第三章-基本波函数.docx

波函数公式：y=A0cos[w(t-x/u)+A)。

波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。

在经典力学中，用质点的位置和动量（或速度）来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性。

量子力学（Quantum Mechanics），为物理学理论，是研究物质世界微观粒子运动规律的物理学分支，主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论。

它与相对论一起构成现代物理学的理论基础。

量子力学不仅是现代物理学的基础理论之一，而且在化学等学科和许多近代技术中得到广泛应用。

第三章基本波函数3.1 标量波函数1. 直角坐标系中的标量函数 定义：标量波函数是齐次标量亥姆霍兹方程的基本解，也就是标量亥姆霍兹方程对应算子的本征函数。

标量亥姆兹方程的解可表示为()()()x y z ψh k x h k y h k z =（3-5）解谐函数类型：2. 圆柱坐标系中的标量波函数第一类柱贝塞尔函数通常称为贝塞尔函数，以表示()n ρJ k ρ，称为第n 阶贝塞尔函数。

当n 为整数时，可由下列级数表示201J ()(1)()!()!2ρkn k n ρk k ρk ρk n k ¥+==-+å（3-19） 第二类贝塞尔函数又称为诺依曼函数，以()n ρN k ρ表示。

它与第一类贝塞尔函数的关系为201J ()(1)()!()!2ρkn k n ρk k ρk ρk n k ¥+==-+å（3-20）当时0ρ®时()n ρN k ρ 。

当n 为整数时，()n ρN k ρ。

当n 为整数时，为贝塞尔方程的另一个线性无关的解。

3. 圆球坐标系中的标量波函数21()(1)2!n n n n nd P x x n dx=-（3-37） 11111Q ()P ()(ln )P ()P ()21nn n k n k k xx x x x xk--=+=--å（3-38） 式（3-37）和式（3-38）分别称为第一类勒让德函数()n P x 和第二类勒让德函数Q ()n x 。

3.2平面波、柱面波和球面波用标量基本波函数展开及应用1. 平面波用圆柱面基本波函数展开向x 方向传播得平面波用柱面波基本波函数展开为()jkxn jn φn n ej J k ρe ¥--=-?=å（3-47）2. 柱面波用基本波函数展开利用贝塞尔函数的叠加定理，以'ρ为中心轴的柱面波可转变为以Z 轴中心轴的柱面波，即''(2)'()'(2)'0'(2)()'()();Ψ()44()();jn φφn n n jn φφn n n J k ρH k ρe ρρj j H k J k ρH k ρe ρρ ¥-=-?¥-=-?ìïï<ïïï=-=íïï>ïïïîååρρ（3-50） 3. 平面波用球面波基本波函数展开cos 0(21)()(cos )jkr θn n n n ej n j kr P θ¥--==+å（3-56）4. 球面波用基本波函数展开'(2)''0(2)'0''(2)'0(21)()()(cos );4()44(21)()()(cos );4jk r r n n nn n n n n jk n h kr j kr P θr r πe jk h k πjk πn j kr h kr P θr r π ¥--=¥=ì?ï+<ïï-ï=-=íï--ï+>ïïïîåår r r r 5. 点源场的平面波展开'''()()2Ψ8x y z y xj k x x k y y k z z x y zk k jedk dk πk 轾--+-+-犏臌=蝌（3-69）3.3 理想导电圆柱对平面波的散射(2)()()s jn n zn J ka E e H ka ϕ∞=-∞=∑（3-79） 上述散射场式（3-79）中级数的收敛快慢与理想导电圆柱半径的相对大小有关。

(壹x上) 量子力学基础第三节波函数小结作业思考题一、波函数的概念返回上页下页返回上页下页1926年，薛定谔在德布罗意的物质波假说的启发下，连续发表四篇题目均为《量子化是本征化问题》的论文，创立了波动力学。

薛定谔、泡利和约尔当随后各种独立证明了波动力学和矩阵力学在数学上是等价的，是量子力学的两种形式.薛定谔理论中所用的的数学方式我们比较熟悉.1925年，海森堡在玻尔原子理论的启发下，和波恩、约尔当等人建立了矩阵力学。

[波函数的概念]说明(1)“状态用波函数Ψ来描述”简称“态Ψ”.(2)波函数包含了它所描述的体系所能知道的全部知识(如，在该状态下体系的能量、动量、坐标等物理量的平均值).(3)波函数随时间的变化满足一个微分方程，即通常所说的含时间的薛定谔方程(下一节介绍).返回上页下页二、波函数的统计诠释返回上页下页[波函数的历史观点]和经典力学不同，量子力学先假设基本原理并建立数学形式，然后再探索和理解其中的物理意义。

如何理解波函数的物理意义？返回上页下页相速度是相位(如波峰)的传播速度；德布罗意早先证明物质波在真空中也有色散现象，因此，薛定谔所说的波包不稳定，会发生扩散.电子的双缝衍射实验亮条纹是粒子出现概率大的地方；[关于粒子性和波动性]在经典物理中粒子：•有质量、电荷，颗粒性.•做确切的轨迹运动(每一时刻有确定的位置和动量).•能量、动量等物理量可连续取值.波动：•某种实在的物理量在空间作周期性变化(如声波中的空气压强).•具有相干叠加性，能产生干涉和衍射现象.返回上页下页在量子力学中，粒子性和波动性是不可分割的整体，由几率波统一在微观实体中.粒子性：•有质量、电荷，颗粒性，具有微观粒子特有的物理量(如自旋、宇称等).•运动形式不是轨道.•物理量的取值常常具有不确定性和离散性.波动性：•不与实在的物理量相联系，而是与几率密度相关.•几率波具有相干叠加性.返回上页下页三、波函数的性质返回上页下页返回上页下页(2)“Ψ要处处有限”是更苛刻的要求：偶尔也有波函数不处处有限，但却是平方可积的。

第三章 多电子波函数3．1 电子问题——对于一个N 电子，M 核的体系，在原子单位下，哈密顿Hamiltonian ，可以写为：221111111221NM N Mi AA i A i A A iAN NM MA B i j iA B A ij ABZ H M r Z Z r r =====>=>∇=--∇-++∑∑∑∑∑∑∑∑其中A M 是核A 相对于电子的约化质量A Z 为核A 的原子数第一项为电子动能项 （算符） 第二项为核动能项第三项为电子与核相互作用能 第四项为电子与电子相互作用能 第五项为核之间的相互作用能——为了使问题简化，Born Oppeheimer 提出假设（B O Approach ） 利用BO 近似，可以将核与电子运动分离，从而使我们只讨论电子问题，解决了电子问题后，我们还可以接着解决核问题。

——具体看一下BO 近似上式中，由于核与电子相比，质量很大，因此由动量守恒，其运动与电子相比就慢很多。

这样就可以假设电子是在由定核构成的场中运动。

因此：第二项： 核动能项可以忽略 第五项： 核排斥能为常数由于常数加在算符上，只改变算符本征值而不改变本征函数，因此，我们可以从总Hamiltonian 中减掉它，得到电子哈密顿，或描述N 电子在M 点电荷场中的哈密顿：21111112NN MN N A eleci i A i j i i iA ijZ H r r ====>=-∇-+∑∑∑∑∑其相对应的Schrodinger 方程为:elec elec elec elec H εΦ=Φ这时的Hamiltonian 的本征值不是多电子体系的总能。

为了求得体系总能量，我们需要加上1M MA BA B A ABZ Z r =>∑∑一项，我们以后只考虑电子问题，因此省略掉下标“elec ”。

由于电子Hamiltonian 含有双粒子坐标项11N Ni j i ijr =>∑∑，因此不能简单地利用变量分离法求解，只能用近似法求解。