课时作业58双曲线

选修2-1双曲线的几何性质课时作业work Information Technology Company.2020YEAR课时作业12 双曲线的几何性质时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．在下列各对双曲线中，既有相同的离心率又有相同的渐近线的是( )A.x 23－y 2＝1和x 29－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1和x 2－y 23＝1 C ．y 2－x 23＝1和x 2－y 23＝1D.x 23－y 2＝1和y 23－x 29＝1 【答案】 A【解析】 A 中离心率都为233，渐近线都为y ＝±33x .2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1【答案】 A【解析】 根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解． ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±ba x ，且P (2,1)在渐近线上， ∴2ba ＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝5，故应选A.3．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54x B ．y ＝±45x C ．y ＝±43x D ．y ＝±34x【答案】 D【解析】 ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34，∴它的渐近线方程为y ＝±a b x ＝±34x .4．F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 是双曲线右支上一点，且△F 1PF 2是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为( )A ．1＋ 2B ．2＋ 2C ．3－ 2D ．3＋ 2【答案】 A【解析】 由△PF 1F 2为等腰直角三角形，又|PF 1|≠|PF 2|，故必有|F 1F 2|＝|PF 2|，即2c ＝b 2a ，从而得c 2－2ac －a 2＝0，即e 2－2e －1＝0，解之得e ＝1±2， ∵e >1，∴e ＝1＋ 2.5．(2014·全国新课标Ⅰ理)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3m【答案】 A【解析】 本题考查了双曲线的几何性质和点到直线的距离． 由已知可得c ＝3m ＋3，不妨设焦点坐标为F (3m ＋3，0)，双曲线渐近线方程设为x ＋my ＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3m ＋3|1＋m＝ 3.解决本题要首先将方程化为标准方程后得到c 以及双曲线的渐近线方程，同时要注意条件m >0.6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y29＝1的左、右焦点．若P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A ．2 5 B. 5 C ．210 D.10【答案】 C【解析】 由题意，可知双曲线两焦点的坐标分别为 F 1(－10，0)、F 2(10，0)． 设点P (x ，y )，则PF 1→＝(－10－x ，－y )，PF 2→＝(10－x ，－y )， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴x 2＋y 2－10＝0，即x 2＋y 2＝10， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝2(x 2＋y 2)＋20＝210.二、填空题(每小题10分，共30分)7．(2014·北京理)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为____________；渐近线方程为____________．【答案】 x 23－y 212＝1 y ＝±2x【解析】 本题考查了双曲线的方程和双曲线的性质． 双曲线y 24－x 2＝1的渐近线为y ＝±2x ，故C 的渐近线为y ＝±2x ， 设C ：y 24－x 2＝m ，并将点(2,2)代入C 的方程，解得m ＝－3， 故C 的方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1. ∴渐近线方程为y ＝±2x .8．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝________.【答案】 0【解析】 ∵y ＝x 为渐近线，∴b 2＝2，即双曲线方程为x 2－y 2＝2.当x ＝3时，y 20＝1，∴双曲线的半焦距为2，∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－y 0)·(2－3，－y 0)＝－1＋y 20＝－1＋1＝0.9．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________．【答案】 2【解析】 设椭圆长轴长为2a ，则双曲线实半轴长为2a 4＝a 2，所以离心率的比值e 1e 2＝c a 2c a＝2.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证MF 1⊥MF 2； (3)求△F 1MF 2的面积．【解析】 (1)因为e ＝2，所以双曲线为等轴双曲线，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6，所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)易知F 1(－23，0)，F 2(23，0)，所以kMF 1＝m3＋23，kMF 2＝m 3－23，所以kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23，因为点(3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，所以m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，所以MF 1⊥MF 2.(3)在△F 1MF 2中，底|F 1F 2|＝43，F 1F 2上的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝12|F 1F 2|·|m |＝6.11．(13分)斜率为2的直线l 的双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为4，求直线l 的方程．【分析】 已知直线l 的斜率为2，求直线l 的方程，可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，然后利用弦长为4，求出m 即可．【解析】 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－65m，x1x2＝310(m2＋2)．又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，∴y1－y2＝2(x1－x2)，∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[3625m2－4×310(m2＋2)]．又∵|AB|＝4，∴365m2－6(m2＋2)＝16，即3m2＝70.∴m＝±2103.∴直线l的方程为y＝2x±2103. 12．(14分)如图所示，已知双曲线的方程为x 2－y22＝1，是否存在被点(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【分析】 易知点B (1,1)在双曲线外部，不妨假定符合题意的直线存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左、右两支上，其所在直线的倾斜角也不可能是90°.【解析】 方法一：不存在．理由如下：假设存在被B (1,1)平分的弦，且该弦所在的直线方程为y ＝k (x －1)＋1， 代入双曲线方程x 2－y 22＝1，得(k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0， ∴Δ＝[－2k (k －1)]2－4(k 2－2)(k 2－2k ＋3)>0， 解得k <32.∵B (1,1)是弦的中点，且x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2，∴k (k －1)k 2－2＝1，∴k ＝2>32. ∴假设不成立．∴不存在被点B (1,1)平分的弦．方法二：不存在．理由如下：假设存在被点B (1,1)平分的弦，该弦为MN ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1，①x 22－y 222＝1.②①－②，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－12(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，∴直线MN 的方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1，得2x 2－4x ＋3＝0，∴Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0.∴假设不成立，直线MN 与双曲线不相交． ∴不存在被点B 平分的弦．【总结】 (1)用“设而不求”法解决中点弦问题．过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使已知点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定．要注意检验．(2)处理直线与圆锥曲线有关的相交弦问题，利用韦达定理、点差法的过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验．。

§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于__________)的点的集合叫作双曲线．平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为________________________________________．平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F1、F2叫作________________，两焦点间的距离叫作______________． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y22＝14．双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22 D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1二、填空题7．设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝________________________________________________________________________. 8．已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．9．F 1、F 2是双曲线x 29－y216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________. 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞) D ．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程 知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0)(2)y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙， 只有当2a<|F 1F 2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab<0，所以b a <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线．]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m＋3＋m ＝c 2＝4.∴m＝12.]5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a2－y25－a2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4， 又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 8．－1<k<1解析 因为方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k ＋1)(k －1)<0. 所以－1<k<1. 9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝r 1－r 22＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a>0，b>0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－±152b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|±15－02＋4＋32－±15－02＋4－32|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.11．解 设A 点的坐标为(x ，y)，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC|2R －|AB|2R ＝12·|BC|2R ，又|BC|＝8， 所以|AC|－|AB|＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y212＝1 (x>2)．12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4， ∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P(x ，y)(x≥3)，OP →·FP →＝(x ，y)·(x＋2，y)＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x≥3)．令g(x)＝43x 2＋2x －1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min ＝g(3)＝3＋2 3.∴OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－53.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y25＝1.。

第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用课时对点练1．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点．2．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2答案 A解析 因为在双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2， 所以若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 符合题意．3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B 外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x答案 C解析 设点P (x ，y )，由题意知k 1·k 2＝y x －a ·y x ＋a ＝y 2x 2－a 2＝y 2a 2y 2b 2＝b 2a 2＝3， 所以其渐近线方程为y ＝±3x ，故选C.4．设点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 22＝1(a >0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的面积为26，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x 答案 D解析 设F 1(－c ,0)，A (－c ，y 0)， 则c 2a 2－y 202＝1，∴y 202＝c 2a 2－1＝c 2－a 2a 2＝b 2a 2＝2a2， ∴y 20＝4a 2， ∴|AB |＝2|y 0|＝4a. 又2ABF S △＝26， ∴12·2c · |AB |＝12·2c ·4a ＝4c a ＝26，∴c a ＝62， ∴b a ＝c 2a 2－1＝22. ∴该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 5．(多选)已知双曲线C ：x 23－y 2m＝1过点(3，2)，则下列结论正确的是( ) A ．C 的焦距为4 B ．C 的离心率为 3C ．C 的渐近线方程为y ＝±33x D ．直线2x －3y －1＝0与C 有两个公共点答案 AC解析 由双曲线C ：x 23－y 2m ＝1过点(3，2)，可得m ＝1，则双曲线C 的标准方程为x 23－y 2＝1.所以a ＝3，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2，因为双曲线C 的焦距为2c ＝4，所以选项A 正确； 因为双曲线C 的离心率为c a ＝23＝233，所以选项B 不正确； 因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，所以选项C 正确； 将直线2x －3y －1＝0与双曲线x 23－y 2＝1联立，消去y 可得3x 2－4x ＋4＝0，Δ＝()－42－4×3×4＝－32<0，所以直线2x －3y －1＝0与双曲线C 没有公共点，所以选项D 不正确．6．已知双曲线x 22－y 23＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线l 与双曲线相交于A ，B两点，则满足|AB |＝32的直线l 有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析 双曲线x 22－y 23＝1， 过F 1的直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝2b 2a ＝62＝32， 双曲线两个顶点的距离为22，∴满足|AB |＝32的直线l 有3条，一条是通径所在的直线，另两条与右支相交．7．过点A (3，－1)且被A 点平分的双曲线x 24－y 2＝1的弦所在的直线方程是________． 答案 3x ＋4y －5＝0解析 易知所求直线的斜率存在，设为k ，则该直线的方程为y ＋1＝k (x －3)，代入x 24－y 2＝1， 消去y 得关于x 的一元二次方程(1－4k 2)x 2＋(24k 2＋8k )x －36k 2－24k －8＝0(1－4k 2≠0)，∴－24k 2＋8k 1－4k 2＝6， ∴k ＝－34(满足Δ>0)， ∴所求直线方程为3x ＋4y －5＝0.8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案 2解析 设B 为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝2 2.又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b . 又∵a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2.9．设A ，B 为双曲线x 2－y 22＝1上的两点，线段AB 的中点为M (1,2)．求： (1)直线AB 的方程；(2)△OAB 的面积(O 为坐标原点)．解 (1)显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1， 消去y ，整理得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2(2－k 2≠0)，解得k ＝1. 当k ＝1时，满足Δ>0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)由(1)得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－3，∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×4＋12＝4 2.又点O 到直线AB 的距离d ＝12＝22， ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×42×22＝2. 10．已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A ，B 两点，试问A ，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．解 双曲线方程可化为x 2－y 23＝1， 故a 2＝1，b 2＝3，c 2＝a 2＋b 2＝4，∴c ＝2.∴F 2(2,0)，又直线l 的倾斜角为45°，∴直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1，∴直线l 的方程为y ＝x －2，代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵x 1·x 2＝－72<0， ∴A ，B 两点不位于双曲线的同一支上．∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72， ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－2)2－4×⎝⎛⎭⎫－72＝6.11．已知双曲线E 的中心在原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 答案 B 解析 由已知条件易得直线l 的斜率k ＝－15－0－12－3＝1， 设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 21a 2－y 21b 2＝1，① x 22a 2－y 22b2＝1，② x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，由①②得y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2，从而4b 25a 2＝1， 又因为a 2＋b 2＝c 2＝9，故a 2＝4，b 2＝5，所以E 的方程为x 24－y 25＝1. 12．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12x B ．y ＝±22x C ．y ＝±xD ．y ＝±2x答案 C解析 设双曲线的半焦距为c ，则F (c ,0)，将x ＝c 代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1， 得y ＝±b 2a，不妨取C ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ， 又A 1(－a,0)，A 2(a ,0)，故1A B k ＝－b 2a c ＋a ＝－b 2a (a ＋c )，2A C k ＝b 2a c －a ＝b 2a (c －a ). 因为A 1B ⊥A 2C ，故－b 2a (a ＋c )×⎣⎡⎦⎤b 2a (c －a )＝－1， 即b 4a 2(c 2－a 2)＝1，即b 4a 2b 2＝1， 所以a ＝b ，故渐近线方程是y ＝±b ax ＝±x . 13．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．答案 3215解析 双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9， 解得x ＝175，y ＝－3215，∴B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. ∴S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝2x ，过其左焦点F (－3，0)作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长|AB |＝____.答案 10解析 ∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝2x ， ∴b a ＝2，即b ＝2a ， ∵左焦点F (－3，0)，∴c ＝3，∴c 2＝a 2＋b 2＝3a 2＝3，∴a 2＝1，b 2＝2，∴双曲线方程为x 2－y 22＝1，直线l 的方程为y ＝2(x ＋3)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x ＋3)，x 2－y 22＝1，消去y 可得x 2＋43x ＋7＝0， ∴x 1＋x 2＝－43，x 1x 2＝7，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋4×48－28＝5·20＝10.15．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点和右焦点，过F 2的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1＝2r 2，则直线l 的斜率为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案 D解析 设△AF 1F 2的内切圆圆心为I 1，△BF 1F 2的内切圆圆心为I 2，边|AF 1|，|AF 2|，|F 1F 2|上的切点分别为M ，N ，E ，易知I 1，E 的横坐标相等，则|AM |＝|AN |，|F 1M |＝|F 1E |，|F 2N |＝|F 2E |，由|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即|AM |＋|MF 1|－(|AN |＋|NF 2|)＝2a ，得|MF 1|－|NF 2|＝2a ，即|F 1E |－|F 2E |＝2a ， 记I 1的横坐标为x 0，则E (x 0，0)，于是x 0＋c －(c －x 0)＝2a ，得x 0＝a ，同理圆心I 2的横坐标也为a ，则有I 1I 2⊥x 轴，设直线l 的倾斜角为θ，则∠OF 2I 2＝θ2，∠I 1F 2O ＝90°－θ2， 则tan θ2＝r 2|F 2E |，tan ∠I 1F 2O ＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－θ2＝1tan θ2＝r 1|F 2E |， ∵r 1＝2r 2，∴tan 2θ2＝12， 即tan θ2＝22.∴tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝2 2.16．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解 (1)由题意知a ＝2 3.∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0. ∴|bc |b 2＋12＝ 3. 又c 2＝a 2＋b 2＝12＋b 2， ∴b 2＝3. ∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0.则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎨⎧ x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. 由OM →＋ON →＝tOD →， 得(163，12)＝(43t ,3t )．∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。

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课时跟踪检测（九）双曲线的简单几何性质层级一学业水平达标1．下列双曲线中离心率为错误!的是（）A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1C．错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1解析：选B 由e＝错误!得e2＝错误!,∴错误!＝错误!，则错误!＝错误!,∴错误!＝错误!,即a2＝2b2．因此可知B正确．2．中心在原点，实轴在x轴上,一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ）A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4解析:选A 令y＝0得，x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为（－4，0），∴c＝4,a2＝错误!c2＝错误!×16＝8，故选A．3．双曲线错误!＋错误!＝1的离心率e∈(1，2），则k的取值范围是（)A．（－10，0）B．（－12，0）C．(－3,0) D．（－60,－12)解析：选B 由题意知k〈0，∴a2＝4，b2＝－k．∴e2＝错误!＝错误!＝1－错误!．又e∈（1,2），∴1〈1－错误!<4，∴－12〈k<0．4．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（－12，－15),则E的方程为( )A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1C．错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1解析:选B 设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1(a〉0，b>0），由题意知c＝3,a2＋b2＝9，设A(x1，y1），B(x2，y2)则有错误!两式作差得y1－y2x 1－x2＝错误!＝错误!＝错误!，又AB的斜率是错误!＝1,所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是错误!－错误!＝1．5．(2016·浙江高考)已知椭圆C1：错误!＋y2＝1(m＞1）与双曲线C2:错误!－y2＝1(n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1,C2的离心率，则（）A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1解析：选A C1的焦点为(±错误!，0），C2的焦点为（±错误!，0），∵C1与C2的焦点重合，∴错误!＝错误!，∴m2＝n2＋2，∴m2＞n2.∵m＞1，n＞0，∴m＞n。

3.2 双曲线的简单性质课时目标 了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质．1．双曲线的简单几何性质2.(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的________；(2)双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的两个顶点为A 1(－a,0)、A 2(a ，0)．设B 1(0，－b)、B 2(0，b)，线段A 1A 2叫做双曲线的________，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的半实轴长，线段B 1B 2叫做双曲线的________，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的半虚轴长．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x.(3)当双曲线的离心率e 由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得________，原因是b a ＝e 2－1，当e 增大时，b a也增大，渐近线的斜率的绝对值________．一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是( ) A .x 22－y 24＝1 B .x 24－y22＝1 C .x 24－y 26＝1 D .x 24－y210＝1 2．双曲线x 225－y24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52x C ．y ＝±425x D ．y ＝±254x3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．2x 2－4y 2＝2C ．2y 2－4x 2＝1D ．2y 2－4x 2＝34．设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x 5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A .43B .53C ．2D .73二、填空题7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e ＝______.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________． 三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0； (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋1213．F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，又离心率为2，求双曲线的方程．3．2 双曲线的简单性质知识梳理作业设计1．B [∵e＝62，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，故选B .]2．A3．C [由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝⎛⎭⎪⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y 2－4x 2＝1.]4．C [由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y＝±22x.]5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．] 6．B [||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c－a ，即2a≥3c－3a ，即5a≥3c，则c a ≤53.] 7.133解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3.又a>b ，∴a＝3，b ＝2.∴c＝13，从而e ＝c a ＝133.8.x 29－y216＝1(x>3) 解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y216＝1(x>3)．9.x 294－y24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x29－y216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， ∴λ＝(－3)29－(23)216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y24＝1.10．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y2b2＝1，由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1542a2－32b 2＝1，b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上．因为PF 1⊥PF 2，且|OP|＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP|＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP|·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y224＝1.11．(1)解 ∵e＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 易知F 1(－23，0)、F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m23，∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1， ∴MF 1⊥MF 2.(3)解 △F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， F 1F 2上的高h ＝|m|＝3， ∴S△F 1MF 2＝6. 12.D [设双曲线方程为x 2a2－y 2b2＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－bc )＝－1，整理得b 2＝ac.∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D .]13．解 设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1.∵|F 1F 2|＝2c ，而e ＝ca＝2.由双曲线定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c. 由余弦定理得(2c)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|(1－cos 60°)．∴4c 2＝c 2＋|PF 1||PF 2|.又∵S△PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝123，∴|PF 1||PF 2|＝48.∴3c 2＝48，c 2＝16.∴a 2＝4，b 2＝12.∴所求双曲线方程为x 24－y212＝1.。

2020年高中数学 课时作业本双曲线的标准方程1.双曲线-y 2=1的焦点到渐近线的距离为( )x2mA ．B ．C ．1D ．23122.已知双曲线C ：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y =±x ，则双曲线C 的离心率为( )y2a2x2b212A ．B ．C ．D ．5256263.已知双曲线C ：-=1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为x2a2y2b2( )A ．-=1B ．-=1C ．-=1D ．-=1x220y25x25y220x280y220x220y2804.已知F 1，F 2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋x2a2y2b2|PF 2|=6a ，且△PF 1F 2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为( )π6A ．y=±2xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x 122225.双曲线－=1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________.x225y2246.已知椭圆＋=1与双曲线－=1有相同的焦点，则实数a=________.x24y2a2x2a y227.已知双曲线C ：-=1(a>0，b>0)的离心率e =2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，x2a2y2b2则双曲线C 的方程为________．8.已知双曲线－=1(a ＞0)和抛物线y 2=8x 有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．x2a2y229.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆＋=1的长轴端点为焦点，且经过点P(5，)；x225y2994(2)过点P 1(3，－4 )，P 2(，5).29410.如图，在△ABC 中，已知|AB|=4 ，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C=2sin B ，建立适当的2坐标系，求顶点C 的轨迹方程.答案解析1.答案为：C ；解析：焦点F(，0)到渐近线x±y =0的距离d ==1，故选C ．m ＋1m |m ＋1±0|1＋(m )22.答案为：B解析：由题意可得=，则离心率e ===，故选B ．a b 12c a 1＋b a253.答案为：A ；解析：∵-=1的焦距为10，∴c =5=．①x2a2y2b2a2＋b2又双曲线渐近线方程为y =±x ，且P(2，1)在渐近线上，∴=1，即a =2b ．②b a 2b a由①②解得a =2，b =，则C 的方程为-=1．故选A ．55x220y254.答案为：D ；解析：不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=2a ，又|PF 1|＋|PF 2|=6a ，所以|PF 1|=4a ，|PF 2|=2a ．又因为Error!所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2=．由余弦定理，可得=，c 2=3a 2，b 2=c 2-a 2=2a 2⇒=，π6(4a )2＋(2c )2－(2a )22·4a·2c 32b a2所以双曲线的渐近线方程为y=±x ，故选D ．25.答案为：21解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1=11，根据双曲线的定义知|PF 1－PF 2|=2a=10，∴PF 2=1或PF 2=21，而F 1F 2=14，∴当PF 2=1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2=21.6.答案为：1解析：由双曲线－=1可知a>0，且焦点在x 轴上，x2a y22根据题意知4－a 2=a ＋2，即a 2＋a －2=0，解得a=1或a=－2(舍去).故实数a=1.7.答案为：x 2-=1；y23解析：由题意得Error!解得Error!则b =，故所求方程为x 2-=1．3y238.答案为：；2解析：易知抛物线y 2=8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线－=1的焦点为(2,0)，x2a2y22则a 2＋2=22，即a=，所以双曲线的离心率e===.2c a 2229.解：(1)因为椭圆＋=1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，x225y29所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0).由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2|===8，| 5＋5 2＋ 94－0 2－ 5－5 2＋ 94－0 2|| 414 2－ 94 2|即2a=8，则a=4.又c=5，所以b 2=c 2－a 2=9.故所求双曲线的标准方程为－=1.x216y29(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2=1(AB<0)，分别将点P 1(3，－4 )，P 2(，5)代入，294得Error!解得Error!故所求双曲线的标准方程为－=1.y216x2910.解：以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示).则A(－2 ，0)，B(2 ，0).设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，22由正弦定理得sin A=，sin B=，sin C=(R 为△ABC 外接圆的半径).a 2R b 2R c 2R∵2sin A ＋sin C=2sin B ，∴2a ＋c=2b ，即b －a=.c 2从而有|CA|－|CB|=|AB|=2 <|AB|.122由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点).∵a=，c=2 ，∴b 2=6.22∴顶点C 的轨迹方程为－=1(x>).x22y262。

2.2.1双曲线及其标准方程课时作业高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册（含答案）2.1 双曲线及其标准方程1.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()A.22,0B.62,0C.52,0D.(3,0)2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为25,则该双曲线的方程为()A.x24-y2=1B.x23-y22=1C.x2-y24=1D.x22-y23=13.已知双曲线x2λ-3+y22-λ=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则λ等于()A.32B.5C.7D.124.已知双曲线x24-y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为()A.3或7B.6或14C.3D.75.如图,已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为()A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m6.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在()A.一个椭圆上B.一个圆上C.一条抛物线上D.双曲线的一支上7.以椭圆x23+y24=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是.8.已知点F1,F2分别是双曲线x29-y216=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,则△F1PF2的面积为.9.已知与双曲线x216-y29=1共焦点的双曲线过点P-52,-6,求该双曲线的标准方程.能力达标10.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是()A.x216-y29=1B.x216-y29=1(x≥4)C.x29-y216=1D.x29-y216=1(x≥3)12.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是()A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线13.若双曲线x2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2n+2,则△PF1F2的面积为()A.1B.12C.2D.414.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)过点15,-63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=()A.3B.6C.9D.1215.若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为.16.焦点在x轴上的双曲线经过点(42,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为.17.已知双曲线E:x216-y24=1的左、右焦点分别为F1,F2.(1)若点M在双曲线上,且MF1·MF2=0,求点M到x轴的距离;(2)若双曲线C与双曲线E有相同的焦点,且过点(32,2),求双曲线C 的方程.18.已知△OFQ的面积为26,且OF·FQ=m,其中O为坐标原点.(1)设6(2)设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,|OF|=c,m=64-1c2,当|OQ|取得最小值时,求此双曲线的标准方程.1.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()A.22,0B.62,0C.52,0D.(3,0)答案B解析将双曲线方程化为标准方程为x2-y212=1,∴a2=1,b2=12,∴c2=a2+b2=32,∴c=62,故右焦点坐标为62,0.2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为25,则该双曲线的方程为()A.x24-y2=1B.x23-y22=1C.x2-y24=1D.x22-y23=1答案C解析由题意得|PF1|-|PF2|=2a=b,c2=a2+b2,2c=25,解得a2=1,b2=4,则该双曲线的方程为x2-y24=1.3.已知双曲线x2λ-3+y22-λ=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则λ等于()A.32B.5C.7D.12答案D解析根据题意可知,双曲线的标准方程为y22-λ-x23-λ=1.由其焦距为4,得c=2,则有c2=2-λ+3-λ=4,解得λ=12.4.已知双曲线x24-y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为()A.3或7B.6或14C.3D.7答案A解析连接ON,ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=12|PF2|,∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或|PF2|=6,∴|ON|=7或|ON|=3.5.如图,已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为()A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m答案B解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.6.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在()A.一个椭圆上B.一个圆上C.一条抛物线上D.双曲线的一支上答案D解析由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r,∵圆P与圆O和圆M都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,∴点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.7.以椭圆x23+y24=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是.答案y2-x23=1 解析由题意知,双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1,则a=1,c=2,所以b2=3,所以双曲线的标准方程为y2-x23=1.8.已知点F1,F2分别是双曲线x29-y216=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,则△F1PF2的面积为.答案16 解析因为P是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=100-1002|PF1|·|PF2|=0,所以∠F1PF2=90°,所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|=12×32=16.9.已知与双曲线x216-y29=1共焦点的双曲线过点P-52,-6,求该双曲线的标准方程.解已知双曲线x216-y29=1,则c2=16+9=25,∴c=5.设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).依题意知b2=25-a2,故所求双曲线方程可写为x2a2-y225-a2=1.∵点P-52,-6在所求双曲线上,∴代入有(-52)2a2-(-6)225-a2=1,化简得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=1254.当a2=1254时,b2=25-a2=25-1254=-254<0,不合题意,舍去,∴a2=1,b2=24,∴所求双曲线的标准方程为x2-y224=1.能力达标10.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析因为mn<0,所以m,n均不为0且异号,方程mx2+ny2=1,可化为x21m+y21n=1,因为1m与1n异号,所以方程x21m+y21n=1表示双曲线,故“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件;反之,若mx2+ny2=1表示双曲线,则其方程可化为x21m+y21n=1,可知1m与1n异号,则必有mn<0,故“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件.综上可得,“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件.11.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M 满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是()A.x216-y29=1B.x216-y29=1(x≥4)C.x29-y216=1D.x29-y216=1(x≥3)答案D解析由|MA|-|MB|=6,且6A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线答案A解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).13.若双曲线x2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2n+2,则△PF1F2的面积为()A.1B.12C.2D.4答案A解析设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2n,已知|PF1|+|PF2|=2n+2,解得|PF1|=n+2+n,|PF2|=n+2-n,|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2n+1,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,∴S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=12×2=1.14.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)过点15,-63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=()A.3B.6C.9D.12答案C解析由左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)过点15,-63,可得15a2-69=1,解得a=3,b=1,c=10,a+c>3,点P在双曲线C 上,若|PF1|=3,可得P在双曲线的左支上,则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C.15.若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为.答案(2,+∞)解析由曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,可得x21m-y21m-2=1,即有m>0,且m-2>0,解得m>2.16.焦点在x轴上的双曲线经过点(42,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为.答案x216-y29=1解析设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),则由QF1⊥QF2,得kQF1·kQF2=-1,∴5c·5-c=-1,∴c=5,设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),∵双曲线过点(42,-3),∴32a2-9b2=1.又c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9,∴双曲线的标准方程为x216-y29=1.17.已知双曲线E:x216-y24=1的左、右焦点分别为F1,F2.(1)若点M在双曲线上,且MF1·MF2=0,求点M到x轴的距离;(2)若双曲线C与双曲线E有相同的焦点,且过点(32,2),求双曲线C 的方程.解(1)如图所示,不妨设点M在双曲线E的右支上,点M到x轴的距离为h,MF1·MF2=0,则MF1⊥MF2,设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线定义,知m-n=2a=8,①又m2+n2=(2c)2=80,②由①②得mn=8,∴12mn=4=12|F1F2|·h,∴h=255.(2)设所求双曲线C的方程为x216-λ-y24+λ=1(-4(2)设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,|OF|=c,m=64-1c2,当|OQ|取得最小值时,求此双曲线的标准方程.解(1)因为12|OF||FQ|sin(π-θ)=26,|OF||FQ|cosθ=m,所以tanθ=46m.又6θ<4,即tanθ的取值范围为(1,4).(2)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),Q(x1,y1),则FQ=(x1-c,y1),所以S△OFQ=12|OF|·|y1|=26,则y1=±46c.又OF·FQ=m,即(c,0)·(x1-c,y1)=64-1c2,解得x1=64c,所以|OQ|=x12+y12=38c2+96c2≥12=23,当且仅当c=4时,取等号,此时|OQ|最小,这时Q的坐标为(6,6)或(6,-6).因为6a2-6b2=1,a2+b2=16,所以a2=4,b2=12.于是所求双曲线的标准方程为x24-y212=1.。

课时作业(二十一)双曲线的标准方程一、选择题1．已知F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3或5时，点P 的轨迹分别是()A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线2．下列各选项中，与x212−y224＝1共焦点的双曲线是()A．x212+y214＝1 B．y224−x212＝1C．x210−y226＝1 D．x210+y226＝13．已知F是双曲线C：x2－y23＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF的面积为()A．13B．12C．23D．324．若方程x2m−1+y2m2−4＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是()A．(1，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－2，2)二、填空题5．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x−3)2＋y2＝1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是________．6．已知双曲线x225−y29＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________.7．已知双曲线x2m −y23m＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y2n−x2m＝1的焦距等于4，则n＝________．三、解答题8．已知F为双曲线C：x29−y216＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，求△PQF的周长．9.已知双曲线x 216−y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且 MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，求点M 到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(3√2，2)，求双曲线C 的方程． [尖子生题库]10．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．。

解析：由题意，可得c ＝3.又由e ＝c a ＝32，得a ＝2.又b 2＝32－22＝5，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选C.答案：C4．[2020·湖北六校联考]已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 22＝1B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 28＝1 D ．x 2－y22＝1解析：依题意得2b ＝22，tan 60°＝2cb 2a＝3，于是b ＝2，2c ＝3×2a ，∴ac ＝3，a a 2＋2＝3，得a ＝1，因此该双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1，故选D.答案：D 5．[2019·天津卷]已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 解析：由题意可知抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，又知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵|AB |＝4|OF |＝4，不妨设A 在B 上方，如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B ，∵F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，∴|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，∴|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a ，整理，得b ＝2a ，∴ba ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.答案：A13．[2019·全国卷Ⅱ]设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5解析：如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24 ①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a2c ，所以|PQ |＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2.由|PQ |＝|OF |，得2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A. 答案：A。