2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt

1
f ( x)dx
b
dx (b a)
∴ =1/(b-a).
a
d 1
d c
(2) P{c X d}
dx
c ba ba
（一）均匀分布 若连续型随机变量X的概率密度函数为
f
(x)
b
1
a
,
a
x
b
0, else
则称X在(a, b)上服从均匀分布，记为 X ~ U (a, b)
易知， f ( x) 0,
a
f ( x)dx
0
20
③ F(a) = F(a)
④ F(a) = 2F(a) 1
练习
2.设X为连续型随机变量，其分布函数为：
F
(
x)
A
Be
2
x
,
x0
C,
x0
求:(1)A ,B,C (2) f(x) (3) P{-2<X<1}
练习
3、设X与Y 同分布，X 的概率密度为
f
(
x)
3 8
x
2
Z的概率密度： x
1
x2
e2
2
Z的分布函数：(x) x
y ( x)
y
1 t2 e 2 dt
2
(x)
(x)
xx 1
x 0 x
x
29
标准正态分布N(0, 1)
(x)
密度函数记为 (x),
分布函数记为 (x).
(1) (0) 1 , 2
( x)
1 (x)
x 0 x
x
(2) ( x) 1 (x)
2
3 P{ X C } 3F (C ) 3(C 3) 2

20
1
x
e 10 dx
1
x
e 10
20
10 1 0
10 10
e1 e2 0.2325
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33
3．正 态 分 布
如果连续型随机变量X 的密度函数为
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
其中 ， 0为参数
则称随机变量X 服从，参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
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36
密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
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P 1或 2
11 dx 6 1 dx
3 9
29
24 2 99 3
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2．指 数 分 布
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
e
x
x0
0 x0
其中 0为常数，则称随机变量服从 参数为的指数分布．
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28
密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布，f x是其密度函数，则有：
例 7：
设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是
以 1 为参数的指数随机变量．如果某人刚
10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率．

x
F ( x) f ( x)dx
则称X为连续型随机变量，称 f (x)为X的概率密度函数，简称 概率密度或密度.
概率论与数理统计
2
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 从几何上看, 连续型随机变量X的分
布函数是由概率密度曲线 f (x), x轴,
概率论与数理统计
3
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 根据高等数学的知识，容易得到，连续型随机变量的分布函
数一定是连续函数，且在F(x)的导数存在的点上有
F( x) f (x).
➢ 由上述定义，显然，对于任意的实数 x1 x2 ，均有
P
x1 X x2
试求(1)
常数A,
1 Aex1 , x 1.
B的值；(2) 概率密度f
(x)；
(3)
P(X
1 ).
2
➢ 解 (1) 由分布函数的连续性知 lim F( x) F(0), lim F( x) F(1),
x0
x1
可得
A
B,1
A
B,
则
A
B
1 2
.
1 2
e
x
,
故分布函数为：F
(
x
)
1
,
2
x 0, 0 x 1,
概率论与数理统计
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
➢ 由于连续型随机变量是在实数集上连续取值的随机变量，其 概率分布与离散型完全不同，由于其取值有无穷多个，不能 一一列举，需要用新的方法来研究其分布律. 对于这类随机变 量，用概率密度来描绘连续型随机变量的概率分布.

解：⑴．P1 X 5 F (5) F (1)
(5 2) (1 2)
3
3
1
1 3
1 1 1
3
0.84134 0.62930 1
0.47064
⑵．PX 2 6 1 PX 2 6
1 P 6 X 2 6
x
令 u t
1
t2 x
e 2 dt
2
1
(2) (0) P( X 0) 1 2
() 1 ;() 0
引理：
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
FY
y
PY
y
P{ X
P{X y} 1
y}
y
e
t 2
2 2
dt
2
作变换
u
t
，du
dt
FY y
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t
指数分布
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件 使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件 概率与从开始使用时算起它至少能使用 t小时的概 率相等，即元件对它使用过 s 小时没有记忆,具有这
一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
(2)若X~N(,2),
P{X x} P{ X x }
( x )
(3) 若X~N(,2),对于任意区间(x1,x2]有
P( x1
X
x2 )
P
x1
X
x2
x2
x1
【例5】 设 随 机 变 量 X ~ N 2， 9 求 ： ⑴ P1 X 5；⑵ PX 2 6；⑶ PX 0．