常见连续型随机变量的分布

1.均匀分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f2.指数分布 密度分布函数 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ 3.伽玛分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=--0,00,)()(1x x e x x f x ααααλ4.正态分布 密度分布函数 222)(21)(σμπσ--=x e x f5.对数正态分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>=--e l s e x e x x f x ,00,21)(222)(l n σμπσ6.贝塔分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-ΓΓ+Γ=--e l s e x x x r r r r x f r r ,010,)1()()()()(112121217.爱尔兰分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--0,00,)!1()(1x x e x r x f x r r λλ8.拉普拉斯分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=--λμλx e x f 21)(%泊松分布概率密度作图：x=0:20;y1=poisspdf(x,2.5);y2=poisspdf(x,5);y3=poisspdf(x,10);hold onplot(x,y1,':r*')plot(x,y2,':b*')plot(x,y3,':g*')hold offtitle('Poisson 分布')正态分布标准差意义的图示mu=3; sigma=0.5;x=mu+sigma*[-3:-1,1:3];yf=normcdf(x,mu,sigma);P=[yf(4)-yf(3),yf(5)-yf(2),yf(6)-yf(1)];xd=1:0.1:5;yd=normpdf(xd,mu,sigma);%for k=1:3xx{k}=x(4-k):sigma/10:x(3+k);yy{k}=normpdf(xx{k},mu,sigma);endsubplot(1,3,1),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(3),xx{1},x(4)],[0,yy{1},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(1))),hold offsubplot(1,3,2),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(2),xx{2},x(5)],[0,yy{2},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(2))),hold offsubplot(1,3,3),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(1),xx{3},x(6)],[0,yy{3},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(3))),hold offv=4;xi=0.9;x_xi=chi2inv(xi,v);x=0:0.1:15;yd_c=chi2pdf(x,v);%。

,.第七讲连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布设连续型随机变量X 具有概率密度)5.4(,,0,,1)(⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它b x a ab x f则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).X 的分布函数为)6.4(.,1,,,,0)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F（2）指数分布设连续型随机变量X 的概率密度为)7.4(,,0,0,e1)(/⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它x x f x θθ其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布.容易得到X 的分布函数为第二章 随机变量及其分布§4 连续型随机变量 及其概率密度1=2,.)8.4(.,0,0,1)(/⎩⎨⎧>-=-其它x e x F x θ如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有 P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9)事实上}.{e ee )(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>=>>⋂+>=>+>--+-θθθ性质(4.9)称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.（3）正态分布设连续型随机变量X 的概率密度为)10.4(,,e21)(222)(∞<<-∞=--x x f x σμσπ其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ).显然f(x)≥0, 下面来证明1d )(=⎰+∞∞-x x f令t x =-σμ/)(, 得到f (x )的图形:,.dx edx et x 22)(2222121-∞+∞---∞+∞-⎰⎰=πσπσμ.1d 21d 21)11.4(π2d d e,,d d ,de 22)(20222/)(22/2222222======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞--∞∞---∞-+∞∞-+∞∞-+-∞∞--x ex e r r I u t e I t I t x r u ttπσπθσμπ于是得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:（1）.曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意h>0有P{μ-h<X ≤μ}=P{μ<X ≤μ+h}.（2）.当x=μ时取到最大值.π21)(σμ=f x 离μ越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离μ越远, X 落在这个区间上的概率越小。

连续型随机变量与分布随机变量是概率论和数理统计中的重要概念之一，它描述了试验结果的不确定性。

随机变量可以分为离散型和连续型两种。

在本文中，我们将重点讨论连续型随机变量及其分布。

一、连续型随机变量的定义连续型随机变量是指其取值范围为连续的实数集合的随机变量。

与之相对应的是离散型随机变量，其取值范围为有限或可列的数集。

举例来说，假设我们研究某地每天降雨的量，用X表示降雨量。

如果我们用毫升作为单位，X可以取任意实数值，包括小数。

这种情况下，X就是一个连续型随机变量。

二、连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，我们不能像离散型随机变量那样用概率质量函数来描述其概率分布，因为连续型随机变量可能取无限个实数取值。

为了描述连续型随机变量的概率分布，我们引入了概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）。

概率密度函数f(x)满足以下两个条件：1. 非负性：对于任意实数x，有f(x)≥0；2. 归一性：∫f(x)dx = 1，其中积分范围为整个样本空间。

概率密度函数f(x)表示了随机变量X落在无穷小区间(x, x+dx)内的概率。

具体而言，对于一个事件A，其对应的概率可以通过计算f(x)在该区间上的积分得到。

三、连续型随机变量的分布函数与离散型随机变量相似，连续型随机变量也有分布函数（Distribution Function），又称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）。

对于连续型随机变量X，其分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)，表示X小于等于x的概率。

分布函数具有以下性质：1. 非减性：对于任意实数x1 < x2，有F(x1) ≤ F(x2)；2. 右连续性：对于任意实数x0，有F(x0) = lim(x→x0⁺)F(x)。

通过分布函数，我们可以计算随机变量X落在任意区间上的概率。

第一节事件与概率（一）概率的定义⏹研究随机试验，需了解各种随机事件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性。

⏹能够刻画事件发生可能性大小的数量指标称之为概率(probability)。

事件A的概率记为P（A）。

1．概率的古典定义（先验概率）⏹随机试验具有以下特征，称为古典概型。

1.试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个；2.各试验的结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的；3.试验的所有可能结果两两互不相容。

对于古典概型，概率的定义：设样本空间由n 个等可能的基本事件所构成，其中事件A包含有m个基本事件，则事件A 的概率为m/n，即P（A）=m/n这样定义的概率称为古典概率2．概率的统计定义（经验概率）⏹在相同条件下进行n次重复试验，如果随机事件A发生的次数为m，那么m/n称为随机事件A的频率；当试验重复数n逐渐增大时，随机事件A的频率越来越稳定地接近某一数值p，那么就把p称为随机事件A的概率(probability)。

2．概率的运算法则⏹加法法则：互斥事件A和B的和事件的概率等于事件A和事件B的概率之和。

即P(A+B)=P(A)+P(B)。

⏹加法定理对于多个两两互斥的事件也成立。

P(A+B+…+N)=P(A)+P(B)+…P(N)P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）乘法法则：⏹如果A事件和B事件为独立事件，则事件A与B事件同时发生的概率等于两独立事件概率的乘积，即：P(AB)=P(A) •P(B)⏹乘法定理对于n个相互独立的事件也成立，即P(A1A2 ••• An)=P(A1) P(A2) •••P (An)书上例题第二节常用离散变量的理论分布一、二项分布（一）贝努里试验及其概率函数：指只有两种可能结果的随机试验，我们将其中比较关注的结果称为“成功”，另一个结果称为“失败”。

将某随机试验重复进行n次，若各次试验结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称n次试验是独立的对于n次独立的试验如果每次试验结果出现且只出现对立事件A与之一，在每次试验中出现A的概率是常数p(0<p<1), 因而出现对立事件的概率是1-p=q，则称这一串重复的独立试验为n重贝努里试验，简称贝努里试验在n 重贝努里试验中，事件 A 可能发生0，1，2，…，n 次，来求事件 A 恰好发生k (0≤k ≤n )次的概率Pn (k )。

连续型随机变量分布密度随机变量是概率论和统计学中的重要概念，它描述了随机事件的不确定性。

连续型随机变量是一个可以取任意实数值的随机变量。

在概率论和统计学中，我们经常对连续型随机变量的分布进行研究。

分布密度函数是描述连续型随机变量分布的一种方式。

一、连续型随机变量分布密度的定义连续型随机变量的分布可以用分布密度函数来描述。

连续型随机变量X的分布密度函数是一个非负的函数f(x)，它满足以下两个条件：1. f(x)≥0，对于任意的x∈R； 2. 在实轴的某一区间[a, b]上，f(x)的积分值等于该区间上随机变量的概率：P(a≤X≤b)=∫f(x)dx。

二、连续型随机变量分布密度的性质连续型随机变量分布密度函数具有以下性质： 1. f(x)在定义域上非负； 2. f(x)的积分值等于全体实轴上随机变量的概率，即∫f(x)dx=1； 3. f(x)的大小表示了在相应x附近的概率密度。

概率密度越大，表示随机变量在该处取值的概率越大； 4. 对于区间[a, b]上的一个任意子区间[c, d]，有P(c≤X≤d)=∫[c,d]f(x)dx。

三、常见的连续型随机变量分布密度 1. 均匀分布均匀分布是最简单的连续型随机变量分布。

在[a, b]区间内，均匀分布的密度函数为： f(x)={1/(b-a)，a≤x≤b；0，其他}。

2.正态分布正态分布是一种在自然界中广泛存在的分布。

它以均值μ和标准差σ为参数，其密度函数为：f(x)={1/(σ√(2π))e(-((x-μ)2)/(2σ^2))}。

3.指数分布指数分布常用于描述时间段发生某事件的概率密度。

其密度函数为：f(x)={λ*e^(-λx)，x≥0；0，x<0}。

4.γ分布γ分布是指数分布的推广形式，也广泛应用于概率论和统计学中。

其密度函数为：f(x)={((1/(βα))x^(α-1)e(-x/β))/(Γ(α))}。

四、连续型随机变量分布密度的应用连续型随机变量分布密度广泛应用于许多实际问题的建模和分析中。

连续型随机变量的分布函数引言连续随机变量是概率论中的重要概念之一，其取值范围是一段连续的实数区间。

与离散型随机变量不同，连续型随机变量的分布函数是一个实函数，描述了随机变量取值小于等于某一实数的概率。

本文将介绍连续型随机变量的分布函数的定义、性质以及常见的连续分布函数。

一、连续型随机变量的分布函数定义在概率论中，对于一维连续型随机变量X，其分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)其中P为概率函数，表示X取值小于等于x的概率。

分布函数F(x)具有以下性质：1.F(x)是自变量x的单调不减函数；2.F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1；3.当x→负无穷时，F(x)→0；当x→正无穷时，F(x)→1。

二、连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)是分布函数F(x)的导数，即：f(x) = dF(x)/dx概率密度函数描述了连续型随机变量在不同取值下的概率密度。

概率密度函数具有以下性质：1.f(x)是非负函数，即对于所有x，有f(x)≥0；2.连续型随机变量所有可能取值的概率密度函数在取值范围上的积分等于1，即∫f(x)dx = 1。

通过概率密度函数可以计算出在某个区间内连续型随机变量的取值概率，即概率密度函数在该区间上的积分。

三、常见的连续分布函数1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型随机变量分布，其概率密度函数在一个区间内全等于常数，即：f(x) = 1/(b-a)，a≤x≤b，否则 f(x) = 0其中a和b是区间的上下界。

均匀分布的分布函数是线性的，在区间[a,b]内为0，在区间左侧小于a时为0，在区间右侧大于b时为1。

均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)²/12。

2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最具代表性的连续型随机变量分布之一，也称为高斯分布。