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量子力学中的对称性与守恒量量子力学是描述微观世界的基本理论，它在物理学领域中占据着重要的地位。
在量子力学中，对称性与守恒量是两个核心概念，它们在理论研究和实验观测中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨量子力学中的对称性与守恒量，并介绍它们的相关性质和应用。
首先，让我们来了解一下对称性在量子力学中的意义。
对称性是指系统在某种变换下保持不变的性质。
在量子力学中，对称性可以分为时间反演对称性、空间反演对称性和粒子对称性等多种形式。
其中，时间反演对称性是指系统在时间的反演下保持不变，即物理规律在时间的正向和反向都成立。
空间反演对称性是指系统在空间的反演下保持不变，即物理规律在空间的正向和反向都成立。
粒子对称性是指系统在粒子交换下保持不变，即物理规律在粒子交换的过程中保持不变。
对称性在量子力学中具有重要的意义。
首先，对称性可以导出守恒量。
根据诺特定理，每个连续对称性都对应一个守恒量。
例如，时间平移对称性对应能量守恒，空间平移对称性对应动量守恒，空间旋转对称性对应角动量守恒。
这些守恒量在物理学中起着至关重要的作用，它们不随时间变化而改变，可以用来描述系统的性质和演化。
其次，对称性还可以用来推导物理定律和预测物理现象。
例如，根据电磁场的规范对称性，我们可以推导出麦克斯韦方程组，描述电磁场的基本规律。
再如，根据粒子对称性，我们可以预测出反粒子的存在，并在实验中进行观测。
对称性在理论研究和实验观测中起着桥梁的作用，它们为我们理解自然界提供了重要的线索。
此外，对称性还可以帮助我们解释一些看似矛盾的现象。
例如，量子力学中的波粒二象性就是一个看似矛盾的现象。
根据波粒二象性，粒子既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这一现象可以通过对称性来解释。
量子力学中的波函数是描述粒子状态的数学工具，它具有波动性质。
而在观测时，波函数会坍缩为一个确定的粒子位置，表现出粒子性质。
波粒二象性的存在与系统的对称性密切相关。
除了对称性，守恒量也是量子力学中的重要概念。
量子力学中的对称性与守恒定律量子力学是现代物理学的一大支柱，它描述了微观世界的行为规律。
在量子力学中，对称性与守恒定律是两个非常重要的概念。
本文将深入探讨量子力学中的对称性与守恒定律，并分析它们在物理学中的应用。
首先，让我们来了解一下对称性在量子力学中的意义。
对称性是指某个系统在某种变换下保持不变的性质。
在量子力学中，对称性扮演着非常重要的角色，它不仅能够帮助我们理解物理现象，还能够简化问题的求解过程。
量子力学中常见的对称性包括平移对称性、旋转对称性和时间平移对称性等。
平移对称性是指系统在空间中的平移下保持不变。
在量子力学中，平移对称性导致了动量的守恒定律。
根据量子力学的基本原理，一个粒子的动量是与其波函数的相位相关的。
如果系统具有平移对称性，那么它的波函数在空间平移下不发生变化，从而导致动量守恒。
这一定律在许多物理现象中都得到了验证，如粒子在势场中的运动以及粒子的碰撞等。
旋转对称性是指系统在空间中的旋转下保持不变。
在量子力学中，旋转对称性导致了角动量的守恒定律。
角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与系统的对称性密切相关。
如果系统具有旋转对称性，那么它的波函数在空间旋转下不发生变化，从而导致角动量守恒。
这一定律在原子物理学中得到了广泛应用，如电子在原子轨道中的运动以及原子核的自旋等。
时间平移对称性是指系统在时间平移下保持不变。
在量子力学中，时间平移对称性导致了能量的守恒定律。
能量是系统的重要属性，它与系统的稳定性和演化规律密切相关。
如果系统具有时间平移对称性，那么它的波函数在时间平移下不发生变化，从而导致能量守恒。
这一定律在许多物理过程中得到了验证，如粒子的衰变过程以及能量传递等。
除了上述常见的对称性与守恒定律外，量子力学中还存在一些特殊的对称性与守恒定律。
例如，粒子统计对称性与粒子数守恒定律是量子力学中的重要概念之一。
根据粒子的统计性质，量子力学将粒子分为玻色子和费米子两类。
玻色子遵循玻色-爱因斯坦统计，而费米子遵循费米-狄拉克统计。
量子力学中的对称性与守恒量量子力学是描述微观粒子行为的一种物理理论，它在20世纪初被提出，并为理解微观世界的奇异现象提供了深刻的洞察。
其中，对称性和守恒量是量子力学中的两个基本概念，它们在理论和实验研究中扮演着重要角色。
本文将探讨量子力学中的对称性与守恒量，并介绍其在粒子物理学中的应用。
在量子力学中，对称性被视为宇宙的基本性质之一。
对称性是指系统在某种变换下保持不变的特性。
最常见的对称变换是空间对称和时间对称。
空间对称指的是系统在空间位置的变换下保持不变，即无论怎样移动或旋转，系统都不发生变化。
时间对称则是指系统在时间的正向和逆向变换下具有相同的行为。
这些对称性本质上反映了自然界的普遍规律，为物理学家提供了理解微观世界的重要线索。
量子力学中的对称性有两个关键概念：对称群和守恒律。
对称群是描述系统对称性的数学工具，它由一组对称变换构成。
守恒律则是指系统在某种对称变换下相关物理量的不变性。
具体来说，对称群的元素作用在系统的状态上，而守恒律则意味着一种观测量在对称变换下保持不变。
例如，空间平移对称性保证了动量在空间平移下的不变性，进而引出了动量守恒律。
对称性和守恒量之间存在着深刻的联系。
根据诺特定理，守恒量与物理系统的对称性是密切相关的。
具体而言，对称性的存在导致了守恒量的存在，反之亦然。
这一理论为粒子物理学的研究提供了指导。
例如，电荷守恒律与电荷共轭对称性有关，这使得我们可以根据对称性来预测和解释粒子衰变的过程。
对称性和守恒量在粒子物理学中的应用十分广泛。
最典型的例子是基本粒子的分类。
根据标准模型，物质由6种夸克和6种轻子组成。
这些粒子被分为三代，每代包含两个夸克和两个轻子。
标准模型中的基本粒子被认为是宇宙中最基本的构建块，而它们的存在和相互作用正是由于基本粒子之间的对称性和相应的守恒量。
此外，对称性和守恒量也在粒子物理实验中发挥着重要的作用。
例如，根据CPT定理，正常物质和反物质之间的对称性是保持不变的，这被广泛应用于粒子加速器和实验室中的反物质研究。
量子力学中的对称性与守恒律量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它在20世纪初由一系列科学家共同发展而成。
在量子力学中，对称性与守恒律是两个重要的概念，它们在理论和实验研究中起着重要的作用。
对称性在物理学中具有重要的地位。
在量子力学中，对称性可以分为空间对称性、时间对称性和内禀对称性。
空间对称性指的是物理系统在空间变换下保持不变，例如物理系统的哈密顿量在空间变换下保持不变。
时间对称性指的是物理系统在时间变换下保持不变，例如物理系统的演化算符在时间反演下保持不变。
内禀对称性指的是物理系统在内部变换下保持不变，例如粒子的自旋。
对称性在量子力学中的应用非常广泛。
首先，对称性可以帮助我们简化物理系统的描述。
通过对称性分析，我们可以找到系统的守恒量，从而简化哈密顿量的形式。
例如，如果一个物理系统具有空间平移对称性，我们可以得到动量守恒定律。
如果一个物理系统具有时间平移对称性，我们可以得到能量守恒定律。
其次，对称性还可以帮助我们预测新的物理现象。
例如，根据内禀对称性的理论，科学家预测了反应堆中的中微子振荡现象，并通过实验证实了这一理论。
此外，对称性还可以帮助我们理解量子态的性质。
例如，根据电荷守恒的对称性，我们可以推导出电荷守恒定律，并解释为什么电子和正电子总是以对的方式产生和湮灭。
守恒律是量子力学中的另一个重要概念。
守恒律指的是物理系统在演化过程中某个物理量的守恒。
在量子力学中，守恒律可以通过对称性来推导。
例如，如果一个物理系统具有空间平移对称性，那么动量就是守恒量。
如果一个物理系统具有时间平移对称性，那么能量就是守恒量。
守恒律在量子力学中具有广泛的应用。
例如，电荷守恒定律、能量守恒定律和动量守恒定律都是守恒律的具体表现。
这些守恒定律在物理学中起着重要的作用，它们帮助我们理解物理现象的本质，并且可以用于解释实验结果。
除了对称性和守恒律外，量子力学中还有一些其他重要的概念。
例如，量子态、测量和量子纠缠等。
量子态用于描述量子系统的状态，它可以是一个波函数或一个密度矩阵。
量子力学中的对称性原理与守恒定律量子力学是现代物理学的重要分支之一，它描述了微观世界的行为规律。
在量子力学中，对称性原理和守恒定律是两个基本概念，它们在理论框架中起到了重要的作用。
本文将从量子力学的角度，探讨对称性原理与守恒定律的关系和应用。
对称性原理是量子力学中的基本原理之一，它指出在物理系统中存在着某种对称性，这种对称性会导致一些守恒量的存在。
对称性可以分为空间对称性、时间对称性和内禀对称性等。
其中，空间对称性和时间对称性是我们熟知的对称性，而内禀对称性则是一种特殊的对称性，它涉及到粒子的内禀属性。
在量子力学中，空间对称性的一个重要表现形式是空间平移对称性。
根据空间平移对称性原理，物理系统在空间平移下具有不变性，即物理规律在空间平移下保持不变。
这一对称性导致了动量的守恒定律。
根据动量守恒定律，当物理系统在空间中发生平移时，总动量守恒。
这意味着，在一个孤立系统中，如果没有外力作用，系统的总动量将保持不变。
这一定律在实际应用中有着广泛的应用，例如在粒子物理实验中，科学家可以通过测量粒子的动量来推断粒子的性质。
类似地，时间对称性也会导致守恒定律的存在。
根据时间平移对称性原理，物理系统在时间平移下具有不变性，即物理规律在时间平移下保持不变。
这一对称性导致了能量的守恒定律。
根据能量守恒定律，当物理系统在时间上发生变化时，总能量守恒。
这意味着，在一个孤立系统中，如果没有外界能量输入或输出，系统的总能量将保持不变。
能量守恒定律在日常生活中也有着广泛的应用，例如在能源利用和转换中，我们需要根据能量守恒定律来设计和优化能源系统。
除了空间对称性和时间对称性，内禀对称性也是量子力学中的重要概念。
内禀对称性指的是粒子的内禀属性在某种变换下保持不变。
例如，电荷守恒定律就是由电荷的内禀对称性导致的。
根据电荷守恒定律，一个孤立系统中的总电荷保持不变。
这意味着在一个封闭的系统中，电荷不会自发地产生或消失。
电荷守恒定律在电磁学中起着重要的作用，它是麦克斯韦方程组的基础之一。
量子力学中的量子力学中的量子力学中的量子力学中的对称性与守恒律量子力学中的对称性与守恒律量子力学作为物理学的一支重要分支，研究微观世界的规律和性质，如何描述微观粒子的运动和相互作用是一个核心问题。
在量子力学中，对称性和守恒律是两个基本概念，它们在解释和预测粒子行为、相互作用和物理规律方面发挥着重要作用。
本文将从对称性和守恒律的角度来探讨量子力学中的这两个概念的基本原理和应用。
一、对称性的基本原理对称性在自然界的许多领域中都具有重要作用，并且是非常普遍的特征。
在量子力学中，对称性指的是物理系统在某种变换下保持不变的性质。
例如，空间平移、旋转、宇称变换等都是常见的对称性变换。
根据Noether定理，每个连续对称性都对应着一个守恒量。
而量子力学中的对称性更加复杂，可以通过算符的形式来描述，如单位算符、幺正算符和厄米算符等。
二、对称性在量子力学中的具体应用1. 简并与态的对称性量子力学中的简并现象是指存在多个不同的态具有相同能量的情况。
对称性与简并现象密切相关，根据Wigner定理，对于一个系统的对称操作，系统的态可以根据对称性的不同划分为不可约表示。
而简并态正是在同一不可约表示中存在的。
通过对称性分析，可以对简并态进行分类和描述，从而深入理解系统的性质和特点。
2. 对称性与测量结果的概率对称性在量子力学中还与测量结果的概率密切相关。
考虑一个具有对称性的系统，如果我们对系统进行测量，得到的结果将具有一定的规律性。
例如，假设系统具有宇称对称性，那么在宇称变换下测量结果的概率分布应当保持不变。
通过对称性的分析，可以预测和解释量子测量的规律性，丰富了我们对测量结果的理解和解释。
三、守恒律的基本原理守恒律是指在物理系统中某个量的总量保持不变的规律。
在量子力学中，守恒律是由对称性引出的，也是用来描述系统演化规律的重要工具。
根据守恒律的定义，守恒量是指与时间的演化无关的物理量，例如能量、动量、角动量等。
守恒律的存在使得我们可以从理论上预测和解释物理现象，同时为实验测量结果的分析提供了依据。
量子力学中的对称性和宇称守恒量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它在解释原子、分子和基本粒子的行为方面具有重要的作用。
在量子力学中，对称性是一个基本概念，它在很多方面都起着关键的作用。
本文将探讨量子力学中的对称性和宇称守恒。
首先，让我们来了解一下对称性在量子力学中的意义。
对称性是指系统在某种变换下保持不变的性质。
在量子力学中，对称性可以分为两类：空间对称性和内禀对称性。
空间对称性包括平移对称性、旋转对称性和镜像对称性，而内禀对称性则涉及粒子的内部属性，比如电荷、自旋和味道等。
量子力学中的对称性具有重要的物理意义。
首先，对称性决定了系统的守恒律。
根据诺特定理，每一个连续对称性都对应着一个守恒量。
例如，空间平移对称性对应着动量守恒，而时间平移对称性对应着能量守恒。
其次，对称性还决定了系统的性质和行为。
例如，空间旋转对称性决定了角动量的量子化，而内禀对称性则决定了粒子的特性和相互作用方式。
宇称守恒是量子力学中的一个重要对称性。
它是指在空间镜像变换（即将所有坐标的正负号取反）下，系统的物理性质保持不变。
宇称守恒在粒子物理学中具有重要意义。
根据宇称守恒，物理过程在空间镜像变换下应该具有相同的概率。
然而，在20世纪50年代的实验证明了宇称守恒并不总是成立。
1956年，李政道和杨振宁提出了弱相互作用的破坏了宇称守恒的理论，这一发现为他们赢得了1957年的诺贝尔物理学奖。
他们的理论表明，弱相互作用在进行空间镜像变换后，物理过程的概率会发生变化。
这一发现对量子力学的基本原理提出了挑战，并引发了对对称性的深入研究。
进一步研究发现，宇称守恒的破坏与弱相互作用的手性有关。
手性是指粒子的旋转方向与运动方向之间的关系。
在弱相互作用中，左手和右手的粒子之间会发生转换，这导致了宇称守恒的破坏。
这一发现揭示了对称性的更深层次，也为粒子物理学的发展提供了新的思路。
除了宇称守恒，量子力学中还存在其他重要的对称性。
例如，电荷守恒是粒子物理学中的一个基本对称性。
量子力学中的对称性与守恒定律量子力学是描述微观世界的物理学理论，它主要研究微观粒子的行为和性质。
在量子力学中，对称性和守恒定律是十分重要的概念，它们不仅帮助我们理解微观世界的规律，还对于解释和预测自然现象都起到了关键作用。
本文将对量子力学中的对称性与守恒定律进行论述。
1. 对称性在量子力学中的作用对称性在物理学中具有重要的地位，它可以帮助我们理解自然界中的各种现象。
在量子力学中，对称性可以通过算符的变换来描述。
对称性的存在意味着系统在某些变换下保持不变，这些变换可以是平移、旋转、粒子交换等。
不同的对称性对应着不同的物理规律和守恒量。
2. 空间对称性与动量守恒定律空间平移对称性是量子力学中的重要对称性之一。
根据诺特定理，一个系统的平移不变性对应着动量的守恒，即动量守恒定律。
在量子力学中，动量被表示为动量算符，根据平移算符的性质，能量本征态同时也是动量本征态，从而推导出动量守恒的数学表达式。
3. 时间对称性与能量守恒定律时间平移对称性是量子力学中另一个重要的对称性。
根据诺特定理，一个系统的时间平移不变性对应着能量的守恒，即能量守恒定律。
在量子力学中，能量被表示为能量算符，根据时间平移算符的性质，能量本征态同时也是时间本征态，从而推导出能量守恒的数学表达式。
4. 粒子交换对称性与电荷守恒定律粒子交换对称性是量子力学中独特的对称性。
根据粒子交换的性质，不同种类的粒子在交换后会得到正负符号不同的波函数。
通过对称性的研究，我们可以得出守恒定律，例如电荷守恒定律。
在量子力学中，电荷被表示为电荷算符，根据粒子交换算符的性质，电荷守恒可以被推导出来。
5. 空间反演对称性与正负宇称守恒空间反演对称性是又一种重要的对称性。
根据空间反演的性质，物理过程在空间反演后会得到相反的结果。
通过对称性的研究，我们可以得出守恒定律，例如正负宇称守恒。
正负宇称守恒与粒子的手性和反粒子的存在有关，通过对称性的分析可以得到这一守恒定律的数学表达式。
量子力学中的交换对称性和守恒定律量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观世界中粒子的行为规律。
在量子力学中，交换对称性和守恒定律是两个基本概念，它们对于理解和解释微观粒子的性质和相互作用起着重要的作用。
首先，我们来探讨交换对称性在量子力学中的意义。
交换对称性是指在系统中交换两个相同粒子的位置后，系统的性质不发生变化。
这意味着无论我们如何交换两个相同的粒子，系统的物理状态和性质都保持不变。
这个概念在量子力学中非常重要，因为它涉及到粒子的统计性质。
根据交换对称性，我们可以将粒子分为两类：玻色子和费米子。
玻色子是具有整数自旋的粒子，如光子和声子。
而费米子则是具有半整数自旋的粒子，如电子和质子。
根据泡利不相容原理，具有半整数自旋的费米子遵循费米-狄拉克统计，即它们不能占据相同的量子态。
而具有整数自旋的玻色子则遵循玻色-爱因斯坦统计，它们可以占据相同的量子态。
交换对称性的概念还可以帮助我们理解粒子之间的相互作用。
在量子力学中，粒子之间的相互作用可以通过交换粒子来描述。
例如，两个电子之间的相互作用可以通过交换一个光子来传递。
这种交换过程是量子力学中的基本过程之一，它决定了粒子之间的力和能量传递。
接下来，我们来探讨守恒定律在量子力学中的重要性。
守恒定律是指在物理系统中某个物理量的总量在时间演化过程中保持不变。
在量子力学中，守恒定律与对称性密切相关。
根据诺特定理，与连续对称性相对应的守恒定律可以通过守恒流和守恒荷来描述。
在量子力学中，有许多重要的守恒定律。
其中最著名的是能量守恒定律。
根据量子力学的哈密顿形式，系统的能量是一个守恒量，即系统的总能量在时间演化过程中保持不变。
这意味着在一个孤立的量子系统中，能量的总量是恒定的。
此外，动量守恒定律也是量子力学中的重要守恒定律之一。
根据动量守恒定律，系统中所有粒子的总动量在时间演化过程中保持不变。
这意味着如果一个粒子获得了一定的动量，那么其他粒子的动量将相应地发生变化，以保持总动量的守恒。
第五章： 对称性及守恒定律［１］证明力学量Aˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H AA dtd -=（H ˆ是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量Aˆ 不显含t ，有]ˆ,ˆ[1H Ai dtA d=（１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量]ˆ,ˆ[1H Ai的平均值，则有： ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[1222H H A H H A i i dtA d -==（２） 此式遍乘2即得待证式。
［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。
（证明）设Aˆ是个不含t 的物理量，ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一，求A ˆ在ψ态中的平均值，有：⎰⎰⎰=ττψψd A A ˆ*将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）⎰⎰⎰-≡=ττψψd A H H A i H A i dtA d )ˆˆˆˆ(*1]ˆ,ˆ[1（１）今ψ代表Hˆ的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H=ˆ （E 为本征值） （２） 又因为Hˆ是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτd A Hd A H ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~(ˆ* （３） （题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（２）（３）代入（１）得：τψψτψψd A Hid H AidtA d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=τψψτψψd AiE d A iEˆ**ˆ* 因*E E =，而0=dtA d［３］设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V pH+=μ。
（１） 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅ μ/)(2。
（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p r dt d⋅=⋅)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V pp z p y p x H p r z y x +++=⋅μ )],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p pp z p y p xz y x z y x +++++=μ)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V zp ypxpp p p p z p y p xz yxz y x z y x +++++++=μ（２）分动量算符仅与一个座标有关，例如xi p x ∂∂= ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p rμμμ++=⋅ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p x z y x +++],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21222V p z V p y V p xp p zp p yp p xz y x z z y y x x +++++=μμμ（３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：x x x x p x p p x p p xˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p xˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x p p p xˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x p i p i pi =+= （４） ],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-= xV x i ∂∂=ˆˆ （５）将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p rz y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ }ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入（１），证得题给公式：V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ2ˆ)( （６）（２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量A ˆ的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r A ˆˆˆ ⋅= 则0)ˆˆ(*2=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p rp r dtdτμτψψ （７）但动能平均值 μτψμψτ22ˆ*22pd pT =≡⎰⎰⎰由前式 V r T ∀⋅⋅=21［４］设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ） T V n 2= 式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-=（３）T V n Cr V n2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk zy x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。
根据前一题的结论：V rT ∀⋅=ˆ2 （２） 现在试行计算本题条件下V r ∀⋅的式子及其定态下平均值。
zV z y V y x V x V r ∂∂+∂∂+∂∂=∀⋅∑∂∂+∂∂+∂∂=kj i i j k zy x C zzyy xx )(∑∑∑---++=111k j i ijk kj i ijkkji ijk zy x kC z zyx jCy zy xiC x∑++=ijkkjiijk z y x C k j i )(),,(z y x nV =这个关系在数学分析中称Euler 的齐次式定理。
再利用（２）即得：V n T =2 （３）本证明的条件只要V r ∀⋅不显含时间（见前题证明）故是一个普遍的证明。
现将其直接用于几种特例，并另用（２）式加以验证。
（１）谐振子：)(2232221z yxV ωωωμ++=直接看出2=n ，根据（３）式知道V T 22=，即 V T =也可以根据前一题的结论，即（２）式直接来验证前一结论zV zyV yxV xV r ∂∂+∂∂+∂∂=∀⋅z z y y x x 321μωμωμω⋅+⋅+⋅= V z y x 2)(232221=++=ωωωμV V r 2=∀⋅，由（３）式可知V T =（２）库仑场 2221zyxV ++=直接看出Ｖ是z y x ,,的1-=n 次齐次式，按（３）式有： V T -=2但这个结论也能用（３）式验证，为此也利用前一题结论（２）有：zV z y V y x V x V r ∂∂+∂∂+∂∂=∀⋅2/32222/32222/3222)()()(z yxzz z yxyy z yxxx ++-⋅+++-⋅+++-⋅=V zyx-=++-=2221V V r -=∀⋅代入（２）式，亦得到 V T -=2（３）场2222)(),,(nnz yxC Crz y x V ++==直接看出Ｖ是z y x ,,的n 次齐次式，故由（３）式得：V n T =2仍根据（２）式来验证：zV z y V y x V x V r ∂∂+∂∂+∂∂=∀⋅)2()(2)2()(21222212222y z yxn y x z yxn x nn⋅++⋅+⋅++⋅=--)2()(212222z z yxn z n⋅++⋅+-V n z y x n n=++=2222)(由（２）得 V n T =2，结果相同。
本小题对于n 为正、负都相适，但对库仑场的奇点0=r 除外。
［５］证明，对于一维波包：)(12px xp xdt d +=μ（解）一维波包的态中，势能不存在故μ2ˆˆ2x pH= （自由波包）依据力学量平均值时间导数公式：]2ˆ,ˆ[1]ˆ,ˆ[12222μx p x i H x i xdt d ==]ˆ,ˆ[2122x p xiμ=（２） 但 222222ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[x p p x p xx x x -= )ˆˆˆˆˆˆˆˆ()ˆˆˆˆˆˆˆˆ(x p p x p x p x p x p x p p x xx x x x x x x x -+-= )ˆˆˆˆˆˆˆˆ()ˆˆˆˆˆˆˆˆ(x x p p x p x p x p x p x p p xx x x x x x x x -+-+ x p x p x p p x p x p x p p x xx x x x x x x x ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆˆˆ]ˆ,ˆ[ˆ+++= （３） 因 i p xx =]ˆ,ˆ[ )ˆˆˆˆ(2]ˆ,ˆ[22x p p x i p xx x x += （４） 代入（２）式，得到待证的一式。
［６］求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。
（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符)(ˆt A应满足： ]ˆ,ˆ[1ˆH AidtA d =（１）又对于自由粒子，有μ2ˆˆ2p H=（p ˆ 不随时间t 变化） 令)(ˆ)(ˆt x t A=为海氏表象座标算符；代入（１）]2ˆ),(ˆ[1)(ˆ2μpt xidt t x d =]ˆ),(ˆ[21)(ˆ2p t xidtt x d μ=（２） 但 x p p x p t xˆˆˆˆ]ˆ),(ˆ[222-= x p p p x p p x p p p xˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ-+-= p i p x p p p xˆ2]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[ =+= （３） 代入（２），得： μμpipi dtt x d ˆ21ˆ2)(ˆ==积分得 C t pt x+=μˆ)(ˆ将初始条件0=t 时，)0(ˆ)(ˆx t x=代入得)0(x C =，因而得到一维座标的海氏表象是： )0(ˆˆ)(ˆxt pt x+=μ［７］求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。
（解）用薛氏表象时，一维谐振子的哈氏算符是：2ˆ21ˆ222x pHμωμ+= （１）解法同于前题，有关坐标)(ˆt x的运动方程式是：]2)(ˆ2)(ˆ),(ˆ[1)(ˆ222t xt p t xidtt x d μωμ+=（２）将等式右方化简，用前一题的化简方法：μμωμμωμ)(ˆ]ˆ,ˆ[2]ˆ,ˆ[21]2,ˆ[1222222t px xip xix pxi=+=+∂)(ˆ1)(ˆt pdtt x d μ=（３） 但这个结果却不能直接积分（与前题不同，p ˆ与t 有关），为此需另行建立动量算符的运动方程式：]2)(2)(ˆ),(ˆ[1)(ˆ222t x t p t pidt t p d μωμ+=化简右方 }ˆˆˆˆ{2]2)(),([122222p x x phit x t p hi-=μωμω =}ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ{22p x x x p x x x phi--μω =)(ˆ]}ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ{[2222t xx p x x x phiμωμω-=- )(ˆ)(ˆ2t xdtt p d μω-=⑷ 将⑶对时间求一阶导数,并与⑷式结合,得算符)(ˆt x的微分方程式: 0)(ˆ)(ˆ22=+t xdtt x d ω ⑸ 这就是熟知的谐振动方程式，振动角频率ω，它的解是：t B t A t xωωsin ˆcos ˆ)(ˆ+= ⑹ Aˆ，B ˆ待定算符，将它求导，并利用⑶： )sin ˆcos ˆ()(ˆt A t B t pωωμω-= ⑺ 将t=0代入：x(0)=A P （0）=μωB ，最后得解：t pt x t xωμωωsin )0(ˆ1cos )0(ˆ)(ˆ+= ⑻ )sin )0(cos )0()(t x t p t p ωμωω-= ⑼在初时刻t=0，海森伯表象的算符与薛定谔表象中的算符的形式是相同的，因为前式中：xi px x ∂∂== )0(ˆˆ)0(ˆ c.f.P.Roman.Advanced Quantum Theory:§1.1.p.47-48 Addison-Wesley[8] 多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：/][/ˆ21ˆ,2j ji j i i ii ir r V pm H-+=∑∑< ⑴ 证明：总动量∑=iip pˆˆ 为守恒。
