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本科-工程电磁场03-标量场函数的梯度

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电磁场与电磁波3_矢量与场论2-梯度与散度

电磁场与电磁波3_矢量与场论2-梯度与散度
Research Institute of RF & Wireless Techniques
3.1.3 标量场的梯度
梯度的定义
South China University of Technology
梯度是一个矢量。标量场u在某点梯度(gradient) 的模等于该点的最大方向导数，方向为该点具 有最大方向导数的方向。记为：gradu 梯度是标量场与矢量场之间的一种变换！ 沿着梯度方向标量场变化最快！ 梯度的定义与坐标系无关。 梯度的计算：在直角坐标系
Research Institute of RF & Wireless Techniques
2 2 2 【例3-1】求函数 u x y z 在点M(1,0,1)处 沿l a ˆ x 2a ˆ y 2a ˆ z 的方向的方向导数。
South China University of Technology
u u u ˆx ˆy ˆz a a gradu a x y z
Research Institute of RF & Wireless Techniques
梯度的性质
标量场u中任一点处的梯度垂直于通过该点的 等值面，且指向u的增大方向。 标量场u在给定点沿任意方向 l 的方向导数等于 u的梯度在 l 方向上的投影。 u ˆl gradu a l M 0 沿梯度方向，标量场 u变化最快。
South China University of Technology
cos , cos , cos 为 l 的方向余弦。 其中， ˆl a ˆ z cos a ˆ y cos a ˆ z cos a ˆl l la ˆl 为 l 的单位矢量。 a

标量场梯度的定义与计算

标量场梯度的定义与计算
d/
弟为最大的方向导数。
思考：什么情况下，方向导数为零呢？
sd 为零，即等值面上任意线段上
的方向导数为零。
b・梯度定义
定义：标量场中某点梯度的大小为该
点最大的方向导数，其方向为该点所
在等值面的法线方向。
d。
数学表达式:
grad^
=
八a dn n
C.梯度的计算:
挪 d，dn d， 八
梯度
al
u —=---- cos
解：根据梯度计算公式
疽卵—ax +云 ^^y az ox 8y 8z
=6 xyz & + 3x2 z z(ay + 9 x2
yz 位
, grad I 尹=12% + 3 句 + 18ciz
在不同的坐标系中，梯度的计算公式:
在直角坐标系中: 在柱坐标系中:
海八 海八 海八
v^=—a +—a y +—a ox Sy
W牛r or
Hale Waihona Puke Sz也"淨z在球坐标系中:
w=迎晶+
SR R
海a+
sin先 a
+普 +寿 在任意正交曲线坐标系中：坐标变量（"i，"2,"3），拉梅系数（如h2,h3） ou2 a 2 h ou3 a 3 h h Ou
小结：
1.标量场的等值面
2.标量场梯度的定义grad^ =翌％ dn
3. 标量场梯度的计算w=普&
+ + h % a 2 h m a 3
学a
， d l d n d / d n
在直d 角坐= 标gr系ad中，：- d挪l =g皿斜+灯

1.4标量场的梯度

1.4标量场的梯度

( x + y) − z = 0
2
z = ( x + y)
2
x2 + y2 例题4】 【例题 】求数量场 u = z l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。 方向的方向导数。
【解】 l方向的方向余弦为 方向的方向余弦为
在点M(1, 1, 2)处沿 在点 处沿
1 cos α = = 2 2 2 3 1 +2 +2
3、梯度的性质 标量场的梯度是一个矢量场。 标量场的梯度是一个矢量场。
标量场在给定点处沿某方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。 标量场在给定点处沿某方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。
标量场中某点处的梯度，垂直于过该点的等值面， 标量场中某点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向
u (r ) 增加的方向。 增加的方向。
2 cos β = = 12 + 2 2 + 2 2 3 2
1
2 cos γ = = 2 2 2 3 1 +2 +2
2
而
∂u 2 x ∂u 2t ∂u − ( x + y ) = , = , = 2 ∂x z ∂y z ∂z z
2 2
数量场在l方向的方向导数为 数量场在 方向的方向导数为
∂u ∂u ∂u ∂u = cos α + cos β + cos γ ∂l ∂x ∂y ∂z 1 2x 2 2 y 2 x + y = + − 2 3 z 3 z 3 z
∂u u + ∆u − u ∆u = lim = lim ∂l ∆u →0 PM ∆u →0 PM
2、方向导数在直角坐标系中的表示
en

标量场的梯度课件

标量场的梯度课件

03
梯度的方向与最大增长速率方向一致，即与函数值增加最快的方向一致。
01
标量场中某一点的梯度方向指向该点处函数值增加最快的方向，梯度的长度等于该点处函数值增长速率的大小。
02
梯度的长度（也称为梯度的模）为：∣grad(f)∣=(∂f∂x)2+(∂f∂y)2+(∂f∂z)2(2)
标量场中某一点的梯度值等于该点处函数值增长速率的大小，而梯度的方向则指向该点处函数值增加最快的方向。
总结词
在一维标量场中，梯度表示函数在该点的斜率，即函数值随空间坐标变化的速率。具体计算方法为对函数在该点的导数取负值，得到该点的梯度。
详细描述
总结词
二维标量场的梯度计算是标量场中一个重要的概念，它描述了标量场在某一点的变化率。
详细描述
在二维标量场中，梯度表示函数在该点的最大变化率方向和大小。具体计算方法为分别对x和y方向的偏导数进行向量运算，得到该点的梯度向量。
描述温度场中温度的变化情况和热流的方向。
总结词
在温度场中，梯度表示温度函数的变化率，即热流密度的大小和方向。通过计算温度函数的梯度，可以确定温度场中每一点温度的变化情况和热流的方向，进而分析热传导的规律和热能的分布。
详细描述
05
CHAPTER
标量场与流体的关系
标量场定义
标量场是一个数学概念，表示空间中某一物理量（如温度、压力、浓度等）随位置变化的场。
流体中的标量场
在流体中，标量场通常表示流体的物理属性，如温度、压力、密度等。这些属性随流体的流动而发生变化，形成标量场。
梯度场定义
梯度场是矢量场的一种，表示空间中某一物理量的变化率。在标量场中，梯度表示该物理量在空间中的变化方向和速率。

浅谈电磁场理论中梯度、散度和旋度的教学

浅谈电磁场理论中梯度、散度和旋度的教学

`/&- &"%"'. %'
-'.
4右`/- &"%"'. 0T-右
`[ &b/&- &"%"'. ]%b/%- &"%"'. ]'b/'- &"%"'. ] 0- &b%'.
`/&- &"%"'. %'
-$%.
在本模型中"穿过左右两个有向面元的流体方向与各
自的有向面元- 的法向方向0b`c&b大体一致$ 因此"根据
布函数!-&"%"'."沿三个坐标轴方向各自的空间变化率$ 三梯度模型 在电磁场理论中"标量场的梯度和矢量场的散度及旋
度的物理意义一直是教学的重点和难点$ 基于上一小节
点处电场的极化方向$ 每个电场分量的下角标)&#)%和 )'也表示相应的极化方向$ 每个电场分量中括号内的自 变量表示该电场分量所在的空间位置$ 比如)&- 表 &"%"'. 示在空间6-&"%"'.点处的电场沿&方向极化的分量$
科教论坛
!"#!$%&$'(') *+&,-./&$01$21(3$&)%)()1%%3
科技风 年 月
浅谈电磁场理论中梯度散度和旋度的教学
吴微微4徐延林4何 艳
国防科技大学电子科学学院湖南长沙

标量场梯度的定义与计算

标量场梯度的定义与计算

在不同的坐标系中，梯度的计算公式：
在直角坐标系中：
x
aˆx
y
aˆy
z
aˆz
在柱坐标系中：
r
aˆr
r
aˆ
z
aˆz
在球坐标系中：
R
aˆR
R
aˆ
R sin
aˆ
在任意正交曲线坐标系中：坐标变量 (u1, u2, u3) ，拉梅系数 (h1, h2, h3)
h1u1
aˆu1
h2u2
aˆu2
h3u3
aˆu3
小结：
1. 标量场的等值面
2.
标量场梯度的定义
grad
d
dn
aˆn
3.
标量场梯度的计算
h1u1
aˆu1
h2u2
aˆu2
h3u3
aˆu3
y
aˆy
z
aˆz
梯度也可表示： grad
0 d 0
例如：已知 (x, y, z) 3x2 yz3
求：P(1,2,1)点的梯度。
解：根据梯度计算公式
grad
x
aˆx
y
aˆy
z
aˆz
6xyz3aˆx 3x2z3aˆ y 9x2 yz2aˆz
grad P 12aˆx 3aˆy 18aˆz
d
dn
aˆn
P1
P2
dn dl
P
0 d 0
c.梯度的计算：
梯度
d
dl
d dn
dn dl
d cos
dn
d
dn
aˆn
aˆl
P1
P2
dn dl
d grad dl

二、标量场及其梯度

二、标量场及其梯度

e12 =
于是， 处沿R 方向上的方向导数为： 于是，f 在P1 处沿 12 方向上的方向导数为：
f R12 == 4(2 e x e y + e z )
4e + 4e + 7e 9
x y
z
=
4 [2 × (4) + (1) × 4 + 1× 7] = 20 9 9
标量场(x,y,z)在(x,y,z)点的梯度 在 点的梯度(gradient) 定义为： 定义为： 标量场 点的梯度
grad f = f = (
因此
f f f ex + e y + ez ) x y z
df = f d l
(2)方向导数与梯度的关系 (2)方向导数与梯度的关系 偏导数
f f f 分别叫做 方向上的方向导数， 、 、 分别叫做 在x、y、z方向上的方向导数，用梯度表示为 方向上的方向导数 x y z
V f (r) r o
f=2
标量场--等值线( 标量场--等值线(面)。 --等值线 其方程为
f = -1
f=0
f=3
f ( x , y , z ) = const
图1-9 标量场的一组等值线
作图原则：任意两相邻等值面间标量场的差值保持为一常数。 作图原则：任意两相邻等值面间标量场的差值保持为一常数。
即有
f f = x x′
f f = y y′ , f f = z z′
同理可得 证毕。 证毕。
相对位置矢量R 的模R 相对位置矢量 = rr′的模 = |rr′| 的模
R = R = eR R
e R 1 = 3 = R R R R2
在直角坐标中
R = ( x x ′) e x + ( y y ′) e y + ( z z ′) e z

标量场的方向导数和梯度

标量场的方向导数和梯度

y
方向导数 4
4 标量场的梯度
由于从一点出发，有无穷多个方向， 即标量场 (P)在一点处的方向导数有无穷 多个，在这无穷多个方向中方向导数在什 么方向上最大？
4.1 梯度(gradient)的定义
c2 c1
r en
P1 r
l
P2
P0
lim ( p) ( p0 )
l l0 P0
l
标量场 (P)在点P0处的梯度是一个矢量，其方向 为函数 (P)在点P0处方向导数取得最大值的方向，其 模等于这个最大的方向导数，记作
rr
向外通过闭合曲面S 的通量为 ÑS F dS
➢
面元矢量
v dS
evn
dS
➢
v F
cos
dS
，以外法线方向为正
s
9
2 通量的物理意义
矢量场通过闭合曲面的通量的三种可能结果
0 正通量源
通过闭合曲面有 净的矢量线穿出
0 负通量源
通过闭合曲面有 净的矢量线进入
0 无通量源
进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等
Vi 0
Vi
12
Ñ 可得：
的矢量线
➢ 矢量线的密度与矢量场的模成正比，即单
位面积上矢量线的根数与矢量场的模对应
v F
M
Fv P
M
F P
P
F M
C
8
2 矢量场的通量
在矢量场
v F
中，任取一面元矢量dSv，定
F
义矢量Fv通过面元矢量dSv的通量为
en
d F dS
垂直通过某一面积的量
dS
rr
通过曲面S 的通量为 S F dS
闭合曲面的通量从的通量源的关系。 10

《标量函数的梯度》课件

《标量函数的梯度》课件

梯度的作用和意义
优化问题中的梯度
我们将了解在优化问题中，梯度是如何帮助我们找到函数的最小值或最大值的。
梯度在机器学习中的应用
我们将看到梯度在机器学习算法中的重要作用，如梯度下降和反向传播。
梯度在图像处理中的应用
我们将研究梯度在边缘检测和图像增强等领域的应用。
如何计算标量函数的梯度
步骤一：求偏导数
了解如何计算多元函数的偏导数，并将其用于计算梯度。
步骤二：向量计算
将多个偏导数组合成一个向量，即得到标量函数的梯度。
步骤三：解析和数值方法
学习解析和数值方法来计算梯度，以便在不同情况下应用。
梯度在实际问题中的应用
金融学中的投资组合优化
了解如何使用梯度来优化投资组合，以最大化回报并降低风险。
工程学中的结构优化
《标量函数的梯度》PPT 课件
欢迎来到《标量函数的梯度》PPT课件。在本课程中，将介绍标量函数和梯度 的定义，探讨梯度在实际问题中的应用，以及解释梯度下降算法的原理和步 骤。
标量函数和梯度的定义
1 什么是标量函数？
我们将学习标量函数的基本概念以及它在数学和物理问题中的重要性。
2 什么是梯度？
我们将探讨梯度是如何描述函数在每个点上变化最快的方向和速率。
总结和展望
在本课程中，我们全面介绍了《标量函数的梯度》，从概念到实际应用，希望对您有所启发。感谢您的参与和 聆听。
探索如何使用梯度在结构设计中寻找最佳解决方案。
物理学中的轨迹规划
学习如何使用梯度来计算最短路径和最优轨迹。
梯度下降算法的原理和步骤
1
原理
了解梯度下降算法的基本原理，以及如
步骤一：初始化
2
何通过迭代逐步减小目标函数。

1.2 工程电磁场 标量场的梯度

1.2 工程电磁场 标量场的梯度

R
R
其中


r ex
zxRerryr'y

r ez
z
M (x, y, z)
r
M (x, y, z)
r
o
y
x
2020/2/29
5
证：
(
1
)

[(
x

x)2

(
y

y)2

(z

z)2
1
]2
R

r ex
[(x x

x)2

(y

y)2
的方向导数。
2020/2/29
1
1.1.3 标量场的梯度
点下沿面方由向函lv数做定一义微梯小度位。移设有dlv一到标另量一场点u，(标x,量y函, z数)，u若将从变场化中某一
到 u du ,
在直角坐标系内，增量 du可表示为 du u dx u dy u dz
又线元矢量
dl
1
R
r r'

( ) R

R3

r r' 3
2020/2/29
6
2020/2/29
(
1
)

[(
x

x)2

(
y

y)2

(z

z)2
1
]2
R

r ex
[(x x

x)2

(y

y)2

(z

z)
2

]
1 2
er y

标量函数的梯度

标量函数的梯度
u u M u M 0 u x x
M0
u y
y
M0
u z
z l
M0
l 0 0 u M u M0 lim l 0 l u u u cos cos x M 0 y M 0 z
l
M0 l 0
l
定义 点沿 l 方向的方向导数. 物理意义 方向导数是函数 u x, y, z 在给定点沿某一方向对 距离的变化率.在直角坐标系中， u , u , u 就是函数 u 沿 x y z 三个坐标轴方向的方向导数 .
u l M0就称为函数 u x, y, z 在 M 0
单位法线矢量
gradu en gradu
1 – 3
标量函数的梯度
第一章 矢量分析
3.哈密顿（Hamilton）算子
ex ey ez x y z
1 e e ez z
er
1 1 e e r r r sin
结论 直角坐标系中任意点 上沿 l 方向的方向导数的 表达式
cos
M0
u u u u cos cos cos l x y z
1 – 3
标量函数的梯度
第一章 矢量分析
方向的方向导数 . 解 u x
x
2
2 2 2 u x y z 例2求函数 在点 M 1,0,1沿l ex 2e y 2ez
u 1 2 vu uv v v
uv vu uv
f u f u u
1 – 3
标量函数的梯度
2 2 2
第一章 矢量分析
1 1 试证明 R R

标量场函数的梯度

标量场函数的梯度

。
M0
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
4
工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
u lim u(M) u(M0 )
l M0
MMo
l
= lim u MMo l
du dl
M0
方向导数：标量场函数在一点M0 处 沿某一方向 l 对距离的变化率
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
工程电磁场
王泽 忠
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
1
工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
1.3 标量场的方向导数和梯 度
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
2
工程电磁场
主讲人： 王泽
忠
1．方向导数的定义
要了解u M 沿任意方向的变化情况
需要计算u M 沿任意方向的导数
5
工程电磁场
主讲人： 王泽
忠沿 l 方向是增加的
u 越大，增加得越快
l
u
当
l
Mo 0 ，沿 l 方向是减小的
u 越大，减小得越快 l
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
6
工程电磁场
主讲人： 王泽
忠
u u u u
偏导数 x , y , z 是 l 的特例：
当 l 指向 x 轴正方向时， u u
M0
cos u y
M0
cos u z
M0
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
9
工程电磁场
主讲人： 王泽
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2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
10
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
当 l 与坐标轴方向一致（如 x 轴），
则
u l

G
ex

u x
（方向导数作为偏导数理解）
当 l 方向与 G 方向一致时，方向导数值达到最大，
最大的方向导数为 G 。 G 是矢量 G 的模
梯度定义：
在标量场中任一点 M 处，如果存在矢量 G ，
主讲人： 王泽忠
3） gradu v gradu gradv
4） graduv ugradv vgradu
5） grad( u ) 1 (vgradu ugradv) v v2
u u(M) u(M0 )
若当沿着 l , M M0 时，
比式 u u(M) u(M0 ) 的极限存在，怎么样？
l
l
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
3
工程电磁场
就称此极限值为
主讲人： 王泽忠
函数 uM 在点 M0 处沿 l 方向的方向导数，
记作 du dl M0
9
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
根据矢量点积计算公式，可以看出
u l

u x
cos
u y
cos
u z
cos
Gຫໍສະໝຸດ el令 表示矢量 G 与单位矢量 el 之间的夹角，
根据矢量点积的计算式，得
u l

G
el

G cos
对给定函数和给定点，G 是固定值，
随着 l 方向改变， 变化，方向导数值随之变化
du u dx u dy u dz dl x dl y dl z dl
dx cos , dy cos , dz cos 为 l 方向的方向余弦
dl
dl
dl
2019/10/3
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8
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
l 方向的单位矢量可表示为
du dl
Mo
lim u(M) u(M0 )
MMo
l
u = lim
MMo l
方向导数是
标量函数在 M0 处沿方向 l 对距离的变化率，
它反映了函数 uM 沿 l 方向增减的快慢情况
2019/10/3
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4
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
沿坐标轴的偏导数 u , u , u 都是 du 的特例 x y z dl
只需要求出 ux, y, z 关于 x 的偏导数
想知道 uM 沿着其它任意方向的变化情况？
2019/10/3
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2
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
计算 uM 沿着任意方向的导数
从标量场中任一点 M 0 出发，
引一条射线 l ， 在 l 上任取一点 M，
l 表示从 M 0 到 M 的距离
u l

gradu
el

gradu
cos
点 M 处，
梯度的方向垂直于
过该点的等值面，
且指向 u 增大的方向
2019/10/3
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13
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
方向导数与梯度和等位线的关系
2019/10/3
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14
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
当 l 指向 x 轴正方向时， du u ； dl x
当 l 指向 y 轴正方向时， du u ； dl y
当 l 指向 z 轴正方向时， du u 。 dl z
全导数还是偏导数？（如何理解？分解？）
2019/10/3
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5
工程电磁场
2．方向导数的计算 在直角坐标系中，
el

dl dl

dxex
dyey dl
dzez

dx dl
ex

dy dl
ey

dz dl
ez
el cos ex cos ey cos ez
el 在相应的坐标轴上的投影
令矢量
G

u x ex

u y
ey

u z
ez
2019/10/3
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u x
ex

u y
ey

u z
ez
一个标量场在给定点的梯度 是对该标量场函数进行梯度运算的结果 梯度运算是分析标量场的工具
2019/10/3
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12
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
沿着梯度的方向，函数 u(x. y, z) 增加得最快
方向导数等于梯度在该方向上的投影； 表示为
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
工程电磁场
王泽忠
2019/10/3
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1
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
1.3 标量场的方向导数和梯度
1．方向导数的定义
对于定义在某空间上的标量场
需要研究标量函数 uM 在其中的变化情况
根据多元函数微分学，
要了解 uM 沿着 x 轴方向的变化，
标量场的每一点都有一个梯度
它是矢量
由其构成标量场的梯度场
标量场的梯度场是矢量场
4．梯度的运算公式
设 C 为空间常数， u 和 v 是空间的两个标量函数，
根据导数运算规则，可以导出梯度的运算规则：
1） gradC 0
2019/10/3
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15
工程电磁场
2） gradCu Cgradu
主讲人： 王泽忠
设标量函数 u(x, y, z) 在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 处可微，
则函数 u 在点 M0 处沿 l 方向的方向导数存在。
根据全微分（分解？）概念
du u dx u dy u dz x y z
得
du u dx u dy u dz
其方向为 u(x, y, z) 在该处方向导数最大的方向，
其模 G 是这个最大方向导数值。怎么样？
2019/10/3
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11
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
就称矢量G 为标量场 u(x, y, z) 在点 M 处的梯度。
记为
gradu G
显然，在直角坐标系中
gradu

G

dl x dl y dl z dl
2019/10/3
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
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工程电磁场
3．梯度
主讲人： 王泽忠
函数 u 在 M 0 点沿着不同方向的变化率不同
这个变化率如何随方向改变？ 哪个方向的变化率最大？ 最大的变化率又是多少？ 在直角坐标系中，标量函数的方向导数为