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第九章杆件的变形及刚度计算案例

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变形及刚度计算_图文_图文

变形及刚度计算_图文_图文

一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 2、转角（） ：横截面对其原来位置的角位移（横截面 绕中性轴转动的角度） , 称为该截面的转角。
A
C
B
x
y挠度
C'
y
转角
转角方程：一般各横截面的转角是不相同的，是位置x的 函数，称为转角方程，记做= （x）
4、挠度和转角的关系
注意：位移边界条件在支座处
变形连续条件中间在分段点
三、 用积分法求梁的变形 注意
当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁 的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程 需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线 方程也随之而异。
F
A
a
D
B
b
三、 用积分法求梁的变形 步骤
1、正确分段，分别列弯矩方程； 2、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积 分得挠度方程； 3、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数。
纵向伸长量： 横向缩短量：
轴向压缩：
F
F
纵向缩短、横向伸长
纵向缩短量： 横向伸长量：
注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不 一的杆件，因此引入应变的概念。
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
二、线应变
线应变：将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长 ，称之为线应变。
1、纵（轴）向变形量： F
即 该式表明，某截面的转角等于挠曲线在该截面处的 一阶导数
A
挠曲线
y
C
C'
转角
B
x
y挠度

5、挠度和转角的符号约定
挠度：向下为正，向上为负。 转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。

工程力学第九章杆件变形及结构的位移计算

工程力学第九章杆件变形及结构的位移计算
应的（直线图形）的竖标，再除以杆的弯曲刚度。 应用图乘法计算时，应注意以下几点：
（1）竖标要在直线段弯矩图上取得； （2）每一个面积只对应一条直线段的弯矩图。
当与在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取 负号。
§9–4 图乘法
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
§9–4 图乘法
例1:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
(
1 2
l 2
1 2
2 3
Pl 4
B l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl) 2 22 4 2223 4
l/2
l/2
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
取 yc的图形必
须是直线,不能是曲
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
线或折线.
§9–4 图乘法
q
A
B
1
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
§9–4图乘法
例2. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
§9–4 图乘法
解:
yc
EI
1 ( 1 Pl l 2 l Pl l l)
ql3 ( 24 EI
)

拉压杆的变形及刚度计算

拉压杆的变形及刚度计算

胡克定律：
l FNl EA
上式只适用于在杆长为l长度内FN、E、A均为常
值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。
EA称为杆的拉压刚度
1.2 横向变形、泊松比 则横向正应变为：
a
a
当应力不超过一定限度时，横向应变
与轴向应变 之比的绝对值是一个常数。
横向变形因数或泊松比
法国科学家泊松（1781~1840） 于1829年从理论上推演得出的结果。 ，
FRA F2 F1 (10 30)
=－20kN (2)、计算各段杆件 横截面上的轴力
AB段： FNAB=FRA=－20kN
BD段： FNBD=F2=10kN
(3)、画出轴力图，如图（c）所示。
(4)、计算各段应力
AB段： BC段： CD段：
AB
FNAB AAC
20 103 500
40MPa
表4-1给出了常用材料的E、 值。
表8.1 常用材料的E、 值
材料名称 低碳钢 中碳钢
低合金钢 合金钢
灰口铸铁 球墨铸铁
铝合金 硬铝合金
混凝土 木材（顺纹） 木材（横纹）
牌号 Q235
45 16Mn 40CrNiMoA
LY12
E 200 ~ 210
205 200 210 60 ~ 162 150 ~ 180 71 380 15.2 ~ 36 9.8 ~ 11.8 0.49 ~ 0.98
例2 图示托架，已知 F 40 kN，圆截面钢杆
AB的直径 d 20 mm ，杆BC是工字钢，其
横截面面积为 1430mm，2 钢材的弹性模量
E 200GPa。求托架在F力作用下，
节点B的铅垂位移和水平位移？ 解：（1）、取节点B为研究对象，求两杆轴力

杆件的变形及计算

杆件的变形及计算

τ=
Q ≤ [τ ] A
其中 Q 为剪切面上的剪力,由平衡条件求解;A 为剪切面面积;[τ]为材料的许用剪应力,单位 MPa. 为剪切面上的剪力,由平衡条件求解; 为剪切面面积; 为材料的许用剪应力 为材料的许用剪应力, .
二,挤压使用计算
在承载的情形下,连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压, 在承载的情形下,连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压,因而在二者接触面的局部区域产生 较大的接触应力,称为挤压应力,用符号σjy表示 单位MPa.挤压应力是垂直与接触面的正应力.其可 表示, 较大的接触应力,称为挤压应力,用符号 表示,单位 .挤压应力是垂直与接触面的正应力. 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形,而导致二者失效. 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形,而导致二者失效. 积压力为作用在接触面上的总的压力, 表示. 积压力为作用在接触面上的总的压力,用符号 Pjy 表示. 表示. 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影, 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影,用符号 Ajy 表示. 其强度设计准则
在例6-1中杆 的直径均为d=30mm,[σ]=160MPa,其它条件不变.试确定此时结构所能 例6-3 在例 中杆BC,EF 的直径均为 , ,其它条件不变. 承受的许可载荷? 承受的许可载荷? 中分析EF杆为危险杆 解:根据例1中分析 杆为危险杆,由平衡方程可得 根据例 中分析 杆为危险杆,
N2 =
第三节 连接件的强度设计
一,剪切实用计算
当作为连接件的铆钉,,销钉,键等零件承受一对等值, 当作为连接件的铆钉,,销钉,键等零件承受一对等值,反 ,,销钉 作用线距离很近的平行力作用时, 向,作用线距离很近的平行力作用时,其主要失效形式之一为沿 剪切面发生剪切破坏.发生相对错动的截面称为剪切面. 剪切面发生剪切破坏.发生相对错动的截面称为剪切面.由于剪 切面上剪应力分布比较复杂, 切面上剪应力分布比较复杂,可假定认为剪应力在剪切面上均匀 分布——剪切实用计算. 剪切实用计算. 分布 剪切实用计算 其设计准则为

第九章 杆件的变形及刚度计算

第九章 杆件的变形及刚度计算

l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
第九章
杆件的变形及刚度计算
第九章
杆件的变形及刚度计算
三、微分方程的积分
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
1.积分一次得转角方程
EIw M ( x )dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
一、叠加原理
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载
(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1
1 M ( x) ( x) EI
第九章
杆件的变形及刚度计算
2.由数学得到平面曲线的曲率
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w ) | w | (1 w )
第九章
杆件的变形及刚度计算
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件 在简支梁中, 左右两铰支座处的 挠度 w A 和 w B 都等于0. 在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.

刚度设计

刚度设计

挠曲线方程： 挠曲线方程： 转角方程： 转角方程：
w= f (x)
df θ ≈ tan θ = f ′(x) = dx
3.2梁的挠曲线近似微分方程 梁的挠曲线近似微分方程
梁的挠曲线近似微分方程式 曲线 w = f (x) 的曲率为
w′′ K= 2 3/ 2 (1 + w′ )
1 梁纯弯曲时中性层的曲率： 梁纯弯曲时中性层的曲率：
解：由刚度条件
wmax
得
所以
Pl l = ≤ [ w] = 48 EI 500
3
48 EI P≤ = 7.11 kN 2 500l
[ P ] = 7.11 kN
σ max
M max Pl = = = 60MPa ≤ [σ ] Wz 4Wz
所以满足强度条件。
二、提高弯曲刚度的措施
影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况 有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、 有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度 有关。所以，要想提高弯曲刚度， 有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素 入手。 入手。 一、增大梁的抗弯刚度EI 增大梁的抗弯刚度 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式和支座位置
= 0 .2 7 2 m m ( 缩 短 ）

第2节圆轴扭转时的变形和刚度条件 节圆轴扭转时的变形和刚度条件
T dϕ = d x GI p T dϕ = dx GI p
dϕ
T ϕ=∫ dx GI p l
Tl 若T = const，则 ϕ = GIp
比较拉压变形： 公式适用条件：
式中积分常数C、 由边界条件和光滑连续条件确定 式中积分常数 、D由边界条件和光滑连续条件确定
约束对位移的影响 ＿＿边界条件 ＿＿边界条件

杆系结构的刚度与稳定性计算—轴向拉压杆的变形

所示。已知材料的弹性模量 E 0.03 105 MPa，外力 F 50kN 。试求砖柱顶部
的位移。
解：（1）求各杆段的轴力，作其轴力图。
AB段
BC段
FN 1 F 50 (kN)
FN 2 F 2 F 150 kN
作轴力图如右图所示。
（2）求柱的轴向变形。由 l 计算式得：
0.03 10 370
计算结果为负，说明柱沿轴线方向缩短。
（3）求柱顶的位移
因为柱的下端C固定不动，柱沿轴线的缩短量等于柱顶向下的位移
量，所以，柱顶A向下位移了2.3mm。
轴向拉压杆的变形
目
录
1
绝对变形量
2
工程案例
添加标题
1.绝对变形量
1. 绝对变形量计算式
材料在线性弹性范围内，轴向拉压杆横截面上的正应力 与轴向线应变
满足胡克定律：
将应力公式

E
和应变公式 =

=绝对变Βιβλιοθήκη 量 l 为：
代入胡克定律表达式中可得，杆件的
FN l
l
EA
适用于等截面常轴力拉压杆，在正应力不超过材料的比例极限时，拉压杆
的轴向变形 l 与轴力 FN 及杆长 成正比，与乘积EA成反比。EA称为杆件的
抗拉压刚度。
对于给定长度的等截面拉压杆，在一定轴向力作用下，拉压刚度愈大，杆
的轴向变形愈小。
轴向变形 l 与轴力 FN 具有相同的正负符号，即伸长为正，缩短为负。
FN l FN l FN l
l



EA 1 EA 2
i 1 EA i
2
50 10 3 3 10 3 150 10 3 4 10 3

杆件的轴向拉压变形及具体强度计算


根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
1、强度校核：
max
FN A

2、设计截面：
A

FN

3、确定许可载荷： FN A
目录
拉压杆的强度条件
例题3-3
F
F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200 。
〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。
解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。
目录
——横截面上的应力
目录
FN
A
——横截面上的应力
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂 直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
目录
• 拉(压)杆横截面上的应力
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
B
1

FN1 A1


28.3103 202 106

4
F
90106 Pa 90MPa
x
2

FN 2 A2

20103 152 106

89106 Pa 89MPa
目录
三、材料在拉伸和压缩时的力学性质
教学目标：1.拉伸、压缩试验简介； 2.应力-应变曲线分析； 3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质； 4.试件的伸长率、断面收缩率计算。
教学重点：1.应力-应变曲线分析； 2.材料拉、压时的力学性质。
教学难点：应力-应变曲线分析。 小 结: 塑性材料与脆性材料拉伸时的应力-应变曲线分析。 作 业: 复习教材相关内容。

九、 材料力学位移分析(2)

课堂练习P265,习题9-20
5、梁的刚度计算
解：1、作强度设计
[ ]; W ql 2 1 M max 10103 4 2 40kNm; 4 4 40103 4 3 W 4 10 m ; 100106 单个槽钢W 2 10 4 m 3 200cm3 ;
22a槽钢满足刚度要求。
课外练习：9-18；9-19；
6、简单的静不定问题
关于静不定的基本概念
求解静不定问题的基本方法
拉压静不定问题
扭转静不定问题 简单的静不定梁 静不定结构的特性
6、简单的静不定问题
关于静不定的基本概念
静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数 静不定问题与静不定结构——未知力个数多于独立的平衡方程数
对转角的限制 轴的类型 滑动轴承 向心轴承 向心球面轴承 圆柱滚子轴承 圆锥滚子轴承 安装齿轮的轴 许用转角[θ]/rad
0.001 0.005 0.005 0.0025 0.0025 0.001
5、梁的刚度计算
例题9-10、图示钢制圆轴，已知
20kN C
2000
Fp=20kN,E=206GPa,轴承B 处的
4、铝杆应力：σ =FNA/AA=128.8MPa 5、铝杆长度：l =300+0.936-0.552=300.38mm;
6、简单的静不定问题
扭转静不定问题 例题9-15、两端固定的圆轴受力如图，已知Mx，GIp，l， 求A、B两端的约束力。
y
x Mx z A l C l Mx D l B
6、简单的静不定问题
解：1、轴受力如图，由平衡方程：
M
x
0;
M x 4 M x M x M x 3 0;

9第九章 杆件变形及结构的位移计算


产生位移的原因 一般荷载——力的作用 广义荷载 温度变化 支座位移 制造误差
P
t
一般荷载
C C
温度变化
A
支座位移 B
B
B
制造误、位移计算的目的
⑴ 刚度要求 强度校核 结构设计计算应考虑的内容 稳定性验算 刚度验算 在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度； 房屋主梁允许挠度<1/350跨度。 高层建筑框架结构，风荷载作用下的最大位移<1/450高度， 最大层间位移<1/550层高； 地震作用下的最大位移<1/400高度； 最大层间位移<1/500层高。 ⑵ 超静定结构的计算基础 超静定结构必须考虑几何条件(位移约束或变形协调)方可求解。
1
B
C a-x
M =a x
横梁BC 竖柱CA
a
A
x
注意：负号表示位移 的方向与假设的单位 力的方向相反。 （4）求B点的线位移ΔB
§9-4 图乘法
刚架与梁的位移计算公式为：


MMds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
梁和刚架位移计算公式
计算工作量很大，应用比较麻烦。一定条件下，上述积分计算可以简化。
ΔCV 2330 106 7.012mm 3 210 10 2 791.2
4m
–200
–200
5 8
3 8
5 8
3 8
5 8
杆件名称 A-C B-C D-E A-D C-D C-E
杆长l (m) 6 6 6 5 5 5
截面积A 轴力 FNP (cm2) (kN) 15.824 15.824 15.824 15.824 15.824 15.824 120 120 -120 -200 0 0
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Fx 3 6

C 1x

C2
(4)
F
Bx
第九章 杆件的变形及刚度计算
EIw

Flx

Fx 2 2

C1
(3)
EIw


Flx 2 2

Fx 3 6

C 1x

C
2
(4)
边界条件 x 0, w 0
x 0, w 0
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 C2 0
wA 0
在悬臂梁中,固定端处的挠度 wA
和转角 A 都应等于0.
A
wA 0
A 0
B
wB 0
B
第九章 杆件的变形及刚度计算
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F
作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax
和最大转角max
F w
A
C'
w挠度（

B 转角
第九章 杆件的变形及刚度计算
3.挠曲线 —— 梁变形后的轴线称为挠曲线 .
挠曲线方程为
w f (x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（

B 转角
第九章 杆件的变形及刚度计算
4.挠度与转角的关系
tan w ' w '( x)
x
O
曲线向下凸时: w 0 M 0
M 0
曲线向上凸时: w 0 M 0 w
w 0
M
M
因此, w与 M 的正负号相同
O M 0 w 0
x
第九章 杆件的变形及刚度计算
w
(1

w2
3
)
2

M(x) EI
w2与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为

FRB

ql 2
x
l
FRA
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M ( x) ql x q x2 22
EIw ql x q x2 22
EIw ql x2 q x3 C 46
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
第九章 杆件的变形及刚度计算 边界条件x=0 和 x=l时, w 0
第九章 杆件的变形及刚度计算
第九章 杆件的变形及刚度计算
§9-1 基本概念及工程实例 §9-2 杆件的刚度计算准则 §9-3 用积分法求弯曲变形 §9-4 用叠加法求弯曲变形 §9-5 简单的静不定问题 §9-6 提高弯曲刚度的措施
第九章 杆件的变形及刚度计算
§9-1 基本概念及工程实例
一、工程实例
第九章 杆件的变形及刚度计算
§9-3 用积分法求弯曲变形
一、基本概念
1.挠度
横截面形心 C （即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移, 称为该截面的挠度.用w表示.
w
A
C
B
x
w挠度
C'
B'
第九章 杆件的变形及刚度计算
2.转角
横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示
w
A
C
B
x
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
EIw Flx Fx2 2
EIw Flx2 Fx3 26
第九章 杆件的变形及刚度计算
y
F
A
l
Bx
wmax
max
max 和 wmax都发生在自由端截面处
max

|xl
Fl 2 EI

Fl 2 2EI

Fl 2 （ 2EI
）
响, 则
1 M(x)
( x) EI
第九章 杆件的变形及刚度计算
2.由数学得到平面曲线的曲率
1
(x)


(1
|
w | w2 )32

(1
|
w | w2 )
3
2

M(x) EI
第九章 杆件的变形及刚度计算
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
第九章 杆件的变形及刚度计算
5.挠度和转角符号的规定
挠度向上为正,顺时针转为负.
w
A
C
B
x
挠曲线
w挠度 C'

B 转角
第九章 杆件的变形及刚度计算
二、推导公式
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
1M
EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影
第九章 杆件的变形及刚度计算
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受 到的冲击和振动作用.
F
F
2
2
F
第九章 杆件的变形及刚度计算
§9-2 杆件的刚度设计准则
刚度设计准则
对于拉压杆
FPFP
u
u [u]
Vl
Bx
l
第九章 杆件的变形及刚度计算
解： （1） 弯矩方程为
w A
M ( x) F (l x) (1)
（2） 挠曲线的近似微分方程为
x
l
EIw M ( x) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
EIw

Flx

Fx 2 2

C1
(3)
EIw


Flx 2 2
EIw M ( x)
1.积分一次得转角方程
EIw M ( x)dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M ( x)dxdx C1x C2
第九章 杆件的变形及刚度计算
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件
A
在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 wA 和 wB 都等于0.
w" M(x)
(6.5)
EI
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项;
（3） tan w w( x)
第九章 杆件的变形及刚度计算 三、微分方程的积分
w M ( x) EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成


FNl EA
Vl l FN (x) dx 0 EA
第九章 杆件的变形及刚度计算
刚度设计准则
对于受扭圆轴
[ ] , = /l []
M xl
GI p M x 180 [ ]
GI
第九章 杆件的变形及刚度计算
刚度设计准则
对于梁
w [w], [ ]
wmax

w
|xl

Pl 3 3EI
（
）
第九章 杆件的变形及刚度计算
例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max
和 wmax
q
A
B
l
第九章 杆件的变形及刚度计算
q
解:由对称性可知,梁的两
个支反力为
A
B
FRA