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3.2 离散信号的频域分析(20180402)

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离散周期信号的频域表示

离散周期信号的频域表示


相位频谱
2.离散周期信号的频谱
周期单位脉冲序列 求如图所示周期为3的周期单位脉冲序列的频谱。
解：
X[m]
2
x[k]e
j2 3
mk
j2 m0
1e 3
1
k 0
x[k]
1
X[m]
1
0 12
k
0 12
m
2.离散周期信号的频谱
例：求周期为3的序列 x[k]={,0,1,1,}的频谱。
解：
X[m]
4 X2[m]
1
1
m
2π N
m
m 0,1,, N 1
时域信号不同，虚指数序列 前面的加权系数X[m] 不同。
012
k
012
m
1. 离散周期信号的频域表示
IDFS
x[k] 1 N1 X [m]e jmk
N m0
2π m
mN
m 0,1,, N 1
DFS
X[m] N1 x[k]ejmk
k 0
解：
X[m]
3
x[k]e
j2πmk 4
10 X[m]
k0
X[0] x[0] x[1] x[2] x[3] 10
X[1]
x[0]
x[1]e
j2π 4
11
x[2]e
j2π 4
12
x[3]e
j
2π 4
13
2
2j
2 2 22 2
…
…
0 123
m
X[2]
x[0]
x[1]e
j2π21 4
x[2]e
j2π22 4
解：
1
X[m] 3 x[k]ejmk
离散信号的频域分析

离散信号的频域分析


e
j
3
n
j n
e 3


1
j 2 n1
(e 6

j 2 n(16)
e6
)
2
9
例1：已知正弦序列 x(n) cos n ，分别求出当 2 和 3 时，傅立叶级数表达式及相应的频谱。
x(n)
5
X
j 2 kn
(k)e 6

1
j 2 n1
j 2 kn
x(n) X (k)e N
k 0
考虑到：N→∞，2 N 0 ,记为 d;
(2 N) k （由离散量变为连续量），而
1 N d 2 , 同时
N 1

2
0
傅立叶变换式
k 0
于是，X (e j ) lim N X (k) x(n)e jn
也可简记为 X (e j) DTFT x(n), x(n) IDTFT X (e j)
或 x(n) DTFT X (e j )
15
3.2.2 非周期序列的傅立叶变换

X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
x(n) 1 X (e j )e jnd
2 X (e j ) 称为x(n)的离散时间傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform, DTFT）或频谱密度函数，简称频 谱。 x(n)称为X (e j ) 的离散时间傅立叶反变换(IDTFT)或原 函数。
x(n)e N
N n0
X (k)
1
N 1
j 2 kn
x(n)e N ,
第3章离散时间信号与系统的频域分析

第3章离散时间信号与系统的频域分析

有时将开域(0, ∞)称为“有限Z平面”。
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
例：x(n)=δ(n)，求此序列的Z变换及收敛域。
解
Z[ (n)]
(n)zn 1
0 | z |
n
所以收敛域应是整个z的闭平面(0≤|z|≤∞)，
jIm[z]
o
Re[z]
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
例：求矩形序列x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。
而在c以外有M个极点zm（M、K为有限值），则有
1
2j
X (z)zn1dz
c
k
Re s[ X (z)zn1, zk ]
或
1
2j
X (z)zn1dz
c m
Re s[ X (z)zn1, zm ]
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
由于：
Re s[X (z)zn1, zk ] Re s[X (z)zn1, zm ]
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n n1
收敛域：
nn1
n0
如果n1 ≥0，收敛域包含z=∞， Rx-<|z|
jIm[z]
如果 n1 <0，收敛域不包含z=∞，Rx-<|z|<∞
Rx－
o
Re[z]
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
例 x(n)=anu(n), 求其Z变换及收敛域。
图 1 -2 4
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
（3） 左边序列:
左边序列是指在n≤n2时x(n)有值，而在n>n2时x(n)=0，其Z变换
为
n2
0
n2
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
数字信号处理第二章--离散时间信号与系统的频域分析ppt课件

数字信号处理第二章--离散时间信号与系统的频域分析ppt课件


而
.
2
X(ej)ejmd x(n)2(nm)
n
2x(m)
x(n)1 X(ej)ejnd
2
序列傅 里叶变
换对
X(ej) x(n)ejn n
x(n)21 X(ej)ejnd
.
正变换
反变换
3
例:试求矩形序列 RN (n) 的傅里叶变换
解：
N 1
X(ej) RN(n)ejn e j n
1X(ej w )1x*(n)ejn
2
2n
1X(ejw )1
x*(n)ejn
2
2n
1X(ej w )1[
x(n)ejn]
2
2n
1X(ejw)1X*(ejw)
2
2
XR(ejw)
.
14
C)实因果序列h(n)的对称性 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ejω),共轭反对称
部分为零。 即:H(ejω)=He(ejω)=H*(e-jω)
n
M为整数
因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。
由于FT的周期性，一般只分析-π~+π或0~2π之间的FT
2. 线性
设 X 1(ej)F T[x1(n)],X2(ej)F T[x2(n)], 那么 F T[ax1(n)bx2(n)]aX 1(ej)bX2(ej)
.
6
3. 时移与频移 设X(e jω)=FT［x(n)］， 那么
则 Y(ej) 1 X(ej)H(ej)
2
1 X(ej)H[ej()]d
2
证明:
Y(ej)F[Ty(n)] x(n)h(n)ejn
n
x(n)[1H (ej)ejnd]ejn
离散非周期信号频域分析

离散非周期信号频域分析

离散⾮周期信号频域分析离散信号频域分析、快速傅⾥叶变换与采样定理⼀、离散信号频域分析（⼀）周期离散⽅波信号频域分析与周期模拟信号⼀样，周期离散信号同样可以展开成傅⾥叶级数形式，并得到离散傅⾥叶级数（DFS）上式可以看成周期离散信号x(n)的离散傅⾥叶级数展开。

上式是DFS的反变换，记作IDFS并且称错误！未找到引⽤源。

与错误！未找到引⽤源。

构成⼀对离散傅⾥叶级数变换对。

（以上两式中错误！未找到引⽤源。

）在MTALAB中，DFS通过建⽴周期延拓函数语句实现：function Xk=DFS(n,x,N)if N>length(x)n=0:N-1;x=[x zeros(1,N-length(x))];endk=0:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=x*WNnk;end建⽴⼀个离散⾮周期⽅波信号错误！未找到引⽤源。

通过周期延拓后所得的周期序列利⽤DFS计算实现代码如下：clear all;close all;clc;n=0:3;x=ones(1,4);X=fft(x,1024);Xk1=DFS(n,x,4);Xk2=DFS(n,x,8);figure(1);plot((-1023:2048)/2048*8,[abs(X) abs(X) abs(X)],'--');hold on;stem(-4:7,[abs(Xk1) abs(Xk1) abs(Xk1)],'LineWidth',2);grid;figure(2);plot((-1023:2048)/2048*16,[abs(X) abs(X) abs(X)],'--');hold on;stem(-8:15,[abs(Xk2) abs(Xk2) abs(Xk2)],'LineWidth',2);grid;set(gcf,'color','w');运⾏后得到的是分别以4和8为周期延拓后的错误！未找到引⽤源。

数字信号处理实验三：离散时间信号的频域分析

数字信号处理实验三：离散时间信号的频域分析

实验三:离散时间信号的频域分析一．实验目的1．在学习了离散时间信号的时域分析的基础上，对这些信号在频域上进行分析，从而进一步研究它们的性质.2．熟悉离散时间序列的3种表示方法:离散时间傅立叶变换(DTFT），离散傅立叶变换（DFT）和Z变换.二．实验相关知识准备1．用到的MATLAB命令运算符和特殊字符：〈 > 。

* ^ .^语言构造与调试：error function pause基本函数:angle conj rem数据分析和傅立叶变换函数：fft ifft max min工具箱：freqz impz residuez zplane三．实验内容1．离散傅立叶变换在MATLAB中，使用fft可以很容易地计算有限长序列x［n］的离散傅立叶变换。

此函数有两种形式：y=fft（x）y=fft(x,n) 求出时域信号x的离散傅立叶变换n为规定的点数，n的默认值为所给x的长度。

当n取2的整数幂时变换的速度最快。

通常取大于又最靠近x的幂次。

(即一般在使用fft函数前用n=2^nextpow2(length（x）)得到最合适的n）。

当x的长度小于n时，fft函数在x的尾部补0，以构成长为n点数据。

当x的长度大于n时，fft函数将序列x截断，取前n点。

一般情况下，fft求出的函数多为复数，可用abs及angle分别求其幅度和相位。

注意：栅栏效应，截断效应（频谱泄露和谱间干扰），混叠失真例3－1： fft函数最通常的应用是计算信号的频谱。

考虑一个由100hz和200hz正弦信号构成的信号,受零均值随机信号的干扰，数据采样频率为1000hz。

通过fft函数来分析其信号频率成分。

t=0：0.001:1;%采样周期为0。

001s，即采样频率为1000hzx=sin（2＊pi＊100＊t)+sin（2＊pi*200*t）+1。

5*rand(1,length（t));%产生受噪声污染的正弦波信号subplot(2，1，1）;plot（x（1:50)）；%画出时域内的信号y=fft（x，512);%对x进行512点的fftf=1000＊（0：256)/512；％设置频率轴（横轴）坐标,1000为采样频率subplot(2,1，2）;plot(f，y（1:257）)；％画出频域内的信号实验内容3－2：频谱泄漏和谱间干扰假设现有含有三种频率成分的信号x(t）=cos(200πt）+sin（100πt）+cos（50πt）用DFT分析x(t）的频谱结构。

《信号与系统》离散信号的频域分析实验报告

《信号与系统》离散信号的频域分析实验报告

信息科学与工程学院《信号与系统》实验报告四专业班级电信 09－班姓名学号实验时间 2011 年月日指导教师陈华丽成绩实验名称离散信号的频域分析实验目的1. 掌握离散信号谱分析的方法：序列的傅里叶变换、离散傅里叶级数、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换，进一步理解这些变换之间的关系；2. 掌握序列的傅里叶变换、离散傅里叶级数、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换的Matlab实现；3. 熟悉FFT算法原理和FFT子程序的应用。

4. 学习用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT。

实验内容1.对连续信号)()sin()(0tutAetx taΩα-=（128.444=A，πα250=，πΩ250=）进行理想采样，可得采样序列50)()sin()()(0≤≤==-nnunTAenTxnx nTaΩα。

图1给出了)(txa的幅频特性曲线，由此图可以确定对)(txa采用的采样频率。

分别取采样频率为1KHz、300Hz和200Hz，画出所得采样序列)(nx的幅频特性)(ωj eX。

并观察是否存在频谱混叠。

图1 连续信号)()sin()(0tutAetx taΩα-=2. 设)52.0cos()48.0cos()(nnnxππ+=（1）取)(nx（100≤≤n）时，求)(nx的FFT变换)(kX，并绘出其幅度曲线。

（2）将(1)中的)(nx以补零方式加长到200≤≤n，求)(kX并绘出其幅度曲线。

（3）取)(nx（1000≤≤n），求)(kX并绘出其幅度曲线。

（4）观察上述三种情况下，)(nx的幅度曲线是否一致？为什么？3. （1）编制信号产生子程序，产生以下典型信号供谱分析用。

11,03()8,470,n nx n n nn+≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它2()cos4x n nπ=3()sin8x n nπ=4()cos8cos16cos20x t t t tπππ=++10.80.60.40.20100200300400500xa(jf)f /Hz（2）对信号1()x n ，2()x n ，3()x n 进行两次谱分析，FFT 的变换区间N 分别取8和16，观察两次的结果是否一致？为什么？（3）连续信号4()x n 的采样频率64s f Hz =，16,32,64N =。

离散信号的频域分析

离散信号的频域分析

添加 标题
时频变换的基本概念：时频变换是信号处理 中的一种重要方法，它能够将信号的时域和 频域信息相互转换。
添加 标题
离散信号的频域与时域的关系：离散信号的 频域与时域之间存在密切的关系。通过时频 变换，可以分析离散信号在不同时间点的频 率特征，从而更好地理解信号的特性和行为。
添加 标题
时频变换的不变性：时频变换具有一些重要 的性质，其中最重要的是时频变换的不变性。 这意味着通过时频变换得到的信号的时域和 频域特征在变换前后保持不变。
数字调制解调的 优势：抗干扰能 力强、传输距离 远等
数字音频信号 的频域分析
音频压缩与编 码
数字滤波器设 计
音频特效处理
图像压缩：离散信号的频域分析有助于图像压缩，减少存储空间和传输带宽。
图像增强：通过频域处理，可以增强图像的细节和对比度，提高图像质量。
图像识别：利用离散信号的频域特征，可以实现图像识别和分类，应用于人脸识别、物体检测等 领域。
时频变换的应用：时频变换在信号处理、 通信、雷达、声呐等领域有着广泛的应用。 通过时频变换，可以实现对信号的快速、 准确的分析和处理，从而提高信号处理的 效率和精度。
时频变换的基本原理
离散信号的频域与时域的关 系
离散信号的频域分析方法
时频变换在信号处理中的应 用
汇报人：XX
时频变换的对称性：离散信号的频域与时域之间存在对称性，即频域和时域的变换具有相互对 应的关系。
离散信号的时频分析：利用时频变换的方法，将离散信号表示为时频平面上的分布，以便同时 分析其时间和频率特性。
时频变换的物理意义：离散信号的时频变换具有物理意义，可以揭示信号在不同时间和频率下 的表现和特征。
添加 标题
离散性：离散信号的频谱是离散的，即只有某些特定的频率分量存在。
离散信号的频域分析

离散信号的频域分析

DFS DFS DFS DFS
DFS
⊗为周期卷积的符号，两周期序列x(n)和h(n)的周期卷积定义为： x(n) ⊗ h(n)=h(n) ⊗ x(n) = ∑ x(k )h(n − k )
k =0 N −1
周期卷积和线性卷积的惟一区别在于周期卷积时仅仅在单个 周期内求和，而线性卷积则是对所有k值求和。
k=1,-1 其余
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 k
X (kω 0 )
⋯
−1 0 1 2 3 4 5 6
⋯
k
X1(kΩ01)
其频谱图为：
⋯
−5
−1 0 1 2 3 4 5
⋯
7 11 13
13
π − jk n 1 7 X 2 (k Ω02 ) = ∑ x(n)e 4 8 n =0
频谱如图：
X 2 ( k Ω 02 )
（2）泄露 泄露误差是由于截取波形的时间长度不恰当造成的。 从原来比较集中的谱线由于截取信号长度不当，出现了分散的 扩展谱线的现象，称之为频谱泄露或者功率泄露。
二、非周期信号的频域分析 （DTFT Discrete Time Fourier Transformation） 1、定义 序列x(n)的离散时间傅里叶变换定义为：
因此：
X(kΩ0)
1 X (k Ω0 ) = 2 0 k=1,5 k=0,2,3,4
1 2
0 12 34 5 6
x(n)
2π π Ω0 = = 解：基本频率： N 3
1
⋯
−1 0 1
⋯
n
周期信号的频谱为：
π − jk n 1 5 X (kΩ0 ) = ∑ x(n)e 3 6 n=0 π 5π − jk − jk 1 = [ x(0) + x(1)e 3 + x(5)e 3 ] 6 π π − jk jk 1 1 πk 3 3 = [1+ e + e ] = [1+ 2cos ] 6 6 3
第12讲 离散信号的频域分析

第12讲 离散信号的频域分析


1 x( n ) 2 ( 0 2k )e jn d 2 k j0 n jn ( 0 )e d e


例4
求余弦序列x( n ) cos 0 n的傅立叶变换
解： X ( e j ) F [ x ( n )] F [cos 0 n ]
j 2 nk N
也是以N为周期的周期序列
即 x( n ) X ( k 0 )e
n0
N 1
j 2 nk N
记WN e
j 2 N
例：已知序列x (n )是周期为6的周期序列， 如图所示，试求其DFS的系数。
解：根据定义求解
nk X ( k ) x (n )WN N 1 n 0
y (n) x1 (m) x2 (n m) x1 (n) x2 (n)
为这两个序列的周期卷积。
m 0
N 1
频域周期卷积定理
若y( n ) x1 ( n ) x2 ( n )
1 则Y ( k ) DFS y( n ) N
N 1 l 0
X1 ( l )X 2 ( k l )
1 解：h( n ) F [ H ( e )] 2 sin c n 1 e jc n e jc n ( ) , 2 jn jn n
1 j

c
c
e jn d
n
) 显然序列h( n 不是绝对可和的，而是平方可 和的 ，但其依然存在傅立叶变换。
1 X1( k ) X 2 ( k ) N
5、帕斯瓦尔定理
若X1 (k ) DFS x1 (n)
则： x(n)
n 0 N 1 2
离散信号与系统的时域和频域分析

离散信号与系统的时域和频域分析

h(0) h(1) ... h(n 1) 0 h(n) 1
h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时， n 齐次差分方程解： k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
离散信号与系统分析
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本章说明

与连续信号与系统相比较，离散系统的数学描述是激励响应的差分方 程，其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系 统的零状态响应可以用卷积和来求取。 时域分析： 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2( ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
5、序列的运算



④差分：离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分： f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分： ⑤反折：将离散信号以纵轴为对称轴反折（转） ⑥压扩：将离散信号中f（k）的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺 度变换 注意：不存在非整数ak的值！ ⑦求和：离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。

SAP_03_02_离散时间信号的频域分析

《信号分析与处理》
P25
（2）奈奎斯特间隔、奈奎斯特频率
其中:
m 1 最大允许抽样间隔Ts （f m ） 2 fm 2
称“奈奎斯特间隔”。
最低允许抽样频率
fs 2 fm
称“奈奎斯特频率”
注：连续信号f (t )(满足抽样定理)经此抽样后的频谱Fs 重复F 是 不会产生混叠，即抽样信号f s (t )可完全保留其全部信息。
《信号分析与处理》
2、离散时间傅立叶变换DTFT

非周期序列可看作为周期序列的周期N→∞ 的极限情况 极限情况下各谐波分量的复振幅X(kΩ0)→0
limN X (k ) x(n)e
N 0 n

jk 0n
N , 0 (2 / N ) d , k 0 x(n) 为有限长 T


线性性质 周期卷积定理 复共轭 位移性质 帕斯瓦尔定理
《信号分析与处理》
1．线性性质

设
DFS DFS xN (n) X N (k )，yN (n) YN (k )

则
DFS N (n) byN (n) aX N (k ) bYN (k ) ax
《信号分析与处理》
2、周期卷积定理

设 DFS DFS xN (n) X N (k )，hN (n) H N (k )
DFS 则 xN (n) * hN (n) X N (k ) H N (k )

DFS xN (n)hN (n) N X N (k ) 1
《信号分析与处理》
P24
2、时域抽样定理
（1）时域抽样定理

离散时间信号频域分析

4. 对称特性
当x [k]为实偶序列时，即x[k]=x*[k] ，x[k]=x[k]，有
X (e jW ) X (e-jW )，X (e jW ) X (e-jW ) 所以，X(ejW)是W 的实偶函数。
当x [k]为实奇序列时，即x[k]=x*[k] ，x[k]= x[k] ，
则有：
DTFT ax1 [k ] bx2 [k ] aX 1 (e jW ) bX 2 (e jW )
四、离散时间Fourier变换的性质
2. 时移特性
若 则
DTFT x[k ] X (e jW )
DTFT x[k n] e jWn X (e jW )
...
2π
π
X ( e jW )
1
...
π / 2
π/ 2
π
2π
W
jπk jπk y [ k ] x [ k ]( e e )/2 解：
Y (e jW ) {X (e } / 2
1
2π π
X(ej(W p)
难点
1、周期序列的周期卷积
2、离散非周期序列与其DTFT的对称特性
3、频域抽样定理
一、离散Fourier级数
1、离散Fourier级数的定义：
1 ~ ~ x [k ] IDFS { X [m]} N
~ X [m] DFS {~ x [k ]}
m N
mk ~ x [k ]WN
π
2
则 lim
N π
X ( e ) X N ( e ) dW 0
jW jW
2
均方收敛
若序列满足绝对可和，则序列存在DTFT。 （充分条件） 若序列满足平方可和(能量有限)，存在DTFT。（充分条件）

离散时间信号和系统的频域分析

离散时间信号和系统的频域分析离散时间信号与系统是研究数字信号与系统的频域分析，其中离散时间信号是对连续时间信号进行采样得到的，而离散时间系统是对连续时间系统进行离散化得到的。

频域分析是对信号与系统在频率域上的特性进行研究和分析。

对于离散时间信号，其离散化的过程是将连续时间信号在时间轴上进行均匀采样，得到指定的采样间隔，得到离散时间序列。

在频域上，其频谱是周期性的，并且频谱是以单位圆为单位周期的。

频域分析的目的是研究离散时间信号在频率域上的特性，包括频谱范围、频率分辨率、功率谱密度等。

离散时间信号的频域分析可以通过离散时间傅里叶变换（DTFT）来实现。

DTFT是信号在频域上的完全变换，将一个离散时间信号映射到一个连续的频率域函数。

DTFT是一个复数函数，表示信号在不同频率上的振幅和相位。

频谱的振幅可以表示信号在该频率上的能量大小，相位可以表示信号在该频率上的相对位置。

除了DTFT之外，还可以使用离散傅里叶变换（DFT）进行频域分析。

DFT是DTFT的一种计算方法，可以将离散时间信号转换为有限的频域信号。

DFT的计算是通过对离散时间信号进行有限长的时间窗口进行采样，并进行频域变换得到的。

DFT的结果是一个离散的频域信号，也称为频谱。

DFT通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来快速计算。

离散时间系统的频域分析主要是通过系统的频率响应函数来实现。

频率响应函数是系统在不同频率上对信号的响应情况的描述。

对于线性时不变系统，其频率响应函数是系统的传递函数的傅里叶变换。

频率响应函数拥有类似信号的频谱特性，可以描述系统对不同频率的信号的增益和相位。

频域分析在离散时间信号与系统中有着广泛的应用。

首先，频域分析可以帮助我们理解信号的频率构成和能量分布情况，有助于对信号进行合理的处理和分析。

其次，频域分析可以快速计算离散时间系统的响应，能够有效地评估系统的性能和稳定性。

此外，频域分析还可以进行滤波器设计、信号压缩、信号重构等应用。

实验二 离散时间信号的频域分析

实验二
1. 实验目的
离散时间信号的频域分析
信号的频域分析是信号处理中的一种有效的工具。在离散信号的时域分析中，通常将信 号表示成单位采样序列δ (n)的线性组合，而在频域中，将信号表示成复变量 e-jwn 或 e-j2Nπ n 的 线性组合。通过这样的表示，可以将时域的离散序列映射到频域以便于进一步的处理。 本实验中，将学习利用 MATLAB 计算离散时间信号的 DTFT 和 DFT，并加深对其相互关系的 理解。
图 2-2
4. 实验设备
计算机，MATLAB 软件。
5. 实验步骤
（1）对形式为 X(eiw)=D(e jw )= d0 +d1 e −jw +⋯+dM e −jNw 的序列 DTFT 编程进行计算，绘出一个周期
0 1 N
P(e jw ) p +p e −jw +⋯+p e −jMw
中其实部，虚部，幅度及相角的图形。 （2）计算有限长序列的 DFT 和 IDFT，绘出其幅度谱图，并解释 DFT 和 DTFT 的关系。
6. 实验总结
通过本次实验，复习运用 MATLAB 软件对信号的运算及绘图功能，学会用 MATLAB 计算 离散时间信号的 DFT 和 DTFT，并理解了 DTFT 和 DFT 之间的区别和关系: 1、DTFT 是离散时间傅里叶变换，DFT 是离散傅里叶变换。 2、DTFT 变换后的图形中的频率是一般连续的（cos(wn)等这样的特殊函数除外，其变换 后是冲击串)，而 DFT 是 DTFT 的等间隔抽样，是离散的点，其函数表示为 X(k）,而 DTFT 的 函数表示为 X(eiw)（DFT 是 DTFT 的等间隔抽样，DTFT 变化后的频率响应一般是连续的，DFT 变换后的频率响应是离散的） 。 3、DTFT 是以 2π为周期的。而 DFT 的序列 X(k）是有限长的。 4、DTFT 是以复指数序列 X(eiw)的加权和来表示的，而 DFT 是等间隔抽样，抽样间隔为 2N(N 为离散序列的长度)。 5、DTFT 和 DFT 都能表征原序列的信息。由于现在计算主要使用计算机，必需要是离散 的值才能参与运算，因此在工程中 DFT 应用比较广泛，FFT 是 DFT 的快速算法。

2频域分析

x(n)e jk0n
n0
周期性
6
DFS:
N 1
x(n) X (k0 )e jk0n
k 0
X (k0 )
1 N
N 1
x(n)e jk0n
n0
令
j 2
wN e N
，DFS可记为
xN (n)
N 1
j 2 kn
X N (k)e N
N 1
X N (k)wNnk
k 0
k 0
X N (k)
1 N
足Ω0/ 2π＝m/N=有理数时为周期正弦序列
❖ Ω0＝ 2 时， Ω0/ 2π＝无理数，该序列为非周期序列，不能
展开为DFS，其频谱仅有Ω＝ Ω0＝ 2 ，不含其他谐波分量。
❖ Ω0＝π/3时， Ω0/ 2π＝1/6=有理数，为周期序列
❖
N=6,
因此
x(n)
cos
3
n
cos
2
6
n
1 2
j 2 n e 6
连续信号离散化后分析其频谱时：
❖ 采样频率：必须满足采样定理，否则容易引 起频谱混叠。
❖ 采样信号的截断长度：必须取信号的一个基 本周期或基本周期的整数倍长度， 否则容易 引起频谱泄露。
由于截取信号长度不当，从原来比较集
中的谱线，出现了分散的扩展谱线
31
线性 位移 时间反向 调制 卷积 共轭 微分 乘积
N 1 n0
xN
(n)e
j
2 N
nk
1 N
N 1 n0
xN
(n)
w nk N
7
wN
e
j
2
N
函数特性
❖ 正交性 ❖ 周期性 ❖ 对称性 ❖ 可约性

离散时间信号的频域分析实验报告

实验名称：离散时间信号的频域分析一、实验目的1.对离散信号和系统在频域中进行分析，可以进一步研究它们的性质。

学会通过matlab，对离散时间序列的三种表示方法：离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶变换（DFT）和Z变换。

二、实验内容1、修改程序P3.1，计算如下有限长序列的离散时间傅里叶变换：g[n]=[1357911131517]并重做习题Q3.2。

讨论你的结果。

你能解释相位谱中的跳变吗？2、选取两个改变了长度的序列以及两个不同的时移值，重做习题Q3.73、编写一个MATLAB程序，用一个N点复数离散傅里叶变换计算两个长度为N的实数序列的N点离散傅里叶变换，并将结果同直接使用两个N点离散傅里叶变换得到的结果进行比较。

4、选取两个不同的时移量，重做习题Q3.335、选取两个不同长度的序列，重做习题Q.336、选取另外两组等长序列重做习题Q3.36三、主要算法与程序1、w=-4*pi:8*pi/511:4*pi;num=[1357911131517];den=[1];h=freqz(num,den,w);%Plot the DTFTsubplot(2,2,1)plot(w/pi,real(h));gridtitle('H(e^{j\omega})的实部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,2)plot(w/pi,imag(h));gridtitle('H(e^{j\omega})的虚部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,3)plot(w/pi,abs(h));gridtitle('|H(e^{j\omega})|幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,4)plot(w/pi,angle(h));gridtitle('[H(e^{j\omega})]相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('以弧度为单位的相位');2、(1)序列为[9123456789]，时移为30; %离散时间傅立叶变换的时移性质clf;w=-pi:2*pi/255:pi;wo=0.4*pi;D=30;num=[9123456789];h1=freqz(num,1,w);h2=freqz([zeros(1,D)num],1,w);subplot(2,2,1)plot(w/pi,abs(h1));gridtitle('原序列的幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,2)plot(w/pi,abs(h2));gridtitle('时移D=30后序列的幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,3)plot(w/pi,angle(h1));gridtitle('原序列的相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,4)plot(w/pi,angle(h2));gridtitle('时移D=30后序列的相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');(2)序列为[12345678910]，时移为50;D=50;num=[12345678910];3、clf;g=[1124];h=[2321];x=g+i*h;N=length(x)-1;n=0:N;gk=fft(g);hk=fft(h);xk=fft(x);xk1=fft(conj(x));gk1=(xk+xk1)/2;hk1=(xk-xk1)/2i;subplot(4,2,1)stem(n,abs(gk));gridtitle('实部序列gk的离散傅里叶变换的幅度')xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(4,2,2)stem(n,abs(hk));gridtitle('虚部序列gk的离散傅里叶变换的幅度')xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(4,2,3)stem(n,abs(gk1));gridtitle('通过xk得到的gk1的离散傅里叶变换的幅度') xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(4,2,4)stem(n,abs(hk1));gridtitle('通过xk得到的hk1的离散傅里叶变换的幅度') xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(4,2,5)stem(n,angle(gk));gridtitle('实部序列gk的离散傅里叶变换的相位')xlabel('时间序号n');ylabel('以弧度为单位的相位'); subplot(4,2,6)stem(n,angle(hk));gridtitle('虚部序列hk的离散傅里叶变换的相位')xlabel('时间序号n');ylabel('以弧度为单位的相位'); subplot(4,2,7)stem(n,angle(gk1));gridtitle('通过xk得到的gk1的离散傅里叶变换的相位') xlabel('时间序号n');ylabel('以弧度为单位的相位'); subplot(4,2,8)stem(n,angle(hk1));gridtitle('通过xk得到的hk1的离散傅里叶变换的相位') xlabel('时间序号n');ylabel('以弧度为单位的相位');4、function y=circshift(x,M)if abs(M)>length(x)M=rem(M,length(x));endif M<0M=M+length(x);endy=[x(M+1:length(x))x(1:M)];%离散傅里叶变换的圆周时移性质，时移为10x=[0246810121416];N=length(x)-1;n=0:N;y=circshift(x,10);XF=fft(x);YF=fft(y);subplot(2,2,1);stem(n,abs(XF));gridtitle('原序列的离散傅里叶变换的幅度');xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(2,2,2);stem(n,abs(YF));gridtitle('圆周移位10后的序列的离散傅里叶变换的幅度'); xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(2,2,3);stem(n,angle(XF));gridtitle('原序列的离散傅里叶变换的相位');xlabel('时间序号n');ylabel('相位');subplot(2,2,4);stem(n,angle(YF));gridtitle('圆周移位10后的序列的离散傅里叶变换的相位'); xlabel('时间序号n');ylabel('相位');%离散傅里叶变换的圆周时移性质，时移为20y=circshift(x,20);5、序列为x=[0246810121416]，时移为10；序列为x=[02468101214161820]，时移为10；6、function y=circonv(x1,x2)L1=length(x1);L2=length(x2);if L1~=L2,error('长度不相等的序列'),endy=zeros(1,L1);x2tr=[x2(1)x2(L2:-1:2)];for k=1:L1sh=circshift(x2tr,1-k);h=x1.*sh;y(k)=sum(h);end%离散傅里叶变换的圆周卷积g1=[1234567];g2=[21-12-113];ycir=circonv(g1,g2);disp('圆周卷积的结果');disp(ycir)G1=fft(g1);G2=fft(g2);yc=real(ifft(G1.*G2));disp('离散傅里叶变换乘积的离散傅里叶逆变换的结果=');disp(yc)四、实验结果与分析图1图2.1图2.2图3图4.1图4.2图5.1序列长度9图5.2序列长度11Q6、圆周卷积的结果18183225393925离散傅里叶变换乘积的离散傅里叶逆变换的结果=18.000018.000032.000025.000039.000039.000025.0000、五、实验小结通过这次实验，我对离散信号和系统在频域中进行分析，进一步研究了它们的性质。

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N 1
j
2 kn N
,
2 j kn 1 N 1 N X ( k ) x ( n )e N n0
记为，X (k ) DFS[ x(n)], x(n) IDFS[ X (k )]
或者，x(n) X (k ) 上式表明： 1）周期为N的序列可被分解为N次谐波，第k个谐波频 率为 (2 / N )k ,幅度为 X (k ), k 0,1, , N 1 ； 基波分量(k=1)的频率为 2 / N ，幅度为 X (1) 。 2）周期序列的频谱是一个以N为周期的周期性离散频 谱，各谱线之间的间隔为 2 / N 。
n


x ( n)
(绝对可和）
16
例3：已知 x(n)如下所示，试求其频谱。
1 2 n 2 x ( n) 0 others
解：根据离散时间傅立叶变换的定义，
X (e )
j n
x ( n )e

j n

n 2
e
2
j n
e j 2 (1 e j 5 ) 1 e j
k 0 5 j 2 kn 6
2 n1 j n5 1 j 26 6 (e e ) 2
1 所以， X (k ) 2 0
k 1,5 k 0, 2,3, 4
10
例2：已知周期序列如图所示，周期N=6，求该序列的频 谱 X ( k ) 及时域表达式 x(n) 。

针对问题2：是否正确？ 2 j 对上式两端乘以 e N kl ，并对k在一个周期内求和，
X ( k )e
k 0
N 1
j
2 kl N
2 2 j kn j kl 1 N 1 N N x ( n)e e k 0 N n 0 N 1 j 2 ( l n ) k 1 N 1 x ( n ) e N N n 0 k 0 N 1
e j 2e j 2.5 (e j 2.5 e j 2.5 ) e j 0.5 (e j 0.5 e j 0.5 )
sin(2.5) | X (e j ) | e j ( ) sin(0.5)
0 sin(2.5) j ( ) 幅频： ； | X (e ) | 相频： sin(0.5) X (e j ) 0 X (e j ) 0
2
2
2
12
3.2.2 非周期序列的频域分析
x ( n) X ( k )e
k 0
N 1
j
2 kn N
非周期序列的傅立叶变换（DTFT） 非周期序列可看作是周期序列的周期 N→∞ 时的极 限情况； 极限情况下，各谐波之间的间隔 2 N 趋近于无穷 小，从而序列的频谱从离散变为连续； 极限情况下，各谐波分量的幅度 X (k ) 0 ，不过 这些无穷小量之间仍有差别。 为了描述非周期序列的频谱特性，令 X (k ) j X (e ) lim lim N X (k ) (单位频率上的频谱） N 1/ N N
3.2 离散信号的频域分析
离散周期信号的频域分析
离散非周期信号的频域分析
离散时间傅立叶变换的性质
离散傅立叶变换 离散傅立叶变换的性质
1
3.2.1 周期序列的频域分析—(Discrete Fourier Serise, DFS)
周期序列的傅立叶级数（DFS） 设 x ( n ) 是以N为周期的周期序列，即

从物理意义来讨论傅立叶变换 j X (e ) 是一个频谱密度函数的概念；
j X ( e ) 是一个连续谱，各频率分量的频率不成谐波
关系； j X ( e ) 是关于数字频率 的周期函数，周期是 2 ， 包含了从零到 2 的所有频率分量。
非周期序列存在傅立叶变换的充分条件：
1） 2 时， 2 2 / 2 无理数，该序列为非周 期序列，不能展开为傅立叶级数表达式。 2） 3 时， 2 6 有理数，所以是周期序列， 周期为 2 N m 6 (取m=1)

所以，x(n) X (k )e
k 0
5
j
2 kn 6

2
0
傅立叶变换式
于是，X (e ) lim N X (k )
N
j
x(n) N X (k )e
k 0
N 1
2 j kn N
1 N
n


x(n)e jn
傅立叶反变换式
1 2

2
0
X (e )e
j
jn
1 d 2



X (e j )e jn d
所以，X (0) 1/ 2, X (1) 1/ 3, X (2) 0
X (3) 1/ 6, X (4) 0, X (5) 1/ 3
由IDFS的定义可知，
x ( n ) X ( k )e
k 0 5 j 2 kn 6
1 j 6 n 1 j 6 3n 1 j 6 5 n 1 e e e 3 6 3
3
3.2.1 周期序列的频域分析—DFS

x ( n )e
n 0
N 1
j
2 mn N
Nam
针对问题1：求解ak
2 j kn 1 N 1 N 所以，ak x(n)e , k N n 0
注意：由于k和n均取整数，当k或n变化时， e 期为N的周期函数，即
j
, 1 N
x ( n) X ( k )e
k 0
N 1
j
2 kn N
x ( n ) N X ( k )e
j
考虑到：N→∞，2 N 0 ,记为 d ; (2 N ) k （由离散量变为连续量），而
1 N d 2 , 同时
k 0 N 1
14
3.2.2 非周期序列的傅立叶变换
X (e j )
n


x(n)e jn
1 j j n x ( n) X ( e ) e d 2 X (e j ) 称为x(n)的离散时间傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform, DTFT）或频谱密度函数，简称频 谱。 x(n)称为 X (e j ) 的离散时间傅立叶反变换(IDTFT)或原 函数。
针对问题1：求解ak
对等式两边同时乘以 e 内求和，
k
ae
k

j
2 kn N
j 2 mn N
，并对n在一个周期
x(n)e
n 0
N 1
j
2 mn N
2 2 j kn j mn N N ak e e n 0 k N 1

k
a e
k n0

N 1
j
2 ( k m) n N
由于， e
n 0
N 1 n0
N 1
j
2 ( k m) n N
N = 0


k m =N (k m) km
k

x ( n )e
j
2 mn N
k
a
N (k m) N am
x(n) x(n mN ), m为任意整数
j 2 kn N
x ( n ) 可以展开为如下傅立叶级数形式， 假设：
x ( n)
k
ae
k

ak 为傅立叶级数的系数。 式中，
问题：1）系数 ak 如何求解？ 2）这样表示是否正确？
2
3.2.1 周期序列的频域分析—DFS

x ( n)
由于， e
k 0
N 1 k 0
N 1
j
2 (l n ) k N
N = 0
l n =N (l n) ln

X ( k )e
j
2 kl N
1 N 1 x(n) N (l n) x(l ) N n0
j 2 kn N
x ( n ) X ( k )e
2 kn N
是周
e
j
2 ( k lN ) n N
e
j
2 kn N
,
l取整数
e
j
2 ( n mN ) k N
e
j
2 kn N
,
m取整数
所以，离散傅立叶级数的系数ak也是周期序列，即
ak ak lN
4
3.2.1 周期序列的频域分析—DFS

ak ak lN
2 j kn 1 N 1 x(n)e N N n 0
11
例2：已知周期序列如图所示，周期N=6，求该序列的频 谱 X ( k ) 及时域表达式 x(n) 。
2 2 2 2 j k j k j k j 5 k 1 1 6 6 e X (k ) 1 e 6 e 6 1 e 6 6 1 k 1 2cos , k 0,1, 2,3, 4,5 6 3
k 0
N 1
, n
6
3.2.1 周期序列的频域分析—DFS
所以，
x ( n ) X ( k )e
k 0 N 1 j 2 kn N
2 j kn 1 N 1 X ( k ) x ( n )e N , N n 0
x ( n) X ( k )e
k 0
j 也可简记为 X (e j ) DTFT x(n), x(n) IDTFT X ( e )
DTFT j x ( n ) X ( e ) 或