第八章 第六节 双曲线(优秀经典课时作业练习及答案详解)

双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x aby ±= x ba y ±= 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．12.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．84.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝15.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________．6.已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.567.已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．8.双曲线C 的中点在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x .(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？。

双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线， 故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（ ） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1． 由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25， 解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为 。

课时作业 A 组 基础对点练1．(2017·合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意得，ba ＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.答案：B2．(2017·广州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，点P (2,1)在C的一条渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，1＝b a×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.答案：A3．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)的离心率等于33b ，则该双曲线的焦距为( )A ．2 5B ．2 6C ．6D ．8解析：设双曲线的焦距为2c .由已知得c 2＝33b ，又c 2＝4＋b 2，解得c ＝4，则该双曲线的焦距为8.答案：D4．(2017·辽宁五校联考)已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意，双曲线的一个顶点为⎝⎛⎭⎫0，13，一条渐近线的方程为mx －3y ＝0，则顶点到渐近线的距离为|－13×3|m 2＋9＝15，则m ＝4.答案：D5．(2017·湖南六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：由已知可得交点(3,4)到原点O 的距离为圆的半径，则半径r ＝32＋42＝5，故c ＝5，a 2＋b 2＝25，又双曲线的一条渐近线y ＝ba x 过点(3,4)，故3b ＝4a ，可解得b ＝4，a ＝3，故选C.答案：C6．如图，F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B 、A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.7 B ．4 C.233D. 3解析：依题意得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，结合双曲线的定义可得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，根据等边三角形，可知∠F 1BF 2＝120°，应用余弦定理，可得4a 2＋16a 2＋2·2a ·4a ·12＝4c 2，整理得ca＝7，故选A.答案：A7．(2017·南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：由题意，不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c ＞a ，所以|PF 2|＜|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2×2c ×4a cos 30°， 得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，即2x ±y ＝0.答案：A8．已知A 、B 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点P 为双曲线C在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为2，P A ，PB ，PO 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1k 2k 3的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，39 B.()0，3 C.()0，33D ．(0,8)解析：法一：因为e ＝c a ＝2，所以b ＝3a ，设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20a 2－y 20b 2＝1，k 1·k 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝b 2a 2＝3，又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以0＜k 3＜3，所以0＜k 1k 2k 3＜33，故选C.法二：由双曲线C 的离心率为2可取c ＝2，a ＝1，b ＝3，∴A (－1,0)，B (1,0)，设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20－y 203＝1，k 1k 2＝y 0x 0＋1·y 0x 0－1＝y 20x 20－1＝3，又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以0＜k 3＜3，所以0＜k 1k 2k 3＜33，故选C.答案：C9．(2017·开封模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)满足条件：(1)焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)；(2)离心率为53，求得双曲线C 的方程为f (x ，y )＝0.若去掉条件(2)，另加一个条件求得双曲线C 的方程仍为f (x ，y )＝0，则下列四个条件中，符合添加条件的共有( )①双曲线C 上的任意点P 都满足||PF 1|－|PF 2||＝6； ②双曲线C 的虚轴长为4；③双曲线C 的一个顶点与抛物线y 2＝6x 的焦点重合； ④双曲线C 的渐近线方程为4x ±3y ＝0. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①由||PF 1|－|PF 2||＝6，得a ＝3，又c ＝5，所以离心率为53，①符合；②中b ＝2，c ＝5，a ＝21，此时离心率等于52121，②不符合；③中a ＝32，c ＝5，此时离心率等于103，也不符合；④渐近线方程为4x ±3y ＝0，所以b a ＝43，离心率为53，④符合．故选B.答案：B10．已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则P A →·PB →的值是( )A ．－38B.316C ．－38D ．不能确定解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|P A |＝|x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 03＋y 0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos 2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos ∠APB ＝|x 203－y 20|43·⎝⎛⎭⎫－12＝34×(－12)＝－38，选A. 答案：A11．(2017·武汉武昌区调研)双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于__________．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝a b x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b 2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8.答案：812．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为________．解析：双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个焦点坐标为(c,0)．根据题意得|bc －a ×0|b 2＋a 2＝14×2c ，所以c ＝2b ，a ＝c 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝23＝233.答案：23313．(2017·深圳调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为________．解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，b a ＝2，∴a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1.答案：x 2－y 24＝114．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，记切点分别为A 、B ，双曲线的左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的离心率e ＝________.解析：连接OA ，根据题意以及双曲线的几何性质，|FO |＝c ，|OA |＝a ，而∠ACB ＝120°，∴∠AOC ＝60°，又F A 是圆O 的切线，故OA ⊥F A ，在Rt △F AO 中，容易得到|OF |＝2a ，∴e ＝ca＝2. 答案：2B 组 能力提速练1．(2016·高考天津卷)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1解析：利用双曲线方程写出圆和渐近线的方程，利用交点求出四边形边长即可表示出面积，解方程求b 即可．由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b4＋b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b2，即第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫44＋b 2，2b 4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b2＝2b ，得b 2＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.答案：D2．(2016·高考浙江卷)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m ＞n 且e 1e 2＞1B ．m ＞n 且e 1e 2＜1C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1解析：先利用两圆锥曲线的焦点相同，求出字母之间的关系，再求解离心率之积的取值范围．C 1的焦点为(±m 2－1，0)，C 2的焦点为(±n 2＋1，0)， ∵C 1与C 2的焦点重合，∴m 2－1＝n 2＋1，∴m 2＝n 2＋2，∴m 2＞n 2. ∵m ＞1，n ＞0，∴m ＞n .∵C 1的离心率e 1＝m 2－1m ，C 2的离心率e 2＝n 2＋1n ，∴e 1e 2＝m 2－1m ·n 2＋1n＝(m 2－1)(n 2＋1)mn ＝(m 2－1)(n 2＋1)m 2n 2＝(n 2＋1)2(n 2＋2)n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＞1＝1.答案：A3．(2017·江西联考)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝0(其中O 为坐标原点)，且|MF 1→|＝3|MF 2→|，则双曲线的离心率为( )A.5－1B.3＋12C.5＋12D.3＋1解析：∵F 2M →＝OM →－OF 2→，∴(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝(OM →＋OF 2→)·(OM →－OF 2→)＝0，即OM →2－OF 22→＝0，∴|OF 2→|＝|OM →|＝c ，在△MF 1F 2中，边F 1F 2上的中线等于|F 1F 2|的一半，可得MF 1→⊥MF 2→.∵|MF 1|→＝3|MF 2→|，∴可设|MF 1→|＝3λ，|MF 2→|＝λ(λ＞0)，得(3λ)2＋λ2＝4c 2，解得λ＝c ，∴|MF 1→|＝3c ，|MF 2→|＝c ，∴根据双曲线定义得2a ＝|MF 1→|－|MF 2→|＝(3－1)c ，∴双曲线的离心率e ＝2c2a＝3＋1.答案：D4．(2016·高考北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所示． ∵四边形OABC 为正方形，|OA |＝2， ∴c ＝|OB |＝22，∠AOB ＝π4.∵直线OA 是渐近线，方程为y ＝ba x ，∴ba ＝tan ∠AOB ＝1，即a ＝b . 又∵a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案：25．(2016·高考浙江卷改编)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，求|PF 1|＋|PF 2|的取值范围．解析：∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16＞0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＞16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF1||PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－42，代入不等式①可得(|PF1|＋|PF2|)2＞28，解得|PF1|＋|PF2|＞27.不妨设P在左支上，∵|PF1|2＋16－|PF2|2＞0，即(|PF1|＋|PF2|)·(|PF1|－|PF2|)＞－16，又|PF1|－|PF2|＝－2，∴|PF1|＋|PF2|＜8.故27＜|PF1|＋|PF2|＜8.。

高二数学双曲线练习题及答案下面是一份高二数学双曲线练习题及答案的文章，请你仔细阅读：高二数学双曲线练习题及答案双曲线是数学中重要的曲线之一，在高二数学学习中也占有重要地位。

为了帮助同学们更好地掌握双曲线知识，我们提供一些练习题以及答案，供同学们进行巩固和练习。

题目一：已知双曲线C的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，焦点F在y轴上，顶点坐标为(0, a)，离心率为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，求双曲线C的方程。

答案一：由双曲线的性质可知，焦点到顶点的距离与焦点到曲线上一点的距离之比等于离心率。

设F的坐标为（0, c），则离心率为：$\frac{CF}{Ca}=\frac{1}{\sqrt{2}}$由焦点的坐标可得c=a(1/√2)由离心率的定义可得：$\sqrt{a^2-c^2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$解得a^2=4c^2。

将焦点的坐标带入，得到方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4c^2}=1$题目二：已知双曲线C的一支渐近线方程为y=3x-2，焦点的坐标为（1,0），求双曲线C的方程。

答案二：由双曲线的性质可得，双曲线的渐近线的斜率为圆心到焦点连线的斜率。

设焦点坐标为(F, 0)，则斜率为：k = tan⁡α，其中α为双曲线的倾斜角又由渐近线y=3x-2可得，圆心到焦点连线的斜率为3因此，k=3=tan⁡α，则α为60度，倾斜角为60度。

由焦点坐标可知，焦点在(x1, y1)上，即（1,0）由双曲线的方程性质可得，双曲线的公式为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$根据双曲线标准方程，我们可以将双曲线方程改写为：$\frac{(y-y1)^2}{a^2}-\frac{(x-x1)^2}{b^2}=1$代入焦点坐标（1,0）得到：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{(x-1)^2}{b^2}=1$将双曲线的倾斜角代入，可得：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{(x-1)^2}{b^2}-\frac{(y-x)^2}{a^2}=1$化简得：$\frac{2x^2+2xy+2x+2y^2-4y}{a^2}=0$这样得到了双曲线C的方程。

双曲线习题及答案双曲线习题及答案双曲线是高中数学中一个重要的概念，它在数学和物理学中都有广泛的应用。

掌握双曲线的性质和解题技巧对于学生来说是非常重要的。

在本文中，我们将介绍一些典型的双曲线习题，并给出详细的解答。

1. 问题：给定双曲线的标准方程为$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} =1$，求其焦点坐标和准线方程。

解答：由双曲线的标准方程可知，$\displaystyle a^{2} >b^{2}$，因此双曲线的焦点在$x$轴上。

根据焦点与准线的定义，焦点坐标为$(\displaystyle \pm c,0)$，其中$\displaystyle c=\sqrt{a^{2} +b^{2}}$。

准线方程为$\displaystyle x=\pm a$。

2. 问题：已知双曲线的焦点坐标为$(2,0)$和$(-2,0)$，离心率为$\displaystyle\sqrt{2}$，求其标准方程。

解答：根据双曲线的离心率定义，$\displaystyle e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$。

由题目可知，焦点坐标为$(2,0)$和$(-2,0)$，因此$\displaystyle c=2$。

又由离心率的定义可得$\displaystyle e=\frac{c}{a}$。

将这些信息代入双曲线的标准方程$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} =1$中，整理得到$\displaystyle \frac{x^{2}}{4} -\frac{y^{2}}{2} =1$。

3. 问题：已知双曲线的焦点坐标为$(3,0)$和$(-3,0)$，离心率为$\displaystyle\frac{3}{2}$，求其标准方程。

解答：根据双曲线的离心率定义，$\displaystyle e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$。

《双曲线》练习题一. 选择题：1. 已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y=±4<则该双曲线的离心率是（A ）2. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为近，则双曲线方 程为（B ）D."-讨1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x ・y=0,则双曲c-¥4=^<=i D •学辱十 224.已知椭圆2/ + 2沪=1 （a>b>0）与双曲线/ 一方2 =1有相同的焦点.则椭圆的离心率为（A ）丄 鱼 心B.㊁C.飞一D. 丁2=一二1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（A ） 卅_ nB ・（-1, VI ） C. （0> 3） D ・（0, V3） 6•设双曲线笃-牛1 （0<a<b ）的半焦距为c,直线1过（/ 0） （0, b ）两点，已知原点到直线1的距2b 2禽为乎U 则双曲线的离心率为（A ）A. 2B. V3C. V2D.色空37. 已知双曲线4~4=1的两条渐近线与以椭圆£+各=1的左焦点为圆心、半径为竽 的圆相切，则双曲 线的离心率为（A ）A- i B - I c- J D . ?8. 双曲线虚轴的一个端点为"，两个焦点为为、E, Z 斤莎=120° ,则双曲线的离心率为（B ）f V"9. 已知双曲线一一 一 =1（加>0/>0）的一个焦点到一条渐近线的距离是2, 一个顶点到它的一条渐近线的m n距离为则m 等于（D ）V13A. 9 B ・ 4 C ・ 2 D ・,310. 已知双曲线的两个焦点为尺（_ 顾,0）、E （何 0） , M 是此双曲线上的一点，且满足x" - y"=l B ・ x" - y"=2 C ・ x" - y"=V23.在平而直角坐标系中，双曲线C 过点P （b 线C 的标准方程为（42A. 225.已知方程今一 rn'+n A. ( - 1, 3)= OJ MF X N MF, \= 2,则该双曲线的方程是（A ）■ ■ ■ ■ y yy—y = 1 B ・ x-—=l ——=1—y=l■11 •设凡 尺是双曲线/一計=1的两个焦点，尸是双曲线上的一点，且3 〃 =4|啟"则△彤E 的而枳等于 （c ）A ・ 4、也B ・ 8、/5C. 24D ・ 4812.过双曲线y-/=8的左焦点片有一条弦尸0在左支上，若1PQ =7,匹是双曲线的右焦点，则△啟。

2021年高考数学一轮复习 8.6双曲线课时作业 理 湘教版一、选择题1．(xx·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24xC ．y ＝±xD ．y ＝±22x 或y ＝±24x 【解析】 依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2，∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24.故选D.【答案】 D2．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45【解析】 双曲线的方程为x 22－y 22＝1，所以a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝2|PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，所以解得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，所以根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝（22）2＋（42）2－162×22×42＝34，选C.【答案】 C3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 【解析】 直线与双曲线右支相切时，k ＝－153，直线y ＝kx ＋2过定点(0，2)，当k ＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y ＝－x ＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153<k <－1.【答案】 D4．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点为F 1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F 1作∠F 1QF 2的角平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分【解析】 延长F 1P 交QF 2于R ， 则|QF 1|＝|QR |.∵|QF 2|－|QF 1|＝2a ，∴|QF 2|－|QR |＝2a ＝|RF 2|，又|OP |＝12|RF 2|，∴|OP |＝a .【答案】 D5．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ，0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为( )A.10B.105 C.102D. 2 【解析】圆x 2＋y 2＝a 24的半径为a 2，由OE →＝12(OF →＋OP →)知，E 是FP 的中点，如图，设F ′(c ，0)，由于O 是FF ′的中点，所以OE ∥PF ′，OE ＝12PF ′⇒PF ′＝2OE ＝a ，由双曲线定义，FP ＝3a ，因为FP 是圆的切线，切点为E ，所以FP ⊥OE ，从而∠FPF ′＝90°，由勾股定理FP 2＋F ′P 2＝FF ′2⇒9a 2＋a2＝4c 2⇒e ＝102.【答案】 C6．(xx·银川联考)已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上不同的三个点，且A ，B 的连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率的乘积k PA ·k PB ＝23，则该双曲线的离心率为( )A.52 B.62 C. 2 D.153【解析】 因为A ，B 的连线经过坐标原点， 所以A 、B 关于原点对称，设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，由A ，B ，P 在双曲线上得x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21b 2＝1，两式相减并且变形得y 20－y 21x 20－x 21＝b2a 2.又k PA ·k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝b 2a 2＝23，即c 2－a 2a 2＝e 2－1＝23，故双曲线的离心率e ＝153.【答案】 D 二、填空题7．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|FP 2|的值为________．【解析】 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线的定义及已知条件可得|m －n |＝2a ＝2，m 2＋n 2＝4c 2＝8，∴2mn ＝4.∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(m ＋n )2＝(m －n )2＋4mn ＝12. ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 【答案】 2 38．(xx·临沂联考)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为________．【解析】 由题意知，△ABE 为等腰三角形． 若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， 则|AF |＝b2a，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2a<a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2.【答案】 (1，2)9．(xx·南昌模拟)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于两点A 、B ，|AB |＝5，则满足条件的直线l 的条数为________．【解析】 (1)若A 、B 两点都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，∵a 2＝4，b 2＝5，c 2＝9，∴F (3，0)，∴直线AB 的方程为x ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x 24－y 25＝1得y ＝±52.∴|AB |＝5，满足题意．(2)若A 、B 两点分别在两支上，∵a ＝2，∴两顶点间的距离为2a ＝4<5.∴满足|AB |＝5的直线有两条，且关于x 轴对称． 综上，满足题意的直线有3条．【答案】 310．P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．【解析】 已知两圆圆心(－4，0)和(4，0)(记为F 1和F 2)恰为双曲线x 2－y 215＝1的两焦点．当|PM |最大，|PN |最小时，|PM |－|PN |最大，|PM |最大值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之和，同样|PN |min ＝|PF 2|－1，从而|PM |max －|PN |min＝|PF 1|＋2－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5. 【答案】 5 三、解答题11．(xx·湛江二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c ，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．【解析】 (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程，得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，代入双曲线方程， 得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0， ∵e ＞1，∴e ＝ 2.∴双曲线的离心率为 2.12．如图，动点M 与两定点A (－1，0)，B (1，0)构成△MAB ，且直线MA ，MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝x ＋m (m ＞0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围．【解析】 (1)设M 的坐标为(x ，y )， 当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在； 当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在． 于是x ≠1且x ≠－1. 此时，直线MA 的斜率为yx ＋1，直线MB 的斜率为yx －1.由题意，有y x ＋1·yx －1＝4，化简可得4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，4x 2－y 2－4＝0，消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*) 对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48＞0， 而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1. 结合题设(m ＞0)可知，m ＞0，且m ≠1. 设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )， 则x Q ，x R 为方程(*)的两根．因为|PQ |＜|PR |，所以|x Q |＜|x R |，x Q ＝m －2m 2＋33，x R ＝m ＋2m 2＋33.所以|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＝21＋3m2＋121＋3m 2－1＝1＋221＋3m2－1.此时1＋3m2＞1，且1＋3m2≠2，所以1＜1＋221＋3m 2－1＜3，且1＋221＋3m2－1≠53， 所以1＜|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＜3，且|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ≠53.综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3. 13．已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连结BP 交椭圆于点M ，连结PA 并延长交椭圆于点N ，若BM ＝MP ，求四边形ANBM 的面积．【解析】 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1且满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1.(2)由(1)得A (－5，0)，B (5，0)，AB ＝10， 设M (x 0，y 0)，则由BM ＝MP 得M 为BP 的中点， 所以P 点坐标为(2x 0－5，2y 0)．将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2025＋y 209＝1，（2x 0－5）225－4y 29＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0.解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)．∴y 0＝332.由此可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，332，∴P (－10，33)．当P 为(－10，33)时，直线PA 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)，即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y29＝1，得2x 2＋15x ＋25＝0，所以x ＝－52或－5(舍去)，∴x N ＝－52，∴x N ＝x M ，则MN ⊥x 轴．∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.•,39681 9B01 鬁29049 7179 煹28072 6DA8 涨38872 97D8 韘38426 961A 阚34407 8667虧p 21821 553D 唽25562 63DA 揚io。

双曲线解答题练习1.如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=︒，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于．．．l 斜率的取值范围.2.双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．3.已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．4.已知双曲线C 的方程为，离心率（1）求双曲线C 的方程；（2）如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围5．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）22221(0,0)y x a b a b-=>>e =1,[,2]3AP PB λλ=∈AOB ∆6．双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：21PF PO PF 、、成等比数列（O 为坐标原点）．（12分）7．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设M (0，－1)，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA |＝|MB |，试求k 的取值范围．（12分）8．已知不论b 取何实数，直线y=k x +b 与双曲线1222=-y x 总有公共点，试求实数k 的取值范围.（12分）9．设双曲线C 1的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线C 1上的任意一点，引QB ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与BQ 交于点Q. （1）求Q 点的轨迹方程;（2）设（1）中所求轨迹为C 2，C 1、C 2的离心率分别为e 1、e 2，当21≥e 时，e 2的取值范围（14分）10．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).（14分）双曲线练习题答案1.如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=︒，曲线C是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F .若△OEF 的面积不小于．．．l 斜率的取值范围.解：（Ⅰ）以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(2222＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.∴曲线C 的方程为12222=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜ ｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为a by a x (12222=-＞0，b ＞0）.则由 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-411322222b a ba ）（解得a 2=b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12222=-y x (Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0. ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠0)1(64)4(01222k k k －⇔1k k ≠±⎧⎪⎨<<⎪⎩ ∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）.设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=k x x kk --=-16,14212,于是 ｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=++-＝.132214)(1222212212kk k x x x x k --⋅+=-+⋅+而原点O 到直线l 的距离d ＝212k+，∴S △DEF =.132213221122121222222kk k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅ 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有　解得.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k k k ③综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2).解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴ 22210(4)46(1)0k k k ⎧≠⎪⎨∆=-+⨯->⎪⎩－⇔1k k ≠±⎧⎪⎨<<⎪⎩ .∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得｜x 1-x 2｜=.132214)(22221221kk kx x x x --=-∆=-+ ③当E 、F 在同一去上时（如图1所示），S △OEF ＝;21212121x x OD x x OD S S ODE ODF -⋅=-⋅=-∆∆ 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.+=∆∆ODF OEF S S S △ODE =.21)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅ 综上得S △OEF ＝,2121x x OD -⋅于是 由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =.132222kk --若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆OEF S.22,022*******2≤≤-≤-⇔≥--k k k k k 解得 ④综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.2. （Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率2e =．（Ⅱ）过F 直线方程为()ay x c b=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。

《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是(A)A.17B.15C.174 D.1542．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（B）A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（B）A．B．C．或D．4.1（a＞b＞01有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）A B C D5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（A）A．2 B．C．D．7的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ）A B C D8．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为(B)A.3B.62 C.63D.339．已知双曲线221(0,0)x ym nm n-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的，则m等于( D )A ．9B ．4C ．2D ．,310．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( A )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 11．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( C )A ．4 2B ．83C ．24D ．4812．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C ) A ．28 B ．14－82 C ．14＋8 2D ．8 213．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ D ） A ．﹣=1B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=114．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B |=|F 2A |，则该双曲线的离心率是（ C ） A ． B ．C ．D ．215．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。