高三数学一轮复习课时作业51 双曲线B 文 北师大版

课时作业(五十) 双曲线A 级1．若k ∈R ，则方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( )A ．－3＜k ＜－2B ．k ＜－3C ．k ＜－3或k ＞－2D ．k ＞－22．(2012·云南昆明高三模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点到渐近线的距离等于实轴的长，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 53．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 4．(2012·大纲全国卷)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.455．(2012·东北四校高三模拟)过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点为M ，若△MAB 是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为( )A.32 B ．2 C. 2D. 36．(2012·江苏启东一模)若双曲线的焦点坐标为(－5,0)和(5,0)，渐近线方程为4x ±3y ＝0，则双曲线的标准方程为________．7．(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．8．(2012·天津卷)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.9．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________．10．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．11．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．B 级1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)2．(2012·重庆卷)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.3.如图，直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l2与x轴平行．(1)求双曲线C的离心率；(2)求双曲线C的方程．答案课时作业(五十)A 级1．A 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3＞0，k ＋2＜0，解得－3＜k ＜－2.2．D 该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，焦点F (±c,0)，由点到直线的距离公式可得，d ＝|bc |a 2＋b 2＝b . 由题意可得，b ＝2a ，∴e ＝1＋b 2a2＝ 5. 3．B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由PF 1中点为(0,2)知，PF 2⊥x 轴，P (5，4)，即b 2a ＝4，b 2＝4a ，∴5－a 2＝4a ，a ＝1，b ＝2，∴双曲线方程为x 2－y 24＝1.4．C 由x 2－y 2＝2知，a 2＝2，b 2＝2，c 2＝a 2＋b 2＝4，∴a ＝2，c ＝2. 又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝4， ∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.5．B 如图所示，△AMF 为等腰直角三角形， |AF |为|AB |的一半，|AF |＝b 2a.而|MF |＝a ＋c ，由题意可得，a ＋c ＝b 2a ，即a 2＋ac ＝b 2＝c 2－a 2，即c 2－ac －2a 2＝0. 两边同时除以a 2可得，e 2－e －2＝0， ∵e >1，解得，e ＝2.6．解析： 由题意可得，该双曲线焦点在x 轴上，c ＝5，b a ＝43.又∵a 2＋b 2＝c 2＝25，解之得，a 2＝9，b 2＝16， ∴双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.答案： x 29－y 216＝17．解析： ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0， ∴m ＝2. 答案： 28．解析： 与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 216λ＝1.由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14，则a 2＝1，b 2＝4.又a ＞0，b ＞0，故a ＝1，b ＝2.答案： 1 29．解析： 由PF 1→·PF 2→＝0得PF 1→⊥PF 2→， 设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m >n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4c ＝5， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7. 答案： 710．解析： 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.11．解析： (1)由题意知a ＝23，一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴|bc |b 2＋a 2＝3，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12， ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)． B 级1．B 如图所示，由题意知点P 在右支上．∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，且|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＋|PF 2|≥2c (当点P 在右顶点时取等号)且|PF 1|－|PF 2|＜2c ，解得1＜ca ≤3，即1＜e ≤3，故选B.2．解析： ∵直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1相交，由⎩⎨⎧y ＝b 3ax ，x 2a 2－y 2b 2＝1消去y 得x ＝32a4，又PF 1垂直于x 轴，∴32a 4＝c ，即e ＝c a ＝324.答案：3243．解析： (1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb ＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P .而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴交点为Q 点． 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°， 所以tan 30°＝b a ＝33.于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中得x 2－3·3(x －2)2＝3k 2.化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2362－4·8·(36＋3k 2)8＝9－6k 2＝3，求得k 2＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.。

双曲线一、选择题1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )A． B．1 C． D．2C　[根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝a，则该双曲线的离心率为e＝＝，故选C．]2．已知双曲线的方程为－＝1，则下列关于双曲线说法正确的是( )A．虚轴长为4B．焦距为2C．离心率为D．渐近线方程为2x±3y＝0D　[由题意知，双曲线－＝1的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以选项A，B均不对；离心率e＝＝，故选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确．故选D．]3．已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1C　[由题意得e＝＝，又右焦点为F2(5，0)，a2＋b2＝c2，所以a2＝16，b2＝9，故双曲线C的方程为－＝1．]4．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P 在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )A． B．3 C． D．2B　[法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16．不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则S＝|PF1|·|PF2|＝×6＝3，故选B．法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以S＝＝＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故选B．]5．已知双曲线C：－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝( )A．1 B．13 C．17 D．1或13B　[由题意知双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得＝，解得a ＝3，所以c＝＝5．又由F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|＝7，可得点P在双曲线的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13．故选B．]6．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为，则其一条渐近线的倾斜角为( )A．30° B．45° C．60° D．120°B　[设双曲线－＝1的右顶点A(a，0)，右焦点F2(c，0)到渐近线y＝x的距离分别为1和，则有即＝．则＝＝－1＝2－1＝1，即＝1．设渐近线y＝x的倾斜角为θ，则tan θ＝＝1．所以θ＝45°，故选B．]7．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1B　[由y＝x，可得＝．①由椭圆＋＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a2＋b2＝9．②由①②可得a2＝4，b2＝5．所以C的方程为－＝1．故选B．]8．圆C：x2＋y2－10y＋16＝0上有且仅有两点到双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( )A．(，)B．C．D．(，＋1)C　[不妨设该渐近线经过第二、四象限，则该渐近线的方程为bx＋ay＝0．因为圆C：x2＋(y－5)2＝9，所以圆C的圆心为(0，5)，半径为3，所以2＜＜4，结合a2＋b2＝c2，得＜＜，所以该双曲线的离心率的取值范围是．]二、填空题9．(2021·新高考卷Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为________．y＝±x　[＝＝＝，故双曲线C的渐近线方程为：y＝±x．]10．(2021·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0互相垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．3　[双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为y＝±x，一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得＝2，即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，可得a＝，b＝3，即有c＝＝＝，即焦距为2c＝3．]11．如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．＋1　[设|F1F2|＝2c，连接AF1(图略)，∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，2a＝c－c，∴e＝＝＝＋1．]12．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．2　[由已知得|AB|＝|CD|＝，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c．因为2|AB|＝3|BC|，所以＝6c，又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，解得e＝2，或e＝－(舍去)．]1．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )A．2sin 40°B．2cos 40°C．D．D　[由题意可得－＝tan 130°，所以e＝＝＝＝＝．故选D．]2．双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，则该双曲线的标准方程为________．已知点A(－6，0)，若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置变化时，△PAF的周长的最小值为________．－＝1　28　[∵双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，∴解得a＝4，b＝4．∴双曲线的标准方程为－＝1．设双曲线的上焦点为F′(0，8)，则|PF|＝|PF′|＋8，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋|PA|＋|AF|＋8．当P点在第二象限，且A，P，F′共线时，|PF′|＋|PA|最小，最小值为|AF′|＝10．而|AF|＝10，故△PAF的周长的最小值为10＋10＋8＝28．]。

学案52 双曲线导学目标： 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．双曲线的概念平面内动点P 与两个定点F 1、F 2(|F 1F 2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P 的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P ＝{M|||MF 1|－|MF 2||＝2a}，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a>0，c>0； (1)当________时，P 点的轨迹是________； (2)当________时，P 点的轨迹是________； (3)当________时，P 点不存在． 23.． 自我检测1．(2018·安徽)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 22．已知双曲线x 22－y2b 2＝1 (b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P(3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．－12B ．－2C ．0D ．43．(2018·课标全国)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．34．(2018·武汉调研)已知点(m ，n)在双曲线8x 2－3y 2＝24上，则2m ＋4的范围是__________________．5．已知A(1,4)，F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．探究点一双曲线的定义及应用例1已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．变式迁移1 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．探究点二求双曲线的标准方程例2已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．变式迁移2 (2018·安庆模拟)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．探究点三 双曲线几何性质的应用例3 已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．变式迁移3 已知双曲线C ：x 22－y 2＝1.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知M 点坐标为(0,1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP →·MQ →，求λ的取值范围．方程思想的应用例 (12分)过双曲线x 23－y26＝1的右焦点F 2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求|AB|；(2)求△AOB 的面积；(3)求证：|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|.多角度审题 (1)要求弦长|AB|需要A 、B 两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB ；(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到A 、B 两点在双曲线上这个条件．【答题模板】(1)解 由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6，∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．直线AB 的方程为y ＝33(x －3)．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33－x 23－y 26＝1，得5x 2＋6x －27＝0.[2分]∴x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275，∴|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫332·1＋x 22－4x 1x 2＝43·3625＋1085＝1635.[4分] (2)解 直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0.∴原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－33|32＋－2＝32.[6分] ∴S △AOB ＝12|AB|·d＝12×1635×32＝1235.[8分](3)证明如图，由双曲线的定义得|AF 2|－|AF 1|＝23，|BF 1|－|BF 2|＝23，[10分] ∴|AF 2|－|AF 1|＝|BF 1|－|BF 2|，即|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|.[12分] 【突破思维障碍】写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x 的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再求点O 到直线AB 的距离从而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ>0，而导致错解．1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中a ，b ，c 的大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y ＝±abx.3．双曲线标准方程的求法：(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a 、b 、c ，即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左边一支 C ．双曲线右边一支 D ．一条射线2．设点P 在双曲线x 29－y216＝1上，若F 1、F 2为双曲线的两个焦点，且|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，则△F 1PF 2的周长等于( )A ．22B ．16C ．14D ．123．(2018·宁波高三调研)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM(切点为M)，交y 轴于点P.若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 54．双曲线x 2a 2－y2b2＝1的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 是双曲线右支上的一点，则分别以PF 1和A 1A 2为直径的两圆的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含5．(2018·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y23＝1 二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2018·上海)设m 是常数，若点F(0,5)是双曲线y 2m －x29＝1的一个焦点，则m ＝________.7．设圆过双曲线x 29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．8．(2018·铜陵期末)已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题(共38分)9．(12分)根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．10．(12分)(2018·广东)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切． (1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M(355，455)，F(5，0)，且P 为L 上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P 的坐标．11．(14分)(2018·四川)已知定点A(－1,0)，F(2,0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N.(1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．学案52 双曲线自主梳理 1．双曲线 焦点 焦距 (1)a<c 双曲线 (2)a ＝c 两条射线 (3)a>c 3.等轴双曲线 y ＝±x e ＝ 2 自我检测1．C [∵2x 2－y 2＝8，∴x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴2a ＝4.] 2．C3．B [设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB|＝2b 2a ，依题意2b 2a＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3.] 4．(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)5．解 设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知 |PF|＝2a ＋|PF 1|＝4＋|PF 1|， ∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF 1|＋|PA|.∴当满足|PF 1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象可知当点A 、P 、F 1共线时，满足|PF 1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF 1|＝5， 故所求最小值为9. 课堂活动区例1 解题导引 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．解 设F(x ，y)为轨迹上的任意一点，因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上， 所以|FA|＋|CA|＝2a ，|FB|＋|CB|＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴)． 所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋52＝2. 所以|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1 (y≤－1)．变式迁移1 解设动圆M 的半径为r ，则由已知得，|MC 1|＝r ＋2， |MC 2|＝r －2，∴|MC 1|－|MC 2|＝22，又C 1(－4,0)，C 2(4,0)， ∴|C 1C 2|＝8.∴22<|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14.∴点M 的轨迹方程是x 22－y214＝1 (x≥2)．例2 解题导引 根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x 2a 2－y2b2＝λ (参数λ≠0)中，当λ>0时，焦点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上．解 方法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 当x ＝4时，y ＝2<y p ＝3， ∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a.设双曲线方程为y 2a 2－x24a2＝1，由于点P(4,3)在此双曲线上， ∴9a 2－164a2＝1，解得a 2＝5. ∴双曲线方程为y 25－x220＝1.方法二 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 即x2－y ＝0， ∴双曲线的渐近线方程为x 24－y 2＝0.设双曲线方程为x 24－y 2＝λ (λ≠0)，∵双曲线过点P(4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 24－y 2＝－5，即y 25－x 220＝1.变式迁移2 y 24－x212＝1解析 由于在椭圆x 29＋y 225＝1中，a 2＝25，b 2＝9，所以c 2＝16，c ＝4，又椭圆的焦点在y 轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e ＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y 轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1 (a>0，b>0)，且c ＝4，所以a ＝12c ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，于是双曲线的方程为y 24－x212＝1.例3 解题导引 双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．解 (1)由16x 2－9y 2＝144，得x 29－y 216＝1，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x.(2)||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝1|－|PF 22＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F 1PF 2＝90°.变式迁移3 解 (1)因为a ＝2，b ＝1，且焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y －22x ＝0，y ＋22x ＝0. (2)设P 点坐标为(x 0，y 0)，则Q 的坐标为(－x 0，－y 0)，λ＝MP →·MQ →＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)＝－x 20－y 20＋1＝－32x 20＋2.∵|x 0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]． 课后练习区1．C 2.A 3.A 4.C5．A [∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C(3,0)． 又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C(3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y24＝1.]6．16解析 由已知条件有52＝m ＋9，所以m ＝16. 7.163 8.629．解 (1)方法一 由题意可知所求双曲线的焦点在x 轴上， (2分)设双曲线的方程为x 2a 2－y2b 2＝1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，－2a－32b＝1，解得a 2＝94，b 2＝4.(4分)所以双曲线的方程为49x 2－y24＝1.(6分)方法二 设所求双曲线方程x 29－y216＝λ (λ≠0)，(2分)将点(－3,23)代入得λ＝14，(4分)所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即49x 2－y24＝1.(6分)(2)设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1.由题意c ＝2 5.(8分)又双曲线过点(32，2)，∴22a－4b＝1. 又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8.(10分)故所求双曲线的方程为x 212－y28＝1.(12分)10．解 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y)，半径为r.圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2，圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F(5，0)，半径为2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |CF 1|＝r ＋2，|CF|＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r －2，|CF|＝r ＋2， ∴||CF 1|－|CF||＝4.(4分) ∵|F 1F|＝25>4.∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(6分)(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，(8分) 且|MF|＝355－52＋455－2＝2.(9分)直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655.此时y ＝－255.(11分)∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P 的坐标为(655，－255)．(12分)11．解 (1)设P(x ，y)，则－2＋y 2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12，化简得x 2－y 23＝1(y≠0)．(5分)(2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y ＝k(x －2) (k≠0)，与双曲线方程x 2－y23＝1联立消去y ，得(3－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋3)＝0.由题意知，3－k 2≠0且Δ＞0.(7分) 设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[]x 1x 2－2x 1＋x 2＋4＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3－8k 2k 2－3＋4＝－9k 2k 2－3.因为x 1，x 2≠－1，所以直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)．因此M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 11＋，FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3y 11＋.同理可得FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3y 22＋.因此FM →·FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋9y 1y 21＋2＋＝94＋－81k 2k 2－34⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3＋4k 2k 2－3＋1＝0.(11分) ②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为x ＝2，则B(2,3)，C(2，－3)． AB 的方程为y ＝x ＋1，因此M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32. 同理可得FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－32.因此FM →·FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0.(13分)综上，FM →·FN →＝0，故FM ⊥FN.故以线段MN 为直径的圆过点F.(14分)。

第50讲 双曲线（解析版）考点内容解读要求 常考题型 1．双曲线的定义掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。

Ⅰ选择题，填空题，大题 2．双曲线的性质 能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程．能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题．Ⅱ选择题，填空题，大题一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质1． 范围22221x x a ax a x a 即或≥≥∴≥≤-双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。

因此双曲线上点的横坐标满足x ≤-a 或x ≥a ． 2．对称性对于双曲线标准方程12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

3．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。

实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。

a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。

①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。

②双曲线的焦点总在实轴上。

③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

4．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。

课时作业(五十一)A　[第51讲　双曲线] [时间：35分钟　分值：80分] 1．[2011·安徽卷] 双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( ) A．2 B．2 C．4 D．4 2．[2011·成都二诊] 设集合P＝，Q＝{(x，y)|x－2y＋1＝0}，记A＝P∩Q，则集合A中元素的个数是( ) A．3 B．1 C．2 D．4 3．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是( ) A.－y2＝1 B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1 4．双曲线－＝1的共轭双曲线的离心率是________． 5．[2010·课标全国卷] 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( ) A. B. C. D. 6．[2011·湖南卷] 设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 7．[2012·豫南九校联考] 从－＝1(其中m，n{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为( ) A. B. C. D. 8．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离是，则a＋b的值为( ) A．－ B. C．－或　D．2或－2 图K51－1 9．[2011·南开中学模拟] 如图K51－1，在等腰梯形ABCD中，ABCD且AB＝2AD，设DAB＝θ，θ，以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1·e2＝________. 10．[2011·太原一模] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________． 11．[2011·大连模拟] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，它的一个焦点为F(6,0)，则双曲线的方程为________． 12．(13分)双曲线C与椭圆＋＝1有相同焦点，且经过点(，4)． (1)求双曲线C的方程； (2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且F1PF2＝120°，求F1PF2的面积． 13．(12分)[2011·江西师大附中模拟] 双曲线E经过点A(4,6)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝2. (1)求双曲线E的方程； (2)求F1AF2的角平分线所在直线的方程．课时作业(五十一)A 【基础热身】 1．C　[解析] 双曲线方程可化为－＝1，所以a2＝4，得a＝2，所以2a＝4.故实轴长为4. 2．B　[解析] 由于直线x－2y＋1＝0与双曲线－y2＝1的渐近线y＝x平行，所以直线与双曲线只有一个交点，所以集合A中只有一个元素．故选B. 3．A　[解析] 由||·||＝2|和||2＋||2＝40得|||－|||＝6. 4.　[解析] 双曲线－＝1的共轭双曲线是－＝1，所以a＝3，b＝，所以c＝4，所以离心率e＝. 【能力提升】 5．D　[解析] 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y＝±x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝.根据c2＝a2＋b2，可得＝，解得e2＝，所以e＝，故选D. 6．C　[解析] 根据双曲线－＝1的渐近线方程得：y＝±x，即ay±3x＝0.又已知双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0且a>0，所以有a＝2，故选C. 7．B　[解析] 若方程表示圆锥曲线，则数组(m，n)只有7种：(2，－1)，(3，－1)，(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以概率为P＝.故选B. 8．B　[解析] 由点P(a，b)到直线y＝x的距离为，可得a－b＝2，又P在双曲线x2－y2＝1上，a2－b2＝1，得a＋b＝. 9．1　[解析] 作DMAB于M，连接BD，设AB＝2，则DM＝sinθ，在RtBMD中，由勾股定理得BD＝，所以 e1＝＝， e2＝＝，所以e1·e2＝1. 10．[2，＋∞)　[解析] 依题意，双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是[60°，90°)，所以≥tan60°＝，即b2≥3a2，c2≥4a2，所以e≥2. 11.－＝1　[解析] ＝，即b＝a，而c＝6，所以b2＝3a2＝3(36－b2)，得b2＝27，a2＝9，所以双曲线的方程为－＝1. 12．[解答] (1)椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)． 设双曲线的方程为－＝1，则a2＋b2＝32＝9. 又双曲线经过点(，4)，所以－＝1， 解得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍去)， 所以所求双曲线C的方程为－＝1. (2)由双曲线C的方程，知a＝2，b＝，c＝3. 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a＝4， 平方得m2－2mn＋n2＝16. 在F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos120°＝m2＋n2＋mn＝36. 由得mn＝， 所以F1PF2的面积为S＝mnsin120°＝. 【难点突破】 13．[解答] (1)依题意，可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，c2＝a2＋b2(c>0)， 由点A在双曲线上得－＝1，由离心率e＝2，得＝4两式联立， ∴双曲线E的方程为－＝1. (2)设F1(－4,0)，F2(4,0)，由A(4,6)，AF2⊥x轴， 设F1AF2的角平分线所在直线交x轴于点M(m,0)， 则点M到直线F1A，F2A的距离相等，直线F1A，F2A的方程分别为3x－4y＋12＝0，x＝4， 所以得＝4－m，解得m＝1，即m(1,0)， 故所求直线方程为y＝(x－1)，即2x－y－2＝0.。

课时作业(五十一) 第51讲 直线与圆锥曲线的位置关系时间：45分钟 分值：100分基础热身1．2011²哈尔滨二模 已知椭圆C ：x24＋y2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．1,4)B ．1，＋∞)C ．1,4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)2．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线x －y ＋3＝0与曲线y 29－x |x |4＝1的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．2011²西铁一中二模 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1531 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎪⎫－1530 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 能力提升5．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正向的夹角为60°，则||为( )A.21p 4B.21p 2C.136p D.1336p 6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在7．2011²舟山七校联考 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，A ，B 是椭圆上关于x 、y轴均不对称的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)．设AB 的中点为C (x 0，y 0)，则x 0的值为( )A.95B.94C.49D.598．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.2239．2011²全国卷 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点．则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35C ．－35D ．－4510．若直线l ：tx －y ＋6＝0与曲线C ：x 2－y 2＝2有两个不同交点，则实数t 的取值范围是________．11．过点(0,2)的双曲线x 2－y 2＝2的切线方程是________．12．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．13．已知双曲线x29－y216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |＝________.14．(10分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上的定点M (m,0)(m >0)，过点M 作直线AB 与抛物线相交于A ，B 两点．(1)试证明A ，B 两点的纵坐标之积为定值；(2)若点N 是定直线l ：x ＝－m 上的任一点，证明：直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列．15．(13分)2011²江西卷 P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．难点突破16．(12分)2011²银川一中月考 已知曲线C 上任意一点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1.(1)求曲线C 的方程； (2)过点P (2,2)的直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，设＝λ，当△AOB 的面积为42时(O 为坐标原点)，求λ的值．课时作业(五十一)【基础热身】1．C 解析 直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.2．C 解析 点(2，0)恰是双曲线的一个顶点，过该点仅有一条直线与双曲线相切，而过该点与双曲线的渐近线平行的两条直线也与双曲线仅有一个公共点，故这样的直线有3条．3．B 解析 当x ≥0时，方程是y29－x24＝1，当x <0时，方程是y29＋x24＝1，作图即知．4．A 解析 联立方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，消去y 后得 (1－k 2)x 2－4kx －10＝0，设交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋40(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解不等式组得－153<k <－1. 【能力提升】5．B 解析 过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|FA |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p ， ∴OA ＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p .6．B 解析 方法1：该抛物线的通径长为4，而这样的弦AB 的长为x A ＋x B ＋p ＝7，故这样的直线有且仅有两条．方法二：①当该直线的斜率不存在时，它们的横坐标之和等于2，不合题意． ②当该直线的斜率存在时，设该直线方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5⇒k 2＝43⇒k ＝±233.故这样的直线有且仅有两条．7．B 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由于点A ，B 在椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)上，所以x 21a ＋y 21b1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0.设直线AB 的斜率为k ，则得k ＝－b 2x 0a 2y 0，从而线段AB 的垂直平分线的斜率为a 2y 0b 2x 0，线段AB 的垂直平分线的方程为y －y 0＝a 2y 0b 2x 0x－x 0)．由于线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)，所以0－y 0＝a 2y 0b 2x 0(1－x 0)，解得x 0＝a2a 2－b2.a 2a 2－b 2＝a 2c 2＝⎝⎛⎭⎫1e 2.所以x 0＝94. 8．D 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线y ＝k (x ＋2)与抛物线y 2＝8x 联立，消掉y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.根据韦达定理x 1x 2＝4，(1)．根据焦点半径公式，有|FA |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2，由|FA |＝2|FB |，得x 1＝2x 2＋2，(2)，由(1)(2)解得x 2＝1(负值舍去)，故点B 的坐标为(1,22)，将其代入y ＝k (x ＋2)(k >0)得k ＝223. 9．D 解析 法一：联立直线与抛物线的方程，消去y 得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或4，得A (1，－2)，B (4,4)，则|AF |＝2，|BF |＝5，|AB |＝35，由余弦定理得cos ∠AFB ＝－45.法二：联立方程⎩⎨⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，所以交点坐标分别为A (1，－2)，B (4,4)，又F (1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，所以cos ∠AFB ＝＝－85³2＝－45.10．(－2，－1)∪(－1,1)∪(1,2) 解析 直线与曲线方程联立，消掉y 得(1－t 2)x 2－26tx －8＝0，直线与双曲线交于不同两点的充要条件是1－t 2≠0且Δ＝(26t )2－4(1－t 2)³(－8)>0，解得t 2<4且t 2≠1.11．y ＝±3x ＋2 解析 设切线方程为y ＝kx ＋2，代入双曲线方程得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0，由Δ＝16k 2＋24(1－k 2)＝0，解得k ＝±3，故所求的切线方程为y ＝±3x ＋2.12．y ＝x 解析 由已知抛物线方程为y 2＝4x .直线l 的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，点(2,2)不可能是AB 的中点，故直线l 的斜率存在，设直线方程斜率为k ，则直线l 的方程是y－2＝k (x －2)且k ≠0，与抛物线方程y 2＝4x 联立消去x ，则y 2－4⎝⎛⎭⎫y －2k ＋2＝0，即y 2－4k y ＋8k－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k y 1＋y 22＝2，即2k＝2，解得k ＝1，故所求的直线方程是y －2＝x －2，即y ＝x .13.56 解析 右焦点F 的坐标是(5,0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋5，代入双曲线方程得(16m2－9)y 2＋160my ＋162＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－160m 16m 2－9，y 1y 2＝16216m 2－9， 则|PQ |＝1＋m2⎝⎛⎭⎫－160m 16m 2－92－4²16216m 2－9＝96(1＋m 2)|16m 2－9|. 设PQ 的中点N (x 0，y 0)，则y 0＝－80m 16m 2－9，x 0＝－80m 216m 2－9＋5＝－4516m 2－9. 设M (t,0)，则y 0x 0－t ＝－m ，即t ＝y 0m ＋x 0＝－12516m 2－9故|MF |＝|t －5|＝⎪⎪⎪⎪－12516m 2－9－5＝80(1＋m 2)|16m 2－9|. 所以|MF ||PQ |＝8096＝56.14．解答 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1y 2＝－2pm ，下证之：设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，与y 2＝2px 联立得⎩⎨⎧y 2＝2px ，x ＝ty ＋m ，消去x ，得y 2－2pty －2pm＝0，由韦达定理得y 1y 2＝－2pm .(2)证明：设点N (－m ，n )，则直线AN 的斜率为k AN ＝y 1－n x 1＋m ，直线BN 的斜率为k BN ＝y 2－nx 2＋m， ∴k AN ＋k BN ＝y 1－n y 212p ＋m ＋y 2－n y 222p ＋m ＝2p (y 1－n )y 21＋2pm ＋2p (y 2－n )y 22＋2pm ＝2p ⎝⎛⎫y 1－n y 1－y 1y 2＋y 2－n y 2－y 1y 2＝2p ²y 2(y 1－n )－y 1(y 2－n )y 1y 2(y 1－y 2)＝2p ²n (y 1－y 2)y 1y 2(y 1－y 2)＝2p ²n y 1y 2＝2p ²n －2pm ＝－nm又∵直线MN 的斜率为k MN ＝n －0－m －m ＝－n2m，∴k AN ＋k BN ＝2k MN ，即直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列．15．解答 (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线a 2－b 2＝1上，有x 20a 2－y 2b2＝1，由题意又有y 0x 0－a ²y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.①设＝(x 3，y 3)，＝λ＋，即⎩⎨⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2，又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.②由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4. 【难点突破】16．解答 (1)∵点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1，∴点M 在直线l 的上方，点M 到F (0,1)的距离与它到直线l ′∶y ＝－1的距离相等， ∴点M 的轨迹C 是以F 为焦点，l ′为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为x 2＝4y .(2)当直线m 的斜率不存在时，它与曲线C 只有一个交点，不合题意， 设直线m 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx ＋(2－2k )，代入x 2＝4y 得x 2－4kx ＋8(k －1)＝0(*)，Δ＝16(k 2－2k ＋2)>0对k ∈R 恒成立，所以直线m 与曲线C 恒有两个不同的交点． 设交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8(k －1)． ∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2]＝4(1＋k 2)(k 2－2k ＋2)，点O 到直线m 的距离d ＝|2－2k |1＋k2，∴S △ABO ＝12|AB |d ＝4|k －1|k 2－2k ＋2＝4(k －1)4＋(k －1)2，∵S △ABO ＝42，∴4(k －1)4＋(k －1)2＝42，∴(k －1)4＋(k －1)2－2＝0，∴(k －1)2＝1或(k －1)2＝－2(舍去)， ∴k ＝0或k ＝2.当k＝0时，方程(*)的解为x＝±2 2. 若x1＝22，x2＝－22，2－22＝3－22；则λ＝－22－2若x1＝－22，x2＝22，2＋22＝3＋2 2.则λ＝22－2当k＝2时，方程(*)的解为4±2 2. 若x1＝4＋22，x2＝4－22，－2－22则λ＝＝3＋22；2－22若x1＝4－22，x2＝4＋22，－2＋22则λ＝＝3－2 2.2＋22所以λ＝3＋22或3－2 2.。

9。

6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。

这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。

3。

双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。

3。

若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。

课时作业(四十九) [第49讲 双曲线][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．[2011·银川一中月考] 与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 2．[2011·山东省实验中学二模] 如图K49－1，已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为(A.58B.45C.43D.343．[2010·辽宁卷] 设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋124．[2011·佛山一检] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0 能力提升5．[2010·福建卷] 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 6．[2010·天津卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 7．[2010·课标全国卷] 已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程式为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝18．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B ．1＋ 2 C. 3 D ．1＋ 39．点P 在双曲线上x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A ．2B ．3C ．4D ．510．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．11．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为__________．12．[2011·全国卷] 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________________________________________________________________________.13．[2011·辽宁卷] 已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．14．(10分)[2011·江西师大附中一模] 双曲线E 经过点A (4,6)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝2.(1)求双曲线E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．15．(13分)已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，满足条件|PF 2|－|PF 1|＝2的点P 的轨迹是曲线E ，直线y ＝kx －1与曲线E 交于A ，B 两点．如果|AB |＝63，且曲线E 上存在点C ，使OA →＋OB →＝mOC →，求m 的值和△ABC 的面积S .难点突破16．(12分)[2011·黄石调研] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，直线x ＝a2c (c ＝a 2＋b 2)与x 轴交于点B ，且与一条渐近线交于点C ，点O 为坐标原点，又OA →＝2OB →，OA →·OC →＝2，过点F 的直线与双曲线右支交于点M 、N ，点P 为点M 关于x 轴的对称点．(1)求双曲线的方程；(2)证明：B 、P 、N 三点共线； (3)求△BMN 面积的最小值．课时作业(四十九)【基础热身】1．B [解析] 椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为点P (2,1)在双曲线上，所以4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求的双曲线方程是x 22－y 2＝1.2．B [解析] 根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，即|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝λ2c ，即λ＝a c ＝45.3．D [解析] 设F 为左焦点，结合图形可知k FB ＝bc ，而对应与之垂直的渐近线的斜率为k ＝－b a ，则有b c ⎝⎛⎭⎫－ba ＝－1，即b 2＝ac ＝c 2－a 2，整理得c 2－ac －a 2＝0，两边都除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52，由于e >1，故e ＝1＋52.4．B [解析] F (2,0)，即c ＝2，设P (x 0，y 0)，根据抛物线的定义x 0＋2＝5，得x 0＝3，代入抛物线方程得y 20＝24，代入双曲线方程得9a 2－24b 2＝1，结合4＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝3，故双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0.【能力提升】5．B [解析] 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)．因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．6．B [解析] ∵抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，则在双曲线中有a 2＋b 2＝(－6)2＝36①，又∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝3x ，∴b a ＝3②，联立①②解得⎩⎨⎧a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1. 7．B [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵AB 过F ，N ，∴斜率k AB ＝1.∵x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，∴两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴4b 2＝5a 2，又∵a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5.8．B [解析] 设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，则p2＝c ，即p ＝2c ，抛物线方程为y 2＝4cx ，根据题意c 2a 2－y 2b 2＝1，y 2＝4c ·c ，消掉y 得c 2a 2－4c 2b2＝1，即c 2(b 2－4a 2)＝a 2b 2，即c 2(c 2－5a 2)＝a 2(c 2－a 2)，即c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝6＋322＝3＋22，故e ＝1＋ 2.9．D [解析] 不妨设|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|成等差数列，则4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，由2|PF 2|＝2c ＋|PF 1|，且|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 1|＝2c －4a ，|PF 2|＝2c －2a ，代入4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，得4c 2＝(2c －2a )2＋(2c －4a )2，化简整理得c 2－6ac ＋5a 2＝0，解得c ＝a (舍去)或者c ＝5a ，故e ＝ca ＝5.10．y ＝±2x [解析] 根据已知|PF 1|＝2b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba ＝ 2.11．4a ＋2m [解析] 由⎩⎨⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a⇒|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a ，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m .则△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .12．6 [解析] 根据角平分线的性质，||AF 2||AF 1＝||MF 2||MF 1＝12.又||AF 1－||AF 2＝6，故||AF 2＝6.13．2 [解析] 方法一：点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上，则4a 2－9b2＝1.又由于2c ＝4，所以a 2＋b 2＝4.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝4得a ＝1或a ＝4.由于a <c ，故a ＝1.所以离心率为e ＝ca ＝2.方法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a ＝2，∴a ＝1，离心率e ＝ca ＝2.14．[解答] 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，c 2＝a 2＋b 2(c >0)．(1)由A 在曲线上及e ＝2得⎩⎨⎧16a 2－36b 2＝1，a 2＋b 2a2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝3a 2，16a 2－12a 2＝1⇒⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝12，c 2＝16，∴双曲线E 的方程为x 24－y 212＝1.(2)设F 1(－4,0)，F 2(4,0)，由A (4,6)，∴AF 2⊥x 轴，设∠F 1AF 2的平分线所在直线交x 轴于点M (m,0)(|m |<4)，则点M 到直线F 1A ，F 2A 的距离相等，直线F 1A ，F 2A 的方程分别为3x －4y ＋12＝0，x ＝4，所以得|3m ＋12|5＝4－m ，解得m ＝1，即M (1,0)，故所求直线方程为y ＝6－04－1(x －1)，即y ＝2x －2.15．[解答] 由双曲线的定义可知，曲线E 是以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的双曲线的左支，且c ＝2，a ＝1，易知b ＝1，故曲线E 的方程为x 2－y 2＝1(x <0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意建立方程组⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，有⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝(2k )2＋8(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝－2k 1－k 2<0，x 1x 2＝－21－k2>0，解得－2<k <－1.又∵|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22－4×－21－k 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(1－k 2)2，依题意得2(1＋k 2)(2－k 2)(1－k 2)2＝63，整理后得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又－2<k <－1，∴k ＝－52，故直线AB 的方程为52x ＋y ＋1＝0.设C (x c ，y c )，由已知OA →＋OB →＝mOC →， 得(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(mx c ，my c )，∴(x c ，y c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2m ，y 1＋y 2m (m ≠0)．又x 1＋x 2＝2k k 2－1＝－45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝2k 2k 2－1－2＝2k 2－1＝8，∴点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45m，8m ，将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得80m 2－64m 2＝1，得m ＝±4， 但当m ＝－4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴m ＝4，C 点的坐标为(－5，2)，C 到AB 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52×(－5)＋2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋12＝13，∴△ABC 的面积S ＝12×63×13＝ 3. 【难点突破】16．[解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a 2c ，a 3＝2c ，解得⎩⎨⎧a 2＝4，c 2＝16，∴b 2＝c 2－a 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.(2)证明：由(1)可知得点B (1,0)，设直线l 的方程为：x ＝ty ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24－y 212＝1，x ＝ty ＋4，可得(3t 2－1)y 2＋24ty ＋36＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则P (x 1，－y 1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－24t3t 2－1，y 1y 2＝363t 2－1，所以BP →＝(x 1－1，－y 1)，BN →＝(x 2－1，y 2)，因为(x 1－1)y 2＋y 1(x 2－1)＝x 1y 2＋y 1x 2－y 1－y 2 ＝2ty 1y 2＋3(y 1＋y 2)＝2t 363t 2－1＋3－24t 3t 2－1＝0，所以向量BP →，BN →共线．所以B ，P ，N 三点共线． (3)因为直线l 与双曲线右支相交于M ，N ，所以x 1x 2＝(ty 1＋4)(ty 2＋4)>0，所以t 2<13，S △BMN ＝12|BF ||y 1－y 2|＝181＋t 2|3t 2－1|＝633＋3t 21－3t 2，令u ＝1－3t 2，u ∈(0,1]，S △BMN ＝634－u u ＝634u 2－1u＝634⎝⎛⎭⎫1u －182－116，由u ∈(0,1]，所以1u ∈[1，＋∞)， 当1u ＝1，即t ＝0时，△BMN 面积的最小值为18.。

高三数学第一轮复习讲义（51）双曲线一．复习目标：熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 二．知识要点：1．双曲线的定义（1）第一定义： ． （2）第二定义： ．2．标准方程： ；与22221x y a b-=共渐进线的双曲线方程 ．3．性质： ． 4．共轭双曲线方程： ．三．课前预习：1．平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲，12||||||MF MF -是定值，命题乙：点M 的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的（）()A 充分但不必要条件 ()B 必要不充分条件()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件2．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 应满足的关系是 （）()A 22121e e += ()B 22121e e -= ()C 1112221=-e e ()D 1112221=+e e3．直线y ax =与双曲线(1)(1)2(0)x y x --=<有公共点时，a 的取值范围是（）()A 30a -+< ()B 3a ≥-+()C 33a --≤-+()D 以上都不正确4．已知(2,1),A F ，P 是曲线221(0)x y x -=>上一点，当|||PA PF 取最小值时，P 的坐标是 ，||||PA PF 最小值是 ． 5．如果12,F F 分别是双曲线191622=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||6AB =，则2ABF ∆的周长是 ． 四．例题分析：例1．已知双曲线22125144x y -=的左右焦点分别为12,F F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上求一点P ，使1||PF 是P 到l 的距离d 与2||PF 的等比中项？若能，求出P 的坐标，若不能，说明理由．例2．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，l 与双曲线的左、右支的交点分别为,A B ．（1）求证：P 在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．例3．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由． （1）渐近线方程为20,20x y x y +=-=；（2）点(5,0)A 到双曲线上动点P五．课后作业： 班级 学号 姓名1．双曲线的渐进线方程为x y 21±=，且焦距为10，则双曲线方程为 （ ）()A 152022=-y x ()B 120522=-y x 或152022=-y x ()C 120522=-y x ()D 1|520|22=-y x 2．双曲线1422=+ky x 的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是 （ ） ()A (,0)-∞ ()B (3,0)- ()C (12,0)- ()D (60,12)-- 3．双曲线1162522=-y x 上一点P 的两条焦半径夹角为60，12,F F 为焦点，则12PF F ∆的面积为 ．4．与圆22(3)1x y ++=及圆22(3)9x y -+=都外切的圆的圆心轨迹方程为 ．5．过点(0,3)作直线l ，如果它与双曲线13422=-y x 有且只有一个公共点，则直线l 的条数是____________________．6．双曲线12222=-by a x 的一条准线被它的两条渐进线所截得的线段长度恰好等于它的一个焦点到一条渐进线的距离，则该双曲线的离心率为 ．7．过双曲线的一个焦点1F 且垂直于实轴的弦PQ ，若2F 为另一个焦点，且有902=∠Q PF ，则此双曲线的离心率为 ．8．一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为132，一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．9．设双曲线12222=-by a x 两焦点12(,0),(,0)F c F c -，点P 为双曲线右支上除顶点外的任一点，1221,PF F PF F αβ∠=∠=，求证：tan cot 22c a c aαβ-⋅=+．10．已知双曲线C 的两个焦点为12,F F l 过点2F ，且与线段12F F 的夹角为α，tan α=l 与线段12F F 的垂直平分线的交点为P ，线段2PF 与双曲线的交点为Q ，且22PQ QF =，求双曲线方程．经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。