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2.3连续型随机变量

2.3连续型随机变量

f (x)
1
e ,
(
x) 2 2
2
2
其中 , ( >0)为常数
x
称X服从参数为 ,的正态分布或
高斯分布,记为 X～N( , 2)
1 f(x)
(1)关于直线x 对称;
2
(2)最大值为 1 ;
2
(3)在x 处有拐点.
o
x
可求得X的分布函数为:
F(x) 1 x
e
(
t )2 2 2
1 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )
=1[1P(A1)][1P(A2)][1P(A3)] =1e1
3. 正态分布
正态分布是实践中应用最为广泛,在 理论上研究最多的分布之一,故它在概率 统计中占有特别重要的地位
X的概率密度为:
f(x)的性质:
(1) f(x)≥0, <x<+
(2) f ( x)dx 1
(3) P(x1<X≤x2)=F(x2) F(x1)
x2 f ( x)dx
x1
( x1 x2 )
f(x)
P(x1<X≤x2)
x1
o x2 x
这条性质是密度函数的几何意义
注: 对连续型随机变量X和任意实数a, 总有P(X=a)=0 即, 取单点值的
若X～U[a, b], [c, c+l][a, b], 有:
P(c≤X≤c +l )
cl
c f ( x)dx
cl c
b
1
adx
b
l
a
这说明:
X落在[a,b]的子区间内的概率与子 区间的长度成正比,而与子区间的位置 无关

概率论 高等院校概率论课件JXHD2-~1

概率论 高等院校概率论课件JXHD2-~1

§2.3 连续型随机变量及其分布一. 连续型随机变量的概率分布二. 三种常用分布一. 连续型随机变量及其分布定义2-4 注1：连续型v r .X 的分布函数)(x F 是连续函数。

注2：概率密度)(x f 具有如下性质：（1）0)(≥x f ；（2）⎰∞+∞-=1)(dx x f ；（3）⎰=-=<≤21)()()(}{1221x x dx x f x F x F x X x P ；若v r .X 的分布函数)(x F 可表示成 ⎰∞-=xdu u f x F )()( （2-7）其中)(x f 为一非负可积函数，则称X 为连续型v r .，)(x f 称为X 的概率密度(或概率分布、分布密度)。

（4）若)(x f 在x 点连续，则)()(x f x F ='。

由（2-8）式知，若不计高阶无穷小，则有 xx f x x X x P ∆=∆+<≤)(}{即X 落在小区间),[x x x ∆+上的概率近似等于x x f ∆)(。

注3：若X 是连续型v r .，则R a ∈∀,0}{==a X P 。

结论：若A 是不可能事件，则0)(=A P ，反之不然。

}{b X a P <≤}{b X a P <<= }{b X a P ≤<=}{b X a P ≤≤=几种常用分布：（1）均匀分布:设随机变量X 在有限区间][b a ，内取值,且其分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他，，01)(bx a a b x f ,则称X在有限区间][b a ，上服从均匀分布,记为)(~b a U X ，。

其分布函数为（自行验证）⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤=b x b x a a b ax a x x F ，，，10)(Uniform Distribution⎩⎨⎧≤>-=-0001)(x x e x F x，，λ 一般地,若随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x，，λλ其中0>λ为常数，则称X 服从参数为 λ的指数分布。

连续型随机变量

连续型随机变量
例5 设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解
P(0
X
1.6)
1.621
0
2
1
0.3 0.5
P380 附表3 0.3[10.5]
0.6179 [1 0.6915]
0.3094
Ch2-85
例6 已知X ~ N (2, 2 ) 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
P(| X | a) 2 (a) 1
1x 2 3
Ch2-83
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数
F(x) 1
e dt x
(
t )2 2 2
2
作变量代换
s
t
F
(x)
x
P(a X b) F (b) F (a)
b
a
P(X a) 1 F(a)
1
a
Ch2-84
(x) 1
x t2
e 2 d t x
2
其值有专门的表供查.
Ch2-81
0.4 0.3 0.2 0.1
-3 -2 -1
123
(0) 0.5 (x) 1 (x)
P(| X | a) 2 (a) 1
Ch2-82
(x) 1(x)
0.4
0.3
0.2 0.1
-3 -2 -x -1
d
(c,d) (a,b), P(c X d)
1
dx dc
c ba ba
即 X 落在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间的
概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正
比. 这正是几何概型的情形.
应用场合
进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作

2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt

2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt
X越落平f在(缓xμ),的值表最附明大 近X取的值值概为越率分越f 散大.;反之21,当σ越大,则y=f(x)的图形
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解

连续型随机变量及其概率密度

连续型随机变量及其概率密度

问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x

§2.3 连续型随机变量及其分布

§2.3 连续型随机变量及其分布

（2）指数分布 若随机变量 的密度函数p( x) 为：
e x , x 0 p ( x) ( 0) ，则称 服从参数为 的指 0, x 0
数分布，记作 ~ E( )
指数分布是一种应用广泛的连续型分布，它 常被用来描述各种“寿命”的分布，例如无线电 电元件的寿命、电话问题中的通话时间等都可以
k ) 2 (k ) 1
注意 这个概率与 无关.
例2.3.7 设随机变量 （1）P(102 117) （2）常数a，使得

服从正态分布 N (108,9) 求
P( a) 0.95
解（1） P(102 117 ) (117 108 ) (102 108 )
2） F ( x) p(t )dt
xபைடு நூலகம்
x
注意
1) 求密度函数中的待定常数往往借助 2) 由密度函数求分布函数需要对自变
于密度函数的性质.
量的情形进行讨论.
例2.3.3 设连续型随机变量的分布函数为
0, x a xa F ( x) ,a x b b a 1, x b
则称 服从区间a, b 上的均匀分布，记作 ~ U a, b 向区间
a, b 上均匀投掷随机点，则随机点的
坐标 服从 a, b 上的均匀分布.在实际问题中， 还有很多均匀分布的例子，例如乘客在公共汽车 站的候车时间，近似计算中的舍入误差等都服从 均匀分布.
设随机变量 ~ U a, b ，则对任意满足c, d a, b
解：
P ( ) P ( 1
1) 2 (1) 1 0.6826
2) 2 (2) 1 0.9545

概率论 2.3(连续型随机变量)


x
a
[ x由概率密度求分布函数]
5.F ( x) f ( x)(x为f ( x)的连续点 ).[由分布函数求概率密度]
由性质5在f(x)的连续点x 处有
F ( x Δ x) F ( x) f ( x) lim Δ x 0 Δx P( x X x Δ x) lim . Δ x 0 Δx
2.3.2 常用连续分布
【补充例】 （等待时间）公共汽车每10分钟按时
通过一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时
间不超过3分钟的概率. 解 设X表示他等车时间（以分计），则X是 一个随机变量，且 X ~ U (0,10). X的概率密度为
1 , 0 x 10, f ( x ) 10 其 它. 0,

这两条性质是判定一 个函数 f(x)是否为某 个随机变量 X的概率 牛顿-莱布 尼兹公式 密度函数的充要条件 .
[确定待定参数]
b
3.P{a X b} 1 f ( x)dx F (b) F (a); [求概率]
4.F ( x)

f ( x)
f (t )odt( x );
解: (1) 由

f ( x ) d x 1, 得
3 2 3 3 0
1


f ( x )dx C (9 x )dx 2C (9 x 2 )dx
x3 3 2C (9 x ) |0 36 C 3
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度
即 有C 1
3 0
所求概率为 P{ X 3}
3 f ( x )dx , 10
2.3.2 常用连续分布
【例2.12】设随机变量 X在(2,5)上服从均匀分布，

概率统计2-3

0.08 0.06 0.04 0.02
f ( x )d x
a
b
F (b) F (a)
b x
a
Ch2-51
P( X a ) P( X a) 1 F ( a )
p ( x)
0.06 0.04 0.02
-5
5
a a
x
例1 设连续型 r.v 的 d.f 为
Ch2-52
1 其分布函数 F ( x) 2
作变量代换 s
t

x

(t )2 2 2

e
d t P( X x)
x F ( x)
P(a X b) F (b) F (a)
b a P( X a) 1 F (a)

(t ) e P(T t ) P( N (t ) 0) 0!
0
1 P(T t ), t 0
t
e
t
t0 t0 0, 0, f (t ) t F (t ) t e , t 0 1 e , t 0
即
T ~ E ( )
P( X ) F ( )
Ch2-72
1 F ( ) P( X )
1 2
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Ch2-73
正态变量的条件
若 r.v. X
① 受众多相互独立的随机因素影响 ② 每一因素的影响都是微小的 ③ 且这些正、负影响可以叠加
1
x 0
对于任意的 0 < a < b, b x P(a X b) a e d x

第三节课,第一章2. §2.3.连续型随机变量概念§2.4 数字特征


1

x α dx
1 α 1 x C α 1
2
3 1
0.9
1 0.972 0.028
7
答： 供电量不足的概率为0.028 .
典型问题——求概率密度中参数 例2. 设连续型随机变量 X 的概率密度 (x)为：
cx 2 0 x 1 ，求常数c的值. ( x) 其他 0
即：E(C) = C , D(C) = 0
(2) 变量和的期望与方差等于它们期望与方差的和;
即：E(X+Y) = E(X)+E(Y) , D(X+Y) = D(X)+D(Y) (3)常量因子可以提到期望外面. 即：E(kX) = kE(X) (4)常量因子平方可以提到方差外面. 即:D(kX) = k2D(X)
例5. 若 D( X ) 2, 则D(2 X 5) __
解: 随机变量的期望与方差的性质
D( 2 X 5) D(2 X ) D(5)
(2)2 D( X ) 0 4 2 8
18
作
业:
74页2.01、2.02、2.04、2.05、2.06、2.08 题 74页2.09题、 2.10题、 2.14题、 2.16题、2.17题
方差D(X)等于X平方的数学期望减数学期望平方.
80 13 2 80 169 D( X ) ( ) 16 6 16 36
14
典型问题—求连续型随机变量的参数 例3. 设连续型随机变量 X 的概率密度为 a bx2 0 x 1 3 ( x) ，若数学期望E ( X ) 5 其他 0 求: 常数 a, b的值 解: 因为有两个未知参数, 所以需要建立两个方程 根据概率密度 (x)性质 ( x )dx 1

概率2-3连续型随机变量及其概率密度-2



x
e
dt , x
概率论
( x)
( x )
概率论
7. 标准正态分布与一般正态分布的关系 定理1
X 若 X ~ N , , 则 Z ~ N 0 , 1 .
2
标准正态分布的重要性在于，任何一个一 般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布.
概率论
例2 在一公共汽车站有甲、乙、丙 3人，分别等1、2、3路公交车，设 每人等车时间（分钟）都服从[0，5] 上的均匀分布，求3人中至少有2人 等车时间不超过2分钟的概率。
概率论
（II）指数分布 1. 含义：随机变量X描述对某一事件发生的 等待时间，各种不会变老的物品寿命。 2. 密度函数：若 r .v. X具有概率密度

x 2
2
Φ(x)
概率论
作业
58页，24，25，26，27，29，30
概率论
3σ准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时， P{|X| ≤ 1}=2 Φ(1)-1=0.6826 P{|X| ≤ 2}=2 Φ(2)-1=0.9544 P{|X| ≤ 3}=2 Φ(3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
概率论
(2) X ~ N ( , 2 ), 求区间概率
X 若 X ~ N ( , ), 则 Y ~N(0,1)
2
P{ a X
a b Y } b} P{
b a ( ) ( )
概率论
例3 若 r. v. X～N(10,4),求 P{10<X<13}, P{│X-10│<2}. 例4 若 r. v. X～N(μ,σ2), P{X ≤ -1.6}=0.036， P{X ≤ 5.9}=0.758，求 P{X> 0}
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P (Xa)0
命题 连续r.v.取任一常数的概率为零
强调 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生)
Ch2-53
对于连续型 r.v. X
P(aXb) P (aX b )
P (aX b )
f ( x)
P (aX b )
b
0. 08 0. 06
a f (x)dx
0. 04
在 f ( x ) 的连续点处，
f(x)F (x)
f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的 区间内取值的概率
积分
x
Ch2-51
F (x) f(t)d t x

不是Cauchy 积分，而是Lesbesgue 意义下
的积分，所得的变上限的函数是绝对连续
的，因此几乎处处可导
Ch2-60
作业 P83 习题二 16 18
Ch2-61
常见的连续性随机变量的分布
(1) 均匀分布 若 X 的 d.f. 为 f(x)b1a, axb 0, 其他
则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布或称 X 服从参数为 a , b的均匀分布. 记作
X~U(a,b)
Ch2-62
损坏的个数为
Y~
B

3,
1 3

P(Y1)P3(1)C3 11 33 229 4
例2 设 f(x)(a2xb xc)1 Ch2-58 为使 f (x) 成为某 r.v. X 在 (,)上的
d.f.系数 a, b , c 必须且只需满足何条件？
F(b)F(a)
0. 02
-1 0
-5
a
5
b
x
Ch2-54
P ( X b ) P ( X b ) F ( b ) P ( X a ) P ( X a ) 1 F ( a )
f ( x)
0. 08 0. 06 0. 04 0. 02
-1 0
-5
a
5
x
Ch2-55
X 的分布函数为
0,

x
F(x) f(t)dt
x

b

a a
,
1
x a, a x b,
xb
f ( x)
Ch2-63
a
b
x
F( x)
a
b
x
Ch2-64
d
(c,d)(a,b), P(cXd)
1dx
d
c
cba b a
即 X 落在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间的
其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值
事实上 (Xa) ( a x X a ) x0
0 P ( X a ) P ( a x X a ) aax f(x)dx a
0 P (X a ) lx i 0m a xf(x )d x0
概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正
比. 这正是几何概型的情形.
应用场合
进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作
服从
U1210k,1210k

的
r.v.
随机变量
Ch2-65
例3 秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精 度是取最近的刻度值, 求使用该表计时产 生的随机误差X 的 d.f. 并计算误差的绝对 值不超过0.004秒的概率.
解
(1)
令

c
f(x)dx100x02dx1
Ch2-56
c = 1000
(2) P(X171 05 0 0X0 20)00
P (X 17 ,105 0 X 02 00 )P0 (10 50X 020)0
P(15 0X017)0P 0(150X 020)00
Ch2-48
§2.3 连续型随机变量
连续型 r.v.的概念
定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得
x
F (x) f(t)d t x X 是 连续型 r.v. ，f ( x )是它的概率 密度函数( p.d.f. )，简记为d.f.
解 由 f(x ) 0 h (x ) a2 x b c x 0 h ( x ) 2 a b x ,h ( x ) 2 a
当 a 0 h (x ) 2 a 0 h (x )有最小值 hm(ixn)cb2/4a
当且仅当 cb2/4a0时
Ch2-59
Ch2-49
分布函数与密度函数 几何意义
f ( x)
F( x )
0. 08 0. 06 0. 04 0. 02
y f(x)
-1 0
-5
5
x
x
Ch2-50
p.d.f. f ( x )的性质
f(x)0


f(x)dxF() 1
常利用这两个性质检验一个函数能
否作为连续性 r.v.的 d.f.
17001000
20001000
1500
x2
dx
1500 x2 d x
4 1 240.4706. 51 6 51
Ch2-57
(3) 设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时
P (A )P (0X 15 )0 1105000 100x02 0d0x13
设在使用的最初1500小时三个电子管中
h(x)a2xb xc0
另外由
f(x)d x (a2 x b c x ) 1 d x2 1


4 a b c 2
得
4a cb242.
所以系数 a, b , c 必须且只需满足下列条件
a 0 , cb2/4a0, 4a cb242.
可省略
F (x 0 ) lx i 0m F (x 0x x ) F (x 0 )
lim P (x0Xx0x) f(x0)
x 0
x
f(x 0 ) x P (x 0 X x 0 x )
密度长度
线段质量
Ch2-52
注意: 对于连续型r.v.X , P(X = a) = 0
例1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连
续r.v., 其 d.f.为
f
(x)

c x2
,
0,
(1) 求常数 c
x 1000 其他
(2) 计算 P(X171 05 0 0X0 20)00
(3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个 电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的 最初1500小时只有一个损坏的概率.