离散时间信号的频域分析

实验一离散时间信号的频域分析一实验目的：信号的变换域分析是信号处理中一种有效的工具。

在离散信号的时域分析中，我们通常将信号表示成单位采样序列δ[n]的线性组合，而在频域中，我们将信号表示成复变量e-jwn或e-j(2*pi/N)n的线性组合，通过这样的表示，可以将时域的离散序列映射到频域以便于进一步的处理。

在本实验中，将学习利用MATLAB计算离散时间信号的DTFT和DFT，并加深对其相互关系的理解。

二实验原理：（1） DTFT和DFT的定义及其相互关系：序列x[n]的DTFT定义：X（e jw）=∑x[n]e-jnw（n从负无穷到正无穷）它是关于自变量w的复函数，且是以2*pi为周期的连续函数。

X（e jw）可以表示为：X（e jw）=X re（e jw）+ jX im（e jw）其中，X re（e jw）和X im（e jw）分别是X （e jw）的实部和虚部；还可以表示为：X（e jw）= |X（e jw）|e jØ(w)其中。

|X（e jw）|和Ø(w)=arg{ X（e jw）}分别是X（e jw）的幅度函数和相位函数；它们都是w的实函数，也是以2*pi为周期的周期函数。

序列x[n]的N点DFT定义：X[k]=X(e j(2*pi/N)k)=∑x[n]e-j(2*pi/N)kn (0<=n<=N-1)X[k]是周期为N的序列。

X（e jw）与X[k]的关系：X[k]是对X（e jw）在一个周期中的谱的等间隔N点采样，即：X[k]= X（e jw）|w=(2*pi/N)k而X（e jw）可以通过对X[k]内插获得。

（2）使用MATLAB命令：A.基于DTFT离散时间信号分析函数:freqz,real,imag,abs,angle,unware.函数freqz可以用来计算一个以e jw的有理分式形式给出的序列的DTFT值。

Freqz的形式多样，常见的有H=freqz(num,den,w),其中num表示序列有理分式DTFT的分子多项式系数，den表示分母多项式系数（均按z的降幂排列），矢量w表示在0到2*pi中给定的一系列频率集合点。

若 Y (k ) X 1 (k ) X 2 (k )
则 y (n ) IDFS [Y (k )] x1 (m) x2 (n m)
m 0
N 1
x2 (m) x1 (n m)
m 0
N 1
证： y(n) IDFS[ X 1 (k ) X 2 (k )]
j

2
j j e 2 e 2
e
3 j 2
sin 2 sin / 2
求x n 的8点DFT N 8
X k X e j
3 j k 2 4

2 k 8
e
2 sin 2 k 8 1 2 sin k 2 8 sin k 2 sin k 8
若 则有
2．周期序列的移位 设
则 如果m>N，则m=m1+Nm2
3．周期卷积 设 和 DFS系数分别为
都是周期为N的周期序列，它们的
令
则
上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。 周期为N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于 它们各自离散傅里叶级数的乘积。
周期卷积的计算：
周期卷积中的序列 和 对m都是周 期为N的周期序列，它们的乘积对m也是以N为周期的， 周期卷积仅在 一个周期内求和。 相乘和相加运 算仅在m=0到N-1的区间内进行。计算出 n=0到N-1(一个周期)的结果后，再将其进行周期延拓， 就得到周期卷积 。 周期卷积满足交换律
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期延拓， 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是 离散的和周期的。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换

e
j
3
n
j n
e 3


1
j 2 n1
(e 6

j 2 n(16)
e6
)
2
9
例1：已知正弦序列 x(n) cos n ，分别求出当 2 和 3 时，傅立叶级数表达式及相应的频谱。
x(n)
5
X
j 2 kn
(k)e 6

1
j 2 n1
j 2 kn
x(n) X (k)e N
k 0
考虑到：N→∞，2 N 0 ,记为 d;
(2 N) k （由离散量变为连续量），而
1 N d 2 , 同时
N 1

2
0
傅立叶变换式
k 0
于是，X (e j ) lim N X (k) x(n)e jn
也可简记为 X (e j) DTFT x(n), x(n) IDTFT X (e j)
或 x(n) DTFT X (e j )
15
3.2.2 非周期序列的傅立叶变换

X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
x(n) 1 X (e j )e jnd
2 X (e j ) 称为x(n)的离散时间傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform, DTFT）或频谱密度函数，简称频 谱。 x(n)称为X (e j ) 的离散时间傅立叶反变换(IDTFT)或原 函数。
x(n)e N
N n0
X (k)
1
N 1
j 2 kn
x(n)e N ,

结论： 结论：序列共轭对称分量 的傅里叶变换是序列傅里 叶变换的实数部分； 叶变换的实数部分； 序列共轭反对称分量的傅 里叶变换是序列傅里叶变 换的虚数部分。 换的虚数部分。
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
5.时域卷积定理 时域卷积定理 如果 FT [ x( n)] = X (e jω ), FT [h( n)] = H (e jω ) 且有
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
（1）有限长序列: 有限长序列:
序列x(n)只在有限区间 1≤n≤n2之内才具有非零的有限值，在此 只在有限区间n 之内才具有非零的有限值， 序列 只在有限区间 区间外，序列值皆为零。 区间外，序列值皆为零。 其Z变换为 变换为
X (z) =
n = n1
x ( n) z − n ∑
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 常用的 变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 变换是一个有理函数
P(z) X (z) = Q( z )
分子多项式P 的根是X 的零点，分母多项式Q 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z) 的根是X 的极点。在极点处Z变换不存在， 的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收 敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。
X (z) =
n = −∞
RN ( n ) z − n = ∑ z − n ∑
n=0
∞
N −1
= 1 + z −1 + z − 2 + L + z − ( N −1 )
这是一个有限项几何级数之和。 这是一个有限项几何级数之和。因此

-4-3-2-10123402468H(e j ω)的实部ω/π振幅-4-3-2-101234-4-2024H(e j ω)的虚部ω/π振幅-4-3-2-1123402468｜H(e j ω)｜幅度谱ω/π振幅-4-3-2-11234-2-1012相位谱[H(e j ω)]ω/π以弧度为单位的相位第三章 离散时间信号的频域分析学院:信息学院 专业：通信工程 姓名：马正智 学号：20111910119一、实验目的1、理解和掌握基于MATLAB 仿真研究离散时间傅里叶变换的时移性质；2、理解和掌握基于MATLAB 仿真研究离散时间傅里叶变换的频移性质；3、理解和掌握基于MATLAB 仿真研究离散时间傅里叶变换的卷积性质；4、理解和掌握基于MATLAB 仿真研究离散时间傅里叶变换的调制性质；5、理解和掌握基于MATLAB 仿真研究离散时间傅里叶变换的反转性质。

二、实验内容1、离散时间傅里叶变换Q3.1 在程序P3.1中，计算离散时间傅里叶变换的原始序列是什么？MATLAB 命令pause 的作用是什么？答：离散时间傅里叶变换的原始序列：ωωωj j j e e e H ---+=6.012)(；MATLAB 命令pause 的作用：程序执行到此命令时，图像显示到此停顿，点击键盘任意键，程序继续执行画出后面的图形。

Q3.2 运行程序P3.1，求离散时间傅里叶变换的实部、虚部以及幅度和相位普。

离散时间傅里叶变换是ω的周期函数吗？若是，周期是多少？描述这四个图形表示的对称性。

图Q3.2-1 图Q3.2-2答：离散时间傅里叶变换是ω的周期函数，周期为π2；四个图形表示偶—奇对称性。

Q3.3 修改程序P3.1，在范围πω≤≤0内计算如下序列的离散时间傅里叶变换：ωωωωωωω32327.05.03.013.05.07.0)(j j j j j j j e e e e e e e U ------+-+++-=0.10.20.30.40.50.60.70.80.911111｜H(e j ω)｜幅度谱ω/π振幅0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-4-2024相位谱[H(e j ω)]ω/π以弧度为单位的相位0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.51H(e j ω)的实部ω/π振幅0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.51H(e j ω)的虚部ω/π振幅0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.51H(e j ω)的实部ω/π振幅0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.500.51H(e j ω)的虚部ω/π振幅0.10.20.30.40.50.60.70.80.911111｜H(e j ω)｜幅度谱ω/π振幅00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-6-4-20相位谱[H(e j ω)]ω/π以弧度为单位的相位并重做习题Q3.2。

添加 标题
时频变换的基本概念：时频变换是信号处理 中的一种重要方法，它能够将信号的时域和 频域信息相互转换。
添加 标题
离散信号的频域与时域的关系：离散信号的 频域与时域之间存在密切的关系。通过时频 变换，可以分析离散信号在不同时间点的频 率特征，从而更好地理解信号的特性和行为。
添加 标题
时频变换的不变性：时频变换具有一些重要 的性质，其中最重要的是时频变换的不变性。 这意味着通过时频变换得到的信号的时域和 频域特征在变换前后保持不变。
数字调制解调的 优势：抗干扰能 力强、传输距离 远等
数字音频信号 的频域分析
音频压缩与编 码
数字滤波器设 计
音频特效处理
图像压缩：离散信号的频域分析有助于图像压缩，减少存储空间和传输带宽。
图像增强：通过频域处理，可以增强图像的细节和对比度，提高图像质量。
图像识别：利用离散信号的频域特征，可以实现图像识别和分类，应用于人脸识别、物体检测等 领域。
时频变换的应用：时频变换在信号处理、 通信、雷达、声呐等领域有着广泛的应用。 通过时频变换，可以实现对信号的快速、 准确的分析和处理，从而提高信号处理的 效率和精度。
时频变换的基本原理
离散信号的频域与时域的关 系
离散信号的频域分析方法
时频变换在信号处理中的应 用
汇报人：XX
时频变换的对称性：离散信号的频域与时域之间存在对称性，即频域和时域的变换具有相互对 应的关系。
离散信号的时频分析：利用时频变换的方法，将离散信号表示为时频平面上的分布，以便同时 分析其时间和频率特性。
时频变换的物理意义：离散信号的时频变换具有物理意义，可以揭示信号在不同时间和频率下 的表现和特征。
添加 标题
离散性：离散信号的频谱是离散的，即只有某些特定的频率分量存在。

离散时间系统频域分析离散时间系统的频域分析是研究离散时间信号在频域上的性质和行为的方法。

在离散时间系统频域分析中，使用离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），来将离散时间信号从时域转换到频域。

通过分析信号在频域上的频谱分布和频谱特性，可以得到离散时间系统的频率响应和频域特性，对信号的频域分布和频率区间进行评估和分析。

离散时间傅里叶变换是时域信号分析的重要工具，它可以将离散时间信号从时域转换到频域。

离散时间傅里叶变换的定义可以表示为：X(k) = Σ[x(n) * exp(-j*2πkn/N)]其中，X(k)是离散时间信号在频域的频谱，x(n)是离散时间信号，N是信号的长度，k是频谱的索引。

离散时间傅里叶变换将时域信号分解成多个频率成分，通过频谱的幅度和相位信息，可以得到信号在频域上的分布情况。

通过离散时间傅里叶变换可以得到离散时间信号的频谱，进而分析信号在频域上的频率响应和频域特性。

频谱可以反映信号在不同频率上的能量分布情况，通过观察频谱的幅度和相位，可以得到信号的频率成分、频带宽度和频率特性等信息。

在离散时间系统频域分析中，常用的分析工具有频谱图、功率谱密度、频率响应等。

频谱图可以将信号的频谱以图形形式展示出来，通过观察频谱图的形状和分布，可以得到信号在频域上的特点。

功率谱密度是指信号在不同频率上的功率分布情况，可以评估信号在不同频率上的能量分布情况。

频率响应是指系统对不同频率信号的响应情况，可以评估系统对不同频率信号的滤波和增益特性。

离散时间系统频域分析的应用包括信号处理、通信系统、控制系统等领域。

在信号处理中，通过频域分析可以对信号进行滤波、去噪、频域变换等操作，提高信号的质量和分析能力。

在通信系统中，通过频域分析可以评估信号传输和接收的性能，并对系统进行优化和改进。

在控制系统中，通过频域分析可以评估系统的稳定性和控制特性，提高系统的响应速度和稳定性。

数字信号处理A实验报告实验项目名称:离散信号与系统的离散频域分析（DFT）学院:______计算机与通信工程____专业:______ _通信工程 _________学号:______201454080136_______班级:______ 通信1401 ________报告人:________胡国庆 __________指导老师:___ 胡双红 _ _______实验时间:_______2016-11-28________实验三离散信号与系统的离散频域分析（DFT）一、实验目的：1、掌握离散时间系统的DFT的MATLAB实现；2、熟悉DTFT和DFT之间的关系。

3、了解信号不同变形的DFT与原信号DFT之间的关系二、实验内容：选择实验二相同的8点信号x=[1 2 3 4 4 3 2 1]1、对该信号分别做8点、16点、32点DFT，分别与DTFT合并作图并比较DFT 与DTFT之间的关系。

2、在信号每两个相邻样本之间插入一个零值，扩充为16点序列，作DFT，画出幅度谱和相位谱，并与原序列的DFT进行比较。

3、将信号以8为周期扩展，得到长为16的两个周期，作DFT，画出幅度谱和相位谱，并与原序列的DFT进行比较。

三、实验平台： MATLAB集成系统四、设计流程：五、程序清单function [Xk]=dft(xn,N)n=0:1:N-1;k=0:1:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=xn*WNnk;x=[3,2,1,2,4,3,4,1];X=dft(x,8);w=0:pi/100:2*pi;n=0:7;Xw=x*exp(-j*n'*w);figure(1);k=0:7;subplot(211);stem(k,abs(X)) hold onplot(w/pi*4,abs(Xw))subplot(212);stem(k,angle(X))hold onplot(w/pi*4,angle(Xw))X16=dft([x,zeros(1,8)],16);figure(2);k=0:15;subplot(211);stem(k,abs(X16)) Xw1=[x,zeros(1,8)]*exp(-j*k'*w);hold onplot(w/pi*8,abs(Xw1))subplot(212);stem(k,angle(X16))hold onplot(w/pi*8,angle(Xw1))X32=dft([x,zeros(1,24)],32);figure(3);k=0:31;subplot(211);stem(k,abs(X32)) Xw2=[x,zeros(1,24)]*exp(-j*k'*w);hold onplot(w/pi*16,abs(Xw2))subplot(212);stem(k,angle(X32))hold onplot(w/pi*16,angle(Xw2))x1=zeros(1,16);x1(1:2:end)=x;X4=dft(x1,16); figure(4);subplot(221);stem(0:15,abs(X4));subplot(222);stem(0:15,angle(X4));subplot(223);stem(0:7,abs(X));subplot(224);stem(0:7,angle(X));X5=dft([x x],16);figure(5);subplot(221);stem(0:15,abs(X5)); subplot(222);stem(0:15,angle(X5)); subplot(223);stem(0:7,abs(X)); subplot(224);stem(0:7,angle(X));六、调试和测试结果：8点DFT与 DTFT的代码和图：实验心得在这次实验中，自己做的时候问题比较多，请教了很多同学才做到现在的样子，对函数并不理解。

DFS DFS DFS DFS
DFS
⊗为周期卷积的符号，两周期序列x(n)和h(n)的周期卷积定义为： x(n) ⊗ h(n)=h(n) ⊗ x(n) = ∑ x(k )h(n − k )
k =0 N −1
周期卷积和线性卷积的惟一区别在于周期卷积时仅仅在单个 周期内求和，而线性卷积则是对所有k值求和。
k=1,-1 其余
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 k
X (kω 0 )
⋯
−1 0 1 2 3 4 5 6
⋯
k
X1(kΩ01)
其频谱图为：
⋯
−5
−1 0 1 2 3 4 5
⋯
7 11 13
13
π − jk n 1 7 X 2 (k Ω02 ) = ∑ x(n)e 4 8 n =0
频谱如图：
X 2 ( k Ω 02 )
（2）泄露 泄露误差是由于截取波形的时间长度不恰当造成的。 从原来比较集中的谱线由于截取信号长度不当，出现了分散的 扩展谱线的现象，称之为频谱泄露或者功率泄露。
二、非周期信号的频域分析 （DTFT Discrete Time Fourier Transformation） 1、定义 序列x(n)的离散时间傅里叶变换定义为：
因此：
X(kΩ0)
1 X (k Ω0 ) = 2 0 k=1,5 k=0,2,3,4
1 2
0 12 34 5 6
x(n)
2π π Ω0 = = 解：基本频率： N 3
1
⋯
−1 0 1
⋯
n
周期信号的频谱为：
π − jk n 1 5 X (kΩ0 ) = ∑ x(n)e 3 6 n=0 π 5π − jk − jk 1 = [ x(0) + x(1)e 3 + x(5)e 3 ] 6 π π − jk jk 1 1 πk 3 3 = [1+ e + e ] = [1+ 2cos ] 6 6 3

❖ CTFT ( the Continuous -Time Fourier Transforms ): 连续时间傅立叶变换
❖ DTFT ( the Discrete -Time Fourier Transforms ): 离散时间傅立叶变换
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
RX (e j ) tg1 a sin 1 a cos
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
A eg
j 2 (k r )n N
k
n N
nN k N
Agk
j 2 (k r )n
eN
k N n N
j2 (kr)n N
Q eN
nN
0
k r
kr
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
g
Ar
1 N
j 2 rn
x(n)e N
nN
x(n)
离散时间周期信号的频谱具有周期性。
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
三 . DFS的收敛:
DFS是一个有限项的级数，确定
g
Ak
的关系式也
是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生
Gibbs现象。
DFS表明：周期序列可以而且只能分解成 N 个独立 的复指数谐波分量。
Gibbs现象。
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
5.3 非周期信号与离散时间傅立叶变换:
(Aperiodic Signals & Discrete-Time Fourier Transform)

实验四 离散时间系统的频域分析1.实验目的（1）理解和加深傅里叶变换的概念及其性质。

（2）离散时间傅里叶变换(DTFT)的计算和基本性质。

（3）离散傅里叶变换(DFT)的计算和基本性质。

2.实验原理对离散时间信号进行频域分析，首先要对其进行傅里叶变换，通过得到的频谱函数进行分析。

离散时间傅里叶变换(DTFT ，Discrete-time Fourier Transform)是傅立叶变换的一种。

它将以离散时间nT （其中，T 为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号）f (nT )变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱()iw F e ，其频谱是连续周期的。

设连续时间信号f (t )的采样信号为：()()()sp n f t t nT f nT d ¥=-=-å，并且其傅里叶变换为：()()(){}sp n iwt f t f nT t nT dt e d ¥¥-=---=åòF 。

这就是采样序列f(nT)的DTFT:：()()iwTinwT DTFT n F ef nT e ¥-=-=å,为了方便，通常将采样间隔T 归一化，则有：()()iwinw DTFT n F ef n e ¥-=-=å，该式即为信号f(n)的离散时间傅里叶变换。

其逆变换为：()1()2iw DTFT inw F e dw f n e ppp-=ò。

长度为N 的有限长信号x(n)，其N 点离散傅里叶变换为：1()[()]()knNN n X k DFT x n x n W -===å。

X(k)的离散傅里叶逆变换为：101()[()]()knN N k x n IDFT X k X k W N --===å。

DTFT 是对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一个连续函数；而DFT 是把有限长序列作为周期序列的一个周期，对有限长序列的傅里叶分析，DFT 的特点是无论在时域还是频域都是有限长序列。

h(0) h(1) ... h(n 1) 0 h(n) 1
h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时， n 齐次差分方程解： k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
离散信号与系统分析
开始
下一页
结束
本章说明

与连续信号与系统相比较，离散系统的数学描述是激励响应的差分方 程，其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系 统的零状态响应可以用卷积和来求取。 时域分析： 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2( ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
5、序列的运算



④差分：离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分： f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分： ⑤反折：将离散信号以纵轴为对称轴反折（转） ⑥压扩：将离散信号中f（k）的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺 度变换 注意：不存在非整数ak的值！ ⑦求和：离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。

《信号分析与处理》
P25
（2）奈奎斯特间隔、奈奎斯特频率
其中:
m 1 最大允许抽样间隔Ts （f m ） 2 fm 2
称“奈奎斯特间隔”。
最低允许抽样频率
fs 2 fm
称“奈奎斯特频率”
注：连续信号f (t )(满足抽样定理)经此抽样后的频谱Fs 重复F 是 不会产生混叠，即抽样信号f s (t )可完全保留其全部信息。
《信号分析与处理》
2、离散时间傅立叶变换DTFT

非周期序列可看作为周期序列的周期N→∞ 的极限情况 极限情况下各谐波分量的复振幅X(kΩ0)→0
limN X (k ) x(n)e
N 0 n

jk 0n
N , 0 (2 / N ) d , k 0 x(n) 为有限长 T


线性性质 周期卷积定理 复共轭 位移性质 帕斯瓦尔定理
《信号分析与处理》
1．线性性质

设
DFS DFS xN (n) X N (k )，yN (n) YN (k )

则
DFS N (n) byN (n) aX N (k ) bYN (k ) ax
《信号分析与处理》
2、周期卷积定理

设 DFS DFS xN (n) X N (k )，hN (n) H N (k )
DFS 则 xN (n) * hN (n) X N (k ) H N (k )

DFS xN (n)hN (n) N X N (k ) 1
《信号分析与处理》
P24
2、时域抽样定理
（1）时域抽样定理

4. 对称特性
当x [k]为实偶序列时，即x[k]=x*[k] ，x[k]=x[k]，有
X (e jW ) X (e-jW )，X (e jW ) X (e-jW ) 所以，X(ejW)是W 的实偶函数。
当x [k]为实奇序列时，即x[k]=x*[k] ，x[k]= x[k] ，
则有：
DTFT ax1 [k ] bx2 [k ] aX 1 (e jW ) bX 2 (e jW )
四、离散时间Fourier变换的性质
2. 时移特性
若 则
DTFT x[k ] X (e jW )
DTFT x[k n] e jWn X (e jW )
...
2π
π
X ( e jW )
1
...
π / 2
π/ 2
π
2π
W
jπk jπk y [ k ] x [ k ]( e e )/2 解：
Y (e jW ) {X (e } / 2
1
2π π
X(ej(W p)
难点
1、周期序列的周期卷积
2、离散非周期序列与其DTFT的对称特性
3、频域抽样定理
一、离散Fourier级数
1、离散Fourier级数的定义：
1 ~ ~ x [k ] IDFS { X [m]} N
~ X [m] DFS {~ x [k ]}
m N
mk ~ x [k ]WN
π
2
则 lim
N π
X ( e ) X N ( e ) dW 0
jW jW
2
均方收敛
若序列满足绝对可和，则序列存在DTFT。 （充分条件） 若序列满足平方可和(能量有限)，存在DTFT。（充分条件）

离散时间信号和系统的频域分析离散时间信号与系统是研究数字信号与系统的频域分析，其中离散时间信号是对连续时间信号进行采样得到的，而离散时间系统是对连续时间系统进行离散化得到的。

频域分析是对信号与系统在频率域上的特性进行研究和分析。

对于离散时间信号，其离散化的过程是将连续时间信号在时间轴上进行均匀采样，得到指定的采样间隔，得到离散时间序列。

在频域上，其频谱是周期性的，并且频谱是以单位圆为单位周期的。

频域分析的目的是研究离散时间信号在频率域上的特性，包括频谱范围、频率分辨率、功率谱密度等。

离散时间信号的频域分析可以通过离散时间傅里叶变换（DTFT）来实现。

DTFT是信号在频域上的完全变换，将一个离散时间信号映射到一个连续的频率域函数。

DTFT是一个复数函数，表示信号在不同频率上的振幅和相位。

频谱的振幅可以表示信号在该频率上的能量大小，相位可以表示信号在该频率上的相对位置。

除了DTFT之外，还可以使用离散傅里叶变换（DFT）进行频域分析。

DFT是DTFT的一种计算方法，可以将离散时间信号转换为有限的频域信号。

DFT的计算是通过对离散时间信号进行有限长的时间窗口进行采样，并进行频域变换得到的。

DFT的结果是一个离散的频域信号，也称为频谱。

DFT通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来快速计算。

离散时间系统的频域分析主要是通过系统的频率响应函数来实现。

频率响应函数是系统在不同频率上对信号的响应情况的描述。

对于线性时不变系统，其频率响应函数是系统的传递函数的傅里叶变换。

频率响应函数拥有类似信号的频谱特性，可以描述系统对不同频率的信号的增益和相位。

频域分析在离散时间信号与系统中有着广泛的应用。

首先，频域分析可以帮助我们理解信号的频率构成和能量分布情况，有助于对信号进行合理的处理和分析。

其次，频域分析可以快速计算离散时间系统的响应，能够有效地评估系统的性能和稳定性。

此外，频域分析还可以进行滤波器设计、信号压缩、信号重构等应用。

实验三：离散时间信号的频域分析一．实验目的1．在学习了离散时间信号的时域分析的基础上，对这些信号在频域上进行分析，从而进一步研究它们的性质。

2．熟悉离散时间序列的3种表示方法：离散时间傅立叶变换（DTFT）,离散傅立叶变换（DFT）和Z变换。

二．实验相关知识准备1．用到的MATLAB命令运算符和特殊字符：< > .* ^ .^语言构造与调试：error function pause基本函数：angle conj rem数据分析和傅立叶变换函数：fft ifft max min工具箱：freqz impz residuez zplane三．实验内容1．离散傅立叶变换在MATLAB中，使用fft可以很容易地计算有限长序列x[n]的离散傅立叶变换。

此函数有两种形式：y=fft(x)y=fft(x,n) 求出时域信号x的离散傅立叶变换n为规定的点数，n的默认值为所给x的长度。

当n取2的整数幂时变换的速度最快。

通常取大于又最靠近x的幂次。

（即一般在使用fft函数前用n=2^nextpow2(length(x))得到最合适的n)。

当x的长度小于n时，fft函数在x的尾部补0，以构成长为n点数据。

当x的长度大于n时，fft函数将序列x截断，取前n点。

一般情况下，fft求出的函数多为复数，可用abs及angle分别求其幅度和相位。

注意：栅栏效应，截断效应（频谱泄露和谱间干扰），混叠失真例3－1：fft函数最通常的应用是计算信号的频谱。

考虑一个由100hz和200hz正弦信号构成的信号，受零均值随机信号的干扰，数据采样频率为1000hz。

通过fft函数来分析其信号频率成分。

t=0:0.001:1;%采样周期为0.001s，即采样频率为1000hzx=sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*200*t)+1.5*rand(1,length(t));%产生受噪声污染的正弦波信号subplot(2,1,1);plot(x(1:50));%画出时域内的信号y=fft(x,512);%对x进行512点的fftf=1000*(0:256)/512;%设置频率轴（横轴）坐标，1000为采样频率subplot(2,1,2);plot(f,y(1:257));%画出频域内的信号实验内容3－2：频谱泄漏和谱间干扰假设现有含有三种频率成分的信号x(t)=cos(200πt)+sin(100πt)+cos(50πt)用DFT分析x(t)的频谱结构。

实验名称：离散时间信号的频域分析一、实验目的1.对离散信号和系统在频域中进行分析，可以进一步研究它们的性质。

学会通过matlab，对离散时间序列的三种表示方法：离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶变换（DFT）和Z变换。

二、实验内容1、修改程序P3.1，计算如下有限长序列的离散时间傅里叶变换：g[n]=[1357911131517]并重做习题Q3.2。

讨论你的结果。

你能解释相位谱中的跳变吗？2、选取两个改变了长度的序列以及两个不同的时移值，重做习题Q3.73、编写一个MATLAB程序，用一个N点复数离散傅里叶变换计算两个长度为N的实数序列的N点离散傅里叶变换，并将结果同直接使用两个N点离散傅里叶变换得到的结果进行比较。

4、选取两个不同的时移量，重做习题Q3.335、选取两个不同长度的序列，重做习题Q.336、选取另外两组等长序列重做习题Q3.36三、主要算法与程序1、w=-4*pi:8*pi/511:4*pi;num=[1357911131517];den=[1];h=freqz(num,den,w);%Plot the DTFTsubplot(2,2,1)plot(w/pi,real(h));gridtitle('H(e^{j\omega})的实部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,2)plot(w/pi,imag(h));gridtitle('H(e^{j\omega})的虚部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,3)plot(w/pi,abs(h));gridtitle('|H(e^{j\omega})|幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,4)plot(w/pi,angle(h));gridtitle('[H(e^{j\omega})]相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('以弧度为单位的相位');2、(1)序列为[9123456789]，时移为30; %离散时间傅立叶变换的时移性质clf;w=-pi:2*pi/255:pi;wo=0.4*pi;D=30;num=[9123456789];h1=freqz(num,1,w);h2=freqz([zeros(1,D)num],1,w);subplot(2,2,1)plot(w/pi,abs(h1));gridtitle('原序列的幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,2)plot(w/pi,abs(h2));gridtitle('时移D=30后序列的幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,3)plot(w/pi,angle(h1));gridtitle('原序列的相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');subplot(2,2,4)plot(w/pi,angle(h2));gridtitle('时移D=30后序列的相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('振幅');(2)序列为[12345678910]，时移为50;D=50;num=[12345678910];3、clf;g=[1124];h=[2321];x=g+i*h;N=length(x)-1;n=0:N;gk=fft(g);hk=fft(h);xk=fft(x);xk1=fft(conj(x));gk1=(xk+xk1)/2;hk1=(xk-xk1)/2i;subplot(4,2,1)stem(n,abs(gk));gridtitle('实部序列gk的离散傅里叶变换的幅度')xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(4,2,2)stem(n,abs(hk));gridtitle('虚部序列gk的离散傅里叶变换的幅度')xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(4,2,3)stem(n,abs(gk1));gridtitle('通过xk得到的gk1的离散傅里叶变换的幅度') xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(4,2,4)stem(n,abs(hk1));gridtitle('通过xk得到的hk1的离散傅里叶变换的幅度') xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(4,2,5)stem(n,angle(gk));gridtitle('实部序列gk的离散傅里叶变换的相位')xlabel('时间序号n');ylabel('以弧度为单位的相位'); subplot(4,2,6)stem(n,angle(hk));gridtitle('虚部序列hk的离散傅里叶变换的相位')xlabel('时间序号n');ylabel('以弧度为单位的相位'); subplot(4,2,7)stem(n,angle(gk1));gridtitle('通过xk得到的gk1的离散傅里叶变换的相位') xlabel('时间序号n');ylabel('以弧度为单位的相位'); subplot(4,2,8)stem(n,angle(hk1));gridtitle('通过xk得到的hk1的离散傅里叶变换的相位') xlabel('时间序号n');ylabel('以弧度为单位的相位');4、function y=circshift(x,M)if abs(M)>length(x)M=rem(M,length(x));endif M<0M=M+length(x);endy=[x(M+1:length(x))x(1:M)];%离散傅里叶变换的圆周时移性质，时移为10x=[0246810121416];N=length(x)-1;n=0:N;y=circshift(x,10);XF=fft(x);YF=fft(y);subplot(2,2,1);stem(n,abs(XF));gridtitle('原序列的离散傅里叶变换的幅度');xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(2,2,2);stem(n,abs(YF));gridtitle('圆周移位10后的序列的离散傅里叶变换的幅度'); xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');subplot(2,2,3);stem(n,angle(XF));gridtitle('原序列的离散傅里叶变换的相位');xlabel('时间序号n');ylabel('相位');subplot(2,2,4);stem(n,angle(YF));gridtitle('圆周移位10后的序列的离散傅里叶变换的相位'); xlabel('时间序号n');ylabel('相位');%离散傅里叶变换的圆周时移性质，时移为20y=circshift(x,20);5、序列为x=[0246810121416]，时移为10；序列为x=[02468101214161820]，时移为10；6、function y=circonv(x1,x2)L1=length(x1);L2=length(x2);if L1~=L2,error('长度不相等的序列'),endy=zeros(1,L1);x2tr=[x2(1)x2(L2:-1:2)];for k=1:L1sh=circshift(x2tr,1-k);h=x1.*sh;y(k)=sum(h);end%离散傅里叶变换的圆周卷积g1=[1234567];g2=[21-12-113];ycir=circonv(g1,g2);disp('圆周卷积的结果');disp(ycir)G1=fft(g1);G2=fft(g2);yc=real(ifft(G1.*G2));disp('离散傅里叶变换乘积的离散傅里叶逆变换的结果=');disp(yc)四、实验结果与分析图1图2.1图2.2图3图4.1图4.2图5.1序列长度9图5.2序列长度11Q6、圆周卷积的结果18183225393925离散傅里叶变换乘积的离散傅里叶逆变换的结果=18.000018.000032.000025.000039.000039.000025.0000、五、实验小结通过这次实验，我对离散信号和系统在频域中进行分析，进一步研究了它们的性质。