2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课件：第四章 第七节 正弦定理和余弦定理

（4）余弦定理对任意三角形均成立.(
（5）正弦定理可以实现边角互化，但余弦定理不可以.(
【解析】(1)正确. A＞B, a＞b, a ＞1,
b
由正弦定理可得 a sinA ＞1.
b sinB
又sin B＞0, ∴sin A＞sin B. （2）错误.正弦定理对任意三角形均成立. （3）错误.当已知三个角时不能求三边. （4）正确.由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用. （5）错误.余弦定理可以实现角化边，也能实现边化角. 答案：（1）√ （2）× （3）× （4）√ （5）×
（3）①利用两角和的正弦公式化为特殊角的三角函数值； ②利用正弦定理及同角三角函数关系式求解.
【规范解答】（1）选C.由正弦定理可得,
1 2 b sinA 2 2. sinB a 1 2 又 0＜B＜5 , B 或 3 . 4 6 4
（2）选A.由A+C=2B且A+B+C=π得 B .
考向1 正弦定理的应用 【典例1】（1）（2013·唐山模拟）在△ABC中, A ,a 1,
6
则B=( b 2，
)3 4A 4 BC 3 或 4 4
D
5 或 6 6
（2）（2013·惠阳模拟）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角 A,B,C所对的边，若 a 1,b 3，A C 2B， 则sin C等于( )
A 1
1 B 2
C
3 2
D
3 3
（3）（2013·西安模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分 别为a,b,c. ①若 sin(A ) 2cos A, 求A的值；
6 ②若 cos A 1 , b 3c, 求sin C的值. 3

变式2 （2022年全国乙卷）记的内角,,的对边分别为,, ，已知 .
（1）证明： .
（2）若,，求 的周长.
解：（1）证明：因为 ，所以 .所以 .所以,即,所以 .（2）因为,所以由（1）得 .由余弦定理，得 ，则，所以 .故 ，所以.所以的周长为 .
考点二 判断三角形的形状
例3 对于 ，有如下命题：①若，则 为等腰三角形；②若，则 为直角三角形；③若，则 为钝角三角形.其中所有正确命题的序号是____.
A. B. C. D.
√
解：对于A，由正弦定理，有，原式仅当 时成立,故A错误.对于B，因为，故，原式仅当 时成立,故B错误.对于C，，由余弦定理 ,得,原式仅当 时成立,故C错误.对于D，由正弦定理,可得，即 ，故D正确.故选D.
2.在中，角,,的对边分别为,,，已知，， ，则角 ( )
第四章 三角函数与解三角形
4.6 正弦定理、余弦定理
掌握余弦定理、正弦定理，并能用它们解决简单的实际问题.
【教材梳理】
1.正弦定理、余弦定理 在中，若角,,所对的边分别是,,，为 外接圆的半径，则
类别
正弦定理
余弦定理
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等
考点四 与三角形面积有关的问题
例5 （2023年全国甲卷）记的内角,,的对边分别为,,，已知
（1）求 ；
（2）若，求 的面积．
解：（1）因为 ，所以，解得 ．（2）由正弦定理,可得 ，即 ，即 .因为，所以 .又 ，所以 .故的面积为 ．
【点拨】三角形面积计算问题要选用恰当公式，其中 等公式比较常用,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
A. B. C. D.

教材改编题
2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，
a＝2，B＝30°，则c等于
√A.8
83 C. 3
B.4 43
D. 3
由 S△ABC＝12acsin B＝12×2c×12＝4，得 c＝8.
教材改编题
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝ 2， c＝2，则C＝ 45°或135° .
知识梳理
(1)a＝2Rsin A， b＝ 2Rsin B ，
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ；
c＝ 2Rsin C ；
变形 (2)sin A＝ a ， 2R
b
c
sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R ；
c2＋a2－b2 cos B＝ 2ac ；
a2＋b2－c2 cos C＝____2_a_b______
(3)a∶b∶c＝_s_i_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_i_n_C__
知识梳理
2.三角形解的判断
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a＝bsin A 一解
bsin A< a<b 两解
a≥b 一解
a>b 一解
知识梳理
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12aha(ha 表示边 a 上的高)；
因为 a＝5，c＝7，C＝π3，故 cos C＝12＝252＋×b52×－b49，得 b2－5b－24＝0，
解得b＝8(b＝－3舍去).
在△ABC 中，由余弦定理可得 cos∠ABC＝522＋×752×－782＝17，
所以
sin∠ABC＝4
7
3 .

(2)在△ADC中，因为cos∠ADC＝－45， 所以∠ADC为钝角． 而∠ADC＋∠C＋∠CAD＝180°，所以∠C为锐角． 故cos C＝ 1－sin2C＝255，则tan C＝csoins CC＝12. 因为cos∠ADC＝－45，
所以sin∠ADC＝ 1－cos2∠ADC＝35， 所以tan∠ADC＝csoins∠∠AADDCC＝－34.
[跟进训练] (2020·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的 对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝ 2，B＝45°. (1)求sin C的值； (2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－45，求tan∠DAC的值．
[解] (1)在△ABC中，因为a＝3，c＝ 2，B＝45°， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝9＋2－2×3× 2cos 45°＝5，所以b＝ 5. 在△ABC中，由正弦定理sinb B＝sinc C， 得sin 455°＝sin2C，所以sin C＝ 55.
2．(2020·宜昌模拟)如图所示，为了测量
A，B两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出
发，已知A在C的北偏西45°的方向上，B在C的
北偏东15°的方向上，现在船往东开2百海里到
达E处，此时测得B在E的北偏西30°的方向上，再开回C处，由C向西
开2 6百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5°的方向上，则A，B两
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，
则cos∠ACB＝2
7
7 .
由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos
30°－sin∠ACBsin
30°＝
21 14 .]
点评：解答此类问题的关键是正确理解题意，包括所涉及的方向