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项目6.杆件变形及其刚度条件1

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建筑力学第8章杆件的变形和刚度校核

建筑力学第8章杆件的变形和刚度校核

9
8.3 平面弯曲梁的变形计算———叠加法（查表法） 从上一节例题可以看出，由于梁的变形微小， 而且梁的材料是在线弹性范围内工作的，因此梁的 挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。这样，梁 上某一荷载所引起的变形，不受同时作用的其他荷 载的影响，即各荷载对弯曲变形的影响是各自独立 的。因此，梁在几项荷载（集中力、集中力偶或分 布力）同时作用下某一截面的挠度和转角，就分别 等于每一项荷载单独作用下给截面的挠度和转角的 叠加。当每一项荷载所引起的转角在同一平面内（ 例如均在 xy平面内），其挠度都在同一方向上（ 例如均在 y轴方向）时，叠加就是代数和。
12
小结 本章主要研究扭转轴和平面弯曲梁的变形计算 和刚度校核问题。 1）扭转轴的变形计算及刚度条件为
13
2）平面弯曲梁的变形计算可用积分法和叠加 法进行。用积分法求解梁变形就是正确列出各段梁 的弯矩方程，代入挠曲线近似微分方程，积分一次 得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程，然后 正确应用边界条件和连续条件确定积分常数。积分 法是求梁变形的基本方法，虽然计算比较烦琐，但 在理论上是比较重要的。
14
2
图 8.2
3
图 8.3
4
5
6
7
8
正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文
第8章 杆件的变形和刚度校核
为了避免受扭的轴产生过大的变形，除了要 保证强度条件以外，还要满足刚度要求。工程中 ，通常是用单位长度扭转角 θ 来限制轴的扭转变 形。因此，其刚度条件为

变形及刚度计算_图文_图文

变形及刚度计算_图文_图文

一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 2、转角（） ：横截面对其原来位置的角位移（横截面 绕中性轴转动的角度） , 称为该截面的转角。
A
C
B
x
y挠度
C'
y
转角
转角方程：一般各横截面的转角是不相同的，是位置x的 函数，称为转角方程，记做= （x）
4、挠度和转角的关系
注意：位移边界条件在支座处
变形连续条件中间在分段点
三、 用积分法求梁的变形 注意
当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁 的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程 需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线 方程也随之而异。
F
A
a
D
B
b
三、 用积分法求梁的变形 步骤
1、正确分段，分别列弯矩方程； 2、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积 分得挠度方程； 3、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数。
纵向伸长量： 横向缩短量：
轴向压缩：
F
F
纵向缩短、横向伸长
纵向缩短量： 横向伸长量：
注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不 一的杆件，因此引入应变的概念。
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
二、线应变
线应变：将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长 ，称之为线应变。
1、纵（轴）向变形量： F
即 该式表明，某截面的转角等于挠曲线在该截面处的 一阶导数
A
挠曲线
y
C
C'
转角
B
x
y挠度

5、挠度和转角的符号约定
挠度：向下为正，向上为负。 转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。

拉压杆的变形及刚度计算

拉压杆的变形及刚度计算

胡克定律：
l FNl EA
上式只适用于在杆长为l长度内FN、E、A均为常
值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。
EA称为杆的拉压刚度
1.2 横向变形、泊松比 则横向正应变为：
a
a
当应力不超过一定限度时，横向应变
与轴向应变 之比的绝对值是一个常数。
横向变形因数或泊松比
法国科学家泊松（1781~1840） 于1829年从理论上推演得出的结果。 ，
FRA F2 F1 (10 30)
=－20kN (2)、计算各段杆件 横截面上的轴力
AB段： FNAB=FRA=－20kN
BD段： FNBD=F2=10kN
(3)、画出轴力图，如图（c）所示。
(4)、计算各段应力
AB段： BC段： CD段：
AB
FNAB AAC
20 103 500
40MPa
表4-1给出了常用材料的E、 值。
表8.1 常用材料的E、 值
材料名称 低碳钢 中碳钢
低合金钢 合金钢
灰口铸铁 球墨铸铁
铝合金 硬铝合金
混凝土 木材（顺纹） 木材（横纹）
牌号 Q235
45 16Mn 40CrNiMoA
LY12
E 200 ~ 210
205 200 210 60 ~ 162 150 ~ 180 71 380 15.2 ~ 36 9.8 ~ 11.8 0.49 ~ 0.98
例2 图示托架，已知 F 40 kN，圆截面钢杆
AB的直径 d 20 mm ，杆BC是工字钢，其
横截面面积为 1430mm，2 钢材的弹性模量
E 200GPa。求托架在F力作用下，
节点B的铅垂位移和水平位移？ 解：（1）、取节点B为研究对象，求两杆轴力

杆件的刚度计算汇总.

杆件的刚度计算汇总.
5
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
刚度计算的三方面：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
max
T max Ip G[ ]
T
max
GI p[ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
6
第一节
[例]
圆轴扭转时的变形及刚度计算
图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为
有足够的刚度。如果变形过大，将造成梁不能正常工作，进而
引起梁的破坏。如：高精度车床轴；桥梁；变速箱传动轴等。 绕曲线——梁在载荷作用下发生弯曲变形，梁轴线由直线 弯曲成一条光滑连续曲线。 梁曲线上任一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移 称为该点的挠度 。 梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。
③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和
2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最 大直径才为 75mm。 T (kNm) 2.814 x – 4.21
13
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
课堂练习
14
第二节
梁的变形及刚度计算
一、弯曲变形的概念
为了确保梁的正常工作，梁除了满足强度条件外，还要求
D=60mm，小端直径为
d=30mm，已知G=80GPa，
1
0
/m 。试求：
1)．校核该轴刚度； 2)．A截面相对于C 截 面的扭转角。
解：1．内力分析：
画扭矩图如图所。
7
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
2．变形分析及刚度条件：
3.14 604 1012 I P1 1.27 106 (m 4 ) 32 32 d 4 3.14 304 1012 I P2 0.08 106 (m 4 ) 32 32 180 T1 180 2.5 103 0 1 1 . 4 ( /m) 9 6 GI P1 3.14 80 10 1.27 10 180 T2 180 1.5 103 0 2 1 . 35 ( /m) 9 6 GI P 2 3.14 80 10 0.08 10 故 max 1.4( 0 /m)

第九章 杆件的变形及刚度计算

第九章 杆件的变形及刚度计算

l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
第九章
杆件的变形及刚度计算
第九章
杆件的变形及刚度计算
三、微分方程的积分
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
1.积分一次得转角方程
EIw M ( x )dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
一、叠加原理
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载
(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1
1 M ( x) ( x) EI
第九章
杆件的变形及刚度计算
2.由数学得到平面曲线的曲率
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w ) | w | (1 w )
第九章
杆件的变形及刚度计算
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件 在简支梁中, 左右两铰支座处的 挠度 w A 和 w B 都等于0. 在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.

材料力学第04章 杆件变形分析

材料力学第04章 杆件变形分析
桁架的变形通常用节点的位移（displacement）表示，现以 下图所示桁架为例，说明桁架节点位移的分析方法。
例4-2 桁架是由1、2杆组成，
通过铰链连接，在节点A承受 铅垂载荷F=40kN作用。已知
杆1为钢杆，横截面面积
A1=960mm2，弹性模量 E1=200GPa，杆2为木杆，横 截面面积A2=2.5×104mm2， 弹性模量E2=10GPa，杆2的杆 长为1m。求节点A的位移。
M (x) EI 24
d2w/dx2与弯矩的关系如图所示，坐标轴w以向上为正。由
该图可以看出，当梁段承受正弯矩时，挠曲线为凹曲线，如
图（a）所示，d2w/dx2为正。反之，当梁段承受负弯矩时， 挠曲线为凸曲线，如图（b）所示，d2w/dx2为负。可见， d2w/dx2与弯矩M的符号一致。因此上式的右端应取正号，即
于梁的高度，剪力对梁的变形影响可以忽略不计，上式仍可
用来计算横力弯曲梁弯曲后的曲率，但由于弯矩不再是常量，
上式变为
1 M (x)
(x) EI
即挠曲线上任一点处的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，
而与该截面的抗弯刚度（flexural rigidity）EI成反比。
23
由高等数学可知，平面曲线w=w(x)上任一点的曲率为
15
对于扭矩、横截面或剪切弹性模量沿杆轴逐段变化的圆 截面轴，其扭转变形为
n
Tili
i1 Gi I Pi
式中，Ti、li、Gi与IPi分别为轴段i的扭矩、长度、剪切弹 性模量与极惯性矩，n为杆件的总段数。
16
2．圆轴扭转的刚度条件
在圆轴设计中，除考虑其强度问题外，在许多情况下对刚 度的要求更为严格，常常对其变形有一定限制，即应该满足 相应的刚度条件。

材料力学-杆件的变形计算

EIz EIw M (x)dx C
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要经过边界条件或者连续条件来拟
定其大小。
❖ 边界条件：梁在其支承处旳挠度或转角是已知旳， 这么旳已知条件称为边界条件。
❖ 连续条件：梁旳挠曲线是一条连续、光滑、平坦旳 曲线。所以，在梁旳同一截面上不可能有两个不同 旳挠度值或转角值，这么旳已知条件称为连续条件。
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
= 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上旳正应力 σ (b) 螺栓旳横向变形△d
解：1) 求横截面正应力
l 0.04 7.4110-4
l 54 E 200 103 7.41104 148.2 MPa
M lBA BA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
j
DB
2.33
第三节 梁旳变形
1、梁旳变形
梁必须有足够旳刚度，即在受载后不至于发生过大旳弯 曲变形，不然构件将无法正常工作。例如轧钢机旳轧辊，若 弯曲变形过大，轧出旳钢板将薄厚不均匀，产品不合格；假 如是机床旳主轴，则将严重影响机床旳加工精度。
dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表达扭转变形旳大小
单位长度扭转角旳单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x

《工程力学》第五章 杆件的变形与刚度计算


根据杆所受外力，作出其轴力图如 图 b所示。
（2）计算杆的轴向变形 因轴力FN和横截面面积A沿杆轴线变
化，杆的变形应分段计算，各段变形的 代数和即为杆的轴向变形。
l
FNili FN1l1 FN 2l2 FN 2l3
EAi
EA1
EA1
EA2
1 200 103
( 20 103 100 500
10 103 100 500
10 103 100 )mm 200
0.015mm
例5-2 钢制阶梯杆如图，已知
轴向外力F1=50kN，F2=20kN，
各段杆长为l1=150mm，
l2=l3=120mm，横截面面积为：
1
A1=A2=600mm2，A3=300mm2，
钢的弹性模量E=200GPa。求各
x
l 3
，ym
ax
9
Ml2 3E
I
xMl2 16EI
A
M 6EIl
(l 2
3b2 )
B
M 6EIl
(l 2
3a2 )
三、叠加法计算梁的变形
➢叠加法前提条件：弹性、小变形。 ➢叠加原理：梁在几个载荷共同作用下任一截面的挠度或转角， 等于各个载荷单独作用下该截面挠度或转角的代数和。
F1=2kN，齿轮传动力F2=1kN。主轴的许可变形为：卡盘 C处的挠度不超过两轴承间距的 1/104 ；轴承B处的转角
不超过 1/103 rad。试校核轴的刚度。
解（1）计算截面对中 性轴的惯性矩
Iz
D4
64
(1 4 )
804 (1 0.54 )mm4
64
188104 mm4
（2）计算梁的变形

杆件的轴向拉压变形及具体强度计算


根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
1、强度校核：
max
FN A

2、设计截面：
A

FN

3、确定许可载荷： FN A
目录
拉压杆的强度条件
例题3-3
F
F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200 。
〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。
解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。
目录
——横截面上的应力
目录
FN
A
——横截面上的应力
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂 直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
目录
• 拉(压)杆横截面上的应力
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
B
1

FN1 A1


28.3103 202 106

4
F
90106 Pa 90MPa
x
2

FN 2 A2

20103 152 106

89106 Pa 89MPa
目录
三、材料在拉伸和压缩时的力学性质
教学目标：1.拉伸、压缩试验简介； 2.应力-应变曲线分析； 3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质； 4.试件的伸长率、断面收缩率计算。
教学重点：1.应力-应变曲线分析； 2.材料拉、压时的力学性质。
教学难点：应力-应变曲线分析。 小 结: 塑性材料与脆性材料拉伸时的应力-应变曲线分析。 作 业: 复习教材相关内容。

第四章 杆件的变形 · 简单超静定问题


A1
、物理方程－变形与受力关系
FN 1 L1 FN 3 L3 cos E1 A1 E3 A3 补 充 方 程 (3)
F
FN1
A
FN3 FN2

、联立方程(1)、(2)、(3)可得:
x
FN1 FN 2 E3 A3 F E1 A1F cos2 ; FN 3 3 2E1 A1 cos E3 A3 2E1 A1 cos3 E3 A3

0.02 2 160 106
[ FN ] AD sin 50.24 1 0.75 / 0.752 1 [F ] 12.06 KN 2.5 AB
C 0.75m A 1m D D
(2)、B点位移
lCD
B lCD
[ FN ]lCD EA
D1 1.5m
l l
虎克定律 实验证明： 引入比例常数E,则
Fl l A FN l （虎克定律） Fl l EA EA
E——表示材料弹性性质的一个常数，称为拉压弹 性模量，亦称杨氏模量。单位：MPa、GPa. 例如一般钢材: E=200GPa。
EA——杆件的抗拉/压刚度
1）
O
1
B 4F
B
1
α α
2
FNAB FNAC
C
F F
X
0 0
FNAC sin FNAB sin 0
Y
A
LAB
FNAC cos FNAB cos F 0 F FNAC FNAB 2 cos F L FL LAC NAC EA 2 EA cos
轴向拉伸或压缩时的变形 刚度条件 超静定问题
轴向拉伸或压缩时的变形
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求杆件的变形的叠加法
在线弹性和小变形的条件下，杆件的变形和 位移与载荷成线性关系，可利用叠加原理求杆件的 变形和位移。以梁为例，即欲求几项载荷共同作用 下在梁上某点引起的位移，可先分别计算每一项载 荷单独作用下同一点处的位移，然后进行代数相加。
由于一些基本梁（简支架、悬臂梁）在典型载荷 作用下的挠度与转角均已按积分法算出并编制成表6 －2，因而利用这些结果，由叠加法可以很方便地求 得各种梁在复杂载荷作用下的挠度与转角。
64
Ed
4
Pl3 48
5ql 4 384
64
200 109
0.134
3.5
10 48
3
1
5 1.035 104 384
1
0.031 103 m
(b ) 刚度校核 轴的刚度足够。
fmax 0.031 mm
6.3.3 提高梁刚度的措施 由梁的挠曲线近似微分方程: v'' d 2v M (x) 可见 dx2 EI
6.2 圆轴的扭转变形及其刚度条件
圆截面直杆在扭转时，小变形情况下，可认为各横截面 之间的距离保持不变，仅绕轴线作相对转动，两横截面间相
对转过的角度称为扭转角，用φ表示。 当在某一段杆内T、G、Ip为常量时，杆的扭转角为：
圆轴扭转的刚度条件：
l
T GIp
l
教材例6-2
任务6.3 梁的变形 及其刚度条件
表6-2介绍
6.3.2 梁的刚度条件与合理刚度设计
1.梁的刚度条件 指梁的最大挠度和最大转角不能超过许可值，即
max fmax f
弯曲构件的刚度条件。
2 刚度的合理设计
对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件 和构件的不同要求，将最大挠度和转角限制在一定范围内，即满 足弯曲刚度条件。
4）. 预加反弯度（起拱）：如吊车梁，起拱l/500~l/700.
拉压
扭转
弯曲
外载荷
内力
轴力
扭矩
应力 强度条件
N
A
max
max
T WP
max
变形计算 E l Nl
EA
T
GI P
刚 度 EA：抗拉刚度 GIP：抗扭刚度
剪力 弯矩
M WZ
max
y,, M EI Z
EIZ：抗弯刚度
教材例6-4，6-5
例：简化电机轴的尺寸和载荷如图所示，已知E=200GPa，d=130 mm， 定子与转子的许用间隙δ=0.35mm；校核轴的刚度。
P=3.5 kN q=1.035 kNm
A
C
B
500
500
解 (a) 用叠加法求梁的最大挠度
f max
vC
Pl 3 5ql 4 48EI 384EI
梁的弯曲变形与弯矩M（x）及抗弯刚度有关，而影响梁弯矩的因素又包括载 荷、支承情况及梁的有关长度。因此，为提高梁的刚度，可采用如下一些措施：
1）. 选择合理的梁截面，从而增大截面的惯性矩I；
2）. 调整加载方式，改善梁结构，以减小弯矩：使受力部位尽可能靠近支 座；或使集中力分散成分布力；
3）. 减小梁的跨度；增加支承约束； 其中第三种措施的效果最为显著，因为梁的跨长或有关长度是以其乘方影响梁 的挠度和转角的。
• 不要以为梁的弯曲只发生在结构构件上，在施工 阶段模板支承不当照样发生弯曲问题
理实结合法应用：过梁——简支梁
过梁变形过大 对门窗的影响
约束特点：一端固定铰 支、一端可动铰支
过梁
简支梁
梁在各种简单荷载作用下的变形
在建筑工程中，通常不需要建立梁的挠 曲线方程，而只需要求出梁的最大挠度 和转角。为使用方便，将常见梁在简单 荷载作用下的挠曲线方程、端截面转角 和最大挠度列于表6-2，以便查用。
-------胡克定律 （6-5）
---------- 称为抗拉（压）刚度。
在弹性范围内有：
-------泊松比，见表6---1
教材例6-1
【例 】已知α=30。，杆长L=2m,直径d=25mm，E=210GPa， P=100kN,求节点A的位移。
【解】
100×1000×2000/(2×210×1000 ×3.14×12.52×COS30°)=1.12 （mm）
项目6 根据研究对象内力图， 研究杆件变形及其刚度计算
教学目标：
1、理解轴向拉压变形的纵向和横Βιβλιοθήκη 应变，掌握胡克定 律，会刚度计算；
2、理解圆轴的扭转变形并进行刚度计算； 3、理解梁的弯曲变形，会计算简单梁的最大转角和挠
度，会校核梁的刚度。——重点
任务6.1 轴向拉伸与压缩变形
a1 a
纵向变形：
横向变形：
6.3.1 挠度与转角
梁变形前后形状的变化称为变形。梁变形前后位置的变化称 为位移，位移包括线位移和角位移，如图所示。在小变形和忽略 剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位 移，称为挠度，用y表示；角位移是横截面变形前后的夹角，称 为转角，用θ表示。
规定：挠度：向下为“+”，反之为“-” 教材例表6-2 转角：顺时针为“+”，反之为“-”