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矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解1.梯度 gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy 处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。
如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。
可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。
梯度的数值有时也被成为梯度。
在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]2.散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分中：设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
1.2 标量场及其梯度1.2.1 标量场的概念定义：在区域V 内的某种物理系统，其特性可以用标量函数ƒ(r ，t )来描述。
对于V 中任意一点r ，若ƒ(r ，t )有确定值与之对应，就称这个标量函数ƒ(r ，t )是定义于V 上的标量场。
由定义可知标量场有两个特点：①具有单值性；②占有一个空间。
标量场有两种：恒稳标量场ƒ(r )，时变标量场ƒ(r , t )表示。
标量场ƒ(r , t ) 在某时刻空间的分布可用等值面予以形象描绘。
它是该时刻ƒ(r )为同一值所有点构成的空间曲面。
在直角坐标中ƒ(r )的等值面方程ƒ(x,y,z ) = C (1.2.1)其中C 为常数。
绘制等值面的原则：应使相邻等值面的值差保持为定值。
等值面与平面相交所得的截迹线——等值线，一系列等值面（线）的疏密程度能定性反映标量场的变化情况，不同值的等值面（线）不能相交。
1.2.2 标量场的梯度（1）对于定义在V 中连续、可微的标量场ƒ(x,y,z )，考察它在(x,y,z )点邻域内沿某一方向的变化情况，如图所示。
由 (x ,y ,z ) 点到(x+dx ，y+dy ，z+dz ) 点的微分位移用线元矢量表示d l = d xe x +d y e y +d z e z （1.2.2）标量场的相应微增量zzf y y f x x f f d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=, z +d z )(1.2.3) 改写上式为()z y x z y x z y x zfy f x f f e e e e e e d d d )(d ++⋅∂∂+∂∂+∂∂=l e e e d )(⋅∂∂+∂∂+∂∂=z y x zfy f x f括号内的矢量称为标量场ƒ(x,y,z )在点(x,y,z )的梯度，记作f ∇)(z y x zfy f x f f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇（1.2.4）于是，标量场微增量可写为ld d ⋅∇=f f（1.2.5）（2）讨论：① 上式的表达形式与坐标系无关，它是标量场梯度的定义式。
1、标量场定义及图示
对于区域V 内的任意一点r，若有某种物理量的一个确定的数值或标量
函数ƒ(r)与之对应，我们就称这个标
量函数ƒ(r)是定义于V 内的标量场。
o r
f (r)
V
标量场有两种：
与时间无关的恒稳标量场，用ƒ(r) 表示；
与时间有关的时变标量场，用ƒ(r,t )表示。
§1.2标量场及其梯度
等值线
标量场的图示--等值线(面)。
const
z y x f )( ,,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？作图原则：
1）等值线(面)不能相交，
2）相邻等值线（面）差值为常数。
2、梯度
点位移导致ƒ的改变(x ,y ,z )
(x +d x ,y +d y ,z +d z )
ƒ+dƒƒd l y
z x
o 线元矢量：
d l =d x
e x +d y e y +d z e z (1)梯度的导出
右图中，由(x,y,z ) 点到邻近的(x +dx,y +dy,z +dz )点的微分位移d l 将导致场函数有一微分增量d f
标量场的相应微增量d ƒ则为：
z z f y y f x x f f d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=l e e e d )(d ⋅∂∂+∂∂+∂∂=z y x z
f y f x f f )(z y x z
f y f x f f gradf e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇=标量场ƒ(x,y,z )在(x,y,z )点的梯度(gradient ) 定义为：
l d d ⋅∇=f f
因此⋅
∂∂+∂∂+∂∂=)(d z y x z f y f x f f e e e （d x e x +d y e y +d z e z ）(x ,y ,z )
(x +d x ,y +d y ,z +d z )ƒ+dƒƒd l 梯度定义式
（梯度定义式）
(2)方向导数与梯度的关系
偏导数、、分别叫做ƒ 在x 、y 、z 方向上的方向导数，用梯度表示为
x f ∂∂y f ∂∂z
f ∂∂⎪⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎪
⎬
⎫
∇=∇=∂∂∇=∇=∂∂∇=∇=∂∂⋅⋅⋅z z y y x x f f z f
f f y f f
f x f e e e )()()(推广到ƒ(x ,y ,z )在某点沿任意矢量
l 方向的方向导数，则应表为l
l f f l f
e ⋅∇=∇=∂∂)(式中，e l 是l 的单位矢量。
（3）梯度的物理意义
•标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标的函数；
•梯度的大小为该点标量函数f的最大变化率，即该点最大方向导数；
•梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等
值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.
例1 电位场的梯度
•与过该点的等位线垂直；
•数值等于该点的最大方向导数；
•指向电位减少的方向。
电位场的梯度
（4）哈密顿算子▽（读作del 或nabla ）直角坐标系中的具体形式为
z
y x z y x ∂∂
+∂∂+∂∂=∇e e e 使用算符时注意几点：
∇•单独存在没有任何意义；
•算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必须视为矢量，并令它具有矢量的一般特性，即，。
•在不同坐标系中，算符有不同的表达形式。
∇2∇=∇⋅∇0=∇⨯∇∇
（5）梯度的基本运算公式
=∇c （c 为常数）
f c cf ∇=∇)(g
f g f ∇±∇=±∇)(g
f f
g g f ∇+∇=∇)(()2
)(g g f f g g f ∇-∇=∇
u
u f u f ∇'=∇)()(
（6）梯度运算的几个基本关系式
•相对坐标标量函数 f (r -r ')
f
f ∇'-=∇证明：在直角坐标系中f (r -r ') =f (x -x '，y -y '，z -z '))(z y x z y x z f y f x f z f y f x f e e e e e e '
∂∂+'∂∂+'∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂z f z f y f y f x f x f '
∂∂-=∂∂'∂∂-=∂∂'∂∂-=∂∂,,令x -x '=X ，y -y '=Y ，z -z '=Z ，应用复合函数求导法则可得;X )(X X X ∂∂=∂'-∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂=∂∂f x x x f x f x f X
)(X X X ∂∂-='∂'-∂⋅∂∂='∂∂⋅∂∂='∂∂f x x x f x f x f 即有x f x f '∂∂-=∂∂上式重写为等式若成立，则应有
同理可得z f z f y f y f '
∂∂-=∂∂'∂∂-=∂∂,证毕。
f
f ∇'-=∇
•相对位置矢量R =r -r '的模R =|r -r '|
R R
R e R ==∇231R
R R R e R -=-=∇在直角坐标中z y x z z y y x x e e e R )()()('-+'-+'-=••1/2222])()()[(z z y y x x R '-+'-+'-=R x x R x x z z y y x x x z z y y x x x R )()(221])()()[(])()()[(2221/222221'-='-⋅='-+'-+'-∂∂'-+'-+'-=∂∂⋅-则
同理有于是,R y y y R )('-=∂∂R z z z R )('-=∂∂R
z y x z
y x R z z y y x x R z R
y R x R R e R
e e e e e e =='-+'-+'-=∂∂+∂∂
+∂∂=∇])()()[(1
根据算符的微分特性可得
222111
R R R R R R R
e R -=⋅-=∇-=∇（
R ≠0）231R
R R R e R -=-=∇
例2求f = 4e 2x -y+ z 在点P 1（1，1，-1）处的由该点指向P 2（-3，5，6）方向上的方向导数。
)(24e )(24e )(e 4)(4e 2222z y x z x-y z x-y z x-y z x-y z y x f e e e +-=+-∇=∇=∇=∇++++)4(2)(24e 1121z y x z y x --P f e e e e e e +-=+-=∇974481744]744)[(1)(6)1(5)13(1/2222121212z y x z y x z y x R e e e e e e e e e R e ++-=++-=++-++-+--==解：
于是，f 在P 1 处沿R 12 方向上的方向导数为：
[]9
20
714)1()4(294
9
7
44
)(24 121211-=⨯+⨯-+-⨯=++-+-=∇=∂∂⋅⋅z
y x z y x P
P f R f e e e e e e e
例3应用标量场的梯度与该标量场的等值面处处正交的概念，求两曲面x 2 +y 2+z 2=9 和x 2+y 2=z+3在P (2,-1,2)处相交的锐角。
S 1S 2θ∇f 1(2,-1,2)∇f 2(2,-1,2)解：将这两个曲面分别看作是两个标量场的等值面，对应的两个标量场函数为：
f 1= x 2 + y 2 + z 2 f 2 = x 2+y 2-z
求P 点处的梯度
P ()
z y x x z y x f e e e e e e 424222p z y p 1+-=++=∇()z y x x y x f e e e e e e 124122p z
y p 2--=-+=∇()6
364242221==+-+=∇f ()()211242222=-+-+=∇f θcos 2121f f f f ∇∇=∇∇⋅
θ
cos 2121f f f f ∇∇=∇∇⋅()()
2138
2164
41621624424cos 12121=-++=-+-=∇∇∇∇=-⋅⋅z y x z y x f f f f e e e e e e θ2138
cos 1-=∴θ。
