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二维连续型随机变量

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§3.3 二维连续型随机变量及其分布

§3.3 二维连续型随机变量及其分布
3)F ( −∞ ,−∞ ) = F ( −∞ , y ) = F ( x ,−∞ ) = 0, F ( +∞ ,+∞ ) = 1;
4)F ( x , y )关于x及y右连续 .
定理3.3.2 设二维随机变量( X ,Y ) 有联合密 定理 度 f ( x , y )，分布函数为 F ( x , y ) ，则 连续函数,且在 (1)F ( x , y )为连续函数 且在 f ( x , y )的连续点处有
作业P31-32 作业
2.4.2 联合分布函数 定义2.4.3 设(X,Y)是二维随机变量，对任 是二维随机变量， 定义 是二维随机变量 意有序实数对(x,y)，定义 ， 意有序实数对
F ( x , y ) = P ( X ≤ x ,Y ≤ y ),−∞ < x , y < +∞ ,
为随机变量(X,Y)的分布函数，或称 称F(x,y)为随机变量 为随机变量 的分布函数， 为X与Y的联合分布函数 与 的联合分布函数.
∂2F( x, y) = f ( x, y); ∂x∂y
(2)对于任意一条平面曲线 ，有 对于任意一条平面曲线L， 对于任意一条平面曲线
P (( X ,Y ) ∈ L) = 0.
如图3.9 表示由曲线 例3.3.1 如图 G表示由曲线 y = x 2 及直 围成的图形在第一象限内的部分， 线 y = 1 围成的图形在第一象限内的部分，设
则称 ( X ,Y ) 服从参数为 µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r 的二维正 态分布,记为 态分布 记为 ( X ,Y ) ~ N ( µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r ). 其中
µ1 , µ 2 ∈ R,σ 1 ,σ 2 > 0, | r |< 1.

3.3二维连续型随机变量

3.3二维连续型随机变量

② P{(,) B} p(x, y)dxdy B
p(x, y)dxdy x y3
1
3 x
dx
1
(6
x
y)dy
5
.
0 28
24
(5) 若 p(x, y) 在 (x, y) 点连续，则 2F(x, y) p(x, y) . xy
例3、 设 ( ,) 的分布函数
F (x, y) A(B arctan x)(C arctan y) ， x, y R
1, 2 0 , 1 1,
称
(
,)
服从参数为
1 ,
2
,
2 1
,
2 2
,
的二维正态分布，记为：
(
,)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
二维正态分布的密度
函数如图所示
信息系刘康泽
若
(
,)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
,则
p (x)
1
e
x 1 212
2
，
2 1
p ( y)
1
e
y2
2
2 2
2
2 2
这说明二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分
布。即：若
( ,)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
，则：
~
N
(1,
2 1
)
，
~
N
(2
,
2 2
)

二维连续型随机变量分布函数及概率的计算

二维连续型随机变量分布函数及概率的计算

二维连续型随机变量分布函数及概率的计算1. 引言1.1 背景介绍随着现代科学技术的不断发展，随机变量理论作为概率论和数理统计中的重要分支，已经成为了各个领域研究的重要工具之一。

而在随机变量理论中，二维连续型随机变量的分布函数及概率的计算更是一个重要且复杂的问题。

二维连续型随机变量是指在二维空间中取值的连续的随机变量，其分布函数的计算涉及了多元积分和概率密度函数等高阶数学知识。

对于二维连续型随机变量分布函数及概率的计算，研究者们一直在探索各种不同的方法和技术。

通过推导分布函数和利用概率密度函数，可以计算出不同事件的概率，从而更好地理解与分析随机变量的性质和特点。

常见的二维分布，如正态分布、均匀分布等，在实际问题中的应用也十分广泛。

研究二维连续型随机变量分布函数及概率的计算对于深入理解概率论和数理统计的基本原理，解决实际问题具有重要意义。

本文将深入探讨二维连续型随机变量的定义、分布函数的推导、概率的计算方法、常见二维分布的概率计算、以及其特性分析，旨在为读者提供对这一重要领域的全面认识和理解。

1.2 研究意义二维连续型随机变量分布函数及概率的计算在概率论和统计学中具有重要的研究意义。

通过对二维连续型随机变量的分布函数和概率的计算，可以帮助我们更好地理解随机现象的规律性和不确定性。

这对于深入研究各种实际问题，如金融市场波动、自然灾害发生等具有重要意义。

二维连续型随机变量的分布函数和概率计算是概率统计学中的基础知识，对于建立概率模型、进行风险评估和决策分析等方面都至关重要。

通过研究二维连续型随机变量的特性和常见分布的概率计算方法，还可以为实际问题的解决提供重要的参考。

深入探讨二维连续型随机变量的分布函数及概率的计算，不仅对学科发展具有重要意义，也对社会问题的解决有着积极的推动作用。

通过本文对该方面的研究，我们能够更全面地理解和应用二维连续型随机变量的相关知识，同时也为未来在这一领域的深入探索提供了基础和指导。

二维连续型随机变量公式

二维连续型随机变量公式

二维连续型随机变量公式 随机变量在概率论中起着重要的作用，它是对可能的结果进行数值化表示的工具。

在概率论中，随机变量可以分为离散型和连续型两种。

本文将重点探讨连续型随机变量中的二维连续型随机变量及其相关的公式。

首先，我们来介绍一些基本概念。

二维连续型随机变量是指对平面上的某个区域内的可能结果进行数值化表示的随机变量。

该随机变量可用一个二维函数来描述其概率密度函数 (Probability Density Function, 简称PDF)。

概率密度函数是一个非负的实值函数，满足以下两个条件：1、对于任意的(x, y)，概率密度函数f(x, y) ≥ 0；2、二重积分∬f(x, y)dxdy的值为1。

概率密度函数可以用来计算某个点落在某个区域内的概率。

在二维连续型随机变量中，还有一些相关的重要概念，如累积分布函数 (Cumulative Distribution Function, 简称CDF)、边缘概率密度函数 (Marginal Probability Density Function) 和条件概率密度函数 (Conditional Probability Density Function)等。

累积分布函数F(x, y)表示随机变量(X, Y)的取值小于等于(x, y)时的概率，即F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)。

边缘概率密度函数fX(x)和fY(y)分别表示随机变量X和Y的概率密度函数。

条件概率密度函数fY|X(y|x)表示在已知X的取值为x的条件下，随机变量Y的取值为y 的概率密度。

有了以上必要的基本概念和定义，我们可以进一步讨论二维连续型随机变量的相关公式。

首先是概率密度函数的性质。

对于任意的可测集合A，有P((X, Y)∈A) = ∬Af(x, y)dxdy。

根据这个性质，我们可以计算随机变量落在某个集合内的概率。

接下来是边缘概率密度函数和条件概率密度函数之间的关系。

二维连续随机变量2

二维连续随机变量2

2 F ( x , y) f ( x , y). 这个公式非常重要！ xy
40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在 G 内 的概率为： P{( X , Y ) G } f ( x , y )dxdy.
G
第三章 二维随机变量及其分布
§1 二维连续随机变量
P{( X , Y ) G } f ( x , y )dxdy.
得
f X x

f x， y dy
第三章 二维随机变量及其分布
§3 二维连续随机变量
同理，由
FY y P Y y F ， y

fY y



y
f x， v dx dv

得

f x， y dx
x， y D x， y D
y

2

6 x x 2 0 x 1, fX x 0 其它.
y=x
y=x2 o
1 x
第三章 二维随机变量及其分布
例 2（续）
§3 二维连续随机变量
同理，随机变量 Y 的边缘密度函数为
当 0 y 1 时，
x 0，y 0 其它
⑶ 求 P0 X 1， 0 Y 2 ． (4) P X Y 1 ．
⑵ 求 X， Y 的联合分布函数；
解：
⑴ 由密度函数的性质，得
第三章

二维随机变量及其分布
1
c
0


0
f x， y dxdy
§3 二维连续随机变量
⑶ P0 X 1， 0 Y 2

3.3二维连续型随机变量.

3.3二维连续型随机变量.

即若 ( X ,Y ) ~ N ( μ1, μ2,σ12,σ22, ρ) 则

X ~ fX ( x) f ( x, y)dy


1
2πσ1σ2 1 ρ2
1
e 2(1ρ2 )
x μ1 σ1
2
2 ρ
x μ1 σ1
yμ2
σ2
y μ2 σ2
y μ2 2 σ2
2πσ1σ2

x μ1 2
1
e 2σ12
2πσ1
e 1
2πσ2
y μ2 2
2σ22 f X ( x) fY ( y)
结论: 1.二维正态分布的边缘分布为一维正态分布.
即若 ( X ,Y ) ~ N ( μ1, μ2,σ12,σ22, ρ) 则
X
~
F(x, y) PX

x, Y

y
y
x
f
(s,t)
ds
dt
y
则称(X,Y)为 二维连续型随机变量，
f ( x, y) 称为(X,Y)的 联合概率密度
函数. 简称 联合概率密度.
x
记为 (X ,Y ) ~ f (x, y)
定义3.5 设( X ,Y )是二维随机变量,其分布函数
x
记为 (X ,Y ) ~ f (x, y)
如果将随机变量(X,Y) 看成落在坐标平面上的
随机点,(X,Y)落在区域
D
:




s t

x y
的概率等于
密度函数 f (s,t)在D上的二重积分.
联合概率密度具有性质:
(1) f ( x, y) 0

3-3 二维连续型随机变量

x
F (,y) 0 F ( x, ) 0 2）非负性： f ( x) 0 ． F (， ) 0 F (， ) 1 2）单调性 F ( x,y) 是单调不减函数 3）右连续性 F ( x 0,y) F ( x,y) ， 3）规范性： f ( x)dx 1． F ( x,y 0) F ( x,y) ． 4）任意实数 a , b ，且 a b ，有 4）对任意的 x1 x 2 , y1 y 2
x
C 1
（2）P X 2
e y , x 0, y x, f x, y 其他. 0,
x2

2
f ( x , y )dxdy dx
x


e dy
y
2
e x dx e 2．
（3）f X ( x )


x 3dy, 0 x 1 2 2 3( x x ), 0 x 1 f ( x, y )dy x 0, 其它 0, 其它
fY ( y )


y 3dx, 0 y 1 y 2 3( y y 2 ), 0 y 1 f ( x, y )dx 0, 其它 其它 0,

( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域 , 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X , Y D
D
1 SD f x, y dxdy dxdy SG D SG

二维连续型随机变量ok

3 4 )
3 / 4 [ 0
1
x
3 xdy ]dx
y=x
=37/64
0
3/4 1
注意积分限
例4 设(X,Y)的概率密度是
3 y ( 2 x ), f ( x, y) 0 , 0 x 1, 0 y x 其它
1/2 1
解: (2) P ( X )
2
1
0
其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).
解 (1)由题意得:
f1 ( x )
x y 1
2 2
y
1 x
2


f ( x , y ) dy
其它
Y
当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0 当|x|≤1时,
f1 ( x ) [
1/2
1 4
,Y
1 2
)
0
1/4
[ 3 xdy ]dx
0
x
=1/16
y=x
1/4 1
P(X Y ) 0
是平面上一条直线
0
x
下面我们介绍两个常见的二维分布： 设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
1 , ( x, y) G f ( x, y) A 0, 其它
F ( x , y ) y d dy FY ( y )
亦即 F X |Y ( x | y )

x
f ( u , y ) du fY ( y) ， 或写成 F X |Y ( x | y )
1
3 y
) 0
(1 e

二维连续型随机变量的几何意义

二维连续型随机变量的几何意义二维连续型随机变量是指在一个平面上取值的随机变量，它的几何意义可以通过概率密度函数来描述。

概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是用来描述随机变量取值的概率分布的函数。

对于二维连续型随机变量，其概率密度函数是一个二维函数。

假设有一个二维连续型随机变量(X, Y)，我们可以通过概率密度函数f(x, y)来描述其几何意义。

概率密度函数f(x, y)表示在某个区域上随机变量(X, Y)取值的概率密度，即单位面积上随机变量(X, Y)取值的概率。

在几何上，我们可以将概率密度函数f(x, y)表示为一个曲面。

这个曲面的高度表示概率密度，即在这个点上随机变量(X, Y)取值的概率密度大小。

曲面的轮廓线表示概率密度相等的点，即在这些点上随机变量(X, Y)取值的概率密度相等。

通过观察概率密度函数的图像，我们可以获得二维连续型随机变量的几何意义。

具体包括以下几个方面：1. 概率密度最大值所在的点表示随机变量(X, Y)取值最可能出现的点。

这个点的概率密度最大，意味着在这个点上随机变量(X, Y)取值的概率最高。

2. 概率密度较高的区域表示随机变量(X, Y)取值的一些可能范围。

在这些区域内，随机变量(X, Y)取值的概率较高。

3. 不同概率密度的轮廓线表示随机变量(X, Y)取值的不同概率水平。

一般来说，概率密度越大的轮廓线表示随机变量(X, Y)取值的概率越高。

4. 概率密度函数的图像还可以提供一些关于随机变量(X, Y)取值的其他信息，比如随机变量(X, Y)的均值、方差等。

根据概率密度函数的图像，我们可以对随机变量(X, Y)的取值范围、取值的平均程度等有一定的了解。

总之，二维连续型随机变量的几何意义可以通过观察概率密度函数的图像来获得。

概率密度函数描述了在平面上随机变量(X, Y)取值的概率分布，通过观察概率密度函数的特征，我们可以了解随机变量(X, Y)取值的可能范围、可能程度等几何性质。

二维连续型随机变量分布函数及概率的计算

二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量是指具有两个维度的随机变量，其取值可以是一个平面上的任意一个点。

与一维连续型随机变量类似，二维连续型随机变量也有分布函数和概率密度函数。

对于任意的实数x和y，定义二维随机变量(X,Y)的分布函数为：
F(x,y) = P(X≤x, Y≤y)
P表示概率，F(x,y)表示(X,Y)取值在区域(-∞,x] × (-∞,y]中的概率。

D表示平面上的任意一个区域，∬表示对D进行二重积分。

如果f(x,y)满足以下两个条件，即可称为(X,Y)的概率密度函数：
1. 非负性：f(x,y)≥0，对于任意的实数x和y成立。

2. 归一性：∬R f(x,y)dxdy = 1，其中R表示整个平面。

三、概率的计算
根据概率密度函数可以计算二维随机变量的概率。

对于任意的区域D，有：
如果要计算二维随机变量(X,Y)在区域D内的概率，可以通过计算概率密度函数在该区域上的积分来得到。

具体计算方法是将概率密度函数带入积分式中，并对x和y分别进行积分。

总结：二维连续型随机变量的分布函数是一个二维平面上的函数，可以用来描述随机变量在某个区域内取值的概率。

而概率密度函数则是用来计算二维随机变量在某个区域内的概率的函数。

在计算概率时，可以通过对概率密度函数进行积分来得到。

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ke(2x y) , f (x, y)
0, (1) 求常数k;
x 0, y 0, 其 它.
(2) 分布函数F ( x, y); (3) 求概率P{Y X }.
解:
(1)由 f ( x, y)dxdy 1有
k



e
(
2
x

6( y y).
y y x
O
(1,1)
y x2 x
当 y 0 或 y 1时,

fY ( y)
f ( x, y)d x 0.
y
)dxdy

1 ,因 此k

2

yx
(2) F ( x, y)
f (x, y)d xd y



y 0
x 2e(2x y) d x d y, x 0, y 0,
0
0,
其 它.
得
F
(
x,
y
)

(1 0,

e
2
x
)(1
Байду номын сангаас

e

y
), x 0, 其 它.
y
(1,1)
y x

f X ( x)
f ( x, y)d y 0.

O
y x2 x
因而得
6( x x2 ), 0 x 1,
f
X
(
x
)

0,
其 它.
当 0 y 1 时,

fY ( y)
f (x, y)d x

y
y 6d x 6( y y)
FX ( x) F ( x, )
[ f (x, y)d y]d x,

记

f X ( x)
f (x, y)d y,

称其为随机变量( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度.
同理可得 Y 的边缘分布函数
y
FY ( y) F (, y)
[ f (x, y)d x]d y,
2)
f ( x, y) d x d y F (,) 1.

3) 设G是xOy平面上的一个区域,点( X ,Y )落在G内
的概率为
P{(X ,Y )G} f (x, y) d x d y.
4)若f
(
x,
y)在(
x,
G
y )连续, 则有
2F
(
x,
y)

f ( x, y).
yx
F ( x, y)
f (u, v) d ud v

则 称( X ,Y )是 连 续 型 的 二 维 随 机 变量,函 数f ( x, y)
称 为 二 维 随 机 变 量( X ,Y ) 的 联 合 概 率 密 度 。
（2）概率密度的性质
1) f ( x, y) 0.

6, x2 y x,
f (x, y) 0,
其 它.
求边缘概率密度f X ( x), fY ( y).
解 当 0 x 1 时,
y

f X ( x)
f (x, y)d y

x
6d y x2
6( x x2 ).
y x
O
(1,1)
y x2 x
当 x 0 或 x 1时,
注：对于二维连续型随机变量有 F(x,y)连续
P( X = a ,Y = b ) = 0 P( X = a ,- < Y < + ) = 0 P(- < X < + , Y= a ) = 0
对平面xoy上任意曲线L，都有P{(X ,Y ) L} 0
例1 设二维随机变量( X , Y ) 具有概率密度
k(6 x y), 0 x 2, 2 y 4,
f ( x, y) 0,
其 它.
(1) 确定常数k; (2) 求P{ X 1,Y 3};
(3) 求P{ X 1.5}; (4) P{ X Y 4}.
解: (1)因为

f ( x, y)d x d y 1,
xy
说明：
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面.

f ( x, y)d x d y 1,
表示介于 f(x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的
全部体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y
P{( X ,Y )G }的值等于G以G为底,以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.

所以 2 4 k (6 x y)d y d x 1 k 1;
02
8
(2)
P{ X
1,Y

3}

13
0 2
1 8
(6
x
y)d
yd x

3; 8
(3) P{ X 1.5} 1.5 4 1 (6 x y)d y d x 27;
0 28
y
32
(4) P{X Y 4} P{X 4 Y } 4
4 4 y 1 (6 x y)d x d y 2 . 2
20 8
3
x 4 y x
3.2 边缘概率密度分布
定义3.2 设连续型随机变量( X ,Y )的概率
密度为 f (x, y),由于
x


fY ( y)
f (x, y)d x.

Y 的边缘概率密度.
注意：在求连续型随机变量的边缘密度时， 往往要对联合密度在一个变量取值范围上 进行积分. 当联合密度函数是分片表示的时 候，在计算积分时应特别注意积分限 .
（习题课教程P63例8-（1）） 例3 设随机变量X 和 Y 具有联合概率密度
第三节 二维连续型随机变量
一、 二维连续型随机变量及其概率密度 二、边缘概率密度 三、随机变量的独立性 四、二维均匀分布和正态分布
3.1 二维连续型随机变量及其概率密度
（1）定义3.1
对 于 二 维 随 机 变 量( X ,Y ) 的 分 布 函 数F ( x, y), 如 果 存 在 非 负 的 函 数f ( x, y) 使 对 于 任 意x, y 有
y

0.
(3) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标,
即有 {Y X } {(X ,Y )G},
P{Y X } P{(X ,Y )G}
y
f (x, y) d x d y

G
dy
2e (2 x y) d x
0
y
O
1. 3
YX
G x
例2 设二维随机变量( X ,Y ) 具有概率密度