数字信号处理2-离散时间信号与系统的Z域分析和频域分析
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数字信号处理[第二章时域离散信号和系统的频域分析]
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序列的共轭对称部分 对应FT的实部
X (e j ) X R (e j ) jX I (e j )
序列的共轭反对称部 分对应FT的虚部与j
17
时域离散信号和系统的频域分析
分析实因果序列h(n)的对称性
h(n) hr (n) jhi (n)
h(n) he (n) ho (n)
H (e j ) H e (e j ) Ho (e j ) H (e j ) H R (e j ) jH I (e j )
j 2 kn j 2 mn
x(n)e N [ ake N ]e N
n0
n0 k
N 1 j 2 (k m)n
ak e N
ak N
k n0
k
19
时域离散信号和系统的频域分析
周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
ak
1
N 1 ~
j 2 kn
x(n)e N
N n0
~
令 X (k) Nak
h(n) / 2, n 0
h(n) / 2, n 0
18
时域离散信号和系统的频域分析
周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
~
周期序列不满足 x(n) n
~
傅里叶级数：x(n)
j 2 kn
ak e N
k
N 1 j 2 (km)n N, k m
eN
n0
0,
k
m
N1 ~
j 2 mn N 1
cos 0 n
1 [e 2
j0n
e
] j0n
X
(e
j
)
FT [cos 0 n]
FT [
1 2
(e
j0n
e
X (e j ) X R (e j ) jX I (e j )
序列的共轭反对称部 分对应FT的虚部与j
17
时域离散信号和系统的频域分析
分析实因果序列h(n)的对称性
h(n) hr (n) jhi (n)
h(n) he (n) ho (n)
H (e j ) H e (e j ) Ho (e j ) H (e j ) H R (e j ) jH I (e j )
j 2 kn j 2 mn
x(n)e N [ ake N ]e N
n0
n0 k
N 1 j 2 (k m)n
ak e N
ak N
k n0
k
19
时域离散信号和系统的频域分析
周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
ak
1
N 1 ~
j 2 kn
x(n)e N
N n0
~
令 X (k) Nak
h(n) / 2, n 0
h(n) / 2, n 0
18
时域离散信号和系统的频域分析
周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
~
周期序列不满足 x(n) n
~
傅里叶级数：x(n)
j 2 kn
ak e N
k
N 1 j 2 (km)n N, k m
eN
n0
0,
k
m
N1 ~
j 2 mn N 1
cos 0 n
1 [e 2
j0n
e
] j0n
X
(e
j
)
FT [cos 0 n]
FT [
1 2
(e
j0n
e
数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
数字信号处理知识点总结
数字信号处理知识点总结《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。
连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。
模拟信号：是连续信号的特例。
时间和幅度均连续。
离散信号：时间上不连续，幅度连续。
常见离散信号——序列。
数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。
（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩2）单位阶跃序列 1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 1,01()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。
注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即()()i x n x n iL ∞=-∞=-∑当L N ≥时，()()()N x n x n R n =当L N <时，()()()N x n x n R n ≠（4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+-1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算 1）基本运算2）线性卷积：将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式：1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质 （1）线性性质定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数a、b ，下式成立1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。
数字信号处理第二章--离散时间信号与系统的频域分析ppt课件
而
.
2
X(ej)ejmd x(n)2(nm)
n
2x(m)
x(n)1 X(ej)ejnd
2
序列傅 里叶变
换对
X(ej) x(n)ejn n
x(n)21 X(ej)ejnd
.
正变换
反变换
3
例:试求矩形序列 RN (n) 的傅里叶变换
解：
N 1
X(ej) RN(n)ejn e j n
1X(ej w )1x*(n)ejn
2
2n
1X(ejw )1
x*(n)ejn
2
2n
1X(ej w )1[
x(n)ejn]
2
2n
1X(ejw)1X*(ejw)
2
2
XR(ejw)
.
14
C)实因果序列h(n)的对称性 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ejω),共轭反对称
部分为零。 即:H(ejω)=He(ejω)=H*(e-jω)
n
M为整数
因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。
由于FT的周期性，一般只分析-π~+π或0~2π之间的FT
2. 线性
设 X 1(ej)F T[x1(n)],X2(ej)F T[x2(n)], 那么 F T[ax1(n)bx2(n)]aX 1(ej)bX2(ej)
.
6
3. 时移与频移 设X(e jω)=FT［x(n)］， 那么
则 Y(ej) 1 X(ej)H(ej)
2
1 X(ej)H[ej()]d
2
证明:
Y(ej)F[Ty(n)] x(n)h(n)ejn
n
x(n)[1H (ej)ejnd]ejn
数字信号处理实验离散系统的Z域分析
数字信号处理实验报告实验名称：离散系统的Z 域分析学号：姓名： 评语： 成绩： 一、实验目的1、掌握离散序列z 变换的计算方法。
2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。
3、掌握利用MATLAB 进行z 反变换的计算方法。
二、实验原理与计算方法1、z 变换离散序列x (n )的z 变换定义为：。
∑∞-∞=-=n n z n x Z X )()(在MATLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。
其命令格式为：syms n; f=(1/2)^n+(1/3)^n;ztrans(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出关系，即y (n )= x (n )* h (n )对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z )则： )()()(z X z Y z H =将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即∑∞-∞=-==n n z n h n h Z z H )()]([)(对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若，则系统稳∞<∑∞-∞=n n h |)(|定。
由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。
因为，若z =1时H (z )收敛，即∑∞-∞=-=n n z n h z H )()(，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。
∞<=∑∞-∞==n z n h z H |)(||)(1因此因果稳定系统应满足的条件为：，即系统函数H (z )的所有极点全部落在1,||<∞≤<ααz z 平面的单位圆之内。
3、MATLAB 中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法MATLAB 中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。
数字信号处理第2章 时域离散信号和系统的频域分析2019
课程大体内容安排
第1节 引言 第2节 序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、
傅里叶变换的关系 第3节 傅里叶变换的几种形式 第4节 傅里叶级数（DFS) 第5节 傅里叶级数（DFS)的性质 第6节 离散时间信号与系统的Z变换
第二章 时域离散信号和系统的频域分析 （课本中第2章第3、4、5、6节）
由于有限长序列，引入DFT(离散付里叶变换)。 DFT它是反映了“有限长”这一特点的一种有用工具。 DFT变换除了作为有限长序列的一种付里叶表示，在理论
上重要之外，而且由于存在着计算机DFT的有效快速算法-FFT,因而使离散付里叶变换(DFT)得以实现，它使DFT在各 种数字信号处理的算法中起着核心的作用。
T0 / 2 x(t )e jk0t dt
T0 / 2
反变换:x(t)
X ( jk0 )e jk0t
k
条件：0
2
T0
2 F
1.傅 里 叶 级 数(FS)
通过以下 变 换 对 可 以 看 出 时 域 的 连 续 函 数 造成频域是非周期的频谱函数,而频域的 离 散 频 谱 就 与 时 域 的 周 期 时 间 函数对应 。 (频域采样，时域周期延拓)
在以后的讨论中，我们用数字频率 来作为z平面
上单位圆的参数，即
z e j
数字频率w表示z平面的辐角，它和模拟角频率的
关系为
T 2 f
fs
fs
看出：数字频率是模拟角频率对抽样频率的归一化
值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2。
数字频率和模拟频率的关系
若已知抽样序列x(n),如何求出输入信号xa(t)的频谱？ （1）先通过sz的映射关系，去找抽样序列x(n)的z
第1节 引言 第2节 序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、
傅里叶变换的关系 第3节 傅里叶变换的几种形式 第4节 傅里叶级数（DFS) 第5节 傅里叶级数（DFS)的性质 第6节 离散时间信号与系统的Z变换
第二章 时域离散信号和系统的频域分析 （课本中第2章第3、4、5、6节）
由于有限长序列，引入DFT(离散付里叶变换)。 DFT它是反映了“有限长”这一特点的一种有用工具。 DFT变换除了作为有限长序列的一种付里叶表示，在理论
上重要之外，而且由于存在着计算机DFT的有效快速算法-FFT,因而使离散付里叶变换(DFT)得以实现，它使DFT在各 种数字信号处理的算法中起着核心的作用。
T0 / 2 x(t )e jk0t dt
T0 / 2
反变换:x(t)
X ( jk0 )e jk0t
k
条件：0
2
T0
2 F
1.傅 里 叶 级 数(FS)
通过以下 变 换 对 可 以 看 出 时 域 的 连 续 函 数 造成频域是非周期的频谱函数,而频域的 离 散 频 谱 就 与 时 域 的 周 期 时 间 函数对应 。 (频域采样，时域周期延拓)
在以后的讨论中，我们用数字频率 来作为z平面
上单位圆的参数，即
z e j
数字频率w表示z平面的辐角，它和模拟角频率的
关系为
T 2 f
fs
fs
看出：数字频率是模拟角频率对抽样频率的归一化
值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2。
数字频率和模拟频率的关系
若已知抽样序列x(n),如何求出输入信号xa(t)的频谱？ （1）先通过sz的映射关系，去找抽样序列x(n)的z
第2章离散时间信号与系统的Z域分析ppt课件
xn
xn,
n1 nn2
0, 其它
n2
Xzxnznxnzn
n
nn1
若 xnzn, n1nn2 每一项都有界
则必有 zn , n1 nn2
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
9 /186
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
10 /186
当n1 0、n2 0时，显然在0 z 内的z值都满 足该条件，收敛域为除去原点和无穷远点的z平面，
，2 z 3
利用部分分式展开法求z反变换 x(n) 。
解 X(z) 5 A 1 A 2 z (z2)z(3) z2 z3
A1 (z2)Xz(z)z2 1 A1(z2)Xz(z)z2 1
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
34 /186
则
X(z) z z
z2 z3
上式第一项只有极点 z2，由收敛域中 z 3可知，
列 就是各x(n部) 分分式的z反变换之和。在求各部分
分式z反变换时，可利用表2.1.2中的基本z变换对。
第2章离散时间信号与系统的Z域分析
M
表示成有理分式形式 X(z) P(z)
bi zi
i0
Q(z)
N
1 ai zi
展成以下部分分式形式
i1
29 /186
X (z) M n 0 N B n z n N k 1 s1 A zk kz 1 k s 1(1 C zik z 1 )k
该项的反变换应为右边因果序列，则
Z1[ z ](3)n z3
，
n
0
第二项只有极点 z3，同样由收敛域中 z 3可
知，该项的反变换应为左边序列，则
Z1[ z ](3)n，n1
数字信号处理(西电版第三版)ch02_2时域离散信号和系统的频域分析PPT
Digital Signal Processing
数字信号处理（西电版第三版） ch02_2时域离散信号和系统的频
域分析PPT
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Digital Signal Processing
2.3 时域离散信号的Z变换
在模拟系统中，用傅里叶变换进行频域分析，而拉普拉 斯变换是傅里叶变换的推广，用于对信号在复频域的分 析。在数字域中，用序列傅里叶变换进行频域分析，Z 变换是其推广，用于对信号在复频域中的分析。
n
n 1
n 1
如果X(z)存在，则要求 a 1，z 得1 到收敛域为 。z在收a
敛域中，该Z变换为
X(z)1aa 11zz11 a z1
za
我们将例2.2和例2.3进行比较，两者Z 变换的函数表达式一样，但收敛域却 不相同，对应的原序列也不同，因此 正确地确定收敛域是很重要。
返回
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上式右边： 第一项是有限序列的Z变换，收敛域为0 ≤|z|<∞。 第二项为因果序列的Z变换，其收敛域为Rx-<|z|≤∞。
将两个收敛域相与，得到它的收敛域为Rx-<|z|<∞。
如果x(n)是因果序列，即设n1≥0，它的收敛域为 Rx-<|z|≤∞。
返回
Digital Signal Processing
A0 ResXz(z),0 AmResXz(z),zm
回到本节
这样，将上面的两式带入由X(z)展开得到的部分分式中 去，在通过查表（书中表）就能够得到原序列。
但我们知道收敛域不同，即使同一个z函数也可以有 不同的原序列对应，因此根据给定的收敛域，应正确地 确定每个分式的收敛域，这样才能得到正确的原序列。
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2.3 时域离散信号的Z变换
在模拟系统中，用傅里叶变换进行频域分析，而拉普拉 斯变换是傅里叶变换的推广，用于对信号在复频域的分 析。在数字域中，用序列傅里叶变换进行频域分析，Z 变换是其推广，用于对信号在复频域中的分析。
n
n 1
n 1
如果X(z)存在，则要求 a 1，z 得1 到收敛域为 。z在收a
敛域中，该Z变换为
X(z)1aa 11zz11 a z1
za
我们将例2.2和例2.3进行比较，两者Z 变换的函数表达式一样，但收敛域却 不相同，对应的原序列也不同，因此 正确地确定收敛域是很重要。
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上式右边： 第一项是有限序列的Z变换，收敛域为0 ≤|z|<∞。 第二项为因果序列的Z变换，其收敛域为Rx-<|z|≤∞。
将两个收敛域相与，得到它的收敛域为Rx-<|z|<∞。
如果x(n)是因果序列，即设n1≥0，它的收敛域为 Rx-<|z|≤∞。
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A0 ResXz(z),0 AmResXz(z),zm
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这样，将上面的两式带入由X(z)展开得到的部分分式中 去，在通过查表（书中表）就能够得到原序列。
但我们知道收敛域不同，即使同一个z函数也可以有 不同的原序列对应，因此根据给定的收敛域，应正确地 确定每个分式的收敛域，这样才能得到正确的原序列。
数字信号处理及应用第2章时域离散信号和系统的频域分析
为求系数 a ~x(n) k
，
将上式两边乘以
e
j 2 N
mn
，
并对n在一个周期N中求和：
~ x(n)e [ ae ]e [ a]e N 1
n0
j2mnN 1N 1 j2kn j2mnN1 N1
N
N
N
k
k
n0k0
n0 k0
j2(km)n
?21 2[X(ej)X*(ej)] jXI(ej)
x(n)xe(n)xo(n)
X ( e j ) X R ( e j ) jI X ( e j )
X (ej) X e(ej) X o(ej)
§2.2 序列的傅立叶变换
X (ej)X e(ej)X o(ej)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
通信与信息工程学院 数字信号处理教学团队
Jean Baptiste Joseph Fourier 与傅立叶变换
Jean Baptiste Joseph Fourier生于 1768年3月21日法国奥克斯雷 （Allxerre）。
傅立叶级数的提出和完善 1807年 1829年
0,
n0 0,
n0
例2.2.3
序列的傅立叶变换性质：
6. 频域卷积定理 y(n)x(n)h(n)
Y(ej) 1 X(ej)Hej
2
1 X(ej)H(ej())d
2
7.时域卷积定理
y(n)x(n)*h(n)
Y ( e j ) X ( e j ) H e j
x(t)cos2(fct0),
f110Hz,10ra;d
fc 10Hz,0 0rad
f215Hz,2/3rad
数字信号处理实验：离散时间信号频域分析报告
3．线性调频Z变换
离散傅立叶变换（DFT）可以看作信号在Z域上沿单位圆的均匀采样。但在实际应用中，并非整个单位圆上的频谱都有意义。一些情况下，如对于窄带信号，只希望分析信号所在的一段频带等，采样点的轨迹是一条弧线或圆周。这种需求，就导致了线性调频Z变换（Chirp z变换）的出现。
Chirp z变换与DFT计算整个频谱的算法不同，它是一种更为灵活的计算频谱的算法，可以用来计算单位圆上任一段曲线的Z变换，作频谱分析时输入的点数和输出的点数可以不相等，从而达到频域“细化”的目的。
用DFT分析x(t)的频谱结构。选择不同的截取长度，观察DFT进行频谱分析十存在的截断效应。试用加窗的方法减少谱间干扰。请分析截取长度对频谱泄漏和频率分辨率的影响，分析不同窗函数对谱间干扰的影响。
提示：截断效应使谱分辨率（能分开的两根谱线间的最小间距）降低，并产生谱间干扰；频谱混叠失真使折叠频率（fs/2）附近的频谱产生较大的失真。理论和实践都已证明，加大截取长度可提高频率分辨率；选择合适的窗函数可降低谱间干扰；而频谱混叠失真要通过提高采样频率fs和预滤波来改善。
fs=400; T=1/fs; %采样频率为400
Tp=0.04;N=Tp*fs; %采样点数
N1=[N,4*N,8*N]; %设定三种截取长度供调用
st=['|X1(jf)|';'|X4(jf)|';'|X8(jf)|'];%设定三种标注语句供调用
%矩形窗截断
for m=1:3
n=1:N1(m);
3、搜索路径
MATLAB管理着一条搜索路径，它在搜索路径下寻找与命令相关的函数文件。例如，如果在MATLAB提示符下输入example, MATLAB解释器将按照下面的步骤来处理这条字符串：
离散傅立叶变换（DFT）可以看作信号在Z域上沿单位圆的均匀采样。但在实际应用中，并非整个单位圆上的频谱都有意义。一些情况下，如对于窄带信号，只希望分析信号所在的一段频带等，采样点的轨迹是一条弧线或圆周。这种需求，就导致了线性调频Z变换（Chirp z变换）的出现。
Chirp z变换与DFT计算整个频谱的算法不同，它是一种更为灵活的计算频谱的算法，可以用来计算单位圆上任一段曲线的Z变换，作频谱分析时输入的点数和输出的点数可以不相等，从而达到频域“细化”的目的。
用DFT分析x(t)的频谱结构。选择不同的截取长度，观察DFT进行频谱分析十存在的截断效应。试用加窗的方法减少谱间干扰。请分析截取长度对频谱泄漏和频率分辨率的影响，分析不同窗函数对谱间干扰的影响。
提示：截断效应使谱分辨率（能分开的两根谱线间的最小间距）降低，并产生谱间干扰；频谱混叠失真使折叠频率（fs/2）附近的频谱产生较大的失真。理论和实践都已证明，加大截取长度可提高频率分辨率；选择合适的窗函数可降低谱间干扰；而频谱混叠失真要通过提高采样频率fs和预滤波来改善。
fs=400; T=1/fs; %采样频率为400
Tp=0.04;N=Tp*fs; %采样点数
N1=[N,4*N,8*N]; %设定三种截取长度供调用
st=['|X1(jf)|';'|X4(jf)|';'|X8(jf)|'];%设定三种标注语句供调用
%矩形窗截断
for m=1:3
n=1:N1(m);
3、搜索路径
MATLAB管理着一条搜索路径，它在搜索路径下寻找与命令相关的函数文件。例如，如果在MATLAB提示符下输入example, MATLAB解释器将按照下面的步骤来处理这条字符串：
信号与系统概论PPT第五章离散时间信号与系统的z域分析和频域分析2
1.离散LTI系统的各类响应与系统函数
设描述N阶LTI离散系统的差分方程为
N
M
ak yn k br f n r, a0 1
k 0
r0
当一个物理可实现系统（其单位采样响应一定是因
果的）的输入为因果信号时，系统零状态响应一定
也是因果的
M
N Y z ak z k
k 0
M
F z br z r
i 1
极点位置不同，其脉冲响应信号形式不同， 详见后图。
第四节 离散线性时不变系统的z域分析
2. 系统零极点分布与系统特性
jImz
h(n)
×
× × × × ×
×
×
××
×× ×
0
Re z
× × ×
×
×
极点分布和冲激响应的关系
第四节 离散线性时不变系统的z域分析
2. 系统零极点分布与系统特性
（2）极点与系统稳定性、因果性分析
状态响应和全响应。
Y
z
2.5
z 1Y
z
1
z 2Y
z
z
1
1
1
1 z1
Y z Yzi z Yzs z
第四节 离散线性时不变系统的z域分析
1.离散LTI系统的各类响应与系统函数 例 5-12 yn 2.5yn 1 yn 2 f n y1 1, y2 1
Yzi
z
z1 3.5
1 4
z
2,收敛域包括单位圆，系统稳定且非因果
第四节 离散线性时不变系统的z域分析
2. 系统零极点分布与系统特性
（2）离散系统稳定性
例正向5-传15输图G示1 出z 了 1一12个z1 ，离而散它反的馈反控向制传系输统。G2已z知 它2Kz的1 ，
数字信号处理课后答案+第2章(高西全丁美玉第三版)
X (e j ) 1 cos 2
当π≤ω≤2π时， X(ejω)=0， 故
1 cos 2 X (e ) 0
j
0≤ω≤π π≤ω≤2π
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
因此
Re［X(ejω)］=X(ejω) Im［X(ejω)］=0 ［例2.4.3］ 已知 0≤n≤N N+1≤n≤2N n<0, 2N<n
0≤|a|<1, 0≤|b|<1
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。 离散傅里叶
变换是离散化的傅里叶变换， 因此用计算机分析和处理信
号时， 全用离散傅里叶变换进行。 离散傅里叶变换具有快 速算法FFT， 使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。
但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换， 它将信号
（1） FT的逆变换为
1 x(n) 2π
π
－π
X (e j )e jn d
用留数定理求其逆变换， 或者将z=ejω代入X(ejω)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收 敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取
单位圆。
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
1 xe (n) [ x(n) x (n)] 2
1 xo (n) [ x(n) x (n)] 2
第２章
时域离散信号和系统的频域分析
式中, xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序
列， 常用以求序列的xe(n)和xo(n)。 （7）
X ( z)
n
这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对， 可用以 表现周期序列的频谱特性。
数字信号处理2-离散时间信号与系统的Z域分析和频域分析
n
x(n ) z n M
1 有限长序列
x (n ) n1 n n2 x(n) 其它n 0
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其Z变换：X ( z ) x( n ) z n
n n1
n2
Roc至少为： 0 z
j Im[ z ] Re[ z ]
0
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n1 0 n2
X ( z ) x ( n1 ) z n1 x ( n1 1) z ( n1 1) x ( 1) z1 x (0) z 0 x (1) z 1 x ( n2 1) z ( n2 1) x ( n2 ) z n2
x ( n ) n n1 x(n ) n n1 0
其Z变换：X ( z )
前式Roc: 0 z
n n1
x ( n ) z n x (n ) z n
n 0
1
后式Roc: Rx z
当n1 0时，Roc : Rx z 当n1 0时，Roc : Rx z
1 ai z Y ( z ) y (l ) z l 0 i l i N i
1 m 0b j z X ( z) m jx(m) z j M j
j 1 m j 0b j z X ( z) 0 b j z m jx(m) z j j Y ( z) N N i ai z a i z i
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j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
n1 0
0
包括z 处
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因果序列
数字信号处理课件第2章 时域离散信号和系统的频域分析
x ( n)
1 j jn X ( e ) e d 2
1 2 最终可得： X (e ) r) Xa( j j T r T T
结论：时域取样， 频域周期延拓。
③
是实奇序列，则其FT
⑤时域卷积定理
若y (n) x(n) h(n), 则Y (e j ) X (e j ) H (e j )
用途：求LTI系统的输出 ⑥频域卷积定理
若y (n) x(n) h(n), 则Y (e j )
1 X ( e j ) H ( e j ) 2 1 j j ( ) X ( e ) H ( e )d 2
0
x(t )
0 | Xn |
1
2 Tp
x ( n)
| X ( e j ) |
n
N点
~ x ( n)
~ | X (k ) |
n
N点
N点
k
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数 连续和非周期 连续和周期 离散和非周期 离散和周期 频率函数 非周期和连续 非周期和离散 周期和连续 周期和离散
B.若
x ( n ) X ( e j ),
j
则x * (n) X * (e
C.复序列
)， x * ( n) X * (e j )
x ( n ) x r ( n ) jx i ( n )
1 1 * xr n [x(n) x (n)] X 2 2
1 jxi n [ x(n) x (n)] 2
j ( 2M ) n
n
j n j x ( n ) e X ( e )
0 数字低频
数字信号处理-时域离散信号和系统的频域分析 (3)
Rx-<|z|<Rx+
所以，双边序列的收敛域通常是环状区域。
2019/9/30
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
总结
1.有限长双边序列的双边Z变换的收敛域一般为 0<|z|<∞；单位序列δ(n)的双边Z变换的收敛域 为全Z复平面。
2.无限长右边序列的双边Z变换的收敛域为
Rx-<|z|<∞ ， 即 收 敛 域 为 半 径 为 Rx- 的 圆 外 区 域 。 因果序列，收敛域为 Rx-<|z|≤∞。
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
4．双边序列
双边序列是从n=-∞延伸到n=+∞的序列。其z变换为：
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
显然，可以把它看成右边序列和左边序列的z变换 叠加。如果Rx-<Rx+，则存在一个如下的公共收敛区域
序列x(n)的Z变换定义为： X (z) x(n)zn
n
注意：式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。
在定义中，对n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。
还有一种称为单边Z变换的定义， 如下式源自2019/9/30
X (z) x(n)zn
n0
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
3.无限长左边序列双边Z变换的收敛域为|z|＜Rx+，
即收敛域为以为Rx+半径的圆内区域。
2019/9/30
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
总结
4.无限长双边序列双边Z变换的收敛域为Rx-<|z|<Rx+，
即收敛域位于以Rx-为半径和以Rx+为半径的两个圆 之间的环状区域。 5.在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点。
所以，双边序列的收敛域通常是环状区域。
2019/9/30
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
总结
1.有限长双边序列的双边Z变换的收敛域一般为 0<|z|<∞；单位序列δ(n)的双边Z变换的收敛域 为全Z复平面。
2.无限长右边序列的双边Z变换的收敛域为
Rx-<|z|<∞ ， 即 收 敛 域 为 半 径 为 Rx- 的 圆 外 区 域 。 因果序列，收敛域为 Rx-<|z|≤∞。
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
4．双边序列
双边序列是从n=-∞延伸到n=+∞的序列。其z变换为：
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
显然，可以把它看成右边序列和左边序列的z变换 叠加。如果Rx-<Rx+，则存在一个如下的公共收敛区域
序列x(n)的Z变换定义为： X (z) x(n)zn
n
注意：式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。
在定义中，对n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。
还有一种称为单边Z变换的定义， 如下式源自2019/9/30
X (z) x(n)zn
n0
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
3.无限长左边序列双边Z变换的收敛域为|z|＜Rx+，
即收敛域为以为Rx+半径的圆内区域。
2019/9/30
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
总结
4.无限长双边序列双边Z变换的收敛域为Rx-<|z|<Rx+，
即收敛域位于以Rx-为半径和以Rx+为半径的两个圆 之间的环状区域。 5.在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点。
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0 n2 n1 Roc : 0 z
0 n1 n2 n1 n2 0
0 n n 0 Roc : 0 z 0 n 0 n Roc : 0 z
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2 右边序列
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j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
n1 0
0
包括z 处
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因果序列
Rx z
j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
0
包括z 处
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3 左边序列
n n2 0 x(n) x ( n ) n n2
其z变换：X ( z )
1 ln z T
X s ( s)
X ( z)
X ( z)
ze
sT
X s ( s)
z e sT
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将s表示成直角坐标形式，而将z表示成极坐标 形式，即
s j z re
j
re
j
e
( j )T
e e
T
jT
re
T
T
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以上两式表明s~z平面有如下映射关系： (1) s平面上的虚轴映射到z平面是单位圆, 其右半平面映射到z平面是单位圆的圆外, 其左半平面映射到z平面是单位圆的圆内. (2) s平面的实轴映射到z平面是正实轴 (3) s平面与z平面的映射关系不是单值的
dX ( z ) nx(n) z dz Rx 1 z Rx 2
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2.3.5初值定理 因果序列
x(0) lim X ( z )
z
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2.3.6 终值定理 因果序列
n
lim x(n) lim ( z 1) X ( z )
z 1
N ( z ) b0 b1 z br 1 z br z X ( z) k 1 k D( z ) a0 a1 z a k 1 z a k z
r 1
r
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当分子多项式的阶次小于分母多项式阶次，变 换是一种线性变换。可以把它分解成许多常见的 部分分式之和 . 如果X(z)只含有一阶极点，则可以展开成
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2.3.7时域卷积定理
如果
X ( z ) x ( n) H ( z ) h( n) Rx 1 z Rx 2 R h 1 z Rh 2
则
x(n) h(n) X ( z)H ( z)
max Rx 1 , Rh 1 z min Rx 2 , Rh 2
X ( z)
z e j
X (e )
1 2 j
j
n
x ( n )e
jn
x ( n)
c
X ( z ) z n 1 dz
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如果上式中积分围线选择为单位圆，那么
1 x ( n) 2
X (e
j
)e
jn
d
X (e j ) x( n) e jn n x( n) 1 X (e j )e jn d 2
n
x(nT ) ( t nT )
将上式两边取拉氏变换得
X s ( s) x s (t )e st dt
n
x(nT ) e nsT
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X s ( s)
s
1 ln z T
n s
x(nT ) z n X ( z )
1 m k x ( n m) u ( n ) z X ( z ) x ( k ) z k m
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2.3.3序列指数加权
a n x(n) X ( a 1 z)
Rx 1 a 1 z Rx 2
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2.3.4序列线性加权
m 1
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x(n m) z m X ( z )
2.3
2.3.1线性 2.3.2位移特性 1 双边Z变换
Z变换性质
x(n m) z X ( z)
m
x(n m) z X ( z)
m
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2单边Z变换
m 1 m k x ( n m) u ( n ) z X ( z ) x ( k ) z k 0
x ( n)
1 n 1 c X ( z) z dz 2j
2.2 z反变换
2.2.1留数法 如果
X ( z)
n
x (n) z n
则X(Z)的反变换为
1 x ( n) 2j
X ( z ) z n 1 dz
c
c ( R1 , R2 )
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积分路径是一条在X(z)收敛域内，逆时针方向绕 原点一周的单围线
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2.5差分方程的z域解法
线性时不变系统可以用常系数线性差分方程 来描述，即
y ( n) b j x ( n j ) a i y ( n i )
j0 i 1
M
N
i0
a y (n i ) b x(n j )
i j0 j
N
M
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上式两边取单边z变换得
其z变换：X ( z )
n
x (n ) z
1
n
x (n ) z
n 0
n
当Rx Rx 时，Roc : 当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx
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j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
Rx
0
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总之，对连续信号可以采用拉氏变换、傅里 叶变换对它进行分析。傅里叶变换是虚轴上的拉 氏变换，反映信号频谱。对于离散信号(序列)， 相应可采用z变换及序列傅里叶变换分析。序列傅 里叶变换是单位圆上的z变换，反映的是序列频 谱 。理想抽样沟通了连续信号拉氏变换、傅里叶 变换与抽样后序列z变换以及序列傅里叶变换之间 的关系。
x(n) Res X ( z ) z n 1 , bk Res X ( z ) z n 1 ,
k
或
x(n) Res X ( z ) z n 1 , a k
k
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如果
z k 为单极点，根据留数定理得
Res X ( z ) z n 1 , z k ( z z k ) X ( z ) z n 1
第二章 离散时间信号与系统的 Z域分析和频域分析
2.1 Z变换的定义及收敛域
z
• 2.1.1 Z变换定义 • 序列x(n)的z变换定义为：
X ( z)
n
x (n) z n
Z变换是傅里叶变换的推广， 傅里叶变换是Z变换的特例——单位圆上的变换。
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2.1.2 z变换的收敛域 对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛 的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。级数收敛的 充要条件是满足绝对可和
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2.3.8 Z域卷积定理
1 z 1 x ( n ) y ( n) c 1 X ( )Y d 2 j 1 z 1 c 2 X Y ( ) d 2 j
Rx1 R y1 z Rx2 R y2
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如果已知信号的拉氏变换，可对其求拉氏反 变换，再取样后求其Z变换可得
j 1 n snT X ( z) j X ( s ) e ds z n 0 2 j j 1 X ( s ) e snT z n ds 2 j j n0
1 ai z Y ( z ) y (l ) z l 0 i l i N i
1 m 0b j z X ( z) m jx(m) z j M j
j 1 m j 0b j z X ( z) 0 b j z m jx(m) z j j Y ( z) N N i ai z a i z i
x ( n ) n n1 x(n ) n n1 0
其Z变换：X ( z )
前式Roc: 0 z
n n1
x ( n ) z n x (n ) z n
n 0
1
后式Roc: Rx z
当n1 0时，Roc : Rx z 当n1 0时，Roc : Rx z
z zm
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x(n) A0 (n)
m 1
A
k
m
( z m ) n u ( n 1)
对应不同收敛域分别有
x(n) A0 (n)
m 1 k
Am ( z m ) n u (n)
k
x(n) A0 (n) Am ( z m ) n u ( n 1)
X ( s) j 1 e sT z 1 ds 2 j
1
j
X ( s) Res , sk sT 1 1 e z k
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2.4.2 z变换与序列傅里叶变换关系 由s平面与z平面映射关系知道：s平面虚轴映 射到z平面单位圆上，而s平面虚轴上的拉氏变换 就是傅里叶变换。因此，单位圆上的z变换即为序 列的傅里叶变换。