高二数学人教A版选修1-1同步课时作业(13)双曲线及其标准方程 Word版含解析

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课时提升作业十二双曲线及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.设θ∈,则关于x,y的方程-=1所表示的曲线是( )A.焦点在y轴上的双曲线B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在x轴上的椭圆【解析】选 C.方程即+=1,因为θ∈,所以sinθ>0,cosθ<0,且-cos θ>sinθ,故方程表示焦点在y轴上的椭圆.【补偿训练】在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程的曲线是( )A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线【解析】选D.方程mx2-my2=n可化为:-=1,因为mn<0,所以->0,所以方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线.2.(2016·枣庄高二检测)双曲线-=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为( )A.22或2B.7C.22D.2【解析】选A.因为a2=25,所以a=5.由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=10,由题意知|PF1|=12,所以|PF1|-|PF2|=±10,所以|PF2|=22或2.3.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1(x≤-3)D.-=1(x≥3)【解析】选D.由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),点B(5,0)为焦点的双曲线的右支. 由c=5,a=3,知b2=16,所以P点的轨迹方程为-=1(x≥3).【误区警示】容易忽视x的取值范围而导致错选A.4.(2016·泉州高二检测)已知定点A,B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( )A. B. C. D.5【解析】选C.由题意知,动点P的轨迹是以定点A,B为焦点的双曲线的一支(如图),从图上不难发现,|PA|的最小值是图中AP′的长度,即a+c=.5.(2016·潍坊高二检测)双曲线-y2=1(n>1)的两焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为( )A. B.1 C.2 D.4【解析】选B.不妨设F1,F2是双曲线的左、右焦点,P为右支上一点,|PF1|-|PF2|=2,①|PF1|+|PF2|=2,②由①②解得:|PF1|=+,|PF2|=-,得:|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,又由①②分别平方后作差得:|PF1||PF2|=2,所以=|PF1|·|PF2|=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·唐山高二检测)已知P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为.【解析】由条件知a2=64,即a=8,c2=b2+a2=100,c=10,所以双曲线右支上的点到左焦点F1的最短距离a+c=18>17,故点P在双曲线左支上.所以|PF2|-|PF1|=2a=16,即|PF2|=16+|PF1|=33.答案:33【误区警示】本题易直接利用定义求解,忽视右支上的点到左焦点的最短距离为a+c,而出现错误结论|PF2|=1或|PF2|=33.【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),若顶点B在双曲线-=1的左支上,则= .【解题指南】由正弦定理可将转化为边的比,而△ABC的顶点A,C已知,故边AC 长可求,B在双曲线上,由定义可求|BC|-|BA|.【解析】由条件可知|BC|-|BA|=10,且|AC|=12,又在△ABC中,有===2R,从而==.答案:7.(2016·烟台高二检测)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是.【解析】设双曲线方程为-=1,因为c=,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以-=1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2),则P点的坐标为(,4).代入双曲线方程得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线方程为x2-=1.答案:x2-=18.已知双曲线-=1上一点M的横坐标为5,则点M到左焦点的距离是.【解题指南】利用双曲线的定义求解.【解析】由于双曲线-=1的右焦点为F(5,0),将x M=5代入双曲线方程可得|y M|=,即为点M到右焦点的距离,由双曲线的定义知M到左焦点的距离为+2×3=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程.【解析】椭圆的焦点为F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),且c=3,a2+b2=9.由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4,可得两交点的坐标为A(,4),B(-,4),由点A在双曲线上知,-=1.解方程组得所以所求双曲线的方程为-=1.10.如图,在△ABC中,已知|AB|=4,且三内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.【解析】以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,则A(-2,0),B(2,0).由正弦定理,得sinA=,sinB=,sinC=(R为△ABC的外接圆半径).因为2sinA+sinC=2sinB,所以2a+c=2b,即b-a=,从而有|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|.由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点),因为a=,c=2,所以b2=c2-a2=6,即所求轨迹方程为-=1(x>)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·合肥高二检测)已知双曲线-=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为( )A. B. C. D.【解析】选C.设F1到直线F2M的距离为d,不妨设点F1(-3,0),容易计算得出|MF1|=,|MF2|-|MF1|=2.解得|MF2|=.而|F1F2|=6,在直角三角形MF1F2中,由|MF1|·|F1F2|=|MF2|·d,求得F1到直线F2M的距离d为.2.(2016·沈阳高二检测)已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R 在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( )A.6B.8C.10D.12【解析】选C.由双曲线的知识可知:C1:-=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的半径分别是r1=1,r2=1,所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,所以|PQ|-|PR|的最大值为:(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.【补偿训练】(2016·太原高二检测)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,有·=0,则|+|= ( )A. B.2 C. D.2【解析】选B.因为·=0,所以PF1⊥PF2,即△PF1F2为直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2)2=40,|+|====2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·黄冈高二检测)已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是.【解析】由双曲线-=1,得c=4,所以左焦点F(-4,0),右焦点F′(4,0),由双曲线的定义得:|PF|-|PF′|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=4+=9,此时P为AF′与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为9.答案:94.(2016·杭州高二检测)已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上一点,若·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是.【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),由题意得||MF1|-|MF2||=2a,|MF1|2+|MF2|2=(2)2=20,又因为||·||=2,所以|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2,即20-2×2=4a2,所以a2=4,b2=c2-a2=5-4=1,所以双曲线的方程为-y2=1.答案:-y2=1三、解答题(每小题10分,共20分)5.当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化?【解析】(1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=1和x=-1.(2)当0°<α<90°时,方程为+=1.①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆.②当α=45°时,它表示圆x2+y2=.③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.(3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=1和y=-1.(4)当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.(5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.【误区警示】解答本题时容易忽略α=90°的情况.6.(2016·济南高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,求P到x轴的距离.【解析】因为||PF1|-|PF2||=2,所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4,所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|·|PF2|,由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1|·|PF2|cos60°,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|·|PF2|,又a=1,b=1,所以c==,所以|F1F2|=2c=2,所以4+2|PF1||PF2|=|PF1|·|PF2|+8,所以|PF1|·|PF2|=4.设P到x轴的距离为|y0|,=|PF1||PF2|sin60°=|F1F2|·|y0|,所以×4×=×2|y0|,所以|y0|==.即P点到x轴的距离为.关闭Word文档返回原板块小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

§2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程一、选择题1.双曲线2x 2－y 2＝8的焦距是( )A.2B.2 2C.4 3D.4 22.若k ∈R ，则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k －2＝1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知双曲线x 2m －y 23m＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是( ) A.1B.－1C.－105D.1054.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 5.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为( )A.5B.5＋43C.7D.96.已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A.8B.9C.16D.20二、填空题7.若点P 到点(0，－3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点P 的轨迹方程为________________.8.已知双曲线x 24－y 2m＝1的一个焦点坐标为(3,0)，则m ＝________. 9.双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)，N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________________.10.已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|的值为________.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B＝________. 三、解答题12.设F 1，F 2是双曲线x 24a －y 2a＝1(a >0)的两个焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，求双曲线的方程.13.已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1、F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF →1·MF →2＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程.[[答案]]精析1.C2.A3.B4.B [据已知条件得焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则a 2＋b 2＝5.①∵线段PF 1的中点坐标为(0,2)，∴点P 的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程，得5a 2－16b 2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1.] 5.D [如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4,0).由双曲线的定义及标准方程，得|PF |－|PE |＝4，则|PF |＋|P A |＝4＋|PE |＋|P A |.由图可得，当A ，P ，E 三点共线时，(|PE |＋|P A |)min ＝|AE |＝5，从而|PF |＋|P A |的最小值为9.]6.B [△ABF 2的周长＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，∵|AB |＝4，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16.根据双曲线定义知，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，∴4a ＝(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，∴a ＝3，∴m ＝a 2＝9.故选B.]7.y 2－x 28＝1(y ≥1) 8.5 9.x 273－y 275＝1 10.1或5[[解析]] 由题意得Q 为PF 的中点，设左焦点为F ′，其坐标为(－3,0)，∴|OQ |＝12|PF ′|. 若P 在双曲线的左支上，则|OQ |＝12|PF ′| ＝12(|PF |－2a )＝12×(6－2×2)＝1； 若P 在双曲线的右支上，则|OQ |＝12|PF ′| ＝12(|PF |＋2a ) ＝12×(6＋2×2)＝5. 综上，|OQ →|＝1或5.11.5612.解 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＝20a .①又||PF 1→|－|PF 2→||＝4a .②①－②2，得2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a .∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，∴a ＝1.∴双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 13.解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF →1·MF →2＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8， ① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80， ② 由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4＜λ＜16). ∵双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去).∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.。

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课堂10分钟达标练1.若直线x=a与双曲线-y2=1有两个交点，则a的值可以是( )A.4B.2C.1D.-2【解析】选A.因为双曲线-y2=1中，x≥2或x≤-2，所以若x=a与双曲线有两个交点，则a>2或a<-2，故只有A选项符合题意.2.过双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB=120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________.【解析】因为∠AOB=120°⇒∠AOF=60°⇒∠AFO=30°⇒c=2a，所以e==2.答案：23.设双曲线C：-y2=1(a>0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A，B，则双曲线C的离心率的取值范围是________.【解析】由C与l相交于两个不同点，故知方程组有两组不同的实根，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ①所以解得0<a<，且a≠1.双曲线的离心率e==，因为0<a<且a≠1.所以e>，且e≠.即离心率e的取值范围为∪(，+∞).答案：∪(，+∞)4.双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，且经过点(3，-2).(1)求双曲线的方程.(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.【解析】(1)因为双曲线的两条渐近线方程为y=±x，所以可设双曲线的方程为2x2-y2=λ(λ≠0).又因为双曲线经过点(3，-2)，代入方程可得λ=6，所以所求双曲线的方程为-=1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过F且倾斜角为60°的直线方程为y=(x-3)，联立，得x2-18x+33=0，由根与系数的关系得x1+x2=18，x1x2=33，所以|AB|=|x1-x2|=²=2=16，即弦长|AB|=16.关闭Word文档返回原板块第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2若p：－2<a<0,0<b<1；q：关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？例3设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．知识点三逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4判断下列命题的真假．(1)对于任意x，若x－3＝0，则x－3≤0；(2)若x＝3或x＝5，则(x－3)(x－6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4³a ³a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x，x≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。

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课后提升训练十四双曲线方程及性质的应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·天津高二检测)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( ) A.-=1 B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.由题意知:a=2,a+b=c,又c2=a2+b2,且焦点在y轴上,选A.2.(2017·德化高二检测)直线y=k(x+)与双曲线-y2=1有且只有一个公共点,则k的不同取值有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.由已知可得,双曲线的渐近线方程为y=±x,顶点(±2,0),而直线恒过(-,0),故有两条与渐近线平行,有两条切线,共4条直线与双曲线有一个交点.【补偿训练】(2017·天水高二检测)已知双曲线方程为x2-=1,过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点,则共有L ( )A.4条B.3条C.2条D.1条【解析】选B.因为双曲线方程为x2-=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的共有3条.【拓展延伸】数形结合思想在研究直线与双曲线问题中的应用①直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.②直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.3.(2017·全国甲卷)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )A.2B.C.D.【解析】选A.圆心到渐近线bx±ay=0距离为=,所以=⇒c=2a⇒e=2.4.(2017·唐山高二检测)已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则·= ( )A.-12B.-2C.0D.4【解析】选C.由已知得,b 2=2,c=2,点P为(,±1),左、右焦点坐标分别为(-2,0),(2,0),结合向量的乘法,易知选C.5.如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等差数列,则离心率e等于( )A. B. C. D.【解析】选D.因为2b=a+c,所以4b2=a2+2ac+c2,4(c2-a2)=a2+2ac+c2,所以3e2-2e-5=0,所以e=.6.已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0(O 为原点),则-的值为( )A.1B.2C.3D.【解析】选B.将y=1-x代入-=1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.因为·=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,所以-+1=0,即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以-=2.7.(2015·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆+y2=3相切,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1【解析】选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3相切可知=,又因为c==2,所以有a=1,b=,故双曲线的方程为x2-=1.8.(2017·全国乙卷)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为( ) A. B. C. D.【解析】选D.由c2=a2+b2=4得c=2,所以F(2,0),将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3,又A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e∈[,2],在两条渐近线构成的角中,设以实轴为角平分线的角为θ,则θ的取值范围是________.【解析】因为e2===1+,e∈[,2],所以2≤1+≤4,所以1≤≤,即1≤tan≤,所以≤≤,≤θ≤.答案:10.(2016·北京高考)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC 的边长为2,则a=__________.【解析】因为正方形OABC的边长为2,所以B(2,0),渐近线为y=±x.所以c=2,a=b.又因为a2+b2=c2,所以a=b=2.答案:2【补偿训练】过双曲线-=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为,这样的直线的条数为( )A.4B.3C.2D.1【解析】选D.依题意可得右焦点F(5,0),所以垂直x轴,过点F的直线是x=5.代入-=1,求得y=±,所以此时弦长=+=.不是垂直x轴的,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比它长,所以这里只有一条,因为两个顶点距离=4,即左右两支上的点最短是4,所以如果是交于两支的话,弦长不可能为,所以只有1条.三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017·北京高二检测)已知椭圆和双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,它们有共同的焦点F1(-5,0),F2(5,0),并且它们的离心率e可以使方程2x2+4(2e-1)x+4e2-1=0有相等的实根,求椭圆和双曲线的方程.【解析】因为方程2x2+4(2e-1)x+4e2-1=0有相等的实根,所以Δ=[4(2e-1)]2-4×2×(4e2-1)=0,所以e1=,e2=.所以双曲线中:c=5,e=,a=,b2=,双曲线方程为-=1.椭圆中:c=5,e=,a=10,b2=a2-c2=75,椭圆方程为+=1.12.(2017·黄石高二检测)已知双曲线3x2-y2=3,直线l过右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A,B两点,试问A,B两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦AB的长.【解题指南】联立方程后根据两根的符号确定两个交点的位置. 【解析】因为a=1,b=,c=2,又直线l过点F2(2,0),且斜率k=tan 45°=1,所以l的方程为y=x-2,由消去y并整理得2x2+4x-7=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为x1·x2=-<0,所以A,B两点分别位于双曲线的左、右两支上.因为x1+x2=-2,x1·x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=·=·=6.【能力挑战题】设双曲线C:-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围.(2)若设直线l与y轴的交点为P,且=,求a的值.【解析】(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解,消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,所以解得-<a<且a≠0且a≠±1.又因为a>0,所以0<a<且a≠1.因为双曲线的离心率e==,又因为0<a<,且a≠1,所以e>且e≠.所以双曲线C的离心率e的取值范围是∪(,+∞). (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).因为=,所以(x1,y1-1)=(x2,y2-1),由此可得x1=x2.因为x1,x2都是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的根, 且1-a2≠0,所以x1+x2=x2=-,x1x2==-,消去x2,得a2=.又因为a>0,所以a=.关闭Word文档返回原板块。

2．2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程内容标准学科素养1.掌握双曲线的定义．2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.应用直观想象提升逻辑推理及数学运算授课提示：对应学生用书第31页[基础认识]知识点一双曲线的定义预习教材P45，思考并完成以下问题我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆．那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线．这条曲线是满足下面条件的点的集合：P＝{M||MF1|－|MF2|＝常数}．如果使点M到点F2的距离减去到点F1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线(图中左边的曲线)．这条曲线是满足下面条件的点的集合：P＝{M||MF2|－|MF1|＝常数}．这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．知识梳理双曲线的定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考若常数＝|F1F2|，则满足条件的点的轨迹是什么？若常数>|F1F2|，则满足条件的点是否存在？提示：两条射线不存在知识点二双曲线的标准方程思考并完成以下问题类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？提示：建立如图直角坐标系，设M(x，y)是双曲线上任一点，|F1F2|＝2c，||MF1|－|MF2||＝2a，则|(x＋c)2＋y2－(x－c)2＋y2|＝2a，整理得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，令b2＝c2－a2(b>0)，则b2x2－a2y2＝a2b2，即x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)——双曲线的标准方程．知识梳理双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－y2b2＝1(a>0，b>0) 焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c，c2＝a2＋b21．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线答案：C2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D ．(3，0)答案：C授课提示：对应学生用书第31页 探究一 双曲线定义的应用[教材P 54习题2.2A 组1题]双曲线4x 2－y 2＋64＝0上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离等于________．解析：双曲线4x 2－y 2＋64＝0可化为y 264－x 216＝1，∴a ＝8.由定义知|PF 1|－|PF 2|＝16，|PF 2|＝±16＋|PF 1|，|PF 2|＝17或|PF 2|＝－15(舍去)． 答案：17[例1] (1)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3(2)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48[解析] (1)由题意得||PF 1|－|PF 2||＝6， ∴|PF 2|＝|PF 1|±6，∴|PF 2|＝9或－3(舍去) 故选B.(2)⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. 在△PF 1F 2中，|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝10∴△PF 1F 2为直角三角形，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24.故选C.[答案] (1)B (2)C方法技巧 1.求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．跟踪探究 1.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2.若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解析：由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 探究二 求双曲线的标准方程[阅读教材P 47例1]已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，双曲线上一点P 到F 1、F 2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．题型：待定系数法求双曲线的标准方程．方法步骤：①根据条件设出所求方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②根据双曲线的定义得2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝6， ∴a ＝3.又∵c ＝5，从而求出b . ③写出所求的标准方程．[例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为26，且经过点M (0,12)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5. [解析] (1)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧n ＝116，m ＝－19，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.方法技巧 待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式．①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)． ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪探究 2.(1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5两点，求双曲线的标准方程． 解析：(1)由题意， 知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程， 得25a 2－16b 2＝1. 又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.探究三 与双曲线有关的轨迹问题[阅读教材P 47例2]已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．题型：求动点的轨迹方程．方法步骤：①建立直角坐标系，使A ，B 在x 轴上，坐标原点为AB 的中点，设爆炸点P (x ，y )．②建立P 的几何性质，|P A |－|PB |＝680. (AB ＝800>600)故P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线一支． 从而写出所求轨迹方程．[例3] 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．[解析] 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，从而有|AC |－|BC |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．方法技巧 1.求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．2．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪探究 3．如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解析：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32.授课提示：对应学生用书第33页[课后小结](1)理解双曲线定义应注意以下三点：①定义中的动点与定点在同一平面内；②距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支；③距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线，而是两条射线或无轨迹．(2)利用待定系数法可以求双曲线的标准方程，求解步骤包括“定位”与“定量”两步．[素养培优]1．忽视双曲线上的点到焦点距离的范围致误双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )A ．1或21B ．14或36C ．2D ．21易错分析 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝10， 不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点．若|PF 2|＝11，∴|PF 1|＝1或21，故选A ，忽视了|PF 1|的取值范围． 考查直观想象、逻辑推理的学科素养．自我纠正 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝10(F 1、F 2为左、右焦点)． 又∵|PF 1|＝1或21，当P 在左支上时，|PF 1|>c －a ＝2，故|PF 1|＝1舍去；当P 在右支上时，|PF 1|>c ＋a ＝12， 故|PF 1|＝21，故选D. 答案：D2．混淆a ，b ，c 的关系致误双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，求k 的值． 易错分析 由8kx 2－ky 2＝8， 得x 21k －y 28k＝1. ∵焦点在y 轴上，∴a 2＝8－k ，b 2＝－1k ，又∵c 2＝a 2－b 2，故3＝－7k ，∴k ＝－73.混淆了椭圆与双曲线中a 、b 、c 的关系导致结果错误．考查直观想象、数学运算的学科素养．自我纠正 将双曲线的方程化成kx 2－k8y 2＝1.因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，所以焦点在y 轴上，且c ＝3. 所以a 2＝－8k ，b 2＝－1k .所以－8k －1k ＝9，解得k ＝－1.3．忽视对双曲线焦点位置的讨论致误若双曲线x 2m －2－y 2m －7＝1的焦距等于6，求实数m 的值．易错分析 解答本题时，容易将m －2看作a 2，将m －7看作b 2，而造成漏解．考查逻辑推理及数学运算．自我纠正 因为双曲线的焦距等于6，即2c ＝6，所以c ＝3，即a 2＋b 2＝c 2＝9.(1)当双曲线焦点在x 轴上时，方程为x 2m －2－y 2m －7＝1，a 2＝m －2，b 2＝m －7，所以m －2＋m －7＝9，解得m ＝9，即实数m 的值为9.(2)当双曲线焦点在y 轴上时，方程为y 27－m －x 22－m ＝1，a 2＝7－m ，b 2＝2－m ，所以7－m＋2－m ＝9，解得m ＝0，即实数m 的值为0.综上可知，实数m 的值为0或9.。

第二章 圆锥曲线与方程2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( ) A ．(－7，0)，(7，0) B ．(0，－7)，(0，7)C ．(－5，0)，(5，0)D ．(0，－5)，(0，5)解析：由双曲线的标准方程，知a ＝4，b ＝3，所以c ＝5，又由于焦点在x 轴上．所以 焦点为(－5，0)，(5，0)．答案：C2．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A ．－1＜m ＜3B ．m ＞－1C ．m ＞3D ．m ＜－1答案：B3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1中c a ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析：由题意得c ＝5，c a ＝54，所以a ＝4，则b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9.所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 答案：C4．已知F 1(－5，0)，F 2(5，0)为定点，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a ＝3和a ＝5时， P 点的轨迹分别为( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线的一支和一条直线C ．双曲线和一条射线D ．双曲线的一支和一条射线解析：由题意知|F 1F 2|＝10，因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以 当a ＝3时，2a ＝6＜|F 1F 2|，为双曲线的一支，当a ＝5时，2a ＝10＝|F 1F 2|，为一条射线．答案：D5．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.12B ．1或－2C ．1或12D ．1解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0＜a 2＜4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.答案：D二、填空题6．若双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同焦点，且经过点(15，4)，则该双曲线的标准方程为___________________________________．解析：由椭圆方程，知c ＝3，且焦点在y 轴上．所以可设双曲线的方程为y 2a 2－x 29－a 2＝1(0＜a 2＜9)．将点的坐标(15，4)代入，得42a 2－（15）29－a2＝1，解得a 2＝4(a 2＝36舍去)．所以该双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 答案：y 24－x 25＝1 7．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则|PF 1|＝________． 解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2×1，解得|PF 2|＝6，|PF 1|＝8. 答案：88．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．解析：由双曲线定义可知|AF 1|＝2a ＋|AF 2|＝4＋|AF 2|；|BF 1|＝2a ＋|BF 2|＝4＋|BF 2|， 所以 |AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AF 2|＋|BF 2|＝8＋|AB |＝13.△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝18.答案：18三、解答题9．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，那么m 的取值范围． 解：(1)当焦点在x 轴上，有m ＞5，则c 2＝m ＋m －5＝9，所以 m ＝7；(2)当焦点在y 轴上，有m ＜0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9，所以 m ＝－2.综上所述，m ＝7或m ＝－2.10．已知k 为实常数，命题p ：方程(k －1)x 2＋(2k －1)y 2＝(2k －1)(k －1)表示椭圆，命题q ：方程(k －3)x 2＋4y 2＝4(k －3)表示双曲线．(1)若命题p 为真命题，求实数k 的取值范围；(2)若命题p ，q 中恰有一个为真命题，求实数k 的取值范围．解：(1)若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧2k －1＞0，k －1＞0，2k －1≠k －1，解得k ＞1，即实数k 的取值范围是(1，＋∞)．(2)当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，k ≥3，解得k ≥3， 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k ＜3，解得k ≤1， 故实数k 的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．B 级 能力提升1．k ＜2是方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：k ＜2⇒方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线，而方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线⇒(4－k )(k －2)＜0⇒k ＜2或k ＞4，故k ＜2是方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线的充分不必要条件． 答案：A2．过点P 1(2，1)和P 2(－3，2)的双曲线的方程是________．解析：设方程为ax 2＋by 2＝1(ab ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝1，9a ＋4b ＝1，解方程组得⎩⎨⎧a ＝37，b ＝－57，所以双曲线的方程是3x 27－5y 27＝1. 答案：3x 27－5y 27＝1 3．已知双曲线16x 2－9y 2＝144，F 1F 2是左右两焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2.解：由题意知||PF 1|－|PF 2||＝6，所以 (|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36.所以 |PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2×32＝100.又由题意知|F 1F 2|＝2c ＝10，所以 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝ 100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0. 所以 ∠F 1PF 2＝90°.。

§2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程课时目1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2. 掌握双曲线的标准方程.3. 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1) 双曲线的定义平面内与两个定点F i, F2的距离的差的绝对值等于常数(小于_________ )的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F i, F2的距离的差的绝对值等于|F i F2|时的点的轨迹为平面内与两个定点F i，F2的距离的差的绝对值大于I F1F2I时的点的轨迹_____________ .(2) 双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F i、F2 叫做 _________________ ,两焦点间的距离叫做2．双曲线的标准方程(1) 焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是 ______________________ ,焦点F i __________ , F2 ________ .(2) 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是____________________________ ，焦点F i ______________F2 _________ .(3) 双曲线中a、b、c 的关系是_____________一、选择题i.已知平面上定点F i、F2及动点M命题甲：|| MF| —|M即=2a(a为常数)，命题乙:M点轨迹是以F i、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的()27.设F 1、F 2是双曲线 x — y 2= 1的两个焦点，点 P 在双曲线上，且 PF • PF 2 = 0,则 | PF | • PF^| = ______ .2 2A. C. 2. A.B.C.D.3. A. C.4. 充分不必要条件B .必要不充分条件 充要条件 D .既不充分也不必要条件 若ax 2 + by 2= b （ab <0），则这个曲线是（ ）双曲线，焦点在 x 轴上 双曲线，焦点在 y 轴上 椭圆，焦点在x 轴上 椭圆，焦点在y 轴上 焦点分别为22 y 彳 x —3 =122 x y —3 = 1 2x双曲线 ---m(-2,0) ,(2,0) B. 且经过点（2,3）的双曲线的标准方程为（ ）2X 2彳3— y = 1A. C. 5.A. C. 6. 3+ m =1 12 1+ ；2一动圆与两圆： 抛物线 双曲线的一支的一个焦点为（2,0），贝U m 的值为（ ）x 2 + y 2= 1 和BD一 2 — 1 .2x 2+ y 2— 8x + 12 = 0都外切，则动圆圆心的轨迹为（）已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为 段PF 的中点坐标为（0,2） 2X 2A 4—y =12 2x yC. 77 — £ = 12 3，则该双曲线的方程是F 1( — 5, 0)，点P 位于该双曲线上，线)'2y 17 = 12 2x_—y_= 1 .3 2 '&已知方程盒一化 =1表示双曲线，则k的取值范围是1 + k 1 —k -----------2 29. F1、F2是双曲线希—器=1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF|・丨P冋=32,则/RPF = ______ .三、解答题2 210. 设双曲线与椭圆—+豊=1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为27 364,求此双曲线的标准方程.111. 在△ABC中，巳4,0)、C( —4,0)，动点A 满足sin B—sin C= qsin的轨迹方程.2x12. 若点O和点F( —2, 0)分别为双曲线-—y2= 1(a>0)的中心和左焦点a右支上的任意一点，则OP- FP的取值范围为()A. [3 —2 3A,求动点A 点P为双曲线1 ,) B.[3 +23 , +^°)7 7c. [ —4，+m) D.【4，+呵13. 已知双曲线的一个焦点为F( 7, 0)，直线y= x —1与其相交于M N两点，MN中点的横坐标为一3，求双曲线的标准方程.31 •双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得.2•和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合.3•直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决.§ 2.2 双曲线2. 2.1 双曲线及其标准方程答案知识梳理1. (1)| F1F2I以F1, F2为端点的两条射线不存在(2)双曲线的焦点双曲线的焦距2 2x y2. ⑴了—b^= 1(a>0, b>0) ( —c, 0) (c, 0)a b2 2y x⑵孑—b2=1(a>0, b>0) (0，—c) (0 , c)(3) c2= a2+ b2作业设计1. B [根据双曲线的定义，乙？甲，但甲.乙，只有当2a<| F1F2I且aK 时，其轨迹才是双曲线.]2. B [原方程可化为X+ y2= 1,因为ab<0,所以b<0,所以曲线是焦点在y轴上的双b aa曲线，故选B.]3. A [ •••双曲线的焦点在x轴上，2 2x y•••设双曲线方程为——2= 1 ( a>0, b>0).a b2 2由题知c = 2 ,• a + b = 4. ①又点(2,3)在双曲线上，•2 2由①②解得a = 1, b = 3,所以双曲线的标准方程为 方法二_将点A 的纵坐标代入椭圆方程得 A ± 亦，4),又两焦点分别为 F 1(0,3) , F 2(0，— 3). 所以 2a = I ： ± ；'15— 0 2+ 4+ 3 2—2 2a 2—b 2=1.•••所求双曲线的标准方程为 4. A [•双曲线的焦点为21• 3+ m= c = 4. • m=㊁.] 5. C [由题意两定圆的圆心坐标为 则| OO = r + 1, | OO = r + 2,「 曲线的一支.] 22y _ .,x — 3 =1.]在x 轴上且c = 2,(2,0)O (0,0) , Q(4,0)，设动圆圆心为 O,动圆半径为r , | 00 —I OO = 1<| OQ I = 4，故动圆圆心的轨迹为双6. B [设双曲线方程为2 y£=1，因为c = '5, C = a + b ，所以 b = 5 — a ，所以方程得2丫一2= 1.由于线段PF 的中点坐标为a5 16(0,2)，则P 点的坐标为('5, 4) •代入双曲线2=1,解得a 2= 1或a 2 = 25(舍去)，所以双曲线方程为 x 2—召=1.故选B.] 7. 2解析又 PF 丄 PR , | F 1F 2I = 2*5, 2 2 * 2• |PF | + |PF | = 20,「. (|PF | — |PF |) =20 — 2| PF || PF | = 16,「. | PF | •I PF | = 2. &— 1<k <1 •- II PF — | PF 2II = 4, I F F I = 2 ：'5, 2 2解析 因为方程 宀一化 =1表示双曲线，1 + k 1 — k 所以(1 + k )(1 — k )>0.所以(k + 1)( k — 1)<0. 所以一1<k <1. 9. 90°解析 设/ F 1PR = a , | PF | = n, | PF a | = r 2. 在厶FFF 中，由余弦定理， 得(2 c )2= r 2+ r ；— 2r 1「2cos 「「…COS a = a ,2 2+ 2「订2— 4c 36 + 64 —100 =0. 2「1「264 10.解方法 2设双曲线的标准方程为红一 a 2X2 72 = 1 ( a >0, b >0)，由题意知 c = 36 — 27b=9, 又点 ~~2 —c = 3.A 的纵坐标为 ± 152b 24, 则横坐标为土 .15,于是有a 2+b 2= 9,2a = 4, 解得2b = 5.;± ：15— 0 2+4 — 3 2| = 4,1■ 2 2 2即 a = 2, b = c — a = 9— 4 = 5,2 2所以双曲线的标准方程为 y —x = 1. 4 51B — sinC = @sin A , SB —「I BC 又 |BC _82R 页—2 ，又 |BC — 8, 所以 | AQ — | AB — 4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支（除去右顶点）且2a — 4,2 c — 8,所以2a — 2, c — 4,b —12.2 2所以A 点的轨迹方程为 冷—务—1（ x >2）. 12. B［由 c — 2 得 a 2 + 1— 4, ••• a 2 — 3,2 X 2••双曲线方程为——y — 1.设 P (x , y )( x 》.3),• O P- F P = (x , y ) •(x + 2, y ) — x 2 + 2x + y 222x—x + 2x + — — 13 —4x 2 + 2x — 1(x > 3). 令 g (x ) —£X 2+ 2x — 1( x > ,3)，则 g (x )在［,3,)上单调递增.g ( x ) min —g ( Q 3)— 33 + 2 3.O P- FP 的取值范围为［3 + 2 ,3 ,).］2 213.解 设双曲线的标准方程为 笃-£ — 1,a b11 .解 设A 点的坐标为（x , y ）,在厶ABC 中,由正弦定理, 得一sinb c sin B sin C2R代入sin得|AC且 c = 7,贝y a 2 + b 2 = 7.① 由MN 中点的横坐标为—2知 2 53,— 3 .设 M (x i , y i ) , N X 2, y 2), 2 2 X i y i 2— 2 = i , 中点坐标为 则由 2 2X 2 V 2a 2—芦1，得 b 2( X i + X 2)( X i — X 2)— a 2( y i + y 2)( y i — y 2)= 0. 4 X i + X 2= —3 3 io y i + y 2=— 3，且 i , X i — X 2 ••• 2b 2= 5a 2.②由①，②求得a 2=2, b 2= 5. 2 2 •所求双曲线的标准方程为 X — y = i. 2 5。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.2.2 双曲线及其标准方程（二）同步练习题【基础演练】题型一：双曲线中的基本运算 因为双曲线中的基本量之间存在着内在联系，所以从方程的角度来讲，可已知一部分求另一部分，请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 双曲线1k9y k 25x 22=-+-的焦距为A. 16B. 8C. 4D. 3422. 在双曲线中，25a c =且双曲线与椭圆36y 9x 422=+有公共焦点，则双曲线的方程是A. 1x 4y 22=-B. 1y 4x 22=-C. 14y x 22=-D. 14x y 22=-3. 双曲线8my mx 822=-的焦距为6，则m 的值是A. 1±B. –1C. 1D. 84. 设双曲线与椭圆136y 27x 22=+有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程。

题型二：求双曲线的方程 求双曲线的方程的常用方法有：待定系数法、直译法、定义法、相关点法、几何法等，请根据以上知识解决以下5~8题。

5. 以112y 4x 22-=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是A. 14y 16x 22=+B. 116y 4x 22=+C. 112y 16x 22=+D. 116y 12x 22=+6. 双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线020y 2x 5=+-上，两焦点关于原点对称，35a c =，则此双曲线的方程是A. 164y 36x 22=-B. 136y 64x 22=-C. 164y 36x 22=-D. 136y 64x 22-=-7. 动圆与两圆1y x 22=+和012x 8y x 22=+-+都外切，则动圆圆心的轨迹是A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 双曲线的一支8. 在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN=90°，tan ∠PMN=43，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程。

－＋－－＝ C.－＝ D.－5(5，A.－＝ B.－＝－－＝．椭圆＋m 2＝与双曲线m 2－＝A.－＝ B.－＝C.－＝－＝ D.－ D.m －b．已知方程＝．以椭圆椭圆＝A.＝＝－＋a 2＝与双曲线a －＋．过双曲线＝．如果椭圆椭圆＝．设双曲线与椭圆＝3＝1. 5、C ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、C ∵c 9－y 22m ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|·||PF 2|＝m －a . 11、x 273－y 275＝1 12、833∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ïìx ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 13、1 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 14、 x 24－y 212＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8， 由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 15、椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，人教版高二数学选修1-1双曲线及其双曲线及其标准方程标准方程练习题答案及详解 1、D 2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1. 3、A 设动圆设动圆半径半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双，双曲线方程曲线方程为y 2－x 2＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|·||PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对，对椭圆椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1. 8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，为焦点，实轴实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 27＝1(x >0) 9、D |A F AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝＝7，该弦所在，该弦所在直线直线方程为x ＝7， 由îïí＋2－b 2＝∴16a 2－15b －＝3，(3－3(3－－3)·((3－y 2＝－y M 2＝－3－)(3－－y 2M 2＝±233，＝233. ＝12|F ＝3，∴x 2M ＋y 2M ＝3①－y M 2＝±233，＝233. 椭圆＝双曲线a 2＝为：。