连续型随机变量及其概率密度

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概率论-2-3连续型随机变量及其概率密度

x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它
（1）求元件寿命至少为200小时的概率；
（2）将3只这种元件连接成为一个系统. 设系统工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3 只元件工作相互独立. 求系统的寿命至少为200小时的概率.
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为PX 200 f Nhomakorabea(x)dx
Y ~ B(3,1 e2)
2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2 (1 e2)2(2e2 1) 0.950. 故系统的寿命至少为200小时的概率为
p 1 PY 2 1 0.950 0.050
1 ba
ab
即是说 X落在区间（a,b）内任意等长小区间上的概率相等，在（a,b）内两个等长小区间上， f(x)之下的小长方形的面积相等，就是称为均匀分布的原因.
均匀分布常见于下列情形
如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差.
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.
本节练习
习题二：８，９，１０
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义概率密度的性质三种重要的连续型随机变量小结
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f
(
x)

连续型随机变量及其概率密度函数

是一个连续型随机变量的概率密度函数.
证明：(1). 显然, f ( x) 0 ( x )
(2).
f ( x)dx
1e x dx
2
1 0 e xdx 1 exdx
2
20
一般只需验证f(x)性质中的这两条即
可.
11 1 22
概率统计
例2. 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小
f (x)
概率统计
0
x1 x2
x
性质4
若 f ( x) 在点 x 处连续，则有：F( x) f ( x)
物理意义:
F ( x x) F ( x)
f ( x) lim
x 0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度 x
时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:
f
(
x)
e
x 100
0
求: (1). 的值.
当x 0 当x 0
(2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小
时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.
概率统计
解: (1)
1
f ( x)dx
x
e 100dx
0
x
100e 100
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
求 : F(x)
0, 其它
x
解: F ( x) P( X x) f (t)dt
当 x 1 时, F( x) 0
当1 x 1,
F(x)

连续型随机变量及其概率密度

问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x

第三节连续型随机变量及其概率密度

则称X服从0 1分布.
这时X的分布函数为：
F(x)
1
0， x p，0
0， x
1，
1， x 1.
2. 二项分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，，n，且分布律为：
P(X
k)
C
k n
pk qnk，k
0，1，，n，0
p
1，q
1
p，
则称X服从二项分布，记为：X～B(n，p). 3. 泊松分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，2,，且分布律为：
2
Acos
xdx
2 A sin
x
2
0
2 A，
2A 1，
(2) (3)
P(0 X
当x
2
时4，) F
( x042)故12coAsxxdf12x(.t)d12t
sin
x
4
0
x
0dt
2 4
.
0.
当
2
x
2
时，
F
(
x)
2 0dt
x
2
1 2
cos
tdt
1 2
(sin
x
1).
当x
2
时，F
6
三、几种常见的连续型分布
1. 均匀分布：设X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a x b，
0，其它.
则称X在区间[a，b]上服从均匀分布，记为 X～U[a，b].
0， x a，
易求X的分布函数为
F
(
x
)
x b
a a
，a
1， x

2.4连续型随机变量及其概率密度函数

-?
a b- a
连续型随机变量及概率密度函数
注
蝌 P{c < X ? c l} = c+l f ( x)dx = c+l 1 dx = l
c
c b- a b- a
随机变量 X 落在任一长度为 l 的子区间(c,c + l],(a ? c c + l ? b)
内的可能性是相同的.
均匀分布的分布函数为
2
解 (2)X的分布函数为
ì
0,
ï
ï
ò ï
x x dx = x2 ,
F
(
x
)
=
ï í
ï
蝌 ï
ï
3 x dx + 06
06
x 3
骣琪琪桫2
-
x 2
12 x2
dx = - 3 + 2x - , 4
ï î
1,
x <0 0? x 3 3? x 4
x³ 4
连续型随机变量及概率密度函数
例 1 设随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
=
ì ï í
1 5
,0
<
x
<
5，
ï î
0,
其他
ì 0,
ï
蝌 F ( x) =
x
ï f ( x)dx = í
x dt = x ,
-?
ï 05 5
ï î
1,
x£ 0 0< x <5
x³ 5
（2）随机变量 X 的取值不小于 2，即
蝌 ò P{ X ? 2} = +? f ( x)dx = 5 1 dx + ? 0dx 3

连续型随机变量及其概率密度

a，有 P{X=a}=0
0 P{X a} P{a x X a} F(a) F(a x)
而F (x)连续，故x 0时，F (a) F (a x) 0
由此 P{a X b} P{a X b} P{a X b}
P{a X b}
b a
f
( x) d
x
f
x dx=P{X
F( x) P{X x} P{X xk } pk ( x∈R )
xk x
xk x
P{X xk} F(xk ) F(xk 0)
Ⅰ：确定X及其分布，A={X∈L} Ⅱ：P{X∈L}= →F(x) 【分布律、概率密度f(x)】 →高等数学、 F(x) 、分布律、密度函数f(x)的性质、各种概型的规律。
得t ln2/2 0.3446(小时)。
15解：（迅速）设X为这批投保人一年内死亡的
人数，则X ~ b(5000, 0.00015), X 近似服从 (75)，
由题意，所求为P{X 10}=...
第四节连续型随机变量及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度的概念与性质二、常见连续型分布
x0
x
x0
x
若不计高阶无穷小，有P{x X x x} f (x)dx
.
P{X=x}
50 连续型随机变量x的分布函数F(x)是连续函数
因为对x，lim F (x) lim[F (x x) F (x)]
x0
x0

xx
lim f (t)dt 0 x0 x
说明：若 X 为连续型随机变量，则对任一实数
Ⅰ：确定X及其分布，A={X∈L} Ⅱ：P{X∈L}= →F(x) 【分布律、概率密度f(x)】 →高等数学、 F(x) 、分布律、密度函数f(x)的性质、各种概型的规律。

连续型随机变量及其概率密度函数

§2.4 连续型随机变量及其概率密度函数
一、连续型随机变量的概念定义2.8 设随机变量的分布函数为 F (x ) ，若存在非负可设随机变量X的分布函数为定义积函数 f (x )，使得对于任意实数 x ，都有 x （2—15）） F ( x ) = ∫ f ( x )dx
∞
则称X为连续型随机变量，则称为连续型随机变量，称 f (x )为X的概率密度函数的（Probability Density Function），简称概率密度或密度），简称概率密度或密度. ），简称概率密度或密度由定义可知，连续型随机变量X的分布函数由定义可知，连续型随机变量的分布函数 F (x)在x点的函点的函上的积分．数值等于其概率密度函数 f (x )在区间( ∞, x] 上的积分．类似于离散型随机变量，类似于离散型随机变量，连续型随机变量 f (x )的概率密度函数具有如下基本性质：函数具有如下基本性质：
P { x1 < X ≤ x 2 } = Φ ( x2
σ
) Φ(
x1
σ
)
关于标准正态分布，一个重要的公式是：关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 x . Φ ( x) + Φ ( x) = 1 (2-31) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了. 这可用 Φ(x ) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了
∞
σ x+
1 2π σ
( x )2
2σ
2
e
∫
x ∞
1 2π
e
t2 2
dt
(令 σ = t ) 令
x
所以 X * ~ N (0, 1).
这样我们便有如下定理：这样我们便有如下定理： 2 定理2.2 若 X ~ N ( , σ )，其分布函数为F ( x ) ，则对任意定理实数，有 x （2—29）） F (x) = Φ ( )

2-4_连续型随机变量及其概率密度

第2.4节连续型随机变量及密度函数
1
连续型随机变量及其概率密度
1.定义定义
设 X 为随机变量， F ( x )为 X 的分布函数, 若存在非负函数f ( x ), 使对于任意实数 x 有 F ( x) = ∫
x −∞
f (t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x ) 称为 X 的概率密度函数, 简称概率密度.
为离散型随机变量, 若 X 为离散型随机变量
{ X = a } 是不可能事件 ⇔ P{ X = a} = 0.
离散型
4
例1
设随机变量 X 具有概率密度
0 ≤ x < 3, kx, x f ( x) = 2 − , 3 ≤ x ≤ 4, 2 0, 其它. (1) 确定常数 k ; (2) 求 X 的分布函数; 7 (3) 求 P{1 < X ≤ }. 2
的正态分布或高斯分布, 记为
X ~ N ( µ , σ 2 ).
22
正态概率密度函数的几何特征
1 ( 2) 当x = µ时, p( x )取得最大值 ; 2 πσ
(1) 曲线关于 x = µ 对称;
(4) 曲线在 x = µ ± σ 处有拐点;
23
(3) 当 x → ±∞ 时, f ( x) → 0;
x 1 −θ k e , f ( x) = θ 0,
x ≥ 0, x < 0.
1 且已知 P{ X > 1} = , 试求常数 θ 2
10
例
设随机变量 X : 0, 2 F ( x) = Ax + B, 1, x ≤ 0, 0 p x ≤ 1, x > 1.
试求常数A，B以及密度函数f(x)。

高等数学第三节连续型随机变量及其概率密度函数

▲ P() 0 (不可能的事件的概率为0),但概率
为零的事不一定是不可能事件.
概率统计
2. 概率密度函数的性质
性质1 f ( x) 0
性质2
f ( x)dx 1
f (x)
这两条性质是判定一个函数 f(x) 是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充要条件.
面积为1
o
x
概率统计
性质3
F ( x0 x) F ( x0 )
x0x f (t)dt x0
当 x 0时，两边取极限：
0
P(X
x0 )
lim
x0
x0x f (t)dt
x0
0
P( X x0 ) 0
概率统计
注 ▲ 这个结论的意义:
(1). P( X x0 ) 0 从积分的几何意义上说，当底边缩为一点时,曲边梯形面积退化为零。
(2).由此可知连续型随机量X 在某区间上取值的概率只与区间长度有关，而与区间是闭、开、半开半闭无关，即有:
P( x1 X x2 ) P( x1 X x2 ) P( x1 X x2 )
P( x1 X x2 )
x2 x1
f ( x)dx
F ( x2 ) F ( x1 )
概率统计
注 P( x X x x) F( x x) F(x)
不计高阶无穷小
x x
x f (t) dt
f ( x)x
b
(相当于积分中值定理 f ( x)dx f ( x)(b a) ) a
这表示落在区间 ( x, x x] 上的概率近似等于 f ( x)x ，称 f ( x)x 为概率微分。
P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )

2.4 连续型随机变量及其概率密度

分布函数为
F( x)
1
x
e
(
t u )2 2 2
dt
2π
当 0 , 1时称 X 服从标准正态分布.
其概率密度和分布函数分别用 ( x),Φ( x)表示 ,
即有
易知
(x) Φ( x)
1 et2 2 , 2π
1 ex t2 2dt .
2π
Φ( x) 1 Φ( x)
正态分布的应用与背景正态分布是最常见最重要的一种分布, 例如测
2. 常见连续型随机变量的分布
均匀分布
正态分布(或高斯分布)
指数分布
3. 正态分布是概率论中最重要的分布
正态分布有极其广泛的实际背景, 是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量.
二项分布、泊松分布等的极限分布是正态分布．所以，无论在实践中，还是在理论上，正态分布是概率论中最重要的一种分布.
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a xb, 其他,
则称X在(a,b)上服从均匀分布. 记为X ~ U (a,b) .
概率密度函数图形
f (x)
均匀分布概率密度函数演示
•
a
o
•
bx
均匀分布的意义
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X , 落在区间(a , b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的.
P{X s t X s} P{X t} .
事实上
P{X s t X s} P{(X s t) ( X s)}
P{X s}
P{X s t} 1 F(s t)

概率论课件之连续型随机变量及其概率密度PPT课件

如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等.
例某种电子元件的寿命(以小时计) X 服从指数分布,其概率密度为
f
(
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它.
(1) 求元件寿命至少为200小时的概率. (2) 将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概率.
(4) 若f ( x )在点x 处连续,则有
F ( x) f ( x),
证明
x
F ( x) [ f (t)dt] f ( x).
例设随机变量X
ae x , x 0;
的分布函数为
F ( x) b, 0 x 1; 1 ae x1 , x 1
求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).
解 (1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的
lim F ( x) F (0)
x 0
又 lim F ( x) F (1) x 1
lim ae x b
x 0
b 1 a
故，a b 1 2
ab
(2)X的密度函数
1 2
e
x
,
f ( x) F ( x)
又F ( x)
1
2
,
x 0; 0 x 1;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变 ,只是沿着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴不变,而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖 .

概率第一章第4节连续型随机变量及其概率密度讲解

7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30
3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
指数分布
定义若随机变量 X 的概率密度为
例1 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)

x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求 (1) 概率 P{0.3 X 0.7};
(2) X 的密度函数.
解由连续型随机变量分布函数的性质, 有
(1) P{0.3 X 0.7} F (0.7) F (0.3) 0.72 0.32 0.4;
P{X

st
|
X

s}
P{( X
st)(X P{X s}

s)}

P{X s P{X
t} s}

1 F(s t) 1 F(s)

e(st ) e s

e t

P{ X

t }.
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件
数，简称为概率密度或密度函数.
易见概率密度具有下列性质：
(1) f ( x) 0;
y f (x)
(2)

f ( x)dx 1.

A1
Ox
x
注：上述性质有明显的几何意义.

连续型随机变量及其概率密度

B
A
A，B间真实距离为，测量值为X。
X的概率密度应该是什么形态？
若随机变量X的概率密度函数为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
（其中，为实数，>0）则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为X～N(, 2)。
f(x)的图像为

正态分布密度函数f(x)的性质
(1) 单峰对称密度曲线关于直线x=对称，即 f( +x)=f( -x)，x∈(-∞,+∞)
X～N(, 2)，p∈(0,1)，若实
数up满足P(X〉 up)=p,
p
则称up为标准正态分布的p分位点。
O Up
x
定义 (1)标准正态分布的与下侧概率p对应的分位数up
满足条件P（X〈 up）= p，0〈 p〈1， X~N(0,1) （2）标准正态分布的与上侧概率α对应的分位数uα
满足条件P（X〉 u α ）= α，0〈 α〈1， X~N(0,1) （3）标准正态分布的与双侧概率p/2对应的分位数u p/2
解设A—乘客候车时间超过10分钟， X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)
P(A) P(10 X 15) P(25 X 45) P(55 X 60) 5 20 5 1 60 2
2、正态分布正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上
研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。

P( X

x)

x

证明
x
FX (x) P( X x)
1
e dt
(
t) 2 2
2

2-3连续型随机变量及其概率密度

f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它,
就称 X 服从[a,b] 上的均匀分布，记为 X ~ U[a,b]．
【注】 X 的分布函数为
0, x a,
F ( x)
x
b
a a
,
a
x
b,
1, b x.
均匀分布与第一章中介绍的几何概型原理相通，适用于一维
的几何概型试验．此时， X 落入某区间 I 内（上）的概率为 P{X I} P{X I I [a,b]} I I [a,b]的长度． ba
(b ) (a ) ．
特别地， P{X b} (b ), P{X a} 1 ( a ) 。
其中 (a ) 和 (b ) 可查表得．
•22
例 3.5 设随机变量 X ~ N(1, 4) ，分别计算
P{X 3}， P{1 X 5} ．
解由题意知， 1, 2 ．
y (x)
y
y (x) 1
1 2
O
x
O
x
•20
由于(x) 为偶函数，利用本节例 3.2 的结论，有
F(x()x)
F((x)x)
1；1；F(0()0)
1
1；；P{PX{ X
x}x}
2F(Fx)(x)1．1．
22
当 x 0 时， (x) 可以通过直接查标准正态分布表求得．
当 x 0 时， (x) 1 (x) ，再查标准正态分布表可得．
【注 7】如果 X ~ N(0,1) ，则对于任意的实数 a,b (a b) ， P{a X b} (b) (a) ，
其中 (a), (b) 可查标准正态分布表计算．
•21

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1. 均匀分布
设连续型随机变量
X
具有概率密度f
(
x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它,
则称 X 在区间 (a, b) 区间上服从均匀分布,记为 X ~ U (a, b).
说明：
对c, l R, 如果(c, c l ) (a, b), 则
cl
l
P(c X c l ) c
f ( x)dx ba
1
( x )2
e , 2 2
2
x
, ( 0)为常数, 则称X服从正态分布,记作:X : N(, 2).
0, 1时, X : N (0,1)
概率密度: ( x)
1
x2
e2
2
说明：
f(x)满足概率条件: f(x) 0,
+ f(x)dx 1 -
证明(2): 令 x- t, 则x t, dx dt
解 : (1) 由概率密度的定义 :
f ( x)dx 1
-
f ( x)dx
3 C(9 x2 )dx 1
-
-3
C 1 36
(2)
P{ X 0}
0 -3
1 36
(9
x2 )dx
1 36
(9x
x3 3
)
|03
1 2
P{1 X 1} 1 1 (9 x2 )dx 13
-1 36
k 0
n大，p小，np=3，用=np=3的泊松近似
上式 1 N 3k e3 0.01
k0 k !
N 3k e3 0.99
k0 k !
查泊松分布表，最小N=8。至少配8名维修工。
3. 设公汽车站每 15 分钟有一辆汽车通过，乘客在 15 分钟
内到车站是等可能的，乘客候车时间超过 10 分钟的概率 .
2 3
(2) P2 =P(A1A2A3A4 )=P(Ai)4 =[P(X>1500)]4
Байду номын сангаас(
dx ) + 1000
4
1500 x2
(
2 3
)4
16 81
(3) P3 =P(A1 U A2 U A3 U A4 )=1-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4 )
=1-[P(A1)]4 =1-[1-P(Ai)]4 =1-[1-P(X>1500)]4
f
( x)
1 5-2
1 3
0
2<x<5 其它
5
5
P( A) P( X 3)
f ( x)dx
3
3
1 3
dx
2 3
设Y为3次独立观测中A发生的次数
Y:
b(3,
2 3
)
b(3,
P( A))
P(Y
2)
C
2 3
(
2 3
)2
1 3
C
3 3
(
2 3
)3
20 27
2. 指数分布
设连续型随机变量X 概率密度
(1)
f
(
x
)=
1 a
0
0 x<a 其它
3a
(2)
P(
a 3
X<
3a 4
)=
4 a
f ( x)dx
3
3a
4 a
1 a
dx
1 5a
a 12
5 12
3
例4 随机变量X 服从(2，5)上均匀分布，现对X 进行3次独
立重复观察，试求至少有2次观测值大于3的概率？
解：令A={观测值大于3}
X : U(2, 5),
1 0.987 0.013
k0 k !
(2) 设X为300台设备同时发生故障的台数， X~B(n, p)，n=300, p=0.01
设配备N个维修工，所求的是满足P(X>N) < 0.01的最小的N.
N
P( X N ) 1 P( X N ) 1
Ck 300
(
0.01)k
(
0.99)300k
设Y为3元件中寿命大于200小时的个数则Y : b(3, e2 )
p P{Y 2} P{Y 2} P{Y 3}
C32 (e2 )2 (1 e2 ) (e2 )3 e4 (3 2e2 ) 0.05
（三）正态分布（重点）
1、例子：某大学男学生身高的频率直方图
红线是拟合的正态分布概率密度曲线，身高服从正态分布
(3) 如果f ( x)在x处连续, 则 P{x X x x} f ( x)x
x x
P{x X x x} x f ( x)dx f ( x)x
例1( P 35, 例2)
随机变量X
具有概率密度f
(
x
)
C
(9
x
2
)
0
3 x3 其它
(1)求常数C; (2)求概率P{ X 0}, P{1 X 1}, P{ X 2}.
解: 用 X 表示乘客的候车时间，则 X ~ U(0 ，15) .
p(
x)
1 15
,
0 ,
0 x 15 其它
15 1
51
P( X 10) p( x)dx 10
dx
10 15
15 3
或由 P(c X d ) d c (a c d b) ba
P( X 10) P(10 X 15) 得结果 .
的概率; (2)将3只这种元件联接成为一系统,设系统工作的方式是
至少2只元件失效时系统失效,又设3只元件工作相互独立.求系统
寿命至少为200小时的概率.
解 : (1)
P{ X 200}
f ( x)dx
200
200
1 100
e x /100dx
e 2
(2){系统寿命至少200小时} {3元件中至少有2只寿命大于200小时}
.
(4) 若已知一元件寿命大于1500小时,则其
寿命大于2000小时的概率是多少?
解: X为连续型随机变量, 设Ai {第i个元件寿命大于1500}(i 1, 2, 3, 4)
(1)
P1 =P(X>1500)=
+ f(x)dx
1500
=
dx + 1000 1500 x2
1000 x 1500
2、概率密度的主要性质（重点）
(1) 对a R,
P{X a}
a
f ( x)dx 0
a
启示：概率为0，不一定是不可能事件。概率为1，不一定为必然事件
(2) 若a b, 则 P{a X b} P{a X b} P{a X b}
b
P{a X b} a f ( x)dx
简证 :
P{X>s+t|X>s}=
P{X>s+t} P{X>s}
=
e -(s+t) e-s
=e-t =P{X>t}
如X表示元件的寿命，即元件对它已使用过的s小时没有记忆
例5(考研题目) 顾客到银行窗口等待服务时间X服从指数分布,
其概率密度为f
(
x)
1 5
e
x 5
x0
某顾客在窗口等待服务,
0 x 0
+
+
f ( x)dx
-
-
1
e dx
(
x )2 2 2
2
1
e dt +
t2 2
2 -
记I
+
e
t2 2
dt
,
-
则I 2
e dt +
t2 2
+
e
u2 2
du
+
e dtdu +
u2t 2
2
-
-
- -
2
+
re
r2 2
drd
2
00
由于I>0,
e dt +
t2 2
2
-
+
f ( x)dx 1 -
2. f ( x)dx=1.
3. a, b R (a b),
成立P{a X b}
b
f ( x)dx
a
则称X为连续型随机变量, f ( x)称为X的概率密度.
说明：
f(x)、x轴所围曲边梯形面积等于1
P{a<X≤b}等于 f(x)、x轴、直线x=a、x=b所围曲边梯形面积
改变f(x)在个别点的值，不影响P{a<X≤b}的值
f
(x)
1
e
x
x0
0 其它
( 0), 则称X 服从参数为的指数分布,记为X : e( )
说明：
（1）适用于各种寿命分布，如电子元件寿命、动物寿命、通话时间等
(2) 概率密度f ( x)满足: f ( x) 0,
+
f ( x)dx 1 -
(3) 无记忆性: s,t>0, P{X>s+t|X>s}=P{X>t}
用直方图近似正态分布的概率密度演示
矩形宽度代表分组个数，高度代表落在该区间样本的频率高度越大，相应区间的样本数越多，分布越密集，反之亦然分组越多，则频率直方图趋于一光滑曲线：概率密度
一、概率密度定义及性质(重点)
1、概率密度的定义
设X是随机变量, 如果存在非负可积函数f ( x), 满足:
1. f ( x) 0.
0
1
a
1 2
x2
1 0
(2x

连续型随机变量及其概率密度

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