连续型随机变量及其分布PPT课件

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连续型随机变量PPT课件

20
1
x
e 10 dx
1
x
e 10
20
10 1 0
10 10
e1 e2 0.2325
2021/5/11
33
3．正态分布
如果连续型随机变量X 的密度函数为
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
其中， 0为参数
则称随机变量X 服从，参数为， 2 的
正态分布．记作
f (x)
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
2021/5/11
36
密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
2021/5/11
P 1或 2
11 dx 6 1 dx
3 9
29
24 2 99 3
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27
2．指数分布
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
e
x
x0
0 x0
其中 0为常数，则称随机变量服从参数为的指数分布．
2021/5/11
28
密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布，f x是其密度函数，则有：
例 7：
设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是
以 1 为参数的指数随机变量．如果某人刚
10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分钟到20分钟之间的概率．

连续随机变量及分布 PPT

解：方程 x2 Yx 1 0 有实根的充要条件是
{Y 2 4 0} {Y 2}{Y 2}
而Y ~ U (1,6) ，因此所求概率为
P(Y 2) P(Y 2) 0 6 1dx 0.8 25
2．指数分布
定义 3 设随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
1
ex
/
,
x
0,
0,
x 0.
概率与小区间得位置无关, 只与其长度成正
比、这正就是几何概型得情形、
应用场合
进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作
服从
U
110k 2
,
110k 2
的
r.v.
随机变量
例 3 设随机变量 Y 服从(1, 6)上的均匀分布，求方程 x2 Yx 1 0 有实根的概率。
则称随机变量 X 服从指数分布，记作
X ~ e ( )，其中 0 是分布参数。
X 得分布函数为:
0, F(x) 1 ex/ ,
x0 x0
f ( x)
0
x
F( x) 1
0
x
应用场合：用指数分布描述的实例有：
（1）随机服务系统中的服务时间；（2）电话问题中的通话时间；（3）无线电元件的寿命及动物的寿命 ------------指数分布常作为各种“寿命”分布的近似。
例 4 已知某电子元件生产的电子元件的寿命 X(h)服从指数分布 e (3000)，该厂规定寿命低于 300h 的元件可以退换，问改厂被退换元件的数量大约占总产量的百分之几？
解因为 X 的概率密度为
f (x) 1 ex /3000, x 0 3000我们有Fra bibliotek300

常见连续型随机变量的分布ppt课件

故 b=-1.65
最新课件
26
正态变量的标准化
定理若 X~N(,2)，则 UX~N(0,1).
F(x)P{Xx} P {X x } (x )
已 X ~ N ( μ , 知 σ 2 ) 求 P ,{ c X d }.
P {cXd}F(d)F(c) d σμc σμ.
即 P { c X d } d μ c μ .
最新课件
12
三、正态分布
定义设连续型随机X变的量概率密度为 f(x) 1 e(x2σμ2)2 , x,
2πσ 其中μ, σ(σ0)为常数 ,则称X服从参数μ,为 σ 的正态分布或高,记斯为分X布~ N(μ,σ2).
最新课件
13
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线x关 μ对于 ;称 (2)当 xμ时 ,f(x)取得最1大 ; 值
σ
E(X) 1
t2
(μσt)e 2dt
2
μ1
et2 2dtσ
t2
te2dt
μ.
2
2
D(X) 2
最新课件
18
正态分布下的概率计算
P{Xx}F(x) 1 e dt x (t2 σμ2)2
2πσ
原函数不是
?
初等函数
方法一:利用MATLAB软件包计算方法二:转化为标准正态分布查表计算
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21
例1 证明 ( x ) 1 (x ).
证明
x
(x)
1
x2
e 2dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 dx
2π
x
1
x2

高等数学(第2版)课件：连续性随机变量及其概率分布

解：P{10 X 13} (13 10) (10 10)
2
2
(1.5) (0)
0.9332 0.5 0.4332
P{| X 10 | 2} P{| X 10 | 1} 2(1) 1 2
0.6826
例5. 设 X ~ N (, 2 ) ,求 P{| X | 3 }. 解：P{| X | 3 } P{| X | 3} 2(3) 1 20.9987 1 0.9974
说明：尽管随机变量的取值范围是(, )，但它的值几乎全部集中在区间( 3 , 3 )内，而超出此区间的可能性不足3%,这在统计学上成为3 准则.
例6. 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，
调节器定在d oC，液体的温度 X（oC）是一个随机变量，
且 X ~ N (d ,0.52 ). 1)若d 90,求 X 小于89的概率； 2)若要保持液体的温度至少为80oC的概率不低于0.99 ，
解： (1)
f
(
x)
F
(
x)
2x, 0,
0 x 其它
1
(2) P{0.3 X 0.7} F(0.7) F(0.3) 0.72 0.32 0.4
或
P{0.3 X 0.7}
0.7
f ( x)dx
0.7
2x dx 0.4
0.3
0.3
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布若连续型随机变量X具有概率密度
例3. 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数 1
2000 的指数分布（单位：小时）.任取一只这种灯管，
求能正常使用1000小时以上的概率.
解：依题意，X 的概率密度为
f
(
x)

连续型随机变量常见的几种分布PPT课件

(5).标准正态分布
▲ 称 0, 1的正态分布为标准正态分布.
其密度函数和分布函数常用 ( x)和 ( x)表示：
(x)
1
x2
e 2,
x
2
1
x t2
(x)
e 2 dt
2
其图形为:
22
第22页/共49页
(x)
(x)
密度函数( x)
分布函数 ( x)
23
第23页/共49页
▲ 标准正态分布的重要性
P(|Y | ) 0.6826 P(| Y | 2 ) 0.9544 P(| Y | 3 ) 0.9974
可以认为：
Y 的取值几乎全部集中在 [ 3 , 3 ]
区间内。这在统计学上称作“3 准则”
（三倍标准差原则）
31
第31页/共49页
例3.已知自动车床生产的零件的长度X(毫米)服从正
1 P( X d 80 d ) 1 (80 d )
0.5 0.5
0.5
35
第35页/共49页
即 ( 80 d ) 1 0.99 0.01 0.5
反查正态分布表，由于表中无0.01的 ( x) 的值
故采用如下方法处理:
(u) 1 (u) (u) 1 (u)
现 1 (u) 0.01 (u) 0.99
3. 正态分布
正态分布是应用最广泛的
一种连续型分布.
数学家德莫佛最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.
德莫佛
正态分布在十九世纪前叶由数学家高斯加以推广，所以通常也称为高斯分布.
高斯
11
第11页/共49页
(1). 正态分布的定义

概率论与数理统计2.3-连续型随机变量及其分布PPT课件

1dx a
1a 3
1dx
2
0a
3
2021/3/12
13
几种常见的连续型随机变量的分布
➢指数分布
若随机变量X的概率密度为
ex , x 0,
f (x)
0,
x 0,
其中,λ>0为常数,则称X服从参数为λ的指
数分布,记作X~E[λ].
1 ex , x 0,
F(x)
0,
x 0.
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1 ,1 x 1, 1 x2
2021/3/12
0,
其他, 6
例3.向半径为R的圆形靶射击，假设不会
发生脱靶，且击中任意同心圆盘的概
率与该靶的面积成正比，设随机变量
X表示击中点与靶心的距离.
(1) 求X的分布函数与分布密度;
(2)把靶的半径10等分，若击中点落在以靶心为中心，内外半径分别为iR/10及 (i+1)R/10的圆环内时记为10-i环。求一次射击得到10-i环的概率。
P( X 200)
P( X P( X
300) 200)
e3 e2
e1
0.3679
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17
若随机变量X对任意的s>0,t>0有
P(X s t | X s) P(X t),
则称X的分布具有无记忆性.
➢指数分布具有无记忆性
➢指数分布和泊松分布有着特殊的联系
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8
几种常见的连续型随机变量的分布
➢均匀分布
若随机变量X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a x b,

《连续型随机变量》课件

02
对于连续型随机变量的最大值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λxtext{F}(x) = 1 - e^{-lambda x}F(x)=1−e−λx，其中λlambdaλ是随机变量的密度函数。
03
对于连续型随机变量的最小值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λ(−x)text{F}(x) = 1 - e^{-lambda (-x)}F(x)=1−e−λ(−x)。
THANKS
感谢观看
最大值和最小值在决策分析中的应用
01
在风险管理中，连续型随机变量的最大值和最小值具有重要的应用价值。
02
通过分析最大值和最小值的概率分布、数学期望和方差，可以帮助决策者更好地理解潜在的风险和机会，从而做出更明智的决策。
03
在金融领域，连续型随机变量的最大值和最小值可用于评估投资组合的风险和回报，以及制定风险管理策略。
连续型随机变量的最小值的数学期望 E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)text{E}(X_{min}) = infty sum_{x=0} x P(X < x)E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)。
连续型随机变量的最小值的方差 Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)−E2(Xmin)]text{ Var}(X_{min}) = -infty sum_{x=0} [x^2 P(X < x) E^2(X_{min})]Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)− E2(Xmin)]。
03
连续型随机变量的期望和方差
期望的定义和计算
定义
连续型随机变量的期望值是所有可能取值的加权和，其中每个取值的权重等于该取值出现的概率。

概率论 Ch3连续型随机变量与分布(4,5,6).ppt

x
1 2
x
fX Y
t
1 2
dt
x 1
2t 3
dt
1
0
1 3
x
2
1
1
x 1 1 x2 x2
x 1 1 x2
x2
⑵由分布函数性质知
3 1
3 1
1
P0
X
2
Y
2
FX Y
2
2
FX
Y
0
2
1 3
3 2
2
1
0
5 12
也可由密度函数性质得到:
P
0
X
3 2
Y
1 2
3 2 0
fX Y
x
1 2
dx
3 2
2xdx
13
5.
12
⑶由定义: fY X y x
fX
x
x3 4
0,
而
f x, y
,
fX x
当0 x 2时,
f
x,
y
2xy
0 x 2, 0 y x , X x 2
0
其余
2xy
0
0 y x 2
其余
故当 0 x 2 时,
2 xy
fY X
例1 设二维随机变量 X ,Y 的联合分布函数为
F x, y AB arctan xC arctan y,
求常数 A, B,C.
解由分布函数 F x, y的性质得:
lim
x y
F
x,
y
A
B
π 2
C
π 2
1,
lim
x, y
F

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上例中用到积分公式：
a2x2d xxa2x2a2arcx sC i.n
2
2a
大家应复习有关积分的方法与公式。
请看P.40-41:例9；例10.
概率论与数理统计
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三、几种重要的连续型随机变量 1、均匀分布
定义2 设连续型随机变量X具有概率密度
f (x)b1a, axb, 0, 其它,
a a
,
x a, a x b, x b.
p(x)dx0.
由此可得
P {aXb}P {aX b }P {aX b } P {aXb}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
概率论与数理统计
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注意
设X为连续型随机变量，X=a 是不可能
事件,则有
连
P {X a }0 .
续
型若 P {Xa}0,
则不能 {X确 a}定是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
离
散
{Xa}是不可能事件 P {X a } 0 . 型
概率论与数理统计
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题型1.分布函数和概率密度的判定或确定待定参数题型2.分布函数与概率密度的求法 I.求分布函数
(1).已知密度函数,用积分求分布函数; (2).未知密度函数,用定义求分布函数. II.求概率密度一般,已知连续型随机变量X的分布函数F(x),则其概率密度为
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得3kd x x4 (2x )d x 1 , 解之得 k1.
0
32
6
(2)由k1知X的概率密度为 6
x 6
,
p( x )
2
x 2
,
0 ,
0 x 3, 3 x 4, 其它 .
概率论与数理统计
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由 F(x)xp(x)dx得
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例9-续1
x
0dt,
x 1,
F(x)
x
f
(t)d
t
1
0dt
x
2
1
1
1
0dt
2
1
0,
1 t2 dt,
1 x 1,
x
1 t2 dt 0dt, x 1
1
x1,
1x,
1x2 1arcsxin1,
2
1x1, x1.
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f(x)F(x)
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例1 设随机变量 X 具有概率密度
kx , 0 x 3,
p( x )
2
x 2
,
3 x 4,
0 ,
其它 .
(1) 确定常数 k; (2) 求 X 的分布函数 ;
(3) 求 P {1 X 7 }. 2
解 (1)由 p(x)dx1,
0, x 0,
x xdx,
0 x 3,
F(x)
0 3
6 xd
x
x
(2
x)d
x,
0 6
3
2
1, x 4.
3 x 4,
概率论与数理统计
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0,
x 0,
x2
,
0 x 3,
即
F(
x)
12 3
2x
x2 4
,
3 x 4,
1,
x 4.
(3)P{1X72}F(72)F(1)
则称随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为
X~U(a,b).
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均匀分布的分布函数
x
0dt,
F(x)
x
f
(t)dt
a 0dt
x a
b
1
a
dt,
a
0dt
b a
b
1
a
dt
x b
0dt,
x a, a x b, xb
0,
x 1b,
§3 连续型随机变量及其分布
一、概率密度的概念
定义1 设随机变量X的分布函数为F(x),如果存
在非负函数f(x),使对x均有
x
F(x) f (t)dt,
则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率
密度(函数).
概率密度与分布函数均可完整地描述连续型随机
变量的统计规律性.
概率论与数理统计
41 48
.
概率论与数理统计
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例2 设有连续型随机变量X的分布函数为
ABex, x0; F(x)
(0)
0, x0.
(1).确定常数A,B的值;
(2).求密度函数f(x);
(3).计算P{X>0.1}.
解：(1).由分布函数性质得:
0 F ( 0 ) F ( 0 ) li( A m B x ) e A B x 0 1F () li(m A B x e )A
则
x
A=1, B=-1.
概率论与数理统计
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(2).因为 1ex, x0;
F(x) 0, x0.
(0)
所以求导得:
ex, x0
f (x) 0, x0
(3).P{X>0.1}=1-P{X≤0.1}=1-F(0.1)
=1-(1-e-0.1λ)= e-0.1λ;
或P{X>0.1}= f(x)d x exd xex|0 . 1e0.1
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二、概率密度的性质
由定义知,概率密度 f(x)具有以下性质:
f(x)0( x) ;
f (x)dx 1; [确定待定参数]
b
P{aXb} f(x)d xF(b)F(a);[求概率]
x
a
F(x) f(t)d(t x )[;由概率密度求分布函数]
F(x)f(x)x(为 f(x)的连)续 [.由分布点函数求概率密度]
0.1
0.1
概率论与数理统计
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练习设随机变量X的概率密度为
f(x)2 1x2, 1x1,
0, 求X的分布函数。
其它 ,
【解】概率密度f(x)在(-∞,+∞)上为分段函数,
其分段区间为(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞);而分布函数
为累积和,故应就x在上述不同区间上积分求F(x).
到x的一块面积；
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概率密度的几何意义
b
P{aXb} f(x)dx

xx
a
f (x)dx f (x)x.
概率论与数理统计 x
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注意对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a
的概率等于零.即
P {X a }0 .
证明
ax
P{Xa}lxi m 0a
概率论与数理统计
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性质（1）的几何意义是分布密度曲线总是位于x轴
上方；
性质（2）的几何意义是分布密度曲线与x轴之间的
面积为1；
性质（3）的几何意义是X取值于任一区间的概率等
于以区间为底，以分布密度曲线为顶的曲
边梯形的面积；
性质（4）中X的分布函数F(X)的几何意义是分布密
度函数 y以下f ，(x)x轴上方，从