第二讲 二 第二课时 双曲线、抛物线的参数方程(优秀经典课时作业及答案详解)

数学导学案 主备人： 审核人： 学科领导： 班级： 小组： 姓名： 抛物线的参数方程【学习目标】1.了解抛物线的参数方程及参数的意义；2.能选取适当的参数求抛物线的参数方程；【重点难点】1、抛物线参数方程的定义及方法．(重点)2．选取适当的参数求抛物线的参数方程．(难点)【问题导学】一、复习圆、椭圆、双曲线的标准方程和对应的参数方程。

1、圆的标准方程： 圆的参数方程：2、椭圆的标准方程 椭圆的参数方程：（1）焦点在X 轴：（2）焦点在Y 轴：3、双曲线的标准方程（焦点在X 轴）： 双曲线的参数方程：（1）焦点在X 轴：（2）焦点在Y 轴：二、自主预习抛物线)0(22>=p px y 的参数方程___________________________抛物线)0(2-2>=p px y 的参数方程___________________________抛物线)0(y 2x 2>=p p 的参数方程___________________________抛物线)0(y 2-x 2>=p p 的参数方程___________________________ 【合作探究】 例1：已知O 是直角坐标原点，A,B 是抛物线)0(22>=p px y 上异于顶点的两动点， 且OB OA ⊥，AB OM ⊥并与AB 相交于点M ，求点M 的轨迹方程。

课本第33页例3 例2：在上例中，点A ，B 在什么位置时，△AOB 的面积最小？最小值是多少？ 课本第34页探究成功的秘诀公式是A x y z =++其中A 代表成功，x 代表艰苦的劳动，y 代表正确的方法，z 代表少说空话. ——爱因斯坦【当堂检测】 1、若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ C ）A ．2B ．3C ．4D ．52、 抛物线22x my m =⎧⎨=-⎩（m 为参数）的焦点坐标是 （ C ）A ．(1,0)-B ．(0,1)-C ．(0,2)-D ．(2,0)-3. 已知曲线22()2x pt t p y pt ⎧=⎨=⎩为参数为正常数,上的两点,M N 对应的参数分别为12tt 和，120t t +=且，那么MN = （ C ）A ．1p tB ．12p tC ．14p tD ．18p t4、已知经过点)0,2(P ，斜率为34的直线和抛物线x y 22=相交于A,B 两点，设线段AB 的中点为M 。

博文教育讲义课题：双曲线的参数方程学习目标：1、 理解双曲线的参数方程，掌握参数方程的应用2、 通过学习圆锥曲线的参数方程，得出参数方程与普通方程互化的方法.双曲线的参数方程及其应用双曲线的参数方程及其应用学习重点： 学习难点： 学习过程：1、复习回顾1.圆.必+户=产的参数方程为2.圆（、一“）2 + （>，—/02=户的参数方程为.3.椭圆 号+%• = l （a > 8 > 0）的一个参数方程.CT D2、双曲线参数方程的探求类似于探究捕圆掺数方程的方法，我们来探兜双曲线净。

） 的参数方程.ATIyN如图2西点为圆。

心，a A （fe 湘 6>0） 径分别作同心圆C 渣C ” 刀为圆口任一点，作宜 线Q 过点作18的切G 线硼分于点，过建圆巷轴的交点作醐J 切绒与直线划1 点就，分剔徊ft, 时/交于点M.轴的汗行线,设林A 边的角为料点的座 标为（•龄点 的坐标为（X,。

射 的坐标为0 J ）.A 1B'图 2-10OA A f M因为点在圆由圆的畚数方程得点的坐标_为（"o 煽以Asin 。

）Q4 = （“cos 伊 方sin 。

）4/' = （x —“cos 伊,一“sinp ）.因为两痂从而0417 = 0a cos （x — a cos p ） — （a sin <p^ = 0.因为点在角的籍边上，由三角函数定义有lanq = {DBP.r = Atanq.所以，点的轨迹的参数方程为fl"为参蜘解得法金奇*= sec 则x = asec°.因为*~-中 =1 sec ，°-tan ，夕=1cos - ＜p cos* tp所以，从⑤消去参数后得到点的轨迹的普通 方程为②，这是中心在原点，焦点在轴上的双 曲线所以⑧就是双曲线②的畚数方程.在双曲线的参数方程⑧中，通常规定参数前范围为伊伊罪手0#等.由图或通峰动踵演示可以看列, 套数*点丽应 的圈的半径的族 转角称为点的寅 心角）而不是的M 旋转角.3、自主练习•X = 2 sec 01双曲线7 一 次为参数），的渐近线方程为y = tan 。

双曲线 、抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φy ＝a sec φ(φ为参数)．2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数)．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t (t 为参数)表示的曲线不在( )A ．x 轴上方B ．x 轴下方C ．y 轴右方D ．y 轴左方解析：选D.原参数方程可化为y 2＝8x ，故图象不在y 轴左方．选D. 2．下列不是抛物线y 2＝4x 的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t ，(t 为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 24y ＝t，(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t ，(t 为参数) D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝2t ，(t 为参数)解析：选D.逐一验证知D 不满足y 2＝4x . 3．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan αy ＝6sec α，(α为参数)的两焦点坐标是( )A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0) 解析：选A.tan α＝x 23，sec α＝y6，由sec 2α－tan 2α＝1， 得y 262－x 2(23)2＝1， 即y 236－x 212＝1. 焦点在y 轴上，且c 2＝a 2＋b 2＝48，易得双曲线的焦点坐标是(0，－43)，(0，43)． 4．双曲线x 2－y 2＝1的参数方程是____________． 解析：由x 2－y 2＝1， 又sec 2θ－tan 2θ＝1， 所以令x ＝sec θ，y ＝tan θ.故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝tan θ，(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝tan θ，(θ为参数)由参数方程求解双曲线、抛物线的几何性质(1)双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan αy ＝2cos α，(α为参数)的焦点坐标是____________．(2)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ，化为普通方程是____________．[解析] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan αy ＝2cos α，化为y 24－x 2＝1，可知双曲线焦点在y 轴，且c ＝4＋1＝5， 故焦点坐标是(0，±5)．(2)由y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ＝2sin 2t 2cos 2t＝tan 2t ，将tan t ＝x 代入上式，得y ＝x 2，即为所求方程． [答案] (1)(0，±5) (2)y ＝x2(1)给出双曲线、抛物线的参数方程就可以化为普通方程，进而化成标准方程，然后获得相应的几何性质．(2)注意双曲线的两种标准方程、抛物线的四种标准方程对应的参数方程的区别，重视参数的取值范围对曲线形状的影响．1.如果双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝6tan θ，(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点的距离是________．解析：由双曲线参数方程可知a ＝1，故P 到它左焦点F 的距离|PF |＝10或|PF |＝6. 答案：10或62．过抛物线⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2tx ＝t 2，(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________．解析：化为普通方程是：x ＝y 24，即y 2＝4x ，所以p ＝2.所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8. 答案：8双曲线参数方程的应用已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上一点P ，与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值．[解] 双曲线x2－y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θy ＝tan θ(θ为参数)，则Q (sec θ，tan θ)，又圆心C (0，2)，则|CQ |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan θ－2)2＝2(tan θ－1)2＋3. 当tan θ＝1，即θ＝π4时，|CQ |2取最小值3，此时有|CQ |min ＝ 3. 又因为|PC |＝1，所以|PQ |min ＝3－1.(1)用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θy ＝b tan θ(θ为参数)研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(a secθ，b tan θ)．这样可以将两个变量x ，y 的关系简化为一个变量θ的解析式．此外，我们可以利用θ的三角函数进行变形，使解决问题的途径更加广泛．(2)本类型题可用圆心到双曲线的距离最小值减去圆半径的方法．1.求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．证明：由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)，它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋(－a )2＝|a 2b 2(sec 2φ－tan 2φ)|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值)． 2．如图，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.证明：设P (sec φ，tan φ)，因为F 1(－2，0)，F 2(2，0)． 所以|PF 1|＝(sec φ＋2)2＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1， |PF 2|＝(sec φ－2)2＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1， |PF 1|·|PF 2|＝(2sec 2φ＋1)2－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. 因为|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， 所以|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线参数方程的应用设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．[解] 设P 点的坐标为(2pt 2，2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1tx y ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，所以点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0，0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．(2)用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．1.已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt ⇒y 2＝2px ，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N (图略)，由题意可知，△MEF 是正三角形，所以∠MFN ＝60°，在Rt △MFN 中，|FN |＝|MF |cos 60°＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 2.所以3－p 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 2⇒p ＝2.答案：22．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．解：设M (x 1，y 1)为抛物线上的动点，P (x ，y )在OM 的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2， 因为M (x 1，y 1)在抛物线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2ty 1＝2t 2， 由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x2y 1＝y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t2(t 为参数)，消去参数t 得x 2＝4y . 它表示的是抛物线．1．双曲线的参数方程中参数φ的几何意义参数φ是双曲线上的点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角称为点M 的离心角，而不是OM 的旋转角，可类比椭圆的离心角进行理解记忆，双曲线的参数φ的最大取值范围是φ∈R，且φ≠k π＋π2(k ∈Z)，最小范围是φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2.通常规定，离心角φ的取值范围是φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2.2．双曲线的普通方程与参数方程的互化双曲线的普通方程与参数方程依据公式sec 2φ－tan 2φ＝1进行互化．由x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y b 2＝1⇒令x a ＝sec φ，y b ＝tan φ可得参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ⇒⎩⎪⎨⎪⎧xa＝sec φy b ＝tan φ⇒代入sec 2φ－tan 2φ＝1得普通方程x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．3．抛物线参数方程中参数t 的几何意义t ＝1tan α(α是以射线OM 为终边的角)，即参数t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．4．抛物线的普通方程与参数方程的互化将抛物线的参数方程化为普通方程时只需一式平方与另一式相除即可，将抛物线y 2＝2px (p >0)化为参数方程时，必须令x ＝2pt 2代入y 2＝2px 中求出y ＝±2pt 后取y ＝2pt 得到的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数)．5．抛物线另外三种标准方程的参数方程y 2＝－2px (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2pt2y ＝2pt (t 为参数)，x 2＝2py (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pty ＝2pt 2(t 为参数)， x2＝－2py (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt y ＝－2pt 2(t 为参数)． 6．圆锥曲线的参数方程不是唯一的圆锥曲线的参数方程与所选定的参数有关，不同的参数求出的参数方程也不一样．1．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t ，(参数t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1C. 2 D ．2解析：选B.设Q (x ，y )为曲线上任一点，则d 2＝|PQ |2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2，由t 2≥0得d 2≥1，所以d min ＝1.2．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θy ＝3tan θ，(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0) B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0) C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0) D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0) 解析：选A.由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 3．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝2t ，(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θy ＝2tan θ，(θ为参数)，则直线l 与曲线C 的交点坐标为____________．解析：直线l 的参数方程化为普通方程为2x －y －2＝0，同理曲线C 的普通方程为y2＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12，y 2＝－1，故直线l 与曲线C 的交点坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1. 答案：(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－14．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R)，它们的交点坐标为________．解析：根据题意，两曲线分别是椭圆x 25＋y 2＝1的上半部分和开口向右的抛物线y 2＝45x ，联立易得它们的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，255[A 基础达标]1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2－1y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( )A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：选B.将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)，该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0，1)．2．已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(a ＋1a)，y ＝12(a －1a )(其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分解析：选C.将所给参数方程的两式平方后相减，得x 2－y 2＝1.并且由|x |＝12|a ＋1a |≥1，得x ≥1或x ≤－1，从而易知结果．3．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e－ty ＝e t －e －t ，(t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支D ．双曲线下支 解析：选B.因为x 2－y 2＝e 2t＋2＋e －2t－(e 2t－2＋e－2t)＝4.且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t＝2.所以表示双曲线的右支．4．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 得y 2＝8x .所以点M (2，4)在抛物线上．所以过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条． 5．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt y ＝2pt2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2C.1t 1＋t 2D ．1t 1－t 2解析：选A.依题意M 1(2pt 1，2pt 21)，M 2(2pt 2，2pt 22) 所以k ＝2pt 21－2pt 222pt 1－2pt 2＝(t 1＋t 2)(t 1－t 2)t 1－t 2＝t 1＋t 2.6．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．解析：将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1，0)．答案：(1，0)7．双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θy ＝sec θ(θ为参数)的两条渐近线所成的角为________．解析：双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θy ＝sec θ(θ为参数)化为普通方程为y 2－x 23＝1，故a ＝1，b ＝3，渐近线方程为y ＝±33x ，则两条渐近线所夹的锐角是60°. 答案：60°8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝ty ＝t ，(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 解析：C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 所以C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1)9．已知抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝2t，得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x .又因为M 点的纵坐标为2，不妨令M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又因为抛物线的准线方程为x ＝－12.所以由抛物线的定义知|MF |＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2＋12＝52. 即点M 到抛物线焦点的距离为52.10．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.解：设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos φ－sin φcos φ＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|， 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.所以P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－34或⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，34.[B 能力提升]11．已知抛物线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2y ＝8t，(t 为参数)，圆C 2的极坐标方程为ρ＝r (r >0)，若斜率为1的直线过抛物线C 1的焦点，且与圆C 2相切，则r ＝( )A ．1B ．22C ． 2D ．2解析：选C.抛物线C 1的普通方程为y 2＝8x ，焦点为(2，0)，故直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2，由题意|－2|12＋(－1)2＝r ，得r ＝ 2.12．已知抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt ，(t 为参数，p >0)上的点M ，N 对应的参数值为t 1，t 2，且t 1＋t 2＝0，t 1t 2＝－p 2，则M ，N 两点间的距离为________．解析：由题知M ，N 两点的坐标分别为(2pt 21，2pt 1)，(2pt 22，2pt 2)， 所以|MN |＝(2pt 21－2pt 22)2＋(2pt 1－2pt 2)2＝(2pt1－2pt2)2＝2p|t1－t2|＝2p(t1＋t2)2－4t1t2＝4p2.故M，N两点间的距离为4p2.答案：4p213．求证：以等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点．证明：设双曲线为x2－y2＝a2，取顶点A(a，0)，弦B′B∥Ox，B(a sec α，a tan α)，则B′(－a sec α，a tan α)．因为k B′A＝a tan α－a sec α－a，k BA＝a tan αa sec α－a，所以k B′A·k BA＝－1.所以以BB′为直径的圆过双曲线的顶点．14．(选做题)已知A为抛物线y2＝2px(p>0)上的一个定点，BC是垂直于x轴的一条弦，直线AB交抛物线的对称轴于D点，直线AC交抛物线的对称轴于E点，求证：抛物线的顶点平分线段DE.证明：设抛物线上的点A的坐标是(a22p ，a)，点B的坐标是(t22p，t)，则点C的坐标是(t22p，－t)，于是AB的方程是y－a＝t－at2－a22p(x－a22p)，即y－a＝2pt＋a(x－a22p)，AB与x轴的交点为D(－at2p，0)，同理直线AC的方程是y－a＝2pa－t(x－a22p)，所以点E的坐标为(at2p，0)，所以抛物线的顶点平分线段DE.11。

第二讲 参数方程二、圆锥曲线的参数方程第2课时 双曲线的参数方程和抛物线的参数方程A 级 基础巩固一、选择题1．下列不是抛物线y 2＝4x 的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 24，y ＝t(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数) 解析：逐一验证知D 不满足y 2＝4x . 答案：D2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y ＝e t －e －t(t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支D ．双曲线下支解析：因为x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4， 且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2， 所以表示双曲线的右支． 答案：B3．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2[来源:学_科_网Z_X_X_K]C.1t 1＋t 2D.1t 1－t 2[来源:] 解析：依题意M 1(2pt 1，2pt 21)，M 2(2pt 2，2pt 22)， 所以k ＝2pt 21－2pt 222pt 1－2pt 2＝（t 1＋t 2）（t 1－t 2）t 1－t 2＝t 1＋t 2.答案：A4．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (参数t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2解析：设Q (x ，y )为曲线上任一点，则d 2＝|PQ |2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2.由t 2≥0得d 2≥1，所以d min ＝1. 答案：B5．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0)B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0)C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0)D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)解析：由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5，[来源:] 故F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ，[来源:Z 。

2．～3.双曲线的参数方程 抛物线的参数方程[对应学生用书P25]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ规定参数φ的取值范围为φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2. (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ.2．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2ptt ∈R . (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[对应学生用书P25][例1] (1)双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的焦点坐标是________．(2)将方程⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t1＋cos 2t化为普通方程是________．[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解； (2)利用代入法消去t .[解析] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α化为y 236－x 212＝1，可知双曲线焦点在y 轴，且c ＝36＋12＝43，故焦点坐标是(0，±43)． (2)由y ＝1－cos 2t1＋cos 2t＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ，将tan t ＝x 代入上式，得y ＝x 2，即为所求方程． [答案] (1)(0，±43)；(2)y ＝x 2.(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义．(2)对双曲线的参数方程，如果x 对应的参数形式是sec φ，则焦点在x 轴上；如果y 对应的参数形式是sec φ，则焦点在y 轴上．1．如果双曲线⎩⎨⎧x ＝sec θ，y ＝6tan θ(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点距离是________．解析：由双曲线参数方程可知a ＝1， 故P 到它左焦点的距离|PF |＝10或|PF |＝6. 答案：10或62．过抛物线⎩⎨⎧y ＝2t ，x ＝t 2(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 2＋x 2＝6.则|AB |＝________.解析：化为普通方程是：x ＝y 24即y 2＝4x ，∴p ＝2. ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8. 答案：8[例2] 连结原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[思路点拨] 由条件可知，M 点是线段OP 的中点，利用中点坐标公式，求出点P 的轨迹方程，再判断曲线类型．[解] 设M (x 、y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在OM 的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2用中点公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2.变形为y 0＝14x 20，即P 点的轨迹方程为x 2＝4y . 表示抛物线．在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．3．设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1和F 2为两个焦点，证明：|F 1P |·|F 2P |＝|OP |2.。

第6课时 双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．【梳理自测】一、双曲线的概念已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程是________．答案：x 29－y27＝1(x≥3)◆此题主要考查了以下内容：平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M||MF 1|－|MF 2||＝2a}，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0； (1)当2a ＜2c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝2c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞2c 时，P 点不存在． 二、双曲线标准方程及性质1．(教材改编)双曲线x 210－y22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 32．双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A .31414 B .324 C .32D .434．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________．答案：1.D 2.A 3.C 4.－1 4◆此题主要考查了以下内容：考向一双曲线的定义及标准方程(1)(2014·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( ) A．19 B．26C．43 D．50(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．【审题视点】(1)利用双曲线定义|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周长的计算求解．(2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程．【典例精讲】(1)如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ|＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ| ＝4a ＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.(2)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y23＝1.【答案】 (1)B (2)x 24－y23＝1【类题通法】 (1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时，经常考虑双曲线的定义． (2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y2n ＝1(mn ＞0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，这种形式在解题时更简便；(3)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．1．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解析：(1)设所求双曲线方程为x 29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y24＋k ＝1，将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y28＝1.考向二 双曲线的性质及应用(1)(2014·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B .7C .13D .15【审题视点】 (1)利用PF 1→ ·PF 2→＝0及e ＝54转化为a ，b 的方程组．(2)利用双曲线定义及余弦定理求a 与c 的关系． 【典例精讲】 (1)由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7，故选C . (2)如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7，故选B .【答案】 (1)C (2)B【类题通法】 (1)求双曲线的离心率，就是求c 与a 的比值，一般不需要具体求出a ，c 的值，只需列出关于a ，b ，c 的方程或不等式解决即可．(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．2．(2014·济南模拟)过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．解析：如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM⊥OF 于M.由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c ，0)，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|PF|＝bcb 2＋a2＝b ，∴b 2＝c 2·c ，即2b 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝ 1＋b2a2＝ 2.答案： 2考向三 直线与双曲线的综合应用已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，l与y 轴交于点P ，若PA →＝512PB →，则a ＝________．【审题视点】 联立方程组，利用P 、A 、B 坐标之间的关系，建立a 的方程． 【典例精讲】 因为双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 解得0＜a ＜2且a≠1. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2a2a 2－1，①x 1x 2＝2a2a 2－1，②又P(0，1)，由PA →＝512PB →，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，从而x 1＝512x 2，③ 由①③，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝517·2a 2a 2－1，x 2＝1217·2a 2a 2－1代入②， 得517×1217×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2a 2－12＝2a 2a 2－1， 即2a 2a 2－1＝28960，解得a ＝1713，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－1713舍去. 【答案】1713【类题通法】 (1)判断直线l 与双曲线E 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F(x ，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0F （x ，y ）＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.由此转化为两点坐标的关系．(2)特殊情况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系，数形结合求解．3．已知点A(－2，0)，点B(2，0)，且动点P 满足|PA|－|PB|＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点的充要条件为k∈________．解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x.若P 点的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点，则需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪ (1，＋∞)双曲线与渐近线的关系不清致误(2014·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24xC ．y ＝±xD ．y ＝±22x 或y ＝±24x 【正解】 依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24.故选D . 【答案】 D【易错点】 (1)默认为双曲线焦点在x 轴其渐近线为y ＝±ba x ，而错选为A .(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C .(3)把a ，b ，c 的关系与椭圆c 2＝a 2－b 2混淆致错．【警示】 (1)对于方程x 2a 2－y 2b 2＝1来说，求渐近线方程就相当于求ba 的值，但要分焦点的位置是在x 轴还是在y 轴上，此题没有给出焦点的位置，其渐近线斜率有四种情况．(2)渐近线为y ＝±b a x 所对应的双曲线为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，表示焦点在x 轴上，当λ＜0时，焦点在y 轴上．1．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25B .45C .255 D .455解析：选C .求出双曲线的顶点和渐近线，再利用距离公式求解．双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x±2y ＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255. 2．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1 B .x 24－y25＝1 C .x 22－y 25＝1 D .x 22－y25＝1 解析：选B .求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数a ，b 的值．右焦点为F(3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，选B .3．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2解析：选C .用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y2m＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.4．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y2sin 2θ－x2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D .先根据θ的范围，确定双曲线方程的类型，判断焦点所在的坐标轴，然后分析双曲线C 1和C 2的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等．双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝cos θ，b ＝sin θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝sin θ，b ＝sin θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ. 故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等。

课堂导学三点剖析一、利用参数方程求点的轨迹 【例1】 已知A 、B分别是椭圆93622y x +=1的左顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程.解析：本题有两种思考方式，求解时把点C 的坐标设为一般的（x 1，y 1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为（6cosθ，3sinθ）的形式，从而予以求解。

解:由动点C 在该椭圆上运动,故据此可设点C 的坐标为（6cosθ，3sinθ）,点G 的坐标为（x ，y)，则由题意可知点A(-6,0）、B （0，3). 由重心坐标公式可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+-=++-=.sin 13sin 330,cos 223cos 606θθθθy x 由此消去θ得到4)2(2+x +(y —1）2=1，即为所求。

温馨提示本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得更简单、更便捷. 各个击破 类题演练 1已知双曲线2222by a x -=1（a>0，b>0）的动弦BC 平行于虚轴，M 、N 是双曲线的左、右顶点。

（1）求直线MB 、CN 的交点P 的轨迹方程；（2）若P （x 1,y 1),B(x 2,y 2),求证：a 是x 1、x 2的比例中项。

（1)解:由题意可设点B(asecθ,btanθ）,则点C(asecθ,-btanθ）,又M(—a ，0),N （a,0)，∴直线MB 的方程为y=aa b +θθsec tan (x+a ），直线CN 的方程为y=θθsec tan a a b -(x-a)。

将以上两式相乘得点P的轨迹方程为2222by a x +=1。

（2）证明：因为P 既在MB 上,又在CN 上，由两直线方程消去y 1得x 1=θsec a,而x 2=asecθ，所以有x 1x 2=a 2,即a 是x 1、x 2的比例中项.变式提升 1在直角坐标系xOy 中,参数方程⎩⎨⎧-=+=12,122t y t x (t 为参数)表示的曲线是___________.解析：t=21-x 代入y=2t 2-1得y=2(21-x )2—1,即（x —1）2=2(y+1).答案：抛物线二、利用参数方程求坐标【例2】 在椭圆7x 2+4y 2=28上求一点，使它到直线l:3x —2y-16=0的距离最短，并求出这一最短距离.解:把椭圆方程化为7422y x +=1的形式，则可设椭圆上点A 坐标为(2cosα，7sinα），则A 到直线l 的距离为d=13|16)sin(8|13|16sin 72cos 6|--=--αβαα（其中β=arcsin 43).∴当β-α=2π时，d 有最小值,最小值为13138138=. 此时α=β—2π，∴sinα=—cosβ=47-,cosα=sinβ=43.∴A 点坐标为（23,47-）。

选修2-1椭圆、双曲线、抛物线经典解析知识点一 定义和性质的应用设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．解 由题意知，a ＝3，b ＝2，则c 2＝a 2－b 2＝5，即c ＝ 5. 由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5. (1)若∠PF 2F 1为直角，则|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2， |PF 1|2－|PF 2|2＝20.即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝103，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43. 所以|PF 1||PF 2|＝72.(2)若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2. 即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去)．所以|PF 1||PF 2|＝2.二 圆锥曲线的最值问题已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求|MA |＋|MB |的最值．解 因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(-4,0)，由椭圆定义知|MA|+|MA ′|=10.如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|+|MB|-|MA ′|=10+|MB|-|MA ′|≤10+|A ′B|. 当点M 在BA ′的延长线上时取等号．所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A ′B|=10+210.又如图所示，|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|-|MA ′|+|MB|=10- (|MA ′|-|MB|)≥10-|A ′B|，当M 在A ′B 的延长线上时取等号．所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10-|A ′B|=10- 210.三 轨迹问题抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A 、B ，以AF ，BF 为邻边作平行四边形F ARB ，求顶点R 的轨迹方程．解 设直线AB ：y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，R (x ，y )，由题意F (0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2＝4y ，可得x 2－4kx ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝4k .又AB 和RF 是平行四边形的对角线， ∴x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y ＋1.而y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝4k 2－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k y ＝4k 2－3，消去k 得x 2＝4(y ＋3)． 由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2－16>0， ∴k >1或k <－1，∴x >4或x <－4.∴顶点R 的轨迹方程为x 2＝4(y ＋3)，且|x |>4.四 直线与圆锥曲线的位置关系已知直线l ：y ＝kx ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当k ＝0,0<b <1时，求△AOB 的面积S 的最大值；(2)⊥OB →，求证直线l 与以原点为圆心的定圆相切，并求该圆的方程．解 (1)把y ＝b 代入x 22＋y 2＝1，得x ＝±2－2b 2.∴∴S △AOB=21× b22·22122b b +-= ，当且仅当b 2 =21，即b =2 时取等号．∴△AOB 的面积S 的最大值为2.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由 得(1+2k 2)x 2+4kbx+2b 2-2=0，∴x 1+x 2=-241kbk+，x 1·x 2= 222212b k -+. 又∵OA ⊥OB ，∴(x 1，y 1)·(x 2，y 2)=0， 即x 1x 2+y 1y 2=0.又x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2 +( k x 1+b)(k x 2+b) =(k 2+1)·x 1x 2+kb(x 1 + x 2) +b 2=(k 2+1) 222212b k -+-kb 241kbk ++b 2 =222322012b k k--=+， ∴3b 2 = 2k 2+2.又设原点O 到直线l 的距离为d ，则d ===.∴l与以原点为圆心，以3为半径的定圆相切， 该圆的方程为x 2 + y 2 =32 高考分析1．如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的一个焦点为F (1,0)，且过点(2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：x=4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ， (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值．解 方法一 (1)由题设a=2，c=1，从而b 2=a 2-c 2=3，所以椭圆C 的方程为22143x y += (2)(ⅰ)由题意得F(1,0)、N(4,0)．设A(m ，n)，则B(m ，-n)(n ≠0)，22143m n +=.① AF 与BN 的方程分别为：n (x －1)－(m －1)y ＝0，n (x －4)＋(m －4)y ＝0.设M (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n (x 0－1)－(m －1)y 0＝0， ②n (x 0－4)＋(m －4)y 0＝0， ③由②③得x 0＝5m －82m －5，y 0＝3n2m －5.由于x 204＋y 203＝(5m －8)24(2m －5)2＋3n 2(2m －5)2＝(5m －8)2＋12n 24(2m －5)2＝(5m －8)2＋36－9m 24(2m －5)2＝1.所以点M 恒在椭圆C 上．(ⅱ)设AM 的方程为x ＝ty ＋1，代入x 24＋y 23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0.设A (x 1，y 1)、M (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－6t3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝43·3t 2＋33t 2＋4.令3t 2＋4＝λ (λ≥4)，则|y 1－y 2|＝43·λ－1λ＝4 3 －⎝⎛⎭⎫1λ2＋1λ ＝4 3 －⎝⎛⎭⎫1λ－122＋14，因为λ≥4,0<1λ≤14，所以当1λ＝14，即λ＝4，t ＝0时，|y 1－y 2|有最大值3，此时AM 过点F .△AMN 的面积S △AMN ＝12|NF |·|y 1－y 2|有最大值92.方法二 同方法一．(2)(ⅰ)由题意得F (1,0)、N (4,0)，设A (m ，n )，则B (m ，－n ) (n ≠0)，m 24＋n 23＝1.①AF 与BN 的方程分别为n (x －1)－(m －1)y ＝0，② n (x －4)＋(m －4)y ＝0.③由②③得：当x ≠52时，m ＝5x －82x －5，n ＝3y2x －5.④把④代入①，得x 24＋y 23＝1 (y ≠0)．当x ＝52时，由②③得⎩⎨⎧32n －(m －1)y ＝0，－32n ＋(m ＋4)y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，y ＝0，与n ≠0矛盾．所以点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (y ≠0)，即点M 恒在椭圆C上．随堂练习一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( ) A ．－1 B ．1C ．－1020 D.102答案 A解析 化双曲线的方程为x 21m －y 23m＝1，由焦点坐标(0,2)知：－3m －1m ＝4，即－4m ＝4，∴m ＝－1.2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2 答案 B解析 由题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．则抛物线的准线方程为y ＝p2，由抛物线的定义知|PF |＝p 2－(－2)＝p2＋2＝4，所以p ＝4，抛物线方程为x 2＝－8y ，将y ＝－2代入，得x 2＝16，∴k ＝x ＝±4.3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为( )A.52 B. 5 C.52D ．5 答案 B解析 由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，∴±a b ＝±12，∴b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2， ∴c 2＝5a 2， ∴c 2a 2＝5.∴e ＝ca＝ 5. 4．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．2x －y ＋3＝0 答案 A解析 设弦的端点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.由x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴(x 1－x 2)＋2(y 1－y 2)＝0，∴k AB ＝－12.∴弦所在的方程为y －1＝－12(x －1)即x ＋2y －3＝0.5．以x 24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 答案 D解析 方程可化为y 212－x 24＝1，该方程对应的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．由题意知椭圆方程可设为x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c 2＝a 2－b 2＝12，∴b 2＝a 2－12＝16－12＝4.∴所求方程为x 24＋y 216＝1.6．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2cos θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 答案 C解析 由于没有x 或y 的一次项，方程不可能是抛物线，故选C.7．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 答案 B解析 由题意a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4.又∵e ∈(1,2)，∴1<4－k4<4，解得－12<k <0.8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞) 答案 B解析 由题意知在双曲线上存在一点P ， 使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ， 即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ， ∴c ≤3a .又∵c >a ，∴a <c ≤3a ，∴1<ca≤3，即1<e ≤3.9．已知A 为椭圆x 216＋y 212＝1的右顶点，P 为椭圆上的点，若∠POA ＝π3，则P 点坐标为( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫455，±4155 C.⎝⎛⎭⎫12，±32 D ．(4，±83)答案 B解析 由y ＝±3x 及x 216＋y 212＝1 (x >0)得解．10．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是( )A.65B.125C.32 D ．3 答案 D解析 注意到直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有 ⎝⎛⎭⎫1＋1625x 21＝412.可得x 21＝254，取x 1＝52，y 1＝－2. ∴a 2＝254－4＝94，|a |＝32.11．过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(0<b <a )中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是( )A ．abB ．acC ．bcD ．b 2 答案 C解析 S △ABF 2＝S △OAF 2＋S △OBF 2 ＝12c ·|y 1|＋12c ·|y 2|(y 1、y 2分别为A 、B 两点的纵坐标)，∴S △ABF 2＝12c |y 1－y 2|≤12c ·2b ＝bc . 12．抛物线x 2＝ay (a <0)的准线l 与y 轴交于点P ，若l 绕点P 以每秒π12弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒后，恰与抛物线第一次相切，则t 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 由已知得准线方程为y ＝－a4，∴P 点坐标为(0，－a4)．设抛物线的切线l 1的方程为y ＝kx －a 4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －a 4x 2＝ay，得x 2－akx ＋a 24＝0，由题意得Δ＝a 2k 2－4×a 24＝0，解得k 2＝1，∴y ＝x －a4，∴∠MPN ＝π4，∴π4π12＝3，∴t ＝3.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，则AB 的长为________．答案 8解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．则直线方程为y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1.得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1， |AB |＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(36－4)＝8.14．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是________．答案 x 2＋4y 2＝1解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)由题意知 x 0＝x ，y 0＝2y ，∵P (x 0，y 0)在圆上，有x 20＋y 20＝1，∴x 2＋4y 2＝1.即为所求的轨迹方程．15．F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，P 为抛物线上任意一点，以PF 为直径作圆，则该圆与y 轴的位置关系是__________．答案 相切解析 设P (x 0，y 0)，PF 中点为M ，则M 到y 轴距离d ＝x 0＋p 22＝12|PF |.16．椭圆x 225＋y29＝1上一点P 到两焦点的距离积为m ，则当m 最大时，点P 的坐标是________．答案 (0,3)或(0，－3)解析 设椭圆的两焦点分别为F 1、F 2由椭圆定义知： |PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 由基本不等式知：m ＝|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝25.当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号． 即|PF 1|＝|PF 2|＝5，m 取最大值． 所以P 点为椭圆短轴的端点．三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17．(12分)如图所示，线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB|=2a (a>0)，|CD|=2b (b>0)，动点P 满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，求动点P 的轨迹方程．解 以O 为坐标原点，直线AB 、CD 分别为x 轴、y 轴建立坐标系，设P(x ，y)是曲线上的任意一点，则A(-a,0)，B(a,0)，C(0，- b)，D(0，b)． 由题意知：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，化简得：x 2-y 2= 222a b -即动点P 的轨迹方程为x 2-y 2=222a b - .18．(12分)k 代表实数，讨论方程kx 2＋2y 2－8＝0所表示的曲线．解 当k <0时，曲线y 24－x 2－8k＝1为焦点在y 轴的双曲线；当k ＝0时，曲线2y 2－8＝0为两条平行于x 轴的直线y ＝2或y ＝－2；当0<k <2时，曲线x 28k＋y 24＝1为焦点在x 轴的椭圆；当k ＝2时，曲线x 2＋y 2＝4为一个圆；当k >2时，曲线y 24＋x 28k＝1为焦点在y 轴的椭圆．19．(12分)已知椭圆x 29＋y 24＝1及点D (2,1)，过点D 任意引直线交椭圆于A ，B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋9y 21＝36， ①4x 22＋9y 22＝36. ② ①－②，得4(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋9(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，因为M (x ，y )为AB 中点，所以x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y .所以4×2x (x 1－x 2)＋9×2y (y 1－y 2)＝0.当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2＝－4x9y .又y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，所以y －1x －2＝－4x9y .化简得4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.因为当x 1＝x 2时，中点M (2,0)满足上述方程，所以点M 的轨迹方程为4x 2＋9y 2－8x －9y ＝0.20．(12分)一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线的隧道，已知拱口AB 的宽恰好为拱高CD 的4倍，若|AB |＝a 米，求能使卡车通过的a 的最小整数的值．解以拱顶为原点，拱高所在的直线为y 轴建立坐标系，如图，点B 的坐标为(,)24a a -，设抛物线方程为x 2=-2py (p>0)，将点B 的坐标代入得2()2a =-2p ·()4a-，解得p = 2a ，所以抛物线方程为x 2=-ay.将点E(-0.8，y)代入抛物线方程得y=-0.64a，依题意点E 到拱底AB 的距离为4a -|y| =4a -0.64a≥3，解得a ≥12.21. 所以能使卡车通过的a 的最小整数值为13.。

数学是无穷的科学！- 1 -第二讲 双曲线与抛物线的参数方程班级： 姓名： 编号：41．下列不是抛物线y 2＝4x 的参数方程的是( )A.⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 24，y ＝t (t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数) D.⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数) 2．方程⎩⎨⎧x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t －e －t (t 为参数)的图形是( ) A ．双曲线左支 B ．双曲线右支 C ．双曲线上支D ．双曲线下支3．下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( ) A.y 23－x 29＝1 B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－14．曲线⎩⎨⎧ x ＝t 2－1，y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( ) A ．(1,0) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(0，－1) 5．已知某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分数学是无穷的科学！- 2 -6．点)0,1(p 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中t 为参数，且R t ∈）上的点的最小距离为（ ）A.0B.1C.2 D .27．设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ．8．如果双曲线⎩⎨⎧x ＝sec θ，y ＝6tan θ(θ为参数)上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的左焦点距离是________．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，则直线l 与曲线C 的公共点的坐标为 ． 10．已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝ ．11.连结原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．数学是无穷的科学！- 3 -12.已知抛物线)0,(222>⎩⎨⎧==p t pt y pt x C 为参数：上的点N M ,对应的参数值为21,t t ，且021=+t t ，221p t t -=，求N M ,两点的距离.。

帰时訓练10 珥曲绻与抠物缉的赛数方穩1■■ '- 4- -. *■ 1D.抛物线的一部分、这部分过点(-141». ti 知勵纯的壽?敕方榨沖『 “ \t 为壽#O,点A.B 虑曲纯匕时应的翕数分團为“和乩若巧十1円搭 亦=0*则帆El 零于C >&2扒气一岭〉B. 2^<^+tz)二"填空题⑴2+临1抄如为曇數)的渐近线的方耦为____________ .y "■ &ec <p +8. _____________________________________________ 抛物线疋一罕的顶点敕迹的普遹方程为__________________________________________________________ ・R. . - , , . 5 , , ■朿小■1| J ■■ ― V r ,JF1峙—»木 _________________________________ <r 为雾数川>0片则曲线C 的普通方程为 _____________________________ ・HE 设M 为拋物线工上的动点*结定点M s (-l t 0),点F 分的比为2 T’卿点尸的轨迹方 程基 *一“选择题4嬴E 怡甦蠶数)的像点坐标是(®帚3饰n 0扎(-5*0)監已知某条曲线的藝数方理为B. <5.0)L=^(a+-i), '1 / 1 \C.a 是裁数儿则该曲纯A.銭段Ia 双曲线为参数)的两然点坐标遷( t=5sec aA*【0,—4庙〉8 fe武；七：- ■ ' * -1/ -'，二u®W )*(o ，Q氏圆U 双曲純BM —必 屈 0)D.W;TW ；4.点F(bO)到曲线严T t 参数坨田上的点的最短距离为( =2; /：■■-A.0B.1.…. ^ ..-9亠十a cos y+sm@为参数，且0<tf<2K )«示( )尸評】+血冊■，' •弘■'. ■ . . '■^ 打 .1•J■..■ 「” ■ T. ”" ''■ >i-,1- g >A. 抛物线的一部分，这部分过点(l.y)1Ai S *. J 8 4J' " ' : "P - ■,「：. ..'* -B, 取曲銭的一支•这支过点(嗨)“——"bf)U 双曲线的一支，谊支过点>■1C, 2小一奇工双曲线 ，已知曲鰻C 的蠢数方程为三、解答题口设M为抛物线= 上的动点.定点M( —1沱片点P为线段M“M的币点，求点P的轨迹方程.12.已知圆O1 ’云+6 —2尸弓1上〜点P •与双曲线护一y = 1上一点Q,求F,Q两点距离的最小值*13.如图，址P为筹轴双曲线才一b = l上的一点，耳，F,是两个焦点，* r1:'圧明訂尸鬥I • \PF i\^\OP\\ ,厂，-参考答案：•,…• I丰 7 -■ ■;"课时训练e 双曲钱与抛物线的参数方程一*选探题*#_ ¥；'小.品出/⑴为秦#o,3tan 8：・00惟曲践是中心在廉点，洪轴在足轴上的取曲一'•-j IB.'i线皿=4/士 3.丄=,.・•.:■;■■ W ::::・;-..:、:Ac J=!a :1 + 6e ~25*i ・'・「=5・ 二它苗氷点坐标曲(士队0人■卜■r.• ■*■；(“十寺卜 > =■ ■-. . •两真枷加得工+』・"，®cos 2 务十昂讨-|'T F2CQ 3 y-sin 1 + sin ff t斗申'i ' a ■iti d-*k 、：,卓亠? ..j ・・； J] f T"1_•■■ •「・y -三F#且x>0.»表示抛杨线的J 邯分.bC 僅申由JT 严2曲丰苍=2pf 訂 ’• L ___JA JT , — J ；2—2p<(；—+^)((] —E J=-Q 则有 i AB|f |凶一”X V y r = 2^1* t T yi•启―■*I —2, h ; !|J V S ；{3. A 4, B 5. A 解析：lan a=^—seej2^3 6 ：,iij sec 1 or —： n ；得若— —h —6£<2^>! ' 36 12 * i "I W . i .AAA y 轴上，且』=□"+卅=48$■易痔戒曲践的駄点坐标是(0.-473),(0M#),r. _ 2 ■>^r 1 ■；f ：. ■.. Us --解析疽B=a —m+y =(严一M+*严=広十1尸a H- !，- ..■■■- .i「 ；丁疋R 匸逛.二1 J解析；苗養数汙程密JC'= !：■• i-r ■ 4 r ? • / -*. J :- S ,-二*填空题 ；'it ： ■ ■厂：「G ■/丁」—士*（工一21解箭’艰曲裁,的歌数才祂花为普通芳1 ' - II芒；；、"程菊b 一竺产=4取塾线的中占在段小几鶯点在 直线 X = 2 ±,<a=l f 6*-3f咒漸近議去段初=士专9一2匚 -;解析：拠畅蛭曲程可化为丿（比一+）；■ .■ /.'-> 上’：'■■/'；<：-7二其顶点弟（+，-*） d© MQ ：心）寿册求轨逵上（ 1 •;仃■姜旷得卅（上梓Oh9. +6 t# 析：国论 J ：所必 卅+ g = E 十丄=寻*E u I ・fet 曲歧C 时普通污程为3工*一，十或土①f1軌"=可工+不，解柝；血囲*母M （2iS2O J J Cx^>,V 点P 分M a M 的比为 2 < U」•FR2 " 3 .4消去参it 冇得，■百方粒三JMf ,、； 、 （. ■ ^ ;用11■解:设点 M （竝■ $•人壶F （』■$）■令 恥=则 竝=・. - B¥=2凡得抛勵减的舉數方輕为 $'列‘"为參 2 L 严如J 1 ■|r B - E■［亠 卡 」 I事 r ； •:, A如，即动点JVf （2i\2d,定点 H （-1JO ）\曲申甜 童■卜=寺（-1+2产），—_JL 十儿 标公却彳 印f2十八仃为(W十口七T 一一 Z1十20+2X2(工十g A ■ -4,和为卩松的轨徒…”■-T：U=X家数）是F点妁轨迹的泰數才萩•其化为普通方軽痈, i _T r<i.I I " 「二］—I " . +、：i .衬=H+豆. —，£*. =■■'・• * •@解：设Q（沁佻Urn £?）t A RtAOiQP 中・|0屮| =1, IOP| + |PQ"|QQ|「「' ^ X IO|Q|r ==1sec I（?+,（tan ' ■--:-,=Ktan:&+1）4-（tan1 ff— 4tan。

学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题．1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．常见曲线的参数方程 (1)直线直线的标准参数方程即过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝x 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆 ①圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)；②圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)． (4)双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2(a >0，b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)． (5)抛物线抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α(α为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．类型一 参数方程化为普通方程 例1 把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ(θ为参数)； (2)⎩⎨⎧x ＝a (e t ＋e －t )2，y ＝b (e t－e－t)2(t 为参数，a ，b >0)．解 (1)关于cos θ，sin θ的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ，变形得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝y －2x9，cos θ＝x ＋4y9.∴(x ＋4y 9)2＋(y －2x 9)2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即5x 2＋4xy ＋17y 2－81＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (e t ＋e －t )2，y ＝b (e t－e －t )2，解得⎩⎨⎧2xa ＝e t ＋e －t ， ①2yb ＝e t－e－t ， ②∴①2－②2，得4x 2a 2－4y 2b 2＝4， ∴x 2a 2－y 2b2＝1(x >0)． 反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x 的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定． (2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段．跟踪训练1 判断方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋1sin θ，y ＝sin θ－1sin θ(θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状．解 ∵x 2－y 2＝(sin θ＋1sin θ)2－(sin θ－1sin θ)2＝4，即x 2－y 2＝4，∴x 24－y 24＝1. 又∵θ∈(0，π)， ∴sin θ>0，∴x ＝sin θ＋1sin θ≥2，当且仅当θ＝π2时等号成立，又y ＝sin θ－1sin θ＝sin 2θ－1sin θ≤0，∴曲线为等轴双曲线x 24－y 24＝1在右支位于x 轴下方的部分．类型二 参数方程的应用命题角度1 直线参数方程的应用例2 已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长．解 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入方程y 2＝4x 整理，得 t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.① ∵点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关系t 1＋t 2＝0. 即sin α－cos α＝0.∵0≤α<π，∴α＝π4.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4·8sin 2π4＝8.反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题 (1)直线的参数方程应为标准形式． (2)要注意直线倾斜角的取值范围． (3)设直线上两点对应的参数分别为t 1，t 2. (4)套公式|t 1－t 2|求弦长．跟踪训练2 直线l 过点P 0(－4,0)，它的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，直线l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点． (1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长． 解 将直线l 的参数方程代入圆的方程， 得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0. (1)设A 和B 两点对应的参数分别为t 1和t 2，由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9. 故|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2 3.(2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上， 则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， ∴切线长|P 0T |＝3.命题角度2 曲线参数方程的应用例3 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 与直线l 在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P (－1,1)，求|PB |＋|AB |的最小值．解 (1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α，可得(x －2)2＋y 2＝1，由直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，即x ＋y ＝4.(2)方法一 设P 关于直线l 的对称点为Q (a ，b )，故⎩⎪⎨⎪⎧a －12＋b ＋12＝4，(b －1a ＋1)×(－1)＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5， 所以Q (3,5)，由(1)知曲线C 为圆，圆心C (2,0)，半径r ＝1，|PB |＋|AB |＝|QB |＋|AB |≥|QC |－1.仅当Q ，B ，A ，C 四点共线时，且A 在B ，C 之间时等号成立，故(|PB |＋|AB |)min ＝26－1. 方法二 如图，圆心C 关于直线l 的对称点为D (4,2)，连接PD ，交直线l 于点B ，此时|PB |＋|AB |有最小值，且|PB |＋|AB |＝|PB |＋|BC |－1＝|PB |＋|BD |－1＝|PD |－1＝26－1.反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决．(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等．跟踪训练3 已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ (θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.类型三 极坐标与参数方程例4 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与圆C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 方法二 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α代入(x ＋6)2＋y 2＝25，得t 2＋(12cos α)t ＋11＝0， 所以t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2， 则|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝144cos 2α－44＝10，所以cos 2α＝38，所以tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153. 反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点．(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解．当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos t ，y ＝23sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3ρcos θ＋2ρsin θ＝12.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，M 为曲线C 与y 轴负半轴的交点，求四边形OMAB 的面积．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos t ，y ＝23sin t ，得⎩⎨⎧x4＝cos t ，y 23＝sin t ，所以(x 4)2＋(y 23)2＝(cos t )2＋(sin t )2＝1，所以曲线C 的普通方程为x 216＋y 212＝1.在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 得3x ＋2y －12＝0，所以直线l 的直角坐标方程为3x ＋2y －12＝0.(2)由(1)可得M (0，－23)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，3x ＋2y －12＝0，易得A (4,0)，B (2,3)，所以四边形OMAB 的面积为12×4×(3＋23)＝6＋4 3.1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±6,0)D ．(0，±6)答案 D解析 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的普通方程为y 2102＋x 282＝1，这是焦点在y 轴上的椭圆，c 2＝a 2－b 2＝62，所以焦点坐标为(0，±6)．2．椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(0≤φ<2π)，则椭圆的离心率为( )A.12B.32C.22D.34答案 A3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．由参数确定答案 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)上的点的最短距离为________．答案 1解析 设点P (1,0)到曲线上的点的距离为d ，则d ＝(x －1)2＋(y －0)2＝(t 2－1)2＋(2t )2＝(t 2＋1)2＝t 2＋1≥1.所以点P 到曲线上的点的距离的最小值为1.5．在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．解 椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故设动点P (3cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)．因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2(sin π3cos φ＋cos π3·sin φ)＝2sin(φ＋π3)．∴当φ＝π6时，S 取得最大值2；当φ＝7π6时，S 取得最小值－2.1．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力． 2．参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围．课时作业一、选择题1．直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心答案 D解析 直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，圆C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2,1)到直线l 的距离为d ＝|2－1＋1|2＝2<r ＝2，所以l 与C 相交但不过圆心．2．下列各点在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上的为( )A ．(2，－7)B ．(13，23)C ．(12，12)D ．(1,0)答案 C3．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2) D(－4,5)或(0,1)答案 C4．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝t B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t答案 D解析 注意参数的范围，可利用排除法，普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1,1]，故排除A 和B ；而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝1tan 2t ＝1x2，即x 2y ＝1，故排除C. 5．抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ，y ＝4t 2(t 为参数)的准线方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．y ＝1 D ．y ＝－1答案 D解析 由x ＝4t ，得t 2＝x 216， ∴y ＝4t 2＝x 24， 即x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.6．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ， θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(2－2，1) B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2) 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*)将y ＝x －b 代入(*)式，化简得2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0，依题意知，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0，解得2－2<b <2＋ 2.二、填空题7．点(－3,0)到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝22t (t 为参数)的距离为________． 答案 1 解析 ∵直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝22t 的普通方程为x －22y ＝0，∴点(－3,0)到直线的距离为d ＝|－3－0|12＋(－22)2＝1.8．已知P 为椭圆4x 2＋y 2＝4上的点，O 为原点，则|OP |的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由4x 2＋y 2＝4，得x 2＋y 24＝1. 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)， 则|OP |2＝x 2＋y 2＝cos 2φ＋4sin 2φ＝1＋3sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴1≤1＋3sin 2φ≤4， ∴1≤|OP |≤2.9．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线的极坐标方程为________． 答案 2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1(或2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1、ρcos θ＋3ρsin θ＝1) 解析 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线过点(1,0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化成极坐标方程为ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)，化简得2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1.10．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)上的两点M ，N 对应的参数分别为t 1和t 2，且t 1＋t 2＝0，则|MN |＝________.答案 4p |t 1|(或4p |t 2|)解析 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴，即x 轴，则|MN |＝2p |t 1－t 2|＝2p |2t 1|(或2p |2t 2|)，∴|MN |＝4p |t 1|(或4p |t 2|)．三、解答题11．已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝3x －y 的最值．解 由(x －1)2＋(y ＋2)2＝4可知，曲线表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆．令x ＝1＋2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，则S ＝3x －y ＝3(1＋2cos θ)－(－2＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ＝5＋210·sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)，所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S 取得最大值5＋210；当sin(θ＋φ)＝－1时，S 取得最小值5－210.12．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，25]．13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解 (1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0,0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式，得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系，得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2为圆，因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋(－1)2＝12＝22，所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22. 四、探究与拓展14．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.答案 5解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，联立两方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2. 所以公共点为(1,2)，所以公共点的极径为ρ＝22＋1＝ 5. 15．设飞机以v ＝150 m/s 的速度水平匀速飞行，若在飞行高度h ＝588 m 处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标．解 (1)如图所示，A 为投弹点，坐标为(0,588)，B 为目标，坐标为(x 0,0)．记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝0.设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝v 0t ，y ＝588－12gt2(g ＝9.8 m/s 2)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2，所以炸弹离开飞机后的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2.(2)炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝0，即588－4.9t 20＝0，解得t 0＝230 s. 将t 0＝230代入x ＝150t 0中，得x 0＝30030 m.。

二第二课时双曲线、抛物线的参数方程[课时作业][组基础巩固]．若点(，)在以点为焦点的抛物线(\\(＝，＝))(为参数)上，则等于( )．．．．解析：抛物线方程化为普通方程为＝，准线方程为＝－，所以为(，)到准线＝－的距离，即为.故选.答案：．方程(\\(＝＋－，＝－－))(为参数)的图形是( )．双曲线右支．双曲线左支．双曲线下支．双曲线上支解析：∵－＝＋＋－－(－＋－)＝.且＝＋－≥＝.∴表示双曲线的右支．答案：．点()到曲线(\\(＝，＝))(其中，参数∈)上的点的最短距离是( )．．．解析：方程(\\(＝，＝))表示抛物线＝的参数方程，其中＝，设点(，)是抛物线上任意一点，则点(，)到点 ()的距离＝＝＝＋≥，所以最短距离为，选.答案：．若曲线的参数方程为(\\(＝＋θ，＝θ))(θ为参数)，则曲线上的点的轨迹是( )．直线＋－＝．以()为端点的射线．圆(－)＋＝．以()和()为端点的线段解析：将曲线的参数方程化为普通方程得＋－＝(≤≤≤≤)．答案：．已知某条曲线的参数方程为(其中是参数)，则该曲线是( )．圆．线段．圆的一部分．双曲线解析：将所给参数方程的两式平方后相减，得－＝.并且由＝≥，得≥或≤－，从而易知结果．答案：．已知动圆方程＋－θ＋·＝(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是．解析：圆心轨迹的参数方程为即(\\(＝θθ，＝－θ＋θ))消去参数得：＝＋(－≤≤)．答案：＝＋(－≤≤)．已知抛物线的参数方程为(\\(＝，＝))(为参数)．若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与圆(－)＋＝(>)相切，则＝.解析：由(\\(＝，＝))得＝，抛物线的焦点坐标为()，直线方程为＝－，即－－＝.因为直线＝－与圆(－)＋＝相切，由题意得＝＝.答案：．曲线(\\(＝α，＝α))(α为参数)与曲线(\\(＝β，＝β))(β为参数)的离心率分别为和，则＋的最小值为．解析：曲线(\\(＝α，＝α))(α为参数)的离心率＝，曲线(\\(＝β，＝β))(β为参数)的离心率＝，∴＋＝≥＝.当且仅当＝时取等号，所以最小值为.答案：．已知抛物线(\\(＝，＝))(为参数，＞)上的点，对应的参数值为，，且＋＝，＝－，求，两点间的距离．解析：由题知，两点的坐标分别为(，)，(，)，所以＝＝＝－＝。

二 第二课时 双曲线、抛物线的参数方程[课时作业][A 组 根底稳固]1．假设点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，那么|PF |等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：抛物线方程化为普通方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，所以|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.应选C.答案：C2．方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t －e －t (t 为参数)的图形是( )A ．双曲线左支B ．双曲线右支C ．双曲线上支D ．双曲线下支 解析：∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e－2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4.且x ＝e t ＋e －t ≥2e t ·e －t ＝2. ∴表示双曲线的右支．答案：B3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝2t (其中，参数t ∈R)上的点的最短距离是( )A ．0B ．1C. 2D ．2 解析：方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝2t 表示抛物线y 2＝4x 的参数方程，其中p ＝2，设点M (x ，y )是抛物线上任意一点，那么点M (x ，y )到点P (1,0)的距离d ＝x －12＋y 2＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|≥1，所以最短距离为1，选B.答案：B4．假设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，那么曲线C 上的点的轨迹是( )A ．直线x ＋2y －2＝0B ．以(2,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析：将曲线的参数方程化为普通方程得x ＋2y －2＝0(0≤x ≤2,0≤y ≤1)． 答案：D5．某条曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (其中a 是参数)，那么该曲线是( ) A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一局部 解析：将所给参数方程的两式平方后相减，得x 2－y 2＝1.并且由|x |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥1，得x ≥1或x ≤－1， 从而易知结果．答案：C6．动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22·y sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹方程是________．解析：圆心轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12sin 2θ，y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θcos θ，y ＝－sin θ＋cos θ.消去参数得：y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12)．答案：y 2＝1＋2x (－12≤x ≤12) 7．抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)．假设斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，那么r ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8t 2，y ＝8t 得y 2＝8x ， 抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)，直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.。