21三角形03

2021中考数学复习专题之三角形03【三角形的面积】基础训练一．选择题1．△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4．过C作∠BAC的角平分线的垂线，垂足为D，连结BD，CD，则S的最大值为（）△BDCA．10B．15C．12D．142．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠CBD＝90°，BC＝4，OB＝OD＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（）A．48B．36C．24D．123．在平面直角坐标系中，由点A（a，3），B（a+4，3），C（b，﹣3）组成的△ABC的面积是（）A．6B．12C．24D．不确定4．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，四边形DHOG面积为（）A．6B．7C．8D．95．如图，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四边形DEFG的面积为14，则△ABC的面积为（）A．24B．28C．35D．306．如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，且直线m∥n．对于下列各值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长：③△PAB的面积：④∠APB的大小．其中不会随点p 的移动而变化的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④7．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是20，则△ABE的面积是（）A ．10B ．6C ．5D ．48．活动课上，小华将两张直角三角形纸片如图放置，已知AC ＝8，O 是AC 的中点，△ABO 与△CDO 的面积之比为4：3，则两纸片重叠部分即△OBC 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．2D ．29．如图，已知△ABC 中，CN ＝3BN ，AM ＝CM ，AN 交BM 于O ．若S △ABC ＝40，则下列正确的是（ ）①S △ABO ＝2；②BO ：MO ＝2：3；③AO ：NO ＝4；④S △AMO ＝12：⑤S △CMO ＝13．A ．①②④B ．②③④C ．②③④⑤D ．①②③④10．已知点A （1，2a +1），B （﹣a ，a ﹣3），若线段AB ∥x 轴，则三角形AOB 的面积为（ ） A ．21B ．28C ．14D ．10.5二．填空题11．如图，点E 、F 都在线段AB 上，分别过点A 、B 作AB 的垂线AD 、BC ，连接DE 、DF 、CE 、CF ，DF 交CE 于点G ，已知AD ＝BE ＝7.5，AE ＝BF ＝CB ＝2.5．如果△DEG 的面积为S 1，△CFG 的面积为S 2，则S 1﹣S 2＝ ．12．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法中正确的序号是 ．①△ABE 的面积等于△BCE 的面积；②∠AFG ＝∠AGF ；③∠FAG ＝2∠ACF ；④BH ＝CH ．13．如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，且AE ：CE ＝3：1，S △CEP ＝1，则S △BPC ＝ ．14．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝120°，点D 在边BC 上，且AD ＝4．BD ：CD ＝3：2．当△ABD 面积最大时，AB 的长为 ．15．如图，AD 是△ABC 的中线，G 是AD 上的一点，且AG ＝2GD ，连结BG ，若S △ABC ＝12，则S △ABG 为 ．三．解答题16．在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，﹣2），C（a，b），且+|a+2b﹣7|＝0．（1）求点C的坐标；（2）画出△ABC并求△ABC的面积；（3）若BC与x轴交点为点M，求点M坐标．17．如图，长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x为何值时，△APE的面积等于32cm2？（提醒：同学们，要分类讨论哦！）18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高线，已知AE＝4，△ABD的面积是6，求BC的长．19．在平面直角坐标系中，已知以A（﹣1，0）或以B（3，0）为直角顶点的直角三角形ABC的面积为6，求顶点C的坐标．20．已知A（0，2），B（4，0），C（6，6）（1）在图中的直角坐标系中画出△ABC；（2）求△ABC的面积．参考答案一．选择题1．解：如图：延长AB ，CD 交点于E ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∵CD ⊥AD ，∴∠ADC ＝∠ADE ＝90°，在△ADE 和△ADC 中，，∴△ADE ≌△ADC （ASA ），∴AC ＝AE ，DE ＝CD ；∵AC ﹣AB ＝4，∴AE ﹣AB ＝4，即BE ＝4；∵DE ＝DC ，∴S △BDC ＝S △BEC ，∴当BE ⊥BC 时，S △BDC 面积最大，即S △BDC 最大面积＝××10×4＝10．故选：A ．2．解：在Rt△OBC中，由勾股定理，得CO＝＝＝5．∵AC＝10，∴AO＝5，∴OA＝OC，∵OB＝OD＝3，∴四边形ABCD是平行四边形．四边形ABCD的面积为BC•BD＝4×（3+3）＝24，故选：C．3．解：∵点A（a，3），B（a+4，3），∴AB＝4，∵C（b，﹣3），∴点C在直线y＝﹣3上，∵AB ：y ＝3与直线y ＝﹣3平行，且平行线间的距离为6， ∴S ＝×4×6＝12，故选：B ．4．解：连接OC ，OB ，OA ，OD ，∵E 、F 、G 、H 依次是各边中点，∴△AOE 和△BOE 等底等高，所以S △OAE ＝S △OBE ， 同理可证，S △OBF ＝S △OCF ，S △ODG ＝S △OCG ，S △ODH ＝S △OAH ， ∴S 四边形AEOH +S 四边形CGOF ＝S 四边形DHOG +S 四边形BFOE ， ∵S 四边形AEOH ＝6，S 四边形BFOE ＝7，S 四边形CGOF ＝8， ∴6+8＝7+S 四边形DHOG ，解得S 四边形DHOG ＝7．故选：B ．5．解：连接EG ，CG ，∵BD ＝DE ＝EC ，∴BD ＝BC ，∵AG ＝BG ＝AB ，∴S △BDG ＝S △BCG ＝S △ABC ＝S △ABC ，同理S △ECF ＝S △ABC ＝S △ABC ，S △AFG ＝×S △ABC ＝S △ABC ，∴S 四边形DEFG ＝S △ABC ﹣S BDG ﹣S △CEF ﹣S △AGF ＝S △ABC ＝14，∴S △ABC ＝30．故选：D ．6．解：①∵直线m ∥n ，∴点P 到直线n 的距离不变；②∵PA 、PB 的长度随点P 的移动而变化，∴△PAB 的周长会随点P 的移动而变化；③∵点P 到直线n 的距离不变，AB 的大小，∴△PAB 的面积不变；④直线m 、n 之间的距离不随点P 的移动而变化，∠APB 的大小随点P 的移动而变化； 故不会随点p 的移动而变化的是①③，故选：B ．7．解：∵AD 是BC 上的中线，∴S △ABD ＝S △ACD ＝S △ABC ，∵BE 是△ABD 中AD 边上的中线，∴S △ABE ＝S △BED ＝S △ABD ，∴S △ABE ＝S △ABC ，∵△ABC 的面积是20，∴S △ABE ＝＝5． 故选：C ．8．解：∵点O 是直角△ABC 斜边AC 的中点，∴S △ABO ＝S △CBO ，OB ＝OA ＝OC ，∵△ABO 与△CDO 的面积之比为4：3，∴△CBO 与△CDO 的面积之比为4：3，∴OB ：OD ＝4：3，设OB ＝4x ，则OD ＝3x ，∴OA ＝OC ＝4x ，∵AC ＝8，∴4x +4x ＝8，解得x ＝1，在Rt △ODC 中，OD ＝3，OC ＝4，∴CD ＝＝，∴S △ODC ＝×3×＝，而△CBO 与△CDO 的面积之比为4：3，∴S △OBC ＝×＝2．故选：D ．9．解：过M 点作MD ∥BC ，交AN 于点N ，连接OC ，则△DOM ∽△NOB ，∴DM ：BN ＝DO ：ON ＝MO ：BO ，∵AM ＝CM ，∴DM 为△ANC 的中位线，∴AD ＝DN ，BC ＝2DM ，∵CN ＝3BN ，∴DM ：BN ＝3：2，BN ：BC ＝1：4，∴DO ：ON ＝MO ：BO ＝3：2，∴BO ：MO ＝2：3，故②正确；AO ：NO ＝4：1，故③正确；AO ：AN ＝4：5，OM ：BM ＝3：5，∵S △ABC ＝40，AM ＝CM ，BN ：BC ＝1：4，∴S △ABN ＝10，S △ABM ＝20，∵S △ABO ：S △ABN ＝AO ：AN ＝4：5，S △AMO ：S △ABM ＝MO ：BM ＝3：5，∴S △ABO ＝8，故①错误；S △AMO ＝12，故④正确；∵AM ＝CM ，∴S △CMO ＝S △AMO ＝12，故⑤错误．故选：B ．10．解：∵AB ∥x 轴，∴2a +1＝a ﹣3．解得a ＝﹣4．∴A （1，﹣7），B （4，﹣7）．∴AB ＝3．∴△AOB 的面积为：×3×7＝10.5，故选：D ．二．填空题11．解：∵AD ＝BE ＝7.5，AE ＝BF ＝CB ＝2.5．∴AF ＝BE ，∴AD ＝AF ＝7.5，在△ADE 和△BEC 中，，∴△ADE ≌△BEC （SAS ），∴S △DAE ＝S △CBE ，∵S 1＝S △DAF ﹣S △DAE ﹣S △EFG ，S 2＝S △CBE ﹣S △EFG ﹣S △CBF ，∴S 1﹣S 2＝S △DAE +S △CBF ＝+＝．故答案为．12．解：∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG ＝2∠ACF ，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC ＝∠HCB ，即不能推出BH ＝CH ，故④错误；故答案为：①②③．13．解：连接PA ，∵D 是AB 的中点，∴S △ADC ＝S △BCD ，S △PAD ＝S △PBD ，∴S △BPC ＝S △APC ，∵AE ：CE ＝3：1，S △CEP ＝1，∴S △AEP ＝3S △CEP ＝3，∴S △APC ＝4，∴S △BPC ＝4，故答案为4．14．解：作DE ⊥AB 于E ，∴S △ABD ＝AB •DE ，∵DE ⊥AB ，∴DE ≤AD ．当DA ⊥AB 时，DE 与DA 重合，此时，DE 取得最大值4，△ABD 面积最大，作CF ⊥AB ，交BA 的延长线于F ，∴DE ∥CF ，∴△BDE ∽△BCF ， ∴＝，即＝， ∴＝，∴CF ＝，∵∠BAC ＝120°，∴∠CAF ＝60°，∴∠ACF ＝30°∴AF ＝tan30°•CF ＝×＝，∵AD ∥CF ， ∴＝＝，∴AB ＝． 故答案为．15．解：∵AD 是△ABC 的中线，S △ABC ＝12，∴S △ABD ＝S △ABC ＝×12＝6，∵AG ＝2GD ，∴S △ABG ＝S △ABD ＝×6＝4，故答案为：4．三．解答题16．解：（1）∵+|a +2b ﹣7|＝0， ∴， 解得：，∴C （1，3）；（2）如图，△ABC 为所作，如图，分别过点B ，点C 作x 轴的平行线BF ，DE ，过点A ，点B 作y 轴的平行线DF ，EB ， ∴S △ABC ＝S 四边形DFBE ﹣S △ADC ﹣S △BCE ﹣S △ABF ，＝4×5﹣﹣﹣，＝8；（3）设点M 的坐标为（m ，0），∵S△ABC ＝S△AMC+S△ABM，S△ABC＝8，∴，∴AM＝，∴m﹣（﹣1）＝，∴m＝，∴M（，0）．17．解：①如图1，当P在AB上时，∵△APE的面积等于32，∴×2x•8＝32，解得：x＝4；②当P在BC上时，∵△APE的面积等于32，∴S 矩形ABCD ﹣S △CPE ﹣S △ADE ﹣S △ABP ＝32，∴10×8﹣（10+8﹣2x ）×5﹣×8×5﹣×10×（2x ﹣10）＝32， 解得：x ＝6.6；③当P 在CE 上时，∴（10+8+5﹣2x ）×8＝32，解得：x ＝7.5＜（10+8+5），x ＝7.5时2x ＝15，P 在BC 边，∴舍去；答：4或6.6．18．解：∵AD 为△ABC 的中线，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×6＝12， ∴×AE •BC ＝12，即4•BC ＝12，∴BC ＝6．19．解：设C 点的纵坐标为t ，∵A （﹣1，0），B （3，0），∴AB ＝4，∵S＝×4×|t|＝6，解得|t|＝3，△ABC∴点C的坐标为（﹣1，3）或（3，3）或（﹣1，﹣3）或（3，﹣3）．20．解：（1）在平面直角坐标系中画出△ABC如图所示：（2）△ABC的面积＝6×6﹣×4×2﹣﹣＝36﹣4﹣6﹣12＝14．21 / 21。

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题03 三角形一、单选题1．（2021·上海崇明区·九年级一模）已知点G 是ABC 的重心，如果连接AG ，并延长AG 交边BC 于点D ，那么下列说法中错误的是（ ）A ．BD CD =B ．AG GD =C ．2AG GD = D ．2BC BD =【答案】B【分析】根据三角形重心的定义和性质解答即可．【详解】解：∵点G 是ABC 的重心，∵BD CD =，2AG GD =，2BC BD =，∵A 、C 、D 正确，B 错误，故选B ．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．2．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（ ）A ．53B ．73C ．83D ．103【答案】C【分析】因为点G 是ABC 的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1，可知点D 为BC 的中点，21AG GD =，根据GE AC ⊥，可得90AEG ∠=︒，进而证得AEG △∵ACD △，从而得到EG AG CD AD=，代入数值即可求解． 【详解】如图，连接AG 并延长交BC 于点D ．点G 是ABC 的重心，∴点D 为BC 的中点，21AG GD =， 8CB =，∴142CD BD BC ===，GE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，90C ∠=︒，∴90AEG C ∠=∠=︒，EAG CAD ∠=∠（公共角），∴AEG △∵ACD △， ∴EG AGCD AD =，21AG GD =，∴23AG AD =，∴243EG AG AD ==，∴83EG =．故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．二、填空题3．（2021·上海长宁区·九年级一模）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB AC ==32AD CD ==，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC 是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于_________．【答案】4【分析】根据相似三角形的判定及性质可得BC ，ACB CAD ∠=∠，继而可证//BC AD ，根据等腰三角形三线合一性质可得CF ＝BF ＝12BC ＝1，34AE =，∵AFC ＝∵FAE ＝90°，继而在Rt∵AFC 中，根据勾股定理可得AF ，继而在Rt∵AEF 中，由勾股定理即可求解．【详解】解：∵AB AC =，DA DC =，∵ABC DAC △∽△∵2AC BC AD =⋅，ACB CAD ∠=∠，∵AB AC ==32AD CD ==， ∵2BC =，又ACB CAD ∠=∠，∵//BC AD ，∵AB ＝AC又点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．∵AF∵BC ，AF∵AD ，CF ＝BF ＝12BC ＝1，34AE =， 即∵AFC ＝∵FAE ＝90°，在Rt∵AFC 中，由勾股定理，得：AF ===∵在Rt∵AEF 中，由勾股定理，得：4EF ===．【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是求出综合利用所学知识求得BC ，AF 的长度．4．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6．则该三角形的重心到其直角顶点的距离是________．【分析】根据题意，画出图形，如解图所示，连接CO 并延长交AB 于点D ，利用勾股定理求出AB ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD ，再利用三角形重心的性质即可求出结论．【详解】解：Rt∵ABC 中，∵ACB=90°，AC=6，BC=3，点O 为三角形的重心，连接CO 并延长交AB 于点D ，，CD 为∵ABC 的中线，∵CD=12AB∵O 为∵ABC 的重心，∵该三角形的重心到其直角顶点的距离CO=23 【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和重心的定义及性质，掌握勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和重心的定义及性质是解题关键．5．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知AD 、BE 是ABC 的中线，AD 、BE 相交于点F ，如果AD=3，那么AF=______．【答案】2【分析】由三角形的重心的概念和性质，由AD 、BE 为∵ABC 的中线，且AD 与BE 相交于点F ，可知F 点是三角形ABC 的重心，根据重心的特点即可求解．【详解】∵AD 、BE 是ABC 的中线，AD 、BE 相交于点F ，∵F 点是三角形ABC 的重心， ∵AF=23AD=23×3=2。

核心考点03 三角形有关概念与性质目录考点一：三角形考点二：三角形的角平分线、中线和高考点三：三角形的面积考点四：三角形的稳定性考点五：三角形三边关系考点六：三角形内角和定理考点七：三角形的外角性质一．三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．（4）三角形具有稳定性．二．三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．三．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S＝×底×高．△（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．四．三角形的稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．五．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．六．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．七．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．一．三角形（共1小题）1．（2018春•浦东新区期末）设M 表示直角三角形，N 表示等腰三角形，P 表示等边三角形，Q 表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二．三角形的角平分线、中线和高（共5小题）2．（2021春•浦东新区期中）三角形的角平分线、中线、高都是（ ）A ．直线B ．线段C ．射线D ．以上都不对3．（2022春•静安区期中）下列判断错误的是（ ）A ．三角形的三条高的交点在三角形内B ．三角形的三条中线交于三角形内一点C ．直角三角形的三条高的交点在直角顶点D ．三角形的三条角平分线交于三角形内一点4．（2021春•徐汇区校级期中）下列说法中正确的是（ ）A ．三角形的三条高交于一点B ．有公共顶点且相等的两个角是对顶角C ．两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等D ．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直5．（2021春•青浦区期中）直角三角形的三条高的交点在 ．6．（2021春•上海期中）在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是 条．三．三角形的面积（共10小题）7．（2021春•崇明区期末）如图，已知a ∥b ，点A 、E 在直线a 上，点B 、C 在直线b 上，且BD ＝2BC，则考点精讲下列说法中正确的是（ ）A ．S △BDE ＞2S △ABCB ．S △BDE ＜2S △ABC C ．S △BDE ＝2S △ABCD ．无法确定8．（2022春•杨浦区校级期末）如图，直线AB ∥CD ，点E 、N 位于直线AB 上，点F 、M 、G 位于直线CD 上，且EN ：FG ＝1：2，若△EMN 的面积为5，则△EFG 的面积为 ．9．（2022春•杨浦区校级期中）如图，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点E ，BF ＝FC ，其中面积相等的三角形有 对．10．（2022春•闵行区校级期中）如图：已知a ∥b ，AD ＝3，BC ＝5，S △AOD ＝2.25，S △AOB ＝3.75，则S △BOC ＝ ．11．（2022春•宝山区校级月考）如图，已知直线a ∥b ，点A 、B 在直线a 上，点C 、D 在直线b 上，如果△ABC 的面积和△BCD 的面积之比为2：3，那么AB ：CD 的值为 ．12．（2021春•徐汇区校级期中）如图，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点E ，三角形ABE 的面积等于4，三角形CBE 的面积等于5，那么三角形DBC 的面积等于 ．13．（2021春•杨浦区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AD ＝DC ，AE ⊥BD ，如果△ABC 的面积是12，那么△ABE 的面积是 ．14．（2021春•松江区期中）如图，已知点B 在线段CF 上，AB ∥CD ，AD ∥BC ，DF 交AB 于点E ，联结AF 、CE ，S △BCE ：S △AEF 的比值为 ．15．（2021春•浦东新区期中）如图，在四边形BCEF 中，BF ∥AD ∥CE ，S △ABC ＝3，则△DEF 的面积是 ．16．（2021春•静安区校级期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8cm ，AC ＝6cm ，点E 是BC 的中点，动点P 从A 点出发，先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动，然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动．若设点P运动的时间是t 秒，那么当t ＝ ，△APE 的面积等于6．四．三角形的稳定性（共1小题）17．（2017秋•兴隆台区校级月考）木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即图中AB、CD两个木条），这样做根据的数学道理是 ．五．三角形三边关系（共5小题）18．（2021春•浦东新区月考）已知三角形的两边长分别为4和9，则下列数据中，能作为第三边长的是（ ）A．2B．3C．4D．919．（2022春•杨浦区校级期末）下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是（ ）A．7cm，5cm，10cm B．8cm，6cm，4cmC．10cm，10cm，5cm D．5cm，5cm，10cm20．（2022春•普陀区校级期末）已知三角形中两条边的长分别为2和7，则第三边a的取值范围是 ．21．（2022春•徐汇区校级期末）三角形的三边分别为5，1﹣a，9，则a的取值范围为 ．22．（2022春•徐汇区校级期末）周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有 个．六．三角形内角和定理（共8小题）23．（2022春•杨浦区校级期中）在△ABC中，如果∠A+∠B＝135°，且∠B＝2∠C，那么△ABC是 三角形．24．（2022春•上海期末）直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（ ）A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对25．（2020春•虹口区期末）如果一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么这个三角形中最大的一个内角等于 度．26．（2021春•徐汇区校级期末）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC 沿直线AD折叠后，点C落到点E处，∠BAE＝30°，则∠DAC的度数为 ．27．（2022春•嘉定区校级期末）在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，∠BAD＝50°（如图1）．（1）若E在△ABC的AC边上，且∠ADE＝∠B，求∠EDC的度数；（2）若∠B＝30°，E在△ABC的AC边上，△ADE是等腰三角形，求∠EDC的度数；（简写主要解答过程即可）；（3）若AD将△ABC分割成的两个三角形中有一个是等腰三角形，求∠B的度数．（直接写出答案）．28．（2022春•上海期末）在△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？若∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？若∠1＝∠ABC ，∠2＝∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？29．（2022春•杨浦区校级期中）如图1，已知等腰△ABC 中，∠A ＝∠C ＝30°，动点D 在AB 的平行线l 上，联结AD ．（1）如图2，若∠B ＝∠ADC ，说明AD ∥BC 的理由；（2）如图3，当∠CDA ＝∠DAB 时，△ACD 是什么三角形？为什么？（3）过点A 作l 的垂线，垂足为H ，若∠ADH ＝60°，求∠DAC 的度数．30．（2022春•宝山区校级月考）已知：如图，△ABC ．求证：∠A +∠B +∠ACB ＝180°．证明：如图，作BC 延长线CD ，过点C 作CE ∥AB ．因为CE ∥AB （已知），所以∠1＝ （ ）∠2＝ （ ）因为∠1+∠2+∠ACB＝180°（ ）所以∠A+∠B+∠C＝180°（ ）七．三角形的外角性质（共8小题）31．（2021春•浦东新区期末）将一副三角板如图摆放，斜边AB与直角边DE相交于点F，则∠BFE ＝ ．32．（2021春•浦东新区期中）如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝ ．33．（2021春•宝山区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求：（1）∠ACD的度数；（2）∠AEC的度数．34．（2022春•杨浦区校级期末）如图，已知在△ABC中，∠A＝（3x+10）°，∠B＝（2x）°，∠ACD是△ABC的一个外角，且∠ACD＝（6x−10）°，求∠A的度数．35．（2021春•浦东新区期末）如图，已知∠BAC＝70°，D为△ABC的边BC上的一点，且∠CAD＝∠C，∠ADB＝60°．求∠B的度数．36．（2021春•静安区校级期末）△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角的度数之比是2：3：4，求∠A的度数．37．（2020春•杨浦区期末）如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．解：因为DF⊥AB（已知），所以∠DFB ＝90°（垂直的意义）．因为∠DFB +∠B +∠D ＝180°（ ），又∠D ＝42°，所以∠B ＝ °（等式性质）．因为∠ACD ＝∠A +∠B （ ），又∠A ＝35°，∠B ＝ °，所以∠ACD ＝ °（等式性质）．38．（2018春•浦东新区期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且∠AED ＝∠B ，延长DE 与BC 的延长线交于点F ，∠BAC 和∠BFD 的角平分线交于点G ．那么AG 与FG 的位置关系如何？为什么？解：AG ⊥FG ．将AG 、DF 的交点记为点P ，延长AG 交BC 于点Q ．因为AG 、FG 分别平分∠BAC 和∠BFD （已知）所以∠BAG ＝ ， （角平分线定义）又因为∠FPQ ＝ +∠AED ， ＝ +∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∠AED ＝∠B （已知）所以∠FPQ ＝ （等式性质）（请完成以下说理过程）一、单选题1．（2022春·上海静安·七年级统考期中）下列判断错误的是（）巩固提升A．三角形的三条高的交点在三角形内B．三角形的三条中线交于三角形内一点C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点2．（2022春·上海·七年级专题练习）已知三条线段长分别为2cm、4cm、a cm，若这三条线段首尾顺次相接能围成一个三角形，那么a的取值可以是()A．7B．4C．2D．13．（2019春·七年级课时练习）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（）A．两点之间线段最短B．垂线段最短．C．两定确定一条直线D．三角形具有稳定性4．（2019春·七年级课时练习）如图，三角形的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个5．（2022春·上海·七年级专题练习）三角形的角平分线、中线和高都是()A．直线B．线段C．射线D．以上答案都不对6．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE 交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（ ）A ．45°+n °B ．90°﹣n °C ．90°+n °D ．180°﹣n °7．（2021春·上海·七年级上海市第二初级中学校考期中）下列说法中正确的是（ ）A ．三角形的三条高交于一点B ．有公共顶点且相等的两个角是对顶角C ．两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等D ．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直二、填空题8．（2022春·上海闵行·七年级上海市实验学校西校校考阶段练习）在ABC V 中，已知A B C =+∠∠∠，那么ABC V 的形状________．9．（2022春·上海·七年级专题练习）已知△ABC ，a ＝6，b ＝10，则第三边c 的取值范围是_____．10．（2022春·上海·七年级专题练习）在ABC V 中，20A Ð=°，=60B а，100C Ð=°，那么ABC V 是______三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角” ）11．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 是斜边AC 上的高．如果∠1＝54°，那么∠C ＝_____度．12．（2022春·上海杨浦·七年级校考期末）如图，BA CE ^于A 点，过A 点作DF //BC ，若135EAF Ð=°，则B Ð=______．13．（2022春·上海·七年级专题练习）一个四边形纸片ABCD ，∠B ＝∠D ，把纸片按如图所示折叠，使点B 落在AD 边上的B ′点，AE 是折痕，若∠C ＝86°，那么∠AEB ＝__°．14．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）如图所示，在Rt ABC △中，=90°C Ð，=30A а，BD 是角平分线，则=BDC Ð________°．15．（2022春·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，在ABC V 中，AH 是边BC 上的高，且:2:1BH CH =，如果2ACH S =△，那么ABC S =V _____．16．（2022春·七年级单元测试）现有四根木棒，长度分别为4cm 、6cm 、8cm 、10cm ，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为_____个．17．（2022春·上海·七年级专题练习）已知AB CD ∥，60ACD Ð=°，:2:3BAE CAE ÐÐ=，4FCD FCE Ð=Ð，若78AEC Ð=°，则AFC Ð=____________．18．（2022春·上海闵行·七年级上海市七宝中学校考期中）如图，1:2:31:3:6ÐÐÐ=，则4Ð=___________．19．（2022春·上海·七年级校考期中）如图，AD BC ∥，AC 、BD 交于点E ，BF FC =，其中面积相等的三角形有______对．三、解答题20．（2022秋·上海闵行·七年级校考期末）已知三角形纸片ABC （如图），将纸片折叠，使点A 与点C 重合，折痕分别与边AC 、BC 交于点D 、E ，点B 关于直线DE 的对称点为点F ．(1)画出直线DE 和点F ；(2)连接EF 、FC ，如果48FEC Ð=°，求DEC Ð的度数；(3)连接AE 、BD 、DF ，如果25BE EC =，且DEF V 的面积为4，求ABC V 的面积．21．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，已知AB //CD ，∠1＋3＝90°，BC 、CF 分别平分∠ABF 和∠BFE ，试说明AB //EF 的理由．解：∵AB //CD （已知），∴∠1＝∠2（ ）．∵∠1＋∠3＝90°（已知），∴∠2＋∠3＝90°（ ）．即∠BCF ＝90°．∵　＝180°（三角形内角和等于180°），∴ ＝90°（等式性质）．∵BC 、CF 分别平分∠ABF 和∠BFE （已知），∴ （ ）．∴∠ABF ＋∠BFE ＝180°（ ）．∴AB //FE （ ）．22．（2022春·上海·七年级校考期末）根据要求作图并写好结论：(1)画三角形ABC ，使得AB 的长度等于5厘米，40A Ð=°，50C Ð=°；(2)在三角形ABC 中，作出B Ð的角平分线BN ；(3)在三角形ABC 中，作出BC 边上中线AM ．23．（2021春·上海·七年级校考期中）如图，按下列要求画图并解答（不要求写画法，只写出结论）．(1)过点A 画BC 的平行线AD ；(2)画出△ABC 的边BC 上的高AH ；(3)在直线AD 上能否找一个点E （点E 不与点A 重合）使得△EBC 的面积与△ABC 的面积相等，如果能找到，请画出△EBC （画出一个三角形即可）．24．（2022春·上海·七年级期中）如图，直线AC BD ∥，连接AB ，直线,AC BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P 落在某个部分时，连接,PA PB ，构成,,PAC APB PBD ÐÐÐ三个角．（提示：有公共端点的两条重合射线所组成的角是0°角）(1)当动点P 落在第①部分时，求证：APB PAC PBD Ð=Ð+Ð；(2)当动点P 落在第②部分时，APB PAC PBD Ð=Ð+Ð是否成立？请说明理由．(3)当动点P 在第③部分时，全面探究,,PAC APB PBD ÐÐÐ之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．25．（2021春·上海·七年级校考期中）如图1，1A BC Ð、1A CM Ð的角平分线2BA 、2CA 相交于点2A ，(1)如果164A Ð=°，那么2A Ð的度数是多少，试说明理由并完成填空；(2)如图2，164A Ð=°，如果2A BC Ð、2A CM Ð的角平分线3BA 、3CA 相交于点3A ，请直接写出3A Ð度数；(3)如图2，重复上述过程，1n A BC -Ð、1n A CM -Ð的角平分线n BA 、n CA 相交于点n A 得到n A Ð，设1A q Ð=°，请用q 表示n A Ð的度数（直接写出答案）解：（1）结论：2Ð=A ______度．说理如下：因为2BA 、2CA 平分1A BC Ð和1A CM Ð（已知），所以121A BC Ð=Ð，122A CM Ð=Ð（角平分线的意义）．因为111A CM A BC A Ð=Ð+Ð，221A Ð=Ð+Ð（ ）（完成以下说理过程）26．（2022春·上海·七年级专题练习）如图1，∠A 1BC 、∠A 1CM 的角平分线BA 2、CA 2相交于点A 2，(1)如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由；解：（1）结论：∠A2＝ 度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（ ）．因为∠A1CM＝∠A1BC+∠ ，∠2＝∠1+∠ （ ），（完成以下说理过程）(2)如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度数；(3)如图2，重复上述过程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分线BAn、CAn相交于点An得到∠An，设∠A1＝θ，请用θ表示∠An（直接写出答案）27．（2022春·上海·七年级校考期中）如图1，有一块三角形菜地，若从顶点A修一条小路交BC于点D，小路正好将菜地分成面积相等的两部分．(1)画出D点的位置并说明理由．(2)假设在菜地中有一点E（如图2所示），BC上是否存在点F，使折线AEF将三角形ABC的面积分为面积相等的两部分．若存在，请画出F点的位置．28．（2022春·上海·七年级专题练习）如图，由16个相同的小正方形组成的一个大正方形ABCD，其中点A 、点E 、点F 均在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）．(1)三角形AEF 的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD 面积的；（填“几分之几”）(2)如果三角形AEF 的面积是28平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方厘米；(3)如备用图，若点G 也在图中的格点上，且三角形AFG 的面积是大正方形ABCD 面积的18，那么符合要求的点G 有 个．29．（2022春·上海·七年级专题练习）已知：如图所示，ABC V 中，D 、E 分别在边AC 、AB 上，CD =3AD ，BE ：AE =3：2，求DF ：FB 的值．。

考点三三角形及其性质知识点整合一、三角形的基础知识1．三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．考向一三角形的三边关系在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．典例引领1．等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，则它的周长是（）A．12cm B．9cm C．12cm和9cm D．以上都不正确【答案】A【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【详解】解：当等腰三角形的腰为5cm，底为2cm时，+>∵525∴5cm，5cm，2cm能够组成三角形，++=；此时周长为55212cm当等腰三角形的腰为2cm，底为5cm时，+=<，∵2245∴2cm，2cm，5cm不能够组成三角形．则这个等腰三角形的周长是12cm．故选：A．2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．2，3，6B．4，4，8C．4，7，11D．5，8，12【答案】D【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断．【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得+=<，不能组成三角形；A、2356+=，不能组成三角形；B、448+=，不能组成三角形；C、4711+=>，能够组成三角形．D、581312故选：D．3．下列木棒中，能与3cm和7cm的两根木棒围成一个三角形的是（）A．7cm B．4cm C．3cm D．10cm【答案】A【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系：两边之和大于第三边、两边之差小于第三边成为解题的关键．根据三角形的三边关系可得第三边的取值范围，然后结合选项即可解答．【详解】解：设第三边为c ，则3773c +>>-，即104c >>．结合选项可知，仅有A 选项符合要求．故选A ．4．在ABC 中，,AB AC AC =边上的中线BD 把ABC 的周长分为21和27的两部分，则BC 的长为（）A ．12B ．12或20C ．18D ．18或20得212272y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或22y x y y ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩解得1218x y =⎧⎨=⎩或2014x y =⎧⎨=⎩经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为5．下面不能组成三角形的三条线段是（）A ．10cm 1cma b c ===，B ．6cm a b c ===C ．3cm 4cm 7cma b c ===，，D ．2cm 4cm 5cma b c ===，，【答案】C【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可．【详解】解：A 、∵11010+>，∴三条长分别为10cm 10cm 1cm ，，的线段能构成三角形，不符合题意；B 、∵666+>，∴三条长分别为6cm 6cm 6cm ，，的线段能构成三角形，不符合题意；C 、∵347+=，∴三条长分别为3cm 4cm 7cm ，，的线段不能构成三角形，符合题意；D 、∵245+>，∴三条长分别为2cm 4cm 5cm ，，的线段能构成三角形，不符合题意；故选；C ．6．已知一个三角形有两条边相等，一边长为4cm ，另一边长为7cm ，则这个三角形的周长为（）A ．15cmB ．18cmC ．不能确定D ．15cm 或18cm 【答案】D【分析】本题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是利用三角形的三边关系确定第三边的长度．分情况考虑，当相等的两边是4cm 时或当相等的两边是7cm 时，根据三角形的三边关系进行验证，然后求出三角形的周长即可得答案．【详解】解：∵一个三角形有两条边相等，一边长为4cm ，另一边长为7cm ，∴①当相等的两边是4cm 时，三边长为：4、4、7，∵447+>，符合三角形三边关系，∴这个三角形的周长为15cm ，②当相等的两边是7cm 时，三边长为：4、7、7，∵477+>，符合三角形三边关系，∴这个三角形的周长为18cm ，综上所述：这个三角形的周长为15cm 或18cm ，故选：D ．变式拓展7．已知a 、b 、c 是ABC 的三边，3a =，7b =，c 为整数，则c 的最小值为．【答案】5【分析】本题考查三角形三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．掌握三角形三边的关系是解题的关键．根据已知的两边确定第三边的取值范围，再根据c 为整数，即可得出答案．【详解】解：∵a 、b 、c 是ABC 的三边，3a =，7b =，∴7373c -<<+，即4c 10<<，又∵c 为整数，∴c 的最小值为5，故答案为：5．8．在ABC 中，8AB =，4BC =，则AC 边上的中线BD 长x 的取值范围是．【答案】26x <<【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，构造全等三角形是解题的关键．延长BD 到E ，使DE BD =，连接AE ，证明ADE CDB ≌，再利用三边关系即可得到答案．【详解】解：延长BD 到E ，使DE BD =，连接AE ，在ADE V 与CDE 中，BD DE ADE CDE AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADE CDB ∴ ≌，AE BC ∴=，在ABE 中，有AB AE BE AB AE -<<+，即12BD 4<2<，26x ∴<<，故答案为：26x <<．三、解答题9．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程()2244130x m x m -+++=的两个实数根，(1)若()()12225x x --=，求m 的值；(2)已知Rt ABC1x ，2x 恰好是ABC 另外两条直角边的长，求这个Rt ABC 的周长．10．在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标为：()()()3,2,4,3,1,1A B C -----，(1)若111A B C △与ABC 关于y 轴对称，请写出点111,,A B C 的坐标（直接写答案）：1A ；1B ；1C ；(2)ABC 的面积为；(3)在y 轴上画出点P ，使PB PC +最小．ABC BDFE ABE BCD ACF S S S S S ∆∆∆∆=--- ，则111351532222ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-故答案为：6.5；（3）解：由题意可得y 轴是线段BB 因此1PB PC PB PC +=+，由三角形的三边关系得11PB PC B C +>，故当1P C B 、、三点共线时，PB PC +最小，且最小值为1CB ，连接1CB ，与y 轴的交点即为所求点P （如图所示）．11．已知a ，b ，c 是三角形的三边长．(1)化简：a b c b c a c a b --+--+--；(2)若10a =，8b =，6c =，求（1）中式子的值．12．已知,,a b c 是三角形的三边长．(1)化简：3a b c a c b --++-；(2),a b 满足()2720a b -+-=，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由．13．如图，在ABC 中()AB BC >，2AC BC =，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成50和35两部分，求AC 和AB 的长．【答案】40AC =，25AB =【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和三边的关系，先根据2AC BC =和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①50AC CD +=，②35AC CD +=，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解题的关键是找到等量关系，列出方程．【详解】解：设BD CD x ==，则24AC BC x ==，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成50和35两部分，AB BC >，①当50AC CD +=，35AB BD +=时，450x x +=，解得：10x =，441040AC x ∴==⨯=，10BD CD ==，35351025AB BD ∴=-=-=，2520AB BC ∴=>=，满足条件；20254540BC AB AC +=+=>= ，满足三边关系，40AC ∴=，25AB =；②当35AC CD +=，50AB BD +=时，435x x +=，解得：7x =，44728AC x ∴==⨯=，7BD CD ∴==，5050743AB BD =-=-=，28144243AC BC AB +=+=<= ，∴不满足三角形的三边关系，∴不合题意，舍去，综上：40AC =，25AB =．14．已知关于x 的一元二次方程()22280x m x m --+-=．(1)求证：不论m 为何值，方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m 的值；(3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值．考向二三角形的内角和外角在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．典例引领1．如图，ABC ADE △≌△，点D 在边BC 上，40EAC ∠=︒，则B ∠等于（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒2．如图，等腰三角形ABC 中，AB AC =，24A ∠=︒，线段AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则CBE ∠等于（）A ．78︒B ．60︒C ．54︒D ．50︒3．如图，点D ，E 为ABC 的边BC 上的点，且满足DA DB EA EC ==，，若30B ∠=︒，40C ∠=︒，则DAE ∠的度数为（）A ．36︒B ．38︒C ．40︒D ．42︒【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据DAE BAC BAD CAE ∠=∠-∠-∠，只要求出BAC DAB CAE ∠∠∠，，即可解决问题．【详解】解：∵3040B C ∠=︒∠=︒，，∴1803040110BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵DA DB EA EC ==，，∴3040B DAB C EAC ∠=∠=︒∠=∠=︒，，∴110304040DAE BAC BAD CAE ∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．4．如图，已知ABC 中，50ABC ∠=︒，P 为ABC 内一点，过点P 的直线MN 分别交AB BC 、于点M 、N ，若M 在PA 的垂直平分线上，N 在PC 的垂直平分线上，则APC ∠的度数为（）A ．100︒B ．105︒C ．115︒D ．无法确定【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．根据三角形的内角和得到130BMN BNM ∠+∠=︒，根据线段的垂直平分线的性质得到AM PM PN CN ==，，由等腰三角形的性质得到MAP MPA CPN PCN ∠=∠∠=∠，，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得,BMN MAP MPA BNM CPN PCN ∠=∠+∠∠=∠+∠，可得11,22MPA BMN CPN BNM ∠∠∠∠==，推出65MPA CPN ∠+∠=︒，从而由平角定义得到结论．【详解】解：∵50ABC ∠=︒，∴130BMN BNM ∠+∠=︒．∵M 在PA 的垂直平分线上，N 在PC 的垂直平分线上，∴AM PM PN CN ==，．∴MAP MPA CPN PCN ∠=∠∠=∠，．∵,BMN MAP MPA BNM CPN PCN ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴11,22MPA BMN CPN BNM ∠∠∠∠==．∴()111306522MPA CPN BMN BNM ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒．∴18065115APC ∠=︒-︒=︒．故选：C ．5．如图，在ABC 中，AB AC =，边AC 的垂直平分线MN 分别交AB ，AC 于点M ，N ，点D 是边BC 的中点，点P 是MN 上任意一点，连接PD ，PC ，若A α∠=，CPD β∠=，当PCD 周长取到最小值时，α，β之间的数量关系是（）A ．αβ=B ．90αβ+=︒C ．180αβ+=︒D ．以上都不正确【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称－最短路径，三角形外角的性质等知识点，找到PCD 周长取到最小值时P 点所在的位置是解题的关键．连接AD 与MN 交于点P ，则此时周长取到最小值时PCD 周长取到最小值，则根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得结果．【详解】解：∵AC 的垂直平分线MN 分别交AB ，AC 于点，M ，N ，∴A ，C 关于MN 对称，连接AD 与MN 交于点P ，则此时周长取到最小值时PCD 周长取到最小值，∵AB AC =，点D 是BC 的中点，∴1122BAD CAD BAC α∠=∠=∠=，∵MN 垂直平分AC ，点P 是MN 上的点，∴PA PC =，∴12PAC PCA α∠=∠=，∴CPD PAC PCA αβ∠=∠+∠==，∴αβ=，故选：A变式拓展6．如图，Rt ABC △中，9070C BAC ∠=︒∠=︒，，点D 是BC 边上的一点，连接AD ，将ACD沿AD 折叠，使点C 落在点E 处，当BDE △是直角三角形时，CAD ∠的度数为．【答案】35︒或45︒【分析】本题考查折叠的性质，分两种情况：当90BED ∠=︒时，根据直角三角形的性质可得35CAD ∠=︒，当90BDE ∠=︒时，即E 在ACB △外时，由折叠可得：90EAC ∠=︒，45ADC ADE ∠=∠=︒，AD 平分CAE ∠，即45CAD ∠=︒，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和等基本知识点．【详解】解：分两种情况：如图：当90BED ∠=︒时，由折叠可得90AED C ∠=∠=︒，CAD EAD ∠=∠，90BED ∠=︒ ，A EB ∴、、三点在同一条直线上，1352CAD BAC ∴∠=∠=︒；如图，当90BDE ∠=︒时，即E 在ACB △外部时，由折叠可得AE AC =，90C AED EDB ∠=∠=∠=︒ ，90EDC ∴∠=︒,36090EAC C E EDB ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒，1452CAD EAC ∴∠=∠=︒，故答案为：35︒或45︒．7．如图，ABC 中，AB AC 、的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ．若110EAF =︒∠，则BAC ∠=．【答案】145︒/145度【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂直平分线的性质成为解题的关键．由根据线段垂直平分线的性质可得AE BE AF FC ==，，然后根据等边对等角可得,BAE B CAF C ∠=∠∠=∠；再根据三角形内角和定理可得35B C ∠+∠=︒，即35BAE CAF ∠+∠=︒，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：∵AB AC 、的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，∴AE BE AF FC ==，，∴,BAE B CAF C ∠=∠∠=∠，∵180B C BAC ∠+∠+∠=︒∴180B C BAE CAF EAF ∠+∠+∠+∠+∠=︒，即()2180B C EAF ∠+∠+∠=︒，∵110EAF =︒∠∴35B C ∠+∠=︒，即35BAE CAF ∠+∠=︒，∴11035145BAC EAF BAE CAF ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：145︒．8．如图，ABC 是等边三角形，AD BC ∥，CD AD ⊥．若2cm AD =，则AB =cm ．【答案】4【分析】本题考查平行线性质，等边三角形性质，垂直的定义，三角形内角和定理，含30︒角的三角形三边关系等．根据题意可得60ACB CAD ∠=∠=︒，90D Ð=°，利用三角形内角和定理可得30ACD ∠=︒，利用含30︒角的三角形三边关系可得4cm AC =，再根据等边三角形性质可得本题答案．【详解】解：∵AD BC ∥，ABC 是等边三角形，CD AD ⊥，∴60ACB CAD ∠=∠=︒，90D Ð=°，∴30ACD ∠=︒，∵2cm AD =，∴4cm AB AC ==，故答案为：4．9．如图，已知等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则EFD ∠的度数为．10．如图，120MAN ∠=︒，点B ，C 分别是射线AM ，AN 上的动点，ACB ∠的平分线和MBC ∠的平分线所在直线相交于点D ，则BDC ∠的大小为．【答案】60︒/60度【分析】本题考查三角形外角性质和角平分线定义的应用，根据角平分线定义得出2ACB DCB ∠=∠，2MBC CBE ∠=∠，根据三角形外角性质得出2D ACB A ACB ∠+∠=∠+∠，求出2A D ∠=∠，即可求出答案．掌握角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键．【详解】解：∵CD 平分ACB ∠，BE 平分MBC ∠，∴2ACB DCB ∠=∠，2MBC CBE ∠=∠，∵2MBC CBE A ACB ∠=∠=∠+∠，CBE D DCB ∠=∠+∠，∴222CBE D DCB ∠=∠+∠，∴2MBC D ACB ∠=∠+∠，∴2D ACB A ACB ∠+∠=∠+∠，∴2A D ∠=∠，∵120MAN ∠=︒，∴60D ∠=︒，∴BDC ∠的大小为60︒．故答案为：60︒．三、解答题11．如图，ABC 是一张纸片，AD 是BC 边上的高线，把B ∠沿着AD 折叠，点B 落在BC 边上的B 处．(1)如果48B ∠=︒，'C CAB ∠=∠，求C ∠的度数；(2)如果4BD =，14BC =，5AD =，求AB C 'V 的面积．12．如图，已知点D 、E 是ABC 内两点，且BAE CAD ∠=∠，A ABC CB =∠∠，AD AE =．(1)求证：ABD ACE ≌△△；(2)延长BD 、CE 交于点F ，若86BAC ∠=︒，20ABD ∠=︒，求BFC ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)126︒【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用（1）根据A ABC CB =∠∠得到AB AC =；根据BAE CAD ∠=∠得到BAD CAE ∠=∠，结合AD AE =证明ABD ACE ≌△△即可．（2）连接AF ，并延长到点M ，根据BFM ABD BAF ∠=∠+∠，CFM ACE CAF ∠=∠+∠，结合BFC BFM CFM ∠=∠+∠，86BAC BAF CAF ∠=∠+∠=︒，20ABD ACE ∠=∠=︒，计算即可．【详解】（1）∵A ABC CB =∠∠，∴AB AC =；∵BAE CAD ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠，∵AD AE =，∴()SAS ABD ACE ≌．（2）连接AF ，并延长到点M ，∵BFM ABD BAF ∠=∠+∠，CFM ACE CAF ∠=∠+∠，BFC BFM CFM ∠=∠+∠，86BAC BAF CAF ∠=∠+∠=︒，20ABD ACE ∠=∠=︒，∴862020126BFC BAC ABD ACE ∠∠=∠++∠=︒+︒+︒=︒．考向三三角形中的重要线段三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.典例引领1．如图，用三角板作ABC 的边AB 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查了作高线，根据利用三角板作高线的方法即可求解，熟练掌握作高线的方法是解题的关键．【详解】解：由图得，作ABC 的边AB 上的高线是，故选B ．2．如图，CM 是ABC 的中线，8BC =cm ，若BCM 的周长比ACM △的周长大3cm ，则AC 的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义可得AM BM =，结合题意可得3BC AC -=cm ，进而获得答案．【详解】解：∵CM 是ABC 的边AB 上的中线，∴AM BM =，∵BCM 的周长比ACM △的周长大3cm ，∴()()3BC BM CM AC AM CM ++-++=cm ，∴3BC AC -=cm ，∵8BC =cm ，∴5AC =cm ．故选：C ．3．如图，BD ，BE ，BF 分别是ABC 的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（）A ．AE EC=B ．12ABE ABC ∠=∠C ．2AC CF =D ．BD CD⊥【答案】A 【分析】本题考查了三角形的的高、角平分线和中线，根据三角形的中线的定义，可得点F 是AC 的中点，即可判断选项A 、C ，根据角平分线的定义，可得BE 平分ABC ∠，即可判断选项B ，再根据三角形高的定义，判断选项D 即可，解题关键是掌握三角形的的高、角平分线和中线的定义．【详解】解：A 、 BF 是ABC 的中线，∴AF FC =，∴AE EC ≠，故选项A 错误，符合题意；B 、 BE 是ABC 的角平分线，12ABE ABC ∴∠=∠，故选项B 正确，不符合题意；C 、 BF 是ABC 的中线，∴2AC CF =，故选项C 正确，不符合题意；D 、 BD 是ABC 的高，∴BD CD ⊥，故选项D 正确，不符合题意；故选：A ．4．下列说法正确的是（）A ．三条线段组成的图形叫三角形B ．三角形的角平分线是射线C ．任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线D ．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外【答案】C 【分析】本题主要考查对三角形定义，三角形的角平分线、中线、高等知识点的理解和掌握，能熟练地运用定义进行说理是解此题的关键．根据三角形定义，三角形的角平分线、中线、高的定义判断即可．【详解】解：A 、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接作出的图形叫三角形，故A 错误；B 、三角形的角平分线是线段，故B 错误；C 、任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故C 正确；D 、三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故D 错误；故选：C ．5．下列说法正确的有（）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条高线都在三角形内部；③三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的重心；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的概念是解决本题的关键．根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上即可作答．【详解】解：①三角形的角平分线是线段，故原说法错误；②锐角三角形的三条高线都在三角形内部，故原说法错误；③三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心，故原说法错误；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形，故正确．故选：A ．6．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF CE ，．则下列说法：①CE BF =；②ABD △和ACD 面积相等；③BF CE ∥；④BDF CDE △△≌．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等底等高的三角形的面积相等、平行线的判定等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．根据三角形中线的定义可得BD CD =，然后利用“SAS ”证明BDF V 和CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE BF =，全等三角形对应角相等可得F CED ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行可得BF CE ∥，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．【详解】解：∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，在BDF V 和CDE 中，BD CD BDF CDE DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDF CDE ≌ ，故④正确；∴CE BF F CED =∠=∠，，故①正确，∴BF CE ∥，故③正确；∵BD CD =，点A 到BD CD 、的距离相等，∴ABD △和ACD 面积相等，故②正确，综上所述，正确的是①②③④，共4个．故选：D ．变式拓展7．如图，在ABC 中，AB AC =，分别以点B 和点C 为图心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，作直线AD 交BC 于点E ．若44BAE ∠=︒，则BAC ∠=度．∴AD 为BAC ∠的平分线，44BAE ∠=︒，∴44BAE CAE ∠=∠=︒，∴24488BAC ∠=⨯︒=︒，故答案为：88．8．如图，AD 是ABC 中BC 边上的中线，,E F 分别是,AD BE 的中点．若BFD △的面积为3，则ABC 的面积为．【答案】24【分析】本题考查了三角形的面积公式，由于F 是BE 的中点，BF EF =，那么EFD △和BFD△可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出EFD △和BFD △的面积相等，进而得出BDE △的面积等于BFD △的面积的2倍，同理由于E 是AD 的中点，得出ADB 的面等于BDE △面积2倍，由于AD 是BC 边上的中线，得出ABC 的面积等于ABD △面积的2倍，代入求解即可．掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．【详解】解：∵F 是BE 的中点，∴BF EF =，∴EFD BFD S S = ，又∵BDE EFD BFD S S S =+ ，∴2236BDE BFD S S ==⨯=V V ，同理2224624ABC ABD BDE S S S ⨯===⨯=V V V ，故答案为：24．三、解答题9．作图题：∥；(1)在图①中，作过点P作直线PH AB⊥，垂足为H：作直线PQ CD(2)请直接写出图①中三角形PAB的面积是平方单位；(3)在图②中过点P作直线PC OA∥（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）【答案】(1)见解析；(2)11；(3)见解析【分析】本题考查了两直线平行的判定，尺规作图作出相等角的作法，熟记平行线的判定定理，尺规作图的步骤是解题关键．（1）利用网格的特点作出图形即可；（2）利用割补法即可求解；∠=∠即可解决问题．（3）根据同位角相等，两直线平行，过点P利用尺规作出BPC BOA【详解】（1）解：直线PH和直线PQ即为所作，；．10．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AC 边上的中线把三角形的周长分为24和30的两部分，求三角形各边的长．【答案】三角形的各边是16，16，22或20，20，14．【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的周长，分类讨论的思想，解本题的关键是建立方程求解．设AD CD a ==，进而表示出2AB AC a ==，544BC a =-，再分两种情况，建立方程求解，即可得出结论．【详解】BD Q 是ABC 的中线，2AC CD AD ∴==，设AD CD a ==，2AB AC a ∴==，AC 边上的中线把三角形的周长分为24和30的两部分，24304544BC a a ∴=+-=-，①当24AB AD +=时，224a a ∴+=，8a ∴=，216AB AC a ∴===，544543222BC a =-=-=，②当30AB AD +=时，230a a ∴+=，10a ∴=，220AB AC a ∴===，544544014BC a =-=-=，即：三角形的各边是16，16，22或20，20，14．11．如图，ABC 中，AE 是高，CD 是中线，EF CD ⊥，且F 是CD 的中点．(1)求证：BD CE =；(2)若11BC =，5BD =，求ABC 的面积．【答案】(1)见解析；(2)44．【分析】本题考查了直角三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．（1）连接DE ，由EF CD ⊥，F 是CD 的中点，得到DE CE =，再由CD 是中线，AE 是ABC 的高，得到BD CE =即可；（2）根据题意得到,AB AE 的长即可求解．【详解】（1）解：连接DE ，如图：∵EF CD ⊥，F 是CD 的中点，∴DE CE =，∵CD 是中线，。