第2章 时域离散信号和系统的频域分析

第2章 时域离散信号和系统的频域分析 本章主要内容
序列的傅里叶变换的定义和性质
周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间 的关系 序列的Z变换 利用Z变换分析信号和系统的频域特性
2.1 引言
信号和系统的两种分析方法： 时域分析方法和频率分析方法 (1)模拟信号和系统 信号用连续变量时间t的函数表示； 系统则用微分方程描述；
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 2.2.2 序列傅里叶变换的性质
1. FT的周期性 在FT定义式中， n取整数， 因此下式成立
X (e j )
结论：
n


x( n)e j ( 2 M ) n , M为整数
(1) 序列的傅里叶变换是频率ω的连续周期函数，周期是2π。 (2) X(ejω)可展成傅里叶级数， x(n)是其系数。 X(ejω)表示了信 号在频域中的分布规律。 (3) 在ω＝0,〒2π,〒4π…表示信号的直流分量，在ω＝(2M＋1)π
j j
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
(5) 研究FT的对称性 (a) 将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的形式
x(n)=xr(n)+jxi(n)
将上式进行FT， 得到: X(e jω)=Xe(e jω)+Xo(e jω)
j j j jjj n j n n j n n n
1 1 [ X (e jj ) X (e jj )] X e (e ) [ X (e ) X (e )] X e (e ) 2 2 1 j j ) 1 [ X ( e j ) X ( e j )] X o (e ) [ X (e j ) X (e j )] X o (e 2 2

第二章 离散时间信号和离 时间系统
2.1 引言
一. FT是重要的变换
1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以通DFT在计算机上 实现。
二、本章主要讨论内容
♦ 付里叶变换的推导 ♦ 付里叶变换的有关性质 ♦ 离散序列付里叶变换逼近连续时间信号的问题 ♦ 序列的Z变换 ♦ Z变换与系统的关系
实部为偶 对称序列 虚部为奇 对称序列
0
n
0
n
（2）定义：若xo(n)满足 xo(n)= -xo*(-n)； （2.2.13）， 则称xo(n)为共轭反对称序列。 将其分成实部和虚部： 用-n取代 n并取共轭：
xo (n) = xor (n) + jxoi (n)
xo*(-n)= xor(-n)-jxoi(-n)
∞
(2.2.8) (2.2.9)
证: FT [ x(n ± n0 )] =
k = n ± n0 → =
n =−∞
∑
x(n ± n0 )e − jω n
k =−∞
∑
∞
x(k )e − jω ( k ∓ n0 ) = e ± jω n0
k =−∞
∑
∞
∞
x(k )e − jω k = e ± jω n0 X (e jω ) x ( n ) e − j (ω ∓ ω 0 ) n = X ( e j (ω ∓ ω 0 ) )
∞
n =−∞
∑
∞
x(n)e− jω n
= ∑ RN (n)e n
n =−∞
− jω n
N-1 ∞ = ∑ e − jω n
n =0
设N＝4其幅度和相 位随ω变化如下图所 示

| z | 2
试利用部分分式展开法求其Z反变换。
解：
X (z)

A1 1 2z 1

1

A2 0.5
z
1
4 1 1 1 3 1 2z1 3 1 0.5z1
x(n)


4 3

2n

1 3
(0.5)n
u(n)
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例： 设
X (z)
7）终值定理：设x(n)为因果序列，且X(z)=Z［x(n)］的全部
极点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在单位
圆内，则 ： lim x(n) lim[(z 1)X (z)]
n
z1
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
8）序列卷积（卷积定理）
若： y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
3z (z 3)2

z2
3z , 6z 9
试利用长除法求其Z反变换。
解：
| z | 3
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.4 Z 变换的性质和定理
1）线性性质
Z［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z)
2）序列的移位 Z[x(n m)] zm X (z) Rx | z | Rx
2 j c
c (Rx , Rx )
直接利用围线积分的方法计算逆Z变换比较麻烦。 下面介绍几种常用的逆Z变换计算方法： 1）用留数定理求逆Z变换（了解） 2）部分分式展开法（掌握） 3）幂级数展开法（长除法）
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例： 设
1

F(z) = X(z)zn1
F(z)在z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将平面上的极 F(z)在 平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c 点分成两部分：一部分是c内极点，设有N 个极点， 表示； 点分成两部分：一部分是c内极点，设有N1个极点，用Z1k表示；另 一部分是c外极点， 表示。根据留数辅助定 一部分是c外极点，有N2个，N=N1+N2，用Z2k表示。根据留数辅助定 下式成立： 理，下式成立：
当n<0时,请讨论! n<0时 请讨论!
zn x(n) = Re s[F(z),a] = (z a) |z=a = an z a
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
2. 幂级数法（长除法）求逆Z变换 幂级数法（长除法）求逆 变换
2.5 序列的Z变换
按照Z变换定义(2.5.1)式，可以用长除法将X(z)写成幂级数形 按照Z变换定义(2.5.1)式 可以用长除法将X(z)写成幂级数形 (2.5.1) X(z) x(n)是右序列 级数的系数就是序列x(n) 要说明的是，如果x(n)是右序列， x(n)。 式，级数的系数就是序列x(n)。要说明的是，如果x(n)是右序列， 级数应是负幂级数；如果是左序列，则是正幂级数(为什么?) 级数应是负幂级数；如果是左序列，则是正幂级数(为什么?) 1 例 2.5.8 已知 (z) = 用长除法求逆Z变换x(n) X ,| z |>| a |, 用长除法求逆Z变换x(n) 1 1 az 解 由收敛域判定这是一个右序列，用长除法将其展成负幂级数： 由收敛域判定这是一个右序列，用长除法将其展成负幂级数：
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
1. 用留数定理求逆 变换 用留数定理求逆Z变换
2.5 序列的Z变换