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课时作业15 椭圆、双曲线、抛物线[A·基础达标]1．若双曲线y 2a 2－x 29＝1(a >0)的一条渐近线与直线y ＝13x 垂直，则此双曲线的实轴长为( )A ．2B ．4C ．18D ．362．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (x 0,1)到焦点的距离为1，则该抛物线的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，0B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(1,0) D ．(0,1)3．[2020·全国卷Ⅰ]设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A.72 B ．3 C.52D ．2 4．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A.13B.12C.23D ．3 5．设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，且ON ⊥MF 2,3|ON |＝2|MF 2|，则C 的离心率为( )A ．6B ．5C ．4D ．36．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则该双曲线的标准方程为________．7．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝______，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线C虚轴的一个端点，若线段AF 2与双曲线右支交于点B ，且|AF 1|:|BF 1|:|BF 2|＝3:4:1，则双曲线C 的离心率为________．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的中心是坐标原点O ，左、右焦点分别为F 1，F 2，设P 是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝12，椭圆C 的离心率为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 左焦点且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．10．[2020·全国卷Ⅱ]已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点．若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程．[B·素养提升]1．如图，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．若点P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．抛物线D ．双曲线2．[2020·某某九校第二次联考]已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，使得点F 2到直线PF 1的距离为a ，则该双曲线的离心率的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，52B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞C ．(1，5)D ．(5，＋∞)3．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 上存在一点E (2，t )到焦点F 的距离等于3.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知点P 在抛物线C 上且异于原点，点Q 为直线x ＝－1上的点，且FP ⊥FQ ，求直线PQ 与抛物线C 的交点个数，并说明理由．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过点A (－2，－1)，且a ＝2b .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点B (－4,0)的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝－4于点P ，Q ，求|PB ||BQ |的值．课时作业15 椭圆、双曲线、抛物线[A·基础达标] 1．解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±a 3x ，由题意可得－a 3×13＝－1，得a ＝9，∴2a ＝18.故选C.答案：C2．解析：由题意，知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2.将M (x 0,1)代入y 2＝2px (p >0)中，得x 0＝－12p.因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (x 0,1)到焦点的距离为1，所以x 0＋p 2＝12p ＋p2＝1.解得p ＝1.所以该抛物线的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫12，0.故选A. 答案：A3．解析：解法一 由题易知a ＝1，b ＝3，∴c ＝2， 又∵|OP |＝2，∴△PF 1F 2为直角三角形，易知||PF 1|－|PF 2||＝2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16－42＝6，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝3，故选B.解法二 不妨设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝4，x 20－y 203＝1，解得y 0＝32，又|F 1F 2|＝4，∴S △PF 1F 2＝12×4×32＝3，故选B.答案：B 4.解析：如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a 2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A.答案：A5．解析：连接MF 1，(图略)由双曲线的定义得|MF 1|－|MF 2|＝2a ，因为N 为MF 2的中点，O 为F 1F 2的中点，所以ON ∥MF 1，所以|ON |＝12|MF 1|，因为3|ON |＝2|MF 2|，所以|MF 1|＝8a ，|MF 2|＝6a ，因为ON ⊥MF 2，所以MF 1⊥MF 2，在Rt △MF 1F 2中，由勾股定理得(8a )2＋(6a )2＝(2c )2，即5a ＝c ，因为e ＝ca，所以e ＝5，故选B.答案：B6．解析：依题意得2b ＝22，tan 60°＝2c b 2a＝3，于是b ＝2，2c ＝3×2a ，∴ac ＝3，a a 2＋2＝3，得a ＝1，因此该双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1.答案：x 2－y22＝17．解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线方程分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p ，三角形的高为p2，因此12×2p ×p2＝2，解得p ＝2.则抛物线焦点坐标为(1,0)，且到直线y ＝2x 和y ＝－2x 的距离相等，均为|2－0|5＝255.答案：2 2558．解析：由双曲线的定义可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，因为|BF 1||BF 2|＝41，所以|BF 1|＝4|BF 2|，所以3|BF 2|＝2a .又|AF 1|＝|AF 2|，|AF 1||BF 2|＝31，所以|AF 2|＝3|BF 2|，所以|AF 2|＝2a .不妨设A (0，b )，因为F 2(c,0)，所以|AF 2|＝b 2＋c 2，所以2a ＝b 2＋c 2，又a 2＋b 2＝c 2，所以5a 2＝2c 2，所以c 2a 2＝52，所以e ＝c a ＝102，即双曲线C 的离心率为102. 答案：1029．解析：(1)由题意知，离心率e ＝c a ＝32，|PF 2|＝b 2a ＝12，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C的标准方程为x24＋y 2＝1.(2)由条件可知F 1(－3，0)，直线l ：y ＝x ＋3，联立直线l 和椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 24＋y 2＝1，，消去y 得5x 2＋83x ＋8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－835，x 1·x 2＝85，所以|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝425， 所以S △AOB ＝12·|y 1－y 2|·|OF 1|＝265.10．解析：(1)由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a 2－b 2.不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2a；C ，D 的纵坐标分别为 2c ，－2c ，故|AB |＝2b2a，|CD |＝4c .由|CD |＝43|AB |得4c ＝8b 23a ，即3×c a ＝2－2⎝⎛⎭⎫c a 2.解得c a ＝－2(舍去)或c a ＝12. 所以C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c2＝1.设M (x 0，y 0)，则x 204c 2＋y 203c 2＝1，y 20＝4cx 0， 故x 204c 2＋4x 03c＝1.① 由于C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF |＝x 0＋c ，而|MF |＝5，故x 0＝5－c ，代入①得(5－c )24c 2＋4(5－c )3c＝1，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1(舍去)或c ＝3.所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1，C 2的标准方程为y 2＝12x .[B·素养提升]1.解析：如图，连接PC 1，过点P 作PH ⊥BC 于点H .∵C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，PC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴PC 1⊥C 1D 1，∴|PC 1|＝|PH |，故点P 的轨迹是以C 1为焦点，BC 所在直线为准线的抛物线，故选C.答案：C2．解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±bax .设直线PF 1的方程为y ＝k (x ＋c )，因为点P 在双曲线的右支上，所以|k |<b a ，F 2(c,0)到直线PF 1的距离d ＝2|kc |k 2＋1＝a ，解得k 2＝a 24c 2－a 2＝a 23c 2＋b 2，根据k 2<b 2a 2，得a 4<3b 2c 2＋b 2，所以a 4－b 4＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)c 2<3b 2c 2，则a 2－b 2<3b 2.即b 2a 2>14，所以e 2＝1＋b 2a 2>54，则e >52，故选B. 答案：B3．解析：(1)抛物线C 的准线方程为x ＝－p2，所以点E (2，t )到焦点F 的距离为2＋p2＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)直线PQ 与抛物线C 只有一个交点． 理由如下：设点P ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，点Q (－1，m ) 由(1)得焦点F (1,0)，。
(1)椭圆 ＋ ＝1 的左焦点为 F ，直线 x ＝m 与椭圆相交于点 M ， ，当△NFMN 的年份卷别卷Ⅰ2018卷Ⅱ卷Ⅲ第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线考查内容及考题位置直线与抛物线的位置关系·T 8 双曲线的几 何性质·T 11双曲线的几何性质·T 5 椭圆的几何性 质·T 12双曲线的几何性质·T 11 直线与抛物线的 位置关系·T 16直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基命题分析1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第 4～11题或 15～16 题的位20172016卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ本不等式的应用·T 10 双曲线的几何性质·T 15 双曲线的几何性质·T 9双曲线的渐近线及标准方程·T 5 双曲线的几何性质与标准方程·T 5 抛物线与圆的综合问题·T 10 双曲线的定义、离心率问题·T 11直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率·T 11置，着重考查圆锥曲线的标准方程与几何性质，难度中等．2．圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第 20 题的位置，一般难度较大.圆锥曲线的定义与标准方程(综合型)圆锥曲线的定义、标准方程名称定义标准方程椭圆|PF 1|＋|PF 2| ＝2a(2a >|F 1F 2|)x 2 y 2a 2＋b 2＝1(a >b >0)双曲线||PF 1|－|PF 2|| ＝2a(2a <|F 1F 2|)x 2 y 2a 2－b 2＝1(a >0，b >0)抛物线|PF|＝|PM|点 F 不在直线 l上，PM ⊥l 于 My 2＝2p x(p >0)[典型例题]x 2 y 25 4周长最大时，△FMN 的面积是()1A.5555此时|MN|＝2b＝85，又c＝a5a2－b2＝5－4＝1，所以此时×2×又|PF|＋|PF|＝6a，解得|PF|＝4a，|PF|＝2a，又|F F|＝2c，则|PF|＝2a最小，所以△在PF F中，由余弦定理，可得cos30°＝＝＝3，2|PF1||F1F2|③过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于长轴的弦)最短，通径长为.585C.65B.45D.x2y2(2)设F1，F2分别是双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6△a，且PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是()A.2x±y＝0C．x±2y＝0B．x±2y＝0D．2x±y＝0【解析】(1)如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．2△FMN的面积S＝185＝85255.故选C.(2)不妨设P为双曲线C右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a.1212122∠PF1F2＝30°.|PF1|2＋|F1F2|2－|PF2|216a2＋4c2－4a2 122×4a×2c2整理得c2＋3a2＝23ac，解得c＝3a，所以b＝c2－a2＝2a.所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.故选A.【答案】(1)C(2)A(1)椭圆的焦点三角形的几个性质x2y2①已知椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，左、右焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2θ中∠F1PF2＝θ，则△S F1PF2＝b2tan2.x2y2②已知椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，左、右焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2，若∠F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点．2b2a2①设∠F 1PF 2＝θ，则 △S F 1PF 2＝ θ.特别地，当∠F 1PF 2＝90°时，有 △S F 1PF 2＝b .2 a 2－ A. － ＝1 B. －y 2＝1C. － ＝1D ．x 2－ ＝11＋b ＝ 5，即 b2＝4a 2，解得 a 2＝1，b 2＝4，所以双 曲线 C 的方程为 x 2－y ＝1，故选 D.由已知条件|BE|＝2|BF|得，|BE|＝2|BB|，所以∠BEB ＝30°.又|AA |＝|AF|＝3，(2)双曲线的焦点三角形的几个性质x 2 y 2若双曲线方程为a 2－b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2 分别为它的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点(除实轴顶点外)，则双曲线的焦点三角形有如下性质：b 2 2tan②双曲线的焦点三角形的内切圆与 F 1F 2 相切于实轴顶点．当点 P 在双曲线左支上时，切点为左顶点，当点 P 在双曲线右支上时，切点为右顶点．[对点训练]x 2 y 21．(2018· 辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C ： b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为 5，从双曲线 C 的右焦点 F 引渐近线的垂线，垂足为 A ，若△AFO 的面积为 1，则双曲线 C 的方程为()x 2 y 22 8x 2 y 2 4 16x 2 4y2 4解析：选 D.因为双曲线 C 的右焦点 F 到渐近线的距离|F A|＝b ，|OA|＝a ，所以 ab ＝2，又双曲线 C 的离心率为 5，所以2a 2242．(2018· 福州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ：y 2＝2p x(p >0)的焦点为 F ，准线为 l.过 F 的直线交 C 于 A ，B 两点，交 l 于点 E ，直线 AO 交 l 于点 D .若|BE|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|BD|＝()A ．1C ．3 或 9解析：选 D.分别过点 A ，B 作 AA 1，BB 1 垂直于 l ，且垂足分别为 A ，B ， 1 1依题意，易证 BD ∥x 轴，所以 D 与 B 重合．1 111B ．3D ．1 或 933|BD|＋3|BD|－3(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝⎛b⎫2.(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝1＋⎝a⎭.焦点F，与椭圆交于A、B两点，且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为()2 B.2A.3的直线经过椭圆如图1，|BD|＝|BE|，|AA1||AE|所以|BD|＝2|BD|，3解得|BD|＝1，如图2，|BD|＝|BE|，|AA1||AE|所以|BD|＝2|BD|，3解得|BD|＝9.综上，|BD|为1或9，故选D.圆锥曲线的几何性质(综合型)椭圆、双曲线中，a，b，c及e之间的关系caca1－⎝a⎭⎛b⎫2x2y2b双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±a x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．[典型例题]πx2y2(1)(2018·石家庄质量检测(二))倾斜角为4a2＋b2＝1(a>b>0)的右→→342 D.3C.2(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，N2⎧⎪x2＋y2＝1【解析】(1)由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得⎨，所以⎧⎪y＋y＝－2b cy)，B(x，y)，则⎨a＋b22，又AF＝2FB，所以(c－x，－y)＝2(x－c，y)，所以⎪⎩y y＝－＋bb1221122a22⎧⎪－y＝－2b c⎨a＋b22，所以1＝4c，所以e＝2，故选B.－y＝2y，可得2a＋b⎪⎩－2y＝＋b－b123a直线与直线y＝3x交于点M△，由OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO ⎧⎪y＝－3（x－2），⎧x＝，由⎨得⎨⎩y＝23，⎛3⎫2＋⎛3⎫2＝3，所以|MN|＝3|OM|＝3，故选B.3x23过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()3A.C．23B．3D．4a2b2⎪⎩y＝x－c(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A(x1，212→→4122224222222(2)因为双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±3x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的333＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－3(x－2)，323⎪⎩y＝3x，所以M⎛3，3⎫，所以|OM|＝⎝22⎭⎝2⎭⎝2⎭【答案】(1)B(2)B(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关5系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．②用法：(i)可得或的值．2．(2018·广州综合测试(一))如图，在梯形ABCD中，已知|AB|＝2|CD|，AE＝AC，双解析：选A.取AB的中点O为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，建立直角坐标系(图略)，设双曲线的方程为x－y＝1(a>0，b>0)，|AB|＝2|CD|＝2c，E(x，y)，则A(－c，0)，⎛c，y⎫，D⎛－c，y⎫，由4－y2C＝1，得y＝b⎛cb2－3a2，故C⎝2，2a b2－3a2⎫⎭.ca(2)双曲线的渐近线的求法及用法①求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．b aa b(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[对点训练]x2y21．(2018·福州四校联考)过双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xC．y＝±3xB．y＝±2xD．y＝±2x解析：选A.由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为4b2－c2＝3b2－a2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以b＝a3b2－a2a2＋b2，解得a＝b，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.→2→5曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为()A.7C．3B．22D.10→22a2b2E Ec2B(c，0)，C⎝2C⎭⎝2C⎭a2b2C2ab6因为AE＝(x＋c，y)，2AC＝2⎛，b2－3a2⎫⎭＝⎛⎝，b2－3a2⎫⎭，AE＝AC，⎧x＝－2c，所以⎨⎩yE＝5a b2－3a.（b2－3a2）又E在双曲线上，故－＝1，化简整理得4c2－b2＋3a2＝25a2，即c23234＝2c，因为△PF F为等腰三角形，且∠F F P＝120°，所以|PF|＝2c＋a6→→3c bE E55⎝22a3c b55a→2→5E524c2b22525a2a2b2＝7a2，故c＝7.选A.ax2y23．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P在过A且斜率为C的离心率为()2A.1C.6△3的直线上，PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则1B.1D.解析：选D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|12122|F1F2|＝2c，所以|OF2|＝c，所以点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，3c)．因为点P在过点A，且斜率为3的直线上，所以3c＝3，解得c＝1，6a4所以e＝1，故选D.4直线与圆锥曲线的位置关系(综合型)求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．[典型例题]命题角度一位置关系的判断及应用7两曲线有公共点⎝ ， 【解】 (1)将⎝ ，将⎛2，2 6⎫代入 x ＋y＝1，得＋ 8＝1，解得 b 2＝3(增根舍去)，则 a 24所以椭圆 C 的方程为x ＋y＝1. 为 y ＝kx ＋b ，显然 k ≠0，b ≠0，A(x ，y )，B(x ，y )． 所以 x ＋x＝－，x 1x 2＝ 2，k 2所以 y y ＝(kx ＋b )(kx ＋b )＝k 2x x ＋kb (x ＋x )＋b2＝4b ， 由 OA ⊥OB ，得OA OB ＝0，即 x x ＋y y ＝0，即b ＋4b ＝0，整理得 b ＋4k ＝0.① → → x ＋y 2＝1 ⎧⎪k ＝－1， ⎧⎪k ＝1， 则⎨ 或⎨⎩ ⎩x 2 y 2已知抛物线 C 1：y 2＝2px(p >0)的焦点为椭圆 C 2：a 2＋b 2＝1(a >b >0)的右焦点，且⎛2 26⎫33 ⎭.(1)求抛物线 C 1 与椭圆 C 2 的方程；(2)若椭圆 C 2 的一条切线 l 与抛物线 C 1 交于 A ，B 两点，O 为坐标原点，且 OA ⊥OB ， 求直线 l 的方程．⎛2 2 6⎫代入抛物线方程，得⎛2 6⎫2＝2 3 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ 3×2p ，解得 2p ＝4，则抛物线 C 1的方程为 y 2＝4x ，则焦点为 F(1，0)，即 c ＝1，所以 a 2＝b 2＋1.22⎝33 ⎭ b 2＋1 b 29（b 2＋1） 3b 2＝4，222 4 3(2)当直线 l 的斜率不存在时，不符合题意，所以直线 l 的斜率存在．设直线 AB 的方程1 122⎧⎪y ＝kx ＋b ， 由⎨ 整理得 k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0，⎪⎩y 2＝4x2kb －4b 21 2 k1 2 1 2 1 2 1 2 k21 2 1 2k 2 k⎧⎪y ＝kx ＋b ，由⎨ 2 整理得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，⎪⎩ 4 3Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝0，即 b 2＝3＋4k 2.②由①②解得 k ＝±1， 222⎪b ＝2⎪b ＝－2，8x 轴、y 轴上滑动，CP ＝ 2PD.记点 P 的轨迹为曲线 E.(2)经过点(0，1)作直线与曲线 E 相交于 A ，B 两点，OM ＝OA ＋OB ，当点 M 在曲线 E由CP ＝ 2PD ，得(x －m ，y)＝ 2(－x ，n －y)．得⎨⎩ n ＝由|CD |＝ 2＋1，得 m 2＋n 2＝( 2＋1)2，所以( 2＋1)2x 2＋ y 2＝( 2＋1)2，整理，得曲线 E 的方程为 x 2＋y＝1.由OM ＝OA ＋OB ， 知点 M 坐标为(x ＋x ，y ＋y )．所以直线 l 的方程为 x ＋2y －4＝0 或 x －2y －4＝0.直线与圆锥曲线相切，如果直线不与抛物线的对称轴平行、不与双曲线的渐近线平行，那么当直线与圆锥曲线只有一个公共点时，只要把直线方程、圆锥曲线方程联立消元得到关于一个变量的一元二次方程，使其判别式等于零即可．命题角度二 弦长问题(2018· 唐山模拟)在直角坐标系 xOy 中，长为 2＋1 的线段的两端点 C ，D 分别在→ →(1)求曲线 E 的方程；→ → →上时，求四边形 AOBM 的面积．【解】 (1)设 C(m ，0)，D(0，n )，P(x ，y)．→ →⎧⎪x －m ＝－ 2x ， 所以⎨⎪⎩y ＝ 2（n －y ），⎧m ＝（ 2＋1）x ，2＋12y ，→（ 2＋1）2 22 2(2)设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，→ → →1 2 1 2由题意知，直线 AB 的斜率存在．设直线 AB 的方程为 y ＝kx ＋1，代入曲线 E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，9k2＋2k2＋2y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝k2＋2由点M在曲线E上，知(x＋x)2＋＝1，＋＝1，解得k2＝2.这时|AB|＝1＋k2|x－x|＝32，1＋k2所以平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝ 6.2C.3E⎝3，3⎫2⎭②过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若AF1＝λF1B，且2≤λ【解】(1)选C.设直线x－y＋5＝0与椭圆2＋2＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，a 则x＋x＝－2k，x x＝－1.12124.（y＋y）212122即4k28（k2＋2）2（k2＋2）2122原点到直线AB的距离d＝1＝3，32有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2，其中k为弦AB所在直线的斜率．命题角度三定比、分点问题x2y2(1)(2018·南宁模拟)已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y ＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是()1A.2B.D.2255(2)(2018·长春质量检测(一))已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点⎛.①求椭圆C的方程；→→＜3，求直线l的斜率k的取值范围．x2y2bx2－x⎧x＋y＝1，a b（x＋x）（x－x）（y＋y）（y－y）y－y 由⎨22两式相减得，＝0，所以＝＋1－x ⎩ax＋by＝1，2x 2a2a2y＋y＝，于是椭圆的离心率e＝＝1－b＝3，故选C.(2)①由⎨a＝b＋c，⎪⎩⎪⎩所以椭圆C的方程为x＋y＝1.整理得⎛2＋4⎫y2－6y－9＝0，Δ＝144＋144＞0，联立方程，得⎨x2y2⎪⎩4＋3＝1，6k，y设A(x，y)，B(x，y)，则y＋y＝y＝，3＋4k23＋4k2又AF＝λF→B，所以y＝－λy，所以y y＝－λ(y＋y2)2，（1－λ）21则＝，λ＋1－2＝，（1－λ）2因为2≤λ＜3，所以1≤λ＋1－2＜4，23即1≤＜4，且k＞0，解得0＜k≤5.故直线l的斜率k的取值范围是⎛0，5⎤.(2)圆锥曲线以P(x，y)(y≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k＝－20(椭圆2＋2因为AB的中点M(－4，1)，所以x＋x＝－8，y＋y＝2.易知直线AB的斜率k＝y2－y1＝1.121212211221212121212a2b222 22－b2x1＋x2，所以b211c4a2a22⎧2a＝|EF1|＋|EF2|＝4，222⎪c＝1，⎧a＝2，解得⎨c＝1，⎪b＝3，2243②由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，⎧⎪y＝k（x＋1），3⎝k⎭k k2－9k211221212→11121244λ3＋4k2λ3＋4k2λ423＋4k232⎝2⎦(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在使用“根与系数的关系”时，要注意使用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．b2x x2y2a ya by －y 1a y 0 a by 0 x －x B. 3C. 33|AF|＝|AA ′|＝3.设 A(x ，y )，B(x 2，y )，则 ＝x 1＝|AA ′|＝3，即|BF| |BB ′| |F ′B ′| x 2 |BB ′| |BF|＝|BB ′|，根据已知，得 得 x ＝3k ，x ＝k ，又 x x ＝4，所以 3k · k ＝4，即 k 2＝4，解得 k ＝2 3(负值舍去)． 在圆的半径 CP 上，且有点 A(1，0)和 AP 上的点 M ，满足MQ ·AP ＝0，AP ＝2AM .H ，O 是坐标原点，且 ≤OF ·OH ≤ 时，求 k 的取值范围．故点 Q 的轨迹方程是x ＋y 2＝1.k 2＋1＝1⇒t 2＝k 2＋1.b 2x x 2 y 2 p＝1)，k ＝ 2 0(双曲线 2－ 2＝1)，k ＝ (抛物线 y 2＝2p x)，其中 k ＝ 2 (x 1≠x 2)，(x 1，y 1)， 21(x 2，y 2)为弦端点的坐标．[对点训练]1．已知 F 是抛物线 x 2＝4y 的焦点，直线 y ＝kx －1 与该抛物线交于第一象限内的点 A ，B ，若|AF|＝3|FB|，则 k 的值是()A. 3322 3 D.解析：选 D.显然 k ＞0.抛物线的准线 l ：y ＝－1，设其与 y 轴交于点 F ′，则直线 y ＝kx －1 过点 F ′.分别过点 A ，B 作 l 的垂线，垂足分别为 A ′，B ′，根据抛物线定义，得|AF|＝|AA ′|，|F ′A ′| 1 1 2x 1＝3x 2①.联立抛物线方程与已知直线方程，消元得 x 2－4kx ＋4＝0，则 x 1＋x 2＝4k ②，由①②1 2 1 2 3 32．(2018· 惠州第二次调研)已知 C 为圆(x ＋1)2＋y 2＝8 的圆心，P 是圆上的动点，点 Q→ → → →(1)当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程；(2)若斜率为 k 的直线 l 与圆 x 2＋y 2＝1 相切，与(1)中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点 F ，3 → → 44 5解：(1)由题意知 MQ 是线段 AP 的垂直平分线，所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2 2＞|CA|＝2，所以点 Q 的轨迹是以点 C ，A 为焦点，焦距为 2，长轴长为 2 2的椭圆，所以 a ＝ 2，c ＝1，b ＝ a 2－c 2＝1，2 2(2)设直线 l ：y ＝kx ＋t ，F(x 1，y 1)，H(x 2，y 2)，直线 l 与圆 x 2＋y 2＝1 相切⇒|t|x1＋x＝，x x＝，1＋2k21＋2k2所以OF OH＝x x＋y y＝(1＋k2)x x＋kt(x＋x)＋t21＋2k1＋2k132，31＋k24141＋2k253232所以－2≤k≤－3或3≤k≤2.故k的取值范围是⎡－2，－3⎤∪⎡3，2⎤.1．已知方程2－m＋n3m2－n2－⎧⎪x2＋y2＝1，联立⎨2得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，⎪⎩y＝kx＋tΔ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)＝8(2k2－t2＋1)＝8k2＞0⇒k≠0，－4kt2t2－2212→→12121212（1＋k2）（2t2－2）－4kt＝＋kt＋t222（1＋k2）2k24k2（k2＋1）＝－＋k2＋11＋2k21＋2k2＝1＋k2，1＋2k2所以≤≤⇒≤k2≤⇒≤|k|≤2332⎣23⎦⎣32⎦一、选择题x2y2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1，3)C．(0，3)B．(－1，3)D．(0，3)解析：选A.由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3.x2y22．(2018·潍坊模拟)已知双曲线a b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且选0)则 OA △是 F BF 的中位线，故 OA ∥BF ，故 F F ⊥BF ，又∠BF F ＝60°，|F F |＝2c ，所以|BF |＝4c ，|BF |＝2 3c ，所以 2a ＝4c －2 3c ，所以 e ＝c ＝2＋ 3，故选 B.4．(2018· 武汉模拟)抛物线 y 2＝2px(p ＞0)的焦点为 F ，过焦点 F 且倾斜角为 的直线与 解析：选 C.因为抛物线 y 2＝2p x(p ＞0)的焦点为 F ⎛ ，0⎫，所以过点 F 且倾斜角为 的直 线方程为 y ＝ 3(x －p )，联立直线与抛物线的方程，得⎨ ⇒3x 2－5px ＋ p 2＝ ⎪⎩y 2＝2px ⎪ ⎧x ＋x ＝5p ， 0，设 A(x ，y )，B(x ，y )，则⎨1 ， ⎩x x ＝4p5．(2018· 高考全国卷Ⅰ)设抛物线 C ：y 2＝4x 的焦点为 F ，过点(－2，0)且斜率为 的直线与 C 交于 M ，N 两点，则FM ·FN ＝()⎝3 ⎭2－4×4 3离心率为 2，则该双曲线的实轴的长为()A ．1 B. 3C ．2D ．2 3解析： C.由题意知双曲线的焦点(c ， 到渐近线 bx －ay ＝0 的距离为bc a 2＋b 2＝b ＝ 3，即 c 2－a 2＝3，又 e ＝c＝2，所以 a ＝1，该双曲线的实轴的长为 2a ＝2.ax 2 y 23．(2018· 石家庄质量检测(一))双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 作倾斜角为 60°的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于 A ，B 两点，若点 A 平分线段 F 1B ，则该双曲线的离心率是( )A. 3C ．2B ．2＋ 3D. 2＋1解析：选 B.由题意可知 A 是 F 1B 的中点，O 是 F 1F 2 的中点(O 为坐标原点)，连接 BF 2，1 2 2 1 2 2 1 21 21 2aπ 3抛物线相交于 A ，B 两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为()A ．y 2＝3xC ．y 2＝6xB ．y 2＝4xD ．y 2＝8xp π⎝2⎭3⎧y ＝ 3（x －p ）， 23 2 4A AB BA B 3 2所以|AB|＝（x －x ）2＋（y －y ）2＝ 1＋k 2A B A B|x A －x B |＝ 1＋3 ⎛5p ⎫ 1p 2＝8p ＝8⇒p ＝3，所以抛物线的方程为 y 2＝6x ，故选 C.2 3→→142 2 ⎧y ＝2（x ＋2），解析：选 D.法一：过点(－2，0)且斜率为 的直线的方程为 y ＝ (x ＋2)，由⎨⎪⎩y 2＝4x ，⎩ ⎩ 知 F(1，0)，所以FM ＝(0，2)，FN ＝(3，4)，所以FM FN ＝8.故选 D.⎧⎪y ＝2（x ＋2），法二：过点(－2，0)且斜率为 的直线的方程为 y ＝ (x ＋2)，由⎨ 得 x 2－ ⎪⎩y 2＝4x ，x 1x 2＝4.易知 F(1，0)，所以FM ＝(x 1－1，y 1)，FN ＝(x 2－1，y 2)，所以FM FN ＝(x 1－1)(x 2－1) ＋y y ＝x x －(x ＋x )＋1＋4 x x ＝4－5＋1＋8＝8.故选 D.FM ，切点为 M ，交 y 轴于点 P ，若PM ＝λMF ，且双曲线的离心率 e ＝ ，则 λ＝()解析：选 B.如图，|OF|＝c ，|OM |＝a ，OM ⊥PF ，所以|MF|＝b ，根据射影定理得|PF|＝ ， → c 2－bc 2－b ，所以λ＝|PM|＝ b c 2－b 2 a 2 ＝ 2. 因为 e 2＝ ＝ b 2 ⎛ 6⎫2＝3，所以b 2 1 ＝1＋ 2＝⎝ 2 ⎭ 2 a 2 2 ＝ .所以 λ＝2.故选 B.A ．5C ．7B ．6D ．83 3 3⎧⎪x ＝1， ⎧⎪x ＝4，得 x 2－5x ＋4＝0，解得 x ＝1 或 x ＝4，所以⎨ 或⎨ 不妨设 M (1，2)，N (4，4)，易⎪y ＝2 ⎪y ＝4，→ → → →2 23 3 35x ＋4＝0，设 M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝5，→ → → →1 2 1 2 1 2 1 2x 2 y 26．(2018· 贵阳模拟)过双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点 F 作圆 x 2＋y 2＝a 2 的切线→ → 62A ．1C ．3 B ．2D ．4c 2 b所以|PM|＝ b → b b 2b|MF|＝c 2 a 2a 2＋b 2 a 2 a二、填空题垂直于 x 轴的直线交 C 于 P ，Q 两点，若 cos ∠P AQ ＝ ，则椭圆 C 的离心率 e 为________．b 2 ＝ a 2 －c a －c a ⎛c ，b 2⎫，Q ⎛c ，－b 2⎫，所以 tan ∠P AF ＝解析：根据题意可取 P ⎝ a ⎭ ＝ ＝a ＋c a 2＋ac a 2＋acy y ⎩ ⎩ ⎩ ＝ ＝ ，故 5－5(1－e )2＝3＋3(1－e )2⇒8(1－e )2＝2⇒(1－e )2＝1.又椭圆的离心率1＋（1－e ）2 5e 的取值范围为(0，1)，所以 1－e ＝ ，e ＝ .2P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1·PF 2的最小值的取值即 m 2＝a 2⎛1＋2⎫.又 F (－1，0)，F (1，0)，则PF＝(－1－m ，－n )， PF 2＝(1－m ，－n )，7．(2018· 合肥第一次质量检测)抛物线 E ：y 2＝4x 的焦点为 F ，准线 l 与 x 轴交于点 A ，过抛物线 E 上一点 P(在第一象限内)作 l 的垂线 PQ ，垂足为 Q .若四边形 AFPQ 的周长为 16，则点 P 的坐标为________．解析：设 P(x ， )，其中 x ＞0， ＞0，由抛物线的定义知|PF|＝|PQ|＝x ＋1.根据题意知|AF|＝2，|QA|＝y ，⎧⎪2（x ＋1）＋2＋y ＝16， ⎧⎪x ＝4， ⎧⎪x ＝9， 则⎨ ⇒⎨ 或⎨ (舍去)．所以点 P 的坐标为(4，4)．⎪y 2＝4x ⎪y ＝4 ⎪y ＝－6答案：(4，4)x 2 y 28．(2018· 贵阳模拟)椭圆 C ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为 A ，右焦点为 F ，过点 F 且35b 2 2 ⎝ a ⎭ a＝1－e ，cos ∠P AQ ＝cos 2∠P AF ＝cos 2∠P AF －sin 2∠P AF ＝ cos 2∠P AF －sin 2∠P AF 1－tan 2∠P AF＝cos 2∠P AF ＋sin 2∠P AF 1＋tan 2∠P AF1－（1－e ）2 3 41 12 21答案：x 2 y 29．已知双曲线 C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1(－1，0)，F 2(1，0)，→ →范围是________．m 2 n 2解析：设 P(m ，n )，则 a 2 －b 2＝1，n 2 ⎝ b ⎭1 2→ 1→PF 1PF 2＝n 2＋m 2－1 ＝n 2＋a 2⎛1＋2⎫－1＝n 2⎛1＋2⎫＋a 2－1≥a 2－1，所以PF PF 的最小值为 a 2－1.由 2≤1≤4，得1≤a ≤1，故－15≤a 2－1≤－3，即PF PF 的最小值的取值范围是⎡－ ，－ ⎤.答案：⎣－16，－4⎦ 所以椭圆 C 的标准方程为x ＋y 2＝1.x 1 ＋x ＝－ 8km ，x x ＝ 2＋1 2＋1 4k 4k2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 2 ＝ 4 x 1x 24→ →n 2 ⎝ b ⎭a 2 ⎝b ⎭当且仅当 n ＝0 时取等号，→ → 12a 4 2 16 4→ → 15 3 1 2 ⎣ 16 4⎦⎡ 15 3⎤三、解答题x 2 y 2 310．(2018· 南昌调研)已知椭圆 C ：a 2＋b ，短轴长为 2. (1)求椭圆 C 的标准方程；5(2)设直线 l ：y ＝kx ＋m 与椭圆 C 交于 M ，N 两点，O 为坐标原点，若 k OM ·k ON ＝4，求原点 O 到直线 l 的距离的取值范围．解：(1)由题知 e ＝c 3，2b ＝2，又 a 2＝b 2＋c 2，所以 b ＝1，a ＝2，a 22 4⎧⎪y ＝kx ＋m ，(2)设 M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎨x 2得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，⎪⎩ 4 ＋y 2＝1，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得 m 2＜4k 2＋1，①4m 2－4 ，2 1 2y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若 kOM k ＝5，则y 1y 2＝5，即 4y y ＝5x x ，ON 1 2 1 2所以 4k 2x x ＋4km (x ＋x )＋4m 2＝5x x ，所以(4k 2－5)· ＋4km ·(－ 8km )＋4k 2＋1 4k 2＋1即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得 m 2＋k 2＝5，②由①②得 0≤m 2＜6， 1 ＜k 2≤5， 所以 d 2＝ m ＝ ＝－1＋ ，又 1 ＜k 2≤5，所以0≤d 2＜8，所以原点 O到直线 l 的距离的取值范围是⎡0，2 14⎫.M 为短轴的上端点，MF 1·MF 2＝0，过 F 2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，且|AB|解：(1)由MF 1 MF 2＝0，得 b ＝c.所以b ＝ 2，⎨b ＝ 2⎪⎩b故椭圆 C 的方程为x ＋y 2＝1.4（m 2－1） 1 2 1 2 1 24m 2＝0，45 20 4因为原点 O 到直线 l 的距离 d ＝|m |，1＋k 25－k 22 4 9 1＋k 2 1＋k 2 4（1＋k 2）20 47⎣ 7 ⎭x 2 y 211．(2018· 贵阳模拟)已知椭圆 C ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点→ →＝ 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G ，H 两点．若 k 1，k 2 分别为直 线 MH ，MG 的斜率，求 k 1＋k 2 的值．→ →因为过 F 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，且|AB|＝ 2， 22 a 2⎧⎪b ＝c2⎪⎩a 2＝b 2＋c 2⎧⎪a 2＝2⎨ . 2＝122(2)设直线 l 的方程为 y ＋1＝k(x －2)，即 y ＝kx －2k －1，将 y ＝kx －2k －1 代入x ＋y 2＝1 得(1＋2k 2)x 2－4k(2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0，由题设可知 Δ＝－16k(k ＋2)＞0，设 G(x ，y )，H(x ，y )，则 x ＋x ＝ ，x x ＝ ，1＋2k 2 1＋2k 2 y 1－1 y －1 kx －2k －2 kx －2k －2 x 1 x 2 x 1 x 2＝2k －k 1＋k 2＝ ＋ 2 12．(2018· 石家庄质量检测(二))已知圆 C ：(x －a)2＋(y －b )2＝ 的圆心 C 在抛物线 x 2＝ 解：(1)由已知可得圆心 C(a ，b )，半径 r ＝ ， 焦点 F ⎛0， ⎫，准线 y ＝－p .设 A(x ，y )，B(x ，y )，得 x 2－4kx －4＝0，Δ＞0，x ＋x ＝4k ，x x ＝－4， 对 y ＝x 求导得 y ′ x ，即 k ＝x 1， ＝AP2 21 12 24k （2k ＋1） 8k 2＋8k1 2 1 24k （2k ＋1）（2k ＋2）×1＋2k 2 ＝ 1 ＋ 2 ＝2k － 8k 2＋8k1＋2k 2(2k ＋1)＝－1，所以 k ＋k ＝－1.1 2942py (p ＞0)上，圆 C 过原点且与抛物线的准线相切．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A ，B 两点，分别在点 A ，B 处作抛物线的两条切线交于 P 点，求三角形 P AB 面积的最小值及此时直线 l 的方程．3 2p⎝ 2⎭ 2因为圆 C 与抛物线的准线相切，所以 b ＝3－p，且圆 C 过焦点 F ，2 2又因为圆 C 过原点，所以圆心 C 必在线段 OF 的垂直平分线上，即 b ＝p ，4所以 b ＝3－p ＝p，即 p ＝2，故抛物线的方程为 x 2＝4y .2 2 4(2)易得焦点 F(0，1)，直线 l 的斜率必存在，设为 k ，即直线方程为 y ＝kx ＋1.1 12 2⎧⎪y ＝kx ＋1 由⎨⎪⎩x 2＝4y1 2 1 22 4 2 219直线 AP 的方程为 y －y ＝x 1(x －x )，即 y ＝x 1x －1x 2，同理直线 BP 的方程为 y ＝x 2x －1x 2.设 P(x ，y )．⎧ ＝x 1＋x 2＝2k⎨x联立直线 AP 与 BP 的方程，得，⎪⎩y ＝x 1x 2＝－1|AB|＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)，点 P 到直线 AB 的距离 d ＝|2k 2＋2| 1 所以三角形 P AB 的面积 S ＝1×4(1＋k 2)×21＋k 2＝4(1＋k 2)2≥4，当且仅当 k ＝0 时取1 2 2 4 12 4 2 0 00 2 0 4即 P(2k ，－1)，＝2 1＋k 2， 1＋k 223等号．综上，三角形 P AB 面积的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 y ＝1.20。
椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称 椭圆双曲线抛物线定义 PF 1＋PF 2＝2a (2a > F 1F 2)|PF 1－PF 2|＝2a (2a < F 1F 2)PF ＝PM 点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)图形几何性质范围 |x |≤a ，|y |≤b |x |≥a x ≥0 顶点 (±a,0)，(0，±b )(±a,0)(0,0) 对称性 关于x 轴，y 轴和原点对称关于x 轴对称焦点(±c,0)(p2，0) 轴长轴长2a ，短轴长2b 实轴长2a ，虚轴长2b离心率 e ＝ca＝ 1－b 2a 2(0<e <1)e ＝c a＝ 1＋b 2a 2(e >1) e ＝1 准线 x ＝±a 2cx ＝±a 2cx ＝－p 2渐近线y ＝±b ax考点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则PF 1·PF 2的值等于________．(2)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若F A ＝2FB ，则k ＝________. 答案 (1)3 (2)223【详细分析】(1)焦点坐标为(0，±2)，由此得m －2＝4，故m ＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得PF 1＋PF 2＝26，PF 1－PF 2＝23，两式平方相减得4PF 1PF 2＝4×3，所以PF 1·PF 2＝3.(2)方法一 抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)恒过定点P (－2,0)． 如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于点M ， BN ⊥l 于点N .由F A ＝2FB ，则AM ＝2BN ，点B 为AP 的中点． 连结OB ，则OB ＝12AF ，∴OB ＝BF ，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为(1,22)．∴k ＝22－01－(－2)＝223.方法二如图，由图可知，BB ′＝BF ，AA ′＝AF ，又AF ＝2BF ，∴BC AC ＝BB ′AA ′＝12，即B 是AC 的中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x B ＝x A －2，2y B ＝y A 与⎩⎪⎨⎪⎧y 2A ＝8x A ，y 2B ＝8x B ，联立可得A (4,42)，B (1,22)．∴k AB ＝42－224－1＝223.(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求PF 1＋PF 2＞F 1F 2，双曲线的定义中要求PF 1－PF 2＜F 1F 2，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，提倡画出合理草图．(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为________．(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ， 交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为 ________．答案 (1)x 220＋y 25＝1 (2)y 2＝3x【详细分析】(1)∵椭圆的离心率为32，∴ca ＝a 2－b 2a ＝32， ∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.(2)如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定 义知，AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°.连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则NF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .考点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．(2)(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．答案 (1)57 (2)33【详细分析】(1)在△ABF 中，由余弦定理得 AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF cos ∠ABF ， ∴AF 2＝100＋64－128＝36，∴AF ＝6， 从而AB 2＝AF 2＋BF 2，则AF ⊥BF . ∴c ＝OF ＝12AB ＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点，则BF ′＝AF ＝6，∴2a ＝BF ＋BF ′＝14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57.(2)如图，F (c,0)，B (0，b )，则直线BF 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy－bc ＝0，d 1＝bcb 2＋c 2＝bc a d 2＝a 2c －c ＝b 2c ， 由已知条件d 2＝6d 1 即b 2c ＝6bca ，整理得：6b 2＋ab －6a 2＝0解得b a ＝26，∴e ＝c 2a 2＝ 1－b 2a 2＝33. 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．(1)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且B F →＝2 F D →，则C 的离心率为________．(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 答案 (1)33 (2)102【详细分析】(1)设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )， 则B F →＝(c ，－b )，F D →＝(x D －c ，y D )，∵B F →＝2F D →，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2(x D －c )，－b ＝2y D ，∴⎩⎨⎧x D ＝3c2，y D＝－b2.又∵点D 在椭圆C 上，∴⎝⎛⎭⎫3c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－b 22b 2＝1，即e 2＝13.∴e ＝33.(2)设c ＝a 2＋b 2，双曲线的右焦点为F ′.则PF －PF ′＝2a ，FF ′＝2c .∵E 为PF 的中点，O 为FF ′的中点，∴OE ∥PF ′，且PF ′＝2OE . ∵OE ⊥PF ，OE ＝a2，∴PF ⊥PF ′，PF ′＝a ，∴PF ＝PF ′＋2a ＝3a . ∵PF 2＋PF ′2＝FF ′2，即9a 2＋a 2＝4c 2，∴c a ＝102.∴双曲线的离心率为102.考点三 圆锥曲线的综合问题例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭 圆的上顶点，且满足MF →·FB →＝2－1. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)根据题意得，F (c,0)(c >0)，A (－a,0)，B (a,0)，M (0，b )， ∴MF →＝(c ，－b )，FB →＝(a －c,0)，∴MF →·FB →＝ac －c 2＝2－1.又e ＝c a ＝22，∴a ＝2c ，∴2c 2－c 2＝2－1，∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的直线l .∵k MF ＝－1，且MF ⊥l ，∴k l ＝1.设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0，即m 2<3， 又x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23，∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝2m 2－23－4m 23＋m 2＝m 2－23.又F 为△MPQ 的垂心，连结PF ，则PF ⊥MQ ，∴PF →·MQ →＝0， 又PF →＝(1－x 1，－y 1)，MQ →＝(x 2，y 2－1)，∴PF →·MQ →＝x 2＋y 1－x 1x 2－y 1y 2＝x 2＋x 1＋m －x 1x 2－y 1y 2 ＝－43m ＋m －2m 2－23－m 2－23＝－m 2－m 3＋43＝－13(3m 2＋m －4)＝－13(3m ＋4)(m －1)＝0，∴m ＝－43或m ＝1(舍去)，经检验m ＝－43符合条件，∴存在满足条件的直线l ，其方程为3x －3y －4＝0.(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1.在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴AC ＝|y 2－y 1|＝ 3.因此菱形的面积S ＝12OB ·AC ＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k .又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1，∴AC 与OB 不垂直． 故OABC 不是菱形，这与假设矛盾．综上，四边形OABC 不是菱形．1． 对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2． 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3． 求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca；方法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4． 通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短． 椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5． 抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)S △AOB ＝p 22sin α；(4)1F A ＋1FB 为定值2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.1． 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________． 答案 (1,2)【详细分析】由AB ⊥x 轴，可知△ABE 为等腰三角形，又△ABE 是锐角三角形，所以∠AEB 为锐角，即∠AEF <45°，于是AF <EF ，b 2a<a ＋c ，于是c 2－a 2<a 2＋ac ，即e 2－e －2<0，解得－1<e <2.又双曲线的离心率e >1，从而1<e <2.2． 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2________.(填“内”“外”“上”) 答案 内【详细分析】∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a .∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ac a 2. ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫12a 2＝34a 2. ∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12a a 2＝74<2.∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内． 3． 过抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上一点A (a,0)(a >0)的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向直线l ：x ＝－a 作垂线，垂足分别为M 1、N 1. (1)当a ＝p2时，求证：AM 1⊥AN 1；(2)记△AMM 1、△AM 1N 1、△ANN 1的面积分别为S 1、S 2、S 3.是否存在λ，使得对任意的a >0，都有S 22＝λS 1S 3成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．(1)证明 当a ＝p 2时，A (p2，0)为该抛物线的焦点，而l ：x ＝－a 为准线，由抛物线的定义知MA ＝MM 1，NA ＝NN 1， 则∠NN 1A ＝∠NAN 1，∠MM 1A ＝∠MAM 1. 又∠NN 1A ＝∠BAN 1，∠MM 1A ＝∠BAM 1， 则∠BAN 1＋∠BAM 1＝∠NAN 1＋∠MAM 1， 而∠BAN 1＋∠BAM 1＋∠NAN 1＋∠MAM 1＝180°， 则∠N 1AM 1＝∠BAN 1＋∠BAM 1＝90°， 所以AM 1⊥AN 1.(2)解 可设直线MN 的方程为x ＝my ＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝2px 得y 2－2pmy －2pa ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－2pa . S 1＝12(x 1＋a )|y 1|，S 2＝12(2a )|y 1－y 2|，S 3＝12(x 2＋a )|y 2|，由已知S 22＝λS 1S 3恒成立，则4a 2(y 1－y 2)2＝λ(x 1＋a )(x 2＋a )|y 1y 2|.(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4p 2m 2＋8pa ，(x 1＋a )(x 2＋a )＝(my 1＋2a )(my 2＋2a )＝m 2y 1y 2＋2ma (y 1＋y 2)＋4a 2 ＝m 2(－2pa )＋2ma ×2pm ＋4a 2＝4a 2＋2pam 2.则得4a 2(4p 2m 2＋8pa )＝2pa λ(4a 2＋2pam 2)，解得λ＝4， 即当λ＝4时，对任意的a >0，都有S 22＝λS 1S 3成立．(推荐时间：70分钟)一、填空题1． 设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为________________． 答案 y 2＝4x 或y 2＝16x【详细分析】由题意知：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .2． 与椭圆x 212＋y 216＝1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是____________．答案y 2－x 23＝1 【详细分析】椭圆x 212＋y 216＝1的离心率为16－1216＝12，且焦点为(0，±2)，所以所求双曲线的焦点为(0，±2)且离心率为2，所以c ＝2，2a ＝2得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线方程是y 2－x 23＝1.3． 已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝________. 答案 1∶ 5【详细分析】由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH . 即FM ∶MN ＝MH ∶MN ＝FO ∶AF ＝1∶ 5.4． 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F ，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM 交y 轴于点P ，切圆于点M,2OM →＝OF →＋OP →，则双曲线的离心率是________． 答案2【详细分析】由已知条件知，点M 为直三角形OFP 斜边PF 的中点，故OF ＝2OM ，即c ＝2a ，所以双曲线的离心率为 2.5． 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于________． 答案433【详细分析】抛物线C 1的标准方程为x 2＝2py ，其焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝⎛⎭⎫33p ，p6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.6． 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．答案 2【详细分析】建立关于m 的方程求解．∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.7． 椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________． 答案 [12，22]【详细分析】设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF →1＝(－c －x ，－y )，PF →2＝(c －x ，－y )，PF →1·PF →2＝x 2＋y 2－c 2. 又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 1→·PF 2→)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，所以12≤e ≤22.8． 椭圆Г：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 答案3－1 【详细分析】由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°， 又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°， MF 1⊥MF 2，所以MF 1＝c ，MF 2＝3c ， 所以MF 1＋MF 2＝c ＋3c ＝2a .即e ＝ca＝3－1.9． 已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44【详细分析】由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且PQ ＝QA ＋P A ＝4b ＝16，由双曲线定义，PF －P A ＝6，QF －QA ＝6.∴PF ＋QF ＝12＋P A ＋QA ＝28，因此△PQF 的周长为PF ＋QF ＋PQ ＝28＋16＝44.10．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为________． 答案 7【详细分析】由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7. 二、解答题11．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1①x 22a 2＋y 22b2＝1②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2， 又因为c ＝3，所以a 2＝6，所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0，所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ，将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得：3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫433，－33，所以可得AB ＝463； 将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得：3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则CD ＝2(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，CD 取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12AB ·CD ＝863.12．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A 、PB 、PM 的斜率分别为k 1、k 2、k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 解 (1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，得1a 2＋94b2＝1，① 又e ＝c a ＝12，得a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，②②代入①得，c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1得，(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k (x 1－1)－32x 1－1＋k (x 2－1)－32x 2－1＝2k －32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝2k －32·8k 24k 2＋3－24k 2－124k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1.又将x ＝4代入y ＝k (x －1)得M (4,3k )， ∴k 3＝3k －323＝k －12，∴k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．13．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点的抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标；(3)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，且满足P A →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1 (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k (x －2)＋1得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0. ①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得32(6k ＋3)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. (3)若存在直线l 1满足条件，则直线l 1的斜率存在，设其方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， 所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0.所以k 1>－12. x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21. 因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54， 解得k 1＝±12.因为A ，B 为不同的两点，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .。
2019-2020年高考数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题六解析几何第二讲椭圆双曲线抛物线适考素能特训理一、选择题1．[xx·陕西质检(一)]已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，l 与C 交于A 、B 两点．若|AB |＝6，则p 的值为( )A.12B.32 C ．1 D ．2答案 B解析 因为直线l 过抛物线的焦点，所以m ＝p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p 2＝0y 2＝2px得，x 2－3px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6，p ＝32，故选B.2．[xx·沈阳质检]已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则PA →·PB →的值是( )A ．－38B.316C ．－38D ．不能确定答案 A解析 令点P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|PA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03－y 013＋1，|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03＋y 013＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－38，选A. 3．[xx·南昌三模]已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A.2＋2B.5＋1C.3＋1D.2＋1答案 D解析 本题考查抛物线的性质、双曲线的离心率．由题意得点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，又因为AF ⊥x 轴，所以点A 的横坐标为p2，因为点A 为抛物线与双曲线的交点，不妨设点A 位于第一象限，则y A ＝2px A ＝p ，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p ，又因为点F 为双曲线与抛物线的相同的焦点，所以c ＝p2，则点A 的坐标为(c,2c )，代入双曲线的方程得c 2a 2－4c 2b2＝1，结合c 2＝a 2＋b 2，化简得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，解得双曲线的离心率e ＝ca＝2＋1，故选D.4．[xx·黄冈质检]在以O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF 1→|＝2|MO→|＝2|MF 2→|，则该椭圆的离心率为( )A.22B.33C.63D.24答案 C解析 延长MO 与椭圆交于N ，因为MN 与F 1F 2互相平分，则四边形NMF 1F 2为平行四边形，则|MN |2＋|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2＋|NF 1|2＋|NF 2|2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2|MF 2|＋|MF 2|＝3|MF 2|＝2a ，故|NF 1|＝|MF 2|＝23a ，|NF 2|＝|MF 1|＝43a ，|F 1F 2|＝2c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2＋(2c )2，即c 2a 2＝23，故e ＝63.5．[xx·重庆测试]若以F 1(－3,0)，F 2(3,0)为焦点的双曲线与直线y ＝x －1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为( )A.62B.355C.32D. 3答案 B解析 由题意知c ＝3，∴e ＝3a ，∴a 越大e 越小，而双曲线为x 2m －y29－m＝1，把直线y ＝x －1代入化简整理得(9－2m )x 2＋2mx －10m ＋m 2＝0，由Δ＝0得m ＝5，于是a ＝5，e ＝3a＝355，故选B. 6．[xx·金版原创]在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B ，C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫6－22，5－12B.⎝⎛⎭⎪⎫6－22，1C.⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1D.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 答案 A解析 本题考查椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系．利用直线与圆的位置关系建立椭圆基本量的关系求解离心率．由题意可得，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，r ＝b 2a ，由三角形ABC 是锐角三角形得∠BAC <90°，则c ＝r ·cos ∠BAC 2>r ·cos45°，即c >22r .又依题意c <b 2a ，即22<cb2a<1，化简得⎩⎨⎧c 2＋2ac －a 2>0，c 2＋ac －a 2<0，两边同时除以a 2，关于离心率e 的不等式组为⎩⎨⎧e 2＋2e －1>0，e 2＋e －1<0，解得6－22<e <5－12，故选A. 二、填空题7．[xx·唐山统考]焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．答案x 25－y 220＝1 解析 设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.8．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．答案 94解析 易知直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，与y 2＝3x 联立并消去x ，得4y 2－123y －9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94.S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×34y 1＋y 22－4y 1y 2＝3827＋9＝94. 9．[xx·山东莱芜一模]已知圆G ：x 2＋y 2－22x －2y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点及上顶点．过椭圆外一点M (m,0)(m >a )，倾斜角为2π3的直线l 交椭圆于C ，D 两点，若点N (3,0)在以线段CD 为直径的圆E 的外部，则m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，2303解析 ∵圆G ：x 2＋y 2－22x －2y ＝0与x 轴，y 轴交点为(22，0)和(0,2)， ∴c ＝22，b ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝12， ∴椭圆方程为x 212＋y 24＝1， 设直线l 的方程为y ＝－3(x －m )(m >23)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －m ，x 212＋y 24＝1得10x 2－18mx ＋9m 2－12＝0.由Δ＝324m 2－40(9m 2－12)>0， 可得－2303<m <2303，∴23<m <2303. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， x 1＋x 2＝9m 5，x 1·x 2＝9m 2－1210，NC →·ND →＝(x 1－3，y 1)·(x 2－3，y 2)＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝4x 1x 2－(3m ＋3)(x 1＋x 2)＋9＋3m 2>0. 化简得2m 2－9m ＋7>0，解得m >72.∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，2303.三、解答题10．[xx·贵阳质检]设点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1→·PF 2→的最小值为0.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，作F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l 分别交直线l 于M ，N 两点，求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．解 (1)设P (x ，y )，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，∴PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2＝a 2－1a2x 2＋1－c 2，x ∈[－a ，a ]，由题意得，1－c 2＝0，c ＝1，则a 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)将直线l 的方程l ：y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx＋2m 2－2＝0，由直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0， 化简得m 2＝2k 2＋1.设d 1＝|F 1M |＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|F 2N |＝|k ＋m |k 2＋1. ①当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ， 则|d 1－d 2|＝|MN |·|tan θ|，∴|MN |＝1|k |·|d 1－d 2|，∴S ＝12·1|k |·|d 1－d 2|·(d 1＋d 2)＝2|m |k 2＋1＝4|m |m 2＋1＝4|m |＋1|m |， ∵m 2＝2k 2＋1，∴当k ≠0时，|m |>1，|m |＋1|m |>2，即S <2. ②当k ＝0时，四边形F 1MNF 2是矩形，此时S ＝2. ∴四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2.11．已知过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝92.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 的准线为l ，焦点为F ，点P 为直线m ：x ＋y －2＝0上的动点，且点P 的横坐标为a ，试讨论当a 取不同的值时，圆心在抛物线C 上，与直线l 相切，且过点P 的圆的个数．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入y 2＝2px ，得4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9p 4＝92，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程是y 2＝4x .(2)解法一：由题意知l ：x ＝－1，F (1,0)．∵所求圆的圆心在抛物线上，且与直线l 相切，则圆过焦点F ，又圆过点P ，∴圆心在线段PF 的中垂线上，设P (a,2－a )，则线段PF 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12，2－a 2，当a ≠1，a ≠2时，k PF ＝2－a a －1，∴线段PF 的中垂线方程为y ＝a －1a －2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋12＋2－a 2，化简得y ＝a －1a －2x ＋－2a 2＋4a －32a －2① 圆的个数即中垂线与抛物线的交点的个数，将x ＝y 24代入①得a －14a －2y 2－y ＋－2a 2＋4a －32a －2＝0，判别式Δ＝1－4·a －14a －2·－2a 2＋4a －32a －2＝1＋a －12a 2－4a ＋32a －22＝2a －22＋2a 3－6a 2＋7a －32a －22＝2a 3－4a 2－a ＋52a －22＝a ＋12a 2－6a ＋52a －22，∴当a ＝－1时，交点有1个，圆有1个； 当a <－1时，交点有0个，圆有0个；当a >－1且a ≠1，a ≠2时，交点有2个，圆有2个． 而当a ＝2时，易验证有2个交点，圆有2个； 当a ＝1时，易知交点有1个，圆有1个． 综上所述：当a <－1时，圆有0个； 当a ＝±1时，圆有1个； 当a >－1，且a ≠1时，圆有2个．解法二：设圆心Q (x 0，y 0)(y 20＝4x 0)，P (a,2－a )，由于准线l ：x ＝－1，故若存在圆Q 满足条件，则r ＝|PQ |＝x 0－a2＋y 0＋a －22，且r ＝|x 0＋1|，∴(x 0－a )2＋(y 0＋a －2)2＝(x 0＋1)2，即a 2＋y 20＋2(a －2)y 0＋(a －2)2＝(2＋2a )x 0＋1＝(2＋2a )y 204＋1，整理得(1－a )y 20＋(4a －8)y 0＋4a 2－8a ＋6＝0 (*)， 当a ＝1时，(*)式即－4y 0＋2＝0，有1个解． 当a ≠1时，(*)式中Δ＝(4a －8)2－4(1－a )(4a 2－8a ＋6)＝16a 3－32a 2－8a ＋40＝8(a ＋1)(2a 2－6a ＋5)，∵2a 2－6a ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋12>0，∴当a >－1时，Δ>0，(*)式有2个解； 当a ＝－1时，Δ＝0，(*)式有1个解； 当a <－1时，Δ<0，(*)式无解． 综上，当a <－1时，圆有0个； 当a ＝±1时，圆有1个； 当a >－1，且a ≠1时，圆有2个．12．[xx·山西太原二模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (4,0)，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，直线AE 与x 轴相交于点Q ，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM →·ON→的取值范围．解 (1)∵e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴ba＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.据另一个题设条件得：b ＝r ＝612＋－12＝ 3.∴a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，据题意A (x 1，－y 1)，且y 1≠0.设直线PB 的方程为x ＝my ＋4，把它代入x 24＋y 23＝1并整理得(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0，∴y 1，y 2是该方程的两根，∴y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4.(*)直线AE 的方程为y ＋y 1＝－y 1－y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0得点Q 的横坐标x Q ＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2.∵x 1＝my 1＋4，x 2＝my 2＋4， ∴x Q ＝my 1＋4y 2＋my 2＋4y 1y 1＋y 2＝2my 1y 2＋4y 1＋y 2y 1＋y 2将(*)式代入得x Q ＝1.①当直线MN 与x 轴不重合时，设直线MN 的方程为x ＝ny ＋1，并设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 把x ＝ny ＋1代入3x 2＋4y 2＝12整理得(3n 2＋4)y 2＋6ny －9＝0，y 3，y 4是该方程的两根， ∴y 3＋y 4＝－6n 3n 2＋4，y 3y 4＝－93n 2＋4.(**)OM →·ON →＝x 3x 4＋y 3y 4＝(ny 3＋1)(ny 4＋1)＋y 3y 4＝(1＋n 2)y 3y 4＋n (y 3＋y 4)＋1，把(**)代入并整理得 OM →·ON →＝－12n 2＋53n 2＋4.∵12n 2＋53n 2＋4＝4－113n 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，4， ∴OM →·ON →∈⎝⎛⎦⎥⎤－4，－54.②当直线MN 与x 轴重合时，OM →·ON →＝2×2×cos180°＝－4. 综上所述，OM →·ON →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－54.。
第二讲 椭圆、双曲线、抛物线配套作业一、选择题 1．若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则实数m 等于(A )A .32或83B .32C .83D .38或23解析：若m ＞2，则m －2m ＝14，解得m ＝83.若0＜m ＜2，则2－m 2＝14，解得m ＝32.2. (2015·新课标Ⅱ卷)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|＝(C )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴ M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)， ∴ |MN|＝46，故选C .3．(2015·福建卷)若双曲线E ：x 29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于(B )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由双曲线定义得|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，即||3－|PF 2|＝6，解得|PF 2|＝9，故选B .4．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q(2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为(A )A .⎝⎛⎭⎪⎫14，－1 B .⎝⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1，2) D ．(1，－2)解析：如图，抛物线的焦点F(1，0)，准线方程l ：x ＝－1，点P 到准线的距离为|PD|.由抛物线的定义知|PF|＝|PD|，显然D ，P ，Q 共线时，|PD|＋|PQ|最小，即|PF|＋|PQ|最小．此时y P ＝－1，代入抛物线方程知x p ＝14，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.5. (2014·江西卷)过双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为(A )A .x 24－y 212＝1 B .x 27－y29＝1 C .x 28－y 28＝1 D .x 212－y24＝1 解析：因为C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ba x ，所以A(a ，b)或A(a ，－b)．因此OA ＝c＝4，从而三角形OAC 为正三角形，即tan 60°＝b a ，a ＝2，b ＝23，双曲线C 的方程为x24－y212＝1.6．(2014·大纲卷)双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于(C )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：由已知可知渐近线的斜率k ＝b a ＝3c 2－3且c a ＝2，即b 2a 2＝3c 2－3且1＋b 2a 2＝4解得c2－3＝1，所以c ＝2，2c ＝4.故选C .二、填空题7．(2015·北京卷)已知(2，0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________．解析：由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a 2＝1.又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝3.又b>0，所以b ＝ 3.答案：38．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：由y 2＝4x ，可求得焦点坐标为F(1，0)，因为倾斜角为60°，所以直线的斜率为k ＝tan 60°＝3，利用点斜式，直线的方程为y ＝3x －3，将直线和曲线方程联立，⎩⎨⎧y ＝3x －3，y 2＝4x⇒A(3，23)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，因此S △OAF ＝12×OF ×y A ＝12×1×23＝ 3.答案：3三、解答题9．已知圆O′过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心O′在抛物线C ：x 2＝2py 上运动，MN 为圆O′在x 轴上所截得的弦．(1)当点O′运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论．(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且M ，N 在原点O 的右侧时，试判断抛物线C 的准线与圆O′是相交、相切还是相离，并说明理由．解析：(1)设O′(x 0，y 0)，则x 20＝2py 0(y 0＞0)，则⊙O′的半径|O ′A|＝x 20＋（y 0－p ）2，⊙O ′的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋(y 0－p)2.令y ＝0，并把x 20＝2py 0代入得x 2－2x 0x ＋x 20－p 2＝0.解得x 1＝x 0－p ，x 2＝x 0＋p ，∴|MN|＝|x 1－x 2|＝2p ，∴|MN|不变化，为定值2p.(2)设MN 的中点为B ，则|OM|＋|ON|＝2|OB|且O ′B ⊥MN. 又∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项， ∴|OM|＋|ON|＝2|OA|，可得B(p ，0)，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，p 2.∴|O ′A|＝p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－p 2＝52p. 即圆O′的半径为52p. 又∵点O′到抛物线C 的准线的距离为p 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝p ＜52p.∴圆O′与抛物线C 的准线相交．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P(0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解析：(1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，所以c ＝1.将点P(0，1)代入椭圆方程x2a 2＋y 2b 2＝1，得1b2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l 的斜率显然存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0， 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得： k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝ 2.或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为： y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.11．如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py(p ＞0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q.证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．解析：(1)依题意，|OB|＝83，∠BOy ＝30°. 设B(x ，y)，则x ＝|OB|sin 30°＝43，y ＝|OB|cos 30°＝12.因为点B(43，12)在x 2＝2py 上， 所以(43)2＝2p×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y.(2)证法一 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x.设P(x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1. 设M(0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1， 由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.①由于①式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M(0，1)．证法二 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x ，设P(x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y－y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.取x 0＝2，此时P(2，1)，Q(0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0，1)，M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋382＝12564，交y 轴于点M 3(0，1)，M 4⎝⎛⎭⎪⎫0，－74.故若满足条件的点M 存在，只能是M(0，1)． 以下证明点M(0，1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2，所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M(0，1)．。
2019-2020年高考数学二轮复习专题六解析几何课时作业十五椭圆双曲线抛物线理A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13解析：如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c .∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.答案：C11．(xx·北京卷)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析：由双曲线的标准方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ， 故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴ 1＋m ＝3，解得m ＝2. 答案：212．(xx·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc ，因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin60°＝ab c，即32b ＝ab c ，所以e ＝23＝233. 答案：23313．(xx 全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析：通解 依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上为x 23＋y 22＝1.16．如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．解析：(1)由已知得抛物线的焦点为F (1,0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my－4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0.|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝m 2＋1·4m2－4×－4＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.17．(xx·陕西省高三教学质量检测试题(一))已知椭圆与抛物线y 2＝42x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．解析：(1)依题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可得c ＝2，又e ＝ca ＝22，∴a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 21－y 1＝2y 2－1.设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1·x 2＝－22k 2＋1. 将x 1＝－2x 2代入上式可得，(4k 2k 2＋1)2＝12k 2＋1，解得k 2＝114.∴△AOB 的面积S ＝12|OP |·|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 22＝12·28k 2＋22k 2＋1＝3148. 18．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，求k 的取值范围．解析：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋361－3k2＝361－k2>0，。
2019-2020年高三数学上学期解析几何15抛物线的方程及其性质（2）教学案（无答案）【教学目标】能根据条件熟练地求出抛物线的标准方程，培养学生分析问题、解决问题的能力【教学重点】能从函数的角度来理解抛物线，并能解决一些综合问题．【教学难点】抛物线的性质及简单应用．【教学过程】一、知识梳理：1．点P (x 0，y 0)和抛物线y 2=2px (p >0)的关系：（1）P 在抛物线内(含焦点)<2px 0；（2）P 在抛物线上=2px 0； （3）P 在抛物线外>2px 0．2．焦半径：抛物线上的点P (x 0，y 0)与焦点F 的距离称作焦半径，记作r =PF ．（1）y 2=2px (p >0)，r = ； （2）y 2=-2px (p >0)，r = ；（3）x 2=2py (p >0)，r = ； （4）x 2=-2py (p >0)，r = ．3．焦点弦：AB 为抛物线y 2=2px (p >0)的焦点弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦的中点M (x 0，y 0) ．（1）x 1x 2=； （2） y 1y 2=-p 2；（3）弦长l =x 1+x 2+p ，x 1+x 2≥2=p ，即当x 1=x 2时，通径最短为2p ．二、基础自测：1．抛物线的焦点到准线的距离是 ．2．以双曲线的一条准线为准线，顶点在原点的抛物线方程是 ．3．抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是 ．4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么PF ＝ ．三、典型例题：例1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：（1）y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； （2）1AF ＋1BF为定值； （3）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．【变式拓展】设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点， 反思：点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O ．例2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为(1,0)．（1）求抛物线C的标准方程；（2）设M，N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B，求证：动直线AB恒过一个定点．例3．已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）若抛物线C上有一点R(x R,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；（3）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．四、课堂反馈：1．抛物线y 2＝4mx (m >0)的焦点到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的 方程为_______________．2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线方程为x 2=2py (p >0)，若直线x -y -2=0与该抛物线相切， 则实数p 的值是 .3．抛物线C ：y 2＝4x 焦点为F ，点P 在抛物线上，且PF ＝3，则点P 到直线x ＝－1的距离为________．4．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .过点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，过点A 作l 的垂线，垂足为A 1，则△AA 1F 的面积是________．五、课后作业： 学生姓名：___________1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y －2＝0，则a 的值是 ．2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ．3．抛物线的焦点到准线的距离是 ．4．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边 三角形，则p ＝ ．5．一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过定点_________．6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ．7．已知抛物线y 2=2x 上的两点A 、B 到焦点距离之和为5，则以线段AB 为直径的圆与准线位置关系为 ．8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于 ．9．如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，CO 为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.（1）若点C的纵坐标为2，求MN；（2）若AF2＝AM·AN，求圆C的半径．10．如右图所示,在直角坐标系中,射线在第一象限,且与轴的正半轴成定角,动点在射线上运动,动点在轴的正半轴上运动,的面积为.（1）求线段中点的轨迹的方程;（2）是曲线上的动点, 到轴的距离之和为,设为到轴的距离之积.问:是否存在最大常数，使恒成立?若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由.yxOAPQ。
高三数学二轮精品专题卷：解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线）考试范围：解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线）一、选择题（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线07ta n=+y x π的倾斜角是（ ）A ．7π-B ．7π C ．75π D ．76π2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为（ ） A ．012=--y xB ．072=-+y xC ．042=--y xD ．05=-+y x3．“2-=a ”是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．直线=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切5．已知点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为122-，则k = （ ） A ．1B ．1-C ．0D ．26．若椭圆122=+my x 的离心率⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，则m 的取值范围是 （ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛32,21B ．()2,1C ．()2,132,21 ⎪⎭⎫⎝⎛ D ．⎪⎭⎫⎝⎛2,21 7．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．332 B ．3 C ．2或332 D ．332或3 8．M 是抛物线x y 42=上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最小的角为60°，则=FM（ ） A ．2B ．3C ．4D ．69．设抛物线x y 82=的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为21的椭圆的一个顶点，则此椭圆的方程为（ ）A ．1161222=+y x 或1121622=+y xB ．1644822=+y x 或1486422=+y xC ．1121622=+y x 或1431622=+x y D ．13422=+y x 或1431622=+x y10．已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 1（O 为坐标原点），F 21=，()R MF ∈=λλ2，1=⋅PN M F ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆二、填空题（本大题共5小题；每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上） 11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的标准方程是 ． 12．圆064422=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的距离等于22的点有 个． 13．若点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:22=+-y x C 只有一个公共点M ，且PM 的最小值为4，则=m ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的离心率为22，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，再过⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a P 作圆M 的两条切线P A 、PB ，则APB ∠= ． 15．已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角的范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ则双曲线的离心率的范围是 ．三、解答题（本大题共6小题；共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）已知圆O 的方程为1622=+y x ． （1）求过点()8,4-M 的圆O 的切线方程；（2）过点()0,3N 作直线与圆O 交于A 、B 两点，求OAB △的最大面积以及此时直线AB 的斜率．17．（本题满分12分）将抛物线y x 222-=向上平移2个单位长度后，抛物线过椭圆12222=+by ax (a＞b ＞0)的上顶点和左右焦点．（1）求椭圆方程；[来源:金太阳新课标资源网 ]（2）若点()0,m P 满足如下条件：过点P 且倾斜角为π65的直线l 与椭圆相交于C 、D 两点，使右焦点F 在以CD 线段为直径的圆外，试求m 的取值范围．18．（本题满分12分）已知双曲线,12222=-b y a x (a ＞0，b ＞0)左右两焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，212F F PF ⊥，1PF OH ⊥于H ，1OF OH λ=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,91λ．（1）当31=λ时，求双曲线的渐近线方程； （2）求双曲线的离心率e 的取值范围；（3）当e 取最大值时，过1F ，2F ，P 的y 轴的线段长为8，求该圆的方程．[来源: ]19．（本题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点()0,p C 作直线m 与抛物线px y 22=(p ＞0)相交于A 、B 两点．（1）设()0,p N -，求⋅的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．20．（本题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于21,它的一个顶点恰好是抛物线y x 382=的焦点． （1）求椭圆C 的方程；（2）()3,2P 、()3,2-Q 是椭圆上两点，A 、B 是椭圆位于直线PQ 两侧的两动点，①若直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值；②当A 、B 运动时，满足BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．21．（本题满分13分）在平面直角坐标系中，已知向量()2,-=y x a ，()()R k y kx b ∈+=2,，若=．（1）求动点()y x M ,的轨迹T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；（2）当34=k 时，已知()1,01-F 、()1,02F ，点P 是轨迹T 在第一象限的一点，1=，若点Q 是轨迹T 上不同于点P 的另一点，问是否存在以PQ 为直径的圆G 过点2F ，若存在，求出圆G的方程，若不存在，请说明理由．[来源:金太阳新课标资源网]2012届专题卷数学专题十答案与解析1．【命题立意】本题考查直线的一般方程形式、斜率和倾斜角的关系以及正切函数的诱导公式．[来源: ] 【思路点拨】抓住直线方程y=kx+b 中斜率为k ，α为倾斜角，其中[)πα,0∈，当2πα≠时αtan =k ．【答案】D 【解析】7tanπx y -=，斜率76tan7tan 7tanππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=k ． 2．【命题立意】本题考查直线的对称和直线方程的求解以及直线上点的确定．【思路点拨】求出直线1l 与x 轴、与l 的交点坐标，再确定对称点的坐标，最后由两点式得到2l 的直线方程．【答案】D 【解析】画出图形，容易求得直线1l 与x 轴的交点()0,1-A ，它关于直线l 的对称点为()0,5B ，又1l 与l 的交点()3,2P ，从而对称直线2l 经过B 、P 两点，于是由两点式求得2l 的方程为05=-+y x ． 3．【命题立意】本题考查两条直线的位置关系和充要条件：0212121=+⇔⊥B B A A l l .【思路点拨】判断直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的位置关系时，抓住两点，一是1l ∥2l 时，212121C C B B A A ≠=，为了避免讨论系数为零的情况，转化为积式1221B A B A =且1221C A C A ≠；二是21l l ⊥，即斜率的乘积为1-，如果一条直线的斜率为零，则另一条直线的斜率不存在，也就是02121=+B B A A ．充分必要条件的判定，关键是看哪个推出哪个．【答案】A 【解析】1023221-=⇔=++⇔⊥a a a l l 或2-=a ，故选答案A ． 4．【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式以及基本不等式．【思路点拨】直线与圆的位置关系有三种，由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系决定，当d ＞r 时，相离；当d =r 时相切；当d ＜r 时相交． 【答案】D 【解析】圆心()0,0到直线0=+++b a by ax 的距离22b a b a d ++=，半径2=r ．由于()221222222≤++=++=b a ab ba b a d ，所以r d ≤，从而直线与圆相交或相切． 5．【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离．【思路点拨】圆上的点到直线上的点，这两个动点之间的距离的最小值，可以转化为直线上的点到圆心的距离的最小值来解决，圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，最小值等于圆心到直线的距离减去半径；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，最小值等于0．【答案】B 【解析】由题意可知，直线与圆相离，074422=+--+y x y x 即()()12222=-+-y x ，圆心()2,2到直线kx y =的距离1222+-=k k d ，∴12211222-=-+-=-k k r d ，解得1-=k ．6．【命题立意】考查椭圆的标准方程和椭圆中的基本量及其关系以及分类讨论的思想． 【思路点拨】可建立m 关于e 的函数，从而可根据e 的范围求得m 的范围． 【答案】C 【解析】化椭圆的方程为标准方程1122=+my x ，当m 1＜1，即m ＞1时，椭圆焦点在x 轴上，此时12=a ，m b 12=，m c 112-=，m e 112-=∴，211em -=∴，又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,33e ，∴23＜m ＜2，又m ＞1，∴1＜m ＜2．当m 1＞1，即m ＜1时，椭圆焦点在y 轴上，此时m a 12=，12=b ，112-=m c ，∴m ac e -==1222，即21e m -=，又⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，∴21＜m ＜32．综上，m 的范围范围是()2,132,21 ⎪⎭⎫⎝⎛．选择C ． 7．【命题立意】考查双曲线的标准方程，离心率的概念．【思路点拨】根据渐近线方程可以得到双曲线系方程，再分两种情况讨论焦点位置，从而求得离心率．【答案】C 【解析】由于一条渐近线方程为03=-y x ，所以可设双曲线方程为λ=-223y x ．当焦点在x 轴上时，方程为1322=-λλy x （λ＞0），此时32λ=a ，λ=2b ，于是34222λ=+=b a c ，所以离心率2==a c e ；当焦点在y 轴上时，方程为1322=---λx y （λ＜0），此时λ-=2a ，32λ-=b ，于是34222λ-=+=b a c ，所以离心率332==a c e ．故选择C ． 8．【命题立意】考查抛物线的定义和标准方程以及直角三角形的性质．【思路点拨】画出图形，利用抛物线的定义找出点M 的横坐标与|FM |的关系即可求得．【答案】C 【解析】画出图形，知()0,1F ，设FM =a 2，由点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则FN =a ，于是点M 的横坐标a x +=10．利用抛物线的定义，则M 向准线作垂线，有FM =10+x ，即112++=a a ，所以2=a ，从而FM =4． 9．【命题立意】考查椭圆与抛物线的标准方程，基本量的关系以及分类讨论问题．【思路点拨】由抛物线的标准方程求得准线方程，从而求得椭圆一个顶点的坐标，这个值是a 还是b ，就必须分两种情况讨论． 【答案】D 【解析】由抛物线x y 82=，得到准线方程为2-=x ，又21=a c，即c a 2=．当椭圆的焦点在x 轴上时，2=a ，1=c ，3222=-=c a b ，此时椭圆的标准方程为13422=+y x ；当椭圆的焦点在y 轴上时，2=b ，332=c ，334=a ，此时椭圆的标准方程为1431622=+x y ．故选择D ． 10．【命题立意】考查对向量含义的理解，线段垂直平分线的性质、三角形中位线性质和双曲线定义． 【思路点拨】画出图形，将向量问题转化为实数中线段关系问题，利用线段垂直平分线的性质和三角形中位线的性质，得到线段的差是常数，符合双曲线的定义．【答案】B1=说明点N 在圆122=+y x 上，NM M F 21=说明N 是线段M F 1的中点，2MF MP λ=（x ∈R ）说明P 在2MF 上，01=⋅PN M F 说明PN 是线段M F 1的垂直平分线，于是有PM PF =1，221MF ON =，从而有ON MF PF PM PF PF 22221==-=-=2＜21F F =4，所以点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的右支．从而选择B ． 11．【命题立意】考查圆的方程，直线与圆相切问题．【思路点拨】圆心已知，故只需求得其半径即可，而半径为圆心（-1,2）到直线的距离，根据点到直线的距离可求其半径，从而可求得圆的标准方程． 【答案】()()82122=-++y x 【解析】圆的半径()221112122=-+---=r ，所以圆的方程为()()()2222221=-++y x ，即()()82122=-++y x ．12．【命题立意】考查圆的标准方程，点到直线的距离．【思路点拨】先化圆的方程为标准方程，求出圆心到直线的距离，再来与半径比较． 【答案】3【解析】圆的方程为()()22222=++-y x ，圆心()2,2-到直线05=--y x 的距离222522=-+=d ，圆的半径2=r ，所以圆上到直线的距离等于22的点有3个． 13．【命题立意】考查圆心到直线的距离、圆的切线长定理和直线与圆相切问题．【思路点拨】画出图形，PM 是切线，切线长最小，即|PC |最小，也就是C 到1l 的距离． 【答案】1±【解析】画出图形，由题意l 2与圆C 只一个交点，说明l 2是圆C 的切线，由于162222-=-=PC CM PC PM ，所以要|PM|最小，只需|PC |最小，即点C 到l 1的距离22181305mm+=+++，所以|PM|的最小值为4161822=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+m ，解得1±=m ．14．【命题立意】考查椭圆的标准方程，椭圆离心率的概念和圆的切线问题． 【思路点拨】画出图形，由椭圆的离心率为22得到a c =22，再利用圆的切线的性质得到直角三角形，在直角三角形中求解角度．【答案】2π【解析】如图，连结OA ，则OA ⊥P A ，22sin 2===∠a cca a APO ，所以4π=∠APO ，从而2π=∠APB ． 15．【命题立意】考查双曲线中由a 、b 、c 构成的直角三角形的几何意义及离心率与a 、b 、c 的关系．[来源: ]【思路点拨】可根据四边形的特征，以“有一个内角小于60°”为桥梁确定离心率的范围． 【答案】⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,26【解析】设双曲线的方程为12222=-b y a x =1（a ＞0，b ＞0）,如图所示，由于在双曲线c ＞b ，所以只能是211B F B ∠＜90°,故由题意可知60°＜211B F B ∠＜90°， ∴在11B OF Rt ∆中，30°＜11B OF ∠＜45°，∴33＜c b ＜22，∴31＜22c a c -＜21， 即31＜1－21e＜21，∴23＜e 2＜2，∴26＜e ＜2． 16．【命题立意】考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，以及弦长问题． 【思路点拨】（1）过圆外一点的圆的切线方程，一般设斜率，利用圆心到直线的距离等于半径来求出斜率，但一定要注意斜率存在与否；（2）将弦长AB 看成底边，则三角形的高就是圆心到直线的距离． 【解析】（1）圆心为()0,0O ，半径4=r ，当切线的斜率存在时，设过点()8,4-M 的切线方程为()48+=-x k y ，即084=++-k y kx （1分）．则41|84|2=++k k ，解得43-=k ，（3分），于是切线方程为02043=-+y x （5分）．当斜率不存在时，4-=x 也符合题意．故过点()11,5-M 的圆O 的切线方程为02043=-+y x 或4-=x ．（6分） （2）当直线AB 的斜率不存在时，73=∆ABC S ，（7分），当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()3-=x k y ，即03=--k y kx ，圆心()0,0O 到直线AB 的距离132+=k k d ，（9分）线段AB 的长度2162d AB -=，所以()()821616162122222=-+≤-=-==∆d d d d d d d AB S ABC ，（11分）当且仅当82=d 时取等号，此时81922=+k k ，解得22±=k ，所以OAB △的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为22±．（12分）17．【命题立意】本题考查椭圆方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系以及存在性问题． 【思路点拨】（1）可根据抛物线平移后与坐标轴的交点求得b 、c 的值，从而可得a 的值，故可求椭圆方程；（2）可利用向量法解决．【解析】（1）抛物线y x 222-=的图象向上平移2个单位长度后其解析式为()2222--=y x ，其与x 、y 轴的交点坐标分别为()0,2±、()2,0，∴2=b ，2=c ，（2分）∴62=a ，故椭圆的方程为12622=+y x ．（4分）（2）由题意可得直线l 的方程为()m x y --=33，代入椭圆方程消去y 得，062222=-+-m mx x ，（6分）又()68422--=m m △＞0，∴32-＜m ＜32．（7分）设C 、D 分别为()11,y x ，()22,y x ，则m x x =+21，26221-=m x x ，∴()()()33313333221212121m x x m x x m x m x y y ++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=，∵()11,2y x FC -=，()22,2y x FD -=，∴()()()()33243363422221212121-=++++-=+--=⋅m m m x x m x x y y x x FD FC ，（10分）∵点F 在圆的外部，∴FD FC ⋅＞0，即()332-m m ＞0，解得m ＜0或m ＞3，又∵32-＜m ＜32，∴32-＜m ＜0或3＜m＜32．（12分）18．【命题立意】考查双曲线的定义和标准方程，渐近线和离心率计算公式．【思路点拨】（1）求渐近线方程的目标就是求ab ，可根据条件建立a 、b 的数量关系来求得；（2）可建立e关于λ的函数，从而可根据λ的范围求得e 的范围；（3）可根据离心率确定a 、b 的数量关系，再结合图形确定圆的圆心与半径．【解析】由于()0,2c F ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±a b c P 2,，于是a b PF 22=，a ab a PF PF 22221+=+=，（1分）由相似三角形知，112PF OF PF OH =，即121PF PF OF OH =，即ab a a b 222+=λ，（2分）∴2222b b a =+λλ，()λλ-=1222b a ，λλ-=1222a b ． （1）当31=λ时，122=ab ，∴b a =．（3分）所以双曲线的渐近线方程为x y ±=．（4分）（2）()[]121112111211211222---=--=---+=-+=+==λλλλλλab ac e ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,91上为单调递增函数．（5分） ∴当21=λ时，2e 取得最大值3（6分）；当91=λ时，2e 取得最小值45．（7分）∴3452≤≤e ，∴325≤≤e ．（8分）（3）当3=e 时，3=ac，∴a c 3=，∴222a b =．（9分）∵212F F PF ⊥，∴1PF 是圆的直径，圆心是1PF 的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴81=PF ．（10分）又a aa a ab a PF 4222221=+=+=，∴84=a ，2=a ，32=c ，22=b ．（11分）∴4222===a ab PF ，圆心()2,0C ，半径为4，故圆的方程为()16222=-+y x ．（12分）19．【命题立意】考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系．【思路点拨】设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理来解决；存在性问题一般是假设存在，利用垂径定理推导求解来解决．【解析】（1）依题意，可设()11,y x A 、()22,y x B ，直线AB 的方程为p my x +=， 由0222222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=p pmy y px y pmy x ，（2分）得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+2212122p y y pm y y ，（3分）∴NB NA ⋅=()()2211,,y p x y p x ++()()2121y y p x p x +++=()()212122y y p my p my +++=()()221212421p y y pm y y m ++++=22222p m p +=（6分）当0=m 时，NB NA ⋅取得最小值22p .（7分）（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为a x =，AC 的中点为O '，l 与以AC 为直径的圆相交于P 、Q ，PQ 的中点为H ，则PQ H O ⊥'，O '的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+2,211y p x ．()2212121212121p x y p x AC P O +=+-==' （9分），()()()a p a x p a p x a p x H O P O PH-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---+='-'=∴1212212222124141，2PQ =()22PH =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a p a x p a 1214（11分），令021=-p a 得p a 21=．此时p PQ =为定值．故满足条件的直线l 存在，其方程为p x 21=．（13分）20．【命题立意】考查椭圆与抛物线的标准方程，直线与椭圆的位置关系．【思路点拨】（1）利用抛物线的标准方程，求出焦点坐标，从而得到椭圆中的b ，再由离心率建立方程，可求得椭圆的标准方程；（2）抓住直线PQ ⊥x 轴，BPQ APQ ∠=∠即直线P A 、PB 的斜率互为相反数，联系方程利用韦达定理来解决． 【解析】（1）设C 方程为12222=+by ax （a ＞b ＞0），则32=b ．由21=a c ，222b c a +=，得a =4∴椭圆C 的方程为1121622=+y x ．（4分）（2）①设()11,y x A ，()22,y x B ，直线AB 的方程为t x y +=21，代入1121622=+y x ，得01222=-++t tx x ，由∆＞0，解得4-＜t ＜4．（6分）由韦达定理得t x x -=+21，12221-=t x x ． 四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=，∴当0=t 时312max=S ．（8分）②当BP Q AP Q ∠=∠，则P A 、PB 的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，P A 的直线方程为()23-=-x k y ，由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-)2(11216)1(2322y x x k y ．将（1）代入（2）整理得()()()04823423843222=--+-++k kx k x k ，有()21433282kk k x +-=+．（10分）同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得()()22243328433282k k k kk k x ++=+---=+，∴2221431216kk x x +-=+，2214348kk x x +-=-．（12分）从而AB k =2121x x y y --=()()21213232x x x k x k ---++-=()21214x x k x x k --+=21，所以AB 的斜率为定值21．（13分） 21．【命题立意】考查圆锥曲线的标准方程，椭圆与双曲线的定义，向量垂直问题． 【思路点拨】（1）利用向量的数量积的坐标运算来求出轨迹方程，但一定要注意对参数的讨论；（2）利用椭圆或双曲线的定义确定点P 的位置，以PQ 为直径的圆G 过点2F ，即022=⋅QF PF ，利用向量垂直的坐标运算来解决．【解析】（1）∵b a ⊥，∴()()02,2,=+⋅-=⋅y kx y x b a ，得0422=-+y kx ，即422=+y kx ．（1分） 当0=k 时，方程表示两条与x 轴平行的直线；（2分）当1=k 时，方程表示以原点为圆心，以2为半径的圆；（3分）当0＜k ＜1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；（4分）当k ＞1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；（5分）当k ＜0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线．（6分）（2）由（1）知，轨迹T 是椭圆13422=+x y ，则1F 、2F 为椭圆的两焦点．解法一：由椭圆定义得421=+PF PF ,联立121=-PF PF 解得251=PF ，232=PF ，又221=F F ，有2212221F F PF PF +=,∴212F F PF ⊥，∴P 的纵坐标为1，把1=y 代入13422=+x y 得23=x 或23-=x （舍去），∴⎪⎭⎫ ⎝⎛1,23P ．（9分）设存在满足条件的圆，则22QF PF ⊥，设()t s Q ,，则⎪⎭⎫⎝⎛-=0,232PF ，()t s QF --=1,2,∴022=⋅QF PF ，即()01023=-⨯+t s ,∴0=s ．又13422=+s t ，∴2±=t ,∴()2,0Q 或()2,0-Q ．（12分）所以圆G 的方程：1613234322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 或1645214322=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ．（13分）。
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 (推荐时间：60分钟) 一、填空题 1．(2011·湖南改编)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．3．(2011·江西)若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________. 4．P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则PM －PN 的最大值为________．5．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于________．6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于________．7．(2011·山东改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．8．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________．9．(2011·辽宁)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．10．已知抛物线y ＝2x 2上任意一点P ，则点P 到直线x ＋2y ＋8＝0的距离的最小值为________．11．已知椭圆长轴长为短轴长的3倍且经过点P (3,0)，则椭圆的标准方程是________________．12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的离心率为e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点O ，则k 1·k 2的值为________．二、解答题13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 过点A (4,0)且与抛物线交于P 、Q 两点，并设以弦PQ 为直径的圆恒过原点．(1)求焦点坐标；(2)若FP →＋FQ →＝FR →，试求动点R 的轨迹方程．14. (2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD . (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 15．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝217，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．答 案1．2 2. 2 3. 48 4. 9 5. 133 6. 210 7.x 25－y 24＝1 8.⎣⎡⎦⎤33，22 9．2 10. 127580 11. x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1 12. 3 13．解 (1)设直线的方程为x ＝ky ＋4，代入y 2＝2px ，得y 2－2kpy －8p ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝2kp ，y 1y 2＝－8p .而OP →·OQ →＝0，故0＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋4)(ky 2＋4)－8p ＝k 2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)＋16－8p ， 即0＝－8k 2p ＋8k 2p ＋16－8p ，得p ＝2，所以焦点F (1,0)．(2)设R (x ，y )，由FP →＋FQ →＝FR →得(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(x －1，y )，所以x 1＋x 2＝x ＋1，y 1＋y 2＝y .而y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，可得y (y 1－y 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．又FR 的中点坐标为M (x ＋12，y 2)， 当x 1≠x 2时，由k PQ ＝k MA 得4y ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2x ＋12－4， 整理得y 2＝4x －28.当x 1＝x 2时，R 的坐标为(7,0)，也满足y 2＝4x －28.所以y 2＝4x －28即为动点R 的轨迹方程．14. 解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ， ∵P 在圆上， ∴x 2＋(54y )2＝25， 即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412. ∴线段AB 的长度为 AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋1625)(x 1－x 2)2 ＝4125×41＝415. 15．(1)解 由e ＝12得c a ＝12， 即a ＝2c ，b ＝3c .由右焦点到直线x a ＋y b＝1的距离为 d ＝217，得|bc －ab |a 2＋b2＝217， 解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 ①直线AB 斜率不存在时， 设A (m ，n )，B (m ，－n )，则n m ×－n m＝－1，∴m 2＝n 2. 把m 2＝n 2代入x 24＋y 23＝1，得m 2＝127. ∴O 到直线AB 的距离为|m |＝2217. ②直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆x 24＋y 23＝1联立消去y 得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0.即(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k2＋m 2＝0， 整理得7m 2＝12(k 2＋1)，所以O 到直线AB 的距离d ＝|m |k 2＋1＝127＝2217. 由①②可知，点O 到直线AB 的距离为定值．。
