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课件-15(二倍角的正弦、余弦、正切公式)

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二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件

二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件

二 化简三角函数式
【例3】 化简下列各式： (1)1s－inα2csoins2αα； (2)1－1tanθ2－1＋1tanθ2. 【分析】 本题主要考查二倍角公式和三角恒等变形与代 数恒等变形能力，重点考查逆用公式的能力．
1 【解】 (1)1s－inα2csoins2αα＝2csoisn22αα＝12tan2α. (2)解法1：原式＝1＋tan1θ2－－tan12θ2－tanθ2
∴定义域不关于原点对称．
∴原函数不具有奇偶性.
cos4π＋x＝sin2π－π4＋x
＝sinπ4－x＝153，
120 ∴原式＝1659＝2143.
13
解法二：原式＝scionsπ24π＋＋2xx ＝2sinπ4c＋osx4π·＋coxs4π＋x＝2sinπ4＋x. ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且0<x<4π， ∴π4＋x∈π4，π2，
(4)原式＝2sin20°cos22s0in°2co0s°40°cos80° ＝2sin40°4csoins4200°°cos80° ＝2sin88s0in°2co0s°80°＝s8isni1n6200°°＝18.
规律技巧 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系，另 一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱 导公式是常用方法.
三 给值化简求值
【例4】，0<x<
π 4
，求
cos2x cos4π＋x
的
【分析】 解答本题可先化简所求式子，由化简的结果再
去寻求条件得出结论，或直接寻求条件，分析与所求式子的联
系，灵活求解．
【解】 解法一：∵x∈0，4π，∴4π－x∈0，4π. ∵sinπ4－x＝153，∴cos4π－x＝1123. 又cos2x＝sin2π－2x ＝2sinπ4－xcos4π－x ＝2×153×1123＝112609，

数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式(共19张ppt)

数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式(共19张ppt)
( − ) = +
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4

4

2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);

二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件

二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件

θ＝
cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边．
法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2 θ＝ cos2 θ1－csions22 θθ＝cos2 θ(1－tan2 θ)＝左边．
所以原式成立．
归纳升华 三角函数式的化简与证明
1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低．
2．证明三角恒等式的方法：(2)从复杂的一边入手， 左边
证明一边等于另一边；(2)比较法，左边—右边＝0， 右边
＝1；(3)分析法，即从要证明的等式出发，一步步寻找等 式成立的条件．
(1)sin 2π4·cos 2π4·cos 1π2；
(2)1－2sin2 750°；
(3)tan
1π2－tan1
π. 12
解：(1)原式＝122sin
π 24cos
π 24·cos
1π2＝12sin
1π2·cos
1π2＝142sin
1π2·cos
π 12
＝14sin
π6＝18.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝
1＋cos（2A＋2B）
(1)证明：左边＝
2
＝
1－cos（2A－2B）
2
＝
cos（2A＋2B）＋cos（2A－2B）
2
＝
12(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin
2Asin 2B)＝
cos 2Acos 2B＝右边，
所以原式成立．
(2)法一：左边＝cos2θ1－cossi2nθ2
cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.

5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式课件(人教版)

5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式课件(人教版)

例6
4
在△ ABC 中， cos A 5
tan 2 A 2B 的值.
， tan B 2 ，求
2A+2B与A,B之间能构成怎样的关系？
解：在△ ABC 中，由 cos A
4
，0
5
A π ，得
2
3
4
sin A 1 cos 2 A 1 ，
5
2
tan tan
2 tan
tan 2 tan

.
2
1 tan tan 1 tan
2
推导
二倍角的余弦公式有三种表达情势：
cos 2 cos sin
2
cos 2 1 2sin
2
cos 2 2 cos 1
2
2
推导
余弦公式，有下面的等价变情势：
cos 2 2 cos 1
2
cos 2 1 2sin
2
1 cos 2 2cos
1 cos 2 2sin
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
2
2
2
=±
2
1+
2
2
sin 与 cos 的符号由角
24 4

tan 2 A tan 2 B
44
7 3
tan 2 A 2 B


24 4 117 .
1 tan 2 A tan 2 B
1
7 3
，
解法 2：
4
在△ ABC 中，

二倍角的正弦、余弦、正切公式课件

二倍角的正弦、余弦、正切公式课件

三角形面积公式
可以通过二倍角公式计算三 角形的面积，进一步计算体 积，这在建筑设计和航空工 程中非常有用。
浪高相关问题
科学研究
海浪通常用余弦函数来描述。 二倍角公式为了简化计算， 常常在波长和浪高相关问题 的计算中应用。
二倍角公式在科学研究中非 常有用，如过敏体质预测、 药物效应预测等。
应用
二倍角在科学、数学和 工程等领域有着广泛的 应用，是解决一些问题 的有效工具。
二倍角公式的定义
公式
二倍角的正弦公式为 $sin 2 heta = 2sin hetacos heta$，二 倍角的余弦公式为 $cos 2 heta = cos^2 heta - sin^2 heta$，二倍角的正切公式为 $tan 2 heta = \frac{2tan heta}{1-tan^2 heta}$
二倍角的正弦、余弦、正 切公式
学习二倍角的正弦、余弦、正切公式有助于更快速、更准确地解决三角函数 计算问题。
什么是二倍角
定义
二倍角是指一个角度的 两倍大小的角度，较为 常见的二倍角有 $30^{circ}$，$45^{circ}$， $60^{circ}$和$90^{circ}$。
特点
二倍角具有一些特殊的 数值和三角函数值，对 于复杂计算非常有用。
推导过程
二倍角公式的推导可以使用 三倍角公式或欧拉公式等方 法实现。
学习建议
掌握二倍角公式的定义和推 导过程，加深对三角函数的 理解，有助于你在数学学科 中取得更出色的成绩。
二倍角公式的应用
1
科学应用
2
二倍角公式可以应用到物理和工程
等领域，如电磁学、波长的计算、
机械分析等。
3
三角函数计算

二倍角的正弦、余弦、正切公式课件

二倍角的正弦、余弦、正切公式课件

又∵2α∈0，π2，β∈π2，π，
∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－34π.
[规律方法] 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出 角．其中确定角的范围是关键的一步．
【活学活用3】 已知tan α＝17，sin β＝ 1100，且α，β为锐角，求α
＋2β的值． 解 ∵tan α＝17<1，且α为锐角，∴0<α<π4，
类型一 给角求值问题 【例1】 求下列各式的值： (1)sin1π2cos1π2；(2)1－2sin2750°；(3)1－2tatnan125105°0°； (4)sin110°－cos 130°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°.
[思路探索] 利用倍角公式或公式变形求值即可．
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝si2n6＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10° ＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
【活学活用1】 求下列各式的值：
(1)tan 15°＋csoins 1155°°；
(2)tan 20°＋4sin 20°的值．
解 (1)原式＝csoins 1155°°＋csoins 1155°°＝sisni2n1155°＋°cocsos1251°5°
＝sin
1 15°cos
15°＝2sin
2 15°cos
θ 2
＝

二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件


14sinπ5π＝14. sin5
(2)原式＝－122cos2π8－1＝－12cosπ4＝－
2 4.
(3)原式＝tan21π2π－1＝－21－taπn21π2
tan12
2tan 12
＝－2·tan21×1π2＝t－an2π6＝－2 3.
在解决这种题型时，要正确处理角的倍半关系．如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角，π2－2α 是π4－α 的二倍角．
2α .
求下列各式的值．
(1)cosπ5cos25π；(2)12－cos2π8；
(3)tan1π2－
1 π.
tan12
分析式 把式子变形，使其符合 【思路点拨】子结构 → 正、逆用或变形用形式 → 求值
π π 2π 1 2π 2π 1 4π
sin 解：(1)原式＝
5cos 5cos sinπ5
5 ＝2sins5incπ5os 5 ＝4ssiinnπ55 ＝
x
＝2sin
xcos cos
x－sin x＋sin
xcos x
x
＝sin
2xcos x－sin cos x＋sin x
x
＝sin
1－tan 2x1＋tan
xx＝sin
2xtanπ4－x
＝cosπ2－2xtanπ4－x＝ ＝2cos2π4－x－1tanπ4－x.
∵54π＜x＜74π， ∴－32π＜π4－x＜－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
• 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行：
• (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值；
• (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角 的范围，从而确定角的大小．

二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件


1 tan tan
2
思考：当 时，
你能推导出哪些恒等式呢？ zxxk
二倍角公式
在公式S，C ,T中，令＝
就得到下列当结果
sin 2 2sin cos (S2 )
cos2 cos2 sin2 tan 2 2 tan
1 tan2
(C2 ) (T2 )
公式推广
cos 2 cos 2 sin 2 中 cos2 sin 2 1,易得：
特别强调：tan 2＝1－2ttaann2 仅当
k , k , k Z时成立2 Nhomakorabea4
例1、不查表，求下列各式的值
1、sin15cos15
2、 cos2 sin 2
8
8
3、
2 tan 22.5 1 tan 2 22.5
4、 1 2sin 2 75
例2、
已知：sin 12 , ( , )
二倍角的正弦余弦正切
复习引入
• 复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin( ) sin cos cos sin , ( R, R) (S )
cos( ) cos cos sin sin ,( R, R) (C )
tan( ) tan tan , (, , k , k Z ) (T )
13
2
求sin2，cos2 , tan2的值
例3
求证：1 sin2 - cos2 ＝tan 1 sin2 cos2
试试身手！
1.已知：tan＝3 求：sin2－cos2的值
答案：7/5
2.求函数y sin4 x cos x的周期。
课堂小结
●理解二倍角公式，领会二倍的相对意 义 ●运用公式求解，证明 ●特别注意公式的逆向使用，和公式变 形。

二倍角的正弦、余弦、正切公式课件

1. 问题一：已知角度θ的正弦值为0.6，求角度2θ 的正弦值。 2. 问题二：已知角度θ的余弦值为- 0.3，求角度2θ 的余弦值。 3. 问题三：已知角度θ的正切值为1.5，求角度2θ 的正切值。
总结和应用
二倍角的正弦、余弦和正切公式是解决与角度相关的问题时的重要工具。通 过掌握这些公式，我们可以更灵活地应用三角函数解决实际问题。
示例二
如果一个角度为45°，那么它的二 倍角就是90°。
示例三
在单位圆上，角度θ的二倍角就 是2θ 。
二倍角的正弦公式
二倍角的正弦公式是将正弦公式中的θ替换为2 θ 得到的。 sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
1 用途一
简化三角函数表达式，将一个角度的正弦值转化为二倍角角度的正弦值。
2 用途二
计算二倍角角度的正弦值，从而解决与角度相关的问题。
二倍角的余弦公式
二倍角的余弦公式是将余弦公式中的θ替换为2 θ 得到的。 cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)
1 用途一
简化三角函数表达式，将一个角度的余弦值 转化为二倍角角度的余弦值。
2 用途二
计算二倍角角度的余弦值，从而解决与角度ຫໍສະໝຸດ 相关的问题。二倍角的正切公式
二倍角的正切公式是将正切公式中的θ替换为2 θ 得到的。 tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))
1 用途一
简化三角函数表达式，将一个角度的正切值 转化为二倍角角度的正切值。
2 用途二
计算二倍角角度的正切值，从而解决与角度 相关的问题。
演示例题
通过实际问题的例题演示，我们可以更好地理解二倍角的正弦、余弦和正切 公式的应用。
• 总结一：二倍角可以简化三角函数表达式。 • 总结二：二倍角的公式可用于求解二倍角角度的正弦、余弦和正切值。 • 应用：在几何、物理、工程等领域的计算中，二倍角的公式经常被使用。

二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件


向量、三角知识的综合应用
设向量 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)，
(1)若 a 与 b－2c 垂直，求 tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若 tan αtan β＝16，求证：a∥b. 【思路分析】本题考查向量的概念与运算及三角公式化的 变形运算能力．
求下列各式的值．
(1)cos
π 12cos
51π2；
(2)cos 20°cos 40°cos 80°；
(3)sin110°－cos
3 10°.
【思路分析】(1)注意1π2与51π2是互余的；(2)注意后一个角是
前一个角的 2 倍关系；(3)通分整理、变形．
【规范解答】(1)cos
π 12cos
51π2＝cos
1．化简 2 1－sin 8°＋ 2＋2cos 8°的结果是( )
A．2sin 4°
B．2sin 4°－4cos 4°
C．－2sin 4°
D．4cos 4°－2sin 4°
【答案】D 【解析】把1化成sin24°＋cos24°再计算可得．
2．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)等于( )
A．3－cos 2x
B．3－sin 2x
C．3＋cos 2x
D．3＋sin 2x
【答案】C
【解析】方法 1：∵f(sin x)＝2＋2sin2x，∴f(x)＝2＋2x2，
∴f(cos x)＝2＋2cos2x＝3＋cos 2x.
方法 2：f(cos x)＝fsinπ2－x＝3－cos2π2－x＝3－cos(π －2x)＝3＋cos 2x.
3．函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最小值和最大值分别为
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sin
2

题型一：利用二倍角公式求值
例2、求 cos 20 cos 40 cos80的值.
角的倍半关系是相对而言的, 2α 是α 的两倍, 4α 是2α 的两倍, 2 是 4 的两


倍等等，这里蕴含着换元的思想.
题型二：给值求值问题 ，4 2 求 sin 4， cos 4， tan 4 的值. 例2 已知
5 sin 2 13


题型二：给值求值问题
4 例3 在△ABC中,cos A = , t an B = 2, 5
求 t an 2C 的值.
44 117
题型二：给值求值问题
1 例4、已知 sin cos 且0 , 3 求 sin 2 和 cos 2的值
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
小结作业
作业：
（1） P138：14,15, 19,B组：2 （2）《学海导航》第4课时
二倍角的正弦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余弦、正切公式
沂源二中
高一数学
复习巩固
1、 sin 2 2sin cos
2、 cos 2 cos sin
2 2
2cos 1 2 1 2sin
2
.
1+cos2α＝2cos2α
1-cos2α＝2sin2α
升幂公式
题型二：三角函数式恒等变形
cos x 例5、求函数f ( x) 的值域. x cos( ) 2 4
1 1 2 2 例6、已知函数f ( x) cos x- sin x 2 2 +1- 3sinxcosx,求f(x)的单调增区间.
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2 α 是 α 的两倍, 4α 是2α 的两倍, 2 是 4 的两 倍等等，这里蕴含着换元的思想. 2.二倍角公式及其变形各有不同的特 点和作用，解题时要注意公式的灵活 运用，在求值问题中，要注意寻找已 知与未知的联结点. 3.二倍角公式有许多变形，不要求都记 忆，需要时可直接推导.
复习巩固
1 cos 2 sin 2 降幂公式 1 + cos 2a 2 cos a = 2 2 tan 3、 tan 2 2 1 tan
2
题型一：利用二倍角公式求值
例1 求下列各式的值： (1)sin15 cos15 (2) cos
2

8 8 tan 22.5 (3) 2 1 tan 22.5 2 (4)2 cos 22.5 1