2.1三角形

三角形的全部定理三角形作为几何学中最基本的图形之一，其性质和定理的研究对于几何学的发展起着重要的作用。

本文将介绍三角形的全部定理，包括重要定理和性质，并通过推导和实际例子展示其应用。

1. 三角形的基本性质三角形是由三条边和三个角组成的封闭图形。

其基本性质有：- 三角形的内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于180度。

- 外角和定理：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和。

2. 三角形的重要定理2.1 三边关系定理- 斜边定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

- 角边关系定理（余弦定理）：在任意三角形ABC中，设a、b、c为边长，A、B、C为对应的内角，则有：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC- 角角关系定理（正弦定理）：在任意三角形ABC中，设a、b、c为边长，A、B、C为对应的内角，则有：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为三角形外接圆半径）2.2 三角形的相似定理- AAA相似定理：若两个三角形的三个对应角相等，则这两个三角形相似。

- AA相似定理：若两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。

- SAS相似定理：若两个三角形具有一个对应两边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。

2.3 直角三角形的性质- 勾股定理：直角三角形的两直角边平方和等于斜边平方，即a^2 + b^2 = c^2。

- 斜边上的中线定理：直角三角形斜边上的中线等于其两直角边的一半。

3. 应用示例示例1：已知一个三角形的三个内角分别为50°、60°和70°，求其三条边的长。

解：根据角角关系定理可以得到：a/sin50° = b/sin60° = c/sin70°设a=1，代入上式可得b=√3，c=√3/2。

第二章三角形2.1 与三角形有关的角教学目标：1、掌握三角形内角和定理2、掌握三角形的内角与外角的关系重点：三角形内角和定理难点：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和教学过程：一、引入我们都知道一个三角形的内角和为180゜，你知道三角形的内角和为什么是180゜呢？二、探究（一）三角形内角和定理1、学生探究剪拼法2、你能运用几何证明方法证明三角形的三个内角的和为180゜吗？试一试。

（由学生完成，教师辅助）（学生通过动手拼图，再通过证明，总结出三角形的三个内角和是180゜，能够加深理解）（二）三角形的分类1、议一议：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？2、直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”，在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角边的对边叫作斜边。

两条直角边相等的三角形叫作等腰直角三角形。

3、例题：在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由三角形内角和定理，得,∠A +∠B+ ∠C=180°即∠A +∠B+ 90°=180°，所以∠A +∠B= 90°.也就是说，直角三角形的两个锐角互余.4、练习：如图，已知△ABC中，CE△AB，AD△BC，AD、CE相交于点O,△B=60゜.求△AOE的度数。

(由学生完成，教师辅助)（三）三角形的外角1、定义：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角形的外角，如下图中的∠ACD是△ACB的一个外角，它与内角∠ACB相邻。

2、探究：在图中，外角∠ACD和∠A、∠B之间有什么大小关系？归纳结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

3、练习：如图，△ABC中，点D是AC上一点，点E是BD上一点，问：（1）△ADE是那个三角形的外角？（2）△CDE是那个三角形的外角？三、随堂练习P48练习学生合作完成四、小结师生共同小结五、作业教材“习题2.1”中第4、5、7题。

三角形中线定理和高中定理一、三角形中线定理1.1 定义：三角形的中线是连接一个顶点与对边中点的线段。

1.2 性质：(1)中线等于第三边的一半。

(2)中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

(3)中线将三角形分成两个面积相等的三角形。

(4)中线的长度是顶点到对边中点的距离。

二、高中定理2.1 三角形内角和定理：一个三角形的三个内角之和等于180度。

2.2 外角定理：一个三角形的外角等于它不相邻的两个内角的和。

2.3 平行线定理：如果两条直线被第三条直线所截，截得的内角互补，那么这两条直线平行。

2.4 同位角定理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

2.5 同旁内角定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

2.6 垂直定理：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

2.7 对角线互相平分的定理：在一个四边形中，对角线互相平分。

2.8 对角线相等的定理：在一个平行四边形中，对角线相等。

2.9 圆的性质定理：圆是到定点等距的点的集合，圆心是圆上所有点的中心，半径是圆心到圆上任意一点的距离。

2.10 圆周定理：圆的周长等于半径的两倍乘以π。

2.11 圆面积定理：圆的面积等于半径的平方乘以π。

以上是关于三角形中线定理和高中定理的知识点总结，希望对你有所帮助。

习题及方法：1.习题：在一个三角形ABC中，点D是边BC的中点，求证：AD是三角形ABC的中线。

答案：根据三角形中线定理，连接顶点A与对边BC的中点D，可得AD是三角形ABC的中线。

2.习题：已知三角形ABC，AB=AC，点D是边BC上的一个点，且AD=BD，求证：三角形ABC是等腰三角形。

答案：根据三角形中线定理，AD是三角形ABC的中线，且AD=BD，所以AB=AC，因此三角形ABC是等腰三角形。

3.习题：在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点E，求证：AE=CE，BE=DE。

答案：根据平行四边形对角线互相平分的定理，可得AE=CE，BE=DE。

第3课时三角形的内角和1．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是( ) A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2．[2012·云南]如图2－1－29，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为( )图2－1－29A．40°B．45°C．50° D．55°3．[2012·梧州]如图2－1－30，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是( )图2－1－30A．10°B．12°C．15° D．18°4．如图2－1－31，直线a∥b，则∠A的度数是( )图2－1－31A．28°B．31°C．39°D．42°5．[2012·漳州]将一副直角三角板，按如图2－1－32所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 ( )A．45° B．60°C．75° D．90°6．如图2－1－33，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于________．图2－1－337．如图2－1－34是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角是________度．8．一个零件的形状如图2－1－35所示，按规定∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°.检验工人量得∠BDC＝130°，就断定这个零件不合格，你能运用所学的知识说出其中的道理吗？图2－1－35图2－1－32图2－1－349．如图2－1－36，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．图2－1－3610．如图2－1－37所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．图2－1－37答案解析1．B 【解析】 三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，所以三角形的三个内角分别是180°×29＝40°，180°×39＝60°，180°×49＝80°.所以该三角形是锐角三角形．故选B.2．A 【解析】 因为∠B ＝67°，∠C ＝33°，所以∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－67°－33°＝80°.因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠CAD ＝12∠BAC ＝12×80°＝40°.故选A.3．A 【解析】 因为AD ⊥BC ，∠C ＝36°，所以∠CAD ＝90°－36°＝54°，因为AE 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝128°， 所以∠CAE ＝12∠BAC ＝12×128°＝64°，所以∠DAE ＝∠CAE －∠CAD ＝64°－54°＝10°.故选A. 4．C 【解析】 因为a ∥b ，所以∠DBC ＝70°，所以∠ABD ＝180°－70°＝110°，所以∠A ＝180°－31°－110°＝39°.故选C. 5．C 【解析】 如图，因为∠1＝90°－60°＝30°，所以∠α＝45°＋30°＝75°.故选C.第5题答图6．80° 【解析】 因为∠ACD ＝∠A ＋∠B ，所以∠A ＝∠ACD －∠B ＝120°－40°＝80°. 7．408．【解析】 可以先计算出合格时∠BDC 的度数．由于∠BDC 与∠A ，∠B ，∠C 不在同一个三角形内，所以无法找到它们之间的数量关系，因此需要添加辅助线． 解：方法一：连接AD 并延长，如图(1)所示．第8题答图因为∠1＝∠3＋∠C ，∠2＝∠4＋∠B ，所以∠1＋∠2＝∠3＋∠C ＋∠4＋∠B ＝(∠3＋∠4)＋∠C ＋∠B ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C ， 所以∠1＋∠2＝90°＋21°＋20°＝131°，即∠BDC ＝131°. 由于零件中∠BDC ＝130°，所以可以断定这个零件不合格． 方法二：延长CD 交AB 于E ，如图(2)所示． 因为∠CEB ＝∠C ＋∠A ，∠CDB ＝∠CEB ＋∠B ，所以∠BDC ＝∠C ＋∠A ＋∠B ＝20°＋90°＋21°＝131°. 由于零件中∠BDC ＝130°，所以可以断定这个零件不合格．9．【解析】 运用三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和建立∠3、∠4与∠1、∠2的关系，再用三角形内角和定理求出有关角的大小． 解：因为∠4＝∠1＋∠2，∠1＝∠2， 所以∠4＝2∠2，又因为∠3＝∠4， 所以∠3＝2∠2，所以∠2＝12∠3，在△ABC 中，∠2＋∠3＋∠BAC ＝180°，因为∠BAC ＝63°，所以12∠3＋∠3＋63°＝180°，所以∠3＝∠4＝78°，而∠DAC ＝180°－78°－78°＝24°. 10．解：因为∠AGL ＝∠A ＋∠B ，∠CHG ＝∠C ＋∠D ，∠ELH ＝∠E ＋∠F ，所以∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝∠AGL ＋∠CHG ＋∠ELH (即△GHL 的外角和)． 所以∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝360°.3.3 轴对称和平移的坐标表示1 轴对称的坐标表示要点感知1 一般地，在平面直角坐标系中，点(a，b)关于x轴的对称点的坐标为__________，即横坐标__________，纵坐标互为__________.预习练习1-1 点A(1，-2)关于x轴对称的点的坐标是( )A.(1，-2)B.(-1，2)C.(-1，-2)D.(1，2)要点感知2 一般地，在平面直角坐标系中，点(a，b)关于y轴的对称点的坐标为__________，即横坐标互为__________，纵坐标__________.预习练习2-1 点P(1，-2)关于y轴对称的点的坐标为__________.2-2 如图，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为__________.知识点1 关于x轴对称1.在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)，则点A关于x轴的对称点坐标为( )A.(3,2)B.(2，-3)C.(-2,3)D.(-2，-3)2.已知点A(2，-3)与点B关于x轴对称，则点B在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知点A(m-1，3)与点B(2，n+1)关于x轴对称，则m=__________，n=__________.知识点2 关于y轴对称4.已知点P(-2，3)关于y轴的对称点为Q(a，b)，则a+b的值是( )A.1B.-1C.5D.-55.已知点P(3，-1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b，1-b)，则ab的值为__________.知识点3 图形上点的对称问题6.如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，Rt△ABC关于y轴对称的图形为Rt△DEF，则点A的对应点D 的坐标是__________.7.如图，在直角坐标平面内，线段AB垂直于y轴，垂足为B，且AB=2，如果将线段AB沿y轴翻折，点A落在点C处，那么点C的横坐标是__________.8.如图，在直角坐标系中，△OBC的顶点O(0，0)，B(-6，0)，且∠OCB=90°，OC=BC，则点C关于y轴对称的点的坐标是( )A.(3，3)B.(-3，3)C.(-3，-3)D.(32，32)知识点4 对称的作图问题9.如图，已知平面直角坐标系中，A(-1，3)，B(2，0)，C(-3，-1),在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标.10.如图，△ABC与△DFE关于y轴对称，已知A(-4，6)，B(-6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为( )A.(-4，6)B.(4，6)C.(-2，1)D.(6，2)11.已知点P(a+1，2a-3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是( )A.a＜-1B.-1＜a＜32C.-32＜a＜1 D.a＞3212.若点A(m+2，3)与点B(-4，n+5)关于y轴对称，则m+n=__________.13.写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标并回答：(1)点B，E的位置有什么特点？(2)从点B与点E，点C与点D的位置看，它们的坐标有什么特点？14.在直角坐标系中，已知点A(a+b，2-a)与点B(a-5，b-2a)关于y轴对称，(1)试确定点A、B的坐标；(2)如果点B关于x轴的对称的点是C，求△ABC的面积.15.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2，-1)，B(-3，-3)，C(-1，-3). （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出点A 2的坐标.16.如图所示，△COB 是由△AOB 经过某种变换后得到的图形，观察点A 与点C 的坐标之间的关系，解答下列问题：(1)若点M 的坐标为(x ，y)，则它的对应点N 的坐标为__________； (2)若点P(a ，2)与点Q(-3，b)关于x 轴对称，求代数式：1ab +()()111a b --+()()122a b --+…+()()11010a b --的值.参考答案要点感知1 (a ，-b) 不变 相反数 预习练习1-1 D要点感知2 (-a ，b) 相反数 不变 预习练习2-1 (-1，-2)2-2 (-1，3)1.B2.A3.3-44.C5.256.(2，1)7.-28.A9.图略，点A1，B1，C1的坐标分别为：A1(1，3)，B1(-2，0)，C1(3，-1).10.B 11.B 12.013.A(-2，0)，B(0，-2)，C(2，-1)，D(2，1)，E(0，2).(1)点B和点E关于x轴对称；(2)点B与点E，点C与点D，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数.14.(1)∵点A(a+b，2-a)与点B(a-5，b-2a)关于y轴对称，∴2250.a b aa b a--+-⎩+⎧⎨＝，＝解得13.ab⎧⎨⎩＝，＝∴点A,B的坐标分别为：(4，1)，(-4，1)；(2)∵点B关于x轴的对称的点是C，∴C点坐标为(-4，-1).∴△ABC的面积为：12×BC×AB=12×2×8=8.15.（1）图略，A1(-2，1)；（2）图略，A2(2，1).16.（1）（x,-y）（2）∵点P(a，2)与点Q(-3，b)关于x轴对称，∴a=-3，b=-2，∴1ab+()()111a b--+()()122a b--+…+()()11010a b--=16+112+120+…+1156=12-13+13-14+…+112-113=11 26.《第7章平行线的证明》一、选择题1．下列语句中，是命题的是（）A．直线AB和CD垂直吗B．过线段AB的中点C画AB的垂线C．同旁内角不互补，两直线不平行D．连接A，B两点2．如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，则∠ABC的大小是（）A．25°B．35°C．50°D．65°3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°4．如图，已知△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是（）A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC5．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于（）A．50°B．60°C．65°D．90°6．如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（）A．150°B．130°C．120°D．100°7．如图，直线a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB的度数是（）A．84°B．106°C．96°D．104°8．适合条件∠A=∠B=∠C的△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A．150°B．210°C．105°D．75°10．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°二、填空题11．命题“对顶角相等”的条件是，结论是．12．如图，DAE是一条直线，DE∥BC，则x= ．13．如图，已知AB∥CD，∠DEF=50°，∠D=80°，∠B的度数是．14．如图，已知∠A=∠F=40°，∠C=∠D=70°，则∠ABD= ，∠CED= ．15．已知如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100°，则∠BAC= ．16．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为度．17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则该等腰三角形顶角为°．18．如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，则∠A= 度．三、解答题（共66分）19．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．20．一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．21．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．22．如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3的度数．23．如图，△ABC中，D，E，F分别为三边BC，BA，AC上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70°，求∠EDF的度数．24．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．25．【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC= ；若∠A=n°，则∠BEC= ．【探究】（1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC= ；（2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）《第7章平行线的证明》参考答案与试题解析一、选择题1．下列语句中，是命题的是（）A．直线AB和CD垂直吗B．过线段AB的中点C画AB的垂线C．同旁内角不互补，两直线不平行D．连接A，B两点【考点】命题与定理．【分析】根据命题的定义，对一件事情做出判断的语句叫做命题，进行判断．【解答】解：A、是问句，不是命题；B、是作图，没有对一件事情做出判断，所以不是命题；C、对一件事情做出了判断，是命题；D、是作图，没有对一件事情做出判断，所以不是命题．故选C．【点评】命题分为真命题和假命题，注意假命题也是命题．2．如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，则∠ABC的大小是（）A．25°B．35°C．50°D．65°【考点】平行线的性质；垂线．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，然后根据两直线平行内错角相等即可求出∠ABC的大小．【解答】解：∵CB⊥DB，∴∠CBD=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠D=65°，∴∠C=25°，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠C=25°．故选A．【点评】此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°【考点】三角形内角和定理．【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．4．如图，已知△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是（）A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形外角的性质对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵∠ADB是△BDC的外角，∴∠ADB＞∠DBC，∠ADB＞∠ACB，故B、C正确；∵∠ACB是△CDE的外角，∴∠ACB＞∠DEC，∵∠ADB＞∠ACB，∴∠ADB＞∠DEC，故D正确；∠DCE与∠ADB的大小无法比较．故选A．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角大于与之不相邻的任何一个内角是解答此题的关键．5．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于（）A．50°B．60°C．65°D．90°【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【分析】由AB∥CD，∠1=50°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠BEF的度数，又由EG平分∠BEF，求得∠BEG的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠1=180°，∵∠1=50°，∴∠BEF=130°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠BEF=65°，∴∠2=∠BEG=65°．故选C．【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．6．如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（）A．150°B．130°C．120°D．100°【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据平行线及角平分线的性质求出∠CDB=∠CBD，再根据平角的性质求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质求出∠C的度数即可．【解答】解：∵直线AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∵∠CDB=180°﹣∠CDE=30°，∴∠ABD=30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°，∴∠C=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°．故选C．【点评】此题比较简单，考查的是平行线及角平分线的性质，比较简单．7．如图，直线a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB的度数是（）A．84°B．106°C．96°D．104°【考点】平行线的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC=∠1，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵a∥b，∴∠ABC=∠1=46°，∵∠A=38°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣38°﹣46°=96°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．8．适合条件∠A=∠B=∠C的△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】此题隐含的条件是三角形的内角和为180°，列方程，根据已知中角的关系求解，再判断三角形的形状．【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，∵∠A+∠B+∠C=180°，即6∠A=180°，∴∠B=60°，∠C=90°，∴△ABC为直角三角形．故选B．【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A．150°B．210°C．105°D．75°【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．【解答】解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．故选A．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．10．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°【考点】平行线的性质．【专题】探究型．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠3是△ADG的外角，∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，∵l1∥l2，∴∠3=∠4=55°，∵∠4+∠EFC=90°，∴∠EFC=90°﹣55°=35°，∴∠2=35°．故选B．【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．二、填空题11．命题“对顶角相等”的条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等．【考点】命题与定理．【分析】命题是判断一件事情，由条件和结论组成，都能写成“如果…那么…”的形式，此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．【解答】解：此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．因此条件是“两个角是对顶角”结论是“这两个角相等”故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．【点评】本题考查找命题里面的条件和结论，写成“如果…那么…”的形式可降低难度．12．如图，DAE是一条直线，DE∥BC，则x= 64°．【考点】平行线的性质．【分析】两直线平行，内错角相等，据此进行计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DAC=∠ACF，即70°+x=134°，解得x=64°．故答案为：64°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．13．如图，已知AB∥CD，∠DEF=50°，∠D=80°，∠B的度数是50°．【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】先根据三角形内角和定理，求得∠DFE度数，再根据平行线的性质，求得∠B的度数．【解答】解：∵∠DEF=50°，∠D=80°，∴∠DFE=50°，又∵AB∥CD，∴∠B=∠DFE=50°．故答案为：50°【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．14．如图，已知∠A=∠F=40°，∠C=∠D=70°，则∠ABD= 70°，∠CED= 110°．【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据平行线的判定得出DF∥AC，根据平行线的性质求出∠D=∠ABD=70°，根据平行线的性质得出∠CED+∠C=180°，代入求出即可．【解答】解：∵∠A=∠F=40°，∴DF∥AC，∵∠D=70°，∴∠D=∠ABD=70°，∵DF∥AC，∴∠CED+∠C=180°，∵∠C=70°，∴∠C ED=110°，故答案为：70°，110°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．15．已知如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100°，则∠BAC= 120°．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】利用外角的性质可得∠3=∠4=2∠2，在△ADC中利用内角和定理可列出关于∠2的方程，可求得∠2，则可求得∠2+∠DAC，即∠A．【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠3=∠4=∠1+∠2=2∠2，∵∠3+∠4+∠DAC=180°，∴4∠2+100°=180°，∴∠2=20°，∴∠BAC=∠2+∠DAC=20°+100°=120°，故答案为：120°．【点评】本题主要考查三角形内角和定理及外角的性质，由条件得到关于∠2的方程求出∠2是解题的关键．16．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为22 度．【考点】平移的性质；同位角、内错角、同旁内角．【分析】由平移的性质知，AO∥SM，再由平行线的性质可得∠WMS=∠OWM，即可得答案．【解答】解：由平移的性质知，AO∥SM，故∠WMS=∠OWM=22°；故答案为：22．【点评】本题利用了两直线平行，内错角相等，及平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则该等腰三角形顶角为50或130 °．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；②当为钝角三角形时可画图为，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，所以三角形的顶角为130°；故填50°或130°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键．18．如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，则∠A= 10 度．【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质．【分析】设∠A=x．根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FCE=∠FEC=5x，则180°﹣5x=130°，即可求解．【解答】解：设∠A=x．∵AB=BC=CD=DE=EF=FG，∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FGE=∠FEG=5x，则180°﹣5x=130°，解，得x=10°．则∠A=10°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角的性质的运用；发现并利用∠CBD是△ABC 的外角是正确解答本题的关键．三、解答题（共66分）19．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．【考点】平行线的判定．【专题】证明题．【分析】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD．【解答】证明：∵BE⊥FD，∴∠EGD=90°，∴∠1+∠D=90°，又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，∴∠1=∠2，又已知∠C=∠1，∴∠C=∠2，∴AB∥CD．【点评】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D 互余．20．一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．【考点】三角形的外角性质．【分析】根据邻补角定义求出∠1的邻补角的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠3﹣∠2等于∠1的邻补角的度数．【解答】解：小刚的答案为50°．理由如下：如图，设∠1的邻补角为∠4，∵∠1=130°，∴∠4=180°﹣130°=50°，∵∠3是人字架三角形的外角，∴∠3=∠2+∠4，∴∠4=∠3﹣∠2=50°，∴∠3比∠2大50°．【点评】本题主要利用两个邻补角的和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．21．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】根据BE∥DF，可得∠ABE=∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可．【解答】证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D，在△ABE和△FDC中，∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F∴△ABE≌△FDC（ASA），∴AE=FC．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．22．如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3的度数．【考点】等腰直角三角形．【分析】根据已知求得∠ACB=45°，进而求得∠BDC=∠BCD=45°+∠1，根据三角形内角和定理求得2（45°+∠1）+∠1=180°，即可求得∠1=30°，然后根据三角形内角和180°，从而求得∠3的度数．【解答】解∵∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=45°，∵∠BDC=∠BCD，∠BCD=∠ACB+∠2，∴∠BDC=∠BCD=45°+∠2，∵∠1=∠2，∴∠BDC=∠BCD=45°+∠1，∵∠BDC+∠BCD+∠1=180°，∴2（45°+∠1）+∠1=180°∴∠1=30°，∴∠3==75°．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．23．如图，△ABC中，D，E，F分别为三边BC，BA，AC上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70°，求∠EDF的度数．【考点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理．【分析】先根据三角形内角和定理，求得∠B+∠C=110°，再根据∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，求得∠B+∠DEB+∠C+∠DFC=220°，最后根据三角形内角和，求得∠EDF即可．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=110°，∵∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，∴∠B+∠DEB+∠C+∠DFC=220°，∵∠B+∠DEB+∠C+∠DFC+∠EDB+∠FDC=360°，∴∠EDB+∠FDC=140°，即∠EDF=180°﹣140°=40°【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．24．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．【考点】平行线的性质．【专题】探究型．【分析】由图中题意可先猜测∠AED=∠C，那么需证明DE∥BC．题中说∠1+∠2=180°，而∠1+∠4=180°所以∠2=∠4，那么可得到BD∥EF，题中有∠3=∠B，所以应根据平行得到∠3与∠ADE之间的关系为相等．就得到了∠B与∠ADE之间的关系为相等，那么DE∥BC．【解答】证明：∵∠1+∠4=180°（邻补角定义）∠1+∠2=180°（已知）∴∠2=∠4（同角的补角相等）∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）又∵∠B=∠3（已知），∴∠ADE=∠B（等量代换），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手，得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明．25．【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC= 130°；若∠A=n°，则∠BEC= 90°+n°．【探究】（1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC= 60°+n°；（2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】问题：利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；将∠A的度数换成n°，然后求解即可；探究：（1）利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，然后整理即可得解；（3）根据平角的定义以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式表示出∠BOC，然后整理即可得解．【解答】【问题】解：∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣80°=100°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣50°=130°；由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣n°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣n°）=90°﹣n°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（90°﹣n°）=90°+n°；探究：解：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣n°，∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣n°）=120°﹣n°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（120°﹣n°）=60°+n°；（2）∠BOC=∠A．理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠BOC+∠OBC，∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC），∴∠A=2∠BOC，∴∠BOC=∠A；（3）∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠OCB=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，在△OBC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（90°﹣∠ABC）﹣（90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BOC=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．故答案为：130°，90°+n°；（1）60°+n°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．。

第2课时三角形的高、角平分线、中线1．三角形的重心是三角形三条什么的交点？( )A．中线B．高C．角平分线D．边的垂直平分线2．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是( ) A．三角形的中线B．三角形的角平分线C．三角形的高D．以上答案均正确3．如图2－1－16，在△ABC中，∠C＝90°，D，E为AC上的两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，则下列说法中不正确的是( )A．BC是△ABE的高B．BE是△ABD的中线C．BD是△EBC的角平分线D．∠ABE＝∠EBD＝∠DBC4．如图2－1－17，在△ABC中，BD＝CD，∠ABE＝∠CBE.(1)______是△ABC的中线，DE是________的中线；(2)△ABC的角平分线是________，BF是________的角平分线．5．如图2－1－18，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，BE 为△ABC的中线，如果AC＝12 cm，则AE＝________；如图2－1－16 图2－1－17果∠ABC＝80°，则∠ABD＝________．6．已知△ABC，如图2－1－19，过点A画△ABC的角平分线图2－1－18 AD，中线AE和高线AF .图2－1－197．如图2－1－20，网格中小正方形的边长都为1.在△ABC中，试画出其三边的中线(顶点与对边中点连接的线段)，然后探究三条中线位置及其有关线段之间的关系，你发现了什么有趣的结论？图2－1－208．如图2－1－21所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，且AB＝8 cm，AC＝5 cm，则△ABE比△ACE的周长长多少？△ABE与△ACE的面积有什么关系？说明理由．图2－1－219．有一块肥沃的三角形土地，其中一边与灌渠相邻，如图2－1－22所示．政府要将这块土地按人口分给甲、乙、丙三家，若甲家有6口人，乙家有5口人，丙家有4口人，且每户所分土地都与灌渠相邻，请你帮助设计一个合理的分配方案．图2－1－22答案解析1．A2．A 【解析】因为三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，所以三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分．3．D 【解析】正确理解三角形的高、中线与角平分线的概念．4．AD△BEC BE△ABD【解析】由三角形的中线和角平分线的有关概念可得．5．6 cm 40° 【解析】 由三角形的中线、角平分线的定义计算即可． 6．解：画法及图略．7．解：画图略．(1)三条中线交于一点；(2)在同一条中线上，三条中线的交点到边中点的距离等于它到顶点距离的一半．8．【解析】 比较两个三角形的周长即是比较两个三角形三边之和的大小关系；而比较两个三角形的面积大小，则是比较底与高乘积的大小． 解：△ABE 的周长为AB ＋AE ＋BE ， △ACE 的周长为AC ＋CE ＋EA . 又因为AE 是△ABC 的中线， 所以BE ＝CE .所以△ABE 与△ACE 的周长之差为(AB ＋AE ＋BE )－(AC ＋AE ＋CE )＝AB －AC ＝8－5＝3(cm)，即△ABE 比△ACE 的周长长3 cm. △ABE 和△ACE 的面积相等，理由如下： 因为AD 是△ABE 与△ACE 的高， 所以S △ABE ＝12BE ·AD ，S △ACE ＝12CE ·AD .又因为BE ＝CE ，所以S △ABE ＝S △ACE .9．【解析】 此题要求按人口分给甲、乙、丙三家，也就是说使三家土地的面积比为6∶5∶4；与灌渠相邻，即把BC 边分成(6＋5＋4)份，甲家占6份，乙家占5份，丙家占4份． 解：如图所示．第9题答图第3课时角平分线的判定【知识与技能】探索角平分线的逆定理.【过程与方法】通过探索角平分线逆定理的过程，体会这个定理的作用，增强几何空间意识.【情感与态度】培养良好的逻辑推理能力.【教学重点】重点是掌握角平分线的逆定理.【教学难点】难点是运用角平分线定理简化证明线段相等的问题.一、导入新知写出上面角平分线性质定理的逆命题.这逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并指出证明.【归纳结论】角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.【教学说明】通过逆向证明培养学生的逆向思维，巩固理解角的性质定理与逆定理.二、情境合一，优化思维思考：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，则点P与∠AOB有什么特殊关系？【教学说明】通过实际案例使学生从抽象的理解上升到具体的图形关系上来.三、例题讲解课本第145页例题学生活动：参与教师分析，明确证明思路是应用角平分线逆定理进行证明.【证明】过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB，垂足分别为M，N，Q.∵BE是∠B的平分线，点P在BE上.∴PQ=PM.同理可证：PN=PM.∴PN=PQ. ∴AP 平分∠BAC.教师提问：从这个范例中，你能发现什么结论呢？学生活动：思考后回答，三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.四、运用新知，深化理解1.如图所示，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，且OB=OC.求证：点O 在∠BAC 的平分线上.证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ， ∴∠BDO=∠CED=90°.又∵OB=OC ，（已知）∠BOD=∠COE ，（对顶角相等） ∴△BOD ≌△COE （AAS ） ∴OD=OE.∴点O 在∠BAC 的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上） 2.如图所示，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，E 为OA 上一点，∠PEO+∠PFO=180°.求证：OE+OF=2OD.证明：如图所示，过点P 作PM ⊥OB 于点M. ∵OC 平分∠AOB ，PD ⊥OA ，（已知）∴PD=PM.（角平分线上的点到角两边的距离相等） 在Rt △POD 和Rt △POM 中，,,PO PO PD PM =⎧⎨=⎩（公共边）（已证） ∴Rt △POD ≌Rt △POM ，（HL ） ∴OD=OM.（全等三角形的对应边相等） 又∵∠PEO+∠PFO=180°，（已知） ∠PFM+∠PFO=180°，（平角定义） ∴∠PED=∠PFM.又∵PD ⊥OA ，PM ⊥OB ，（已知） ∴∠PDE=∠PMF=90°.（垂直定义） 在△PBE 和△PMF 中，,,,PDE PMF PED PFM PD PM =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠（已证）∠∠（已证）（已证）∴△POE≌△PMF，（AAS）∴DE=MF，（全等三角形的对应边相等）∴OE+OF=（OD+DE）+（OM-MF）=OD+DE+OD-DE=2OD.（等量代换）五、师生互动，课堂小结教师引导下，学生自主总结，主要问题有：1.这两个定理之间有何区别？2.你还能得到哪些结论？完成练习册中相应的作业.本节综合学习了角平分线的性质定理和逆定理，经历探索角平分线定理和逆定理的过程，体会这两个定理的作用，培养良好的逻辑思维能力.13．3.1 等腰三角形(2)1．探索等腰三角形的判定方法．2．掌握等腰三角形性质与判定的综合应用．重点：等腰三角形判定的应用．难点：等腰三角形性质与判定的综合应用．一、自学指导自学：自学课本P77－78页“思考与例2”，掌握等腰三角形判定方法，并能综合运用等腰三角形的有关知识解决问题，完成下列填空．(8分钟)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC.方法一：过点A作AB的垂直平分线AD，垂足为D.方法二：作△ABC的角平分线AD.数学老师说：方法二是正确的，方法一的作法需要订正．(1)请你简要说明方法一辅助线作法错在哪里；(2)根据方法二的辅助线作法，完成证明过程．总结归纳：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)1．课本P79页练习题1，2，3，4.2．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°，那么△ABC的形状是等腰三角形．3．如图①，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD＝3_cm．4．如图②，AB＝AC，FD⊥BC于D，D E⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝55°．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，OB ＝OC ，∠ABO ＝∠ACO，求证：AB ＝AC.证明：连接BC ，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB，∵∠ABO ＝∠ACO，∴∠ABO ＋∠OBC＝∠A CO ＋∠OCB，∴∠ABC ＝∠ACB，∴AB ＝AC.点拨精讲：通过连接BC ，使AB ，AC 在同一个三角形中，通过证明它们所对的角相等，而证得这两条线段相等．探究2 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，O 为AB 的中点，现将一个三角板EGF 的直角顶点G 放在点O 处，把三角板EGF 绕点O 旋转，EG 交边AC 于点K ，FG 交边BC 于点H.(1)请判断△OHK 的形状； (2)求证：BH ＋AK ＝AC.解：(1)连接OC ，∵在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，O 为AB 的中点，∴∠A ＝∠B ＝∠A CO ＝∠BCO＝45°，∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∴AO ＝CO ＝BO ，又∠KOH ＝90°，∴∠KOH －∠COH＝∠BOC－∠COH，即∠COK＝∠BOH，在△COK 和△BOH 中⎩⎪⎨⎪⎧∠KCO＝∠B＝45°，OC ＝OB ，∠COK ＝∠BOH，∵△COK ≌△BOH(ASA )，∴OK ＝OH ，∵∠KOH ＝90°，∴△OHK 是等腰直角三角形．(2)证明：∵△COK≌△BOH，∴CK ＝BH ，∵CK ＋AK ＝AC ，∴BH ＋AK ＝AC.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．如图，∠A ＝∠B，CE ∥DA ，CE 交AB 于点E. 求证：△CEB 是等腰三角形．证明：∵CE∥DA，∴∠CEB ＝∠A，∵∠A ＝∠B，∴∠CEB ＝∠B，∴CE ＝CB ，即△CEB 是等腰三角形．2．如图，△ABC 中，BA ＝BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 且交BC 于E.求证：△DBE 是等腰三角形．证明：∵DF⊥AC，∴∠A ＋∠D＝90°，∠FEC ＋∠C＝90°，∵BA ＝BC ，∴∠A ＝∠C，∴∠D ＝∠FEC，∵∠FEC ＝∠BED，∴∠D ＝∠BED，∴BE ＝BD ，即△DBE 是等腰三角形．(3分钟)对于判断三角形是否是等腰三角形这一类问题，常常是抓一个三角形有两个角相等，转化到对应的边相等．要善于根据已知条件进行联想，对于复杂的几何图形，可以采用已知条件和结论“两头凑”的方法．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11。