高考数学总复习第八节 函数与方程

高考数学方程与函数知识点一、一次函数一次函数是指函数的最高次数为1的函数，通常表达为y=ax+b 的形式，其中a称为斜率，b称为截距。

1. 斜率：斜率可以用来表示函数图像的增减趋势，斜率为正表示函数递增，斜率为负表示函数递减。

2. 截距：截距表示函数图像与y轴之间的交点，可以用来确定函数图像的位置。

二、二次函数二次函数是指函数的最高次数为2的函数，通常表达为y=ax^2+bx+c的形式，其中a、b、c均为常数。

1. 抛物线：二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由a的正负决定。

2. 零点：通过解方程y=0，可以求得二次函数的零点，即方程的根。

3. 非负性：当a>0时，二次函数的值大于等于c，当a<0时，二次函数的值小于等于c。

4. 顶点：二次函数的顶点坐标可以通过求得x=-b/(2a)来确定。

三、指数函数指数函数是指函数关系中包含以常数e为底数的指数函数。

1. 指数规律：指数函数的数学规律为a^x=a^y，当x=y时，指数函数取相同的值。

2. 增长与衰减：指数函数具有快速增长或衰减的特点，指数函数的指数为正时，函数递增；指数为负时，函数递减。

3. 自然指数函数：自然指数函数是指以常数e≈2.71828为底的指数函数，形式为f(x)=e^x。

四、对数函数对数函数是指函数关系中包含以常数e为底数的对数函数。

1. 对数规律：对数函数的数学规律为a^loga(x)=x，当x>0时，对数函数取正值。

2. 增长与衰减：对数函数具有递增但增长速度逐渐减小的特点。

3. 自然对数函数：自然对数函数是指以常数e≈2.71828为底的对数函数，形式为f(x)=ln(x)。

五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，常用于解决与角度相关的问题。

1. 正弦函数：正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值，通常表示为sin(x)。

2. 余弦函数：余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值，通常表示为cos(x)。

2021年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第8讲 函数与方程习题 理 新人教A 版一、填空题1.若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________. 解析 由已知得b ＝－2a ，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x ).令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12. 答案 0，－122.(xx·青岛统一检测)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内的零点个数是________. 解析 因为函数y ＝2x ，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内只有一个零点. 答案 13.函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________.解析 函数f (x )＝|x |－k 的零点就是方程|x |＝k 的根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |，y ＝k 的图象，如图所示，可得实数k 的取值范围是(0，＋∞).答案 (0，＋∞)4.(xx·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.解析 当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 5.已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________.解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图(图略)，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3.答案 x 1＜x 2＜x 36.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2.答案 2 7.(xx·湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________.解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点.答案 28.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 画出f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图.由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1).答案 (0，1)二、解答题9.已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0).(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，图1等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点.法二 作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象如图1. 可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.图2(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，在同一坐标系中，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)与f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1的大致图象如图2.∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，y ＝g (x )与y ＝f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞).10.已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围.解 由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12. 故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________.解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根.∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14. 综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点. 答案 0或－1412.(xx·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≥m ，x 2＋4x －3，x <m ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________.解析 由题意得g (x )＝⎩⎨⎧4－2x ，x ≥m ，x 2＋2x －3，x <m ， 又函数g (x )恰有三个不同的零点，所以方程g (x )＝0的实根2，－3和1都在相应范围上，即1<m ≤2.答案 (1，2]13.(xx·湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________.解析 函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点.①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点.③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.综上，a <0或a >1.答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)14.(xx·南通阶段检测)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可.f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1. 检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15， 此时f (x )＝x 2－135x －65. 令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0， 解得x ＝－25或x ＝3. 方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15. 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞).。

第8讲 函数与方程[基础达标]1．(2019·浙江省名校联考)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B.依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．2．(2019·温州十校联考(一))设函数f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.法一：因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，所以f (1)·f (2)<0，因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f (x )的零点所在的区间为(1，2)．3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值( )A ．大于1B ．大于0C ．小于0D ．不大于0解析：选B.y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是减函数，y 2＝－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上也是减函数，可知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递减． 因为0<t <x 0，f (t )>f (x 0)＝0.故选B.5．(2019·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A ．14 B ．18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.6．(2019·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f (x )＝|x |x ＋2－kx 2(k ∈R )有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．k <0B ．k <1C ．0<k <1D ．k >1解析：选D.分别画出y ＝|x |x ＋2与y ＝kx 2的图象如图所示，当k <0时，y ＝kx 2的开口向下，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意； 当k ＝0时，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意， 当k >0，x ≥0时， 令f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2－x ＝0， 即x (kx 2＋2kx －1)＝0， 即x ＝0或kx 2＋2kx －1＝0，因为Δ＝4k 2＋4k >0，且－1k<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x >0时，方程有唯一解．即当x ≥0时，方程有两个解．当k >0，x <0时，f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2＋x ＝0，kx 2＋2kx ＋1＝0，此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k 2－4k >0，解得k >1， 综上所述k >1.7．(2019·金丽衢十二校高三联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1，则f (f (e))＝________，函数y ＝f (x )－1的零点为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1， 所以f (e)＝ln e ＝1，f (f (e))＝f (1)＝tan 0＝0，若0<x ≤1，f (x )＝1⇒tan[π2(x －1)]＝1， 方程无解；若x >1，f (x )＝1⇒ln x ＝1⇒x ＝e. 答案：0 e 8．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－129．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为________．解析：令g (x )＝0，得f (x )＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，|log 2x |＝12，解得x ＝－1或x ＝22或x ＝2，故函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2 10．(2019·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点即函数y ＝|x 3－4x |与y ＝2－ax的图象有2个不同的交点．作出函数y ＝|x 3－4x |的图象如图，当直线y ＝2－ax 与曲线y ＝－x 3＋4x ，x ∈[0，2]相切时，设切点坐标为(x 0，－x 30＋4x 0)，则切线方程为y －(－x 30＋4x 0)＝(－3x 20＋4)(x －x 0)，且经过点(0，2)，代入解得x 0＝1，此时a ＝－1，由函数图象的对称性可得实数a 的取值范围为a <－1或a >1.答案：a<－1或a >111．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. [能力提升]1．(2019·杭州市富阳二中高三质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－2（x ≤0）ln x （x >0），则下列关于函数y ＝f [f (kx )＋1]＋1(k ≠0)的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有4个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有3个零点C ．无论k 为何值，均有3个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点 解析：选C.令f [f (kx )＋1]＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1≤0，e f （kx ）＋1－2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1>0ln[f （kx ）＋1]＋1＝0， 解得f (kx )＋1＝0或f (kx )＋1＝1e ；由f (kx )＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＝－1； 即x ＝0或kx ＝1e ；由f (kx )＋1＝1e得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝1e 或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＋1＝1e ； 即e kx＝1＋1e (无解)或kx ＝e 1e －1；综上所述，x ＝0或kx ＝1e 或kx ＝e 1e －1；故无论k 为何值，均有3个解，故选C.2．(2019·宁波市高三教学评估)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R 且a >0)，则“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0”是“f (x )与f (f (x ))都恰有两个零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由已知a >0，函数f (x )开口向上，f (x )有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，x ＝－b2a ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，令f (x )＝－b2a ，则f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，所以f (f (x ))<0，所以f (f (x ))必有两个零点．同理f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a <0⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0⇒x ＝－b2a ，因为x ＝－b2a 是对称轴，a >0，开口向上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，必有两个零点所以C 选项正确．3．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x 的不等式x 2＋|x －a |<2至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式为2－x 2>|x －a |，则0<2－x 2.在同一坐标系画出y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)和y ＝|x |两个函数图象，将绝对值函数y ＝|x |向左移动，当右支经过(0，2)点时，a ＝－2；将绝对值函数y ＝|x |向右移动让左支与抛物线y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y －0＝－（x －a ）y ＝2－x2，可得x 2－x ＋a －2＝0， 再由Δ＝0解得a ＝94.数形结合可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，94. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－2，944．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），f （x ）≤g （x ），f （x ），f （x ）>g （x ），则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________．解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.答案：55．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解：(1)法一：因为g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点． 所以m 的取值范围是[2e ，＋∞)．法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e，即m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．因为f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 所以其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．所以m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．6．(2019·绍兴一中高三期中)已知函数f (x )＝x |x －a |＋bx . (1)当a ＝2，且f (x )是R 上的增函数，求实数b 的取值范围；(2)当b ＝－2，且对任意a ∈(－2，4)，关于x 的方程f (x )＝tf (a )有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．解：(1)f (x )＝x |x －2|＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（b －2）x ，x ≥2－x 2＋（b ＋2）x ，x <2，因为f (x )连续，所以f (x )在R 上递增等价于这两段函数分别递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b2≤22＋b 2≥2，解得，b ≥2.(2)f (x )＝x |x －a |－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（a ＋2）x ，x ≥a －x 2＋（a －2）x ，x <a ，tf (a )＝－2ta ，当2≤a <4时，a －22<a ＋22≤a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f (a )＝－2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a <－2ta ，a 24－a ＋1>－2ta 对2≤a <4恒成立，解得0<t <1，当－2<a <2时，a －22<a <a ＋22，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，＋∞上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22＝－a 24－a －1，所以－a 24－a －1<－2ta <a 24－a ＋1对－2<a <2恒成立，解得0<t <1，综上所述，0<t <1.。

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题8 函数的奇偶性、周期性考点知识1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理1．函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a>0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(×)(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(×)(3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(×)(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．(√)教材改编题1．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上() A．单调递增，且有最小值f(1)B．单调递增，且有最大值f(1)C．单调递减，且有最小值f(2)D．单调递减，且有最大值f(2)答案A解析偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1,2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2)．对照选项，A正确．2．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________. 答案－6解析因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2023)＝________. 答案－1解析因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，所以f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.题型一函数奇偶性的判断例1(多选)下列命题中正确的是()A．奇函数的图象一定过坐标原点B．函数y＝x sin x是偶函数C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数D．函数y＝x2－xx－1是奇函数答案BC解析对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确；对于B，因为函数y＝x sin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，所以B正确；对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R关于原点对称，且满足f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，所以C正确；对于D，函数y＝x2－xx－1满足x－1≠0，即x≠1，所以函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．跟踪训练1已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝e x＋e－x，则下列结论正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数答案C解析选项A，f(x)g(x)＝(e x＋e－x)sin x，f(－x)g(－x)＝(e－x＋e x)sin(－x)＝－(e x＋e－x)sin x＝－f(x)g(x)，是奇函数，判断错误；选项B ，|f (x )|g (x )＝|sin x |(e x ＋e －x )，|f (－x )|g (－x )＝|sin(－x )|(e －x ＋e x )＝|sin x |(e x ＋e －x )＝|f (x )|g (x )，是偶函数，判断错误；选项C ，f (x )|g (x )|＝|e x ＋e －x |sin x ，f (－x )|g (－x )|＝|e －x ＋e x |sin(－x )＝－|e x ＋e －x |sin x ＝－f (x )|g (x )|，是奇函数，判断正确；选项D ，|f (x )g (x )|＝|(e x ＋e －x )sin x |，|f (－x )g (－x )|＝|(e －x ＋e x )sin(－x )| ＝|(e x ＋e －x )sin x |＝|f (x )g (x )|，是偶函数，判断错误．题型二函数奇偶性的应用命题点1利用奇偶性求值(解析式)例2(1)(2023·福州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 3＋1，x >0，ax 3＋b ，x <0为偶函数，则2a ＋b 等于()A ．3B.32C ．－12D ．－32答案B解析由已知得，当x >0时，－x <0，f (－x )＝－ax 3＋b ，∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即x 3＋1＝－ax 3＋b ，∴a ＝－1，b ＝1，∴2a ＋b ＝2－1＋1＝32. (2)(2023·吕梁模拟)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x ＋x －1，则当x <0时，f (x )等于()A ．2－x －x －1B ．2－x ＋x ＋1C ．－2－x －x －1D ．－2－x ＋x ＋1答案D解析当x <0时，－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ＋x ＋1.命题点2利用奇偶性解不等式例3函数f (x )是定义域为R 的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0.则不等式f (x )－2f (－x )x>0的解集为() A ．(－2,2)B ．(－∞，0)∪(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案D解析由于f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，所以f (x )的大致图象如图所示．由f (－x )＝－f (x )可得，f (x )－2f (－x )x ＝f (x )＋2f (x )x ＝3f (x )x>0， 由于x 在分母位置，所以x ≠0，当x <0时，只需f (x )<0，由图象可知x <－2；当x >0时，只需f (x )>0，由图象可知x >2；综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．思维升华(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝sin x ＋x 3＋1x＋3，若f (a )＝1，则f (－a )等于() A ．1B ．3C ．4D ．5答案D解析根据题意f (a )＝sin a ＋a 3＋1a＋3＝1， 即sin a ＋a 3＋1a＝－2， 所以f (－a )＝sin(－a )＋(－a )3＋1(－a )＋3 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin a ＋a 3＋1a ＋3＝2＋3＝5. (2)已知函数f (x )＝log 2(|x |＋1)，若f (log 2x )<f (2)，则实数x 的取值范围是()A ．(1,4) B.⎝⎛⎭⎪⎫0，14∪(4，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1,4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4 答案D解析依题意，函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，则f (log 2x )<f (2)等价于|log 2x |<2，∴－2<log 2x <2，解得14<x <4. (3)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是偶函数，则a ＝________. 答案1解析方法一(定义法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以(－x )3(a ·2－x －2x )＝x 3(a ·2x －2－x )对任意的x ∈R 恒成立，所以x 3(a －1)(2x ＋2－x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以a ＝1.方法二(取特殊值检验法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－2＝2a －12， 解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.方法三(转化法)由题意知f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数．设g (x )＝x 3，h (x )＝a ·2x －2－x ，因为g (x )＝x 3为奇函数，所以h (x )＝a ·2x －2－x 为奇函数，所以h (0)＝a ·20－2－0＝0，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.题型三函数的周期性例4(1)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝－f (x )，且当1≤x ≤2时，f (x )＝x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72的值等于()A.52B.32C.12D ．－12答案D解析∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，又∵f (2－x )＝－f (x )，∴f (2－x )＝－f (－x )，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴函数f (x )的周期为4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12. (2)设f (x )是定义在R 上周期为4的偶函数，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数f (x )在[2,4]上的解析式为____________________．答案f (x )＝log 2(5－x )，x ∈[2,4]解析根据题意，设x ∈[2,4]，则x －4∈[－2,0]，则有4－x ∈[0,2]，当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (4－x )＝log 2[(4－x )＋1]＝log 2(5－x )，又f (x )为周期为4的偶函数，所以f (x )＝f (x －4)＝f (4－x )＝log 2(5－x )，x ∈[2,4]，则有f (x )＝log 2(5－x )，x ∈[2,4]．思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练3(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，则()A．f(2023)＝0B．f(x)的值域为[－1,2]C．f(x)在[4,6]上单调递减D．f(x)在[－6,6]上有8个零点答案AB解析f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0,2]时，函数的值域为[－1,2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1,2]，所以B正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又函数的周期是4，所以f(x)在[4,6]上单调递增，所以C错误；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函数的周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6,6]上有6个零点，所以D错误．课时精练1．(多选)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是()A．y＝2x3＋4x B．y＝x＋sin(－x)C．y＝log2|x|D．y＝2x－2－x答案ABD解析对于A，定义域为R，且f(－x)＝－2x3－4x＝－f(x)，故为奇函数，又y′＝6x2＋4>0，所以y＝2x3＋4x在(0,1)上单调递增，故A满足题意；对于B，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，故为奇函数，又y′＝1－cos x≥0，且y′不恒为0，所以y＝x＋sin(－x)在(0,1)上单调递增，故B满足题意；对于C，定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝log2|x|＝f(x)，故为偶函数，故C不满足题意；对于D，定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，为奇函数，又y′＝2x ln2＋2－x ln2>0，所以y＝2x－2－x在(0,1)上单调递增，故D满足题意．2．(2023·聊城模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是偶函数，则|f(x)|是偶函数，若f(x)是奇函数，|f(x)|也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的充分不必要条件．3．(2022·河南名校联盟模拟)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)等于()A ．0B ．2C ．4D ．－2 答案D解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2，∴f (2)＝f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝124-＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.4．(2022·亳州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋log 2|x |，a ＝f (2－0.2)，b ＝f (lg π)，c ＝f (log 0.26)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是() A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <b <a 答案C解析2－0.2<20＝1，lg π>0，log 0.26<0， 因为f (－x )＝(－x )2＋log 2|－x |＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，所以只需判断2－0.2，lg π，－log 0.26的大小即可， －log 0.26＝log 0.216>1,2－1<2－0.2<20＝1,0<lg π<lg 10＝12，所以－log 0.26>1>2－0.2>lg π>0，当x >0时，y ＝x 2，y ＝log 2x 都单调递增，所以f (x )＝x 2＋log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝f (log 0.26)＝f (－log 0.26)>a ＝f (2－0.2)>b ＝f (lg π)．5．(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是()A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1 答案B 解析f (x )＝1－x 1＋x ＝2－(x ＋1)1＋x ＝21＋x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y ＝f (x )的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f (x －1)＋1.6．(多选)f (x )是定义在R 上的偶函数，对∀x ∈R ，均有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(2－x )，则下列结论正确的是() A ．函数f (x )的一个周期为4 B ．f (2022)＝1C ．当x ∈[2,3]时，f (x )＝－log 2(4－x )D ．函数f (x )在[0,2021]内有1010个零点 答案AC解析∵f (x )是定义在R 上的偶函数，对∀x ∈R ，均有f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数的周期为4，故A 正确；f (2022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝－f (0)＝－1，故B 错误； 当x ∈[2,3]时，x －2∈[0,1]，则f (x )＝－f (x －2)＝－log 2[2－(x －2)] ＝－log 2(4－x )，故C 正确；易知f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2019)＝f (2021)＝0， 于是函数f (x )在[0,2021]内有1011个零点，故D 错误． 7．写出一个定义域为R ，周期为π的偶函数f (x )＝________. 答案cos2x (答案不唯一)解析y ＝cos2x 满足定义域为R ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为偶函数，符合要求． 8．若函数f (x )＝e x －e －x ，则不等式f (ln x )＋f (ln x －1)>0的解集是________． 答案(e ，＋∞)解析因为f (x )＝e x －e －x ，定义域为R ，且f (－x )＝－(e x －e －x )＝－f (x )，故其为奇函数， 又y ＝e x ，y ＝－e －x 均为增函数，故f (x )为R 上的增函数，则原不等式等价于f (ln x )>f (1－ln x )，也即ln x >1－ln x ，整理得ln x >12，解得x >e ，故不等式的解集为(e ，＋∞)．9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2023)． (1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)解当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， 由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2. 又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2. ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)解f(0)＝0, f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝0.11．(2023·廊坊模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论错误的是()A．f(0)＝2B．f(x)为偶函数C．f(x)为奇函数D．f(2)＝－1答案C解析因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A对；取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C错，B对；取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f (1)＝1，f (0)＝2， 所以f (2)＝－1，D 对．12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝1f (x )；②函数y ＝f (x )是偶函数；③当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ＋e x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫223从小到大的排列是________． 答案f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f⎝ ⎛⎭⎪⎫223<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214 解析由题意知f (x ＋1)＝1f (x )，则f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，故函数y ＝f (x )的周期为2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，∵当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ＋e x 单调递增， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫223<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214.13．(2022·全国乙卷)若f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b 是奇函数，则a ＝______，b ＝______. 答案－12ln2解析f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b ＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋lne b＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋1)e b －a e bx 1－x . ∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 21－x 2＝0， ∴||(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 2＝|1－x 2|.当(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 2＝1－x 2时，[(a ＋1)2e 2b －1]＋(1－a 2e 2b )x 2＝0对任意的x 恒成立，则⎩⎨⎧(a ＋1)2e 2b－1＝0，1－a 2e 2b＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝ln2.当(a ＋1)2e 2b －a 2e 2b x 2＝x 2－1时，[(a ＋1)2e 2b ＋1]－(a 2e 2b ＋1)x 2＝0对任意的x 恒成立，则⎩⎨⎧(a ＋1)2e 2b＋1＝0，a 2e 2b＋1＝0，无解．综上，a ＝－12，b ＝ln2.14．已知函数f (x )＝x 3＋(x ＋1)2x 2＋1在区间[－3,3]上的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N的值为________． 答案2解析f(x)＝x3＋x2＋2x＋1x2＋1＝x(x2＋2)＋x2＋1x2＋1＝x(x2＋2)x2＋1＋1，令g(x)＝f(x)－1＝x(x2＋2) x2＋1，则g(－x)＝－x(x2＋2)x2＋1＝－g(x)，∴函数g(x)在[－3,3]上为奇函数，则g(x)max＋g(x)min＝0，即M－1＋N－1＝0，∴M＋N＝2.。

第8讲 函数与方程、函数的模型及其应用基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·赣中南五校联考)函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(－2，－1)D.(－1，0)解析 由于f (－1)＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0，∴f (－1)·f (0)<0.则f (x )在(－1，0)内有零点. 答案 D2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B.－2，0C.12D.0解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上函数f (x )的零点只有0.答案 D3.(2017·杭州调研)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)解析 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，所以0<a <3. 答案 C4.(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为( ) A.5B.8C.9D.10解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5. 答案 A5.(2017·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14B.18C.－78D.－38解析 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案 C 二、填空题6.(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.解析 ∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1， ∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2) ＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2. 由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 答案 －2 17.(2017·湖州调研)设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系为y ＝c e kx，其中c ，k 为常量.已知某天的海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1 000 m 高空的大气压为0.90×105Pa ，则c ＝________，k ＝________，600 m 高空的大气压强约为________Pa(保留3位有效数字).解析 将x ＝0时，y ＝1.01×105Pa 和x ＝1 000时，y ＝0.90×105Pa 分别代入y ＝c e kx，得⎩⎪⎨⎪⎧1.01×105＝c e 0，0.90×105＝c e 1 000k ，所以c ＝1.01×105，所以e1 000k＝0.90×1051.01×105＝0.901.01，所以k ＝11 000×ln 0.901.01，用计算器算得k ≈－1.153×10－4，所以y ＝1.01×105×e－1.153×10－4x，将x ＝600代入上述函数式，得y ≈9.42×104Pa ，即在600 m 高空的大气压强约为9.42×104Pa.答案 1.01×105－1.153×10－49.42×1048.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________.解析 函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.答案 －12三、解答题9.已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围. 解 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题. 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根.(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （0）<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.10.(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( ) A.[0，1)B.(－∞，1)C.(－∞，1]∪(2，＋∞)D.(－∞，0]∪(1，＋∞)解析 函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图象(图略). 观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点. 答案 D12.(2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图3记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟D.4.25分钟解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟. 答案 B13.(2017·绍兴调研)已知f (x )＝1x ＋2－m |x |，若f (x )有两个零点，则实数m 的值为________；若f (x )有三个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 函数f (x )的零点，即为方程1x ＋2－m |x |＝0即1m＝|x |(x ＋2)的实数根，令g (x )＝|x |(x ＋2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x >0，－x 2－2x ，x <0，其图象如图所示，当m ＝1时，g (x )图象与y ＝1m 有2个交点；当0<1m<1，即m >1时，有3个交点.答案 1 (1，＋∞)14.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0).(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围. 解 (1)如图所示.(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数. 由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )＝m 有两个不相等的正根. 15.已知函数f (x )＝1|x ＋2|＋kx ＋b ，其中k ，b 为实数且k ≠0. (1)当k >0时，根据定义证明f (x )在(－∞，－2)单调递增； (2)求集合M k ＝{b |函数f (x )有三个不同的零点}. (1)证明 当x ∈(－∞，－2)时，f (x )＝－1x ＋2＋kx ＋b . 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，设x 2>x 1.f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋2＋kx 1＋b －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋2＋kx 2＋b ＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（x 1＋2）（x 2＋2）＋k . 由所设得x 1－x 2<0，1（x 1＋2）（x 2＋2）>0，又k >0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在(－∞，－2)单调递增.(2)解 函数f (x )有三个不同零点，即方程1|x ＋2|＋kx ＋b ＝0有三个不同的实根. 方程化为：⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b ＋1）＝0，与⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b －1）＝0. 记u (x )＝kx 2＋(b ＋2k )x ＋(2b ＋1)，v (x )＝kx 2＋(b ＋2k )x ＋(2b －1). ①当k >0时，u (x )，v (x )开口均向上.由v (－2)＝－1<0知v (x )在(－∞，－2)有唯一零点.为满足f (x )有三个零点，u (x )在(－2，＋∞)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧u （－2）>0，（b ＋2k ）2－4k （2b ＋1）>0，－b ＋2k 2k >－2，∴b <2k －2k .②当k <0时，u (x )，v (x )开口均向下.由u (－2)＝1>0知u (x )在(－2，＋∞)有唯一零点.为满足f (x )有三个零点，v (x )在(－∞，－2)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧v （－2）<0，（b ＋2k ）2－4k （2b －1）>0，－b ＋2k 2k <－2.∴b <2k －2－k .综合①②可得M k＝{b|b<2k－2|k|}.。

【考点剖析】1. 命题方向预测：（1）考查具体函数的零点个数和零点的取值范围. （2）利用函数零点求解参数的取值范围. （3）考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化思想和数形结合思想．（4）2018年多套高考试卷出现考查函数与方程的题目，预测2019年依然会有类似题目. 2.课本结论总结： （1）几个等价关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． （2）函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数y ＝f (x )在区间（a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．（3）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系：（4）给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(i)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；ii)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(iii)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε.即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.3.名师二级结论：（１）二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零点分布情况（２）有关函数零点的重要结论：(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变．(4)函数11110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 至多有n 个零点． 4.考点交汇展示：例1.【2018年全国卷Ⅲ理】函数在的零点个数为________．【答案】例2.【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23] {34}（D ）[13，23） {34}【答案】C【解析】由()f x 在R 上递减可知3401331,0134a a a a -≥⎧⇒≤≤⎨≥<<⎩，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334，故选C.例3.【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________． 【答案】–3【考点分类】考向一 函数零点的求解与判断1.【2018届河南漯河高级中学高三上第二次模拟】已知函数是上的偶函数，且，当时，，则函数的零点个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】B【解析】函数f （x ）是R 上的偶函数，可得f （-x ）=f （x ）， 又f （1-x ）=f （1+x ），可得f （2-x ）=f （x ），故可得f （-x ）=f （2-x ），即f （x ）=f （x-2），即函数的周期是2又x ∈[0，1]时，f （x ）=x 2，要研究函数y=f （x ）-log 5x 在区间[0，5]零点个数，可将问题转化为y=f （x ）与y=log 5x 在区间[0，5]有几个交点如图，由图知，有四个交点．故选B.2.【2018届江西南昌三中高三第二次考试】函数f (x)＝ln x＋x3－8的零点所在的区间为（） ( A ) (0，1) ( B ) (1，2) ( C ) (2，3) ( D ) (3，4)【答案】B3.【福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体联考】已知是定义在R上的奇函数,当.则函数的零点的集合为 ( )A． B． C． D．【答案】A【解析】是定义在上的奇函数，当时，，令，则，，则，，，令，当时，，解得或；当时，，解得或（舍去），函数的零点的集合为，故选A.【方法规律】1．方程的根(从数的角度看)、函数图象与x 轴的交点的横坐标(从形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式． 2．函数零点的判断：(1)解方程：当对应方程0)(=x f 易解时，可通过先解方程，看方程是否有根落在给定区间上； (2)利用函数零点的存在性定理进行判断：首先看函数y ＝f x 在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内必有零点.(3) 数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 【解题技巧】 1．函数零点的求法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

多维层次练14[A 级 基础巩固]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2，0C.12D ．0解析：当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.答案：D2．(2020·长郡中学等十三校联考)已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x 的零点，则g (x 0)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－23>0，所以x 0∈(2，3)，所以g (x 0)＝[x 0]＝2.答案：B3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数就是y ＝f (x )与y ＝－3x 两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.答案：C4．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18C ．－78D ．－38解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案：C5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1解析：因为当x >0时，x ＝1是函数f (x )的一个零点， 所以当x ≤0时，要使f (x )＝－2x ＋a 没有零点， 则－2x ＋a <0或－2x ＋a >0恒成立， 即a <2x 或a >2x 恒成立，故a ≤0或a >1.所以函数f (x )有且只有一个零点的充分不必要条件可以是a <0. 答案：A6．(多选题)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1.25B ．1.437 5C ．1.406 25D ．1.421 9解析：由零点存在定理，在(1.406 25，1.437 5)内有零点， 又1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.05，所以在区间[1.406 25，1.437 5]内任取一值可为零点近似解． 则B 、C 、D 均满足要求． 答案：BCD7．(2020·湖南雅礼中学检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x |，x ≤1，x 2－3x ＋3，x >1，若关于x 的方程f (x )＝2a (a ∈R)恰好有两个不同的实根，则实数a 的取值范围为( )A.12<a <1 B ．a ＝12C.38<a ≤12或a >1 D ．a ∈R解析：作出函数f (x )的图象如图：因为关于x 的方程f (x )＝2a 恰好有两个不同实根， 所以y ＝2a 与函数y ＝f (x )的图象恰有两个交点， 所以2a >2或34<2a ≤1.解之得a >1或38<a ≤12.答案：C8．已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则实数a 的取值范围是( )A ．(5，6)B ．(7，8)C ．(8，9)D ．(9，10)解析：由于f (x )在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数， 所以f (x )min ＝f (0)＝a ＋log 2a ＝8. 令g (a )＝a ＋log 2a －8，a >0.则g (5)＝log 25－3<0，g (6)＝log 26－2>0， 又g (a )在(0，＋∞)上是增函数， 所以实数a 所在的区间为(5，6)． 答案：A9．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3.答案：310．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________，函数的零点是________(用a 表示)．解析：依题意，f (x )＝x 2＋ax ＋b 有不变号零点， 所以Δ＝a 2－4b ＝0，知a 2＝4b ， 从而函数的零点x 0＝－a2.答案：a 2＝4b －a211．(2020·济南质检)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2等于________．解析：考虑到x 1，x 2是函数y ＝e x 、函数y ＝ln x 与函数y ＝1x 的图象的交点A ，B 的横坐标．又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1.答案：112．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≤1，log 3 x ，x >1.(1)若f (1)＝3，则实数a ＝________．(2)若函数y ＝f (x )－2有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)f (1)＝1－a ＝3，所以a ＝－2，(2)作出y ＝2与y ＝f (x )的图象(略)，y ＝f (x )－2有两个零点，则12－a <2，所以a >－1.答案：(1)－2 (2)(－1，＋∞)[B 级 能力提升]13．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x ＞0)，y 2＝ln x (x ＞0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. 答案：C14．(2020·佛山调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0 C ．(1，＋∞)∪{0}D ．(0，1]解析：令g (x )＝f (x )－b ＝0，函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )<0得e x (x ＋2)<0，即x <－2，此时f (x )为减函数，由f ′(x )>0得e x (x ＋2)>0，即－2<x <0，此时f (x )为增函数， 即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0<b ≤1，故选D.答案：D15．已知函数f (x )＝e x －e －x ＋4，若方程f (x )＝kx ＋4(k >0)有三个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________．解析：易知y ＝e x －e －x 为奇函数，且其图象向上平移4个单位，得y ＝f (x )的图象．所以y ＝f (x )的图象关于点(0，4)对称， 又y ＝kx ＋4过点(0，4)且关于(0，4)对称．所以方程f (x )＝kx ＋4的三个根中有一个为0，且另两根之和为0.因此x 1＋x 2＋x 3＝0. 答案：0[C 级 素养升华]16．(2018·浙江卷)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．解析：(1)当λ＝2时，f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2，其图象如图(1)所示．由图知f (x )<0的解集为(1，4)．(2)f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y ＝x －4与y ＝x 2－4x ＋3的图象，如图(2)，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞)．答案：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞) 素养培育直观想象——嵌套函数的零点问题(自主阅读)函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数的相关问题．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单函数，借助函数的图象、性质求解．1．嵌套函数的零点个数判断[典例1] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是________．解析：由2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0得 f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点有5个．答案：5[解题思路] 1.上述题目涉及嵌套函数零点个数的判断，求解的主要步骤：(1)换元解套，转化为t ＝g (x )与y ＝f (t )的零点；(2)依次解方程，令f (t )＝0，求t ，代入t ＝g (x )，求出x 的值域判断图象交点个数．2．抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 2．嵌套函数零点中的参数[典例2] (2020·湖北重点中学联考)已知函数f (x )＝xe x ，若关于x的方程[f (x )]2＋mf (x )＋m －1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)∪(2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎪⎫1－1e ，＋∞C.⎝⎛⎭⎪⎫1－1e ，1 D ．(1，e)解析：因为f ′(x )＝e x －x e x（e x ）2＝1－xe x ，所以f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上递减． 因此f (x )max ＝f (1)＝1e.又当x →－∞时，f (x )→－∞；x →＋∞时，f (x )→0且f (x )>0. 从而作出t ＝f (x )的简图，如图所示． 令t ＝f (x )，g (t )＝t 2＋mt ＋m －1. 由g (t )＝0，得t ＝－1或t ＝1－m .当t ＝－1时，f (x )＝xe x ＝－1，方程有一解，要使原方程有3个不同的实数解，必须使t ＝1－m 与t ＝f (x )的图象有两个交点．故0<1－m <1e ，所以1－1e <m <1.答案：C[解题思路] 1.题目以函数的图象、性质为载体，考查函数零点(方程的根)中参数的求解，综合考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养．2．涉及复合函数零点的步骤：①换元，令t ＝f (x )，y ＝g (t )，f (x )为“内函数”，g (t )为“外函数”；②作图，作“外函数”y ＝g (t )的图象与“内函数”t ＝f (x )的图象；③观察图象进行分析．[典例3] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （－x －1），x <－1，2x ＋1，x ≥－1，若函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：设t ＝f (x )，令f (f (x ))－a ＝0，则a ＝f (t )．在同一坐标系内作y ＝a ，y ＝f (t )的图象(如图所示)．当a ≥－1时，y ＝a 与y ＝f (t )的图象有两个交点．设交点的横坐标为t 1，t 2(不妨设t 2>t 1)且t 1<－1，t 2≥－1.当t 1<－1时，t 1＝f (x )有一解．当t 2≥－1时，t 2＝f (x )有两解．综上，当a ≥－1时，函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点． 答案：[－1，＋∞)[解题思路] 1.求解本题抓住分段函数的图象性质，由y ＝a 与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围．进而由t＝f(x)图象确定x取值．2．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．。

函数与方程高考知识点总结一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是一个从一个集合到另一个集合的映射关系。

2.函数的表示方法：函数可以用函数解析式、函数图象、函数表等形式表示。

3.函数的性质：奇偶性、周期性、有界性、单调性、极值、最值等。

二、初等函数1.常数函数：y=c。

2. 一次函数：y=kx+b。

3. 二次函数：y=ax²+bx+c。

4.幂函数：y=xⁿ。

5.指数函数：y=aᵡ。

6. 对数函数：y=logₐx。

7.三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。

8.反三角函数：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

三、函数的运算1.函数的和、差、积、商的定义与性质。

2.复合函数的定义与性质。

3.反函数的定义与性质。

四、方程的概念与性质1.方程的定义：含有未知数的等式称为方程。

2.方程的根：使方程等式成立的未知数的值称为方程的根。

3.方程的解：满足方程的根的值的集合。

4.方程的性质：等价方程、可解性、唯一性等。

五、一元一次方程1.一元一次方程的定义与解的概念。

2.一元一次方程的解法：解方程的基本步骤、去分母、去项、整理方程等。

3.一元一次方程的应用：问题转化为一元一次方程。

六、一元二次方程1.一元二次方程的定义与解的概念。

2.一元二次方程的解法：配方法、因式分解法、求根公式、三角函数法等。

3.一元二次方程的判别式：判别式与方程根的关系。

七、一元高次方程1.一元高次方程的定义与解的概念。

2.一元高次方程的解法：因式分解法、整理方程法、二次根与系数关系、综合除法等。

3.一元高次方程的应用：问题转化为一元高次方程。

八、二元一次方程组1.二元一次方程组的定义与解的概念。

2.二元一次方程组的解法：方法一、方法二、方法三等。

3.二元一次方程组的应用：问题转化为二元一次方程组。

九、二元二次方程组1.二元二次方程组的定义与解的概念。

2.二元二次方程组的解法：消元法、代入法、加减消元法、变量代换法等。

3.二元二次方程组的应用：问题转化为二元二次方程组。