟)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy ＜0，例如：＝3，(－＝4，则函数f (x )＝x 2x －x 2)的最大值为__________．解析：由已知得f (x )＝x 2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x 2(2x －x 2)≥0，2x －x 2，x 2(2x －x 2)＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x ＜0或x ＞2，易知函数f (x )的最大值为4. 答案：416．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋3)＝2f (x )，当x ∈[－1,2)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ∈[－1，0)，－(12)|x －1|，x ∈[0，2)，若存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，则实数t 的取值范围是__________．解析：由题意知f (x )＝12f (x ＋3)．当x ∈[－1,0)时，f (x )＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14∈[－14，0]；当x∈[0,2)时，f (x )＝－(12)|x －1|∈[－1，－12]；所以当x ∈[－1,2)时，f (x )min ＝－1.故当x ∈[－4，－1)时，x ＋3∈[－1,2)，所以f (x ＋3)min ＝－1，此时f (x )min ＝12×(－1)＝－12.由存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，可得t 2－3t ≥4×(－12)，解得t ≤1或t ≥2.答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)。

课时作业 A 组——基础对点练1.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴的交点坐标为(1,0)，则f (0)与f (3)的大小关系为( ) A ．f (0)<f (3) B ．f (0)>f (3) C ．f (0)＝f (3) D ．无法确定解析：由题意知f (x )的图像是以x ＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f (0)＝f (2)>f (3)．选B. 答案：B2．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，∵x >1，∴0<1x <1，∴k ≥1，故选D.答案：D3．已知函数f (x )＝e x －2x －1(其中e 为自然对数的底数)，则y ＝f (x )的图像大致为( )解析：依题意得f ′(x )＝e x －2. 当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数， f (x )＞f (ln 2)＝1－2ln 2；当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数， 因此对照各选项知选C. 答案：C4．函数f (x )＝sin x2ex 的大致图像是( )解析：当x ＝－π2时，f (－π2)＝sin (－π2)2e －π2＝－12e π2＜0，排除D ；当x ＝－π4时，f (－π4)＝sin (－π4)2e －π4＝－24e π4＜0，排除C ；又f ′(x )＝cos x －sin x 2e x ＝2cos (x ＋π4)2e x ，当x ∈(0，π4)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，当x ∈(π4，π2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，所以B 错误．故选A.答案：A5．若函数f (x )＝x 3－2ax 2＋6x ＋5在x ∈[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0，322]B ．(0，322)C ．(－∞，322)D ．(－∞，322]解析：因为f (x )＝x 3－2ax 2＋6x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋6，又f (x )在x ∈ [1,2]上是增函数，所以f ′(x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立，即3x 2－4ax ＋6≥0,4ax ≤3x 2＋6在x ∈[1,2]上恒成立，因为x ∈[1,2]，所以4a ≤ (3x ＋6x )min ，又3x ＋6x ≥23x ·6x ＝62，当且仅当3x ＝6x，即x ＝2时取“＝”，所以4a ≤62，即a ≤322.答案：C6．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )(x ln x 2)＞2f (x )，则( ) A ．6f (e)＞2f (e 3)＞3f (e 2) B ．6f (e)＜3f (e 2)＜2f (e 3) C ．6f (e)＞3f (e 2)＞2f (e 3) D ．6f (e)＜2f (e 3)＜3f (e 2)解析：设F (x )＝f (x )ln x 2，x ＞0且x ≠1，因为f ′(x )(x ln x 2)＞2f (x )，所以F ′(x )＝f ′(x )·ln x 2－f (x )·2x (ln x 2)2＝f ′(x )·(x ln x 2)－2f (x )x (ln x 2)2＞0，所以F (x )在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增，所以F (e)＜F (e 2)＜F (e 3)，故f (e )ln e 2＜f (e 2)ln e 4＜f (e 3)ln e 6，即f (e )2＜f (e 2)4＜f (e 3)6，所以6f (e)＜3f (e 2)＜2f (e 3)．选B. 答案：B7．(2018·成都模拟)f (x )是定义域为R 的函数，对任意实数x 都有f (x )＝f (2－x )成立．若当x ≠1时，不等式(x －1)·f ′(x )＜0成立，若a ＝f (0.5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫43，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＞a ＞c B ．a ＞b ＞c C ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：因为对任意实数x 都有f (x )＝f (2－x )成立，所以函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，又因为当x ≠1时，不等式(x －1)·f ′(x )＜0成立，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以f ⎝⎛⎭⎫43＞f (0.5)＝f ⎝⎛⎭⎫32＞f (3)，即b ＞a ＞c . 答案：A8．(2018·九江模拟)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， ∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43. 答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞9．设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________． 解析：令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，∴当x ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (x )为奇函数，f (－2)＝0，∴f (2)＝0，∴g (2)＝f (2)2＝0，结合奇函数f (x )的图像知，f (x )＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)，故填(－2,0)∪(2，＋∞)． 答案：(－2,0)∪(2，＋∞)10．(2018·荆州质检)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间． 解析：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． 11．已知函数f (x )＝e x ln x －a e x (a ∈R)．(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1e x ＋1垂直，求a 的值；(2)若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围． 解析：(1)f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x －a e x ＝⎝⎛⎭⎫1x －a ＋ln x e x， f ′(1)＝(1－a )e ，由(1－a )e·1e ＝－1，得a ＝2.(2)由(1)知f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x －a ＋ln x e x，若f (x )为单调递减函数，则f ′(x )≤0在x >0时恒成立． 即1x －a ＋ln x ≤0在x >0时恒成立． 所以a ≥1x ＋ln x 在x >0时恒成立．令g (x )＝1x＋ln x (x >0)，则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2(x >0)，由g ′(x )>0，得x >1； 由g ′(x )<0，得0<x <1.故g (x )在(0,1)上为单调递减函数，在(1，＋∞)上为单调递增函数，此时g (x )的最小值为g (1)＝1，但g (x )无最大值(且无趋近值)． 故f (x )不可能是单调递减函数． 若f (x )为单调递增函数， 则f ′(x )≥0在x >0时恒成立， 即1x－a ＋ln x ≥0在x >0时恒成立， 所以a ≤1x ＋ln x 在x >0时恒成立，由上述推理可知此时a ≤1.故实数a 的取值范围是(－∞，1]．B 组——能力提升练1．函数f (x )的定义域是(0，π2)，f ′(x )是它的导函数，且f (x )＋tan x ·f ′(x )＞0在定义域内恒成立，则( )A ．f (π6)＞2f (π4)B.2sin 1·f (1)＞f (π4)C ．f (π6)＞3f (π3)D.2f (π4)＞3f (π3)解析：∵0＜x ＜π2，∴sin x ＞0，cos x ＞0.由f (x )＋tan x ·f ′(x )＞0，得cos x ·f (x )＋sin x ·f ′(x )＞0.令g (x )＝sin x ·f (x )，0＜x ＜π2，则g ′(x )＝cos x ·f (x )＋sin x ·f ′(x )＞0，即g (x )在(0，π2)上是增函数，∴g (1)＞g (π4)，即sin 1·f (1)＞sin π4·f (π4)，∴2sin 1·f (1)＞f (π4)．故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝sin x2＋cos x .若当x ＞0时，函数f (x )的图像恒在直线y ＝kx 的下方，则k 的取值范围是( ) A ．[13，33]B ．[13，＋∞)C ．[33，＋∞) D ．[－33，32] 解析：由题意，当x ＞0时，f (x )＝sin x2＋cos x＜kx 恒成立．由f (π)＜k π知k ＞0.又f ′(x )＝1＋2cos x (2＋cos x )2，由切线的几何意义知，要使f (x )＜kx 恒成立，必有k ≥f ′(0)＝13.要证k ≥13时不等式恒成立，只需证g (x )＝sin x 2＋cos x －13x ＜0，∵g ′(x )＝2cos x ＋1(2＋cos x )2－13＝－(cos x －1)23(2＋cos x )2≤0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴g (x )＜g (0)＝0，∴不等式成立．综上k ∈[13，＋∞)．答案：B3．(2018·石家庄市质检)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π12)，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( ) A ．[π12，7π12]B ．[－5π12，π12]C ．[－π3，2π3]D ．[－π6，5π6]解析：由题意，得f ′(x )＝2cos(2x ＋π12)，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin(2x ＋π12)＋2cos(2x ＋π12)＝22sin(2x ＋π12＋π4)＝22sin(2x ＋π3)．由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为[π12，7π12]，故选A. 答案：A4．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：当a ＝0时，显然f (x )有两个零点，不符合题意． 当a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a.当a ＞0时，2a ＞0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在(－∞，0)与⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎫0，2a 上为减函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f (0)＜0，即1＜0，不成立． 当a ＜0时，2a ＜0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上为减函数，在⎝⎛⎭⎫2a ，0上为增函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f ⎝⎛⎭⎫2a ＞0，即a ·8a 3－3·4a 2＋1＞0，解得a ＞2或a ＜－2，又因为a ＜0，故a 的取值范围为(－∞，－2)．选B. 答案：B5．(2018·广州市模拟)若函数f (x )＝e x (sin x ＋a cos x )在(π4，π2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝e x [sin x ＋cos x －a (sin x －cos x )]，当a ＝0时，f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，显然x ∈(π4，π2)，f ′(x )＞0恒成立，排除C ，D ；当a ＝1时，f ′(x )＝2e x cos x ，x ∈(π4，π2)时，f ′(x )＞0，故选A. 答案：A6．已知函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x (x ＞0)，∴f ′(x )＝－x －3＋4x，∵函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，∴f ′(x )＝－x －3＋4x ＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4＝0在(t ，t ＋1)上有解，由x 2＋3x －4＝0得x ＝1或x ＝－4(舍去)， ∴1∈(t ，t ＋1)，∴t ∈(0,1)，故实数t 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)7．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )＞0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)的零点个数为________．解析：因为g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，又g (x )＞g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点． 答案：08．(2018·洛阳统考)已知函数f (x )＝e x ＋m ln x (m ∈R ，e 为自然对数的底数)，若对任意正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时都有f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：依题意得，对于任意的正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有f (x 1)－x 1＞f (x 2)－x 2，因此函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0，＋∞)上是增函数，于是当x ＞0时，g ′(x )＝f ′(x )－1＝e x ＋m x －1≥0，即x (e x －1)≥－m 恒成立．记h (x )＝x (e x －1)，x ＞0，则有h ′(x )＝(x ＋1)e x －1＞(0＋1)e 0－1＝0(x ＞0)，h (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，h (x )的值域是(0，＋∞)，因此－m ≤0，m ≥0.故所求实数m 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 2－(2t ＋1)x ＋t ln x (t ∈R)．(1)若t ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程以及f (x )的极值；(2)设函数g (x )＝(1－t )x ，若存在x 0∈[1，e]，使得f (x 0)≥g (x 0)成立，求实数t 的最大值． 解析：(1)依题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当t ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x ＝(2x －1)(x －1)x.由f ′(1)＝0，f (1)＝－2，得曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝1，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：由表格知，f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－54＋ln 12，f (x )极小值＝f (1)＝－2. (2)由题意知，不等式f (x )≥g (x )在区间[1，e]上有解， 即x 2－2x ＋t (ln x －x )≥0在区间[1，e]上有解．∵当x ∈[1，e]时，ln x ≤1≤x (不同时取等号)，∴ln x －x <0，∴t ≤x 2－2x x －ln x 在区间[1，e]上有解．令h (x )＝x 2－2x x －ln x ，则h ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2.∵x ∈[1，e]，∴x ＋2>2≥2ln x ，∴h ′(x )≥0，h (x )单调递增，∴x ∈[1，e]时，h (x )max ＝h (e)＝e (e －2)e －1.∴t ≤e (e －2)e －1，∴实数t 的最大值是e (e －2)e －1.。

课时作业组——基础对点练．(·榆林市模拟)定义在上的函数()，满足(－)′()≤，且＝(＋)为偶函数，当－＜－时，有( )．()＝()．()≥()．()＞()．()≤()解析：因为函数＝(＋)为偶函数，所以＝(＋)＝(－＋)，即函数＝()关于＝对称，所以(－)＝()，(－)＝()．当＞时，′()≤，此时函数＝()单调递减，当＜时，′()≥，此时函数＝()单调递增．①若≥，≥，则由`－＜－，得－＜－，即≤＜，所以()＞()．②同理若＜，＜，由－＜－，得－(－)＜－(－)，即＜＜，所以()＞()．③若，中一个大于，一个小于，不妨设＜，≥，则－(－)＜－，可得＜－＜，所以(－)＞()，即()＞()．综上有()＞()．答案：．对任意∈，函数()的导数存在，若′()>()，且>，则以下说法正确的是( )．()<·()．()>·()．()<()．()>() 解析：设()＝，则′()＝>，故()＝为上的单调递增函数，因此()>()，即>＝()，所以()>·()，选.答案：．若存在正数使(－)<成立，则的取值范围是( )．(－，＋∞)．(－∞，＋∞)．(，＋∞)．(－，＋∞)解析：∵(－)<，∴>－.令()＝－，∴′()＝＋－>.∴()在(，＋∞)上单调递增，∴()>()＝－＝－，∴的取值范围为(－，＋∞)，故选.答案：．已知函数()是定义在上的可导函数，其导函数为′()，若：任意，∈，且≠，＜，：任意∈，′()＜，则是的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：因为任意，∈，且≠，所以不妨设＜，则由＜可得()－()＜－，则(\\(((－((＜－((－((＞－))，即(\\(((＋＜((＋((－＞((－)).令()＝()＋，则由单调性的定义可知()在上单调递增，所以′()＝′()＋≥在上恒成立，即′()≥－在上恒成立，同理令()＝()－，可得′()≤在上恒成立，所以等价于任意∈，′()≤，显然可以推出，而推不出，所以是的必要不充分条件．答案：．(·昆明市检测)已知函数()＝(\\(()＋，≤，，＞，))若方程()－＝恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是( )．[，)．(，)．(－∞，]∪[，＋∞)．(，] 解析：方程()－＝有两个不同的实根，即直线＝与函数()的图像有两个不同的交点．作出函数()的图像如图所示．当＞时，()＝，得′()＝，设直线＝与函数()＝(＞)的图像相切，切点为(，)，则＝)＝，解得＝，则＝，即＝是函数()＝(＞)的图像的切线，当≤时，直线＝与函数()的图像有一个交点，不合题意；当＜＜时，直线＝与函数()＝(＞)的图像有两个交点，但与射线＝＋(≤)也有一个交点，这样就有三个交点，不合题意；当≥时，直线＝与函数()的图像至多有一个交点，不合题意；只有当≤＜时，直线＝与函数()的图像有两个交点，符合题意．故选.答案：．已知函数()＝－(∈)，()＝－，若至少存在一个∈[，]，使得()<()成立，则实数的取值范围是( )．(－∞，)．(－∞，] 解析：由题意，不等式()<()在[，]上有解，∴< 在[，]上有解，即<)在[，]上有解，令()＝)，则′()＝)，当≤≤时，′()≥，∴在[，]上，()＝()＝，∴<，∴<.∴的取值范围是.故选.答案：．若函数()＝－有两个零点，则实数的取值范围为( )．－<<．>－．<<．－<<。

第八节函数与方程[考纲传真]结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．(对应学生用书第24页)[基础知识填充]1．函数的零点(1)函数零点的定义函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2．二分法每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系[1．函数f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)＜0”是函数f (x )在区间(a ，b )内有零点的充分不必要条件．2．若函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个零点．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图像与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )，x ∈D 在区间(a ，b )⊆D 内有零点(函数图像连续不断)，则f (a )·f (b )＜0.( )(3)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在b 2－4ac ＜0时没有零点．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [∵f (－1)＝1e－3＜0，f (0)＝1＞0，∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．]3．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]4．(2016·江西赣中南五校联考)函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(－2，－1)D ．(－1,0)D [∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23，f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D ．]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图像为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1， ∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.](对应学生用书第25页)(1)若x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内(2)(2018·唐山模拟)设x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝x 的解，则x 0所在的范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1(1)A (2)B [(1)∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0， f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a ，b )和(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点；因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A ． (2)构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －x ，因为f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130－0＝1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.所以由零点存在性定理可得函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12上存在零点，即x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，故选B ．] [规律方法] 判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图像判断．[变式训练1] (1)已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(2)(2018·衡阳模拟)已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x 的零点，则g (x 0)等于( ) 【导学号：00090044】 A ．1 B ．2 C ．3D ．4(1)C (2)B [(1)∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2＜0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＜0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＞0，∴x 0∈(2,3)，故选C ．(2)f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，则x 0∈(2,3)，故g (x 0)＝2.](1)函数0.5 A ．1B ．2(2)(2017·秦皇岛模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．(1)B (2)3 [(1)令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0， 可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图像， 由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点； 当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14， 综上，f (x )有3个零点．][规律方法] 判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断． (3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[变式训练2] (1)(2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin x ＋π2－x 2的零点个数为________．(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的解的个数是( ) A ．0B ．2(1)2 (2)C [(1)f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，由f (x )＝0，得sin 2x ＝x 2.设y 1＝sin 2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图像，如图所示．由图像知，两个函数图像有2个交点，故函数f (x )有两个零点．(2)画出周期函数f (x )和y ＝log 3|x |的图像，如图所示，则方程f (x )＝log 3|x |的解的个数是4.](2017·4)＝f (x )，且在区间[0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围．[思路点拨] 先作出函数f (x )的图像，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件．[解] 由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )，所以函数图像关于x ＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x )＝log a x 有三个不同的根，则满足⎩⎨⎧a ＞1，f (6)＜2，f (10)＞2，如图，即⎩⎨⎧a ＞1，log a 6＜2，log a 10＞2，解得6＜a ＜10.故a 的取值范围是(6，10)．[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．[变式训练3] (1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) 【导学号：00090045】 A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3)D ．(0,2)(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． (1)C (2)(3，＋∞) [(1)∵函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3.(2)作出f (x )的图像如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.]。

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第8讲函数与方程、函数的应用一、选择题1．(2017·赣中南五校联考)函数f（x)＝3x－x2的零点所在区间是( ) A．(0,1) B．(1，2）C．（－2,－1）D．(－1,0）解析由于f（－1）＝－错误!〈0，f(0)＝30－0＝1〉0，∴f（－1）·f(0）〈0.则f（x)在（－1，0）内有零点．答案D2．已知函数f(x）＝错误!则函数f(x)的零点为（)A.12，0 B．－2，0C.错误!D．0解析当x≤1时，由f(x）＝2x－1＝0，解得x＝0；当x〉1时,由f(x）＝1＋log2x＝0,解得x＝错误!，又因为x>1,所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0。

答案D3．函数f（x)＝2x－错误!－a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( ）A．（1,3) B．（1，2)C．（0，3) D．（0,2）解析因为函数f(x)＝2x－错误!－a在区间(1，2）上单调递增，又函数f （x)＝2x－错误!－a的一个零点在区间(1，2）内，则有f（1）·f（2）〈0，所以(－a）（4－1－a）〈0，即a（a－3)〈0，所以0〈a<3。