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完整版电磁场理论复习总结1.1 标量场和⽮量场1.2 三种常⽤的正交坐标系1.3标量场的梯度哈密顿算符：(⼀e —e —e z)x y z2.梯度的垄本运算公式1) VC-0 (C^S)2) V(Cu)⼆CVw3) V((/ ⼟巧⼆可肿⼟V7附4) V(/a T) = Z/V V +T V;/5) VF(u) = F r(u)Vu6) V(-) = -l(rV?/-i/Vv)v vFF cF7) ^7(^ v) = —Vw + — Vvdu dv式中：U育常報；级⽢为半标变最遢載;3”梯度的重要性质16CJ55 「「⼩V x V/z = 0产⽣场的场源所在的空闾位国点称为源点上记为am或7 场所在的疇间⾫置点称为场贞「记为(x,y\2｝或⼫源点到场点的距S?j?=|r-r| 从源点指向场点的⽮量为^ = r-F例3求鸥叫哙呻?刃畑％&R⾐⽰对仗」4运算R表⽰对运算.R^r-r1^J(x-A?)r+(y-/>:BR 、BR 、BR—MY臥叫帝M还W(R) = ARWR = ^-\R(lii dii fir ?S A dS A. A y A zdivA lim ——V 0 V x y zdivA A x A y A z Ax y zA e x( A z A y) e y( A x A z) e z(⼊sy z z x x y1) V Y C=02) Vx(i = A3) V x(H ±B) —V XJ1±V>.54) V x (u = uV y /< + V u KX B)=2J-V XJ4-J4-V X5l f ***** 4；jd' V x Vy - 0! 7)V (VxJ)-O：W屜囲焉唉屋?熾常数，址为标量函数「du电磁总复习第⼀章⽮量分析l ?Eit ⼗dit ?duIt= 0 r ——+ 0 L ——+&——标量场⼼的梯度. ex cy czV u =—yir rotAc'R ex R_y-y r漁—R 忑RVR = -RR'⽮童场的雄度1.4⽮量场的通量与散度三. 散度的运算公式])V C-02)V(Arl) = )tV^4) V (u A) =wV .4 + 4 Vw 沐为常数」为标量函数)- (IA5) V J(rt) - V// —du四、⾼斯定理(散度定理)L v知⼀丄％物理詳5G穿过⼀封闭曲⾓的总谓呈等于⽮虽散度的休秘分1.5⽮量场的环流与旋度-------------------- V VV v ?c A dl rotA nlim --S 0Sr r re x e y e zir irot A Ax y zA x A y A z4-症度计算相关公式:标葷场的梯度的旌度恒为零1G:2D3*酶点录场点df Rmax三、斯托克斯定理物理含义；—个⿂量场旋度的⾯税分導于演⽮量沿此由⾯周界的曲线眦四、⽮量场擬度的重要性质⼙（Vxj^O任意⽮量场I?度的散度等于議⽮量场有两种不同性质的源：（1）散度源（标量）（2）旋度源（⽮量）。
梯度、散度和旋转速度——定义及公式梯度、散度和旋转速度是向量微积分中的重要概念，也是数学分析与物理学中经常使用的量。
梯度：表示函数在每个空间点处的变化率。
如果一个标量函数f(x,y,z)的梯度是 (Fx,Fy,Fz)，则函数在(x,y,z)处沿着最陡峭的方向增加。
它可以表示成以下形式：Grad(f)= (d/dx, d/dy, d/dz) f = F其中，“Grad”是梯度算子，代表对函数的梯度运算，F是函数在每个空间点(x,y,z)的梯度，d/dx，d/dy，d/dz是分别对 x,y,z求偏导运算符。
散度：表示矢量场的源密度，描述了矢量场如何从给定点扩散。
如果一个矢量场F(x,y,z)=(Fx,Fy,Fz)的散度是 div(F)，则在点(x,y,z)处聚集或消散的速率与点密度成比例。
div(F) = ∇·F = dFx/dx + dFy/dy + dFz/dz其中“∇”为 nabla 符号，代表矢量微分算子，而“·”为数量积运算符。
旋度：衡量了矢量场在某一点“旋转”的强弱。
如果一个矢量场F(x,y,z)=(Fx,Fy,Fz)的旋度是 rot(F)，则表示为：rot(F) = ∇ × F = (dFz/dy - dFy/dz, dFx/dz - dFz/dx, dFy/dx -dFx/dy)其中“×”为叉积运算符。
梯度、散度和旋度在物理学中有广泛的应用，如电场、磁场、流体力学等领域。
通过它们可以更好地理解电磁场和流场的规律。
同时，这三个概念也是微分方程中的重要工具，可以帮助求解某些偏微分方程的边值问题。
方程梯度的计算公式在数学和物理学中，梯度是一个非常重要的概念，它在描述函数在某一点的变化率时起着关键作用。
梯度的计算公式可以帮助我们求解函数在某一点的变化率，从而可以在各种领域中得到广泛的应用。
本文将介绍方程梯度的计算公式以及其在实际问题中的应用。
梯度的定义。
在多元函数中，梯度是一个向量，它表示函数在某一点的变化率和变化方向。
对于一个标量函数f(x, y, z)，其梯度记为∇f，定义为一个向量，其分量分别为函数在每个变量方向上的偏导数。
即∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
梯度的计算公式。
对于一个标量函数f(x, y, z)，其梯度的计算公式如下：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
其中，∂f/∂x表示函数f对变量x的偏导数，∂f/∂y表示函数f对变量y的偏导数，∂f/∂z表示函数f对变量z的偏导数。
梯度的性质。
梯度具有以下几个重要的性质：1. 方向性，梯度的方向是函数在某一点上升最快的方向，其方向与函数的等值线垂直。
2. 变化率，梯度的模长表示函数在某一点的变化率，即函数在该点沿梯度方向上升的速率。
3. 零梯度，函数的梯度为零意味着函数在该点没有变化，即函数取得极值点。
梯度的应用。
梯度的计算公式在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍梯度在不同领域中的具体应用。
1. 物理学中的应用。
在物理学中，梯度常常用于描述场的变化率和场的力。
例如，电场的梯度可以表示电场在某一点的变化率和变化方向，磁场的梯度可以表示磁场在某一点的变化率和变化方向。
梯度的计算公式可以帮助我们求解场的变化率和变化方向，从而可以更好地理解和描述物理现象。
2. 工程学中的应用。
在工程学中，梯度常常用于描述场的变化率和场的力。
例如，在流体力学中，速度场的梯度可以表示流体在某一点的速度变化率和速度变化方向，温度场的梯度可以表示温度在某一点的变化率和变化方向。
梯度的计算公式可以帮助我们求解场的变化率和变化方向，从而可以更好地设计和优化工程系统。
Chapter 2. Summary of Vector analysis ( 2 )2. Gradient, Divergence, and curl/rotation2.1 Gradient of scalar function (标量函数的梯度)标量场(,,)F x y z 中，各点的大小可能不等，因此某点(,,)F x y z 沿各个方向的变化率可能不同。
人们颇为关心的问题是：(,,)F x y z 沿那一个方向的变化率最大？以及这个最大变化率的表达式是甚麽？为此，令(,,)F x y z 为x, y , z 的实值可微函数。
(,,)F x y z 从P 到Q 的微分变化可以表示为F F FdF dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂x y z x y z F F F a a a a dx a dy a dz x y z ⎡⎤∂∂∂⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦∂∂∂⎣⎦(1)令等号右边第一个方括号为： x y zF F F F a a a x y z∂∂∂∇=++∂∂∂(2) 显然，等号右边第二个方括号为： x y z d l a d x a d y a d z =++(3)则(1)式可写为 d F Fd l =∇(4) 或 l dFF a dl=∇ (5) 式(5)中l dla dl=是从P 至Q 在dl 方向的单位矢量。
式（4）或（5），给出了标量函数F 的梯度定义：标量函数f 在某点梯度 (Grad F , 通常以表示 ) 是一个矢量, 其大小F ∇等于F 在该点的的最大方向导数max dF dl, 其方向是该点的最大方向导数的方向, 即lF a F∇=∇ 。
此外还可得到关于梯度的如下两个性质: (1) 梯度的方向垂直于给定标量函数(,,)F x y z 的等值面；(2) 函数(,,)F x y z 在某点在任意方向的方向导数等于该函数在该点的梯度与该方向单位矢量的标量积。
F + dF =上述方程(1)给出函数F 的梯度F ∇在直角坐标系的表示式x y zF F F F a a a x y z∂∂∂∇=++∂∂∂(6) 在圆柱坐标系的表示式1z F F F F a a a z∂∂∂∇=++∂∂∂ρφρρφ (7)在球坐标系的表示式11sin r F F F F a a a r r r ∂∂∂∇=++∂∂∂θφθθφ(8)2.2 Divergence of a vector field and divergence theorem (矢量场的散度及散度定理)(1) Flux of a vector field F矢量场沿有向曲面（开曲面）S 的面积分称为该矢量F通过该有向曲面的通量，以ψ表示，即：sF d S =⎰ψ (9)由（9）可见，矢量F通过某一有向曲面的通量，既与该矢量的大小有关，又与该矢量的方向有关。
