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梁的变形与刚度计算

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工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解

工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解

得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI

梁的变形与刚度计算

梁的变形与刚度计算
qa 4 f 2C 8EI z qa3 2C 6EI z
f2B qa 4 qa3 ( L a) 8EI z 6 EI z
c L (1) L a
f2c
B
B
2c
B B
A
q
c
(2)
由叠加原理

f B f1B f 2 B
qL4 qa 4 qa3 ( L a) 8EI z 8EI z 6EI z
材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。 （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂） 1、增大梁的抗弯刚度（EI） 2、调整跨长和改变结构 方法——同提高梁的强度的措施相同
3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到 一定的抵消作用）
w max L w L

max

、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度
、设计载荷：
常处于从属地位。特殊构件例外）
三、提高梁的刚度的措施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：
梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于
下面三个因素：
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，y为该点的挠度。
B
A
C
x
挠曲线
C'

B
转角
y挠度
y
4、挠度和转角的符号约定
挠度：向下为正，向上为负。
转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
A
C
B
x
挠曲线
C'

梁的变形计算

梁的变形计算
x＝l/4， w1＝w2 ; x＝l/4，1=2
例题
解： 4． 利用约束条件和连续条件 确定积分常数
EI1


3 8
FP x 2

C1
EI
＝－3
2
8
FP
x 2＋1 2
FP

x－ l 4
2


C2
EIw1


1 8
FP
x3

C1x

D1
EIw2＝－81
FP
x 3＋1 6
FP

dx 2
EI
弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。
小挠度微分方程
d2w 0,M 0 dx 2
d2w M dx 2 EI
本书采用向下的w坐标系，有
d2w 0,M 0
dx 2
d2w M dx2 EI
d2w M dx2 EI
小挠度微分方程
d2w M
叠加法应用于多个载荷作用的情形
当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载 荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将 所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。
叠加法应用于多个载荷作用的情形 例题
已知：简支梁受力如图 示，q、l、EI均为已知。
求：C截面的挠度wC ； B截面的转角B
3


7
l 2 x
EI 8 6 4 128
据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为
wB

3 256
FPl 3 EI
A

7 128

梁的变形与刚度计算

梁的变形与刚度计算

(e) 结果（转角和挠度方程）。 AC段
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pb 2 2 EIv1 ' EI 1 (l b 2 3x1 ) 6l (0 x1 a) EIv Pb (l 2 b 2 x 2 ) 1 1 6l
CB段
Pb 2 2 3l 2 2 EIv2 ' EI 2 6l l b 3x b x 2 a (a x 2 l ) EIv Pb l 2 b 2 x 2 x l x a 3 2 2 2 6l b
例9-4。图示杆系中，AB和CD梁的抗弯为EI，BD杆的拉压刚度是EA，不计剪切变形的影响，求BD
杆的内力。
A
B l/2
解(a) 确定静不定梁的基本结构 取D为多余约束
A
R'D
B
C
l
D
D (1)
RD
C
(2)
D
(b) 求变形几何关系
vD1 vD2
(c) 求物理关系
l 3 RD l 2 R l l D 3EI EA 3EI 2 EA R' D l 3 ql 4 8 EI 3EI
第 9 章
梁的变形与刚度设计
DESIGN OF BEAMS FOR BENDING DEFLECTIONS
一。 弯曲变形概念
y
θ
P
受载荷作用后，梁的轴线将弯曲成为一条光滑的连续曲线 在平面弯曲的情况下，这是一条位于载荷所在平面内的平 面曲线。梁弯曲后的轴线称为挠曲线。
x
O
v
梁截面有沿垂直方向的线位移v，称为挠度；相对于原截面转过的角位移θ，称为转角 挠曲线是一条连续光滑平面曲线，其方程是

梁的变形及刚度条件

梁的变形及刚度条件

f
三、梁的刚度条件
• 1、最大挠度：在建筑工程中，通常只校核 梁的挠度，不校核梁的转角，一般用f表示 梁的最大挠度。 • 2、许用挠度：用[f ]梁的允许挠度，通常用 允许挠度和跨长的比值 作为校核标准， • 3、刚度条件：梁在荷载作用下产生的最大 挠度与跨长的比值不能超过许用的单位长 度的挠度来表示刚度条件：
• 梁的变形与跨长l的三次或四次冪成正比，设法减小梁的跨度，将 会有效地减小梁的变形 • 1、将简支梁的支座向中间适当移动， • 2、在梁的中间增加支座。
（三）改善荷载的分布情况
• 1、将集中力分散作用 • 2、改为分布荷载
第七节梁的变形
• 一、挠度与转角
• 1、挠曲线：梁在荷载作用下产生弯曲变形后， 其轴线为一条光滑的平面曲线； • 2、挠度：梁任一横截面形心在垂直于杆轴方向 竖向位移CC'； • 3、转角：梁内任一横截面在梁变形后，绕中性 轴转过的角度，称为该截面的转角， • 4、挠度与转角的关系：
二、用叠加法求梁的变形
• 一般钢筋混凝土梁的
• 钢筋混凝土吊车梁的
例题9-25
• 一简支梁由№28b工字钢制成，跨中承受一集中 荷载，已知F=20kN，l=9m，E=210Gpa，［］ ＝170MPa， 。试校核梁正应力强度和 刚度。
•最大弯矩
•查表№28b工字钢 •强弯曲刚度EI • 1、由于同类材料的E值相差不多； • 2、增大惯性矩 I • 使材料尽量分布在远离中性轴的地方 • 通常采用工字形、箱形、圆环形截面 （二）减小梁的跨度
• 1、根据：由于梁的变形与荷载成线性关系。 所以，可以用叠加法计算梁的变形。 • 2、方法：即先分别计算每一种荷载单独作 用时所引起梁的挠度和转角，然后再将它 们代数相加，就得到梁在几种荷载共同作 用下的挠度或转角。

工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算

工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算
挠曲线

w

x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线

w

x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI

1
x

M x
EI
d2w

1
x


6EI 2l
l 2
2l 2


l 2
2



11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB

FB 2l 3
48EI

FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F


Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度

梁的弯曲刚度计算

的许用挠跨比 [ w] 1 ，试对梁进行刚度校核。 l 200
目录
弯曲变形\梁的弯曲刚度计算
【解】 1) 求梁的最大挠度。查表6.1知，该梁最大挠度发生在 自由端B截面处，其值为
wmax
ql4 8EI
(↓)
2) 刚度校核。梁的最大挠跨比为
wmax l
ql3 8EI
80kN/m 23m3 8 2.2 104 kN m2
力学
弯曲变形\梁的弯曲刚度计算
梁的弯曲刚度计算
在工程中，根据强度条件对梁进行设计后，往往还要对梁进行
刚度计算。梁的刚度条件为
wmax
max
w
式中：wmax、max——梁的最大挠度和最大转角；
[w]、——许用挠度和许用转角。根据梁的用途，其值可在
有关设计规范中查得。
在建筑工程中，通常采用最大挠度wmax与跨度l之比，即最大挠 跨比限制在许用的挠跨比范围内，即
3.64103
w l
1 200
该梁满足刚度条件。
目录
弯曲变形\梁的弯曲刚度计算
【例6.7】 图示悬臂工字钢梁，长度l=3.5m，荷载F=12kN，已知
材料的许用应力=170MPa，弹性模量E=210 MPa，梁的许用挠跨
比
w l
=
1 。试按强度条件和刚度条件选择工字钢型号。
400
目录
弯曲变形\梁的弯曲刚度计算
目录
力学
wmax l
w l
目录
弯曲变形\梁的弯曲刚度计算
梁的许用挠跨比
w l
可从设计规范中查得，一般在
1 200
～1
1000
之间。并且，如果梁的强度条件满足，一般刚度条件也能满足。但

第八章叠加法求变形(3,4,5)

§8-3
用叠加法计算梁的变形及 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形——简捷方法 叠加法应用的条件 在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。 即挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系 计算梁变形时须记住梁在简单荷载作用下 的变形——转角、挠度计算公式（见附录Ⅳ）。
3 3
pl 7 pl 3 pl wc wc1 wc 2 24 EI 48EI 16 EI

B
c
c
p
这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。
例题2 用叠加法求AB梁上E处的挠度 E
p
p
p
wE 2
wE 1
B
wE = wE 1+ wE 2 = wE 1+ wB/ 2
wB=?
P
机械：1/5000~1/10000,
土木：1/250~1/1000 机械：0.005~0.001rad
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构 件正常工作时的要求。 [例8-8]图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3 ，[ w/l ]= 1／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁 的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
例题 2
按叠加原理得
wC wC 1 wC 2
5ql 4 5ql 4 0 768EI 768EI
ql 3 ql 3 3ql 3 A A1 A2 48EI 384EI 128EI ql 3 ql 3 7ql 3 B B1 B 2 48EI 384EI 384EI
c
c
A
P M =Pl/2 B C B

梁的弯曲-变形刚度计算


一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x

y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0

梁的变形及刚度计算


(3) 改善荷载的作用情况
在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置 及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形， 提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用， 甚至 改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的 变形减小，刚度提高。
l /500，弹性模量E=2×105MPa ，试选择工字钢
的型号。
解 （1）按强度条件选择工字钢型号 梁的最大弯矩为：
M max
FP l 4
＝
40 103 N 3103 mm 4
＝3107 N mm
按弯曲正应力强度条件选截面
M max
W
W
M max
3107 N mm 160MPa
B
=
FPl 2 2EI
wm a x
=
FPl 3 3EI
2.悬臂梁 弯曲力偶作用在自由端
B
=
Ml EI
wm a x
=
Ml 2 2EI
续表
3.悬臂梁 均匀分布荷载作用在梁上
B
=
ql 3 6EI
wm a x
=
ql 4 8EI
4.简支梁 集中荷载作用跨中位置上
时 a = b = l 2
A
=－
B
=
FPl 2 16 EI
梁的刚度足够
所以，选用20a工字钢
3、提高梁抗弯刚度的措施
梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI 、梁的跨 度L 、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的 抗弯刚度可以采取以下措施：
(1) 增大梁的抗弯刚度EI 增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I 值，一般不采用增大E 值的方法。
在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形 状，可提高惯性矩I 。
梁的变形及刚度计算
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梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于
下面三个因素：
材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。 （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂） 1、增大梁的抗弯刚度（EI） 2、调整跨长和改变结构 方法——同提高梁的强度的措施相同
v max
得
Pl l [v ] 48EI 500
3
48 EI P 7.11 kN 2 500l
所以
[ P] 711 . kN
max
M max Pl 60MPa [ ] 4Wz Wz
所以满足强度条件。
A C
B
x
C'
y
转角
y挠度

B
转角方程：一般各横截面的转角是不相同的，是位置x的 函数，称为转角方程，记做= （x）
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
3、挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。 挠曲线方程为 y y ( x) ——挠度方程
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，y为该点的挠度。
各类单一荷载引起的变形，可以查表得出， 见表。
例题：一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图所示。 试按叠加原理求梁跨中点的挠度 yC 和支座处横截面
的转角 A 、 B 。
m
A C
q
B
l
m q
解：将梁上荷载分为两项 简单的荷载，如图b、c 所 示
A C
B
l
(b)
q
B
A
C
(C)
m
B
A
C
m q
A C
C a a
B
PA
Fa 4 EI
qa 3 EI
3
2
w PC
Fa 6 EI
3
qA
wqC
F
A
5qa 24 EI
4
=
B
(3)叠加
A PA qA
a (3 F 4qa ) 12 EI 5qa 4 Fa 3 wC ( ) 24 EI 6 EI
2
用叠加法求梁的变形 叠加法的分类 直接叠加——梁上荷载可以化成若干个典型荷载， 每个典型荷载都可以直接查表求出位移，然后直 接叠加； 间接叠加——梁上荷载不能化成直接查表的若干 个典型荷载，需将梁进行适当转换后才能利用表 中结果进行叠加计算。
叠加原理： 若干类荷载所引起的变形 ( 挠度或转角 ) 各单一荷载引起的变形之和。
qL4 qa 4 qa3 ( L a) 8EI z 8EI z 6EI z
q 6 EI z 3L4 a4 3 4 La 4
例：用叠加法求 vC 、 A 、 B
CL9TU20
解：
vC
5q l 384 EI ql 24 EI 3 ql 24 EI
+
q
A B
例题求图示梁截面B的挠度
q A EIz
a C
B
L
解法1：为了利用附录IV表中的结果，可将原荷载视 为图(1)和图(2)两种情况的叠加
q A EIz
a C
B
L L c q (2) B
q A c L (1) B A
a
q
f1B qL4 8EI z
A
图(2) CB段M=0，所以CB为直线
B
查表，得
y
C

y
4
Cq

y
Cm
l
q
A
2 5ql ml 384EI 16 EI
()
Bq
θ A θ Aq θ Am
3 ml ql 24 EI 3EI
Aq
m
A
C y cq
(
)
Bm
Am
C ycm
θ B θ Bq θ BF q
A
C a a
B
1、 按叠加原理求A点转角和C点挠 度. 解:(1)载荷分解如图 (2)由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形.
F
A
=
B
PA
Fa 2 4 EI
qa 3 EI
3
w PC
Fa 3 6 EI
+
q
A B
qA
wqC
5qa 4 24 EI
F q
A
其中[]称为许用转角；[w/L]称为许用挠跨比。通常依此 条件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
w max L w L

max

、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度
、设计载荷：
常处于从属地位。特殊构件例外）
三、提高梁的刚度的措施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：
轴方向的线位移，称为该截面的挠度。
C B
A
x
y挠度
C'
y
B
挠度方程：一般各横截面的挠度是不相同的，是位置x的 函数，称为挠度方程，记做y=y（x）
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 2、转角（） ：横截面对其原来位置的角位移（横截面 绕中性轴转动的角度） , 称为该截面的转角。
梁的变形及刚度计算 一、基本概念（挠度、转角、挠曲线） 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ，横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵 向对称平面
x
A
y
B
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 1、挠度（ y）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x
B
A
C
x
挠曲线
C'

B
转角
y挠度
y
4、挠度和转角的符号约定
挠度：向下为正，向上为负。
转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
A
C
B
x
挠曲线
C'

B
转角
y挠度
y
用叠加法求梁的变形
力的独立作用原理——在线弹性及小变形条件下， 梁的变形（挠度y和转角θ）与荷载始终保持线性关 系，而且每个荷载引起的变形与其他同时作用的荷 载无关。 叠加原理：梁在小变形、弹性范围内工作时， 梁 在几项荷载（可以是集中力, 集中力偶或分布力） 同时作用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单 独作用下该截面的挠度和转角的叠加。 当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向 ), 其转角是在同一平面内 ( 如均在 xy 平面 内 ) 时,则叠加就是代数和。
3
4
Pl 48 EI Pl 16 EI 2 Pl 16 EI
2
3
ml 16 EI
ml 3EI ml 3EI
2
A
B
梁的刚度校核 一、梁的刚度条件
w
max
L
w L
max


1 1 w (对土建工程: ( ~ )) 250 1000 L
f 2 B f 2C 2C ( L a)
qa 4 f 2C 8EI z qa3 2C 6EI z
f2B qa 4 qa3 ( L a) 8EI z 6 EI z
c L (1) L a
f2c
B
B
2c
B B
A
q
c
(2)
由叠加原理

f B f1B f 2 B
3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到 一定的抵消作用）
例：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3，[ v ]= l／500，E=200GPa，
[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁
的许可载荷 [P]，并校核强度。
CL9TU40
解：由刚度条件