北师大高中数学选修44精讲精练课时作业 双曲线的参数方程 含解析

圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程练习1过点M(2,1)作曲线C：4cos,4sinxyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线方程为( )．A．y－1＝－12(x－2)B．y－1＝－2(x－2)C．y－2＝－12(x－1)D．y－2＝－2(x－1)2曲线=5cos,=3sinxyθθ⎧⎨⎩(θ是参数)的左焦点的坐标是( )．A．(－4,0) B．(0，－4) C．(－2,0) D．(0,2)3圆锥曲线4=cos=3tanxyθθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ是参数)的焦点坐标是( )．A．(－5,0) B．(5,0) C．(±5,0) D．(0，±5)4P(x，y)是曲线=2cos=sinxyαα+⎧⎨⎩，(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )．A．36 B．6 C．26 D．255点M(x，y)在椭圆22=1124x y+上，则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为__________，此时点M坐标是__________．6已知A，B分别是椭圆22=1369x y+的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，则△ABC的重心G的轨迹的参数方程是__________．7求椭圆22=194x y+的参数方程．(1)设x＝3cos φ，φ为参数；(2)设y＝2t，t为参数．8已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．参考答案1答案：B 把曲线C的参数方程化为普通方程为x2＋y2＝16，表示圆心在原点，半径r＝4的圆，所以过点M的弦与线段OM垂直，又12OMk=.∴弦所在直线的斜率为－2，∴直线方程为y－1＝－2(x－2)．2答案： A 由=5cos=3sinxyθθ⎧⎨⎩，，得22259x y+＝1，∴左焦点的坐标为(－4,0)．3答案：C 由4=cos=3tanxyθθ⎧⎪⎨⎪⎩，，得22169x y-＝1，∴它的焦点坐标为(±5,0)．4答案：A 由参数方程可知，(x－2)2＋y2＝1，圆心O(2,0)，另一定点M(5，－4)，∴|OM|5.∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(5＋1)2＝62＝36.5答案：(－3，－1)椭圆参数方程为=2sinxyθθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ为参数)，则点M(cos θ，2sin θ)到直线x＋y－4＝0的距离d＝π|4sin4|θ⎛⎫+-⎪.当π3π=32θ+时，maxd＝此时，点M的坐标为(－3，－1)．6 答案：=22cos,=1sinxyθθ+⎧⎨+⎩π2θθθ⎛⎫≠≠⎪⎝⎭为参数，且由于动点C在该椭圆上运动，故可设点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，重心G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6,0)，B(0,3)，由重心坐标公式可知有606cos==22cos,3033sin==1sin3xyθθθθ++⎧+⎪⎪⎨++⎪+⎪⎩π2θθθ⎛⎫≠≠⎪⎝⎭为参数，且.7 答案：分析：把x，y含参表达式分别代入椭圆方程求出参数方程．解：(1)把x＝3cos φ代入椭圆方程，得229cos=194yϕ+，∴y2＝4(1－cos2φ)＝4sin2φ，即y＝±2sin φ.由φ的任意性，可取y＝2sin φ.∴22=194x y+的参数方程为=3cos,=2sinxyϕϕ⎧⎨⎩(φ为参数)．(2)把y ＝2t 代入椭圆方程，得224=194x t +. ∴x 2＝9(1－t 2)，∴=x ±.∴参数方程为=2x y t⎧⎪⎨⎪⎩(t 为参数)或==2x y t ⎧⎪-⎨⎪⎩t 为参数)．8答案：分析：利用双曲线的参数方程代入距离公式，利用三角函数公式进行转化． 证明：设d 1为点M 到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点M 到渐近线y ＝－x 的距离， 因为点M 在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设点M 的坐标为1tan cos αα⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 1d，2d ， d 1·d 2＝221tan 1cos =22αα-， 故d 1与d 2的乘积是常数．。

课时作业(十)1．已知曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ(θ为参数)，则下列各点在曲线上的是( )A ．(2，7)B ．(13，23)C ．(12，12)D ．(1，0)答案 C解析 由参数方程中x 、y 的取值范围，可排除A ；参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝1－2sin 2θ(θ为参数)，把点的坐标代入验证知，点(12，12)满足方程，故选C.2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是( )A ．(0，25)，(12，0)B ．(0，15)，(12，0)C ．(0，－4)，(8，0)D ．(0，59)，(8，0)答案 B3．曲线xy ＝1的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 12，y ＝t －12B.⎩⎨⎧x ＝sin α，y ＝1sin α C.⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1cos αD.⎩⎨⎧x ＝tan α，y ＝1tan α答案 D4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋4cos θ，y ＝5tan θ－3(θ为参数，π≤θ<2π)．已知点M(14，a)在曲线C 上，则a ＝( ) A ．－3－5 3 B ．－3＋5 3 C ．－3＋533D ．－3－533答案 A5．(2016·咸阳模拟)点P(1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中参数t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2答案 B解析 点P(1，0)到曲线上的点的距离设为d ，则 d ＝（x －1）2＋（y －0）2 ＝（t 2－1）2＋（2t ）2 ＝（t 2＋1）2＝t 2＋1≥1. 当t ＝0时，d min ＝1.所以，点P 到曲线上的点的距离的最小值为1.选B.6．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝－2t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t答案 D解析 原方程可变形为(x －2t)2＋(y －t)2＝4，则这组圆的圆心坐标为(2t ，t)，设圆心坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)，故选D. 7．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，则曲线C 上的点A(1，－3)对应的θ值为( ) A.π3 B.2π3 C.5π3 D.116π 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＝2cos θ，－3＝2sin θ，即⎩⎨⎧sin θ＝－32，cos θ＝12，所以θ＝5π3，故选C.8．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1(t 为参数)必过点( )A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(0，0)D ．(2，0)答案 C解析 将点的坐标依次代入曲线的参数方程，若参数有解即为所求．由于当t ＝1时，x ＝y ＝0，故选C.9．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)围成图形的面积等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案 D解析 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2cos θ，y －3＝2sin θ，(θ为参数)表示圆心为(－1，3)，半径为2的圆，所以面积等于4π.10．已知点P(x ，y)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上，则x －2y 的最大值为( )A ．2B ．－2C ．1＋ 5D ．1－ 5答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ，所以x －2y ＝1＋cos θ－2sin θ ＝1－(2sin θ－cos θ)＝1－5(25sin θ－15cos θ) ＝1－5sin(θ－φ)(其中tan φ＝12)，所以x －2y 的最大值为1＋ 5.11．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________．答案 0或2解析 若y ＝1，则t 2＝1，则t ＝±1，x ＝0或2.12．已知点A(4，b)在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝－2＋t (t 为参数)上，则b ＝________．答案 7解析 由题意得⎩⎨⎧4＝t ＋1，b ＝－2＋t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝9，b ＝7.所以b ＝7.13．已知圆C 的圆心是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切．则圆C 的方程为________． 答案 (x ＋1)2＋y 2＝2解析 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝1＋t(t 为参数)与x 轴的交点为(－1，0)，故圆C 的圆心坐标为(－1，0)．又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以圆C 的半径为r ＝|－1＋0＋3|2＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.14．设x ＝2pt 2(t 为参数)，求抛物线y 2＝2px 的参数方程． 解析 由x ＝2pt 2得y 2＝2p·2pt 2＝(2pt)2. 又t ∈R ，所以y ＝2pt. 即抛物线y 2＝2px的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．15．一位同学从楼房的阳台上以v 0＝2.5 m/s 的水平初速度平抛一物体，测得该物体抛出落在楼前5 m 的水平地面上，若不计空气阻力，g 取10 m/s 2，求： (1)物体的轨迹的参数方程； (2)楼房阳台的高度．解析 设阳台的高度为h ，平抛物体在空中运动的时间为t ，如图建立平面直角坐标系，则平抛物体在水平方向做匀速直线运动， x ＝v 0t ＝2.5t ，竖直方向向下是自由落体运动y ＝h －12gt 2，则物体轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5t y ＝h －5t 2(t 为参数)， 将x ＝5，y ＝0代入t ＝2 s ，h ＝20 m. 所以阳台高度为20 m.1．在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标是( )A ．(1，3)B ．(2，3)C ．(12，－2)D ．(－34，12)答案 D2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值为( )A.12 B.22C ．1 D. 2答案 D解析 由题意，曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d ＝|cos θ|＋|sin θ|.设θ∈[0，π2]，d ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)∈[1，2]，∴d max ＝ 2.3．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－t答案 A4．已知参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，θ∈[0，2π)．(1)点A(1，3)________参数方程表示的曲线上，点B(2，1)________参数方程表示的曲线上；(填“在”或“不在”)(2)若点C(－3，a)在参数方程表示的曲线上，则a 的值为________． 答案 (1)在 不在 (2)±1解析 (1)把A(1，3)的坐标代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝2cos θ，3＝2sin θ，在[0，2π)内，此方程组的解是θ＝π3， 把B(2，1)的坐标代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2cos θ，1＝2sin θ，在[0，2π)内，此方程组无解．故A 点在参数方程表示的曲线上，而B 点不在参数方程表示的曲线上． (2)由点C(－3，a)在参数方程表示的曲线上，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，a ＝2sin θ，解得cos θ＝－32，sin θ＝±12，∴a ＝±1. 5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是________．答案5解析 将t ＝0，t ＝1分别代入曲线的参数方程，可得相应两点的直角坐标分别为(2，－1)与(4，0)，故两点间的距离为 5.6．直角坐标系中，经过原点O 作圆x 2＋y 2－2ax ＝0(a>0)的弦，选择适当的参数，求出这些弦的中点的轨迹的参数方程．解析 把圆的一般方程x 2＋y 2－2ax ＝0化为标准方程得(x －a)2＋y 2＝a 2，则圆心坐标为C(a ，0)，半径为a.如图，设OP 是过原点的任意一条弦，M(x ，y)是弦OP 的中点，弦OP 与x 轴的夹角为θ，θ为参数，连接CM ，过M 作MN ⊥x 轴于N ，则|OM|＝|OC|cos θ＝acos θ，∴|ON|＝|OM|cos θ＝acos 2θ，|MN|＝|OM|sin θ＝acos θsin θ，∴所求弦的中点的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos 2θ，y ＝acos θsin θ(θ为参数)．由Ruize收集整理。

姓名，年级：时间：第二章 综合练习1．下列参数方程(t 为参数)中与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的是( ）A.错误!B.错误! C 。

错误!D.错误! 答案 B2．若圆的参数方程为错误!（θ为参数)，直线的参数方程为错误!(t 为参数），则直线与圆的位置关系是( )A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离答案 B3．设圆的半径为r>0，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos φy ＝rsin φ（φ为参数）直线的方程为xcos θ＋ysin θ＝r ，则直线与圆的位置关系（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．与r 的大小有关答案 A4．直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ相交，则k 的取值范围是（ ）A ．k 〈－错误!B ．k ≥－错误!C ．k ∈RD ．k ∈R 且k≠0 答案 A5．直线l 的参数方程是错误!（t∈R），则l 的方向向量是（ )A ．（1，2)B ．（2,1)C ．（－2,1）D ．（1，－2) 答案 C解析 化为普通方程为y ＝－错误!x ＋错误!，∴方向向量为(－2，1）6．直线l ：错误!(t 为参数)与圆错误!（α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为（ ）A.错误!或错误!B 。

错误!或错误! C.π3或错误! D ．－错误!或－错误! 答案 A7．曲线错误!上的点与x轴的距离的最大值为（）A．1 B．2C．3 D．4答案C解析曲线错误!的普通方程为(x－1)2＋（y＋2)2＝1,曲线的中心即圆心坐标为（1，－2)，半径为1，圆心到x轴的距离为2，所以圆上的点与x轴的距离的最大值为2＋1＝3. 8．(2015·重庆理)已知直线l的参数方程为错误!（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4（ρ〉0，错误!〈θ〈错误!),则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．答案(2，π）解析对错误!(t为参数）消去参数t，得x－y＋2＝0.ρ2cos2θ＝ρ2（2cos2θ－1）＝2ρ2cos2θ－ρ2＝2x2－（x2＋y2)＝x2－y2.又34π〈θ〈错误!，联立错误!得交点坐标（－2,0），化为极坐标为(2,π）．9．已知圆C的参数方程为错误!(θ为参数），则点P(5，3）与圆C上的点的最远距离是________．答案7解析圆C:错误!的普通方程为（x－1)2＋y2＝4，故圆心C（1,0)，半径r＝2,由于点P（5，3）在圆外部，所以点P与圆C上的点的最远距离为｜PC｜＋2＝错误!＋2＝7。

习题2－2 (第28页)A 组1.解 (1)a 作为参数时，方程表示直线；φ作为参数时，方程表示圆.(2)x ，y 分别表示曲线上任意一点的横、纵坐标；x 0，y 0分别表示曲线上某一定点的横、纵坐标；若a 作为参数，则它表示直线上定点M 0(x 0，y 0)与直线上任意一点M (x ，y )构成的有向线段M 0M →的数量，此时φ是直线的倾斜角；若φ作为参数，则它表示圆的半径与x 轴正方向所夹的角，此时a 表示圆的半径.2.2π33.解直线方程⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)可以变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－22（2t ），y ＝3＋22（2t ）.所以|2t |＝2，2t ＝±2.所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1，2).4.解 将直线l 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋613t ，y ＝3＋413t ，代入l 2：x ＋y －2＝0，得t ＝－132. 所以点Q 的坐标为(1，1)，所以|PQ |＝13. 5.解(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数). (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t代入x －y －23＝0，得t ＝－10－6 3. 由t 的几何意义知，两直线的交点到点M 的距离为|t |＝10＋6 3.(3)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t代入x 2＋y 2＝16， 得t 2＋(53＋1)t ＋10＝0.所以t 1＋t 2＝－(53＋1)，t 1t 2＝10.由t 的几何意义知，直线与圆的两个交点到点M 的距离分别为|t 1|，|t 2|.因为t 1t 2＞0，所以t 1，t 2同号，所以|t 1|＋|t 2|＝53－1，|t 1|·|t 2|＝10.6.解 (1)⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝3＋5sin α(α为参数). (2)若a ＞0，如图，设点P (x ，y )，则由题意，取|OP |＝t为参数.在Rt △AOP 中，作PM ⊥OA ，根据射影定理，所以⎩⎨⎧|OP |2＝OM ·OA ，t 2＝x ·2a ， 所以x ＝t 22a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 22a ，y ＝±t 2a 4a 2－t2(t 为参数). 若a ＜0，同理.7.证明 以圆心为原点，建立平面直角坐标系，设圆的半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(θ为参数).圆内接矩形在第一象限内的顶点坐标为(R cos θ，R sin θ).所以S ＝4R cos θ·R sin θ＝2R 2sin 2θ.要使S 最大，则2θ＝π2，θ＝π4.即圆的内接矩形中正方形的面积最大.8.解 直线方程为y ＝tan θ·x .由⎩⎨⎧y ＝tan θ·x ，x 2＋y 2－2x ＝0，得圆x 2＋y 2－2x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21＋tan 2θ，y ＝2tan θ1＋tan 2θ(θ为参数).9.P ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，1，θ＝arctan 239 10.解 直线方程为y ＝tx ＋4.由⎩⎨⎧y ＝tx ＋4，4x 2＋y 2－16＝0，得椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t t 2＋4，y ＝－4t 2＋16t 2＋4(t 为参数).B 组1.以时间t 为参数，点M 轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .2.解直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝4－t 可以变形为直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22（－2t ），y ＝4＋22（－2t ），则两个交点到点A (2，4)的距离之和为2(|t 1|＋|t 2|)，将直线方程⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝4－t ，代入y 2＝4x ，得t 2－12t ＋8＝0.所以t 1＋t 2＝12，t 1t 2＝8.所以2(|t 1|＋|t 2|)＝2|t 1＋t 2|＝12 2.3.解 因为点B (x ′，y ′)在椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上运动，所以⎩⎨⎧x ′＝2cos θ，y ′＝3sin θ.设⎩⎨⎧x ＝x ′＋y ′，y ＝x ′－y ′，则⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋3sin θ，y ＝2cos θ－3sin θ，所以动点P 的轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 62＝1. 4.解 由cos ∠MOQ ＝35，得在Rt △MOQ 中，OQ OM ＝35.因为OM ＝10，所以OQ ＝6，即a ＝6.所以双曲线的方程为x 236－y 29＝1，且点P 为(10，4).5.略6.⎩⎨⎧x ＝7 782.5cos θ，y ＝7 721.5sin θ(θ为参数). 7.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2(t 为参数). 8.点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数).。

一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．点(,)P x y 是椭圆222312+=x y 上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ） A．B．CD3．已知点A ，B 是曲线2241x y +=上两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则2211OAOB+=（ ）A ．34 B ．1C ．54D ．54．已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为 4cos ()sin x y 为参数ααα=⎧⎨=⎩，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到点T 的距离的最大值为（ ） A．2+BC．4+D．5．已知(,)P x y是椭圆sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P到40x -=的距离的最大值为（ ） AB．2CD．26．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个7．4sin 4πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与直线122{12x y =-=（t 为参数）的位置关系是（ ） A ．相切B ．相离C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心8．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为3212x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） A ．877B ．477C ．81313D ．413139．已知椭圆C 的参数方程为3cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 的两个焦点坐标是（ ）A ．(4,0)±B ．(0,4)±C ．(34,0)±D ．(0,34)±10．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x+-的取值范围是（ ） A ．30,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．31,13⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b12．在直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数），直线的方程为 ，若上的点到的距离的最大值为，则（ ） A ． B ． C ． D ．或二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A B ，分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为______.15．在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，设为曲线上一动点，则的取值范围为_____________16．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线C 的极坐标方程为2cos 4s 0()in ρθθρ≥＝，直线l 的参数方程为31x ty t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．设直线l 与抛物线C 的两个交点为A 、B ，点F 为抛物线C 的焦点，则||||AF BF 的值为________．17．已知直线参数方程为355435x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，直线与圆5ρ=交于B 、C 两点,则线段BC 中点直角坐标________. 18．直线被圆所截得的弦长为 ．19．直线415{315x ty t =+=--（t 为参数）被曲线24πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截得的弦长为 .20．变量,x y 满足21x ty t⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数），则代数式22y x ++的最小值是__________．三、解答题21．已知纵坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为：3112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=． （1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线． （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求PQ 值．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且设点(2,1)P ，求22||||PM PN +的值． 23．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l 的参数方程为1x t y t=⎧⎨=-+⎩，(t 为参数)，直线l 和圆C 交于A 、B 两点，P 是圆C 上异于A 、B 的任意一点. （1）求圆C 的参数方程； （2）求PAB 面积的最大值.24．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆C 2的极坐标方程为28sin 150ρρθ++=.（1）求曲线C 1的方程普通方程和C 2的直角坐标方程； （2）过圆C 2的圆心，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 1交于A 、B 两点，则求22+C A C B 的值.25．平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为212x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.且曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程；（2）若点M 的极坐标为(1,)2π，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +的值 26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C ：243cos 20ρρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 2313co -s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y 的最大值为133+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．D解析：D 【解析】试题分析：由于椭圆，所以可设点Ｐ(x,y)的代入2x y +得：（其中）=，故知2x y +22考点：１．椭圆的性质；2.最值的求法．3．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线2241x y +=化为极坐标方程，设12(,),(,)2A B πρθρθ+，可将2211OAOB+表示为θ的函数，可得答案. 【详解】解：将曲线2241x y +=化为极坐标方程得：2222cos 4sin 1ρθρθ+=，可得2221cos 4sin ρθθ=+，由OA OB ⊥，可设12(,),(,)2A B πρθρθ+,可得2211OAOB+=221211+ρρ=2222cos 4sin +cos +4sin +22ππθθθθ++（）（）=5， 故选D. 【点睛】本题主要考查椭圆的极坐标方程，注意灵活运用其性质解题.4．A解析：A 【分析】首先求出曲线T 的直角坐标系方程，设点(4cos ,sin )M αα，求出点M 到直线T 的距离，利用三角函数即可求出点M 到直线T 的距离的最大值． 【详解】由曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，可得曲线T 的直角坐标方程为2200x y +-=，由于点M 为曲线C 的一个动点，故设点(4cos ,sin )M αα， 则点M 到直线T 的距离：2sin()d αϕ===+-所以当sin()1αϕ+=-时，距离最大max 2d =+，点M 到直线T的距离的最大值为2+故答案选A 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的相关知识，考查推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．5．A解析：A 【分析】设点,sin )P αα，求得点P到直线的距离为d =数的性质，即可求解. 【详解】由题意，点(),P x y是椭圆x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，设点,sin )P αα，则点P到直线40x -=的距离为d ==当cos()14πα+=-时，距离dA. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点(3cos ,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】首先，将给定的参数方程和极坐标方程化为普通方程，然后，利用直线与圆的位置关系, 圆心到直线的距离为224222d -+==,进行判断．【详解】∵直线l 的参数方程为(4x tt y t=⎧⎨=+⎩ 为参数．所以它的普通方程为：40x y -+=，∵曲线C 的极坐标方程为42sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()42sin 4sin cos 4πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 两边同乘ρ，得2244x y x y +=+，所以直角坐标方程为()()22228x y -+-=，所以圆C 它的半径为22，圆心为()2,2， 圆心到直线的距离为224222d -+==，所以直线l 和曲线C 的公共点有1个． 故选B ． 【点睛】这个题目考查了参数方程和极坐标方程化为普通方程，直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.7．D解析：D 【解析】分析：先应用cos ?x y sin ρθρθ==，244sin πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为直角坐标方程，轨迹为圆，再化简1221222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为直线10x y +-=，利用圆心到直线的距离公式，求出距离，判断与半径的关系，从而确定直线与圆的位置关系)4sin cos4sinπθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，化为直角坐标方程为：22220x y x y+--=即()()22112x y-+-=，圆心为()11，12212xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化为普通方程为直线10x y+-==<故直线与圆相交且不过圆心故选D点睛：本题主要考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程转化为普通方程，还考查了直线与圆的位置关系，属于基础题。

课时作业(一)1．点B(1，－2)关于点A(－1，1)的对称点P ′的坐标为( )A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(－3，－4)答案 B解析 设P ′(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝－1，－2＋y 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4.故选B.2．方程(x 2－3)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( )A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线答案 B解析 由(x 2－3)2＋(y 2－4)2＝0得，x 2－3＝0且y 2－4＝0，所以x ＝±3且y ＝±2，所以方程表示的图形是四个点，故选B.3．已知△ABC 中，A(4，－3)，B(5，－2)，重心G(2，－1)，则点C 的坐标为() A ．(－3，2) B ．(3，－2)C ．(2，－3)D ．(－2，3)答案 A解析 设点C(x ，y)，线段AB 的中点为D(92，－52)，依题意得GC →＝2DG →，即(x －2，y ＋1)＝2(2－92，－1＋52)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－5，y ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝2.所以C(－3，2)为所求．4．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2，2)的距离，则点P的轨迹是() A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案 A解析因为M(2，2)在直线x＋y－4＝0上，所以点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．选A.5．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π答案 B解析设P(x，y)，则（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，化简得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，图形为以(2，0)为圆心，2为半径的圆，面积S＝4π.故选B.6.如图所示的曲线方程是()A．|x|－y＝0B．x－|y|＝0C．x－1＝|y|D．|x|－1＝y答案 B解析由图像知：一个x对应两个y值且y可以为0.7．已知等腰△ABC中，∠C＝90°，A(－1，0)，B(3，2)，则点C的坐标为() A．(3，－3) B．(0，3)或(3，－3)C．(2，－1) D．(0，3)或(2，－1)答案 D→·BC→＝(4，－3)·(0，－5)＝15≠0，解析若点C(3，－3)，则AC所以不满足AC⊥BC，排除A、B项；若点C(2，－1)，则AC →·BC →＝(3，－1)·(－1，－3)＝0，所以AC ⊥BC ，又|CA|2＝|CB|2＝10，故C(2，－1)满足题意，由于AB 的中点坐标为(1，1)，由对称性，得另一点C 的坐标为(0，3)．8．已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN→|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P(x ，y)的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x答案 B解析 设P(x ，y)，又由M(－2，0)，N(2，0)，则MN→＝(4，0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y)，NP →＝(x －2，y) 又由|MN→|·|MP →|＋MN →·NP →＝0， 则4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0， 化简整理得y 2＝－8x.9．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影部分区域内，则探测目标可能的坐标是________．①(9，600)；②(7，－500)；③(－3，300)；④(－2，－800)．答案 ③解析 由图可知，阴影部分区域在第二象限，即探测目标应该是第二象限的点，则探测目标可能的坐标是(－3，300)．10．已知点P(x ，y)在第四象限，它到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为1，则P 点坐标为________．答案 (1，－2)解析 ∵点P(x ，y)到x 轴距离为2，到y 轴距离为1，∴|y|＝2，|x|＝1.又∵P(x ，y)在第四象限，x>0，y<0，∴x ＝1，y ＝－2，即P 点坐标为(1，－2)．11．已知等边△ABC 的两顶点坐标为A(2，0)，B(－4，0)，则点C 的坐标为________． 答案 (－1，33)或(－1，－33)解析 如图，设C 点坐标为(a ，b)，过C 作CD ⊥BA 于D ，∴|DA|＝12|AB|，又|AB|＝6， ∴|DA|＝3，|OD|＝|AD|－|AO|＝3－2＝1，又∵|CD|＝32|AB|＝32×6＝33， ∴a ＝－1，b ＝±33，∴C 点坐标为(－1，33)或(－1，－33)．12．一动点在圆x 2＋y 2＝1上移动，它与定点(3，0)连线的中点的轨迹方程是________． 答案 (2x －3)2＋4y 2＝1解析 设中点P(x ，y)，圆上动点M(x 0，y 0)则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝x ，y 0＋02＝y ，且x 02＋y 02＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，代入x 02＋y 02＝1，得(2x －3)2＋(2y)2＝1. 故中点P 的轨迹方程是(2x －3)2＋4y 2＝1.13．平面内有一固定线段AB ，|AB|＝4，动点P 满足|PA|－|PB|＝3，O 为AB 的中点，则|OP|的最小值是________．答案 32 解析 以AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图，则P 点的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支．所以2c ＝4，2a ＝3，所以c ＝2，a ＝32. 所以b 2＝c 2－a 2＝4－94＝74. 所以点P 的轨迹方程为x 294－y 274＝1(x ≥32)． 由图可知，P 点为双曲线的右顶点时，|OP|最小，且|OP|min ＝32. 14．在△ABC 中，已知A(4，2)，B(3，5)，|AB|＝|AC|，则点C 的轨迹方程为________． 答案 (x －4)2＋(y －2)2＝10(去掉(3，5)，(5，－1)两点)解析 设C(x ，y)，则由|AB|＝|AC|可得（4－3）2＋（2－5）2＝（x －4）2＋（y －2）2，化简得(x －4)2＋(y －2)2＝10.又因为A ，B ，C 三点不共线，所以(x －4)2＋(y －2)2＝10(去掉(3，5)，(5，－1)两点)．15．已知M 为等腰△ABC 底边BC 上的任意一点．求证：|AB|2＝|AM|2＋|BM|·|MC|.证明 取BC 的中点O 为坐标原点，OA 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系． 设A(0，b)，B(－a ，0)，则C(a ，0)，从而|AB|2＝a 2＋b 2.令M 的坐标为(x ，0)(－a ≤x ≤a)，则|AM|2＋|BM|·|MC|＝x 2＋b 2＋(a ＋x)(a －x)＝x 2＋b 2＋a 2－x 2＝a 2＋b 2.所以|AB|2＝|AM|2＋|BM|·|MC|.1．在△ABC 中，底边BC 长为8，顶点A 到B 、C 两点距离之和为10，则顶点A 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 C2．在体育场排练团体操，甲、乙两名同学所在位置的坐标分别为(2，1)、(3，2)，丙同学所在位置的坐标为(5，a)．若这三名同学所在位置是在一条直线，则a 的值为________． 答案 4解析 设A(2，1)、B(3，2)、C(5，a)，则过A 、B 两点的直线方程为y －12－1＝x －23－2，即y ＝x －1，∵点C 在直线AB 上，∴a ＝5－1＝4.3．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 1－2y 1＋2y x －1＝0的点P(x ，y)的轨迹方程为________．答案 (x －1)2＋4y 2＝1 解析 由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 1－2y 1＋2y x －1＝0， 得到(x －1)2－(1－4y 2)＝0.∴(x －1)2＋4y 2＝1.4．已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A(0，2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．解析 设点M(x ，y)是曲线上的任意一点，根据题意，得它到x 轴的距离是y ，所以x 2＋（y －2）2－y ＝2，化简整理可得y ＝18x 2. 因为曲线在x 轴的上方，y<0，虽然原点O 的坐标(0，0)满足方程y ＝18x 2，但不属于已知曲线，所以所求曲线方程为y ＝18x 2(x ≠0)． 5．有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍，已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．解析如右图，以A、B所在的直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(－5，0)，B(5，0)．设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择到A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/公里，B地的运费为a元/公里．价格＋运费×到A地的距离≤价格＋运费×到B地的距离，即3a（x＋5）2＋y2≤a（x－5）2＋y2.∵a>0，∴3（x＋5）2＋y2≤（x－5）2＋y2.即(x＋254)2＋y2≤(154)2.∴以点C(－254，0)为圆心，154为半径的圆是这两地购货的分界线．圆C内的居民从A地购货便宜．圆C外的居民从B地购货便宜．圆C上的居民从A、B两地购货的总费用相等，因此，可随意从A、B两地之一购货．。

课时作业(十三)1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)表示的曲线是( )A ．以(±7，0)为焦点的椭圆B ．以(±4，0)为焦点的椭圆C ．离心率为75的椭圆 D ．离心率为35的椭圆答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ⇒⎩⎨⎧x4＝cos φ，y 3＝sin φ.平方相加，得x 216＋y 29＝1，∴c 2＝16－9＝7.∴c ＝7，∴焦点为(±7，0)．2．椭圆x 2＋4y 2＝1的参数方程为(φ为参数)( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝12sin φ C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ，y ＝2cos φD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin φ，y ＝cos φ答案 B3．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.23 B.35 C.32 D.53答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ，得⎩⎨⎧x3＝cos φ，y 5＝sin φ.∴x 29＋y 25＝cos 2φ＋sin 2φ＝1. ∴方程的曲线为椭圆，由a 2＝9，b 2＝5，得c 2＝4.∴离心率e ＝c a ＝23.4．设O 是椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ的中心，P 是椭圆上对应于φ＝π6的点，那么直线OP 的斜率为( ) A.33B. 3C.332D.239答案 D解析 当φ＝π6时，x ＝3cos π6＝332，y ＝2sin π6＝1，∴k OP ＝y x ＝1332＝239.5．曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝4＋4t 与C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝4sin θ(0≤θ≤π)的交点对应的θ值为( )A.π6或π3 B.π6或π2 C ．0或π2D.5π6或π2答案 D解析 根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧3t ＝cos θ，4＋4t ＝4sin θ，∴3(sin θ－1)＝cos θ，∴3sin θ－cos θ＝ 3. ∴2sin(θ－π6)＝3，∴sin(θ－π6)＝32.∵0≤θ≤π，∴θ＝5π6或π2.6．椭圆x 29＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －4＝0的距离最小值为( )A.55B. 5C.655 D ．0答案 A解析 设椭圆上任意一点P(3cos θ，2sin θ)， 由点到直线距离公式，得d ＝|3cos θ＋4sin θ－4|1＋4＝|5sin （θ＋φ）－4|5.∴d min ＝15＝55. 7．已知点P 是椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝23sin θ(θ为参数)上一点，点O 是坐标原点，OP 倾斜角为π3，则|OP|等于( ) A.13 B ．213 C.855 D ．2 5答案 C解析 设P 点坐标为(4cos θ，23sin θ)，∵OP 的倾斜角为π3，∴4cos θ＝|OP|·cos π3，23sin θ＝|OP|·sin π3，∴|OP|＝855.8．定点(2a ，0)和椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)上各点连线段的中点轨迹方程是( )A.（x －a ）2a 24＋y 2b 24＝1B.（x ＋a ）2a 24＋y 2b 24＝1C.（x －a ）2a 24－y 2b 24＝1D.（x ＋a ）2a 24－y 2b 24＝1答案 A解析 设中点坐标为(x ，y)，椭圆上任意一点坐标为(acos θ，bsin θ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ＋2a2，y ＝bsin θ2，消去θ，得（x －a ）2a 24＋y 2b 24＝1，故选A.9．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)内接正方形的面积是________．答案57625解析 设内接正方形在第一象限的顶点为(4cos φ，3sin φ)， ∴4cos φ＝3sin φ，∴tan φ＝43.∴sin φ＝45，cos φ＝35.S ＝4·4cos φ·3sin φ＝48·45·35＝57625.10．已知点P 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数，0≤φ≤π)上一点，O 为坐标原点，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是________．答案 (125，125)解析 将曲线化为普通方程，得x 29＋y 216＝1.因为直线OP 的倾斜角为π4，所以其斜率为1.则直线OP 的方程为y ＝x ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 216＝1，y ＝x ，解得x ＝y ＝125，即P 点坐标为(125，125)．11．P(x ，y)是曲线x 225＋y 216＝1上的动点，则45x ＋34y 的最大值是________．答案 5解析 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，则45x ＋34y ＝4cos θ＋3sin θ＝5sin(θ＋φ)， ∴最大值为5.12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________． 答案 2解析 本题考查了参数方程与极坐标知识．由题意知C 1方程为x 24＋y 23＝1，表示椭圆；而C 2方程即ρcos θ－ρsin θ＋1＝0表示直线x －y＋1＝0，由C 1和C 2方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x －y ＋1＝0，消去y ，得7x 2＋8x －8＝0，由Δ＝64＋4×7×8>0知曲线C 1与曲线C 2有两个交点．13．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(0≤θ≤2π)恒有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 [－25，25]解析 将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b ，得 4sin θ＝2cos θ＋b.∵恒有公共点，∴以上方程有解． 令f(θ)＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤f(θ)≤2 5.∴－25≤b ≤2 5.14．在椭圆x 216＋y 212＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离最小．解析 设椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝23sin θ，椭圆上的任意一点(x ，y)到直线x －2y －12＝0的距离为 d ＝|4cos θ－43sin θ－12|5＝455|cos θ－3sin θ－3|＝455|2cos(θ＋π3)－3|，当cos(θ＋π3)＝1时，d min ＝455，此时所求点为(2，－3)．15．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，定点A(0，－3)，F 1，F 2是圆锥曲线C 的左、右焦点．(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F 1且平行于直线AF 2的直线l 的极坐标方程；(2)设(1)中直线l 与圆锥曲线C 交于M ，N 两点，求|F 1M|·|F 1N|.解析 (1)圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，∴普通方程为x 24＋y 23＝1.∵A(0，－3)，F 2(1，0)，F 1(－1，0)， ∴kAF 2＝3，l ：y ＝3(x ＋1)， ∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3ρcos θ＋3⇒2ρsin(θ－π3)＝ 3.(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1＋t2，y ＝3t 2(t 为参数)，代入椭圆方程，得5t 2－4t －12＝0， ∴t 1t 2＝－125，∴|F 1M|·|F 1N|＝|t 1t 2|＝125.1．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A ．(2，3) B ．(1，5) C ．(0，π2)D ．(2，0)答案 D解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.2．把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为参数方程是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)解析 把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为x 24＋y 29＝1，则b ＝2，a ＝3，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)和极坐标方程ρ＝4sin θ所表示的图形分别是________．答案 椭圆和圆解析 把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程是x 24＋y 29＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆；把极坐标方程ρ＝4sin θ两边都乘ρ，得ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，表示圆心在(0，2)的圆．4．(2012·新课标全国)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 1上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)．(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围． 解析 (1)由已知可得 A(2cos π3，2sin π3)，B(2cos(π3＋π2)，2sin(π3＋π2))，C(2cos(π3＋π)，2sin(π3＋π))，D(2cos(π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)． (2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52]．。

第二讲 2.1 2.1.1一、选择题1．(2016·重庆期末)P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任一点，则(x －2)2＋(y ＋4)2的最大值是( A )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：消去参数得(x ＋1)2＋y 2＝1，故曲线是以C (－1,0)为圆心，1为半径的圆，(x －2)2＋(y ＋4)2表示圆上点(x ，y )到P (2，－4)距离的平方，最大距离为|CP |＋R (圆的半径)，即(－1－2)2＋(0＋4)2＋1＝6，即所求的最大值为36. 2．曲线xy ＝1的参数方程是( D )A ．⎩⎨⎧x ＝t12y ＝t －12B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin αy ＝1sin α C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos αy ＝1cos αD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan αy ＝1tan α解析：注意x ，y 的范围，知答案为D ．3．已知曲线C 满足方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t －1(t 为参数)，则曲线C 上点的横坐标的取值范围是( D )A ．RB ． [0，＋∞)C ． [1，＋∞)D ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析：横坐标的取值范围即为t 的范围，由y ＝2t －1，知2t －1≥0即t ≥12，故选D ．4．(2016·湖北黄冈中学检测)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( B ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：化曲线C 的参数方程为普通方程：(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，圆心(2，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|2－3×(－1)＋2|10＝71010<3，直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又71010>3－71010，在直线l 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B ．5．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( B )A ．(x －1)2(y －1)＝1(y <1)B ．y ＝x (x －2)(1－x )2(y <1)C ．y ＝1(1－x )2－1(y <1)D ．y ＝x1－x 2－1(y <1)解析：由x ＝1－1t ，得t ＝11－x ，故y ＝1－1(1－x )2＝x (x －2)(1－x )2，又y ＝1－t 2，t ≠0，故y ＜1，因此所求的普通方程为y ＝x (x －2)(1－x )2(y ＜1)．6．直线y ＝x －1上的点到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)上点的最近距离是( C )A ．2 2B ．2－1C ．22－1D ．1解析：设曲线上任一点P (－2＋cos θ，1＋sin θ)，则点P 到直线x －y －1＝0的距离d ＝|－2＋cos θ－1－sin θ－1|2＝12|cos θ－sin θ－4|＝12⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ－4，所以d min ＝12|2－4|＝22－1.二、填空题7．(2016·湖南怀化期末)若正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋2y 解析：令x ＝cos θ，y ＝sin θ，则x ＋2y ＝cos θ＋2sin θ ＝5⎝⎛⎭⎫15cos θ＋25sin θ＝5sin (α＋θ)⎝⎛⎭⎫其中sin α＝15，cos α＝25， 则x ＋2y 的最大值是 5.8．(2016·广东广州模拟)已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos_θ＋4sin_θ.解析：曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，，即x 2＋y 2－2x －4y ＝0，把ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝2cos θ＋4sin θ.9．(2016·广东期末)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ∈R )．解析：圆的方程⇒⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14⇒圆的半径r ＝12⇒OP ＝cos θ·2r ＝cos θ⇒x ＝OP ·cos θ＝cos 2 θ，y ＝OP ·sin θ＝cos θ·sin θ，所以圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ∈R )．三、解答题10．已知点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点． (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，则2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin (θ＋φ)＋1， 所以－5＋1≤2x ＋y ≤5＋1.即2x ＋y 的取值范围是[－5＋1，5＋1]．(2)因为x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0恒成立，所以a ≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1恒成立， 所以a ≥2－1.故实数a 的取值范围为[2－1，＋∞)．11．(2016·江西南昌校级二模)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求C 1的极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解析：(1)曲线C 1的普通方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25化为极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －1)2＝1，(x －4)2＋(y －5)2＝25得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即交点坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 12．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解析：设M (x ，y )，设直线l 1的方程为y －4＝k (x －2)(k ≠0)，又l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为y －4＝－1k(x －2)，故l 1与x 轴交点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2－4k ，0， l 2与y 轴交点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，4＋2k . ∵M 为AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2＝1－2k，y ＝4＋2k2＝2＋1k(k 为参数)．消去k ，得x ＋2y －5＝0.另外，当k ＝0时，AB 中点为M (1,2)，满足上述轨迹方程； 当k 不存在时，AB 中点为M (1,2)，也满足上述轨迹方程． 综上所述，M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.。